自动控制原理 第三章1

回顾与展望
自动控制原理
1 绪论
控制系统发展史、控制方式、基本组成、术语、分类 控制系统基本要求：稳定性、动态性能、稳态误差
2 控制系统的数学模型
控制系统的数学模型建立、传递函数 方框图等效变换、梅森公式
3 时域分析法
4 根轨迹法
控制系统分析方法
5 频率分析法
6 控制系统的校正（设计、补偿与综合）
1
自动控制原理
r(t)＝u(t) 系统的微分方程 c(t)
n
假设特征根（pi）两两互异： c(t) A0 Aie pit i 1 控制系统的时间响应，可以分为动态（瞬态）过程和稳
态过程。和电路系统、电机系统概念一致。
❖ 动态过程：系统在典型信号作用下，输出量从初始状态到接近最终状态的 响应过程。实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，表现为衰减(等幅 振荡、发散属于不稳定)过程。
8
中国矿业大学信电学院
动态性能指标（振荡型）
c(t)
Mp超 调 量
c() 0.9 c()
td
0.5 c()
允许误差 0.02或 0.05
0.1 c()
0 tr
t
tp
ts
单位阶跃响应曲线
自动控制原理
延迟时间 t d ：
响应曲线第一次 达到稳态值的一 半所需的时间。
上升时间 tr :
响应曲线从稳态值 的 10%上升到 90%，所需的时间。
3
中国矿业大学信电学院
第一节 典型输入信号和线性系统的时域性能指标 自动控制原理
输入信号r(t)
系统的微分方程 输出信号c(t)
控制系统的输入信号（如扰动）常常具有随机性而 无法预先确定
为了分析和设计控制系统，必须对各种控制系统性 能进行评判，需要选择若干典型输入信号。
通过对这些系统施加各种典型（试验、测试）信号， 比较它们的响应，能否满足工程实际要求。
t p和％不存在
15
t
中国矿业大学信电学院
三、 一阶系统的单位脉冲响应
自动控制原理
当输入信号为理想单位脉冲函数δ(t)时，R(S)＝1，输
出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即 C(s) 1 TS 1
这时系统的输出称为脉冲响应 c(t) L1[G(s)]
c(t )
其表达式为：
1 T
c(t)
1
t
S1,2 n n 2 1
特征根的性质取决于 的大小
22
中国矿业大学信电学院
Mp超 调 量
c() 0.9 c()
td
0.5 c()
允许误差
时间。用稳态值的 百分数（5% 或2%） ⑤ 超调量 % 指响应的最大偏离量
0.1 c() 0
tr tp
ts
单位阶跃响应曲线
c(tp)于终值之差的 百分比，即
% c(tp ) c() 100%
c()
0.02或 0.05
t
10
中国矿业大学信电学院
1.典型输入信号
室温系统的温度、水位调节系统的高度； 火炮系统的位置和速度； 宇宙飞船的加速度
4
中国矿业大学信电学院
一、 典型输入信号
典型信号选取条件
自动控制原理
(1) 信号（实验室、现场）容易产生 (2) 尽可能接近实际工作时的外加信号 (3) 反映系统最不利的工作(环境)条件
5
中国矿业大学信电学院
1)
n2
S（S
2
）
n
C(s)
设一伺服系统，其框图
如图所示，由图可得该系统的传递函数
标准型
K
(s) C(s) G(s) K R(s) 1 G(s) TS2 S K
T
S2 1 S K
TT
式中
S2
n 2 2 nS
n2
K为开环增益； T为时间常数。
21
中国矿业大学信电学院
一、 二阶系统的数学模型
eT
,
t0
c(t) 1 et /T
T
T
0
T
2T 3T
4T
16
t
中国矿业大学信电学院
4 一阶系统的单位斜坡响应
自动控制原理
当 R(s) 1
S2
C
(
s)
G(s)
R(s)
1 TS
1
1 S2
1 S2
T S
T2 1 TS
对上式求拉氏反变换，得：c(t)
t
T
(1
1t
eT
)
t
T
Te
1t T
因为
1t
e(t) r(t) c(t) T (1 e T )
一、 典型输入信号
自动控制原理
工程上常用的典型测试信号（输入函数）
时域函数： r(t) t 0 复域：F(s)
r(t)图形
单位脉冲 单位阶跃
(t)
u (t )
单位速度 单位加速度 单位正弦
t
1 t2 2
sin t
1
o
t
1
1
S
o
t
1
S2
o
t
1
S3
o
t
s2 2
o
t
6
中国矿业大学信电学院
二、时域性能指标
稳态性能：稳态误差是描述系统稳态性能的指标，是系统 控制精度或抗干扰能力的一种度量。通常在典型输入信号 作用下计算稳态误差。时间趋于无穷时，系统的输出量如 果不等于输入量，则系统存在稳态误差。
ess
lim e(t)
t
动态性能
通常在阶跃函数作用下，研究系统的
动态性能。一般认为阶跃函数输入能够
反映系统最严峻的工作状态。
t
பைடு நூலகம்
0
T
2T 3T 4T 5T
图3－3 指数响应曲线
14
中国矿业大学信电学院
二、 一阶系统的单位阶跃响应
自动控制原理
阶跃输入时的稳态误差为零:
1t
e(t) r(t) c(t) 11 e T
动态性能指标：
ess
lim e(t)
t
0
td 0.69T tr 2.20T
c(t)
ts 3T (5%误差带）
控制系统的动态特性可用系统数学模型描述，一旦得到 系统的数学模型（微分方程），就可以对控制系统进行分 析——求解，从而确定控制系统的性能指标：动态性能、 稳态性能。
时域分析法是一种直接的方法，它可以给出系统精确 的时间响应曲线和性能指标，具有明确物理意义（时间、 空间）。但是，人工求解困难，不利于分析系统结构和参 数变化对系统响应的影响。 用计算机求解（matlab软件 包）就很简单。
中国矿业大学信电学院
第三章线性系统的时域分析法
自动控制原理
第一节 典型输入信号和线性系统的时域性能指标 第二节 一阶系统的时域分析 第三节 二阶系统的时域分析 第四节 高阶系统的时域分析 第五节 线性系统的稳定性分析 第六节 控制系统的稳态误差
2
中国矿业大学信电学院
第三章线性系统的时域分析法
自动控制原理
解：由微分方程得系统的传递函数
C(s) s 1
R(s) Ts 1
在单位阶跃输入下，有 R(s) 1
s
19
中国矿业大学信电学院
自动控制原理
C(s) s 1 1 T Ts 1 s Ts 1
1 T sT
1 s 1
T
c(t)
1
T
t
eT
T
c() 1
当 t td 时
c(td )
0.5
1
T
T
td
eT
T
td T[ln 2 ln( T )]
20
中国矿业大学信电学院
第三节 二阶系统的时域分析
自动控制原理
一个可以用二阶微分方程来描述的系统称为二阶系统。 从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的储能元件，经常用 到的储能元件有电感、电容等。
R(s) +
一、 二阶系统的数学模型
K S (TS
不适用于时变与非线性系统
18
中国矿业大学信电学院
自动控制原理
习题 设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述：
Tc(t) c(t) r(t) r(t)
其中，1 (T ) 0 。试证明系统的动态性能指标为
T
td [0.693 ln( T )]T
ts
[3
ln(T
T
)]T
tr 2.2T
自动控制原理
为了使研究的结果具有普遍意义，可将表示为如下标准形式
(s)
C(s) R(s)
S2
n2 2nS
n2
K
T
S2 1 S K
T
T
n 2
K T
n
K T
n－自然频率（或无阻尼振荡频率）
2n
1 T
1
2 TK
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的闭环特征方程为
S 2 2nS n2 0
特征方程的两个根（闭环极点）
❖ 稳态过程：系统在典型信号作用下，时间t趋于无穷（较大）时，系统的输 出状态。研究系统的稳态特性，以确定输出信号对输入信号跟踪（伺服、 复现）能力。稳态过程又称稳态响应，提供稳态误差信息，用稳态性能 （稳态误差）描述。
7
中国矿业大学信电学院
二、时域性能指标
自动控制原理
稳定是控制系统能够运行（工作）的首要条件，只有动态 过程收敛(响应衰减)，研究动态性能与稳态性能才有意义。
为简单起见，对于震荡型的响应曲线上升 时间可以定义为：响应从零开始第一次上升 到终值到所需的时间。
9
中国矿业大学信电学院
动态性能指标（振荡型）
自动控制原理
峰值时间 t p :响应曲线超过终值到达第一个峰值所需要的时间。
调节时间 ts 响应曲线达到并永远 保持在一个允许误差 范围内，所需的最短
c(t)
17
中国矿业大学信电学院
自动控制原理
表3-2 一阶系统对典型输入信号的响应
输入信号 时域
(t)
u(t)
t
1 t2 2
输入信号 频域
1
1 S
1 S2
1 S3
输出响应
传递函数
1
t
eT
T
t
1e T
(t 0)
t0
t
t T Te T t 0
1
t2
Tt
T
2 (1
t
eT
)
t0
2
1 TS 1
这是线性定常系统的一个重要性质
11
t
中国矿业大学信电学院
动态性能指标（衰减型）
c(t)
自动控制原理
调节时间 ts 上升时间tr
12
t
中国矿业大学信电学院
第二节 一阶系统的时域分析
自动控制原理
R
+
+
r(t)
i(t) C
c(t)
（ a） 电 路 图
R(s)
I(s)
（ b） 方 框 图
R(s)
1
C(s)
Ts
R(s)
C(s)
一、一阶系统的数学模型
r(t) c(t)
所以跟踪单位斜坡信号的稳态误差为
ess
lim e(t) t
T
①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。
r(t) c(t)
②由于系统存在惯性，对应的输出信号在
数值上要滞后于输入信号一个常量T，这 0
t
就是稳态误差产生的原因。
图 3-5 一 阶 系 统 的 斜 坡 响 应
③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统 跟踪斜坡信号的稳态误差。
对上式取拉氏反变换，得
t
c(t) 1 e T
t 0
注解：
t
c(t)
c(t) 1 e T
传递函数的极点产生系
1
1
T
统响应的动态分量。这一
个结论不仅适用于一阶线
0.632
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
性定常系统，而且也适用
于高阶线性定常系统。
斜率为
dc(t) ＝ 1 T dt t0
这种系统等效为一个惯性环节。 下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。
13
中国矿业大学信电学院
二、 一阶系统的单位阶跃响应
自动控制原理
因为单位阶跃函数的拉氏变换为
R(s) 1 S
，则系统的输出由下式可知为
G(s) C(s) 1 R(s) TS 1
C(s) G(s)R(s) 1 1 1 T TS 1 S S TS 1
❖ 用一阶微分方程描述的控制系
统称为一阶系统。图（a）所
C(s)
示的RC电路，其微分方程为
•
T C(t) C(t) r(t)
其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电
路输入电压，T=RC为时间常数。
当初始条件为零时，其传递函数为
G(s) C(s) 1 R(s) TS 1
（ c） 等 效 方 块 图
动态性能指标（振荡型）
自动控制原理
tr 或 t p 评价系统的响应速度； % 评价系统的阻尼程度或振荡最大峰值。
ts 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
c(t)
Mp超 调 量
允许误差
c() 0.9 c()
td
0.5 c()
0.02或 0.05
0.1 c() 0
tr tp
ts
单位阶跃响应曲线