几何图形中函数解析式的求法(学法指导).doc

几何图形中函数解析式的求法

函数是初中数学的重要内容，也是初中数学和高中数学有相关联系的 细节，在历年的中考试题中都占有重要的份量，而求函数的解析式则成为 中考的热点。求函数的解析式的方法是多种多样的，但是学生往往把思維 固定在用“待定系数法”去求函数的解析式。而使用待定系数法去求函数 的解析式的大前提是必须根据题目的条件，选用恰当函数(如正、反比例 函数，一次、二次函数)的表达式。如果题目中能根据直接条件或间接条 件给出函数的类型，当然是选用待定系数法求函数的解析式。

但我们发现，在几何图形中求函数解析式却成为初中数学考试的常见 题、压轴题。同时我们也发现，在几何图形中求函数解析式往往是无法确 定所求函数的类型，因此用待定系数法进行解题是行不通的。我们知道， 函数的解析式也是等式，要建立函数解析式，关键是运用已知条件在几何 图形中找出等量关系，列出以变量有关的等式。下面以几个例子来探求在 几何图形中建立函数解析式的常见类型和解题途径。

一、 用图形的面积公式确立等量关系

例1、如图1，正方形ABGD 的边长为A ，有一点P 在 BC 上运动，设PB 二x ，梯形

APCD 的面积为＞，

(1) 求y 与％的函数关系式；

(2) 如果 S AABP 二S 体型APCD 请确定P 的位置。

分析：本题所给的变量＞，是梯形的面枳，因此可根据梯形面枳公式

图1

C

P B

s

4 (上底+下底)xi 分别找出上底、下底、高问题可获解决。因为上 底CP=7^-x ，下底

AD=V^，高CD=V^，于是由梯形面枳公式建立两个变量

之间的等量关系，y = — (V2 -x + V2) - V2 ,整理得： 例2、如图2,在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，

ZBCD=90°，AD=“，BC=2。，CD=2，四边形 EFGG

是矩形，点E 、G 分别在腰AB 、GD 上， 点F 在BC 上。设EF=%，矩形EFCG 的面枳 为).，。(2002年佛山中考题)

(1) 求;y 与■^的函数关系式；

(2) 当矩形EFCG 的面积等于梯形ABCD 的面积的一半时，求％的值； (3) 当ZABG=30°时，矩形EFGG 是否能成正方形，若能求其边长，若不

能试说明理由

分析：本题所给的变量:v 值是矩形的面枳，因此根据矩形面枳公式S 二 长X 宽，

若能算出长FC 与宽EF ，或者用变量x 、y 表示FC 和EF ，则问题 可获解决。其中宽

EF=；c,问题归结为求出长FC ，从而两个变量;v 、y 之间 的关系通过矩形面积公式建

立了。

解：(1)过点A 作AN 丄BC 于N ，因为在矩形EFCG 中，EF 丄BC ，

• BF _ EF

* BN" AN

得 BF= — 2

=-丁 m ⑵略

F

N

•••EF//AN

BF 2a- a

/. EG-FC-2a-BF =

2

•

4a- cix

-y = —2—•x

•••所求的遇数关系式是；y = -—ax 1

+ 2ax (0

(2)、(3)略

由直角三角形，利用勾股定理确立等量关系

例 3、如图 3，在 RtAABC 中，ZB 二90°，ZA 二30° , D 为

BG 边上一动点，AD 的垂直平分线EF 交B 、AD 、C 于 E 、 0、 F, AB 二2。

(1) BD 二％，AE=j.，，求j ，关于％的函数关系式； (2) 是否存在;c 使四边形AEDF 为菱形？若存在，则

说明理由。

分析：本题所给图形中直角三角形较多，将两个变量x, y 之间的关系 集中到同一

直角三角形中问题可获得解决。因为BD 二x, AE 二y, AB 二2,所以 BE 二2-y ，又根据线段中垂线的性质知DE 二AE 二y 。于是，在RtABDE 中，由勾 股定理建立两个变量之间的等式。

解：(1) YEF 是线段AD 的中垂线，

/.AE=DE=＞，

BD 二％，BE 二2-y ，在 RtABDE 中， BD 2

+BE 2

:DE 2

，

E

B D

即 x 2 + （2-y ）2 =y 2 整理得v = _lx 2+l

ZB=90° , ZBAC=30° , AB 二2， 0

3

（O 〈X 〈MI ）为所求的函数解析式。（2）略 3

三、用平行线截线段成比例，利用比例式确立等量关系

例 4、如图 4，在△ ABC 中，AB=8，AC=6，00 是 △ ABG 的外接圆，且BG 是直径，00与00’内切 于点A ，与边AB 、

AC 分别交于点D 、E 。设BD 二％， DE:），。

（1） 求>，关于％的函数解析式，并指出自变量;v 的

取值

范围；

（2） 求当00’与BC 相切时y 的值。

分析：AB=8，BD 二x ，AD=8-X ，如果能求得BC 的长，知道DE//BC,贝

问题便迎刃而解。显然，这两个问题可分别通过直径所对的圆周角的性质、 弦切角定理获得解决。

解：（1）如图4，过点A 作00和©0’的公切线AT ，则有

在 RtAABG 中, 273 人BC=

C

ZBAT=ZDEA=ZBCAo

•.•BG 是直径，ZBAG=90° , •••BG 二 ylAB 2

+ AC

2

二

A /8

2

+62

• S -x _ y

.. =

，

8 10

••• y 与A :的函数关系式是：y = x + 10 (0〈;c 〈8)。

4

(2)略

四、用相似三角形，对应边成比例的比例式确立等量关系

例 5、已知：矩形 ABGD 中，AB=6cm, BG 二8cm,在 BC

边上取一点P (P 与B 、C 两点不重合)， 在DC 边上取一点Q ，使ZAPQ=90°。

(1)设BP 的长为％，CQ 的长为y ，求出y 与x 之间

的还/数关系式；

(2)试讨论当P 在什么位置时，CQ 的值最大。

分析：本题中ZAPQ=90°，若连结AQ ，问题可以转化为上述提到的“用 直角三

角形，利用勾股定理确立等量关系”，但计算过程中会比较复杂且运 算量较大，容易算错。但仔细观察可以发现，由于BP=x, CQ=＞，，其中两个 变量都分别在不同的三角形中，要把它们建立起等量关系，则可考虑证△

ABP^APCQ,由相似三角形对应边成比例可得：^ =民从而问题可获解 PC CQ

/.DE//BC ，/

AD _ DE AB BC

10。

B P

图5

D

Q C