晶格振动 (4.热学性质)
晶格振动与晶体的热学性质
q1
2 1
2a
q2
2 2
5
2a
q2
q1
2
a
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
12
n
N N+2 N+n
N n
n
Aeit N naq Aeitnaq
eiNaq 1 ei2h 1
q 2 h
Na
h =整数
在q轴上，每一个q的取值所占的空间为 2
Na
q的分布密度：
q Na L
q0时
2
M
Mm
m
1
1
4
M
Mm m
2
sin
2
1 2
aq
M
m
1
Mm
1
4Mm
M m2
1 2
aq2
2
M
Mm
m
2Mm
M m2
1 2
aq
2
2
M m
1 2
aq
2
1 2
a
2 q q
M m
这与连续介质的弹性波 ＝vq 一致
当q0时
n n
q0
1
在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振
M 2 m2 2Mm cosaq
i 1 aq
M
2
2m
cos
1 2
aq
e
2
m2 2Mm cosaq
M
m
Rei
1 aq
2
即：
2 2
－在Ⅰ、Ⅳ象限，属于同位相型
物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞 基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原 子基本上无相对振动。
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
晶格振动及热学性质
玻色-爱因斯坦分布!
声学声子
固体热容
电子运动 晶格振动
杜隆—帕替定律：
杜隆—帕替定律的物理依据 是经典的能量均分原理。
实验证明，固体的摩尔热 容并非是常数，而是随着 温度的降低要下降而明显 低于杜隆—帕替值3R。当 温度趋于绝对零度时固体 的摩尔热容也要趋于零。
在高温下，爱因斯坦近似过渡到经典的杜隆—帕替定律。
格波量子---声 子 （phonon） 实际三维晶体中有3nN个振动模式，每一个模式都 有各自的振幅和位相。对于某个具体原子而言，实际 振动情况是许多模式引起的振动的叠加，可见是极为 复杂的。但在简谐近似下可以将这幅极为复杂的图画 简化成一系列独立的谐振子的运动。
Crystal momentum
计算值比实验值略低
截止频率
D
0
3V d 3N 2 3 2 c
2
讨论：
单原子晶体
1、高温时，德拜模型过渡到经典的杜隆—帕替定律。
2、
3、爱因斯坦模型能近似地描述光频支的贡献，而德拜 模型则能较好地描述声频支的贡献。
作业：第348页，3-2，3-3，3-5，3-6。
系统处于激发态时
集体运动的能量激发单元—元激发 （准粒子）
粒子与晶格相互作用时
k k0 ( q K n ) E (k ) E (k0 ) q
Pe
n nP(n)
P( E ) Ae E / kT ; E n 归一化，A ( e E / kT ) 1
第三章 晶格振动和晶体的热学性质
晶体中的所有原子在平衡位置附近做振动，形成了多种模式的波。 -------晶格振动；格波 晶体中的原子振动称作晶格振动，相应的机械波称为格波 简谐近似和简正坐标
固体物理学：第四章 晶格振动与晶体的热学性质1
第四章晶格振动4.1 晶格振动的经典理论4.2 晶格振动的量子化－声子4.3 固体热容的量子理论4.4 非简谐效应：晶体的热膨胀和热传导4.5晶格振动的实验研究原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。
只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。
如：固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。
•19 世纪初人们就通过Dulong-Petit 定律：认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现；1907年，Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什么会随温度降低而下降的现象；1912年玻恩(Born，1954年Nobel物理学奖获得者)和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使用了周期性边界条件；Debye热容理论1935年Blakman才重新利用Born和Von-Karman近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论；1954年黄昆和Born共同写作的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作4.1 晶格振动的经典理论一. 一维单原子链的振动运动方程：考虑N个质量为m 的同种原子组成的一维单原子链的。
设平衡时相邻原子间距为a（即原胞大小），在t 时刻第n 个原子偏离其平衡位置的位移为µn设在平衡时，两原子的相互作用势为V(a)，产生相对位移（例如）后势能发生变化是V(a+δ) ，将它在平衡位置附近做泰勒展开：首项是常数，可取为能量零点，由于平衡时势能取极小值，第二项为零，简谐近似下，我们只取到第三项，即势能展开式中的二阶项（δ2项），而忽略三阶及三阶以上的项，显然，这只适用于微振动，即δ值很小的情况。
此时，恢复力：如只考虑最近邻原子间的相互作用，第n 个原子受到的力：于是第n个原子的运动方程可写为：一维原子链上的每个原子，忽略边界原子的区别，应有同样的方程，所以它是和原子数目相同的N个联立的线性齐次方程。
第三章晶格振动与晶体的热学性质
第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。
晶格振动对晶体的电学、光学、磁学、介电性质、结构相变和超导电性都有重要的作用。
本章的主题用最邻近原子间简谐力模型来讨论劲歌振动的本征频率；并用格波来描述晶体原子的集体运动；再用量子理论来表述格波相应的能量量子、3.1 连续介质中的波波动方程22220u ux Y tρ??-=??对足够长的介质，求行波的解：s v q ω=其中波相速ω=称作色散关系。
3.2 一维晶格振动格波讨论晶格振动时采用了绝热近似，近邻近似和简谐近似。
绝热近似：考虑离子运动时，可以近似认为电子很快适应离子的位置变化。
为简单化，可以将离子的运动看成是近似成中性原子的运动。
近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用；简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项。
0020021()()()()......2r r dU d U U r U r dr dr δ+=+++简谐近似——振动很微弱，势能展式中作二级近似：00'''001()()||2r r U r U r U U δ+=++相邻原子间的作用力02222,r Ud U d U f dr dr δβδβδ=-=-=-= ? ??????一维晶格振动格波考虑第n 个例子的受力情况，它只受最近邻粒子的相互作用即分别受到来自第n-1个粒子及第n+1个例子的弹性力11()n n n f u u β--=-- 11()n n n f u u β++=--1111(2)n n n n n n f f f u u u β-++-=-=--- 2112(2)n n n n d uf ma m u u u dtβ+-===---试探解以行波作试探解()i t naq nq u Ae ω-=2()()(2)i t naq i t naq iaq iaq m e e e e ωωωβ----=---利用：222cos()24sin (/2)iaq iaq e e qa qa -+-=-=得224sin (/2)qa m βω=，/2)qa ω=色散关系 s i n (/2)qa ω=长波极限因为色散曲线是周期的且关于原点对称，在0/q a π<<的区间内，频率仅覆盖在0m ωω<<的范围内。
晶格振动与晶体的热学性质
格波： 连续介质弹性波：
Ae
i t naq
i t xq
Ae
将 µ nq
Ae i t qna
i t naq
代入运动方程得
m 2 Ae
Ae
m 2 eiaq eiaq 2 2 cos aq 1
解 得
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内 原子之间存在相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶 体中形成各种模式的波，称为格波。只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是 简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，在简谐近似下，振动模式才是独立的。由于晶体的平 移对称性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。通常用一系列独立的简谐振子 来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。
nj Aje
i jt naqj
频率为 j 的特解：
方程的一般解：
n
线性变换系数正交条件： 系统的总机械能化为：
Ae
j j
i jt naqj
Q q, t einaq Nm
q
1
1 N
＝N＝晶体链的原胞数 晶格振动格波的总数=N· 1 =晶体链的自由度数 三、格波的简谐性、声子概念
1 2 n m 2 n 2 1 U n 晶体链的势能： n 1 2 n
晶体链的动能：T
系 统 的总 机械 能 即 体系的哈密顿量为：
H
：
2 1 1 2 n m n n 1 2 n 2 n
1 d2V dV V a V a 2 2 d x a d x
晶格振动与晶体的热学性质
系统的哈密顿量
正则方程
p&i
H Qi
正则动量
pi
L Qi
Qi
Q&&i i2Qi 0, i 1, 2, 3,L 3N —— 3N个独立无关的方程
简正坐标方程解 Qi Asin(it )
简正振动 —— 所有原子参与的振动，振动频率相同 振动模 —— 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波 —— 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密
顿量之和 —— 这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的 —— 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的
振 动模式 —— 这些谐振子的能量量子，称为声子 —— 晶格振动的总体可看作是声子的系综
摩尔热容量 CV 3Nk 3R —— 与温度无关
—— 杜隆－珀替经验规律
—— 实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降 晶格振动 —— 研究固体宏观性质和微观过程的重要基础 晶格振动 —— 晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超
导电性、磁性、结构相变有密切关系
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
只考察某一个振动模
系统能量本征值计算
i
aij mi
Qj
aij mi
Asin( jt )
正则动量算符
系统薛定谔方程
(1
2
3N i1
pi2
1 2
3N
i2Qi2 ) (Q1,
i1
Q3N )
E (Q1,
Q3N )
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
固体物理总结晶格振动与晶体的热学性质完全版
固体物理总结晶格振动与晶体的热学性质完全版第四章总结第四章要求1、掌握⼀维单原⼦链振动的格波解及⾊散关系的求解过程以及格波解的物理意义；2、掌握⼀维双原⼦链振动的⾊散关系的求解过程，清楚声学波与光学波的定义以及它们的物理本质；3、了解三维晶格的振动；4、掌握离⼦晶体长光学波近似的宏观运动⽅程的建⽴过程及系数的确定，清楚LST关系及离⼦晶体的光学性质；5、了解局域振动的概念；6、掌握晶格热容的量⼦理论；熟悉晶格振动模式密度；7、掌握⾮谐效应的概念以及它在热膨胀和热传导中的作⽤。
⼀维晶格的振动和三维晶格的振动晶格振动的简谐近似和简正坐标状态及能量确定晶格振动谱的实验⽅法离⼦晶体的长波近似热容晶格振动的爱因斯坦模型热容量德拜模型晶格状态⽅程⾮简谐效应热膨胀1、⼀维单晶格的振动⼀维单原⼦链格波：晶格振动是晶体中诸原⼦（离⼦）集体地在作振动，由于晶体内原⼦间有相互作⽤，存在相互联系，各个原⼦的振动间都存在着固定的位相关系，从⽽形成各种模式的波，即各晶格原⼦在平衡位臵附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。
相邻原⼦之间的相互作⽤βδδ-≈-=d dv Fa d vd ???? ?=22δβ表明存在于相邻原⼦之间的弹性恢复⼒是正⽐于相对位移的第n 个原⼦的运动⽅程)2(11n n n n m µµµβµ-+=-+?)(naq t i nq Ae-=ωµ⾊散关系：把ω与q 之间的关系称为⾊散关系，也称为振动频谱或振动谱。
)21(sin 4]cos 1[222aq maq mββω=-=其中波数为λπ/2=q ，ω是圆频率，λ是波长有位相差。
相邻原⼦之间的位相差为aq 。
（2）q 的取值范围【－(π/a)""这个范围以外的值，不能提供其它不同的波。
q 的取值及范围常称为布⾥渊区。
前⾯所考虑的运动⽅程实际上只适⽤于⽆穷长的链，⽽两端原⼦的运动⽅程与中间的不同，因此有了玻恩-卡曼提出的环状链模型。
第三章_晶格振动与热学性质
fn ＝fnR － fnL ＝ (un+1－un) － (un－un-1)
＝ (un+1＋un-1－2un)
n-1 n n+1 n-1 n n+1 fnL fnR un-1 un un+1
10
第n个原子在平衡位置的运动方程为：
d un m 2 ( un 1 un 1 2un ) dt
得到：
M 2 A 1( B A ) ( A Be
)
m 2 B 2 ( Aeiqa B) 1 ( B A)
整理，得：
(1 2 M 2 ) A (1 2e iqa ) B 0 (1 2e ) A (1 2 m ) B 0
a 一维单原子链
6
在t时刻，第n个原子偏离平衡位置的位移为un
n-2 n-1 n n+1 n+2
a
un-2
un-1
un
r un+1
un+2
一维简单晶格振动
r － a = un+1 －un的意义 表示相邻格点的相对位移： > 0：伸长；< 0：缩短
r = un+1 + a －un
7
序号n和n+1的两个原子在t时刻的距离为：
e
iqNa
un Ae
i ( qnat )
1
a
q
2l q Na
a
l 是整数
N N l 2 2
允许的波矢数目等于N （原胞数）
21
二、一维复式格子
一维复式格子的格波解：
力常数 晶格常数
第三章晶格振动和晶体的热学性质在...
晶格振动和晶体的热学性质
在前面的讨论中，我们都把组成晶体的原子看成是固定在平衡位置上不动，实际晶 体中的粒子并非如此，而是会在平衡位置附近作微小的振动。由于晶体内原子间存在着 相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波。 因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统。这个系统的运动就叫晶格振动。 晶格振动是固体中原子的热运动，是对晶体热能的主要贡献。因此，晶体的热学性 质，如比热、热膨胀和热传导等就与晶格振动密切有关。由于晶格振动造成对原子周期 排列的偏离，可视为一种动态缺陷，因此会对在晶体中运动的其它粒子，如电子和光子 产生影响，而与晶体的电学、光学性质乃至介电性质等有关。本章就介绍晶格振动的基 本特征并以此为基础来认识晶体的热学性质。
（3.15）
式（3.15）的试探解仍为角频率为ω的简谐振动
x2 n+1 = Aei[ωt −q ( 2 n+1) a ] x2 n+2 = Bei[ωt −q ( zn+2) a ]
（3.16）
由于两种原子不同，它们的振幅也不一样，我们分别以 A 和 B 表示。将式（3.16） 代入方程（3.15） ，可以得到
5
图 3.3 为一维双原子链示意图。相邻原子间的距离为 a，相邻同种原子（即等效点） 图 3-3 一维双原子链 之间的距离则为 2a，因此，该晶格常数为 2a。质 量为 m 的小原子用奇数表示，质量为 M 的大原子 ，我们得到如下运动方程: 用偶数表示，原子间的力常数均为β。类同于式（3.4）
m
d 2 x2 n+1 = β ( x2 n+ 2 + x2 n − 2 x2 n+1 ) dt 2 d 2 x2 n + 2 M = β ( x2 n+3 + x2 n+1 − 2 x2 n+ 2 ) dt 2
固体物理第三章 晶格振动与晶体热学性质
固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。
只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。
由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。
对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。
和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。
这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。
若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。
当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。
晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。
ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。
这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。
若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。
23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。
固体物理第三章 晶格振动与晶体的热学性质.
方程了，方程解为： nq Aei( tnaq )
2. 格波—解的物理意义 连续介质波的解：
i (t 2
Ae
x)
Ae i(t qx )
格波：上述原子振动方程的解与一般连续介质的波有完全类似
的形式，所不同的是只在格点位置上有原子的振动。我们称原
子振动的波为“格波”。
格波与连续介质波的区别：
（1）连续介质中x表示空间任意一点，而格波中空间位置只能取
将包含N个原胞的有限原子链首位相连， 呈封闭环，使链上所有原（胞）子等价。
第n个原（胞）子与第n+N个原子情况完 全相同。B-K边界条件也
称周期性边界条件。nq Aei(tnaq)
边界条件要求：eiNaq 1 即：Nqa=2 π h， q 2 h (h为 整 数)
Na
q
a
a
N h N , h取N个整数值 2 / a N
(Qi
)
i (Qi
)
解出：
i
(ni
1 2
)hi
ni
i
h
exp(
22)Hni来自()其中
i
h
Qi
系统的本征能量：
，Hni(ξ)是厄米尔多项式。
E
3N i 1
(ni
1 2
)hi
3N
系统的本征函数：
(Q1 ,Q2 ...Q3N )
ni (Q1 )
i 1
只要找出系统的简正坐标，或说是振动模, 晶格振动问题就解决
4. 简正坐标代表所有原子的一种集体运动(而不是哪个原子的位移) 因为原子位移和简正坐标之间存在正交变换关系：
mi i
aij Q j
假设只存在某一个Qi，j 其它的都为0 (即只考察一个Qj振动)，那么，
第三章晶格振动和热学性质
第n个原子和第n＋1个原子间的距离 a n 1 n
平衡位置时，两个原子间的互作用势能 U (a ) 发生相对位移
n 1 n
后，相互作用势能
U (r ) U (a )
1 d 2U 1 d 3U dU 2 U (r ) U (a ) (r a ) dr 2 ( r a ) 6 dr 3 2 dr a a
对于吸收声子过程，有
' ' k q k
' ' 对于产生(又称发射)声子过程，有 k k q
将常数ħ去掉，以上四式可化为以下两式
' k k q
'
当入射光的频率Ω及波矢κ一定．在不同方向(κ́的
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
—— 声学波 —— 光学波
—— 与q之间存在着两 种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在 两种独立的格波
当波矢q增加一个 关系不变。
2 a
的整数倍，原子的位移和色散
为了保持这些解的单值性，限制 q
二、 一维复式格子
1.一维复式格子的格波解 两种原子m和M ( M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… m原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… 同种原子间的距离a-晶格常数
两不同原子平衡位置的距离为b,力常数β1
只考虑最近邻原子的相互作用，容易列出第2n个原子 和2n+1个原子的运动方程
§3.4 晶格振动谱的实验测定方法 晶格振动谱的实验测定方法，主要有两类：一类 是光子散射方法，一类是中子散射方法．它们的原 理是相同的。 一、光子散射 格波与光波相互作用、相互交换能量的过程， 可理解为光子与声子的碰撞过程．设入射光子的频 率和波矢分别为Ω和κ，与频率为ω波矢为q的声子 碰撞后，光子的频率和波矢分别变成Ω ́及κ́．碰撞 过程中，能量守恒和准动量守恒。 对于吸收声子过程，有
晶格振动对晶体热学性质的影响分析
晶格振动对晶体热学性质的影响分析晶格振动是指晶体中原子或离子围绕其平衡位置进行的微小振动。
这种振动对晶体的热学性质有着重要的影响。
本文将对晶格振动对晶体热学性质的具体影响进行分析，探讨其在热导率、热膨胀系数以及热容等方面的作用。
1. 晶格振动与热导率晶格振动与热导率之间存在密切的关系。
晶体的热导率主要由晶格振动引起的热传导贡献，以及电子的热传导贡献两部分组成。
晶格振动通过传递能量来引发热传导。
在晶体中，晶格振动以声子的形式传递热能。
声子的传播与晶格结构以及晶体的弹性性质密切相关。
因此，晶体的结构、晶格常数以及键的强度等都会对晶格振动与热导率产生影响。
2. 晶格振动与热膨胀系数晶格振动也会对晶体的热膨胀系数产生影响。
热膨胀系数是指物体由于温度变化而引起的长度、体积等物理量的变化比例。
晶体在受热后，晶格振动会引起原子或离子间距的变化，使晶体的体积发生变化。
晶体中原子或离子的质量、键的强度以及振动模式等因素都会影响晶格振动与热膨胀系数之间的关系。
3. 晶格振动与热容晶格振动还会对晶体的热容产生影响。
热容是指物体在吸热或放热过程中温度变化单位下的热量变化。
晶格振动会影响晶体中原子或离子的平均动能，从而影响晶格的热容。
晶格振动的能量传递会改变晶体原子或离子的能级分布，进而导致晶体的热容发生变化。
4. 晶格振动对热学性质的调控晶格振动对晶体的热学性质有着重要的调控作用。
通过调控晶格振动，可以有效地改变晶体的热导率、热膨胀系数以及热容等性质。
研究表明，通过控制晶体的晶格结构、晶格缺陷以及晶格畸变等方式，可以调控晶格振动的传播行为，从而实现对晶体热学性质的调控。
这对于材料的设计与应用具有重要的意义。
结论综上所述，晶格振动对晶体热学性质的影响是不可忽视的。
晶格振动通过影响热导率、热膨胀系数以及热容等参数，调控晶体的热学性能。
深入理解晶格振动对晶体热学性质的影响，有助于材料科学领域的研究与应用。
晶格振动对晶体热学性质的影响
晶格振动对晶体热学性质的影响晶体是由大量晶格点排列而成的凝聚态物质。
在晶体中，晶格振动（也称为晶体振动）是指晶格点相对于它们的平衡位置进行的小振动。
这种振动不仅导致晶体的机械性质，还对晶体的热学性质产生了重要影响。
本文将探讨晶格振动对晶体热学性质的具体影响。
1. 热容量的影响晶格振动是晶体中原子的振动，这种振动将导致整个晶体具有能量。
晶格振动的能量会以热量的形式储存，因此晶格振动对晶体的热容量有直接影响。
晶体的热容量与振动能量的大小成正比。
晶格振动引起的热容量的增加，将导致晶体对热量的吸收能力增强。
2. 热导率的影响晶格振动也对晶体的热导率产生影响。
热导率是指热量在物质中传播的能力，它与热传导速率成正比。
晶格振动会导致晶体中原子之间的相互作用增强，从而提高晶体的热导率。
振动较大的晶格点之间的相互作用将更加紧密，使热量更容易从一个晶格点传导到另一个晶格点上。
3. 热膨胀系数的影响晶格振动还会影响晶体的热膨胀系数。
热膨胀系数是指物质在温度变化时的膨胀程度。
晶格振动会使晶体中原子的平均距离发生变化，从而导致晶体的体积发生变化。
因此，晶格振动越剧烈，晶体的热膨胀系数就越大。
4. 热导电性的影响晶格振动对晶体的热导电性能也有重要影响。
热导电性是指物质对热量和电流传导的能力。
晶格振动将改变晶体中的电子态密度分布，从而影响电子的运动性质。
这些影响将影响晶体的电导率和热导率。
例如，在某些材料中，振动较弱的晶格点可以提高电子的传导能力，从而提高热导电性。
综上所述，晶格振动对晶体的热学性质产生了重要影响。
它对晶体的热容量、热导率、热膨胀系数和热导电性能都具有显著影响。
通过深入研究晶体中晶格振动的性质和行为，我们可以更好地理解晶体的热学特性，并为材料科学的发展提供基础。
注：以上文章属于晶格振动对晶体热学性质的影响的讨论性文章，可能不符合合同或作文格式的要求。
请根据具体需求进行适当调整。
晶体的热学性质与晶格振动的相干性分析
晶体的热学性质与晶格振动的相干性分析晶体是由周期性排列的原子或分子构成的固体物质，其热学性质与晶格振动之间存在着相互的联系和相干性。
本文将对晶体的热学性质和晶格振动的相干性进行分析和探讨。
一、晶体的热学性质晶体的热学性质是指晶体在温度变化下所表现出的性质和特点。
其中，热容、导热性、热膨胀等是最常见的晶体热学性质。
下面将对这些性质进行详细介绍。
1. 热容热容是指单位质量的晶体在温度变化下吸收或释放的热量。
晶体的热容受到晶格振动和晶格缺陷的影响。
晶格振动包括晶格的弹性振动、声子振动等，它们会影响晶体内部的能量传递和分布。
晶格缺陷包括点缺陷、面缺陷等，它们会散射热子和声子，影响晶格的热传导性能。
2. 导热性导热性是指晶体在温度梯度下传导热量的能力。
晶体的导热性与晶格振动的相干性密切相关。
晶格振动的相干性越高，晶体的热导率就越高。
晶体的导热性还受到晶体的宏观结构和缺陷等因素影响。
3. 热膨胀热膨胀是指晶体在温度变化下的尺寸变化。
晶体的热膨胀与晶体中原子的振动有关。
当温度升高时，晶体内原子的振动增强，原子之间的相互作用减弱，晶体的体积就会扩大。
晶体的热膨胀系数与晶格振动的相干性强弱密切相关。
二、晶格振动的相干性晶格振动是晶体中原子或分子围绕平衡位置做小幅振动而引起的能量传递和分布现象。
这些振动以声子的形式进行传递，其相干性对晶体的物理性质有重要影响。
晶格振动的相干性决定了晶格对热量和声波的传递情况。
当声子的相干性较高时，晶体的热导率会增加。
而当声子的相干性较低时，晶体中的散射会增加，导致热传导能力变弱。
因此，晶格振动的相干性是晶体热学性质的重要影响因素。
晶体中振动的相干性主要受到以下因素的影响：1. 晶格结构：不同晶体的晶格结构会影响振动的传播和相干性。
晶格结构越有序，振动的相干性越高。
2. 晶体缺陷：晶体中的缺陷会散射声子，降低振动的相干性。
例如点缺陷、面缺陷等都会对声子的传播和相互作用产生影响。
3. 温度：温度的变化会影响晶格振动的相干性。
孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.4 晶格比热
下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规
律。
一、晶体比热的一般理论 晶体的定容比热定义为：
CV
T
V
是晶体的平均内能, 包括与热运动无关的基态能量、
晶格振动的平均能量(晶格热能)和电子热能三部分.
CV CVa CVe
晶格振动比热 晶体电子比热
通常情况下， CVe CVa 本节只讨论晶格振动比热. 根据经典统计理论的能量均分定理,每一个自由度的
e
kBT
s (q )
kBT
2 1
s
(q
)
kBT
2
将CV中的求和改成积分，认为频率在q空间为球面, 则：体积元dq对应的波矢数目为：
V
(2
)3
4
q2dq
V
2
2
q2dq
qy
所以有：
qx
s (q )
CV
kBV
2 2
3p s
FBZ
e
e
kBT
s (q ) kBT
考虑到：s (q) cs (q)q,
2
2
O
m
在很低温度下：CV
T
s
cs (q)q Vdq
e
cs (q)q kBT
1
8 3
A
π
o
2 M
πq
a
a
注意：这和第一章态密度的求法类似。且
我们考虑的是整个晶体V。积分范围限制在第
一布里渊区。
不过,按照前面的分析,在很低的温度下, s(q) kBT 部分对上面的积分贡献很小，因而，积分也可 看成是在整个q空间进行。
晶格振动对晶体的热容影响的研究
晶格振动对晶体的热容影响的研究晶体是由大量原子或离子按照一定的规则排列而形成的固体材料。
晶格振动是指晶体中原子或离子在平衡位置附近的小范围振动。
晶格振动对晶体的热容有着重要的影响。
本文将探讨晶格振动的特性以及其对晶体的热容的影响。
1. 晶格振动的特性晶格振动是晶体中原子或离子在平衡位置周围的小振动。
在晶体中，原子或离子通过键相互连接形成晶格结构。
当温度升高时，晶体中的原子或离子因吸收热量而产生振动。
晶格振动可以分为纵向振动和横向振动两种。
纵向振动是指原子或离子沿着晶体的晶轴方向发生的振动，横向振动是指原子或离子在晶体平面内的振动。
2. 晶格振动对热容的影响晶格振动对晶体的热容有着显著的影响。
晶体的热容是指单位质量晶体的温度升高时所吸收的热量。
晶格振动导致晶体的内能增加，从而增加了晶体的热容。
这是因为晶格振动增加了晶体中的能级，使得晶体的振动模式增多，从而增加了热容。
3. 晶格振动的测量方法为了研究晶格振动对晶体热容的影响，科学家们采用了多种测量方法。
其中一种常用的方法是通过热容测量来研究晶体的热容变化。
热容测量可以通过差示扫描量热仪（DSC）来进行。
DSC可以测量在不同温度下晶体的热容变化，从而研究晶格振动对晶体热容的影响。
4. 晶格振动对晶体性质的影响晶格振动不仅对晶体的热容产生影响，还可以对晶体的其他性质产生影响。
例如，晶格振动可以改变晶体的光学性质和电学性质。
光学性质的变化指的是晶体对不同波长的光的吸收和反射能力的变化。
电学性质的变化指的是晶体中电子在晶格振动的作用下的行为变化。
因此，晶格振动对晶体的性质具有重要的影响。
综上所述，晶格振动对晶体的热容有着重要的影响。
晶格振动使晶体的热容增加，从而对晶体的热学性质产生显著影响。
通过研究晶格振动的特性以及其对晶体性质的影响，可以深入理解晶体的物理性质，并为相关领域的研究提供理论依据。
随着科技的不断进步，对晶格振动的研究将在材料科学和固态物理学等领域发挥越来越重要的作用。
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解
• 首先估计在低温时，有多少振动模式被激发 • 在低温时，只有 k B T 的振动模式才能被激 发。这些模式的波矢位于波矢空间中的球内， 半径为
qr k BT v p
• 这个球与Bebye球之比就是受激发模式与总的 振动模式(3N)之比
• 低温下，只有在qr 球内的振动模式被 激发，对热能的贡 献都是kBT • Debye模型认为大 球内的模式被激发， 按Debye模型计算 分布
• 因各向同性，积分可用球形区域积分代替
• 积分限？ D模型的局限，波长短时，弹性波？ • 在半径为qD的球内，D波矢，D频率，D温度 • 选择qD使N个波矢在这个球形区域内
2
V
3
N
4 3
qD
3
q D 6 n
2
1/ 3
n：单位体积原子数
• 相应的Debye频率为
D v pqD
• 如果温度下降，比热低于Dulong-Petit定律的 值：引自Phys. Rev. 184, 68 (1969). • 思考：是不是简 谐近似不够好？ • 温度低，可不可 以认为简谐近似 不再有效 • 但温度低，振动 小，按理说，简 谐近似应该是温 度越低越好!
比热的实验观察
• Dulong-Petit定律比热与温度无关，只在102 K 温度有效 • 低于室温，绝缘体的比热以T 3下降，而金属 则以AT + BT 3 下降 • 经典理论的能均分定理是不适用的 • ？ • 晶格振动的能量是量子化
q q+dq
(q )
dq表示两个等频率面之间的垂直距离， ds为面积元。
dq q ( q )
(q ) d (q )
Debye近似的声子态密度
• Debye近似 • 所以
D
q v p q
2
3V
3 qqD
v p q d q
• 思考：如何考虑晶格振动对固体热学性质的贡 献？
5、晶体的热学性质
• 用经典统计，能匀分定理，每个简谐振动的平 均能量为是kBT • 固体中有N个原子，就有3N个简谐振动模，总 平均能量 U 3 Nk B T • 热容
CV U T 3 Nk
B
• 就是Dulong-Petit定律，比热与温度无关。这 个结果在100K温度数量级与实验相符
CV
12 Nk
4
B
5
T D
3
• 用Debye近似得到的比热与温度的关系
• 引自J. de Launay, Solid State Physics, Vol.2, Academic Press, New York, 1956.
comments
• • • • 温度越低，Debye近似越好 ？ 因为在极低温度下，只有长波激发才是主要的 对于长波，晶格可被看作是连续介质——弹性 波 • 很成功。但随低温技术发展，实验显示出偏差 • 如果D理论精确成立， Debye温度与温度无关 • 但按实际测量得到的CV~T曲线拟合Debye温度， Debye温度与温度有关，或者说，Debye温度取 作常数， CV~T曲线与实际测量有偏差
3N
i
i 1
T i / k BT
k
i 1
3N
B
3 Nk
B
• 即振子的能量远大于能量量子，量子化效应可 以忽略， Dulong-Petit定律成立
低温
k B T
• 这时，振动被“冻结”在基态，大大高于温度 的振动模式对比热的贡献可忽略不计。 • 假定弹性波，可用线性关系，即ω (q)~vpq • 利用这个关系并将前面求和改成积分后，最后 可得
CV ~ T
k B T
4
v
p
3
~T
3
中间温度
U
3N
i e
i / k BT
i 1
1
• 除了频率隙外，频率也是连续分布的，因此为 方便起见，将求和改为积分 • 需要引入频率分布函数（密度）或称声子态密 度ρ (ω ) ，即频率在ω 和ω +dω 之间的格波数，
Einstein近似
• Einstein近似认为各个原子的振动是独立的， 因此所有原子都以同样的频率ω E振动 • 后来通常用于光学支格波，它的色散比较小， q0，基本是常数 • 这时 3 N E U / k T e 1
E B
CV
E 3 Nk B k T B
2
e
E / k BT
e
E / k BT
1
2
• 常用Einstein温度来表示这个频率
E k B E
• 于是，比热为
CV E 3 Nk B T
2
e
E /T
e
E /T
1
2
• Einstein温度的确定是比较实验和理论曲线后 确定 • 温度很高时，上式导致Dulong-Petit定律 • 温度很低时，上式近似为
3
V
2
三维
V
2v p q
1/ 2
2
2
v
3/2 p
1/ 2
• 即
( )
• 二维时，等频率线实际上是一个圆环，半径为
q
vp
• 线长为 2 q
• 所以
• 即
2
2
S
dl q
S
2 q
2
2
S 4 v p
2v p q
( ) C
summary
• 格波能量声子能量量子化 • 如果某种格波ωl(q)被nl个声子占据，这种格波 的能量就是
1 l n l l (q) 2
• 声子是遵从玻色统计分布
n l (q)
1 e
ω l (q)/k
BT
1
• 声子的能量和准动量分别为 l 、 q
CV U T V
最大
0
kB k T B
2
e
/ k BT
e
/ k BT
1
2
d
• 关键是频率分布函数。但它的计算相当复杂， 需要具体的晶格动力学计算，通常采用两种近 似：Einstein近似和Debye近似
2
3V 2
2
2 3 p
v
d d
• 于是
U
3V 2 v p
2 3
D
d
3
0
e
/ k BT
1
CV
3V 2 v p
2 3
D
0
e / k BT 2 d kB 2 k T / k BT 1 B e
• 平均热能也是
n k B T
• 因此，低温时，对比热有贡献的振动的总能量 是
2
3
V
dS l q
l
l
2
3
l
dS l q
( ) lim
n
n 0
n 表示 d 间隔内晶格振动模式的数目
先假设 ( q ) 为常数
n V ( 2 )
3
dsdq
x
3
0
6
1 n
4
D
4
n 1
15
d 3 N
2
3N
3V 2
2
2 3 p
d
1 3V D
3
0
v
3 2
2
vp
3
D
6N v V
3 3 p
1/ 3
kB D
• 可得
U 3 Nk B T
4 4
5
3 D
二维
• 一维时，等频率点为两个关于原点对称点，距 离是 q vp
• 于是
L
2 q
2
L
2
2 2 v p q
1 / 2 一维
L 2 vp
1 / 2
• 即
( )
例题
• 用简单模型定性估计：在低温下，晶格 振动对比热的贡献与温度T的三次方成正 比，并与Debye定律比较。
2
• 作变量变换 x
• 得
U
k BT
3V k BT
3 4 4
2 v p
2
4
3
3
D
x dx e 1
x
3
0
CV
3V 2 v p
2 3
k BT
3
D
e x dx e 1
x
x
4
0
• 并利用积分关系（已假定在极低温度下，可将 积分上限取为无穷大）
D
0
x dx e 1
• 高于Debye频率的振动模式对比热的贡献都被 忽略，相应的Debye温度为
D D kB v p q D kB
• 频率密度可以这样得到：将在q空间，球壳 q~q+dq之间的振动方式转换成在频率ω ~ ω +dω 之间的振动方式（计及三种弹性波）
3 V
2
3
4 q dq
U
u