数学建模——人员安排问题

B题人员安排问题
“PE公司”是一家从事电力工程技术的中美合资公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示。

表1 公司的人员结构及工资情况
目前，公司承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。

由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2所示。

表2 不同项目和各种人员的收费标准
为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3 所示：
表3：各项目对专业技术人员结构的要求
说明：
●表中“1～3”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“～”符号的同理；
●项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；
●高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备
有不能少于一定数目的限制。

各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；
●各项目客户对总人数都有限制；
●由于C、D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。

由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41。

因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？并写出相应的论证报告。

问题重述:
本问题是人事安排,在满足客户要求,和公司人员结构的前提下,公司获得最大利润问题,即: 4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41。

因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？
要建立模型:
1,客户要求:不同工种的人数,见表3. 2,公司人员结构:见表1.
3,不同项目,和各种人员收费标准:见表2.
建立最佳收益模型f(x)max,并列出不同项目的人员结构.
模型假设:
假设四个项目同时开始,并且同时结束,所有人都工作.同等级别的人的能力一样. C 、D 项开支由公司支付。

符号说明
i ：用i ＝1,2,3,4分别表示高级工程师，工程师，助理工程师和技术员。

j ：用j ＝1,2,3,4分别表示项目A,B,C 和D 。

ij
X ：公司分配第i 级别工作人员到第j 个项目上的人数。

例如23X
表示公司
分配工程师到项目C 上的人数。

ij
a ：第i 级别工作人员分配到第j 个项目上的收费。

ij
b : 第i 级别工作人员分配到第j 个项目上时公司的开支（包括工资和管理
费）。

ij
A : 表示到项目j 工作的第i 级别工作人员为公司贡献的纯利润收入。

j
λ： 表示第j 个项目的总工时（即项目j 的总工作量）。

模型的建立：
总收益=总收入-总支出
公司每天的总收费为：
ij
i j ij
X a
∑∑==414
1 ， 每天的总开支为：ij
i j ij
X b
∑∑==41
4
1
公司每天的直接收益为：
ij i j ij ij X a X f ∑∑===4
14
1
)( － ij i j ij X b ∑∑==4
14
1
= ij i j ij ij X b a )(4
14
1
∑∑==- （1）
由此可得，方程模型：Max ：ij i j ij ij
ij X b a
X f )()(414
1
∑∑==-=
如下：
10
4
11
≤∑=i i X
9
4
1
1=∑=j j
X
17
4
1
2=∑=j j
X
104
13=∑=j j
X
5
4
1
4=∑=j j
X
且有
ij
X 为整数；（j i ,=1,2,3,4）
由此通过lingo 可以算出一天的公司的最大收益时的公司人员结构最优化信
息 。

（程序见附表）
16412≤∑=i i X 11
4
13
≤∑=i i X
18
4
1
4≤∑=i i X
利用matlab算出最大收益值为：27150（元）。

结果分析：
在考虑客户需求的前提下，实现了公司利益的最大化。

由表4符合可以看出，D 中人员分配比较少，这样公司相对少支付给工程师的50员的额外补助，符合实际。

但由于工程耗时不确定，和实际工程建设中，A、B、C、D不一定同时完工，所以该模型有一定的弊端。