函数的极限练习题

极限练习题及答案

极限练习题及答案一. 选择题1.设F是连续函数f的一个原函数，”M?N”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有.F是偶函数?f)是奇函数.F是奇函数?f是偶函数. F是周期函数?f是周期函数. F是单调函数?f是单调函数．设函数f?1x,则ex?1?1x?0，x x?0，x?1都是f?1都是f的第一类间断点. 的第二类间断点x?0是f的第一类间断点，x?1是f的第二类间断点. x?0是f的第二类间断点，x3．设f?x??x?1x?1是f的第一类间断点.1，则f[，x?0、，1f]?1A） 1?xB） 1?x4．下列各式正确的是 C）XD） x1+ )?exx11lim??elimC） D）?exxA） limx?0?1x?1B）limx?01x?x?xx??x??5．已知lim?9，则a?。

A.1；B.?；C.ln3；D.2ln3。

．极限：lim x??2A.1；B.?；C.e7．极限：lim； D.e。

2x??x3?2= x3A.1；B.?；C.0；D.2．8．极限：limx?0x?1?1x=A.0；B.?；C 1； D.2．29. 极限：lim=x???A.0；B.?；C.2；D. 1．2sinx10．极限: limtanx?=x?0sin2xA.0；B.?；C.二. 填空题 11．极限limxsinx??116； D.16．2xx?12= ； 12. limarctanx= ；x?0x13. 若y?f在点x0连续，则lim[f?f]= ； x?x?14. limsin5xxx?0?；15. limn?；16. 若函数y?x?1x?3x?222，则它的间断点是17. 绝对值函数?x,x?0;?f?x??0,x?0;??x,x?0.?其定义域是，值域是。

?1,x?0;?18.符号函数 f?sgnx??0,x?0;其定义域是，值域是三个点的集合。

??1,x?0.?19无穷小量是。

20. 函数y?f在点x0连续，要求函数y?f满足的三个条件是。

数学—极限练习题及详细答案

一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价无穷小。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。

4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

(完整版)极限练习(基础题)

适用标准第二章极限与连续一、判断题1.若 lim f ( x)lim f ( x) ，则 f ( x) 必在 x 0 点连续；（）x x 0x x 02. 当 x0 时， x 2 sin x 与 x 对比是高阶无量小；（） 3.设 f ( x) 在点 x 0 处连续，则 lim f ( x)lim f ( x)；（）xx 0x x 04.函数f ( x) x 2sin 1, x 0在 x 0 点连续；（）x0 , x 05.x 1 是函数 yx 2 2 的中断点；（）x 16. f ( x) sin x是一个无量小量；（）7. 当 x0 时， x与 ln(1 x 2 ) 是等价的无量小量；（） 8.若 lim f ( x) 存在，则 f ( x) 在 x 0 处有定义；（）x x 09. 若 x 与 y 是同一过程下两个无量大批，则 xy 在该过程下是无量小量；（）10. limx 1 ；（）x 0 x sin x 211. lim x sin 11 ；（）xx 012. lim(1 2) xe 2 ；（）xx13. 数列1, 0, 1, 0, 1 , 0, L 收敛；（）2 4 814. 当 x 0 时， 1 x1 x ~ x ；（）15. 函数f ( x) x cos 1 ，当 x时为无量大；（）sin x x16. ；（）lim1xx17. 无量大批与无量小量的乘积是无量小量；（）18. ln(1 x) ~ x ；（）19. 1；（） lim x sin1xx20. limtan x1 .（）x 0x出色文档适用标准二、单项选择题x 27x 1211、 limA．1B． 0C（）．D ．x 4 x 25x 432、 lim( xh) 2 x 2 =()。

A. 2x B. hC. 0D.不存在h 0h3、 lim2x 2 x 3（）A．B．2C． 0D． 13x 2x2x34、 limn33 3 n 1（）A．B ．3C． 0D．142nn 1 n 245、设 f ( x)3x 2, x 0 ，则 lim f ( x)()x22, xx 0(A) 2(B)(C)1 (D)26、设f( x)x，e 2 1 x 0,则 lim f (x) ()，x 0x 1x(A) 1 (B)(C)1(D)不存在x 2， x 07、设 f ( x)2， x 0 , 则 lim f ( x) ( )x 1， x 0 x(A) 2(B)(C) 1 (D)不存在8设 f ( x) x 1 , 则 lim f ( x) （）A． 0 B． 1 C ． 1 D ．不存在、x 1 x 11 ） A.B. 1C.D. 不存在9、 lim xcos（xx10、 lim x sin 1 （）A.B.1C.D.不存在xx11、以下极限正确的选项是 ()A.lim xsin11B. lim xsin11； C. lim sin x 1 ； D.lim sin 2 x 1；xxx 0 xxxx 0x12、 lim sin mx( m 为常数 ) 等于 ( )B. 1C.1D.mxx 0m13、 lim 2 n sinx等于 () B. 1C.1 D. xnn2x14、 lim sin 2x（）C. ∞2)xx( x出色文档适用标准15、 limtan3x（） A.B.3x 02x216、 lim (12) x（） A.e -2B.e -1C. e 2xx2, x 117、已知函数 f (x)x1, 1 x 0 ，则 lim f ( x) 和 lim f ( x) ()0 x 1 x1x 01 x2 ,(A) 都存在 (B)都不存在(C) 第一个存在，第二个不存在 (D)第一个不存在，第二个存在18、当 n时， n sin1是 ()n(A) 无量小量 (B) 无量大批 (C) 无界变量 (D) 有界变量19、x 1时，以下变量中为无量大批的是( )1x 2 11 x 1(A) 3x(B)1x(C)(D)x 2 11x20、函数xx 1的连续区间是 ()f (x)12 x 1(A) (,1)(B) (1,)(C) (,1)(1, ) (D)( , )x 2 1， x 021、 f ( x)0， x0 的连续区间为 ( )x ， x(A) （，） (B) （，0）（0，） (C) （，0] (D) （0，）22、函数 f (x)1, x 0 ，在 x0 处 ()1, x(A) 左连续 (B)右连续 (C) 连续 (D)左、右皆不连续23、 f ( x) 在点 xx 0 处有定义，是 f (x) 在 x x 0 处连续的 () (A) 必需条件 (B)充足条件 (C) 充足必需条件 (D)没关条件1 24、设 f(x)=(1 x ) x a,, x 0 要使 f(x) 在 x=0 处连续，则 a=（）x 01C.e出色文档25、设 f ( x)sin x x 0在 x=0 处连续，则常数x a=（）ax 026、设 f ( x) 1 x 1 x ，x 0 在 x 0 点处连续，则 kxk ， xA.0 ；；C.1 ； D. 2；227、设函数 f (x)x 4 2 ， x0 在点 x0 处连续，则 k xk ， x 0A. 0B.1 C. 1 D. 242等于 ( )等于 ( )x 1 , x 128、若函数y在 x 1 处是（）3 x , x 1A. 可去中断点B. 跳跃中断点C. 无量中断点D. 非无量型的第二类中断点e xx,则以下说法中正确的选项是 () 29、设f (x)x 2 ，1 ， x 0(A) f ( x)有1个中断点 (B) f (x)有 2个中断点(C) f ( x)有3个中断点(D)f (x)无中断点30、设f (x)x 4 的中断点个数是 ()2 3x4 xA. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题x hx___________ ；2x 71 ；limh、 lim______ 1、 h 0x 1x13、 lim3n 2 = _______ ； 4sin x2、 lim_______ ；n5n2n1xx5、 limxsin x____________ ．6、 lim (xa) sin(a x)xxx a7、 limsin x.、 lim(1 2 )x x 03x8x ________；x出色文档9、 lim x[ln( x2) ln x]_________ln(1 3x)lim_________ ；x10、 x 0 sin 3x11、 limx 3x2ax4存在 , 则 a ______ ；x 1x 112、当 x 0 时， 1 cos x 是比 x ______ 阶的无量小量；13、当 x 0 时，若 sin 2x 与 ax是等价无量小量，则 a ______ ； 14、当 x0 时， 4 x 2与 9 x3是 ______（同阶、等价）无量小量 .15、函数 y x 2在 _______ 处中断；x 29116、11 设 f ( x)e x 2 ,x 0 在 x0 处 ________（是、否）连续；0, x 0sin 2x17、设 f ( x)x , x 0 连续，则 a_________ ；a, x 018、设 f ( x)a x, x 0 在 x 0 连续，则常数 a。

（完整版）函数与极限习题与答案

（完整版）函数与极限习题与答案第⼀章函数与极限（A ）⼀、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-=，其定义域为。

2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。

3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。

4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为。

5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为。

6、432lim23=-+-→x kx x x ，则k= 。

7、函数xxy sin =有间断点，其中为其可去间断点。

8、若当0≠x 时，xxx f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。

9、=++++++∞→)21(lim 222nn nn n n n n Λ。

10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。

11、=++++∞→352352)23)(1(lim xx x x x x 。

12、3)21(lim -∞→=+e nknn ，则k= 。

13、函数231x1是⽐3-+x 15、当0→x 时，⽆穷⼩x --11与x 相⽐较是⽆穷⼩。

16、函数xe y 1=在x=0处是第类间断点。

17、设113--=x x y ，则x=1为y 的间断点。

18、已知33=??πf ，则当a 为时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

19、设??>+<=0)1(02sin )(1x ax x xxx f x 若)(lim 0x f x →存在，则a= 。

20、曲线2sin 2-+=xxx y ⽔平渐近线⽅程是。

21、114)(22-+-=x x x f 的连续区间为。

22、设??>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续，则常数a= 。

⼆、计算题1、求下列函数定义域（1）211xy -= ；（2）x y sin = ；（3）x2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？（1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ；（2）2)(,)(x x g x x f == ；（3）x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== ；3、判定函数的奇偶性（1）)1(22x x y -= ；（2）323x x y -= ；（3）)1)(1(+-=x x x y ；4、求由所给函数构成的复合函数（1）22,sin ,x v v u u y === ；（2）21,x u uy +==；5、计算下列极限（1）)2141211(lim n n ++++∞→Λ；（2）2)1(321lim nn n -++++∞→Λ；（3）35lim 22-+→x x x ；（4）112lim 221-+-→x x x x ；（5）)12)(11(lim 2x x x -+∞→；（6）2232) 2(2lim -+→x x x x ；（7）x x x 1sin lim 20→；（8）xx x x +---→131lim 21 ；（9）)1(lim 2x x x x -++∞→；6、计算下列极限（1）xwx x sin lim 0→；（2）x x→；（4）xx xx )1(lim +∞→；（5）1)11(lim -∞→-+x x x x ；（6）x x x 10)1(lim -→；7、⽐较⽆穷⼩的阶（1）32220x x x x x --→与，时；（2）)1(21112x x x --→与，时；8、利⽤等价⽆穷⼩性质求极限（1）30sin sin tan lim x x x x -→；（2）),()(sin ) sin(lim0是正整数m n x x m n x →；9、讨论函数的连续性。

高等数学极限经典习题及解析

dv 1 v3 v C 1
1 x2
3
2
1 x2
1
2 C.
2v
3
3
2.求
I

arctan x
x dx .
解. I 2 arctan xd x 2 x arctan x 2 xd arctan x
2
x arctan
x

1
1
x
dx

2
x arctan
条件(充分,必要,充要).
3.设 f x 的一个原函数是 x sin x ,则 f x ______ .

4.反常积分 xexdx ______ .
x dx ,于是
At

1 2
t

f
t ,故 t

1 2
是
At
在0,1 上的唯一驻点,又 t 1 时 At 0 , t 1 时 At 0 ,故 t 1 是
2
2
2
At 在0,1 上的最小值点,证毕.
4
七.(1)求解初值问题
dx
dx
dx 2u
dx 2u
2u 1 u2
du

1 dx ,解得 ln 1 u2 x
ln
x
C1 x
1 u2
C ,即
x2 y2 Cx ,代入 x 1, y 0 C 1 ,因此 x2 y2 x .
(2)设 y y x 满足 y 3y 2 y 2ex ,且图形在 0,1 处与曲线 y x2 x 1
4.对于a,b 上函数的下列性质:(1)连续,(2)有界,(3)可导,(4)可积,下面

函数极限练习题

函数极限练习题一、求以下函数的极限：1. $f(x) = \frac{x}{x+1}$，当$x$趋近于正无穷时的极限。

由于函数为有理函数，我们可以将其分子分母同时除以$x$，得到：$f(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{x}}$当$x$趋近于正无穷时，$\frac{1}{x}$趋近于0，因此分母趋近于1。

所以极限为：$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \frac{1}{1+0} = 1$2. $g(x) = \sin(x)$，当$x$趋近于0时的极限。

根据三角函数的性质，$\sin(x)$的极限为：$\lim\limits_{x\to0} g(x) = \sin(0) = 0$3. $h(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$，当$x$趋近于2时的极限。

首先，我们可以对函数进行因式分解：$h(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$当$x$趋近于2时，分母趋近于0，但由于分子中同样存在$(x-2)$这一因子，两者相除后可以约去，所以极限为：$\lim\limits_{x\to2} h(x) = \lim\limits_{x\to2} (x+2) = 4$二、求以下函数的极限：1. $f(x) = \frac{x^3-2x^2-3x+2}{x^2-4}$，当$x$趋近于2时的极限。

首先，我们可以对函数进行因式分解：$f(x) = \frac{(x-2)(x^2+x-1)}{(x-2)(x+2)}$当$x$趋近于2时，分子和分母都趋近于0，所以可以将相同的 $(x-2)$ 因子约去，得到：$\lim\limits_{x\to2} f(x) = \lim\limits_{x\to2} \frac{x^2+x-1}{x+2} =\frac{2^2+2-1}{2+2} = \frac{5}{4}$2. $g(x) = \frac{\sqrt{x+1}-3}{x-8}$，当$x$趋近于8时的极限。

函数极限练习题

函数极限练习题1.按定义证明下列极限: (1) =6 ; (2) (x 2-6x+10)=2; (3) ; (4) =0;(5) cos x = cos x 0 2.根据定义2叙述 f (x) ≠ A. 3.设 f (x) = A.,证明 f (x 0+h) = A. 4.证明:若 f (x) = A,则| f (x)| = |A|.当且仅当A 为何值时反之也成立? 5.证明定理3.16.讨论下列函数在x 0→0 时的极限或左、右极限: (1)f(x)=; (2) f(x) = [x](3) f (x)=7.设 f (x) = A,证明 f () = A +∞→x limxx 56+2lim →x +∞→x lim11522=--x x -→2lim x 24x -0lim xx →0lim xx →0lim x x →0lim →h 0lim x x →0lim xx →xx⎪⎩⎪⎨⎧<+=>.0,1.0;0.0;22x x x x x +∞→x lim 0lim x x →x18.证明:对黎曼函数R(x)有R (x) = 0 , x 0∈[0,1](当x 0=0或1时,考虑单侧极限).习题求下列极限：（1）2（sinx －cosx －x 2）; (2); (3) ; (4) ; (5) (n,m 为正整数)；（6）；（7）（a>0）; (8) . 利用敛性求极限： (1) ; (2) 设 f(x)=A, g(x)=B.证明：（1）[f(x)±g(x)]=A ±B; （2）[f(x)g(x)]=AB; （3）=(当B ≠0时)设f(x)=, a 0≠0,b 0≠0,m ≤n,试求 f(x) 设f(x)>0, f(x)=A.证明 0lim xx →2lim π→x 0lim →x 12122---x x x 1lim →x 12122---x x x 0lim →x ()()3232311x x x x +-+-1lim →x 11--m n x x 4lim→x 2321--+x x 0lim →x xax a -+2+∞→x lim()()()902070155863--+x x x -∞→x limx x x cos -0lim →x 4sin 2-x xx 0lim x x →0lim xx →0lim xx →0lim xx →0limx x →)()(x g x f BAnn n n mm m m b x b x b x b a x a x a x a ++++++++----11101110 +∞→x lim 0lim xx →=，其中n ≥2为正整数. 6. 证明a x=1 (0<a<1) 7.设 f(x)=A, g(x)=B. (1)若在某∪0(x 0)内有f(x) < g(x)，问是否必有A < B ? 为什么？（2）证明：若A>B,则在某∪0(x 0)内有f(x) > g(x). 8.求下列极限（其中n 皆为正整数）： (1) ; (2) ; (3) ; (4) (5) (提示：参照例1)9．（1）证明：若 f (x 3)存在，则 f (x)= f (x 3) （2）若 f (x 2)存在，试问是否成立 f (x) = f (x 2) ? 习题叙述函数极限f(x)的归结原则,并应用它证明cos x 不存在.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: = f(x)存在的充要条件是f 在[a,+)上有上(下)界. (1)叙述极限 f (x)的柯西准则; (2)根据柯西准则叙述 f (x)不存在的充要条件,并应用它证明sin x 不存在. 0limx x →nx f )(n A 0lim →x 0lim x x →0lim xx →-→0lim x nx x x+11+→0lim x nx x x+11lim →x 12--+++x nx x x n 0lim→x xx n11-+∞→x lim[]x x 0lim →x 0lim →x 0lim →x 0lim →x 0lim →x 0lim →x +∞→n lim +∞→n lim ∞+∞→n lim ∞-∞→n lim -∞→n lim -∞→n lim4. 设f 在∪(x 0)内有定义.证明:若对任何数列{x n }∪(x 0)且x n =x 0,极限f(x n )都存在,则所有这极限都相等. 提示: 参见定理3.11充分性的证明.5设f 为∪0(x 0)上的递减函数.证明:f(x 0－0)和f(x 0+0)都存在,且 f(x 0－0) =f(x), f(x 0+0)= f (x) 6.设 D(x)为狄利克雷函数,x 0∈R 证明D(x)不存在. 7.证明:若f 为周期函数,且f(x)=0,则f(x)=0 8.证明定理3.9习题求下列极限(1) ; (2)(3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ; (9) ; (10)求下列极限(1) ; (2) (a 为给定实数);(3) ; (4) ; ⊂∞→n lim ∞→n lim ()00supx u x -∈)(00inf x u x n∈0lim x x →+∞→x lim xx x 2sin lim 0→()230sin sin limx x x →2cos lim 2ππ-→x x x xxx tan lim 0→30sin tan lim xx x x -→x xx arctan lim 0→xx x 1sin lim +∞→a x a x a x --→22sin sin lim114sin lim-+→x xx x x x cos 1cos 1lim20--→xn x-∞→-)21(lim ()x x ax 101lim +→()xx x cot 0tan 1lim +→xx x x 1011lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→(5) ; (6) (为给定实数) 证明: 利用归结原则计算下列极限: (1) ; (2)习题证明下列各式(1) 2x －x 2=O(x) (x →0); (2)x sin (x →0+);(3)(x →0);(4) (1+x)n = 1+ nx+o (x) (x →0) (n 为正整数) (5) 2x 3+ x 2=O(x 3) (x →∞) ;(6) o (g(x))±o(g(x)) =o(g(x))(x →x 0) (7) o(g 1(x))·0(g 2(x))=o(g 1(x)g 2(x)) (x →x 0) 应用定理3.12求下列极限：(1) (2) 证明定理3.13求下列函数所表示曲线的渐近线：(1) y = ; (2) y = arctan x ; (3) y =试确定a 的值，使下列函数与x a当x →0时为同阶无穷小量： (1) sin2x －2sinx ; (2)－ (1－x); (3); (4)12)1323(lim -+∞→-+x x x x x n xβα)1(lim ++∞→βα,12cos 2cos 2cos lim lim 20=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→→n n x x x x xcox nn n πsinlim∞→)(23x O x =)1(11o x =-+xx x x x cos 1arctanlim-∞→xx x cos 111lim 20--+→x 1xx x 24323-+x+11x x sin 1tan 1--+53243x x -试确定a 的值，使下列函数与x a当x →∞时为同阶无穷大量： (1); (2) x+x 2(2+sinx);(3) (1+x)(1+x 2)…(1+x n).证明：若S 为无上界数集，则存在一递增数列{x n }s ，使得x n →+∞(n →∞)证明：若f 为x →r 时的无穷大量，而函数g 在某U 0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg 为x →r 时的无穷大量。

极限证明练习题

极限证明练习题在数学学科中，极限证明一直是一个重要的环节。

通过极限证明，我们可以推断函数的性质、计算无穷数列的极限等。

下面将为您介绍一些极限证明的练习题，帮助您巩固和提升自己的数学能力。

练习题一：证明函数极限已知函数 f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求证：lim(x→2) f(x) = 11。

解析：根据极限的定义，对于任意给定的ε > 0，存在一个δ > 0，使得当 0 < |x - 2| < δ 时，有 |f(x) - 11| < ε 成立。

我们首先计算 f(x) - 11 的绝对值：|f(x) - 11| = |3x^2 + 2x - 1 - 11| = |3x^2 + 2x - 12|当我们将 x 接近 2 时，让我们来看一下 |3x^2 + 2x - 12| 是否能够趋近于 0。

当x → 2 时，3x^2 + 2x - 12 = 3(2^2) + 2(2) - 12 = 12，可以看出当 x 接近 2 时，函数值为 12。

因此，对于任意给定的ε > 0，我们可以选择δ = 1，那么当 0 < |x - 2| < 1 时，有 |f(x) - 11| = |3x^2 + 2x - 12| < 12 < ε 成立。

综上所述，我们证明了lim(x→2) f(x) = 11。

练习题二：证明数列极限对于数列 {an}，已知 a1 = 2，a2 = 3，an = (a_{n-1} + a_{n-2})/2，求证：lim(n→∞) an = 5。

解析：我们先来递推一下这个数列，找到一个一般的式子来表示 an。

a1 = 2a2 = 3a3 = (a2 + a1)/2 = (3 + 2)/2 = 2.5a4 = (a3 + a2)/2 = (2.5 + 3)/2 = 2.75a5 = (a4 + a3)/2 = (2.75 + 2.5)/2 = 2.625...我们可以观察到，每一项的值都是前两项的平均值。

极限计算练习题

极限计算练习题一、基本极限计算(1) lim(x→0) (sin x / x)(2) lim(x→1) (1 cos x) / x^2(3) lim(x→π/4) (tan x 1) / x π/4(1) lim(x→0) (e^x 1) / x(2) lim(x→0) (ln(1+x) / x)(3) lim(x→+∞) (1/x ln(1+1/x))二、含参数极限计算(1) lim(x→0) (sin ax / x)(2) lim(x→0) (1 cos bx) / x^2(3) lim(x→π/2) (tan(cx) 1) / (x π/2)(1) lim(x→+∞) (e^(kx) 1) / x(2) lim(x→∞) (ln(1+mx) / x)(3) lim(x→+∞) (1/x^n ln(1+1/x^n))三、复合函数极限计算(1) lim(x→0) (sin x^2 / x^2)(2) lim(x→1) (e^(x^2 1) 1) / (x 1)(3) lim(x→0) (ln(1+sin^2 x) / x^2)(1) lim(x→0) (1 cos x^3) / x^6(2) lim(x→+∞) (x ln x) / x(3) lim(x→+∞) (x^2 arcsin(1/x)) / x四、无穷小比较与等价无穷小(1) sin x 与 x(2) 1 cos x 与 x^2(3) e^x 1 与 x(1) lim(x→0) (sin^3 x / x^3)(2) lim(x→0) (e^x 1 x) / x^2(3) lim(x→0) (arctan x x) / x^3五、极限存在的判定与证明(1) lim(x→0) (sin x / x^2)(2) lim(x→1) (1 x^2) / (1 x)(3) lim(x→+∞) (x ln x)(1) lim(x→0) (x sin x)(2) lim(x→+∞) (ln x / x)(3) lim(x→+∞) (x / e^x)六、分段函数极限计算(1) lim(x→0) [x^2 sin(1/x) / (1 cos x)](2) lim(x→0) [x^2 / (e^(1/x) 1)](3) lim(x→1) [(x 1) / (1 √x)](1) lim(x→0) [x / (|x| + sin x)](2) lim(x→π) [(x π)^2 / sin(x π)](3) lim(x→+∞) [(x^2 + 1) / (x^2 x + 1)]七、含有绝对值的极限计算(1) lim(x→0) [|x| / sin|x|](2) lim(x→0) [(|x| 1) / (1 |x|)](3) lim(x→1) [(1 |x 1|) / (x 1)](1) lim(x→0) [x^2 / (1 |x|)](2) lim(x→0) [(1 |x|) / x^2](3) lim(x→+∞) [|x| / (x^2 + 1)]八、含有指数函数的极限计算(1) lim(x→0) [(a^x 1) / x](2) lim(x→+∞) [(a^x + b^x) / (a^x b^x)](3) lim(x→∞) [(1 + x)^1/x](1) lim(x→0) [e^(ax) / (e^x 1)](2) lim(x→+∞) [x^2 / (e^x e^(x))](3) lim(x→+∞) [ln(x^2 + 1) / ln(e^x)]九、含有对数函数的极限计算(1) lim(x→1) [(ln x) / (x 1)](2) lim(x→0) [(ln(1 + x^n)) / (ln(1 + x))](3) lim(x→e) [(ln x) / (x e)](1) lim(x→+∞) [(ln x) / (x)](2) lim(x→1) [(ln(x^2)) / (x 1)](3) lim(x→0) [(ln(1 + e^x)) / x]十、综合极限计算(1) lim(x→0) [(sin x x + x^3/6) / (x^5)](2) lim(x→+∞) [(x^2 + ln x) / (x^2 ln x)](3) lim(x→π/2) [(tan x tan(π/4)) / (x π/4)](1) lim(x→0) [(1 cos x) / (x^2 + sin^2 x)](2) lim(x→1) [(x^2 ln x) / (1 e^(1x))](3) lim(x→+∞) [(x ln x) / (x + ln x)]一、基本极限计算1.(1) 1(2) 1/2(3) 12.(1) 1(2) 1(3) 1二、含参数极限计算1.(1) a(2) b^2/2(3) c/(c^2 1) 2.(1) k(2) m(3) 1/n三、复合函数极限计算1.(1) 1(2) 2(3) 1/2(1) 1/6(2) 1(3) 1四、无穷小比较与等价无穷小1.(1) 是，等价无穷小(2) 否，不是等价无穷小(3) 是，等价无穷小2.(1) 1(2) 1/2(3) 1/6五、极限存在的判定与证明1.(1) 不存在(2) 存在，值为 2(3) 存在，值为 02.(1) 存在，值为 0(2) 存在，值为 0(3) 存在，值为 0六、分段函数极限计算1.(2) 0(3) 1/22.(1) 0(2) 0(3) 1七、含有绝对值的极限计算1.(1) 1(2) 不存在（左极限为1，右极限为1）(3) 不存在（左极限为1，右极限为1）2.(1) 0(2) 不存在(3) 0八、含有指数函数的极限计算1.(1) ln a(2) 1(3) e2.(1) 1/(a1)(2) 1九、含有对数函数的极限计算1.(1) 1(2) n(3) 1/e2.(1) 0(2) 2(3) 1十、综合极限计算1.(1) 1/120(2) 1(3) 12.(1) 1/2(2) 不存在（因为当x→1时，分子趋向于0，而分母趋向于负无穷）(3) 1。

函数的极限练习题一、选择题1. 函数$ f(x) = \frac{3x^2 - 2x + 1}{x - 1} $在$ x \to 1 $时的极限是：A. 3B. 2C. 1D. 02. 函数$ g(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) $在$ x \to 0 $时的极限是否存在？如果存在，求其值。

A. 存在，值为0B. 存在，值为1C. 不存在D. 存在，值为无穷大3. 函数$ h(x) = \frac{\sin(x)}{x} $在$ x \to 0 $时的极限是：A. 1B. -1C. 0D. 不存在二、填空题4. 计算极限$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} $的值为______。

5. 若$ \lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5 $，则函数$ f(x) = 3x -1 $在$ x \to2 $时的极限为______。

6. 函数$ f(x) = x^3 - 3x $在$ x \to ∞ $时的极限为______。

三、解答题7. 求函数$ f(x) = \frac{\ln(x)}{x} $在$ x \to ∞ $时的极限，并证明你的结论。

8. 利用夹逼定理证明函数$ g(x) = x - \sin(x) $在$ x \to 0 $时的极限为0。

9. 给定函数$ h(x) = \frac{1}{1 + x^2} $，证明其在$ x \to∞ $时的极限为0。

四、证明题10. 证明当$ x $趋近于正无穷时，$ (1 + \frac{1}{n})^n $的极限为$ e $。

11. 证明函数$ f(x) = \frac{\sin(x)}{x} $在$ x \to 0 $时的极限存在，并且等于1。

12. 证明函数$ g(x) = x^n $在$ x \to 0 $时的极限为0，其中$ n > 0 $。

极限与最值、极值练习题

极限与最值、极值练习题
本文档旨在提供一些关于极限与最值、极值练题的完整版指导。

以下是一些练题示例，供您练和巩固相关概念。

1. 极限计算题
问题 1
求函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 的极限 $\lim_{x \to 1} f(x)$。

问题 2
已知函数 $g(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 1} - x$，求 $\lim_{x \to -1}
g(x)$。

2. 极大值和极小值问题
问题 1
一边长为 $x$ 的长方形的周长为 $2x + 20$。

求这个长方形的
最大面积。

问题 2
已知函数 $h(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，求函数在区间 $[-1, 3]$ 上的
最小值和最大值。

3. 极值问题
问题 1
已知函数 $k(x) = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 2x + 1$，求函数的极大值和极小值。

问题 2
求函数 $f(x) = |x - 2| - |x + 2|$ 的极大值和极小值。

总结
本文档提供了一些关于极限与最值、极值的练题以供练和参考。

通过完成这些练题，您可以加深对相关概念和问题的理解，并提升
在研究中遇到类似问题时的解决能力。

请注意，这些是练题的答案并不包含解题过程。

在实际研究中，我们鼓励您通过理论知识和解题技巧，自己尝试解答这些问题，并
与参考答案进行对比和验证。

祝您研究愉快！。

（完整版）函数极限习题与解析

函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题1、设x x x f lg lg 2)(+-=，其定义域为。

2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。

3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。

4、设)(x f 的定义域是的定义域是[0[0[0，，1]1]，则，则)(sin x f 的定义域为。

5、设)(x f y =的定义域是的定义域是[0[0[0，，2] ，则)(2x f y =的定义域为。

6、432lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。

7、函数xx y sin =有间断点，其中为其可去间断点。

8、若当0≠x 时，xxx f 2sin )(=，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。

9、=++++++∞→)21(lim 222n n nn nn n n Λ。

1010、函数、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。

1111、、=++++∞→352352)23)(1(lim x x x x x x 。

1212、、3)21(lim -∞→=+e n kn n ，则k= 。

1313、函数、函数23122+--=x x x y 的间断点是。

1414、当、当+∞→x 时，x 1是比13+-+x x 的无穷小。

1515、当、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是无穷小。

1616、函数、函数x e y 1=在x=0处是第类间断点。

1717、设、设113--=x x y，则x=1为y 的间断点。

1818、已知、已知33=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，则当a 为时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

1919、设、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0x f x →存在，则a= 。

2020、曲线、曲线2sin 2-+=xx x y 水平渐近线方程是。

数学分析—极限练习题及详细答案教学文稿

数学分析—极限练习题及详细答案一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价无穷小。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.1 1.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（）A.5B.3C.1D.02.【答案】 B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.1223331233200311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。

4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim 1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

高中数学函数的极限范例例题

x0
－x＋2，當 x＜0
解■ (2)如右图，lim f（x）＝ lim（－x＋2）＝2
x0－
x0－
lim f（x）＝ lim（2x＋2）＝2
x0＋
x0＋
lim f（x）＝ lim f（x）＝2
x0－
x0＋
∴lim f（x）＝2 x0
例题 5 极限的存在
利用左极限及右极限判断下列极限是否存在。 (3) lim log2│x│。
x2－
x2－
x2＋
x2＋
∴2a＋b＝－2
② lim f (x) ＝ lim x2＝0，lim f (x) ＝ lim（ax＋b）＝b
x0－
x0－
x0＋
x0＋
由①与②得 b2＝a＋0 b＝－2，解得 a＝－1，b＝0
∴b＝0
上一题
下一题
主题 3 中间值定理
例题 16 中间值定理的应用
x3

xx－－43＋（x－3）（2 x－1）
＝lim（x－4）（x－1）＋2 x3 （x－3）（x－1）
＝lim x2－5x＋6 ＝lim（x－3）（x－2） x3（x－3）（x－1） x3（x－3）（x－1）
＝lim x－2＝1 x3 x－1 2
上一题下一题
例题 9 函数极限的运算性质(四)根式型
上一题下一题
例题 17 勘根定理的应用
(1)设 f（x）＝2x4－5，g（x）＝x2－5，试证在 1 与 2 之间有一实数 c，满足 f（c）＋g（c）＝c。
■證 (1)令 F（x）＝f（x）＋g（x）－x ＝（2x4－5）＋（x2－5）－x ＝2x4＋x2－x－10
F（1）＝2＋1－1－10＝－8＜0 F（2）＝2．24＋22－2－10＝24＞0 ∴F（1）．F（2）＜0 由勘根定理可知，在 1 与 2 之间有一实数 c 满足 F（c）＝0 即 f（c）＋g（c）－c＝0 f（c）＋g（c）＝c

第一章函数极限连续例题练习

【例题1.13】求极限I = lim
x→0
φ2
【例题1.14】设f (a)表示方程x +ln⁡(1+x )=a的实数根，a∈[1,+∞).证明： lim f (a) lna = x→∞ a
1
【例题1.19】求极限I = lim n sin (2πen!)
x→∞
【例题1.23】设fn
(x)
=
xn
ln
x，求极限 lim
数n，存在ξn ∈ [0, 1]，使得f
1 ξ−
n
1 = f (ξ) −
n
2
，使 lim
x→0
arctan
x
−
x 1
+ +
αx3 βx2
是关于x的尽可能高阶的等价无穷小
【例题1.42】尝试确定常数A,B,C使得 lim esin x x→0 sin x
=
1
+ Bx + Cx2 x + Ax2
+
o
x2
【例题1.55】设f (x)在闭区间[0, 1]上连续，f (0) = 0, f (1) = 1，求证：对于任意的正整
k
√
【例题1.30】设数列{an}满足a1
>
0, an+1
=
an+1an, n
≥
1，证明： lim √ an x→∞ 4n +
1
=
2 2
1
【例题1.31】设数列{xn}定义为x1
=
1, xn+1
=
xn
+
1 xn
,
n
=
1, 2 · · · 证明： lim x2n − n n→∞ ln n

高等数学第一章函数极限练习题

(1 x ) 1 lim x 0 x
- 17 -
习题课（一）
例7
第一章函数极限连续
解
x2 1 ax b] 0. 求常数 a, b, 使得 lim[ x x 1 x2 1 0 lim[ ax b] x x 1 (1 a ) x 2 (b a ) x 1 b lim x x 1 1 a 0, a b 0
第一章函数极限连续
x
3 2 1 ) e 3 原式 lim [(1 x 1 x x 1 lim [sin x 1 sin x 1]
x 1 3 x 3 ) ] (
sin x 1 sin x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 cos sin 2 2 x 1 x 1 | cos | 1 2 1 x 1 x 1 lim sin 0 lim sin x x x 1 x 1 2 所以原式 0
f A f f f
-6-
2
函数的趋向过程
习题课（一）
定义的四个主要部分
(1) 对任意给定的 , (2) 总存在 ,
第一章函数极限连续
(3) 使当时,
(4) 恒有不等式成立,
(1),(4)用来刻划函数的趋向过程 (2),(3)用来刻划自变量的趋向过程 (3)起着控制(4)的作用例5 叙述下列极限的定义 (1) lim xn
1 lim f ( x ) x 0 2
- 20 -
(3)
设 f ( x)
x 1
x 1 e x
习题课（一）
, 考察 lim f ( x ), lim f ( x )

极限练习题及答案

极限练习题及答案一. 选择题1.设F是连续函数f的一个原函数，”M?N”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有.F是偶函数?f)是奇函数.F是奇函数?f是偶函数. F是周期函数?f是周期函数. F是单调函数?f是单调函数．设函数f?1x,则ex?1?1x?0，x x?0，x?1都是f?1都是f的第一类间断点. 的第二类间断点x?0是f的第一类间断点，x?1是f的第二类间断点. x?0是f的第二类间断点，x3．设f?x??x?1x?1是f的第一类间断点.1，则f[，x?0、，1f]?1A） 1?xB） 1?x4．下列各式正确的是 C）XD） x1+ )?exx11lim??elimC） D）?exxA） limx?0?1x?1B）limx?01x?x?xx??x??5．已知lim?9，则a?。

A.1；B.?；C.ln3；D.2ln3。

．极限：lim x??2A.1；B.?；C.e7．极限：lim； D.e。

2x??x3?2= x3A.1；B.?；C.0；D.2．8．极限：limx?0x?1?1x=A.0；B.?；C 1； D.2．29. 极限：lim=x???A.0；B.?；C.2；D. 1．2sinx10．极限: limtanx?=x?0sin2xA.0；B.?；C.二. 填空题 11．极限limxsinx??116； D.16．2xx?12= ； 12. limarctanx= ；x?0x13. 若y?f在点x0连续，则lim[f?f]= ； x?x?14. limsin5xxx?0?；15. limn?；16. 若函数y?x?1x?3x?222，则它的间断点是17. 绝对值函数?x,x?0;?f?x??0,x?0;??x,x?0.?其定义域是，值域是。

?1,x?0;?18.符号函数 f?sgnx??0,x?0;其定义域是，值域是三个点的集合。

??1,x?0.?19无穷小量是。

20. 函数y?f在点x0连续，要求函数y?f满足的三个条件是。

函数的极限练习题

极限练习题及答案

数学—极限练习题及详细答案

(完整版)极限练习(基础题)

（完整版）函数与极限习题与答案

高等数学极限经典习题及解析

函数极限练习题

函数极限练习题

极限证明练习题

极限计算练习题