线代第五章

y3
x2 3 x3 x3
即
xx21
y1
y2 y2
1/ 3y3 2 / 3y3
x3
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y3
所采用的可逆线性变换写成矩阵形式为
x1 1 1 1/ 3 y1 x2 0 1 2 / 3 y2 x3 0 0 1 y3
5.1.2 合同矩阵 f xT Ax x Py(P 1)
x Py
f xT Ax yTBy
f (Py)T A(Py) yT (PT AP) y
B PT AP
Def 5.2 设A和B是n阶方阵, 若存在可逆 矩阵P, 使得B = PTAP, 则称A与B合同 (contractible), 可记为AB.
5.2 用配方法求二次型的标准 型
配方法就是将二次多项式配成完全平方 的方法,这种方法在中学数学大量使用过, 需要记住
x1 x2 xn 2 ?
x1 x2 xn 2
x12 x22 x22 2x1x2 2x1x3 2x1xn
2x2x3 2x2x4 2x2xn
2xn1xn 下面通过例子说明, 如何用配方法得出
第5章 二次型
在18世纪中叶利用行列式对二次曲线和二次曲面进行 分类时, 就在讨论一些特殊的二次型, 见本章第4节的 主轴定理.(线性代数知识用于解析几何研究的例子.)
线性函数是线性空间之间的保持线性运算的一种映射, 而二次型是线性空间上的一种特殊的双线性函数. 因 此, 二次型也是线性代数内容之一.
其中aij = aji, i, j = 1, 2, …, n. f xT Ax
矩阵A称为二次型f的矩阵,矩阵A的秩称 为是二次型f的秩.
显然,一个二次型f是由其对应的实对称 矩阵A唯一确定的.
之所以说f = xTAx是双线性函数,是因为
对于任意的n维向量和, f = TAx和f = xTA均是向量空间Rn到向量空间R的线
对于二次型, 主要讨论其标准化的问题, 这与方阵的对 角化又是密切相关的. 二次型在几何曲线和曲面分类 以及多元函数极值等问题中有具体的应用.
5.1 二次型的有关概念
5.1.1 二次型的定义和矩阵 ax2 bxy cy2 1
ax2 bxy cxz dy2 eyz fz2 1 式(5.1)和(5.2)的左边是一个二次齐次函
对于任意的二次型f = xTAx, 主要关心的 是二次型的标准化问题：找出一个可逆 的线性变换x = Py，将其化成只含有平 方项的标准二次型
f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称式(5.7)为二次型f = xTAx的标准形.
二次型f = xTAx的规范形.
很容易将二次型的标准形进一步化成规 范形. 因此，我们主要考虑如何将二次 型的标准化的问题.
根据定义知, 一个二次型的矩阵与在可 逆线性变换下得到的二次型的矩阵是合 同的.
注意 A与B合同和A与B相似是两个不 同的概念.
5.1.3二次型的标准形
称只含有平方项(即不含交叉项)的二次 型为标准二次型(standard quadratic form).
系数为0, 1或-1的标准二次型称为规范 二次型(normal quadratic form).
数,它就是二次型的特例. 对于二次型,其标准形式问题在许多理论
和实际问题中多会出现.
Def 5.1 含n个变量的二次齐次函数 f (x1, x2,, xn ) a11x12 2a12x1x2 2a13x1x3 2a1n x1xn a22x22 2a23x2 x3 2a2n x2 xn ann xn2
性函数.
当给定了二次型f时, 要求能准确写出其 对应的实对称矩阵A：A中对角线上的 元素a11, a22, …, ann依次为 x12 , x22 ,, xn2 的系数；对于i j, aij = aji为xixj的系数的 一半, i, j = 1, 2, …, n.
例5.1 设二次型 f 2x12 5x22 6x2 x3 x1x3
称为关于的n元二次型(quadratic form with n variables),记为f.
实二次型.
在两个不同变量乘积xixj的系数前面出现 2aij(i j),是因为可以方便地将2aij xixj写 成aij xixj +aji xjxi形式,其中aij = aji,这时 f a11x12 a12x1x2 a13x1x3 a1n x1xn a21x2 x1 a22x22 a23x2 x3 a2n x2 xn
写出其矩阵形式. Solution 令
2 0 1/ 2
x1
A 0 5 3 , x x2
1/ 2 3 0
x3
f xT Ax
Remark
f
x
T
1 0
1 2
x
x12
x1x2
2x22
A 1/12
1/ 2 2
我们定义的实二次型的矩阵必须是实对 称矩阵. 这样做的目的是为了借助于实 对称矩阵更方便地讨论二次型.
an1xn x1 an2 xn x2 an3xn x3 annxn2
采用求和“∑”符号，可将f记为
n
nn
f aijxi x j f
aij xi x j
i, j1
i1 j1
令
a11
A
a21
an1
a12 a22
an2
a1n a2n , ann
x1
x
x2
xn
二次型的标准形.
例5.2 用配方法求二次型 f 2x12 5x22 5x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3
的标准形,并写出相应的可逆线性变换. Solution 首先将含有x1的项归并后配方,
得
f (2x12 4x1x2 4x1x3) 5x22 5x32 8x2x3
2(x1 x2 x3)2 2(x22 x32 2x2 x3) 5x22 5x32 8x2 x3
再对x2进行配方,得
f
2(x1 x2
x3 )2
3
x22
4 3
x2
x3
3x32
令
2( x1
x2
x3 )2
3
x2
2 3
x3
2
5 3
x32
y1 x1 x2 x3
2
y2