条形极点配置
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T
L
M
D－稳定性分析
定义 对复平面中给定的LMI区域D和实矩阵 A
A D ，则称实矩阵A是D-稳定的。
nn
,
如果实矩阵A的所有特征值都位于区域D中，即
nn X C 设 是一个正定矩阵，则它的实部
Re（x）是一个对称正定矩阵。 证明：从
X Re( X ) j Im( X )和X X H 可得 Re( X ) j Im( X )= Re( X ) 因此， Re( X )= Re( X )
close all;
未加状态反馈矩阵K
A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0]
• 程序
B=[0;1;0;-1]; C=[1,2,3,4] h1=-3; h2=-1; setlmis([]);
X=lmivar(1,[4,1]);
P=lmivar(2,[1,4]); lmiterm([1 1 1 X],.5*2*h1,1,'s'); SYMMETRIC?) lmiterm([1 1 1 X],A,-1,'s'); lmiterm([1 1 1 P],B,-1,'s'); % LMI #1: 2*h1*X (NON % LMI #1: -A*X-X'*A' % LMI #1: -B*P-P'*B'
Re
fD s 0
Re s
左半复平面的垂直条形区域
Im
Dvs s : h1 Re s h2
0 h1 h2 Re
相应的特征值函数
2h1 s s f Dvs s 0 2h1 0 1 0 1 0 s s s s 2h2 0 2h2 0 1 0 1 0
Q=getlmis; [tmin,xfeas]=feasp(Q);
X=dec2mat(Q,xfeas,X);
P=dec2mat(Q,xfeas,P); sys=ss(A,B,C,0); P=eig(sys); xx=real(P); yy=imag(P); figure(1) plot(xx,yy,'*'),hold on hold on; plot([-3,-3],[-10,10]); plot([-1,-1],[-10,10]); axis equal
加状态反馈矩阵K
• • • • • • • • • • • • • • • • close all; A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0] B=[0;1;0;-1]; C=[1,2,3,4] h1=-3; h2=-1; setlmis([]); X=lmivar(1,[4,1]); P=lmivar(2,[1,4]); K=lmivar(2,[1,4]); lmiterm([1 1 1 X],.5*2*h1,1,'s'); lmiterm([1 1 1 X],A,-1,'s'); lmiterm([1 1 1 P],B,-1,'s'); lmiterm([1 2 2 X],A,1,'s'); lmiterm([1 2 2 P],B,1,'s'); lmiterm([1 2 2 X],.5*2*h2,-1,'s'); % LMI #1: 2*h1*X (NON SYMMETRIC?) % LMI #1: -A*X-X'*A' % LMI #1: -B*P-P'*B' % LMI #1: A*X+X'*A' % LMI #1: B*P+P'*B' % LMI #1: -2*h2*X (NON SYMMETRIC?)
极点配置
基本概念
Ax Bu x 开环系统： y Cx
反馈 规律
（ 1）
u Lv Kx
（状态反馈）
x A BK x BLv 闭环系统： y Cx
（ 2）
极点配置
闭环系统的极点的分布情况决定了系统的 稳定性和动态品质。 所谓极点配置（或称为特征值配置）就是 如何使得已给系统的闭环极点处于所希望 的位置。 系统（1）通过状态反馈 u Lv Kx 可任意 配置极点的充分必要条件是系统完全能控。 （对单输入单输出和多输入多输出均成立）
AX
H T T
v H Xvf D
由MD(A,X)<0和X>0可推出
f D 0, 即 D.
由于 A 的任意性，根据D-稳定的定义，
可得矩阵A是D-稳定的 ，定理得证。
D稳定性定理的应用
LMI区域为左半开复平面
对于左半开复平面，其特征函数是 f D s s s
M D1 A, X 0,M D2 A, X 0
第二部分
条形区域极点配置状态反馈控制器设 第三方 计及仿真
条形区域
• 矩阵A的所有特征值均在h1，h2 的垂直条形区域 的充分必要条件是存在对称正定矩阵X，使得：
2h1 X AX XAT 0
1 v M A, X 1 v 1 v L X M AX M L v Xv M v AXv M v Xv L + M + M
H D H H H H T
vH A vH
T
T
1 v v AX v
, *n
求实向量K,使得
det A Bk ,
* 1
* 2
* n
单输入系统的极点配置 1.适合维数较高，控制矩阵中非零元素较多
(1) 求A的特征多项式
( s) sI A s a1s
n
n 1
an 1s an
* s n
(2) 求闭环系统的周期特征多项式
K PX 1
数学模型：履带车辆悬挂系统
实例仿真
对于已知线性定常系统 履带车辆悬挂系统
X [ X1, X 1, X 2 , X 2 ]T X1 车身速度 X 1 =车身加速度 X 2 =负重轮速度 X 2 =负重轮加速度
. . . .
x(t ) Ax(t ) Bu (t ) y(t ) Cx(t )
lmiterm([1 2 2 X],A,1,'s');
lmiterm([1 2 2 P],B,1,'s'); lmiterm([1 2 2 X],.5*2*h2,-1,'s'); SYMMETRIC?)
% LMI #1: A*X+X'*A'
% LMI #1: B*P+P'*B' % LMI #1: -2*h2*X (NON
C 输出矩阵
0 给定 0 A 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0 0 1 11 0
0 1 B 0 1
C 1 2 3 4
希望的闭环极点配置在h1=-3，h2=-1的条形区 域内，设计状态反馈矩阵K，画出极点分布图。
0 T AX XA 2h2 X 0
成立
• 结论：对于系统，存在增益矩阵K，使得系统的极 点配置到D（h1，h2）区域的充分必要条件是存 在正定对称矩阵X和矩阵P，使得
2h1 X AX+BP (AX+BP)T 0 0 T AX+BP (AX+BP) 2h2 X 0
an 1 an- 2 a n 2 an-3 An 1b] 1 a1 1 0
a1 1 1 0 0 0 0 0
(6) 求 K KP
2.适合维数较低，控制矩阵中 只有一个非零元素的情况
(1) 将u=-Kx代入系统状态方程，并求得相应闭环系统
T D s : L s M s M 0 , 则实矩阵 定理 ：给定LMI区域
A
n n
是D-稳定的充分必要条件是存在一个对称正定
n n
实矩阵 X 其中：
，使得
MD A, X 0
M D A,Hale Waihona Puke BaiduX L X M AX M AX
n 1 的特征多项式 ( s) s n a （ k ） s 1
an （ （ 1 k）s a n k）
式中，a （ i k）是反馈矩阵K的函数，i=1, n.
(2) 计算理想特征多项式
* ( x) s *1 s *2
* n 1 s n 1 s
fD s 0 表示矩阵 fD s 是负定的。
说明： LMI区域是凸的 LMI区域是关于复平面上的实轴对称的
常见的LMI区域
左半开复平面
Im
相应的特征值函数
fD s s s
Re
fD s 0
Re s 0
Im
相应的特征值函数
f D s 2 s s
s
* n
* * n s 1 n
其解k= k1 ,
(3)列方程组ai (k ) i* , i 1, 2 kn 即为所求。
n, 并求解。
问题的提出
精确的极点配置必须以精确的数学模型为 依据 由于不确定性及各种扰动的存在，使得精 确的极点配置不可实现 精确的极点配置并非是唯一的途径，将系 统的闭环极点配置在复平面上的一个适当 区域，即可保证系统的动态特性和稳态特 性
T ，j Im( X )
T
j Im( X )
（3） T j Im( X )
T
即 Re( X )是对称的，j Im( X )是反对称的
对任意非零向量v R n，由 Im( X )的反对称性可得 vT Im( X )v=0.故由（3）可得vT Xv=vT Re( X )v 由矩阵X的正定性推出vT Re( X )v>0.证毕.
定义 对复平面中的区域D，如果存在一个实对称矩阵 m L mm 和实矩阵 M m ，使得
D s : L sM sM T 0
则称D是一个线性矩阵不等式区域(简记为LMI区域)。 矩阵值函数 fD s L sM sM T
称为LMI区域D的特征函数, s 是复数变量。 特征函数 fD s 的取值是m m维的Hermite矩阵，
* ( s) s *1 s *2
* n 1 s n 1 s
* * n s 1 n
* * (3) K a a , a n n 1 an 1 , n
, a*1 a1
（4）
Q b Ab
（5）令 P Q 1
系统的区域稳定
1.区域R是以虚轴为边界的左半平面， 则R—稳定性即是连续系统的稳定性。 2.R—稳定性是以直线 s : R(s) ( 0) 为边界的左半平面，则系统的R—稳定性即 是 —稳定性。 3.如果R是左半平面内的某个开圆盘D，则 系统R—稳定性称为D—稳定性。
LMI区域的描述
T
T
证明：假定存在对称阵X满足MD(A,X)<0.
设λ是矩阵A的任意特征值，v
n
, 且有 v H A v H .
应用Kronecker乘积的性质，可得
1.1 A A 2. A B C D AC BD
1 A A; A BC D AC BD
。
构造状态反馈来调整系统的极点。
j
×
*
i * × 稳定区域 不稳定 (渐近稳定) (不稳定) 临界稳定 (李氏稳定)
单输入系统的极点配置
开环系统： x Ax Bu
状态反馈： u Lv Kx
闭环系统： x A BK x BLv 若希望(给定)闭环极点为： *1 , *2 ,
则
M D A, X 1 AX 1 XAT AX XAT
由D稳定性定理，可得，矩阵A的所有特征值均在 左半开复平面的充分必要条件是存在对称正定矩阵 X，使得 AX XAT 0 Lyapunov不等式
推论 给定两个LMI区域D1和D2，矩阵A同时是D1稳定和D2-稳定的充分必要条件是存在一个对称正 定阵X，使得
L
M
D－稳定性分析
定义 对复平面中给定的LMI区域D和实矩阵 A
A D ，则称实矩阵A是D-稳定的。
nn
,
如果实矩阵A的所有特征值都位于区域D中，即
nn X C 设 是一个正定矩阵，则它的实部
Re（x）是一个对称正定矩阵。 证明：从
X Re( X ) j Im( X )和X X H 可得 Re( X ) j Im( X )= Re( X ) 因此， Re( X )= Re( X )
close all;
未加状态反馈矩阵K
A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0]
• 程序
B=[0;1;0;-1]; C=[1,2,3,4] h1=-3; h2=-1; setlmis([]);
X=lmivar(1,[4,1]);
P=lmivar(2,[1,4]); lmiterm([1 1 1 X],.5*2*h1,1,'s'); SYMMETRIC?) lmiterm([1 1 1 X],A,-1,'s'); lmiterm([1 1 1 P],B,-1,'s'); % LMI #1: 2*h1*X (NON % LMI #1: -A*X-X'*A' % LMI #1: -B*P-P'*B'
Re
fD s 0
Re s
左半复平面的垂直条形区域
Im
Dvs s : h1 Re s h2
0 h1 h2 Re
相应的特征值函数
2h1 s s f Dvs s 0 2h1 0 1 0 1 0 s s s s 2h2 0 2h2 0 1 0 1 0
Q=getlmis; [tmin,xfeas]=feasp(Q);
X=dec2mat(Q,xfeas,X);
P=dec2mat(Q,xfeas,P); sys=ss(A,B,C,0); P=eig(sys); xx=real(P); yy=imag(P); figure(1) plot(xx,yy,'*'),hold on hold on; plot([-3,-3],[-10,10]); plot([-1,-1],[-10,10]); axis equal
加状态反馈矩阵K
• • • • • • • • • • • • • • • • close all; A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0] B=[0;1;0;-1]; C=[1,2,3,4] h1=-3; h2=-1; setlmis([]); X=lmivar(1,[4,1]); P=lmivar(2,[1,4]); K=lmivar(2,[1,4]); lmiterm([1 1 1 X],.5*2*h1,1,'s'); lmiterm([1 1 1 X],A,-1,'s'); lmiterm([1 1 1 P],B,-1,'s'); lmiterm([1 2 2 X],A,1,'s'); lmiterm([1 2 2 P],B,1,'s'); lmiterm([1 2 2 X],.5*2*h2,-1,'s'); % LMI #1: 2*h1*X (NON SYMMETRIC?) % LMI #1: -A*X-X'*A' % LMI #1: -B*P-P'*B' % LMI #1: A*X+X'*A' % LMI #1: B*P+P'*B' % LMI #1: -2*h2*X (NON SYMMETRIC?)
极点配置
基本概念
Ax Bu x 开环系统： y Cx
反馈 规律
（ 1）
u Lv Kx
（状态反馈）
x A BK x BLv 闭环系统： y Cx
（ 2）
极点配置
闭环系统的极点的分布情况决定了系统的 稳定性和动态品质。 所谓极点配置（或称为特征值配置）就是 如何使得已给系统的闭环极点处于所希望 的位置。 系统（1）通过状态反馈 u Lv Kx 可任意 配置极点的充分必要条件是系统完全能控。 （对单输入单输出和多输入多输出均成立）
AX
H T T
v H Xvf D
由MD(A,X)<0和X>0可推出
f D 0, 即 D.
由于 A 的任意性，根据D-稳定的定义，
可得矩阵A是D-稳定的 ，定理得证。
D稳定性定理的应用
LMI区域为左半开复平面
对于左半开复平面，其特征函数是 f D s s s
M D1 A, X 0,M D2 A, X 0
第二部分
条形区域极点配置状态反馈控制器设 第三方 计及仿真
条形区域
• 矩阵A的所有特征值均在h1，h2 的垂直条形区域 的充分必要条件是存在对称正定矩阵X，使得：
2h1 X AX XAT 0
1 v M A, X 1 v 1 v L X M AX M L v Xv M v AXv M v Xv L + M + M
H D H H H H T
vH A vH
T
T
1 v v AX v
, *n
求实向量K,使得
det A Bk ,
* 1
* 2
* n
单输入系统的极点配置 1.适合维数较高，控制矩阵中非零元素较多
(1) 求A的特征多项式
( s) sI A s a1s
n
n 1
an 1s an
* s n
(2) 求闭环系统的周期特征多项式
K PX 1
数学模型：履带车辆悬挂系统
实例仿真
对于已知线性定常系统 履带车辆悬挂系统
X [ X1, X 1, X 2 , X 2 ]T X1 车身速度 X 1 =车身加速度 X 2 =负重轮速度 X 2 =负重轮加速度
. . . .
x(t ) Ax(t ) Bu (t ) y(t ) Cx(t )
lmiterm([1 2 2 X],A,1,'s');
lmiterm([1 2 2 P],B,1,'s'); lmiterm([1 2 2 X],.5*2*h2,-1,'s'); SYMMETRIC?)
% LMI #1: A*X+X'*A'
% LMI #1: B*P+P'*B' % LMI #1: -2*h2*X (NON
C 输出矩阵
0 给定 0 A 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0 0 1 11 0
0 1 B 0 1
C 1 2 3 4
希望的闭环极点配置在h1=-3，h2=-1的条形区 域内，设计状态反馈矩阵K，画出极点分布图。
0 T AX XA 2h2 X 0
成立
• 结论：对于系统，存在增益矩阵K，使得系统的极 点配置到D（h1，h2）区域的充分必要条件是存 在正定对称矩阵X和矩阵P，使得
2h1 X AX+BP (AX+BP)T 0 0 T AX+BP (AX+BP) 2h2 X 0
an 1 an- 2 a n 2 an-3 An 1b] 1 a1 1 0
a1 1 1 0 0 0 0 0
(6) 求 K KP
2.适合维数较低，控制矩阵中 只有一个非零元素的情况
(1) 将u=-Kx代入系统状态方程，并求得相应闭环系统
T D s : L s M s M 0 , 则实矩阵 定理 ：给定LMI区域
A
n n
是D-稳定的充分必要条件是存在一个对称正定
n n
实矩阵 X 其中：
，使得
MD A, X 0
M D A,Hale Waihona Puke BaiduX L X M AX M AX
n 1 的特征多项式 ( s) s n a （ k ） s 1
an （ （ 1 k）s a n k）
式中，a （ i k）是反馈矩阵K的函数，i=1, n.
(2) 计算理想特征多项式
* ( x) s *1 s *2
* n 1 s n 1 s
fD s 0 表示矩阵 fD s 是负定的。
说明： LMI区域是凸的 LMI区域是关于复平面上的实轴对称的
常见的LMI区域
左半开复平面
Im
相应的特征值函数
fD s s s
Re
fD s 0
Re s 0
Im
相应的特征值函数
f D s 2 s s
s
* n
* * n s 1 n
其解k= k1 ,
(3)列方程组ai (k ) i* , i 1, 2 kn 即为所求。
n, 并求解。
问题的提出
精确的极点配置必须以精确的数学模型为 依据 由于不确定性及各种扰动的存在，使得精 确的极点配置不可实现 精确的极点配置并非是唯一的途径，将系 统的闭环极点配置在复平面上的一个适当 区域，即可保证系统的动态特性和稳态特 性
T ，j Im( X )
T
j Im( X )
（3） T j Im( X )
T
即 Re( X )是对称的，j Im( X )是反对称的
对任意非零向量v R n，由 Im( X )的反对称性可得 vT Im( X )v=0.故由（3）可得vT Xv=vT Re( X )v 由矩阵X的正定性推出vT Re( X )v>0.证毕.
定义 对复平面中的区域D，如果存在一个实对称矩阵 m L mm 和实矩阵 M m ，使得
D s : L sM sM T 0
则称D是一个线性矩阵不等式区域(简记为LMI区域)。 矩阵值函数 fD s L sM sM T
称为LMI区域D的特征函数, s 是复数变量。 特征函数 fD s 的取值是m m维的Hermite矩阵，
* ( s) s *1 s *2
* n 1 s n 1 s
* * n s 1 n
* * (3) K a a , a n n 1 an 1 , n
, a*1 a1
（4）
Q b Ab
（5）令 P Q 1
系统的区域稳定
1.区域R是以虚轴为边界的左半平面， 则R—稳定性即是连续系统的稳定性。 2.R—稳定性是以直线 s : R(s) ( 0) 为边界的左半平面，则系统的R—稳定性即 是 —稳定性。 3.如果R是左半平面内的某个开圆盘D，则 系统R—稳定性称为D—稳定性。
LMI区域的描述
T
T
证明：假定存在对称阵X满足MD(A,X)<0.
设λ是矩阵A的任意特征值，v
n
, 且有 v H A v H .
应用Kronecker乘积的性质，可得
1.1 A A 2. A B C D AC BD
1 A A; A BC D AC BD
。
构造状态反馈来调整系统的极点。
j
×
*
i * × 稳定区域 不稳定 (渐近稳定) (不稳定) 临界稳定 (李氏稳定)
单输入系统的极点配置
开环系统： x Ax Bu
状态反馈： u Lv Kx
闭环系统： x A BK x BLv 若希望(给定)闭环极点为： *1 , *2 ,
则
M D A, X 1 AX 1 XAT AX XAT
由D稳定性定理，可得，矩阵A的所有特征值均在 左半开复平面的充分必要条件是存在对称正定矩阵 X，使得 AX XAT 0 Lyapunov不等式
推论 给定两个LMI区域D1和D2，矩阵A同时是D1稳定和D2-稳定的充分必要条件是存在一个对称正 定阵X，使得