第三章晶格的热振动1019

运动方程：
解的形式：
§1 一维晶格的振动
频率： 周期：
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
动能： 势能：
系统总能量：
§1 一维晶格的振动
二、一维单原子链振动
1.运动方程及其解
如图所示，一维晶格是由质量为m的全同原子所构成，相邻 原子平衡位置的间距，即晶格常数为a，第n个原子的平衡位 置为 ,用un表示序号为n的原子在t时刻偏离平衡位置 的位移． 平衡位置时，两个原子间的相互作用势能为 第n个原子和第n+1个原子间的相 对位移为 后，相互作用势能为：
短波极限下：
§1 一维晶格的振动
3.波恩-卡曼边界条件
第 三 以上的讨论是将一维单原子晶格看做无限长来处理的，这样 章
所有的原子是等价的。每个原子的振动形式都一样。实际的 晶体都为有限的。形成的链不是无穷长，这样两头的原子就 晶 格 不能用中间原子的运动方程来描述。波恩-卡曼提出采用周期 动 性条件可以解决上述困难。 力
第三章 晶格动力学和晶体的热学性质
教学内容 §1 一维晶格振动 §2 三维晶格振动 §3 简振模个正则坐标 §4 离子晶体的长光学波 §5 晶格比热容 §6 晶格状态方程和热膨胀
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
§1 一维晶格的振动
一、简谐振动 简谐振子的运动方程：
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
第三章 晶格动力学和晶体的热学性质
周恒为
第三章 晶格动力学和晶体的热学性质
原子、分子都在作不停地运动
气体、固体、液体分子原子的运动形式不同 晶体中的原子分子在其平衡位置做微振动，平衡位置即是晶格格点
原子间的相互作用使晶体中各个原子间的运动相互耦合、相互有关
晶格（晶体）振动：结构系统可以看成是一个相互耦合的振动系统，这 种运动就称为晶格振动
=
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
即：
为整数 表明描述有限晶格振动状态的波矢 不能连续取值，只能取一些分立的值。 波矢的取值范围：
所以：
§1 一维晶格的振动
h只能取N个整数。波矢q也只能取N个不同的分立值。所 以在布里渊区包含N个状态。 第一布里渊区状态数说明：每个波矢在第一布里 渊区占的线度：
§1 一维晶格的振动
只要研究清楚第一布里渊区的晶格问题就可以， 其它区域不能 提供新的物理信息 第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
（3）色散关系 格波的频率与波矢关系称为格波的色散关系。
其中 格波的色散关系曲线 ：
§2 一维晶格的振动
色散关系的特点： 是偶函数： 是周期函数:
，
§2 一维晶格的振动
因为M＞m,复式格子中不同原子振动的振幅一般来说是不同的。 可按下列原则得出：①同种原子周围情况都相同，其振 幅相同；原子不同，其振幅不同． ②相隔一个晶格常数a的同种原子，相位差为qa．
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
§1 一维晶格的振动
第n个原子的运动方程为
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
对于每一个原子，都有一个类似的运动方程，因此方程 的数目和原子数目相同，有N个。 设方程的解为：
将其代入运动方程，则有方程的左端为:
§1 一维晶格的振动
相速度是指特定频率为 ，波矢为 的波的传播速度 群速度描述平均频率为 ，平均波矢为 的波包（波 矢紧密相近的波群）速度，它表征能量和动量的传播速 度
§1 一维晶格的振动
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体Baidu Nhomakorabea的 热 学 性 质
§1 一维晶格的振动
(4)长波近似和短波近似
长波近似：在布里渊区中心附近
二、一维双原子链振动 许多晶体的原胞里原子数多于一个。为了表示复式格子的晶 格振动特性，考虑由两个不同原子组成的一维双原子链。 一维双原子链：P原子质量为M,Q原子质量m,相邻同种原 子间的距离为a(复式格子的晶格常数）。 质量为M的原子位于2n-1,2n+1,2n+3…..； 质量为m的原子位于2n,2n+2,2n+4……..
§2 一维晶格的振动
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
8.哈密顿量
是系统复数形式的简正坐标 实数形式的简正坐标 代入 哈密顿量： 和 得到 是
§2 一维晶格的振动
能量本征值： 本征态函数： 厄米多项式
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一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标 为宗量的谐振子波函数。 声子：晶格振动的能量子；或格波的能量子。 一个格波就是一种振动模，称为一种声子，能量为；当这 种振动模处于时，说明有个声子。声子是一种元激发，可 以电子或光子发生作用，交换能量。 关于结构振动的问题可以转化为声子系统问题的研究，由 于每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的，因此声子 系统是无相互作用的声子气组成的系统。
从晶体中原子的振动出发去讨论晶体的宏观性质，称为晶格动力学
晶格振动与晶体的热学性质密切相关 与电学、光学、介电等性质也密切相关
第三章 晶格动力学和晶体的热学性质
晶格动力学是固体物理学中最基础、最重要的部分之一。 教学目标： 1.晶格动力学的基本概念和方法 2.晶格动力学在研究热血性质中的应用
但晶格的运动形式复杂，为了便于迅速理解晶格振动的主要特点，先考 虑一维情况，再推广到三维情况
§1 一维晶格的振动
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
只有频率在 之间的格波才能在晶体 中传播，其它频率的格波被强烈衰减。
§1 一维晶格的振动
(4)格波的相速与群速 由于有色散关系，格波可以用相速度和群速度来描述 相速度： 群速度：
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
方程的右端为:
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
方程的两端消去共同因子，得 利用欧拉公式后得:
即频率为:
§2 一维晶格的振动
2.格波特性 （1）格波
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
不同原子间相位差：
相邻两个原子的相位差：
格波的波形图
如果不同原子间相位差 为 的整数倍时，则原子因振动而产生 的位移相等，即
§1 一维晶格的振动
（2）格波波矢的取值和布里渊区 相邻原子的位相差： 时，所有原子的振动 没有任何改变 格波1（红色标示）的波矢：
第 三 章
相邻原子的位相差：
格波2（绿色标示）的波矢：
相邻原子的位相差： 波矢的取值：
晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 两种波矢下，格波描述的原 热 子振动是完全相同。 学 的取值区间第一布里渊区 性 质
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
§2 一维晶格的振动
1.运动方程及其解
若只考虑最近邻原子的相互作用，容易列出第2n个原子和2n+1 第 三 个原子的运动方程
章 晶 格 动 当原子链包含N个原胞（即有 N个质量为M的原子和N个质量为m 力 ， 的原子共2N个原子）时，应有2N个方程组成的联立方程组。 学 和 晶 方程解的形式为： 体 的 热 学 性 质
向上代表原子沿X轴 向右振动，向下代表 原子沿X轴向左振动
§1 一维晶格的振动
如果不同原子间相位差 为 的奇数倍时， 则原子因振动而产生的位移相反，即
第 三 章
晶 这说明，晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的 格 位相关系，即在任意时刻，原子的位移有一定的周期分布， 动 力 也即原子的位移构成了波，这种波称为格波。由于讨论的 学 是简谐近似，所以格波是平面波。 和 晶格中格波和连续介质波具有完全类似的形式。一个 晶 体 格波表示的是所有原子同时做频率为 的振动。 的 格波的波长： 热 学 格波的波矢： 性 代表沿格波传播方向的单位矢。 质
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
§1 一维晶格的振动
第 三 章
上式中首项为常数令为0，此项为0（平衡时势能取极小值） 当 很小时，即简谐近似—振动很微弱，势能展式中只 保留到二阶项。 相邻原子间的相互作用为
如果只考虑相邻原子的相互作用，则第n个原子离开平衡位 置所受到的作用力为：
波恩-卡曼边界条件: 由 个原子头尾相接形成一 个环状链，原子数目有限，但各原 子完全等价，第j个原子的运动与第 j+N个原子的运动情况完全相同。其中的原子 运动近似为直线运动，在处理问 题时要考虑到环链的循环性。
学 和 晶 体 的 热 学 性 质
§1 一维晶格的振动
一维链的 条件
设第n个原子的位移为 ，那么再增加 N个原子之后，第N+n个原子的位移为 则有：
§2 一维晶格的振动
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
声子具有能量、动量，可以看做是准粒子 格波在晶体中的散射可以理解为声子和原子之间的碰撞 电子波在晶体中的散射可以看做是电子和声子之间的相互作用 光在晶体中的散射可以看做是光子和声子之间的相互作用
§1 一维晶格的振动
第 三 章
晶 格 动 力 第一布里渊区的线度： 学 和 第一布里渊区状态数： 晶 体 的 上式说明，允许的波矢数目等于N，振动谱是分离谱。N是晶热 格的原胞数目，因此我们得出一个结论：晶格振动的波矢数学 性 目等于晶体的原胞数。 质
§1 简正模和格波
总结： 近似—只考虑近邻原子之间的相互作用 格波——晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 格波的研究思路 1.先计算原子之间的相互作用力 2.根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程 3.特点分析 结果：晶格振动的波矢数目q等于晶体的原胞数N。 晶格振动的独立模式数等于系统的自由度数。 一维单原子链中传播的长波近似下的格波叫声 学波，一只纵模，两只横模。
5.动能和势能具有平方和的形式 原子位移为实数，要求 为N项独立的模式，具有正交性，即
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
利用
和
得到
§2 一维晶格的振动
6.动能的正则坐标表示 将 7.势能的正则坐标表示 将 代入得： 和 代入得到：
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§1 一维晶格的振动
格波的色散关系与连续介质中的弹性波的一致。 相邻原子间的相互作用力： 原子链的伸长模量
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
格波的传播速度：
连续介质中弹性波的传播速度： 可见，两者相速度相同，所以，对一维单原子链，晶格 可 看做是连续介质格波看做弹性波。 在连续介质中传播的波为弹性波，其波速为声速，故单原 子链中传播的长波近似下的格波叫声学波。
即 时，
，由于
很小，
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
色散关系: 频率与波矢为线性关系
§1 一维晶格的振动
相邻两个原子振动相位差为0；
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
波长远大于原子间距，一个 波长中包含很多原子，晶格 可看做是连续介质。
相速度与群速度相等，为与波矢无关的常数。
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
§1 一维晶格的振动
4.原子位移和简正坐标的关系 第q个格波引起第n个原子的位移： 第n个原子的总位移： 则： 令： 即 比较 得到 简正坐标 和
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线性变换
幺正变换
§2 一维晶格的振动
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
这表明，当两个波矢相差为倒格矢的整数倍时，它们对应 的频率是一样的。 色散关系上述两个性质对更为复杂的晶格振动也是适 用的。 它们实际上与晶格振动系统的对称性有关，前者涉及 时间反演对称性，后者与晶格的周期结构有关。 由于色散关系的周期性，可以把它约化到第一布里渊 区中来表示。
§1 一维晶格的振动
短波近似：
第 三 章
色散关系：由
得
频谱是非线性的，格波的 色散关系与连续介质中弹 性波的不一致； 格波的波长： 两个 相邻原子的振动相位相反；
晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
§1 一维晶格的振动
不同频率的格波传播速度不同，群速度与波矢有关：
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质