2.4_几种常见的连续型随机变量的分布

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高等教育自学考试概率论与数理统计期末自学复习重要知识点

概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。

2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。

两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。

记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。

5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用：（1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1：设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数：设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。

常见的连续型随机变量的分布

1.均匀分布密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f2.指数分布密度分布函数 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ 3.伽玛分布密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=--0,00,)()(1x x e x x f x ααααλ4.正态分布密度分布函数 222)(21)(σμπσ--=x e x f5.对数正态分布密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>=--e l s e x e x x f x ,00,21)(222)(l n σμπσ6.贝塔分布密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-ΓΓ+Γ=--e l s e x x x r r r r x f r r ,010,)1()()()()(112121217.爱尔兰分布密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--0,00,)!1()(1x x e x r x f x r r λλ8.拉普拉斯分布密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=--λμλx e x f 21)(%泊松分布概率密度作图：x=0:20;y1=poisspdf(x,2.5);y2=poisspdf(x,5);y3=poisspdf(x,10);hold onplot(x,y1,':r*')plot(x,y2,':b*')plot(x,y3,':g*')hold offtitle('Poisson 分布')正态分布标准差意义的图示mu=3; sigma=0.5;x=mu+sigma*[-3:-1,1:3];yf=normcdf(x,mu,sigma);P=[yf(4)-yf(3),yf(5)-yf(2),yf(6)-yf(1)];xd=1:0.1:5;yd=normpdf(xd,mu,sigma);%for k=1:3xx{k}=x(4-k):sigma/10:x(3+k);yy{k}=normpdf(xx{k},mu,sigma);endsubplot(1,3,1),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(3),xx{1},x(4)],[0,yy{1},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(1))),hold offsubplot(1,3,2),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(2),xx{2},x(5)],[0,yy{2},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(2))),hold offsubplot(1,3,3),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(1),xx{3},x(6)],[0,yy{3},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(3))),hold offv=4;xi=0.9;x_xi=chi2inv(xi,v);x=0:0.1:15;yd_c=chi2pdf(x,v);%。

2.4连续型随机变量及其概率密度1

c
ba
例在PGA巡回赛中，前100名最好的高尔夫运动员的击球距离在260米和284米之间，假设这些运动员的击球距离在该区间上服从均匀分布。
(1)写出击球距离的概率密度函数；解：令X表示击球距离，根据题意可知X~U(260,284)
f
(x)

1 24
,
260 x 284
0,
0
x0
P{X 1} F(1) 1 (11)e1 1 2e1
二、几个重要的连续型随机变量及其密度函数
1.均匀分布若连续型随机变量X具有概率密度
f
(
Байду номын сангаас
x)

b
1
a
,
0,
a x b, 其他,
则称X在(a,b)上服从均匀分布. 记为X ~ U(a,b).
概率密度函数图形

0
0dx
0.5 3x2dx x3 0.5 0.125
1
0
0
A3
3x2, 0 x 1,
例题 1 设 X 概率密度 f (x) 0
, 其它.
求（3）求 F(x) .
解（3）由定义知 F(x) x f (t)dt
x
x
当 x 0 时， F(x) f (x)dx 0dx 0 ；
0.06
0.04
0.02
连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关
-10
-5
a
5
bx
x
F( x) f (t)dt
注意
若X是连续型随机变量，{ X=a }是不可
能事件，则有P{ X a} 0. 反之不一定

概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布ppt课件

0 x
则t , dt d
1-(x)
x1
2
3
F(x) 1
(t )2
1 x e
2 2
dt
x
2
e 2 d
( x )
2
2
4. P{a X b} (b ) ( a )
P{X b} (b ) P{X a} 1 (a )
例6
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解：X 的密度函数为
f
x
1 10
e
x 10
0
x0 x0
令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
则 PB P10 X 20
20
1
x
e 10 dx
10 10
x
e 10
20
e 1
e 2
0.2325
10
例5 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生
故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布,
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2
0.8
P( X 0) 0.2
解二图解法
0.2 0.15
0.1 0.05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图 P( X 0) 0.2
例 3 原理
设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 )
解 P(| X | 3 ) P( 3 X 3 )
应用场合:
若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值，则
X ~ U a,b
例3 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率.

概率论与数理统计-随机变量及其分布

解
直接对上式求导有
二、连续型随机变量函数的分布
81
例 18
解
二、连续型随机变量函数的分布
82
定理 1
定理 2
83
总结/summary
离散型随机变量：分布律
分二项分布、泊松分布、几何
随布分布
机变
函数
连续型随机变量：密度函数
量均匀分布、指数分布、正态
分布
随机变量函数的分布
84
谢谢观赏
46
47
目录/Contents
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
48
目录/Contents
2.3 常用的连续型随机变量
一、均匀分布二、指数分布三、正态分布
一、均匀分布
49
一、均匀分布
50
一、均匀分布
51
一、均匀分布
15
定义3
（1）非负性（2）规范性
三、离散型随机变量及其分布律
16
换句话说，如果一个随机变量只可能取有限个值或可列无限个值, 那么称这个随机变量为（一维）离散型随机变量.
一维离散型随机变量的分布律也可表示为：
三、离散型随机变量及其分布律
17
例2
求
三、离散型随机变量及其分布律
18
解
四、连续型随机变量及其密度函数
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
73
目录/Contents
2.4 随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布

连续型随机变量的分布)

定义
指数分布是一种连续型概率分布，常用于描述两个连续事件之间的时间间隔。若一个随机变量X服从参数为λ的指数分布，则其概率密度函数为f(x)=λe^(λx)，x>0。
性质
指数分布具有无记忆性，即无论已经等待了多久，下一个事件发生的概率与刚开始等待时相同。此外，指数分布的期望和方差分别为1/λ和1/λ^2。
制定提供依据。
03
可靠性试验设计
在可靠性试验设计中，指数分布可作为先验分布或假设检验的基础。例
如，在定时截尾试验中，可利用指数分布的性质对试验数据进行统计分
析，从而得出产品可靠性的相关结论。
04
正态分布
定义及性质
定义
正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，具有对称性和单峰性。
均匀分布在实际问题中应用
01
在实际问题中，均匀分布常被用来描述一些随机现象，如某段时间内到达的顾客数、某段路程内行驶的车辆数等。
02
在统计学中，均匀分布可以作为其他更复杂分布的基础，如正
态分布、指数分布等。
在计算机模拟中，均匀分布的随机数生成器是其他更复杂随机
03
数生成器的基础。
03
指数分布
定义及性质
性质
连续型随机变量的取值是连续的，即任意两个相邻的实数之间都有无限多个实数。因此，对于连续型随机变量，我们讨论其在某个区间内的概率，而不是具体某个点的概率（某点的概率为0）。
常见连续型随机变量类型
均匀分布
正态分布（高斯分布）
在某个区间[a, b]内，每个值出现的概率都相等。其概率密度函数（PDF）是一个常数，分布函数（CDF）是线性的。
指数分布概率计算
计算概率密度函数值

2.4连续型随机变量及其概率密度函数

-?
a b- a
连续型随机变量及概率密度函数
注
蝌 P{c < X ? c l} = c+l f ( x)dx = c+l 1 dx = l
c
c b- a b- a
随机变量 X 落在任一长度为 l 的子区间(c,c + l],(a ? c c + l ? b)
内的可能性是相同的.
均匀分布的分布函数为
2
解 (2)X的分布函数为
ì
0,
ï
ï
ò ï
x x dx = x2 ,
F
(
x
)
=
ï í
ï
蝌 ï
ï
3 x dx + 06
06
x 3
骣琪琪桫2
-
x 2
12 x2
dx = - 3 + 2x - , 4
ï î
1,
x <0 0? x 3 3? x 4
x³ 4
连续型随机变量及概率密度函数
例 1 设随机变量 X 具有概率密度
f
(x)
=
ì ï í
1 5
,0
<
x
<
5，
ï î
0,
其他
ì 0,
ï
蝌 F ( x) =
x
ï f ( x)dx = í
x dt = x ,
-?
ï 05 5
ï î
1,
x£ 0 0< x <5
x³ 5
（2）随机变量 X 的取值不小于 2，即
蝌 ò P{ X ? 2} = +? f ( x)dx = 5 1 dx + ? 0dx 3

2.4随机变量函数的分布

P( X
yb
y
a
b
)
a
f X ( x)dx
fY ( y)
1 a
fX (
y
a
b
)
11
(2)
a<0 FY ( y)
P( X
y b) a
yb f X ( x)dx
a
fY ( y)
1 a
f
X
(
y
a
b
)
即
fY
( y)
|
1 a
|
fX
(
y a
b)
…(*)
12
对于上例: y=g(x)=ax+b 注意到y=g(x)=ax+b与y=ex都是单调函数
13
定理: 连续型随机变量X的概率密度为 fX(x), x(, +),若y=g(x)为严格单调函数,其反函数x=h(y)连续可导,Y=g(X) 的概率密度为:
fY
(
y
)
f
X
0,
[h(
y)]
|
h(
y
)
|,
y
其它
其中=min{g(),g(+)} =max{g(),g(+)}
14
当fX(x)在有限区间[a,b]之外取值为零时,只需假设在[a,b]上g(x)严格单调,反函数在相应区间可导,则上述定
2.4 随机变量函数的分布
讨论如何根据已知的随机变量X的分布,去求它的函数Y=g(X)的分布
一、离散型随机变量函数的分布
二、连续型随机变量函数的分布
1
问题的提出
在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣. 例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，

2.4连续型随机变量的概率密度

λe −λx , x ≥ 0 ∴ f ( x) = 0 ,x <0
例6
已知随机变量X 已知随机变量X的概率密度为
0 ≤ x <1 x f ( x ) = 2 − x 1 ≤ x < 2 0 其他
1)求的分布函数F(x), 1)求X的分布函数F(x), 解由F ( x) = 2)求P{X∈ 2)求P{X∈(0.5,1.5)}
0
π
π
∴函数f ( x) = sin x不是某一随机变量ξ的分布密度函数.
(3)当x ∈ [0,3π / 2]时, ∵ f ( x) = sin x不满足非负性 ∴函数f ( x) = sin x不是某一随机变量ξ的分布密度函数.
例4.设随机变量ξ的分布密度为 A f ( x) = , (−∞ < x < +∞) 2 1+ x 求(1)常数A;(2)ξ的分布函数;(3) P(−1 ≤ ξ < 1)
∫
x
−∞
f ( x)dx,
x −∞
当x < 0时，F ( x) = ∫
f (u )du = ∫ 0du = 0,
0
x
x
当0 ≤ x < 1时，F ( x) = ∫
−∞
x2 f (u )du = ∫ udu = , 0 2
x
当1 ≤ x < 2时， x F ( x) = ∫ f (u)du = ∫ udu + ∫ (2 − u)du = 2x − −1 −∞ 0 1 2
∵ f ( x) = sin x ≥ 0;
且∫
π /2
0
sin xdx = − cos x |π / 2 = 1 0
∴函数f ( x) = sin x是某一随机变量ξ的分布密度函数.

随机变量的定义及分类

随机变量的定义及分类随机变量是概率论中的重要概念，它是指一种随机试验中可能发生的某种事件或结果。

下面将会从定义、分类两个方面来详细介绍随机变量。

一、定义随机变量可以用数学式子来表示，在一些可能发生的结果中，随机变量X可以代表某种结果的取值，比如抛硬币出现正面朝上的概率，X可以表示正面朝上时的取值为1；反面朝上时的取值为0。

换言之，随机变量X就是一个函数，用于描述随机事件中某种结果的取值。

二、分类2.1 离散型随机变量：如果随机变量X只能取有限个或可数个数值时，那么X就是离散型随机变量。

比如，抛一枚硬币正面朝上的概率为1/2，反面朝上的概率也为1/2，用0表示反面朝上，1表示正面朝上，那么X就是一个离散型随机变量。

2.2 连续型随机变量：如果随机变量X的取值可以是从一个范围内的任意数，那么X就是连续型随机变量。

比如，取人的身高作为X值，虽然人的身高并不是无限小数，但是因为可以无限分割人的身高，所以X是连续型随机变量。

2.3 二项分布随机变量：二项分布随机变量是指在重复的n次独立试验中，每次试验只有两种结局的事件（成功或失败），且每次试验成功的概率相等。

比如，在10次抛掷硬币的过程中，每次正面朝上的概率是相等的，试验结果可以用二项分布随机变量X表示。

2.4 正态分布随机变量：正态分布随机变量也叫高斯分布随机变量，通常被用于描述一些连续型随机变量。

其概率密度函数呈钟形，且均值、方差完全决定了正态分布曲线的性质。

此类随机变量在自然界的统计学中有广泛应用。

综上所述，随机变量是概率论中的一个基本概念，主要包含离散型随机变量、连续型随机变量、二项分布随机变量、正态分布随机变量等类型。

对不同类型的随机变量，需要采用不同的计算方法和应用方式。

连续型随机变量及其概率密度函数

§2.4 连续型随机变量及其概率密度函数
一、连续型随机变量的概念定义2.8 设随机变量的分布函数为 F (x ) ，若存在非负可设随机变量X的分布函数为定义积函数 f (x )，使得对于任意实数 x ，都有 x （2—15）） F ( x ) = ∫ f ( x )dx
∞
则称X为连续型随机变量，则称为连续型随机变量，称 f (x )为X的概率密度函数的（Probability Density Function），简称概率密度或密度），简称概率密度或密度. ），简称概率密度或密度由定义可知，连续型随机变量X的分布函数由定义可知，连续型随机变量的分布函数 F (x)在x点的函点的函上的积分．数值等于其概率密度函数 f (x )在区间( ∞, x] 上的积分．类似于离散型随机变量，类似于离散型随机变量，连续型随机变量 f (x )的概率密度函数具有如下基本性质：函数具有如下基本性质：
P { x1 < X ≤ x 2 } = Φ ( x2
σ
) Φ(
x1
σ
)
关于标准正态分布，一个重要的公式是：关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数 x . Φ ( x) + Φ ( x) = 1 (2-31) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了. 这可用 Φ(x ) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了
∞
σ x+
1 2π σ
( x )2
2σ
2
e
∫
x ∞
1 2π
e
t2 2
dt
(令 σ = t ) 令
x
所以 X * ~ N (0, 1).
这样我们便有如下定理：这样我们便有如下定理： 2 定理2.2 若 X ~ N ( , σ )，其分布函数为F ( x ) ，则对任意定理实数，有 x （2—29）） F (x) = Φ ( )

概率论2.4

x
x
1 e 2
z2 2

(t )2 2 2
z
dt

x

1 e 2
z2 2
dz

一般有
1 e 2
x dz
x1 X x2 x2 x1 P( x1 X x2 ) P 26
F ( x) P( X x)
x x 1 e f (t )dt 0
x0 x0
10

指数分布的另一种表示形式
f ( x)
e x , x 0 X ~ f ( x )＝ 0, x 0
则称X服从参数为>0的指数分布。其分布函数为
3
【例】（等待时间）公共汽车每10分钟按时通过
一车站，一乘客随机到达车站.求他等车时间不
超过3分钟的概率. 解设X表示他等车时间（以分计），则X是一个随机变量，且 X ~ U (0,10). X的概率密度为
1 , 0 x 10, f ( x ) 10 其它. 0,
P(c X d ) f ( x)dx
c
d
d
c
x a, 0, x a , a x b, f(x),F(x)的图像分别为 X的分布函数 F ( x) b a x b. F(x) f(x) 1,
1
1 ba
1 d c l dx ba ba ba
1.5
16
例某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设 [0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的泊松分布，求T的概率密度。解

2.4 连续型随机变量的概率分布

p P{ X 10} 10
即： Y ~ B( 5, e 2 ).

1 e dx e 5
x 5
x 5 10
e 2
至少有一次未得到服务而离开的概率为：
P{Y 1} 1 P{Y 0}
1 C
0 5
e 1 e
2 0 2
a F ( x ) bx ln x cx d d
求：(1) 系数a，b，c，d ;
x1 1 x e xe
(2) X落在区间(2 , 3)内的概率。 (3) X的概率密度。
(1) 利用分布函数性质 F ( ) 1和 F ( ) 0 解：以及连续型随机变量的分布函数的连续性计算
xe
xe
be e 1 1
由此得：a 0, b 1, c 1, d 1
0 F ( x ) x ln x x 1 1
x1 1 x e xe
(2)
P{2 X 3} F (3) F (2) 1 (2ln 2 1) 2 2ln 2
0 x
F ( x)
x
-
f ( t )dt
x 1 x 0

x 1

x
若x 1
-1 -
F( x )
0
x
-
f ( t )dt
1
= 0 dt -1 (1 t )dt 0 (1 t )dt 1 0 dt 1
所以
x
0 2 (1 x ) 2 F(x) 2 1 x x 2 2 1
(3)
f ( x ) F ( x )

连续型随机变量常见的几种分布 (2)

[证]: 设 (c,d)(a,b)
d
d
P(cXd) f(x)dx
1 dx
c
c ba
1
(d c)
ba
即 X 落在 (c, d ) 内的概率只与 (c, d) 的长度有关, 而与 (c, d) 在 (a,b) 中的位置无关.
均匀分布常见于下列情形：
比如: 在数值计算中，由于四舍五入,小数点后某一位小数引入的误差；公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.
（三倍标准差原则）
33
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例3. 已知自动车床生产的零件的长度X(毫米)服从正
态分布 N(50,0.752),如果规定零件的长度在
501.5毫米之间为合格品.
求:生产零件是合格品的概率
解: X～ N(5,0 0.725) 所求的概率为：
P(X501.5)P (4.5 8 X5.5 1 )
P(Zx)
P(
x
x)
作一个线 P(Xx)
性变换
25
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令t u
1
e dt x (t22)2
2
1 x u2
e 2du (x)
2
即证得： Z～N (0, 1)
▲ 由此可得: 若 X～N(,2),则其分布函数 F ( x ) :
F(x)P((Xx x))P(Xx)
长，阻塞少)所需时间(分钟)Y～N(30,22)
若现在只有 30分钟.
问分别选择哪一条路为好?
解: 依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较
小的路线为好.
当只有30分钟可用时:
A 路: P(X30)1P(X30 )1(3027) 5

连续型随机变量的分布与例题讲解

连续型随机变量的分布与例题讲解连续型随机变量的分布(一)连续型随机变量及其概率密度函数1.左义：对于随机变量X 的分布函数F(X),若存在非负函数f(x),使对于任意的实数x,有F(x) = Lf(°df,则称X 为连续性随机变虽:，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。

注：F(x)表示曲线下x 左边的而积，曲线下的整个而积为1。

2 •密度函数f(x)的性质：注：几丫)不是概率。

1) f(x)MOf(x)clx=\ -OG3) P{X] <X <xj= f f(x)^/x =F(x,)-F(x l ) J Xj特别地，连续型随机变虽在某一点的概率为零，即P{X=x}=0.(但并不一左是不可能事件)因此 P(“WXWb)= P(avXvb)二 PgXvb) = P(xXWb)=F(b)・F(a)4)若几巧在点x 处连续，则F\x) = f(x).分布函数性质1) 0<F(.r)<l ； ii) F(-oc)=OJ(+oc)=l ；iii) 当“夕2 时，F(XI )<F(A -2):(单调性) iv) F(x)是连续函数注：iv)与离散型随机变量不同，离散型随机变量的分布函数有有限个或无限可列个间断点。

例1设随机变量X 的分布函数为F(A )=A+B arctanx.求(1)系数 A, B (2) P(-1<X<1)： (3)密度函数 f(x)分析：主要是应用分布函数的性质。

解(1)由 F(^o)=OT(+oo)=l 得A--B=02 A + -B = \2(2)由⑴知 F(x)= —+ — arctanx, 2兀基本内容备注解之，得3 =丄n故得 P(-l<X< 1) =F( 1)-F(-1)= —+ — arctan 1—(—H ——arctan(—1)) 2 7T 2 7T1 7T 1 z 7T X 1 = ~4~^4)=2(3)f(x)=F‘(x) = ---------- !—— (-oo<x<4-oo)兀(1 + 2)kg —’x V > 0例2设随机变量X 的槪率密度为f(x)=' '试确左常数 0, x < 0,k,并求其分布函数F(x)和P{X>0」}・P{X>0.1} = l-P{X <1) = 1-F ⑴二 1_(1_0 心)=严=0.7408.(二〉正态分布(1) 设随机变量X 的概率密度函数为]一(x-呼f(x) = ‘ ] __ e & , Y > < x < -HO ,其中〃,b(b>0)为常数，则称X 为服从参数为“,b 的正态分布，记作X ~N(T)・其图象为(右图)。