第三章晶格的热振动1019
第3章 晶格振动与晶体的热学性质
置是晶格格点,所以称为晶格振动； 晶格振动是原子的热运动，对晶体的热学性能 起主要贡献。
温度较高:
热运动较强——少数原子脱离格点－ 热缺陷； 热运动很强——整个晶体瓦解，溶解。
温度很高:
晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质
固体热容量 ——是晶体热运动宏观性质的表现
系统有N个原胞
第2n+1个M原子的方程
第2n个m原子的方程 —— N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式
—— 两种原子振 动的振幅A和B一 般来说是不同的
第2n+1个M原子
第2n个m原子
方程的解
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
—— 声学波
—— 光学波
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能 发生相对位移 后，相互作用势能
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
相邻原子间的作用力
dU f d
—— 恢复力常数
原子的运动方程:
—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
1
声子:晶格振动中格波的能量量子 声子这个名词是模仿光子而来（因为电磁波也 是一种简谐振动）。声子与光子都代表简谐振 动能量的量子。所不同的是光子可存在于介质 或真空中，而声子只能存在于晶体之中，只有 当晶体中的点阵由于热激发而振动时才会有声 子，在绝对零度下，即在OK时，所有的简正模 式都没有被激发，这时晶体中没有声子，称之 为声子真空。声子与光子存在的范围不同，即 寄居区不同。
第三章 晶格的振动
i [ q ( 2 n2 ) at ]Be it Ae it
原胞内的不同原子以相同的振幅和位相做整体运动。
长声学波代表原胞质心的振动。
2）光频支 2 2 cos qaA ( 2 M ) B 0 两种原子的振幅比：
2 A 2 M2 ( )2 B 2 cos qa
玻恩—卡门边界条件： 晶格振动的波矢数等于晶体的原胞数。 晶格振动的频率数等于晶体的自由度数
（振动模式数）
2. 一维单原子链的波矢数
N M x N 1 x1 i q ( N 1) a t i qa t Ae Ae i qna t x Ae n ei qNa 1 Nqa 2l 2l q Na
光学波代表原胞中两个原子的相对运动。
三、玻恩—卡门边界条件 1. 玻恩—卡门假设和主要结果 a. 由N个原子构成的原子链为无限长的原子 链上的一段，这里N=mM m—每个原胞的原子数，M—原胞数。 b. 把这N个原子组成的一维原子链看成一个 闭合环，它包含有限数目的原子，但实际 上第N+1个原子就是第1个原子。 只要N足够大，圆环半径远远大于晶格常数就 局部看仍认为原子排列在一条直线上从而 得出结论。
0
U 1 2U 2 U ( x0 ) U ( x0 ) ( ) x0 x x0 ( 2 ) x0 x x0 ... x 2 x U 1 2U U ( x0 ) ( ) x0 ( 2 ) x0 2 ... x 2 x
2
mM
{(m M ) [m 2 M 2 2m M cos(2qa)] }
1 2
2. 振动方程及其试探解 类似于一维单原子链的讨论
第三章 晶格振动与晶体的热学性质(全部课件)
3. 波数q： μ nq = Ae i (ωt − naq ) (3-22)
格波波数q具有2π/λ格式，量纲为[L]-1。aq改变2π的
整数倍，即aq→ n2π + aq 时所有原子振动没有不
同。如：
q1
格= 波24πa1（红相色位）差：aq1
=
π 2
格波2（绿色）：
q2
=
2π
/
4a 5
=
5π 2a
按一般小振动近似能保留到δ2，得到相邻原子间的 作用力为：
F
=
− dV dδ
≈
−βδ
(3 - 20)
这说明了相邻原子间的力是正比于相对位移的弹性 恢复力。
1、建立运动方程和求解：
a) 建立方程（考查图中第n个原子的运动方程）：
n-2 n-1
n
n+1 n+2
aa
β：力常数
β
β
μn-2
μn-1
μn
μn+1
4、分析力学得到的哈密顿量:
∑ H
=
1 2
3N
(
Q&
2 i
i=1
+
ω
2 i
Q
2 i
)
（3-7） （3-9）
1
5、正则方程及解形式 :
在简正坐标下的简谐振动就是简正振动，它的正则
方程(简正坐标下的运动方程)：
Q&&i
+
ω
2 i
Qi
=0
i=1,2,…,3N （3-10）
这是3N个相互无关的方程，表明在简正坐标下的振 动是独立的简谐振动，其中的任意解为:
¾ 晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为 一种振动模式。
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
第三章晶格振动与晶体的热学性质
第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。
晶格振动对晶体的电学、光学、磁学、介电性质、结构相变和超导电性都有重要的作用。
本章的主题用最邻近原子间简谐力模型来讨论劲歌振动的本征频率；并用格波来描述晶体原子的集体运动；再用量子理论来表述格波相应的能量量子、3.1 连续介质中的波波动方程22220u ux Y tρ??-=??对足够长的介质，求行波的解：s v q ω=其中波相速ω=称作色散关系。
3.2 一维晶格振动格波讨论晶格振动时采用了绝热近似，近邻近似和简谐近似。
绝热近似：考虑离子运动时，可以近似认为电子很快适应离子的位置变化。
为简单化，可以将离子的运动看成是近似成中性原子的运动。
近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用；简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项。
0020021()()()()......2r r dU d U U r U r dr dr δ+=+++简谐近似——振动很微弱，势能展式中作二级近似：00'''001()()||2r r U r U r U U δ+=++相邻原子间的作用力02222,r Ud U d U f dr dr δβδβδ=-=-=-= ? ??????一维晶格振动格波考虑第n 个例子的受力情况，它只受最近邻粒子的相互作用即分别受到来自第n-1个粒子及第n+1个例子的弹性力11()n n n f u u β--=-- 11()n n n f u u β++=--1111(2)n n n n n n f f f u u u β-++-=-=--- 2112(2)n n n n d uf ma m u u u dtβ+-===---试探解以行波作试探解()i t naq nq u Ae ω-=2()()(2)i t naq i t naq iaq iaq m e e e e ωωωβ----=---利用：222cos()24sin (/2)iaq iaq e e qa qa -+-=-=得224sin (/2)qa m βω=，/2)qa ω=色散关系 s i n (/2)qa ω=长波极限因为色散曲线是周期的且关于原点对称，在0/q a π<<的区间内，频率仅覆盖在0m ωω<<的范围内。
(整理)第三章晶体子的热振动
第三章 晶体中原子的热振动第一章、第二章中在讨论晶体的结合、固体中结合力性质以及相关物质性质（例第二章中的压缩系数或体弹性模量、抗张强度等）时曾忽略了晶体中原子热运动的影响（例当时考虑了T=0K 这种最简单的情况），认为固体中原子是处在平衡位置（即()()最小0,00r u rr u rr =∂∂=），这时整个晶体的势能最小，而实际上晶体中原子并非固定不动的，而是在其平衡位置附近或围绕其平衡位置作振动。
这种振动即本章所讨论的所谓热振动，在高于绝于零度以上的任何温度，这种运动都会发生，其振动频率大体在1012-1013次/S ，其振幅的数值决定于温度和晶体本身的性质，其振幅数量便大体为10-9cm 。
在较高温度下，振动原子通过偶然性的统计涨落，可获得高于平均能量的能量，当这种能量的大小足以摆脱周围原子束缚时，原子可离开其平衡位置而到达一个新的平衡位置，即产生扩散现象。
关于这方面的问题将在第四章中讨论。
本章讨论原子的热振动的情况，即在温度不太高时原子作微小振动的情况。
晶体中原子的热振动同晶体的许多重要宏观性质有关，例固体的比热、热膨胀、热传导等热学性质，电阻、超导电性等固体的电学性质，红外吸收与辐射等光学性质等。
所以，对晶体中原子热振动的研究和讨论是认识和了解固体中许多宏观性质、微观过程及其机理的重要基础。
本章只着重讨论其中的有关固体热学性质的部分，其它部分在本章最后的小结及后续章节、后续课程中可能有介绍（例电阻的产生机理、声子、电子运动等），因为热学性质是原子的振动在宏观性质上最直接的表现，对晶体原子振动的研究，最早是从热学性质开始的。
（在“统计热力学”中将讨论有关配分函数的处理及热力学函数的计算，本章中固体比热的计算，同上述内容有联系。
）§3.1晶体中原子的微振动及其量子化1．设晶体由N 个原子组成，它们相对于平衡位置的位移，分别用（x 1，x 2，x 3）、（x 4，x 5，x 6）……、（x 3N-2，x 3N-1，x 3N ）来表示，则其动能可表示为：∑=∙=Ni ii x m T 31221 （1）（)(212∙===x dt dx v mv T ） 其中m i 是坐标为x 1的原子的质量。
第三章_晶格振动与热学性质
fn ＝fnR － fnL ＝ (un+1－un) － (un－un-1)
＝ (un+1＋un-1－2un)
n-1 n n+1 n-1 n n+1 fnL fnR un-1 un un+1
10
第n个原子在平衡位置的运动方程为：
d un m 2 ( un 1 un 1 2un ) dt
得到：
M 2 A 1( B A ) ( A Be
)
m 2 B 2 ( Aeiqa B) 1 ( B A)
整理，得：
(1 2 M 2 ) A (1 2e iqa ) B 0 (1 2e ) A (1 2 m ) B 0
a 一维单原子链
6
在t时刻，第n个原子偏离平衡位置的位移为un
n-2 n-1 n n+1 n+2
a
un-2
un-1
un
r un+1
un+2
一维简单晶格振动
r － a = un+1 －un的意义 表示相邻格点的相对位移： > 0：伸长；< 0：缩短
r = un+1 + a －un
7
序号n和n+1的两个原子在t时刻的距离为：
e
iqNa
un Ae
i ( qnat )
1
a
q
2l q Na
a
l 是整数
N N l 2 2
允许的波矢数目等于N （原胞数）
21
二、一维复式格子
一维复式格子的格波解：
力常数 晶格常数
固体物理第三章 晶格振动与晶体热学性质
固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。
只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。
由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。
对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。
和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。
这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。
若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。
当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。
晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。
ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。
这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。
若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。
23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。
第三章晶格振动和晶体的热学性质
a a （横轴）、
（纵轴）的正方形
aa
面积为：
2
2
a
第一BZ为一个原胞的大小
§3.2 三维晶格的振动
模型: 设三维无限大的晶体,每个原胞中有p个原子，相当于每个
基元有p个原子，各原子的质量分别为 m1, m2 ,, mp ; 原胞中 这p个原子平衡时的相对位矢分别为 r1, r2,, rp 。
i[q( N 1)at ]
un Ae i(qnat)
u1 u N 1
Ae Ae i(qat)
i[q( N 1)at ]
eiqNa 1
得： qNa 2l l =0，±1，±2……等整数
q 2 l
Na
在第一布里渊区，q取值为
/a q /a
沿基矢方向各有N1、N2、N3个原胞, N N1 N 2 N 3 (可和晶体的体积类比)
根据玻恩---卡门周期性条件：
u
第三章 晶格振动和晶体的热学性质
晶格振动：组成晶体的原子并非固定于格点位置，而是以 格点为平衡位置作热振动
晶格振动的强弱依赖于温度，对晶体热学性质起重要作用 （热容、热膨胀和热传导等）。另外，对晶体的光学性质 和电学性质等也有重要影响。
点阵动力学的建立
1907年，Albert Einstein发表了题为“Planck辐射理论与比热 的理论”，第一次提出比热的理论。更重要的，第一次提出经典 力学的点阵振动和量子力学的谐振子能级可以对应。 1912年，Peter Joseph William Debye认识到，Einstein提出 的比热公式在极低温下与实验不符合，是因为没有考虑到晶体 中的原子振动频率不是单一的。后来德拜通过谐振理论求得近 似的原子振动的频率分布，得到与实验更加符合的比热公式。 1912年，Max Born和Theodore von Karman发表了题为“论空间 点阵的振动的论文”。提出晶体中原子振动应该是以点阵波的形 式存在，是点阵动力学的奠基之作。 1920-1950年，点阵动力学被应用到晶体的热力学性质、热传导、 电导、介电、光学和X射线衍射等诸多方面。比较完整地总结在 Max Born和黄昆的书“晶体点阵的动力理论”中。 1950年以后，发展了测量点阵动力学性质的实验：中子衍射。
固体物理基础学：第3章 晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动在晶体中形成了各种模式的波（格波），这些模式 是相互独立的，各模式的波所取的能量是分立的 简谐近似下，通过一些数学手段处理，可以用一系列独立的 简谐振子来描述这些相互独立、能量分立的振动模式 这些谐振子的能量量子，成为声子 晶格振动的总体可看做是声子的系宗
3-0 本章导读
热容量 热运动在宏观性 质的表现
v f （ n1 - n） （ n - n 1） n
平衡位置
牛顿第二定律 F=ma
力与两个原 子的位移有关
d 2 n （ n1 - n） （ n - n 1） m dt 2
(1)
非平衡位置
这即是第n个原子的运动方程！
3-2 一维单原子链模型
dv f d
d 2v 其中 ( 2 )a dr
3-1 一维单原子链模型
现考虑第n-1和第n+1个原子对第n个原子的双重作用 同样，写出简谐近似后的相互作用势v，如下：
v
1 2 2 （ ） （ ） n n 1 n 1 n 2
对位移求偏导，得到力：
杜隆－珀替经验规律： 一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度，按能量均分 定律，每个自由度平均热能为kT，摩尔热容量 3Nk＝3R
—— 实验表明在较低温度下，热容量随着温度的降低而下降 爱因斯坦模型与德拜模型
研究晶格振动的意义远不限于热学性质。晶格振动是 研究固体 宏观性质和微观过程的重要基础。对晶体的热学性质、电学性 质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变有密切关系。
其中任意一个简正坐标方程解
Qi Asin(it )
可化为 i
—— ωi是振动的圆频率，当只考察某一个 的振动时：
方程
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
杜隆—珀替定律
模型处理方法：把固体中的原子看成一组互相独立 的振子来处理，应用能量均分定理。设固体中有N个 原子，则晶体平均能量为： E = 3 Nk BT 则由热学知识可得：
⎛ ∂E ⎞ ⎟ = 3 Nk B CV = ⎜ ⎜ ∂T ⎟ ⎠V ⎝
N＝6.023×1023，则摩尔比热CV＝24.9J/k•mol
即 h 只取N个不同的值。因此，由一维单原子组成的一维 晶格，q只能取N个不同的值。 格波数：一维单原子晶体，一个q只对应一个格波。q取N 个不同的值，对应N个
ω，因此，独立自由度数。
28
• 色散关系
把u n
••
= Ae
− i ( qna − ω t
miμi =
∑
3N
j =1
a ij Q
j
1 3N •2 T = ∑ Qi 2 i =1
1 3N 2 2 V = ∑ ω i Qi 2 i =1
15
由分析力学的一般办法，由动能和势能可以直接写出拉 格朗日函数
L = T −V
∂ Qi
Pi = ∂L
•
得到正则动量 : 哈密顿量可写成 :
可取之处：获得低温段CV～T3的规律。
6
绝热近似
固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子组成，所 以固体实际上是由电子和离子组成的多粒子体系。由于电子之 间、电子与离子以及离子之间的相互作用，要严格求解这种复杂 的多体总量是不可能的。但注意到电子与离子的质量相差很大， 离子的运动速度比电子慢得多，可以近似地把电子的运动与离子 的运动分开来考虑，这种近似方法称为绝热近似，即：
第三章 晶格振动与晶体热学性质 lattice vibration and heat property
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
上式说明，晶格的振动谱是分离谱，晶格
振动的波矢数目等于晶体的原胞数N
格波1（红色标示）的波矢：q1
2a
相邻原子位相差：
aq1
5
格波2（绿色标示）的波矢：q2 2a
相邻原子的位相差： aq2
2
2
2
-----两种波矢下 ，格波描述的原子振动完全相同
（4）在连续介质中传播的平面波方程为
原子的振动实际上没有任何不同。
(7)长波极限，当 q 0 时，sin qa 2 qa 2
1
波速
v
a
m
2
角频率 a q v q
m
与连续介质中弹性波的色散关系一致
两原子间的相位差
qa
0 ，波长
2
q
一个波长范围内包含了许多原子
因此，长波极限下，一维单原子晶格的格波可 以看做是弹性波，晶体可以看做是连续介质
前面讨论晶体结构时，假设了晶体中各原 子固定在格点上不动。其实，不管是气体、 液体或是固体，在一定温度下，原子（或 分子）都在做不停的热运动。 静止晶格的模型在解释金属主要由导电 电子决定的平衡态性质和输运性质方面相 当成功，但是对金属进一步的了解以及对 绝缘体哪怕是最基本的了解都需要对离子 实的运动加以考虑。
将试探解代入原运动方程可以得到色散关系
2
q
M1M 2
M1
M2
M12
M
2 2
2M1M
2
cos
qa
1 2
固体物理第三章 晶格振动与晶体的热学性质.
方程了，方程解为： nq Aei( tnaq )
2. 格波—解的物理意义 连续介质波的解：
i (t 2
Ae
x)
Ae i(t qx )
格波：上述原子振动方程的解与一般连续介质的波有完全类似
的形式，所不同的是只在格点位置上有原子的振动。我们称原
子振动的波为“格波”。
格波与连续介质波的区别：
（1）连续介质中x表示空间任意一点，而格波中空间位置只能取
将包含N个原胞的有限原子链首位相连， 呈封闭环，使链上所有原（胞）子等价。
第n个原（胞）子与第n+N个原子情况完 全相同。B-K边界条件也
称周期性边界条件。nq Aei(tnaq)
边界条件要求：eiNaq 1 即：Nqa=2 π h， q 2 h (h为 整 数)
Na
q
a
a
N h N , h取N个整数值 2 / a N
(Qi
)
i (Qi
)
解出：
i
(ni
1 2
)hi
ni
i
h
exp(
22)Hni来自()其中
i
h
Qi
系统的本征能量：
，Hni(ξ)是厄米尔多项式。
E
3N i 1
(ni
1 2
)hi
3N
系统的本征函数：
(Q1 ,Q2 ...Q3N )
ni (Q1 )
i 1
只要找出系统的简正坐标，或说是振动模, 晶格振动问题就解决
4. 简正坐标代表所有原子的一种集体运动(而不是哪个原子的位移) 因为原子位移和简正坐标之间存在正交变换关系：
mi i
aij Q j
假设只存在某一个Qi，j 其它的都为0 (即只考察一个Qj振动)，那么，
第三章 晶格振动和晶体的热力学性质
晶格中原子振动是以角频率为 的平面波形式存在， 这种波称为格波.
波长
格波方程 格波的意义
xn Aeit naq
连续介质中的机械波
晶体中的格波
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
3.1.3 晶格振动的色散关系 将 得
xn
d 2 xn i t naq Ae 代入 m dt 2 xn1 xn1 2 xn
波的形式在晶体中传播,形成所谓的格波.
y A cos(t 0 )
类比于绳波
x y A cos[ (t ) 0 ] u
晶格振动 --- 晶体可视为一个相互耦合的振动系统，这种运动就称
为
晶格振动.
晶格振动是原子的热运动, 对晶体热学性能起主要贡献.
与比热、热膨胀和热传导等
晶格振动是个很复杂问题，任何一个原子的运动 都会涉及到大量原子的运动.
目录
第一章 晶体结构
第二章 晶体的结合
第三章 晶格振动和晶体的热学性质 第四章 晶体缺陷 第五章 金属电子论 第六章 能带理论
第三章 晶格振动和晶体的热学性质 在前两章的讨论中,把晶体中的原子视为固定不动. 实际晶体中的原子、分子都在其平衡位臵做微振动.
0 K下仍有振动, 零点能.
格波 --- 由于晶体原子间的相互作用,原子的振动不是孤立的,而是以
牵一发而动全身
所以,在处理过程中只能采取一些近似模型. ---简谐近似 先考虑一维情况，再推广到三维情况。
§3.1 一维单原子链
3.1.1 运动方程
考虑由 N 个相同的原子组成的一维晶格,原子间距(晶格常 量)为a，原子质量为m.
第n-2个原子 第n-1个原子 第n个原子 第n+1个原子 第n+2个原子
第三章-晶格振动和晶体热学性质
第三章 晶格振动与晶体热学性质1． 原子质量为m,间距为a,恢复力常数为β的一维简单晶格，频率为ω的格波)cos(qna t A u n -=ω，求（1） 该波的总能量，（2） 每个原子的时间平均总能量。
[解答]（1） 格波的总能量为各原子能量的总和。
其中第n 个原子的动能为,)(212tu m n ∂∂ 而该原子与第n+1个原子之间的势能为21)(21--n n u u β 若只为考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为,)(21)(21212--+∂∂=∑∑n n n n n u u t um E β将)cos(pna t A u n -=ω 代入上式得,2sin ])12(21[sin 421)(sin22222221qaqa n t A qna t A m E ⋅+-+-=∑∑ωβωϖϖ 设T 为原子振动周期，利用21)(sin 102=-⎰dt t T T ϕω 可得()dtqa n t T A dt qna t T A qaT nT n 2221022210222sin ]12([sin 14)(sin 121⋅+-+-=E ⎰∑⎰∑ωβωω =241ωm A 2N +2sin 22qa N A β. 式中N 为原子总数。
（2） 每个原子的时间平均总能量为2sin A A 412222qam N E βω+=-再利用色散关系2sin 4)cos 1(222qam qa m ββϖ=-=便得到每个原子的时间平均能量2221A m N E ϖ=-2． 一维复式格子，原子质量都为m ，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同,力常数不同,分别为1β和2β，晶格常数为a,求原子的运动方程及色散关系. [解答]图3.2 一维双原子分子链此题实际是一双原子分子链.设相邻分子间两原子的力常数为2β，间距为b ;一个分子内两原子力常数1β;晶格常数为a;第n-1,n,n+1,n+2个原子的位移分别为211,,,++-n n n n u u u u .第n-1与第n+1个原子属于同一原子,第n 与n+1第个原子属于同一个原子,于是第n 和第n+1个原子受的力分别为)()(1112-+---=n n n n n u u u u f ββ， )()(121211n n n n n u u u u f ---=++++ββ.其运动方程分别为)()(111222-+---=n n n n nu u u u dtu d m ββ)()(12121212n n n n n u u u u dt u d m ---=++++ββ设格波的解分别为[][]t qna i t a q i n AeAeu n ϖϖ--==212)([][]t qna i t qb a q i n BeAeB u n ϖϖ--++==212)('1.代入运动方程，得)()(122iqa Be A A B A m ----=-ββϖ.)()(212A B B AeB m iqa---=-ββϖ整理得)()(,0)()(22122221=-++-=--+-B m A e B e A m iqaiqa ϖββββββϖββ由于A 和B 不可能同时为零。
第三章晶格振动和热学性质
第n个原子和第n＋1个原子间的距离 a n 1 n
平衡位置时，两个原子间的互作用势能 U (a ) 发生相对位移
n 1 n
后，相互作用势能
U (r ) U (a )
1 d 2U 1 d 3U dU 2 U (r ) U (a ) (r a ) dr 2 ( r a ) 6 dr 3 2 dr a a
对于吸收声子过程，有
' ' k q k
' ' 对于产生(又称发射)声子过程，有 k k q
将常数ħ去掉，以上四式可化为以下两式
' k k q
'
当入射光的频率Ω及波矢κ一定．在不同方向(κ́的
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
—— 声学波 —— 光学波
—— 与q之间存在着两 种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在 两种独立的格波
当波矢q增加一个 关系不变。
2 a
的整数倍，原子的位移和色散
为了保持这些解的单值性，限制 q
二、 一维复式格子
1.一维复式格子的格波解 两种原子m和M ( M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… m原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… 同种原子间的距离a-晶格常数
两不同原子平衡位置的距离为b,力常数β1
只考虑最近邻原子的相互作用，容易列出第2n个原子 和2n+1个原子的运动方程
§3.4 晶格振动谱的实验测定方法 晶格振动谱的实验测定方法，主要有两类：一类 是光子散射方法，一类是中子散射方法．它们的原 理是相同的。 一、光子散射 格波与光波相互作用、相互交换能量的过程， 可理解为光子与声子的碰撞过程．设入射光子的频 率和波矢分别为Ω和κ，与频率为ω波矢为q的声子 碰撞后，光子的频率和波矢分别变成Ω ́及κ́．碰撞 过程中，能量守恒和准动量守恒。 对于吸收声子过程，有
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
1 cos qa 2 M12 q
长 振波 动极方限向下相，同， B代A 表 了1 原表胞明质原心胞的中振两动个原子
长声学波代表了原胞质心的运动
当波长比晶格常数大很多时，qa = 1
2
q
a2q2
2M1 M2
色散关系与连续介质中的弹性波类似， 这也是声学波的名称来由
前面讨论晶体结构时，假设了晶体中各原 子固定在格点上不动。其实，不管是气体、 液体或是固体，在一定温度下，原子（或 分子）都在做不停的热运动。 静止晶格的模型在解释金属主要由导电 电子决定的平衡态性质和输运性质方面相 当成功，但是对金属进一步的了解以及对 绝缘体哪怕是最基本的了解都需要对离子 实的运动加以考虑。
讨论: q 2 l
Na
(1)为了保持位移和频率的单值性，波矢仍
然被限制在 p q ；利用波恩-卡
门边界条件，可a 以得到a晶格振动的波矢数
目等于晶体的原胞数 (2)在复式格子中，一个波矢对应两个频率，
所以其格波模式是2N，2N也是原子的自由 度数。因此晶格振动的模式数目等于原子 的自由度数之和。
上式说明，晶格的振动谱是分离谱，晶格
振动的波矢数目等于晶体的原胞数N
格波1（红色标示）的波矢：q1
2a
相邻原子位相差：
aq1
5
格波2（绿色标示）的波矢：q2 2a
相邻原子的位相差： aq2
2
2
2
-----两种波矢下 ，格波描述的原子振动完全相同
（4）在连续介质中传播的平面波方程为
(8)短波极限，q 波长 2 2a
a
q
说明相邻两原子的位相相反
第三章晶体子的热振动
第三章 晶体中原子的热振动第一章、第二章中在讨论晶体的结合、固体中结合力性质以及相关物质性质（例第二章中的压缩系数或体弹性模量、抗张强度等）时曾忽略了晶体中原子热运动的影响（例当时考虑了T=0K 这种最简单的情况），认为固体中原子是处在平衡位置（即()()最小0,00r u rr u rr =∂∂=），这时整个晶体的势能最小，而实际上晶体中原子并非固定不动的，而是在其平衡位置附近或围绕其平衡位置作振动。
这种振动即本章所讨论的所谓热振动，在高于绝于零度以上的任何温度，这种运动都会发生，其振动频率大体在1012-1013次/S ，其振幅的数值决定于温度和晶体本身的性质，其振幅数量便大体为10-9cm 。
在较高温度下，振动原子通过偶然性的统计涨落，可获得高于平均能量的能量，当这种能量的大小足以摆脱周围原子束缚时，原子可离开其平衡位置而到达一个新的平衡位置，即产生扩散现象。
关于这方面的问题将在第四章中讨论。
本章讨论原子的热振动的情况，即在温度不太高时原子作微小振动的情况。
晶体中原子的热振动同晶体的许多重要宏观性质有关，例固体的比热、热膨胀、热传导等热学性质，电阻、超导电性等固体的电学性质，红外吸收与辐射等光学性质等。
所以，对晶体中原子热振动的研究和讨论是认识和了解固体中许多宏观性质、微观过程及其机理的重要基础。
本章只着重讨论其中的有关固体热学性质的部分，其它部分在本章最后的小结及后续章节、后续课程中可能有介绍（例电阻的产生机理、声子、电子运动等），因为热学性质是原子的振动在宏观性质上最直接的表现，对晶体原子振动的研究，最早是从热学性质开始的。
（在“统计热力学”中将讨论有关配分函数的处理及热力学函数的计算，本章中固体比热的计算，同上述内容有联系。
）§3.1晶体中原子的微振动及其量子化1．设晶体由N 个原子组成，它们相对于平衡位置的位移，分别用（x 1，x 2，x 3）、（x 4，x 5，x 6）……、（x 3N-2，x 3N-1，x 3N ）来表示，则其动能可表示为：∑=∙=Ni ii x m T 31221 （1）（)(212∙===x dt dx v mv T ） 其中m i 是坐标为x 1的原子的质量。
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，由于
很小，
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
色散关系: 频率与波矢为线性关系
§1 一维晶格的振动
相邻两个原子振动相位差为0；
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
波长远大于原子间距，一个 波长中包含很多原子，晶格 可看做是连续介质。
相速度与群速度相等，为与波矢无关的常数。
§1 一维晶格的振动
（2）格波波矢的取值和布里渊区 相邻原子的位相差： 时，所有原子的振动 没有任何改变 格波1（红色标示）的波矢：
第 三 章
相邻原子的位相差：
格波2（绿色标示）的波矢：
相邻原子的位相差： 波矢的取值：
晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 两种波矢下，格波描述的原 热 子振动是完全相同。 学 的取值区间第一布里渊区 性 质
§2 一维晶格的振动
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
声子具有能量、动量，可以看做是准粒子 格波在晶体中的散射可以理解为声子和原子之间的碰撞 电子波在晶体中的散射可以看做是电子和声子之间的相互作用 光在晶体中的散射可以看做是光子和声子之间的相互作用
§1 一维晶格的振动
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
§2 一维晶格的振动
1.运动方程及其解
若只考虑最近邻原子的相互作用，容易列出第2n个原子和2n+1 第 三 个原子的运动方程
章 晶 格 动 当原子链包含N个原胞（即有 N个质量为M的原子和N个质量为m 力 ， 的原子共2N个原子）时，应有2N个方程组成的联立方程组。 学 和 晶 方程解的形式为： 体 的 热 学 性 质
=
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
即：
为整数 表明描述有限晶格振动状态的波矢 不能连续取值，只能取一些分立的值。 波矢的取值范围：
所以：
§1 一维晶格的振动
h只能取N个整数。波矢q也只能取N个不同的分立值。所 以在布里渊区包含N个状态。 第一布里渊区状态数说明：每个波矢在第一布里 渊区占的线度：
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
§1 一维晶格的振动
4.原子位移和简正坐标的关系 第q个格波引起第n个原子的位移： 第n个原子的总位移： 则： 令： 即 比较 得到 简正坐标 和
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
线性变换
幺正变换
§2 一维晶格的振动
方程的右端为:
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
方程的两端消去共同因子，得 利用欧拉公式后得:
即频率为:
§2 一维晶格的振动
2.格波特性 （1）格波
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
不同原子间相位差：
相邻两个原子的相位差：
格波的波形图
如果不同原子间相位差 为 的整数倍时，则原子因振动而产生 的位移相等，即
第三章 晶格动力学和晶体的热学性质
周恒为
第三章 晶格动力学和晶体的热学性质
原子、分子都在作不停地运动
气体、固体、液体分子原子的运动形式不同 晶体中的原子分子在其平衡位置做微振动，平衡位置即是晶格格点
原子间的相互作用使晶体中各个原子间的运动相互耦合、相互有关
晶格（晶体）振动：结构系统可以看成是一个相互耦合的振动系统，这 种运动就称为晶格振动
二、一维双原子链振动 许多晶体的原胞里原子数多于一个。为了表示复式格子的晶 格振动特性，考虑由两个不同原子组成的一维双原子链。 一维双原子链：P原子质量为M,Q原子质量m,相邻同种原 子间的距离为a(复式格子的晶格常数）。 质量为M的原子位于2n-1,2n+1,2n+3…..； 质量为m的原子位于2n,2n+2,2n+4……..
从晶体中原子的振动出发去讨论晶体的宏观性质，称为晶格动力学
晶格振动与晶体的热学性质密切相关 与电学、光学、介电等性质也密切相关
第三章 晶格动力学和晶体的热学性质
晶格动力学是固体物理学中最基础、最重要的部分之一。 教学目标： 1.晶格动力学的基本概念和方法 2.晶格动力学在研究热血性质中的应用
但晶格的运动形式复杂，为了便于迅速理解晶格振动的主要特点，先考 虑一维情况，再推广到三维情况
相速度是指特定频率为 ，波矢为 的波的传播速度 群速度描述平均频率为 ，平均波矢为 的波包（波 矢紧密相近的波群）速度，它表征能量和动量的传播速 度
§1 一维晶格的振动
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
§1 一维晶格的振动
(4)长波近似和短波近似
长波近似：在布里渊区中心附近
第 三 章
晶 格 动 力 第一布里渊区的线度： 学 和 第一布里渊区状态数： 晶 体 的 上式说明，允许的波矢数目等于N，振动谱是分离谱。N是晶热 格的原胞数目，因此我们得出一个结论：晶格振动的波矢数学 性 目等于晶体的原胞数。 质
§1 简正模和格波
总结： 近似—只考虑近邻原子之间的相互作用 格波——晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 格波的研究思路 1.先计算原子之间的相互作用力 2.根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程 3.特点分析 结果：晶格振动的波矢数目q等于晶体的原胞数N。 晶格振动的独立模式数等于系统的自由度数。 一维单原子链中传播的长波近似下的格波叫声 学波，一只纵模，两只横模。
5.动能和势能具有平方和的形式 原子位移为实数，要求 为N项独立的模式，具有正交性，即
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
利用
和
得到
§2 一维晶格的振动
6.动能的正则坐标表示 将 7.势能的正则坐标表示 将 代入得： 和 代入得到：
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
波恩-卡曼边界条件: 由 个原子头尾相接形成一 个环状链，原子数目有限，但各原 子完全等价，第j个原子的运动与第 j+N个原子的运动情况完全相同。其中的原子 运动近似为直线运动，在处理问 题时要考虑到环链的循环性。
学 和 晶 体 的 热 学 性 质
§1 一维晶格的振动
一维链的 条件
设第n个原子的位移为 ，那么再增加 N个原子之后，第N+n个原子的位移为 则有：
运动方程：
解的形式：
§1 一维晶格的振动
频率： 周期：
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
动能： 势能：
系统总能量：
§1 一维晶格的振动
二、一维单原子链振动
1.运动方程及其解
如图所示，一维晶格是由质量为m的全同原子所构成，相邻 原子平衡位置的间距，即晶格常数为a，第n个原子的平衡位 置为 ,用un表示序号为n的原子在t时刻偏离平衡位置 的位移． 平衡位置时，两个原子间的相互作用势能为 第n个原子和第n+1个原子间的相 对位移为 后，相互作用势能为：
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
§1 一维晶格的振动
第 三 章
上式中首项为常数令为0，此项为0（平衡时势能取极小值） 当 很小时，即简谐近似—振动很微弱，势能展式中只 保留到二阶项。 相邻原子间的相互作用为
如果只考虑相邻原子的相互作用，则第n个原子离开平衡位 置所受到的作用力为：
，
§2 一维晶格的振动
因为M＞m,复式格子中不同原子振动的振幅一般来说是不同的。 可按下列原则得出：①同种原子周围情况都相同，其振 幅相同；原子不同，其振幅不同． ②相隔一个晶格常数a的同种原子，相位差为qa．
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
向上代表原子沿X轴 向右振动，向下代表 原子沿X轴向左振动
§1 一维晶格的振动
如果不同原子间相位差 为 的奇数倍时， 则原子因振动而产生的位移相反，即
第 三 章
晶 这说明，晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的 格 位相关系，即在任意时刻，原子的位移有一定的周期分布， 动 力 也即原子的位移构成了波，这种波称为格波。由于讨论的 学 是简谐近似，所以格波是平面波。 和 晶格中格波和连续介质波具有完全类似的形式。一个 晶 体 格波表示的是所有原子同时做频率为 的振动。 的 格波的波长： 热 学 格波的波矢： 性 代表沿格波传播方向的单位矢。 质质中的弹性波的一致。 相邻原子间的相互作用力： 原子链的伸长模量
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
格波的传播速度：
连续介质中弹性波的传播速度： 可见，两者相速度相同，所以，对一维单原子链，晶格 可 看做是连续介质格波看做弹性波。 在连续介质中传播的波为弹性波，其波速为声速，故单原 子链中传播的长波近似下的格波叫声学波。
§1 一维晶格的振动
短波近似：
第 三 章
色散关系：由
得
频谱是非线性的，格波的 色散关系与连续介质中弹 性波的不一致； 格波的波长： 两个 相邻原子的振动相位相反；
晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
§1 一维晶格的振动
不同频率的格波传播速度不同，群速度与波矢有关：
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
短波极限下：
§1 一维晶格的振动
3.波恩-卡曼边界条件
第 三 以上的讨论是将一维单原子晶格看做无限长来处理的，这样 章
所有的原子是等价的。每个原子的振动形式都一样。实际的 晶体都为有限的。形成的链不是无穷长，这样两头的原子就 晶 格 不能用中间原子的运动方程来描述。波恩-卡曼提出采用周期 动 性条件可以解决上述困难。 力
§1 一维晶格的振动
只要研究清楚第一布里渊区的晶格问题就可以， 其它区域不能 提供新的物理信息 第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质