气体分子热运动速率和能量的统计分布律
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第 二 章 分子动理学理论的平衡态理论
2-1 设有一群粒子按速率分布如下：
试求(1)平均速率V ；（2）方均根速率2
V
（3）最可几速率Vp
解：（1）平均速率：
18
.32
864200
.5200.4800.3600.2400.12≅++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
V (m/s)
(2) 方均根速率
37
.32
2
≅∑∑=
i
i
i N
V N V
(m/s)
2-2 计算300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。
解：s
m RT
V P
/39510
3230031.8223
=⨯⨯⨯=
=
-μ
s
m RT
V /44610
3214.330031.8883
=⨯⨯⨯⨯=
=
-πμ
s
m RT
V /48310
3230031.8333
2
=⨯⨯⨯=
=
-μ
2-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K 、1000K 和10000K 。
解：μ
RT
V P
2=
代入数据则分别为：
T=100K 时 s
m V P /1028.22
⨯= T=1000K 时 s
m V P
/10
21.72
⨯= T=10000K 时 s
m V P
/1028.23
⨯=
2-4 某种气体分子在温度T 1时的方均根速率等于温度T 2时的平均速率，求T 2/T 1。
解：因
μ
RT
V
32
=
πμ
2
8RT
V
=
由题意得：
μRT
3πμ
2
8RT
=
∴T 2/T 1=8
3π
2-5 求0℃时1.0cm 3氮气中速率在500m/s 到501m/s 之间的分子数（在计算中可
将dv 近似地取为△v=1m/s ）
解：设1.0cm 3氮气中分子数为N ，速率在500~501m/s 之间内的分子数为△N ，
由麦氏速率分布律： △ N=V
V
e
KT
m N
V
KT
m ∆⋅⋅⋅-
2
22
3
2
)
2(
4ππ
∵ V p2= 2KT m ，代入上式
△N=
V
V
V p
p
e
V
V V
N
∆-
-⋅
⋅22221
4ρπ
因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s ， 又s
m V P
/40210
2827331.823
≅⨯⨯⨯=
- △V=1m/s
（v
v p =1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N 个
2-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s 到3010m/s 之间的分子数△N 1
与速率在1500m/s 到1510m/s 之间的分子数△N 2之比。 解： 取分子速率为V 1=3000m/s V 2=1500m/s, △V 1=△V 2=10m/s
由5题计算过程可得： △V 1=
1
22
12214V V
V p
p
p
e
V V V
N
∆-
-⋅
⋅π
△N 2=
2
22
22214V V
V p
p
p
e
V
V V
N
∆-
-⋅⋅π
∴ △N/△N 2=
2
12
1)
(
2
1)
(
2
1)(
)
(
p
p
p
V
V V
V p
e
V
V e
V
V --⋅
其中V P =
3
3
10
18.210
2573
31.82⨯=⨯⨯⨯-m/s
v 1v p =1.375，v 2
v p =0.687
∴
969
.0687
.0375.12
2
687
.02
375.122
1≅⨯⨯=
∆∆--e
e N
N
解法2：若考虑△V 1=△V 2=10m/s 比较大，可不用近似法，用积分法求△N 1，
△N 2
dN=
dV
V
V
V p
P
e
V
N
2
2
234--⋅π
△N 1=⎰⎰⎰-=1
2
2
100V V V V dN dN dN △N 2=⎰
⎰
⎰
-
=
3
4
4
3
0V V V V dN
dN dN
令X i =v i
v p
i=1、2、3、4利用16题结果:
2
2
)([0
i
i
x i i V e
x x erf N dN
--
=⎰
π
∴ △N 1=]2
)([]2
)([2
1
2
2
112x x i e
x x erf N e
x x erf
N ---
--
π
π
（1）
△N 2=]
2
)([]2
)([2
3
2
4
3344x x e
x x erf N e
x x erf
N ---
--
π
π
（２）