离散数学-命题逻辑等值演算-范式
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23
2.3.1 析取范式与合取范式
简单析取式与简单合取式（续）
性质： (1) 设Ai 是含有n个文字的简单析取式，若Ai 中既含某个命题 变项 pj ，又含它的否定式pj ，由交换律、排中律和零律 可知， Ai 为 重言式 ； (2) 反之，若Ai 为重言式的简单析取式，则它必同时含某个 命题变项及其否定式；（否则，若不同时含某个命题变项 及其否定式，其它文字也都取0，则Ai 的真值为0，矛盾） (3) 设 Ai是含有n个文字的简单合取式，若Ai 中既含某个命题 变项 pj ，又含它的否定式 pj ，由交换律、矛盾律和零律 ； 可知， Ai为 矛盾式 (4) 反之，若 Ai为矛盾式，则它必同时含某个命题变项及其 否定式；（否则，若不同时含某个命题变项及其否定式， 24 其它文字也都取1，则Ai 的真值为1，矛盾）
15
非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的
2.2.2 联结词完备集
真值函数
定义2.12 称F:{0,1}n{0,1}为n元真值函数 n元真值函数共有 个
每一个命题公式对应于一个真值函数 每一个真值函数对应无穷多个命题公式 1元真值函数 p 0 1
F0( 1 ) 0
0
F1( 1 ) 0
6
2.2.1 等值式与等值演算
基本等值式(续)
零律 同一律 排中律 矛盾律 蕴涵等值式 等价等值式 假言易位 等价否定等值式 归谬论 A11, AA1 AA0 ABAB AB(AB)(BA) ABBA ABAB (AB)(AB) A
0 0 0 1
F9( 2 )
0 0 1 0
( 2) F10
0 0 1 1
( 2) F11
0 1 0 0
( 2) F12
0 1 0 1
( 2) F13
0 1 1 0
( 2) F14
0 1 1 1
( 2) F15
p q
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
等值演算不能直接证明两个公式不等值. 证明两个公式不 等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真, 另一个成假. 例5 证明: p(qr) (pq) r
方法一 真值表法（见例2） 方法二 观察法. 容易看出000使左Baidu Nhomakorabea成真, 使右边成假. 方法三 先用等值演算化简公式, 再观察.
12
2.2.1 等值式与等值演算
(2) (pq)(qp) 解 (pq)(qp) (pq)(qp) （蕴涵等值式） (pq)(pq) （交换律） 1 该式为重言式.
14
2.2.1 等值式与等值演算
实例(续)
(3) ((pq)(pq))r) 解 ((pq)(pq))r) （分配律） （排中律） （同一律） (p(qq))r p1r pr 成假赋值. 总结: A为矛盾式当且仅当 A0 ; A为重言式当且仅当 A1 说明: 演算步骤不唯一,应尽量使演算短些
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2.2.1 等值式与等值演算
等值演算
等值演算: 由已知的等值式推演出新的等值式的过程 置换规则:设(A)是含公式A的命题公式， (B)是用公式 B 置换了 (A)中所有的 A 后得到的命题公式，若 BA, 则(B)(A) 例 在公式 (pq)r中，可用 pq 置换其中的 pq， 由蕴涵等值式可知， pq pq，所以 (pq)r (pq) r
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A00
A0A, A1A
2.2.1 等值式与等值演算
以上A, B, C可以是任意的公式，称为等值式模式 例 取 在蕴涵等值式：A→B⇔ A∨B中，取A=p，B=q， 得等值式 → ⇔ ∨ ∨ ∨ ， ∨ ∨ → ∧ ∧ ，得等值式 ⇔ ∨ ∨ ∨ ∧
这些具体的等值式被称为原来的等值式模式的代入实例. 由已知的等值式可以推演出更多的等值式 ！
21
2.3 范式
• 2.3.1 析取范式与合取范式
– 简单析取式与简单合取式 – 析取范式与合取范式
• 2.3.2 主析取范式与主合取范式
– 极小项与极大项 – 主析取范式与主合取范式 – 主范式的用途
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2.3.1 析取范式与合取范式
简单析取式与简单合取式
文字: 命题变项及其否定的统称 简单析取式: 有限个文字构成的析取式 如：1个文字： p, q, 2个文字：pq, 3个文字：pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如：1个文字： p, q, 2个文字：pq, 3个文字：pqr, …
1
F2( 1 ) 1
0
F3( 1 ) 1
1
16
2.2.2 联结词完备集
2元真值函数 p q 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
F0( 2 ) F1( 2 ) F2( 2 ) F3( 2 ) F4( 2 ) F5( 2 ) F6( 2 ) F7( 2 )
0 0 0 0
F8( 2 )
18
2.2.2 联结词完备集
联结词完备集（续）
说明： (1) 不是所有联结词集都可以是完备集. 如 {, , , } ， 因为矛盾式不能由这4个联结词表示. (2) 设S1和 S2是两个不同的联结词完备集，用S1中联结词 构成任何公式，可等值的转化为用 S2中联结词构成的 公式，反之亦然. 从而可根据需要构造最简单的联结词 完备集.
结论: (pq) (pq)
4
2.2.1 等值式与等值演算
真值表法(续)
例2 判断下述3个公式之间的等值关系: p(qr), (pq)r, (pq)r 解 p q r p(qr) (pq)r 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 (pq)r 1 1 1 1 1 1 0 1
离散数学（第3版） 屈婉玲 耿素云 张立昂 编著 清华大学出版社出版
2.2 命题逻辑等值演算
上海大学 谢江
1
离散数学（第3版） 屈婉玲 耿素云 张立昂 编著 清华大学出版社出版
2.2 命题逻辑等值演算
• 2.2.1 等值式与等值演算
– 等值式与基本等值式 – 真值表法与等值演算法
• 2.2.2 联结词完备集
– 真值函数 – 联结词完备集 – 与非联结词, 或非联结词
2
2.2.1 等值式与等值演算
等值式
定义2.11 若等价式AB是重言式, 则称A与B等值, 记作 AB, 并称AB是等值式 说明: (1) 是元语言符号, 不是联结词，不要混同于和= (2) A与B等值当且仅当A与B在所有可能赋值下的真值都相 同, 即A与B有相同的真值表 (3) n个命题变项的真值表共有 个, 每个命题公式都有无 穷多个等值的命题公式 (4) 可能有哑元出现. 在B中出现, 但不在A中出现的命题变 项称作A的哑元. 同样,在A中出现, 但不在B中出现的命题变 项称作B的哑元. 哑元的值不影响命题公式的真值. 3
25
2.3.1 析取范式与合取范式
析取范式与合取范式
析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式 A1A2Ar, 其中A1,A2,,Ar是简单合取式 合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式 A1A2Ar , 其中A1,A2,,Ar是简单析取式 范式:析取范式与合取范式的统称 例 设 Ai为简单合取式， A1= pq ， A2= qr ， A3=r， 则 A= A1 ∨A2∨ A3= (pq)∨ (qr)∨ r 为析取范式； 类似地， A1= p∨q ， A2= q∨r ， A3=r ，则 A= A1 A2 A3= (p∨q)∧ (q∨r) ∧ r 为合取范式 例 pqr ：简单合取式 由3个简单析取式构成 是合取范式？ 26 一个简单合取式构成 是析取范式？
pq为真当且仅当 pq为真当且仅当
p, q不同时为真 p, q同时为假
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2.2.2 联结词完备集
复合联结词
定理2.2 {},{}都是联结词完备集 证：已知{, , }是完备集，因而只需证明其中的每个 联结词都可以由 {}定义即可. p (pp) pp pq (pq) (pq) (pq)(pq) p∨q ⇔ ( p∨q )⇔ ( p∧ q) ⇔ p↑ q⇔(p↑p)↑(q↑q) 得证{}是联结词完备集. 对于{}可类似证明. 练习：分别用{},{}表示 p→q ?
1 1 1 1
17
2.2.2 联结词完备集
联结词完备集
定义2.13 设S是一个联结词集合, 如果任何n(n1) 元真值 函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示,则称S是 联结词完备集 定理2.1 下述联结词集合都是完备集: (1) S1={, , , , } (2) S2={, , , } AB (AB)(BA) (3) S3={, , } A B A B (4) S4={, } AB (AB) (AB) (5) S5={, } AB (AB) AB (A)B AB (6) S6={, }
9
2.2.1 等值式与等值演算
等值演算（续）
例3 用等值演算法证等值式： (p∨q)r (pr)∧(q→r) 证 (p∨q)r (pq)r (p∧q)r (p r)(q→r （蕴涵等值式） （德摩根律） （蕴涵等值式）
(pr)( q∨r （分配律）
10
2.2.1 等值式与等值演算
等值演算（续）
例4 证明 p(qr) (pq)r 证 p(qr) p(qr) (pq)r (pq)r (pq) r （蕴涵等值式） （结合律） （德摩根律） （蕴涵等值式）
11
2.2.1 等值式与等值演算
实例
19
2.2.2 联结词完备集
复合联结词
定义 设 p, q 为两个命题，复合命题“ p 与 q 的否定式” （“ p 或 q 的否定式” ）称作 p ， q 的与非式（或非 式），记作: pq (pq).. 与非式: pq(pq), 称作与非联结词 或非式: pq(pq), 称作或非联结词
2.3.1 析取范式与合取范式
简单析取式与简单合取式（续）
定理2.3 (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含 某个命题变项和它的否定 (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命 题变项和它的否定式 注：(1) 当A是由n个文字构成的简单析取式 a. 若A成真当且仅当 n个文字中 至少一个文字为真 。 * 全部为假 b. 若A成假当且仅当 n个文字 (2) 当A是由n个文字构成的简单合取式 * a. 若A成真当且仅当 n个文字全部为真 b. 若A成假当且仅当 n个文字中至少一个文字为假 。
实例
例6 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) 解 q(pq) q(pq) （蕴涵等值式） q(pq) p(qq) p0 0 该式为矛盾式.
13
（德摩根律） （交换律，结合律） （矛盾律） （零律）
2.2.1 等值式与等值演算
实例(续)
2.2.1 等值式与等值演算
真值表法
例1 判断 (pq) 与 pq 是否等值 解 p q 0 0 0 1 1 0 1 1 p q 1 1 0 0 1 0 1 0 pq (pq) pq (pq)(pq) 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
5
结论： p(qr)与(pq)r等值, 但与(pq)r不等值
2.2.1 等值式与等值演算
基本等值式
双重否定律 幂等律 交换律 结合律 分配律 德摩根律 吸收律 AA A A A, A A A A B B A, A B B A (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC) (AB)AB (AB)AB A(AB)A, A(AB)A
2.3.1 析取范式与合取范式
简单析取式与简单合取式（续）
性质： (1) 设Ai 是含有n个文字的简单析取式，若Ai 中既含某个命题 变项 pj ，又含它的否定式pj ，由交换律、排中律和零律 可知， Ai 为 重言式 ； (2) 反之，若Ai 为重言式的简单析取式，则它必同时含某个 命题变项及其否定式；（否则，若不同时含某个命题变项 及其否定式，其它文字也都取0，则Ai 的真值为0，矛盾） (3) 设 Ai是含有n个文字的简单合取式，若Ai 中既含某个命题 变项 pj ，又含它的否定式 pj ，由交换律、矛盾律和零律 ； 可知， Ai为 矛盾式 (4) 反之，若 Ai为矛盾式，则它必同时含某个命题变项及其 否定式；（否则，若不同时含某个命题变项及其否定式， 24 其它文字也都取1，则Ai 的真值为1，矛盾）
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非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的
2.2.2 联结词完备集
真值函数
定义2.12 称F:{0,1}n{0,1}为n元真值函数 n元真值函数共有 个
每一个命题公式对应于一个真值函数 每一个真值函数对应无穷多个命题公式 1元真值函数 p 0 1
F0( 1 ) 0
0
F1( 1 ) 0
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2.2.1 等值式与等值演算
基本等值式(续)
零律 同一律 排中律 矛盾律 蕴涵等值式 等价等值式 假言易位 等价否定等值式 归谬论 A11, AA1 AA0 ABAB AB(AB)(BA) ABBA ABAB (AB)(AB) A
0 0 0 1
F9( 2 )
0 0 1 0
( 2) F10
0 0 1 1
( 2) F11
0 1 0 0
( 2) F12
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( 2) F13
0 1 1 0
( 2) F14
0 1 1 1
( 2) F15
p q
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
等值演算不能直接证明两个公式不等值. 证明两个公式不 等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真, 另一个成假. 例5 证明: p(qr) (pq) r
方法一 真值表法（见例2） 方法二 观察法. 容易看出000使左Baidu Nhomakorabea成真, 使右边成假. 方法三 先用等值演算化简公式, 再观察.
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2.2.1 等值式与等值演算
(2) (pq)(qp) 解 (pq)(qp) (pq)(qp) （蕴涵等值式） (pq)(pq) （交换律） 1 该式为重言式.
14
2.2.1 等值式与等值演算
实例(续)
(3) ((pq)(pq))r) 解 ((pq)(pq))r) （分配律） （排中律） （同一律） (p(qq))r p1r pr 成假赋值. 总结: A为矛盾式当且仅当 A0 ; A为重言式当且仅当 A1 说明: 演算步骤不唯一,应尽量使演算短些
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2.2.1 等值式与等值演算
等值演算
等值演算: 由已知的等值式推演出新的等值式的过程 置换规则:设(A)是含公式A的命题公式， (B)是用公式 B 置换了 (A)中所有的 A 后得到的命题公式，若 BA, 则(B)(A) 例 在公式 (pq)r中，可用 pq 置换其中的 pq， 由蕴涵等值式可知， pq pq，所以 (pq)r (pq) r
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A00
A0A, A1A
2.2.1 等值式与等值演算
以上A, B, C可以是任意的公式，称为等值式模式 例 取 在蕴涵等值式：A→B⇔ A∨B中，取A=p，B=q， 得等值式 → ⇔ ∨ ∨ ∨ ， ∨ ∨ → ∧ ∧ ，得等值式 ⇔ ∨ ∨ ∨ ∧
这些具体的等值式被称为原来的等值式模式的代入实例. 由已知的等值式可以推演出更多的等值式 ！
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2.3 范式
• 2.3.1 析取范式与合取范式
– 简单析取式与简单合取式 – 析取范式与合取范式
• 2.3.2 主析取范式与主合取范式
– 极小项与极大项 – 主析取范式与主合取范式 – 主范式的用途
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2.3.1 析取范式与合取范式
简单析取式与简单合取式
文字: 命题变项及其否定的统称 简单析取式: 有限个文字构成的析取式 如：1个文字： p, q, 2个文字：pq, 3个文字：pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如：1个文字： p, q, 2个文字：pq, 3个文字：pqr, …
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F2( 1 ) 1
0
F3( 1 ) 1
1
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2.2.2 联结词完备集
2元真值函数 p q 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
F0( 2 ) F1( 2 ) F2( 2 ) F3( 2 ) F4( 2 ) F5( 2 ) F6( 2 ) F7( 2 )
0 0 0 0
F8( 2 )
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2.2.2 联结词完备集
联结词完备集（续）
说明： (1) 不是所有联结词集都可以是完备集. 如 {, , , } ， 因为矛盾式不能由这4个联结词表示. (2) 设S1和 S2是两个不同的联结词完备集，用S1中联结词 构成任何公式，可等值的转化为用 S2中联结词构成的 公式，反之亦然. 从而可根据需要构造最简单的联结词 完备集.
结论: (pq) (pq)
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2.2.1 等值式与等值演算
真值表法(续)
例2 判断下述3个公式之间的等值关系: p(qr), (pq)r, (pq)r 解 p q r p(qr) (pq)r 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 (pq)r 1 1 1 1 1 1 0 1
离散数学（第3版） 屈婉玲 耿素云 张立昂 编著 清华大学出版社出版
2.2 命题逻辑等值演算
上海大学 谢江
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离散数学（第3版） 屈婉玲 耿素云 张立昂 编著 清华大学出版社出版
2.2 命题逻辑等值演算
• 2.2.1 等值式与等值演算
– 等值式与基本等值式 – 真值表法与等值演算法
• 2.2.2 联结词完备集
– 真值函数 – 联结词完备集 – 与非联结词, 或非联结词
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2.2.1 等值式与等值演算
等值式
定义2.11 若等价式AB是重言式, 则称A与B等值, 记作 AB, 并称AB是等值式 说明: (1) 是元语言符号, 不是联结词，不要混同于和= (2) A与B等值当且仅当A与B在所有可能赋值下的真值都相 同, 即A与B有相同的真值表 (3) n个命题变项的真值表共有 个, 每个命题公式都有无 穷多个等值的命题公式 (4) 可能有哑元出现. 在B中出现, 但不在A中出现的命题变 项称作A的哑元. 同样,在A中出现, 但不在B中出现的命题变 项称作B的哑元. 哑元的值不影响命题公式的真值. 3
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2.3.1 析取范式与合取范式
析取范式与合取范式
析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式 A1A2Ar, 其中A1,A2,,Ar是简单合取式 合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式 A1A2Ar , 其中A1,A2,,Ar是简单析取式 范式:析取范式与合取范式的统称 例 设 Ai为简单合取式， A1= pq ， A2= qr ， A3=r， 则 A= A1 ∨A2∨ A3= (pq)∨ (qr)∨ r 为析取范式； 类似地， A1= p∨q ， A2= q∨r ， A3=r ，则 A= A1 A2 A3= (p∨q)∧ (q∨r) ∧ r 为合取范式 例 pqr ：简单合取式 由3个简单析取式构成 是合取范式？ 26 一个简单合取式构成 是析取范式？
pq为真当且仅当 pq为真当且仅当
p, q不同时为真 p, q同时为假
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2.2.2 联结词完备集
复合联结词
定理2.2 {},{}都是联结词完备集 证：已知{, , }是完备集，因而只需证明其中的每个 联结词都可以由 {}定义即可. p (pp) pp pq (pq) (pq) (pq)(pq) p∨q ⇔ ( p∨q )⇔ ( p∧ q) ⇔ p↑ q⇔(p↑p)↑(q↑q) 得证{}是联结词完备集. 对于{}可类似证明. 练习：分别用{},{}表示 p→q ?
1 1 1 1
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2.2.2 联结词完备集
联结词完备集
定义2.13 设S是一个联结词集合, 如果任何n(n1) 元真值 函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示,则称S是 联结词完备集 定理2.1 下述联结词集合都是完备集: (1) S1={, , , , } (2) S2={, , , } AB (AB)(BA) (3) S3={, , } A B A B (4) S4={, } AB (AB) (AB) (5) S5={, } AB (AB) AB (A)B AB (6) S6={, }
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2.2.1 等值式与等值演算
等值演算（续）
例3 用等值演算法证等值式： (p∨q)r (pr)∧(q→r) 证 (p∨q)r (pq)r (p∧q)r (p r)(q→r （蕴涵等值式） （德摩根律） （蕴涵等值式）
(pr)( q∨r （分配律）
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2.2.1 等值式与等值演算
等值演算（续）
例4 证明 p(qr) (pq)r 证 p(qr) p(qr) (pq)r (pq)r (pq) r （蕴涵等值式） （结合律） （德摩根律） （蕴涵等值式）
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2.2.1 等值式与等值演算
实例
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2.2.2 联结词完备集
复合联结词
定义 设 p, q 为两个命题，复合命题“ p 与 q 的否定式” （“ p 或 q 的否定式” ）称作 p ， q 的与非式（或非 式），记作: pq (pq).. 与非式: pq(pq), 称作与非联结词 或非式: pq(pq), 称作或非联结词
2.3.1 析取范式与合取范式
简单析取式与简单合取式（续）
定理2.3 (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含 某个命题变项和它的否定 (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命 题变项和它的否定式 注：(1) 当A是由n个文字构成的简单析取式 a. 若A成真当且仅当 n个文字中 至少一个文字为真 。 * 全部为假 b. 若A成假当且仅当 n个文字 (2) 当A是由n个文字构成的简单合取式 * a. 若A成真当且仅当 n个文字全部为真 b. 若A成假当且仅当 n个文字中至少一个文字为假 。
实例
例6 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) 解 q(pq) q(pq) （蕴涵等值式） q(pq) p(qq) p0 0 该式为矛盾式.
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（德摩根律） （交换律，结合律） （矛盾律） （零律）
2.2.1 等值式与等值演算
实例(续)
2.2.1 等值式与等值演算
真值表法
例1 判断 (pq) 与 pq 是否等值 解 p q 0 0 0 1 1 0 1 1 p q 1 1 0 0 1 0 1 0 pq (pq) pq (pq)(pq) 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
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结论： p(qr)与(pq)r等值, 但与(pq)r不等值
2.2.1 等值式与等值演算
基本等值式
双重否定律 幂等律 交换律 结合律 分配律 德摩根律 吸收律 AA A A A, A A A A B B A, A B B A (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC) (AB)AB (AB)AB A(AB)A, A(AB)A