立体几何单元检测卷
立体几何单元检测试题
（ Ａ）圆 的一 部 分 （ ）椭 圆 的一 部分 Ｂ
一
—
９ 如图 ３甲， ． 在正 四面体 ＢＣ 中 ， Ｆ、 分 别 是 Ｄ Ｅ、 Ｇ
Ｄ
田
（ ）双 曲线 的一部 分 Ｃ （ Ｄ）抛物线 的 一部分
ＡＡ ＤＣ， Ｂ ＡＢ Ｄ 的 中心 ， ＡＡ Ｄ， Ｃ Ｂ
则 ＡＥ Ｇ在该正 四面体各个 面 Ｆ 上 的 射 影 所 有 可 能 的 序 号 是
③ 若 ｍ 上Ｏ ｍ∥ 则 ｊ ； ｔ ， ， － ④ 若 ｍ∥ ， ｎ上ｏ 则 ｍ∥ ｔ ， 其 中真命题的个数是（ ）
（ ）０ （ Ａ Ｂ）１ （ ）２ ，Ｄ） Ｃ （ ３
６ ／Ａ Ｄ ＝ ／Ｃ Ｂ， ， Ｐ Ｐ 则 点 Ｐ在平 面 内的轨迹
是（ ）
图４
夹角为 ， ／ Ｂ ＝１０ 则 ＡＣ ８ 。一０ａ・ ＝Ｉ ， 西 Ｉ ａ
Ｉ西 Ｉ ｏ ０ ＝ １ ｃ ｓ ０． ．
Ｃ 垂 直 于 Ａ 延 长 线 于 （ ）则 Ｂ ＝ Ｄ Ｂ Ｄ Ｄ
Ｂ ｃ ｓ Ｂ ＝Ｉ ｌ ｏ０ ＝２８ ． Ｃ ｏＣ Ｄ ｃｓ ， Ａ Ａ ＝ Ｃ ＝ Ｂ Ｃ一 Ｄ Ｄ Ｃ 一Ｂ 得 Ａ 一 Ｄ， Ｃ
ＢＣ ＝ ＡＤ。 一 ＢＤ。
．
根据余弦定理 ，Ｃ Ａ ＝Ａ ＋Ｂ Ａ Ｂ Ｃ 一２ Ｂ・
Ｂ ．ｃｓ Ｂ ＝ （ Ｃ ｏＡ Ｃ ） ＋ Ｂ ＋ ２ Ｂ ． Ｃ ． Ｃ Ａ Ｂ
ｃｓ， （Ａ－ ＝５＋Ｉ ＋２×１， ｂＩ ｏＯ 即 ５ ） ｆ ｂ ０ Ｉ
＝
即 （ ） Ｉ６ ｆ ＝ （ ＋２ ） ５ 一 一
（）詈詈 （ ［，］ Ａ［ ，］ Ｂ 号号 ） （ （，］ （）ｏ ］ ｃ 号号 Ｄ［号 ） ，
高中数学立体几何初步单元测
第八章 立体几何初步 （单元测）第八章 立体几何初步（单元测试）_一、单选题1．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（ ）A．B．C．D．42．若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形中的长度为（ ）A．B．C．2D．3．如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．记图中圆柱的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果，，，，那么；②如果，，那么；③如果，，，那么；④如果，，，那么.其中正确命题的个数有（ ）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个5．梯形ABCD中，，∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝2，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB以l所在直线为轴旋转一周，则该旋转体的表面积为（ ）A．B．C．D．6．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为所在棱的中点，则下列结论中正确的序号是（ ）①三棱锥D1﹣EFG的体积为；②BD1∥平面EFG；③BD1∥EG；④AB1⊥EG. A．③④B．①②④C．②③④D．①③7．直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（ ）A．B．C．D．8．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若平面AMN，则P A1的最小值是（ ）A．1B．C．D．二、多选题9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（ ）A ．直线与直线共面B．直线与直线异面C ．直线与直线共面D．直线与直线异面10．高空走钢丝是杂技的一种，渊源于古代百戏的走索，演员手拿一根平衡杆，在一根两头拴住的钢丝上来回走动，并表演各种动作．在表演时，假定演员手中的平衡杆是笔直的，水平地面内一定存在直线与演员手中的平衡杆所在直线（ ）A．垂直B．相交C．异面D．平行11．在长方体中，O为与的交点，若，则（ ）A．B．C．三棱锥的体积为D．二面角的大小为12．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（ ）A．底面边长为6米B．侧棱与底面所成角的余弦值为C．侧面积为平方米D．体积为立方米三、填空题13．如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为______．14．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为___________15．在正四面体ABCD中，E为BC的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为_ __________.16．如图，在正方体中，E为的中点，F为正方体棱的中点，则满足条件直线平面的点F的个数是___________.四、解答题17．如图，四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点O，底面，点E是的中点．(1)求证：∥平面；(2)若三棱锥的体积为，求的长．18．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，.(1)若为侧棱的中点，求证：平面；(2)求三棱锥的体积.19．如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点．(1)证明：平面平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值．20．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求线段BC的长度．21．在等腰梯形（图1）中，，是底边上的两个点，且.将和分别沿折起，使点重合于点，得到四棱锥（图2）.已知分别是的中点.(1)证明：平面.(2)证明：平面.(3)求二面角的正切值.22．如图，垂直于⊙所在的平面，为⊙的直径，，，，，点为线段上一动点．(1)证明：平面AEF⊥平面PBC；(2)当点F与C点重合，求 PB与平面AEF所成角的正弦值．一、单选题23．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）A．B．C．D．24．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A．B．C．D．25．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）A．B．C．D．26．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、多选题27．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）A．B．C．D．28．已知正方体，则（ ）A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为三、填空题29．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________. 30．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．31．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.四、解答题32．如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．参考答案：1．C【分析】由扇形弧长公式求圆锥的母线长，再根据圆锥的母线、高和底面半径的关系求高.【详解】因为底面半径，所以母线长，所以圆锥的高.故选：C2．B【分析】过点作,垂足为，求出直观图中的长度即得解.【详解】解：过点作,垂足为.因为，，，；，所以原四边形中的长度为2.故选：B3．B【分析】根据已知条件得出球的直径恰好与圆柱的高相等，设球的半径为r，进而分别表示出圆柱的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，进而求出.【详解】由已知条件，设球的半径为r，可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，则圆柱的表面积，体积，球表面积，答案第1页，共2页体积，．故选：B.4．D【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】解：对于①如果，，，，那么或与相交，故①错误；对于②如果，，由线面垂直的性质可知，故②正确；对于③如果，，，那么或或与相交（不垂直）或与异面（不垂直），故③错误；对于④如果，，，那么或与相交（不垂直），当且仅当，，，，那么，故④错误.故选：D5．B【分析】旋转体为圆柱去去掉一个圆锥，计算圆柱的高和圆锥的底面半径和母线长，分别计算各面的面积，得出表面积．【详解】解：旋转体为圆柱去去掉一个圆锥，过作于，则，，，，圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，圆柱和圆锥的高均为，圆锥的母线为，几何体的表面积为．故选：B.6．B【分析】利用等积法处理①，用面面平行得到线面平行处理②，用平行的传递性处理③，利用线面垂直得到线线垂直处理④.【详解】对于①，由等体积法可得：，故正确；对于②，连接，由面面平行的判定易得平面平面，由平面与平面平行的性质可得平面，故正确；对于③，如下图，连接，取的中点，连接，则，若，则，矛盾，故错误；对于④，由题意，，，可得平面，又平面，可得，故正确．故选：B．7．A【分析】将直三棱柱补全为正方体，根据正方体性质、线面垂直的判定可得面，由线面角的定义找到与平面所成角的平面角，进而求其大小.【详解】由题意，将直三棱柱补全为如下图示的正方体，为上底面对角线交点，所以，而面，面，故，又，面，故面，则与平面所成角为，若，所以，，则，故.故选：A8．C【分析】由平面，可以找到点在右侧面的运动轨迹，从而求出的最小值【详解】如图所示，取的中点,的中点，连接，因为分别是棱 的中点，所以，，又因为,,，所以平面平面，平面，且点在右侧面，所以点的轨迹是，且，，所以当点位于中点处时，最小，此时，.故选：C9．ACD【分析】作出正方体的直观图，逐项判断可得出合适的选项.【详解】如图，点与点重合，则与相交，故A正确；在正方体中，且，故四边形为平行四边形，，则、共面，故B错误；因为，故、共面，故C正确；由图可知，、不在同一个平面，且、既不平行也不相交，、为异面直线，故D正确.故选：ACD.10．AC【分析】对直线l与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线l垂直；平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交，根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面若直线与平面相交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面；理解判断．【详解】根据题意可得：对直线l与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线l垂直，A正确；平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面若直线与平面相交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面C正确；B、D错误；故选：AC．11．BCD【分析】由题意，根据长方体的结合性质，结合线面垂直判定定理以及二面角的平面角定义和三棱锥的体积公式，可得答案.【详解】连接．因为，所以，又易证平面，所以，所以，所以为二面角的一个平面角．在中，，因为在中，，，所以，所以二面角的大小为．．故选：BCD．12．AD【分析】画出几何体的直观图，结合已知条件求得棱锥的底面边长，逐项求解，即可得到答案.【详解】对A，如图所示，在正四棱锥中，为正方形的中心，且，设底面边长为，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为，所以，则，在直角中，可得，即，解得，所以正四棱锥的底面边长为，所以A正确；对B，因为平面，所以为侧棱与底面所成的角，在直角中，可得，所以B错误；对C，正四棱锥的侧面积为平方米，所以C错误；对D，正四棱锥的体积为立方米，所以D正确.故选：AD.13．【分析】根据题意画出该几何体的轴截面，如图，设是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，求出球的半径，从而可求出，进而可求得圆锥的侧面积.【详解】其中，是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，由题意可知，解得，由于圆柱的高为2，，，，母线，∴圆锥的侧面积为．故答案为：14．【分析】根据题意，得到为球的直径，求得的长，得到球的半径，进而求得球的体积，得到答案.【详解】如图所示，取的中点，根据直角三角形的性质，可得，所以为球的直径，且，可得球的半径为，所以球的体积为.故答案为：.15．##【分析】取BD的中点F，作出异面直线AE与CD所成的角，再利用三角形计算作答.【详解】在正四面体ABCD中，取BD的中点F，连接，如图，设，因E为BC的中点，则，，即有是异面直线AE与CD所成的角或其补角，而，在等腰中，，所以异面直线AE与CD所成角的余弦值为.故答案为：16．【分析】为了得到直线平面，只需求得平面平面，即平面内的任意一条直线都与平面平行，进而求得点的个数.【详解】分别取的中点，连接，，在正方体中，，，四边形是平行四边形，，，又平面，平面，平面，同理平面，又，平面，平面，平面平面，平面内的任意一条直线都与平面平行，则满足条件直线平面的点可以是的任何一个，点F的个数是个.故答案为：.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由中位线证得，即可证得∥平面；（2）取中点F，证得平面，再由结合棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）证明：连接．∵点O，E分别为的中点，∴，∵平面平面，∴∥平面；（2）取中点F，连接．∵E为中点，∴为的中位线，∴，且．由菱形的性质知，为边长为2的等边三角形．又平面，∴平面，，点E是的中点，∴，∴．18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，通过，即可证明平面；（2）利用等积法，即求解即可【详解】（1）取的中点，连接，，在中，，在梯形中，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，而平面，平面，∴平面；（2）∵，，而∴平面，即为三棱锥的高，因为，，所以，又，所以19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出平面，平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知异面直线与所成角为或其补角，计算出的三边边长，利用余弦定理可求得结果.【详解】（1）证明：连接，因为四边形为平行四边形，则且，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，则且，因为且，且，故四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，同理可证且，所以，四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，，所以，平面平面.（2）解：，所以，异面直线与所成角为或其补角，在中，，，由余弦定理可得，所以，异面直线与所成角的余弦值为.20．(1)到平面的距离为(2)线段BC的长为2【分析】（1）利用体积法可求点到平面的距离；（2）利用面面垂直，线面垂直得线线垂直，最后利用的面积为即可求得线段BC的长．【详解】（1）解：由直三棱柱的体积为4，可得，设到平面的距离为，由，，，解得．即到平面的距离为；（2）解：连接交于点由直三棱柱，故四边形为正方形，，又平面平面，平面平面，平面，，由直三棱柱知平面，，又，平面，，，，又，解得，则线段BC的长为2.21．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）由题可得四边形是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即得；（2）利用线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；（3）过点作，由题可得是二面角的平面角，结合条件即得.【详解】（1）由题意可得，在等腰梯形中，，在中，因为，所以，四边形为正方形.在四棱锥中，连接，因为分别是的中点，所以，且，在正方形中，因为是的中点，所以，且，所以，且，∴四边形是平行四边形，，因为平面，平面，所以平面；（2）由（1）知，在中，，因为为的中点，所以，在等腰梯形中，，所以在四棱锥中，，因为， 平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，平面，所以平面；（3）在中，过点作，垂足为，连接，由（2）知平面，平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，平面，∴，故是二面角的平面角，由（1）知，在四棱锥中，，设，则，在中，，所以，在中，，故二面角的正切值为.22．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由垂直于⊙所在的平面，可得，再由圆的性质可得，则由线面垂直的判定可得平面，则，从而平面，进而由面面垂直的判定可证得结论，（2）过点作∥交于点，则，设点到平面的距离为，利用可求出，然后由可求得结果.【详解】（1）证明：因为垂直于⊙所在的平面，即平面，平面，所以，又为⊙的直径，所以，因为，所以平面，又平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）因为，，所以，又，所以，由，得,如图，过点作∥交于点，则，可得，又，所以，所以，设点到平面的距离为，由，可得，所以解得，所以当点移动到点时，与平面所成角的正弦值为．23．C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，∴．故选：C．24．A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．25．C【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：C.26．C【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为，所以球的半径,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是27．CD【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.【详解】设，因为平面，，则，，连接交于点，连接，易得，又平面，平面，则，又，平面，则平面，又，过作于，易得四边形为矩形，则，则，，，则，，，则，则，，，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.28．ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，又平面，所以，故B正确；连接，设，连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，则，，，所以，直线与平面所成的角为，故C错误；因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.故选：ABD29．【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵∴∴∴.故答案为：.30．.【分析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得.故答案为：.【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.31．【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为圆柱体积为所求几何体体积为故答案为：【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 32．(1)证明详见解析(2)【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积.【详解】（1）由于，是的中点，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）[方法一]：判别几何关系依题意，，三角形是等边三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以当最短时，三角形的面积最小过作，垂足为，在中，，解得，所以，所以过作，垂足为，则，所以平面，且，所以，所以.[方法二]：等体积转换，，是边长为2的等边三角形，连接。
立体几何单元测试题
第七章 立体几何单元测试题班级 姓名 学号 日期 月 日一. 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．两两互相平行的直线a 、b 、c 可以确定平面的个数是 （ ）A ．1或3B ．1C ．3D ．42．已知α∥β，,,βα∈⊂B a 则在β内过点B 的所有直线中 （ ）A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一一条与a 平行的直线3.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a,长为定值的线段EF 在棱AB 上移动(EF<a),若P 是A 1D 1上的定点,Q 是C 1D 1上的动点,则四面体PQEF 的体积是 ( )A.有最小值的一个变量B.有最大值的一个变量C.没有最值的一个变量D.是一个常量4.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形如下，则 （ ）A.以下四个图形都是正确的B.只有（2）（4）是正确的C.只有（4）是正确的D.只有（1）（2）是正确的① ② ③ ④5.在正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，M 、N 分别是棱A 1A 和B 1B 的中点，若θ为直线CM 与D 1N 所成的角，则sin θ等于 （ ）A. 91B. 32 C. 752 D. 954 6.四棱锥是正四棱锥的一个充分但不必要条件是 （ ） Ａ.各侧面都是正三角形Ｂ.底面是正方形，各侧面都是等腰三角形Ｃ.各侧面是全等的等腰三角形Ｄ.底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形7.A 、B 两点相距4cm ，且A 、B 与平面α的距离分别为3cm 和1cm ，则AB 与平面α所成的角是 （ ）A ．30°B 。
90°C 。
30°或90°D 。
30°或90°或150°8.已知二面角γα--l 为直二面角，A 是α内一定点，过A 作直线AB 交β于B ，若直线AB 与二面角γα--l 的两个半平面βα,所成的角分别为30°和60°，则这样的直线最多有 （ ）A ．1条B 。
必修第8章 立体几何初步单元测试(考试版)
…○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________绝密★启用前第八单元 立体几何初步单元测试卷高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教必修二2019第八单元 立体几何初步。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．（2022·辽宁朝阳·高二开学考试）若m ，n ，l 为空间三条不同的直线，,,αβγ为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m l n l ⊥⊥，则m n ∥ B ．若,m m αβ∥∥，则αβ∥C ．若,αγβγ⊥⊥，则αβ∥D ．若,,m n m n αβ⊥⊥∥，则αβ∥2．（2022·河北张家口·一模）下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm ､底面边长为1cm 的正三棱锥，后段是高为0.6cm 的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（ ）A ．30.25cmB ．30.65cmC ．30.15cmD ．30.45cm3．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AD ==，点E 为棱1BB 的中点，过A ，E ，1C 三点的平面截正四棱柱1111ABCD A B C D -所得的截面面积为（ ）A ．2B ．22C ．23D 34．（2022·北京市第一六一中学高三阶段练习）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则该球的半径为( )A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm5．（2021·江苏苏州·高三阶段练习）用一平面截圆柱，得到如图所示的几何体，截面椭圆的长轴两端点到底面的距离分别为3和5，圆柱的底面直径为4，则该几何体的体积为（ ）A ．16πB ．32πC ．8πD ．64π6．（2022·云南昭通·高三阶段练习（文））如图所示，在正方体1111-ABCD A B C D 中，点F 是棱1AA 上的一个…○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________动点，平面1BFD 交棱1CC 于点E ，则下列命题中假命题是（ ）A ．存在点F ，使得11A C ∥平面1BED FB ．存在点F ，使得1B D ∥平面1BED FC ．对于任意的点F ，四边形1BED F 均为平行四边形 D ．对于任意的点F ，三棱锥11F BB D -的体积均不变7．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））如图，在矩形ABCD 中，2,2AB BC ==，E 为BC 中点，把ABE △和CDE △分别沿,AE DE 折起，使点B 与点C 重合于点P ，若三棱锥P ADE -的四个顶点都在球O的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．9π8．（2022·河南·模拟预测（理））已知球面被平面所截得的部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高，若球的半径是R ，球冠的高是h ，则球冠的面积为2πRh ．某机械零件的结构是在一个圆台的底部嵌入一颗小球，其正视图和侧视图均如图所示，已知圆台的任意母线均与小球的表面相切，则小球突出圆台部分的球冠面积为（ ）A ．25πB ．253πC 253D ．1003π 二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。
立体几何单元检测卷
立体几何单元检测试题考试时间:120分钟，满分：150分一、选择题(每小题6分，共60分) ( )1、下列命题中正确的是A .一条直线和一个点确定一个平面B .三点确定一个平面C .三条平行线确定一个平面D .两条相交直线确定一个平面 ( )2、右图用符号语言可表述为A .m =βα ，α⊂n ，m A ⊂，n A ⊂B .m =βα ，α∈n ，A n m =C . m =βα ，α⊂n ，A n m =D .m =βα ，α∈n ，m A ∈，n A ∈( )3、棱长为2的正方体的内切球的表面积为 A .12π B . 4π C .π D . 43π ( )4、侧棱长为2a 的正三棱锥其底面周长为9a ，则棱锥的高为A .aB .2a CD( )5、一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是A .31003cm π B .32083cm πC .35003cm π D3( )6、正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，求正方体的全面积与正四面体的全面积之比A ．22 B ．36C ． 3D ．26( )7、一个几何体的俯视图是两个半径分别为2和4的同心圆，主视图是一个上底为4，下底为8，腰为52的等腰梯形，则它的体积为 A ．14 B ．42 C .14π D ．42π( )8、设地球半径为R ，在北纬60纬线圈上有A 、B 两地，它们在纬线圈上的弧长为12R π，则A 、B两地的球面距离为 A ．12R π B ．13R π C . 14R π D ．16R π ( )9、等边三角形ABC 的边长为a ,将它沿平行于BC 的线段PQ 折起,使平面APQ ⊥平面BPQ若折叠后AB 的长为d ，则d 的最小值是 A ．a 43 B ．a 45C .a 43D ．a 410 ( )10、棱长为a 的正四面体，它的内切球体积为A3a B ．3a C .3a D．3216a π二、填空题(每小题6分，共54分)11、一球的表面积与它的体积的数量相等,则球的半径为 ．12、直线a 、b 分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线,则a 与b 的位置关系为 ． 13、长方体的长、宽、高之比是1:2:3,对角线长是则长方体的体积是 ． 14、设m 、n 是两条不同的直线,αβγ，，是三个不同的平面,给出下列四个命题：①若m n αα⊥，∥，则m n ⊥；②若m αββγα⊥∥，∥，，则m γ⊥；③若,m n αα⊥⊥，则m n ∥；④若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥；其中正确命题的序号是 ．15、如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为 ． 16、已知直线,a b 和平面α，下列推理错误．．的是： ． ①a α⊥且b α⊂⇒a b ⊥ ②a ∥b 且a α⊥⇒ b α⊥③a ∥α且b α⊂⇒a ∥b ④a b ⊥且b α⊥⇒a ∥α或a α⊂17、在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形(几何体)的4个顶点，这些几何形(几何体)有 ．（写出所有正确结论的编号．．）． ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.18、如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD ，面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是： ．（填出所有可能的序号）19、一只蚂蚁从棱长为1cm 的正方体的表面上某一点P 处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离()d f P =(即d 的值与点P 的位置有关)，那么d 的最大值是 ． 二、填空题11、_______________________. 12、_______________________. 13、_______________________.14、_______________________. 15、_______________________. 16、_______________________.17、_______________________. 18、_______________________. 19、_______________________.A A 1三、解答题(共36分) 20、（满分12 分）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, AA 1=2,E 为棱CC 1的中点． (1) 求三棱锥E -ABD 的体积；(2) 求证：B 1D 1 AE ；(3) 求证：AC //平面B 1DE ．21、（满分12 分）在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形. 求证： (1)平面B 1AC //平面DC 1A 1; (2)平面B 1AC ⊥平面B 1BDD 1.ECAA 1D D1A A C22、（满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF∥12 BC．(1)证明FO∥平面CDE；(2)设BC=，证明EO⊥平面CDF．D答 案二、填空题11、3 12、相交或异面 13、48 14、①②③ 15、π 16、③17、①③④⑤ 18、②③ 19、5+三、解答题 20、解：（1）⊥EC 平面ABD ，∴V=31C E .S ABD =32（2）连结A 1C 1，在正方体1111ABCD-A B C D 中B 1D 1⊥A 1C 1，B 1D 1⊥CC 1， A 1C 1 ⋂CC 1=C 1 ∴B 1D 1⊥面A 1C 1CA ， AE ⊂面A 1C 1CA∴B 1D 1⊥AE（3）解法一：连结AC 1，取AC 1的中点为H ，取AC 的中点O ，连接HO ，∵HO//EC 且HO=EC∴四边形HOCE 为平行四边形，OC//HE 即AC//HE ------13’连接BD 1，易知四边形A 1BCD 1为平行四边形，则H 为BD 1和A 1C 的交点∴HE ⊂平面B 1DEAC ⊄平面B 1DEAC //平面B 1DE解法二：延长BC 与B 1E 延长线交于F ，连DF E 为棱CC 1中点 ∴∆B 1C 1E ≅∆FCE ∴CF=C 1B 1=CB∴CF//AD 且CF=AD ∴ADFC 为平行四边形∴AC//DF AC ⊄平面B 1DEDF ⊂平面B 1DE ∴AC //平面B 1DE21、解：(1)因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，所以，A 1C 1//AC ，而A 1C 1⊄平面B 1AC ，AC ⊂平面B 1AC ，所以A 1C 1//平面B 1AC .同理，A 1D //平面B 1AC .因为 A 1C 1、A 1D ⊂平面DC 1A 1，A 1C 1 A 1D ＝A 1，所以平面B 1AC //平面DC 1A 1.(2) 因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，所以B 1B ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥B 1B . 因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD .因为B 1B 、BD ⊂平面B 1BDD 1，B 1B BD ＝B ，所以AC ⊥平面B 1BDD 1.因为AC ⊂平面B 1AC ，故有平面B 1AC ⊥平面B 1BDD 1.22、(1)证明：取CD 中点M ，连结OM.在矩形ABCD 中:1//2OM BC ，又1//2EF BC ， 则//OM EF ，连结EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形.//FO EM ∴又FO ⊄ 平面CDE ，切EM ⊂平面CDE ，∵FO ∥平面CDE(2)证明：连结FM ，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE 中，,CM DM EM CD =⊥且12EM BC EF ===. 因此平行四边形EFOM 为菱形，从而EO ⊥FM而FM∩CD=M ，∴CD ⊥平面EOM ，从而CD ⊥EO.而FM CD M ⋂=，所以EO ⊥平面CDF.。
《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷与答案解析(共三套)
《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷（一）第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( )A ．1-B ．1CD ．732．已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（ ） A ．9B ．﹣9C ．﹣3D ．33．下列说法正确的是（ ）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等4．若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂B ．//l αC ．l α⊥D ．l 与α相交5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B ．3C ．3D ．137．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）AB ．2C D 8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥ B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π 11．设a ，b ，c 是空间一个基底，则( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z)，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底12．（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．若(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =，则()a b c +=___________．14．已知平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝，A α∈，P α∉，且122PA ⎛=- ⎝，则直线PA 与平面α所成的角为______．15．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =________．16．如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α，则顶点D 到平面α的距离是_____.四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分）17．如图，2BC =，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(2，12，0)，点D 在平面yOz 上，且90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒．（1）求向量CD 的坐标．（2）求AD 与BC 的夹角的余弦值．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒∠=∠=．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度； （2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．19．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：NM ∥平面11A ADD ； （2）求证：NM ⊥平面11A B M ．20．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，14A D A A ==.（1）证明：面1ACD ⊥面1BB D ； （2）求二面角11B AC D --的余弦值.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．22．如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ． （1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF ，求线段AP 的长．答案解析第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( )A ．1-B ．1CD ．73【答案】A 【解析】如图所示由正四面体的性质可得：PA BC ⊥ 可得：0PA BC ⋅=E 是棱AB 中点12PEPA PB 111122cos12012222PE BC PA PB BCPA BC PB BC 故选：A【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.2．已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（ ） A ．9 B ．﹣9C ．﹣3D ．3【答案】B【解析】由P ，A ，B ，C 四点共面，可得,,PA PB PC 共面，(2,2,33)(7,6,)xPA yPB x y x y C y P x λ∴=+=-+-+=，272633x y x y x y λ-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，解得419x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. 故选:B.3．下列说法正确的是（ ）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等 【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .4．若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂ B ．//l αC ．l α⊥D ．l 与α相交【答案】C【解析】∵直线l 的方向向量为()1,2,3a =-， 平面α的法向量为()3,6,9n =--，∴13a n =-，∴a n ， ∴l α⊥． 故选C ．5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-【答案】A【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为2，则()()()()1100,012,121,002M N O D ，，，，，，，，， ∴()()11,1,2,1,2,1MN OD =-=--． 则1111cos ,66MN OD MN OD MN OD ⋅===． ∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16,故选A ．6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AAAB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（） A ．23B C．3D ．13【答案】A【解析】设1AB =11BD BCDC ∴===，1BDC ∆面积为3211C BDC C BCD V V --=131********d d ∴⨯⨯=⨯⨯∴=2sin 3d CD θ∴== 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）AB．2CD【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1）， 1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1）， 设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d＝||2||5EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N到该面的故选：D ．8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=， 即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q . 故选：C.二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则 由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高， 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π 【答案】BC【解析】由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ， 则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确；连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点， 可知11////EF BC AD ，所以AEF ∆⊂平面1AD EF ， 则平面AEF平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴， 则各点坐标如下：()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n AF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得2,2x z ==，得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =，所以10A H n ⋅=，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确； 由图可知，1AA ⊥平面AFC ，所以1AA 是平面AFC 的法向量， 则1112cos ,3AA n AA n AA n⋅<>===⋅. 得知二面角E AF C --的大小不是4π，所以D 不正确. 故选：BC.11．设a ，b ，c 是空间一个基底，则( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z)，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD【解析】对于A 选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，所以A 选项错误. 对于B选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面.对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面.假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设()()()1a b x b c x c a +=++-+，化简得()1x a x b c ⋅=-+，即()1c x a x b =⋅+-，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底.所以D 选项正确. 故选：BCD12．（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 【答案】BC【解析】如图所示：A 项：取BD 的中点O ，连结OP 、OC ， 因为四边形ABCD 是菱形，O 是线段BD 的中点， 所以,,OP BD OC BD OPOC O ⊥⊥=,BD ⊥平面POC ，BD ⊂平面BCD ，所以POC ⊥平面BCD ，所以POC 平面BCDOC ，所以PC 在平面BCD 的射影为OC ，PCO ∠即PC 与平面BCD 所成角，PO OC ，三角形POC 是等腰三角形，当60POC ∠=时，PC 与平面BCD 所成角为60，故A 错误； B 项：当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得CD PN ⊥，CD BN ⊥，故CD ⊥平面PBN ，PB CD ⊥，故B 正确； C 项：因为四边形ABCD 是菱形，O 是线段BD 的中点， 所以PO BD ⊥，CO BD ⊥，因为BD 是平面PBD 与平面CBD 的交线， 所以POC ∠即平面PBD 与平面CBD 所成角，因为二面角P BD C --的大小为90，所以90POC ∠=，因为PO OC ==PC =C 正确；D 项：因为BN =B 到平面PDC则BN ⊥平面PCD ，2PB =，BN =1PN =，1DN =，则PD =D 错误，故选：BC.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．若(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =，则()a b c +=________． 【答案】3.【解析】因为(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =所以()5,4,5b c += 所以()()2534153a b c +=⨯+-⨯+⨯=故答案为：314．已知平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝，A α∈，P α∉，且122PA ⎛=- ⎝，则直线PA 与平面α所成的角为______． 【答案】π3【解析】设直线PA 与平面α所成的角为θ，则s 0in cos n PA n PAθθ===⋅=⋅， ∴直线PA 与平面α所成的角为π3．故答案为：π3．15．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =________． 【答案】60︒【解析】由条件，知0CA AB ⋅=，0AB BD ⋅=，CD CA AB BD =++.2222222CD CA AB BD CAAB AB BD CA BD=+++⋅+⋅+⋅(2222648268cos ,CA BD =+++⨯⨯=.∴1cos ,2CA BD =-，又∵0,180CA BD ︒≤≤︒，∴,120CABD =︒，∴二面角的大小为60︒. 故答案为：60︒.16．如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α，则顶点D 到平面α的距离是______.【解析】如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(3,3,0),(3,3,3)O C B A D ， 所以(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)BA CA AD ===， 设平面α的一个法向量为(,,)n x y z =， 则点B 到平面α距离为12||||BA n d n x ⋅===点C 到平面α距离为12||||CA n d n x ⋅===由①②可得||||,|||y x zx==， 所以D 到平面α的距离为2|||||AD n n x x ⋅===故答案为四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分） 17．如图，2BC =，原点O 是BC的中点，点A 的坐标为(2，12，0)，点D 在平面yOz 上，且90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒．（1）求向量CD 的坐标．（2）求AD 与BC 的夹角的余弦值．【答案】（1）3(0,2-；（2）.【解析】（1）过D 作DE BC ⊥于E ，则sin302DE CD =⋅︒=，11cos60122OE OB BD =-︒=-=，所以D 的坐标为1(0,2D -，又因为(0,1,0)C ，所以3(0,2CD =-．（2）依题设有A 点坐标为1,0)2A ，所以(2AD =--，(0,2,0)BC =，则AD 与BC 的夹角的余弦值为·cos ,·AD BC AD BC AD BC==-．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒∠=∠=．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度； （2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值． 【答案】（1）1BC a c b =+-；12BC =（2【解析】（1）1111111111BC BB BC BB AC A B AA AC AB a c b =+=+-=+-=+-， 因为11||||cos 11cos602a b a b BAA ︒⋅=⋅∠=⨯⨯=，同理可得12a cbc ⋅=⋅=，所以22221()2221111BC a c b a c b a c a b c b =+-=+++⋅-⋅-⋅=+++-=．（2）因为1AB a b =+，所以2221()2111AB a b a b a b =+=++⋅=++=因为2211()1111111222)2(AB BC a b a c b a a ca b b a c b b ⋅=+⋅+-=+⋅+-⋅+⋅+⋅=+-+=--，所以111111cos ,62AB BC AB BC AB BC ⋅<>===所以异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为619．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：NM ∥平面11A ADD ； （2）求证：NM ⊥平面11A B M ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点，(0M ∴，1，1)，(1N ，1，0)，(1=MN ，0，1)-，平面11A ADD 的法向量可设为(0n =，1，0)，∴0=MN n ，MN ⊂/平面11A ADD ，MN ∴平面11A ADD ．（2）1(1A ，0，2)，1(1B ，2，2)，11(0A B =，2，0)，1(1A M =-，1，1)-， 11·0MN AB ∴=，1·0MN AM =， 11MN A B ∴⊥，1MN A M ⊥， 1111A B A M A ⋂=，NM ∴⊥平面11A B M ．20．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，14A D A A ==.（1）证明：面1ACD ⊥面1BB D ； （2）求二面角11B AC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）63. 【解析】（1）证明：1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴1AC BB ⊥. 又∵AC BD ⊥，且1BB BD B ⋂=，1,BD BB ⊂平面1BB D ， ∴AC ⊥平面1BB D . 又∵AC ⊂平面1ACD ， ∴面1ACD ⊥面1BB D .（2）易知AB 、AD 、1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系，设AB t =，则相关各点的坐标为()0,0,0A ，(),0,0B t ，()1,0,4B t ，(),1,0C t ， ()1,1,4C t ，()0,4,0D ，()10,4,4D .从而(),1,0AC t =，(),4,0BD t =-. ∵AC BD ⊥，∴2400AC BD t ⋅=-++= 解之得2t =或2t =-（舍去）.()10,4,4AD =，()2,1,0AC =设()1,,n x y z =是平面1ACD 的一个法向量， 则11100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20440x y y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则()11,2,2n =-.同理可求面1ACB 的法向量为()22,4,1n =-.∴12122cos 63||||3n n n n θ⋅-===⋅.又∵二面角11B AC D --是锐二面角， ∴二面角11B AC D --21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）证明：连接BD 交AC 于点H ，连接HE//AB DC ,AB CD =,四边形ABCD 是平行四边形，H ∴是AC 中点，又E 为线段PD 的中点，//B HE P ,又HE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE∴ 直线//PB 平面ACE（2）AB ⊥平面PAD ,作Ax AP ⊥,建立如图所示空间直角坐标系A xyz -由已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒ 得(0,0,2)B ,(0,2,0)P,1,0)D -,1,2)C -(0,2,2)PB =-- , (3,3,0)PD =- (0,0,2)CD =-设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =·0·0n CD n PD ⎧=⎨=⎩ , 200Z y -=⎧⎪-=，不妨取(1,3,0)n =2cos ,422PB n PBn PB n-∴<>===⨯所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为422．如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ． （1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF ，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2；（3）3【解析】（1）证明：四边形EDCF 为矩形，DE CD ∴⊥，又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF⋂平面ABCD CD =，ED ∴⊥平面ABCD ．取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 如图，则(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(1C -，2，0)，(0E ，0，2)，(1F -，2，2)， 设平面ABE 的法向量(,,)m x y z =，(1,2,2)BE =--，(0,2,0)AB =，由·220·20m BE x y z m AB y ⎧=--+=⎨==⎩，取1z =，得(2,0,1)m =，又(1,2,2)DF =-，∴2020DF m =-++=，则DF m ⊥， 又DF ⊂/平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；（2）解：设平面BEF 的法向量111(,,)n x y z =，(1,2,2)BE =--，(1,2,0)EF =-，由11111·220·20n BE x y z n EF x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取11y =，可得(2,1,2)n =，42cos ,||||35m n m n m n +∴<>===，5sin ,5m n ∴<>=， 即平面ABE 与平面BEF ；（3）解：点P 在线段EF 上，设EP EF λ=，[0λ∈，1]，∴(1AP AE EF λ=+=-，0，2)(1λ+-，2，0)(1λ=--，2λ，2)，又平面BEF 的法向量(2,1,2)n =，设直线AP 与平面BEF 所成角为θ，∴|||2(1sin |cos ,|||||3(AP n AP n AP n θλ-=<>===-，24518110λλ∴+-=，即(31)(1511)0λλ-+=，[0λ∈，1]，∴13λ=．∴4(3AP =-，23，2)，则||(AP =-，AP ∴．《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷（二）一、选择题1．在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（ ）323向量()()(,1,1,b 1,,1,c 2,4,2a x y ===-且,//c a c b ⊥，则b a +=（ ）3．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）4．空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（ ）5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=1MN = 6.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥二、填空题7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．8．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点C 到9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成的角为θ，则当θ最小时，tan θ=__________.10．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定题序号都填上）三、解答题, ,为的中点，为的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题： （1）证明：直线；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （3）求点B 到平面OCD 的距离.为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；答案解析一、选择题1．在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（ ）A ．1223EF AC AB AD →→→→=+-B ．112223EF AC AB AD →→→→=--+OA ABCD ⊥底面2OA =M OA N BC MN OCD平面‖C ．112223EF AC AB AD →→→→=-+D ．112223EF AC AB AD →→→→=-+-【答案】B【解析】在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，所以EF EB BA AF →→→→=++1223AB AC AB AD →→→→⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭112223AC AB AD →→→=--+，即112223EF AC AB AD →→→→=--+.故选：B.2.设,x y R ∈，向量()()(),1,1,b 1,,1,c 2,4,2,a x y ===-且,//c a c b ⊥，则b a +=（ ）A ．BC ．3D ．4【答案】D 【解析】(),241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，,,a b ⊥()214+20,a b x ∴⋅=+⋅-=1x ∴=,()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，(223a b ∴+=+=,故选C. 3．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）A B ．2C ．3λ D 【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1）， 1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1）， 设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则1·20·20n ED x z n EF y ⎧=-+=⎨==⎩，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d＝255EM nn==，N 为EM 中点，所以N 到该面的距，选D ．4．空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（ ） A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤【答案】A【解析】因为空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形，并以A 点为原点构建空间直角坐标系：因为::1:3:1AC AB BD =，所以可设AC x =，3AB x =，BD x =，则()0,0,0A ，0,3,0B x ，0,0,C x ，,3,0D x x ，,3,CD x x x ，0,3,0AB x ，0,3,CBx x ，故CD 与AB 所成的角α的余弦值229311cos α11113CD AB x CD ABx x， 因为根据矩形的性质易知平面ABD ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，所以二面角C ABD --的平面角为γ90，γ452，γ2cos22，所以BCD ∠即CD 与面ABC 所成的角β，故110cos β11CD CB CD CB，因为311211112，所以2γβα≤≤，故选：A.5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为ABC ∆的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC【解析】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ，2BD DC ∴=，3BD BD DC ∴=+即3BD BC =，故A 正确；对于B ，若Q 为ABC ∆的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ ∴+++=，3PQ PA PB PC ∴=++即111333PQ PA PB PC =++，故B 正确；对于C ，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则PA BC PC AB ⋅=⋅，0PA BC PC AB ∴⋅+⋅=，()0PA BC PC AC CB ∴⋅+⋅+= 0PA BC PC AC PC CB ∴⋅+⋅+⋅=，0PA BC PC AC PC BC ∴⋅+⋅-⋅=()0PA PC BC PC AC ∴-⋅+⋅=，0CA BC PC AC ∴⋅+⋅=0AC CB PC AC ∴⋅+⋅=，()0AC CB PC ∴⋅+=0AC PB ∴⋅=故C 正确；对于D ，()()111222MN PN PM PB PC PA PB PC PA =-=+-=+-12MN PA PB PC ∴=--，222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PB PC --=++-⋅-⋅+⋅===2MN ∴=，故D 错误.故选：ABC6.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90︒时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 【答案】BC 【解析】如图所示：对A ，取BD 的中点O ，连结OP ，OC ，则当60POC ∠=时，PC 与平面BCD 所成的最大角为60︒，故A 错误；对B ，当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得,,CD PN CD BN ⊥⊥所以CD ⊥平面PBN ，所以PB CD ⊥，故B 正确；对C ，当二面角P BD C --的大小为90时，所以90∠=POC ，所以PO OC ==所以PC =故C 正确；对D ，因为BN =所以如果B 到平面PDC ，则BN ⊥平面PCD ，则2,1,1PB BN PN DN ====，所以PD =D 错误；故选：BC.二、填空题7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．【答案】90； 1【解析】长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，又11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动则D （0，0，0），D 1（0，0，1），A （1，0，0），A 1（1，0，1），C （0，2，0）， 设E （1，m ，0），0≤m≤2，则1D E =（1，m ，﹣1），1A D =（﹣1，0，﹣1）， ∴1D E •1A D =﹣1+0+1=0，∴直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°． ∵1D E =（1，m ，﹣1），EC =（﹣1，2﹣m ，0），D 1E ⊥EC ，∴1D EEC =﹣1+m （2﹣m ）+0=0，解得m=1，∴AE=1．故答案为900，1．8．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点C 到平面11AB D，则直线1B D 与平面11AB D 所成角的余弦值为______.【解析】如图，连接11A C 交11B D 于O 点，过点C 作CH AO ⊥于H ，则CH ⊥平面11AB D ，则CH =，设1AA a =，则AO CO ==AC =得1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯a =以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -.则(A ，()12,0,0B ，()10,2,0D，(D ，(10,2,AD =-，(12,0,AB =-，(1B D =-，设平面11AB D 的法向量为(),,n x y z =，则1100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令x，得()2,2,1n =.11110cos ,10B D n B D n B D n⋅==1B D 与平面1111D C B A所成的角的余弦值为.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成的角为θ，则当θ最小时，tan θ=__________. 【答案】42【解析】如图，设,P Q 分别为棱CD 和11C D 的中点，则四棱锥11E C D DC -的外接球即为三棱柱11DFC D EC -的外接球，因为三棱柱11DFC D EC -为直三棱柱，所以其外接球球心O 为上、下底面三角形外心G 和H 连线的中点，由题意，MN 是平面1DD EF 内的一条动直线，所以θ最小是直线OC 与平面1DD EF 所成角，即问题转化为求直线OC 与平面1DD EF 所成角的正切值，不妨设正方体的棱长为2，2EQ =，1ED =,因为11EC D △为等腰三角形，所以11EC D △外接圆的直径为11152sin 2ED GE EC D ===∠,则54GE =，从而53244GQ PH =-==，如图，以D 为原点，以1,,DA DC DD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()0,2,0C ，()2,1,0F ，3,1,14O ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,2DD ∴=，()2,1,0DF =，设平面1DD EF 的一个法向量为(),,n x y z =，则12020n DD z n DF x y ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩，令1x =，则()1,2,0n =-，因为3,1,14OC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以sin cos ,n OC θ===10．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为其中正确命题的序号是__________.（将你认为正确的命题序号都填上）【答案】①③④【解析】如图所示：以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,1P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,,0E y ，则()1,0,1BP =-，()1,2,0CE y =--，cos ,2BP CE BP CE BP CE⋅==≤⋅2y =时等号成立， 此时,4BP CE π=，故直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45，①正确；()()1,,01,2,121BE PC y y ⋅=-⋅-=-，当12y =时，BE PC ⊥，②错误； 将四棱锥放入对应的长方体中，则球心为体对角线交点，1111112323226BCE E BCO OBCE AP V V S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，③正确；如图所示：将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ， 则''CE PE C E PE PC +=+≥=='PEC 共线时等号成立，④正确.故答案为：①③④.三、解答题11.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，,, ,为的中点，为的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题： （1）证明：直线；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；O ABCD -ABCD 4ABC π∠=OA ABCD ⊥底面2OA =M OA N BC MN OCD平面‖（3）求点B 到平面OCD 的距离.【解析】作于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为轴建立坐标系, (1)设平面OCD 的法向量为,则即 取解得(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(3)设点B 到平面OCD 的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,AP CD ⊥,,x yz (0,0,0),(1,0,0),(0,((0,0,2),(0,0,1),(122244A B P D O M N -2222(1,,1),(0,,2),(2)44222MN OP OD =--=-=--(,,)n x y z =0,0n OP n OD ==2022022y z x y z -=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩z =(0,4,2)n =22(1,,1)(0,4,2)044MN n =--=∵MN OCD ∴平面‖AB MD θ(1,0,0),(1)2AB MD ==--∵1cos ,23AB MDAB MD πθθ===⋅∴∴AB MD 3πd d OB (0,4,2)n =由 , 得.所以点B 到平面OCD 的距离为12.在三棱锥A —BCD 中，已知,BD=2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO=2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足BF=14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sinθ的值． 【解析】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴(1,0,2),(1,1,1)cos ,15AB DE AB DE ∴=-=∴<>==- 从而直线AB 与DE 所成角的余弦值为15（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =(1,0,2)OB =-23OB n d n⋅==2311200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=- 设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩令111272,5(2,7,5)yx z n =-∴==∴=-12cos ,n n ∴<>==，因此sin 13θ==.《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷（三）一、单选题1．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．无法确定2．如图，在平行六面体中，为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）111ABCD A B C D -M AC BD 11A B a =11A D b =1A A c =1B MA ．B ．C ．D ． 3．已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（ ） A ．2B ．C ．10D ．4．如图，已知正方体ABCD ﹣A'B'C'D'中，E 是CC'的中点，，，，x y z ，则（ ）A ．x ＝1，y ＝2，z ＝3B ．x ，y ＝1，z ＝1C ．x ＝1，y ＝2，z ＝2D ．x ，y ＝1，z5．正方体不在同一侧面上的两顶点，，则正方体外接球体积是（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知，若点D 是AC 中点，则( ) A ．2B ．C ．-3D ．67．平行六面体中，，则实数x ，y ，z 的值分别为( ) A ． B ．C ．D ．8．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）1122a b c -++1122a b c ++1122a b c -+1122a b c --+()0,1,1a =()1,2,1b =-a b +()2,,4c m =--m2-10-1'2a AA =12b AB =13c AD =AE =a +b +c 12=12=32=(1,2,1)A--(1,0,1)B323π4π(1,2,3),OA =(2,2,1),OB =-(1,1,2)OC =BC OD ⋅=32-1111ABCD A B C D -12,AM MC =1AM xAB yAD zAA =++1,32,3232,31,3232,32,3132,31,223111ABC A B C -1160BAA CAA ︒∠=∠=1AB 1BCABCD ．9．如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为A ．B ．C ．D ．10．在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（ ）A ．BCD ．二、多选题11．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（ ）A ．B ．C ．是平面ABCD 的一个法向量D ．12．在正方体中，，分别是和的中点，则下列结论正确的是( )6111ABC A B C -1AA ⊥ABC 13AA =2AB AC BC ===1AA 11AB C 3045︒60︒90︒(1,6),(3,8)A B --x 60︒,A B ()2,4,1AB =--()4,2,0AD =()1,2,1AP =--AP AB ⊥⊥AP AD AP //AP BD 1111ABCD A B C D -E F 11A D 11C DA ．平面B ．平面C ．D ．点与点到平面的距离相等 13．在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（ ）A ．=B ．C ．三棱锥的体积为D ．与平面BB′C′C 所成的角为三、填空题14．已知向量2，，x ，，且，则x 的值为______． 15．若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________.16．如图所示，在正方体中，M 为棱的中点，则异面线与AM 所成角的余弦值为________.17．如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则直线与平面所成角的正切值为________；异面直线与所成角的余弦值是________．11//A C CEF 1B D ⊥CEF 112DA DD C DC E =+-D 1B CEF ABC A B C '''-BC 'B C 'O AO 111222AB AC AA '++AO B C '⊥A BB O '-24AO π6(3,a =-5)(1,b =1)-8a b ⋅=(2,1,2)a =-(4,2,)b m =-a b m 1111ABCD A B C D -1CC 1BD ABCD ADPQ ,,M E F ,,PQ AB BC ME ABCD EMAF四、解答题18．如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线AE 和平面OBC 的所成角.19．如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点．（1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值．20．如下图所示，在四棱锥中，底面四边形，四边形是直角梯形，且，，点是棱的中点，是上的点，且.O ABC -OA OB OC ，，1OA =2OB OC ==EOC BEAC S OABC -SO ⊥OABC OABC 90COA OAB ∠=∠=︒1,4OA OS AB OC ====M SB N OC :1:3ON NC =(1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求与平面所成的角的正弦值．21．如图，在正方体中，分别是的中点。
高一数学立体几何单元测试及答案
立体几何综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.给出下列命题，其中是真命题的为()(1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；(2)若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；(3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；(4)若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(4) D．(3)(4)A[(1)因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，即其中一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点，所以(1)正确．(2)因为该直线与其中一个平面垂直，那么该直线必与其中两条相交直线垂直，又两个平面平行，故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直，所以该直线与另一个平面也垂直，故(2)正确．(3)错，反例：该直线可以在另一个平面内．(4)错，反例：其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行．综上：(1)(2)为真命题．]2．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3B[①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确．因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．]3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为()A．4 B．5C．6 D．7C[如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线BA1异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条，故选C.]4．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB[对于A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；对于C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，lβ，故错误．故选B.] 5．如图，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对D[∵DA⊥AB，DA⊥P A，∴DA⊥平面P AB.同理BC⊥平面P AB，又AB⊥平面P AD，∴DC⊥平面P AD，∴平面P AD⊥平面AC，平面P AB⊥平面AC，平面PBC⊥平面P AB，平面P AB⊥平面P AD，平面PDC⊥平面P AD，共5对．]6．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定C[∵BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC平面ABC，∴l⊥AC.]7．下列命题中正确的是()A．将正方形旋转不可能形成圆柱B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线C[将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.] 8．如图所示的组合体，其构成形式是()A．左边是三棱台，右边是圆柱B．左边是三棱柱，右边是圆柱C．左边是三棱台，右边是长方体D．左边是三棱柱，右边是长方体D[根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．]9．设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为() A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2B[由题可知，球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R＝4a2＋a2＋a2，解得R＝62a，所求球的表面积S＝4πR2＝6πa2.]10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2 B.73πa2C.113πa2D．5πa2B[由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝23×32a＝33a，OP＝12a，所以球的半径R＝OA满足R2＝⎝⎛⎭⎪⎫33a2＋⎝⎛⎭⎪⎫12a2＝7 12a 2，故S球＝4πR2＝73πa2.]11．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310C[如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径为R ＝OA ＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝132.]12．已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( ) A ．若l ⊥α，m α，则l ⊥mB ．若l ⊥m ，m α，则l ⊥αC ．若l ∥m ，m α，则l ∥αD ．若l ∥α，m α，则l ∥m A [对于A ，若l ⊥α，m α，则根据直线与平面垂直的性质，知l ⊥m ，故A 正确；对于B ，若l ⊥m ，m α，则l 可能在α内，故B 不正确；对于C ，若l ∥m ，m α，则l ∥α或l α，故C 不正确；对于D ，若l ∥α，m α，则l 与m 可能平行，也可能异面，故D 不正确．故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知正六棱柱的侧面积为72 cm 2，高为6 cm ，那么它的体积为__________cm 3. 363 [设正六棱柱的底面边长为x cm ，由题意得6x ·6＝72，所以x ＝2 cm ， 于是其体积V ＝34×22×6×6＝36 3 cm 3.]14．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为________． 180° [S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即2πr 2＝πrl ，得2r ＝l . 设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl 180°＝2πr ，∴θ＝180°.]15．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C1MN等于________．90°[∵B1C1⊥平面A1ABB1，MN平面A1ABB1，∴B1C1⊥MN.又∠B1MN为直角，∴B1M⊥MN.而B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面MB1C1.又MC1平面MB1C1，∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.]16．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各个面引垂线，垂线段分别为d1，d2，d3，d4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为________．63 [设四面体的高为h ，则h ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×12＝63，13Sh ＝13S (d 1＋d 2＋d 3＋d 4)，∴d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝h ＝63.]B三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连结A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′BC ′D 的体积．[解] (1)∵ABCD -A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴六个面是互相全等的正方形，∴A ′C ′＝A ′B ＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴S 三棱锥＝4×34×(2a )2＝23a 2，S 正方体＝6a 2， ∴S 三棱锥S 正方体＝33. (2)显然，三棱锥A ′ABD ，C ′BCD ，D A ′D ′C ′， B A ′B ′C ′是完全一样的， ∴V 三棱锥A ′BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝13a 3.18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .[证明] (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ， 所以EF ∥AB .又因为EF 平面ABC ，AB 平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， BC 平面BCD ，BC ⊥BD ， 所以BC ⊥平面ABD .因为AD 平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB 平面ABC ，BC 平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC . 又因为AC 平面ABC ， 所以AD ⊥AC .19.(本小题满分12分)如图，圆锥的轴截面SAB 为等腰直角三角形，Q 为底面圆周上一点．(1)若QB的中点为C，求证：平面SOC⊥平面SBQ；(2)若∠AOQ＝120°，QB＝3，求圆锥的表面积．[解](1)证明：∵SQ＝SB，OQ＝OB，C为QB的中点，∴QB⊥SC，QB⊥OC.∵SC∩OC＝C，∴QB⊥平面SOC.又∵QB平面SBQ，∴平面SOC⊥平面SBQ.(2)∵∠AOQ＝120°，QB＝3，∴∠BOQ＝60°，即△OBQ为等边三角形，∴OB＝ 3.∵△SAB为等腰直角三角形，∴SB＝6，∴S侧＝3·6π＝32π，∴S表＝S侧＋S底＝32π＋3π＝(3＋32)π.20．(本小题满分12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：P A∥平面BDE；(2)求证：平面P AC⊥平面BDE；(3)若二面角E-BD-C为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．[解](1)证明：连结OE，如图所示．∵O，E分别为AC，PC的中点，∴OE∥P A.∵OE平面BDE，P A平面BDE，∴P A∥平面BDE. (2)证明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC.又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面P AC.又∵BD平面BDE，∴平面P AC⊥平面BDE.(3)取OC 中点F ，连结EF .∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO .又∵PO ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥BD .∵OF ⊥BD ，OF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFO ，∴OE ⊥BD ，∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a .∴V P ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3.21.(本小题满分12分)如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC 的值．[解] (1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高．又P A ＝1，所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM . 由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN .又BM 平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在直角△BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.22．(本小题满分12分)如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2)．(1) (2)(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.说明理由．这样的设问该怎么回答？[解](1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.又∵DE平面A1CB，BC平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC，而A1F平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，∴A1F⊥平面BCDE，∵BE平面BCDE，∴A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，QE，则PQ∥BC.又∵DE∥BC，∴DE∥PQ，∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP.又DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(A1B的中点)，使得A1C⊥平面DEQ.。
立体几何单元测试卷
立体几何单元测试卷一、单选题1．设α,β为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则下列命题正确的是( ) A ．若,,则B ．若,则C ．若,则D ．若,则2．如图，在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（ ）A ．在直线上B ．在直线上C ．在直线上D ．都不对3．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A B ．135C ．175D ．54．四面体中，棱两两互相垂直，则顶点在底面上的正投影为的（ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心5．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，∠DAD1=，∠CDC1=，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．6．在三棱锥中，平面，已知，则二面角的平面角是（）A．B．C．D．7．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则点P为( )A．K B．H C．G D．B′8．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b，AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影长分别是m和n，若a＞b，则( )A．θ＞φ，m＞n B．θ＞φ，m＜nC ．θ＜φ，m ＜nD ．θ＜φ，m ＞n9．点P 在正方体侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且保持AP ⊥BD 1，则点P 的轨迹为 ( )A ．线段B 1CB ．BB 1的中点与CC 1的中点连成的线段 C ．线段BC 1D ．BC 的中点与B 1C 1的中点连成的线段 10．设是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线和的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线和的两个平行平面；③经过直线有且只有一个平面垂直于直线；④经过直线有且只有一个平面平行于直线，其中正确的个数有（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题11．如图所示，在直三棱柱11A B C A BC -中，底面是ABC ∠ 为直角的等腰直角三角形， 12,3,AC a BB a D == 是11A C 的中点，点F 在线段1AA 上，当AF = ________时， CF ⊥ 平面1B DF .12．如图，在四面体A －BCD 中，已知棱AC ，其余各棱长都为1，则二面角A －CD －B 的平面角的余弦值为________.13．已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)14．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别是棱1AA 和AB 上的点，若1B MN ∠是直角，则1C MN ∠=________.15．在正四面体中,分别是和的中点,则异面直线和所成角为__________．16．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知底面四边形ABCD 为矩形，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝3π。
中职数学《立体几何》单元检测试题及参考答案
中职数学《立体几何》单元检测一.选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1、直线L 与平面内的两条直线垂直，那么L 与平面的位置关系是 （ ）A 、平行B 、LC 、垂直D 、不确定 2、如果直线ab ，且a平面，则 （ ） A 、b//平面B 、bC 、b平面D 、b//平面或b3、已知,b ,,a b a b a ααα ⊄⊂ 直线和平面，若，那么（ ） A 、b B 、 b ⊥平面 C 、b//平面 D 、不确定4、圆柱的轴截面面积为4，则它的侧面积为 （ ）A ．π34B ．π2C ．π4D ．π85.长方体1111D C B A ABCD -中,直线AC 与平面1111D C B A 的关系( )A.平行B.相交C.垂直D.无法确定6、下列命题正确的是（ ）A 、空间任意三点确定一个平面；B 、两条垂直直线确定一个平面；C 、一条直线和一点确定一个平面；D 、两条平行线确定一个平面7、在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于它到另一面的距离的233倍，那么这个二面角的度数是 （ ）A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o8、空间四面体A-BCD, AC=BD,E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是 （ ）A 、平行四边形B 、矩形C 、菱形D 、正方形 9、如图，是一个正方体，则B 1AC= （ ）A 、30oB 、45oC 、60oD 、75o10、如果平面的一条斜线段长是它在这平面上射影的3倍，那么这条斜线与平面所成角的正切值为( ) A.2 B ．2 C ．4 D ．22第5题 第9题二.填空题11、垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是_________12、已知平面//，且、间的距离为1，直线L 与、成60o 的角，则夹在、之间的线段长为 。
13、在正方体1111D C B A ABCD -中,与棱AA’异面的直线共有_____条. 14、夹在两个平行平面间的平行线段________________三.解答题15、（10分）如图所示，长方体1111D C B A ABCD -中，3,2,11===C C BC AB ，求 （1）B A 1与11D C 所成的角的度数；(2)1BC 与平面D D CC 11所成的角的度数。
第八章 立体几何初步 单元测试-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2022-2023学年高一第二学期第八章《立体几何初步》单元测试（新人教A 版必修第二册）一、单项选择题（每小题5分，共40分）1、下列说法中正确的是 A ．若一个平面内有3个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行B ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱D ．过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行2、已知正三角形的边长为2，那么的直观图△的面积为 ABCD3、已知S 为圆锥的顶点，O为底面圆心，圆锥的体积为 ABCD4、如图：已知正四面体中E 在棱上，，G 为的重心，则异面直线与所成角为（ ）A. B. C. D. 5．已知直线，与平面，，，则能使成立的充分条件是 A ．，B ．，C ．，D ．，，6、如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题错误的是 ()ABC ABC ∆A B C '''()SO =()ABCD CD 2EC DE =ABC V EG BD 30°45︒60︒90︒m n αβγαβ⊥()αγ⊥βγ⊥//m α//m β//m αm β⊥m n ⊥m αβ= n β⊂1111ABCD A B C D -()A ．直线与平面所成的角等于B ．点到面C ．两条异面直线和所成的角为D ．三棱柱7、端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗. 粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明, 且形状各异. 裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子, 是用当地特有的冬叶、水草包裹糯米、绿豆、猪肉、咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子. 现将裹蒸粽看作一个正四面体, 其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为时，该裹蒸粽的高的最小值为A. B. C. D. 8、已知三棱锥中，，，三点在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的半径为 A ．2B．5C ．13D 二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9、高空走钢丝是杂技的一种，渊源于古代百戏的走索，演员手拿一根平衡杆，在一根两头拴住的钢丝上来回走动，并表演各种动作．在表演时，假定演员手中的平衡杆是笔直的，水平地面内一定存在直线与演员手中的平衡杆所在直线 A ．垂直B ．相交C ．异面D ．平行10、设，，表示不同的点，，表示不同的直线，，表示不同的平面，下列说法错误的是 A ．若，，，则B ．若，，，，则C ．若，，，，，，则D ．若，，，则11、如图，在菱形中，，，将沿折起，使到，点不落在底面内，若为线段的中点，则在翻折过程中，以下命题中正确的是 BC 11ABC D 4πC 11ABCD 1D C 1BC 4π1111AA D BB C -43π46810O ABC -A B C O 2AB BC ==120ABC ∠=︒O ABC -O ()()A B C n l αβ()l αβ= //n α//n β//n l A B l ∈A B α∉//l αA B α∈A B C β∈l αβ= C l ∈//αβl α⊂n β⊂//l n ABCD 2AB =3BAD π∠=ABD ∆BD A A 'A 'BCD M A C 'ABD ∆()A ．四面体的体积的最大值为1B ．存在某一位置，使得C ．异面直线，所成的角为定值D ．当二面角的余弦值为时，四面体12、四面体的四个顶点都在球的球面上，，，点，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是 A ．过点，，做四面体的截面，则该截面的面积为2B ．四面体C ．与的公垂线段的长为D ．过作球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为二、填空题（每小题5分，共20分）13、将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为 ．14、在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为 ．15、某校高一级学生进行创客活动，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去正四棱台后所得的几何体，其中，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属，不考虑损耗，所需金属膜的质量为____________．A BCD '-BM CD ⊥BM A D 'A BD C '--13A BCD '-ABCD O 4AB BC CD DA ====AC BD ==EFG BC CD AD ()E F G ABCD ABCD AC BD E O 5:41111ABCD A B C D -P 11B D PB 1AD 1111ABCD A B C D -ABCD EFGH -122,6cm,4cm AB EF BF AB BC AA =====2mg mg16、如图，在长方体中，四边形是边长为4的正方形，，为棱的中点，为棱（包括端点）上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值是 ．三 解答题（共6小题，共计70分）17、（10分）如图，在三棱锥中，平面，是直角三角形，，．，分别是棱，的中点．（1）证明：平面平面．（2）求三棱锥的体积．18．（12分）如图，在三棱锥中，，底面．1111ABCD A B C D -ABCD 13AA =E CD F 11C D A DEF -P ABC -PA ⊥ABC ABC ∆AC BC =6PA AB ==D E PB PC PAC ⊥ADE P ADE -P ABC -90ACB ∠=︒PA ⊥ABC（1）求证：平面平面；（2）若，，求与平面所成角的正弦值．19．（12分）如图，在直四棱柱中，四边形是平行四边形，是的中点，点是线段上，且．（1）证明：直线平面．（2）若，，，求点到平面的距离．20、（12分）如图，在四棱锥中，，，，分别为，的中点底面四边形是边长为2的菱形，且，交于点．（1）求证：平面；（2）二面角的平面角为，若．①求与底面所成角的大小；②求点到平面的距离．21、（12分）如图在直三棱柱中，，，，是上的一点，且，、、分别是、、的中点，与相交于．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；PAC ⊥PBC 2AC PA ==3BC =AB PBC 1111ABCD A B C D -ABCD F 1BD E 1CD 12D E CE =//AF BDE 13AA AB ==2AD =60BAD ∠=︒F BDE P ABCD -PB PD =PA PC ⊥M N PA BC ABCD 60DAB ∠=︒AC BD O //MN PCD B PC D --θ1cos 7θ=-PA ABCD N CDP 111ABC A B C -90ABC ∠=︒2BC =14CC =E 1BB 11EB =D F G 1CC 11B C 11A C EF 1B D H 1B D ⊥ABD //EFG ABD（Ⅲ）求平面与平面的距离．22、（12分）如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，．（1）求证：平面；（2）若直线与平面，求二面角的余弦值．参考答案1、D2、D3、B4、A5、C6、C7、A8、D 8、【解析】设的外接圆的圆心为，半径为,在中，，，由余弦定理可得，由正弦定理可得，解得，所以又三棱锥所以EGF ABD P ABCD -ABCD 12BC AD =//BC AD PCD ABCD BC PD ⊥BC ⊥PCD PB ABCD P AB D --ABC ∆1O r ABC ∆2AB BC ==120ABC ∠=︒222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=24sin AC r ABC ===∠2r =11sin 2222ABC S AB BC ABC ∆=⋅⋅⋅∠=⨯⨯=O ABC -111133O ABC ABC V S OO OO -∆=⋅⋅==故三棱锥的高，所以球．9、AC10、BCD 11、ABD 12、ACD9、【解析】根据题意可得：对直线与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线垂直，A 正确；平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交，根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面，若直线与平面相交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面，C 正确，B 、D 错误；【答案】AC11、【解析】连接交于，连接，取的中点，连接，，对于A ，当平面平面时，四面体的体积最大，点到平面的距离最大，此时在菱形中，，则，都是等边三角形，则，此时四面体的体积为，所以四面体的体积的最大值为1，故A 正确；对于B ，因为，分别为，的中点，所以，且，由题意，则，当时，，因为，O ABC -13OO =O =l l AC BD O OA 'CD N MN BN A BD '⊥BCD A BCD '-A 'BCD ABCD 2AB =3BAD π∠=ABD ∆BCD ∆OA OA OC '===A BCD '-112132⨯⨯=A BCD '-M N C 'CD BN CD ⊥//MN A D '112MN A D ='=2(0,)3A DC π∠'∈2(0,3MNC π∠∈2MNC π∠=MN CD ⊥MN BN N =所以当时，平面，又平面，所以，所以存在某一位置，使得，故B正确；对于C，因为，所以异面直线，所成的角即为或其补角，，因为不为定值，所以不为定值，即异面直线，，所成的角不为定值，故C错误；对于D，因为，，所以即为二面角的平面角，则，所以，所以四面体为正四面体，如图，补全正四面体，即四面体的D正确．【答案】ABD12、【解析】如图所示：取中点，连结、，则有：，且，同理可得，且所以，且为平行四边形，2MNCπ∠=CD⊥BMNBM⊂BMN CD BM⊥BM CD⊥//MN A D'BM A D'BMN∠2131cos22BM BMBMNBM BM+-∠==-BM cos BMN∠BM A D'OC BD⊥OA BD'⊥A OC∠'A BD C'--26163A CA OC-'∠'==2A C'=A BCD'-A BCD'-=A BCD'-AB H EH HG//HG BD12GH BD==//EF BD12EF BD== //HG EF HG EF==EFGH同理可得，且，所以平行四边形的菱形；取中点，连结、，因为，所以，同理，所以平面，所以，又因为，，所以，所以菱形的正方形，所以，故A 正确；因为，，，所以，同理可得，在中，，所以边上的高，又因为平面，为中点，所以，故B 错；因为平面，平面，所以，又因为，所以是与的公垂线，由选项可知，故C 正确；取中点，则为球心，理由如下：因为平面，，所以，同理，，所以，所以即为球心，所以，又因为，所以过所作的面积最小的截面是以为圆心，为半径的圆；面积最大的截面是过，的大圆，//HE GF HE GF ==EFGH BD Q AQ CQ AB AD =AQ BD ⊥CQ BD ⊥BD ⊥ACQ BD AC ⊥//HG BD //HE AC HG HE ⊥EFGH 2EFGH S =4AB AD ==BD =AQ BD ⊥BQ DQ ==AQ =CQ =ACQ ∆AQ CQ ==AC =AC QM ==12ACQ S AC QM ∆=⋅⋅=BD ⊥ACQ Q BD 1122233A BCD B ACQ ACQ V V S BQ --∆==⨯⨯=⨯⨯=BD ⊥ACQ QM ⊆ACQ BD QM ⊥QM AC ⊥QM AC BD B QM =QM S S O BD ⊥ACQ BQ DQ =12QS QM ==225SB SD ==12MS QM ==225SA SC ==SA SB SC SD ====S O R =OE BC ⊥E E 2BE =O E所以，故D 正确．13、 14、15、16、15、【详解】由题意，该几何体侧面4个面的面积和为，底面积，正方形面积.考虑梯形，高为，故正四棱台的侧面积为，故该模型表面积为，故所需金属膜的质量为16、【解析】如图，取的中点，过作平面的垂线，与平面交于点，过作的垂线，垂足为，则三棱锥外接球的球心在上，设，，则，设球的半径为，则，即，所以．因为，所以，则．()()22::5:4S S R BE ππ==大小2π6π282+2449π244696cm ⨯⨯=26636cm ⨯=EFGH 2339cm ⨯=ABFE =()214362⨯+=(296369141cm +++=+((2141282mg⨯+=+AE 1O 1O ABCD 1111A B C D M M 11C D N E ADF -O 1MO 1OO m =NF n =03n ……O R 222R OE OF ==22222225(3)4R m OM MN NF m n =+=++=-++286n m +=03n ......41736m (2261)59R m =+…故三棱锥外接球的表面积．17、（1）证明：因为是直角三角形，且，所以．因为平面，且平面，所以．因为平面，平面，且，所以平面．因为，分别是棱，的中点，所以，，因为平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解：因为，所以因为平面，且，所以三棱锥的体积．连接，因为是棱的中点，所以三棱锥的体积．因为是棱的中点，所以三棱锥的体积．因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥，所以的体积为．18．（1）证明：底面．，又，，又，平面，又平面，平面平面；（2）解：取的中点，连接、，，，又平面平面且交线为，平面，A DEF -224449S R ππ=…ABC ∆AC BC =AC BC ⊥PA ⊥ABC BC ⊂ABC PA BC ⊥PA ⊂PAC AC ⊂PAC PA AC A = BC ⊥PAC D E PB PC 12DE BC =//DE BC BC ⊥PAC DE ⊥PAC DE ⊂ADE PAC ⊥ADE 6AB =AC BC ==PA ⊥ABC 6PA =P ABC -1161832V =⨯⨯=CD D PB D PAC -11118922V ==⨯=E PC D PAE -211199222V V ==⨯=P ADE -D PAE -P ADE -92PA ⊥ ABC PA BC ∴⊥90ACB ∠=︒ AC BC ∴⊥PA AC A = BC ∴⊥PAC BC ⊂PBC ∴PBC ⊥PAC PC O AO BO PA AC = AO PC ∴⊥ PBC ⊥PAC PC AO ∴⊥PBC直线在平面中的射影为，为与平面所成的角，在直角中，，，．19．（1）证明：连接，记，连接．取线段的中点，连接，．因为四边形是平行四边形，所以是的中点．因为是的中点，且，所以是的中点，因为，分别是，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为，分别是，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为平面，平面，且，所以平面平面．因为平面，所以平面．（2）解：由（1）可知平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离．因为，，，所以的面积为作，垂足为，连接，则平面．因为，所以，，则．因为，，，所以AB PBC OB ABO ∴∠AB PBC AOB ∆AB =AO =∴sin ABO ∠=AC AC BD O = OE 1D E H AH HF ABCD O AC H 1D E 12D E CE =E HC O E AC HC //OE AH OE ⊂BDE AH ⊂/BDE //AH BDE H F 1D E 1BD //HF BE BE ⊂BDE HF ⊂/BDE //HF BDE AH ⊂AHF HF ⊂AHF AH HF H = //AHF BDE AF ⊂AHF //AF BDE //AF BDE F BDE A BDE 2AD =3AB =60BAD ∠=︒ABD ∆1sin 2AD AB BAD ⋅∠=EG CD ⊥G BG EG ⊥ABCD 12D E CE =1113EG DD ==22DG GC ==DE =3AB =2AD =60BAD ∠=︒BD因为，，，所以，则．在中，由余弦定理可得．故的面积为．设点到平面的距离为，因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，所以，解得到平面20、（1）证明：取得中点，连接，，如图，为的中点，，为的中点且四边形为菱形，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；（2）解：①连接，过作于，连接，，由，是的中点，，由菱形知，又，平面，平面，平面平面，且交线为，直线在平面上的射影为，即与底面所成角为，平面，，且在平面上的射影为，，又，，是的中点，是的中点，，由知，，，为二面角的平面角，，1CG =2BC =60BCG ∠=︒BG =2BE =BDE ∆cos BED ∠==sin BED ∠=BDE ∆11sin 222BE DE BED ⋅∠=⨯=F BDE h E ABD -A BDE -11133=h =F BDE PD E ME CE M PA ∴1,//2ME AD ME AD =N BC ABCD ∴1//,2NC AD NC AD =//NC ME ∴NC ME =∴MNCE //MN EC ∴MN ⊂/PCD CE ⊂PCD //MN ∴PCD PO B BF PC ⊥F DF OF PB PD =O BD PO BD ∴⊥ABCD AC BD ⊥PO AC O = BD ∴⊥PAC BD ⊂ ABCD ∴PAC ⊥ABCD AC ∴PA ABCD AC PA ABCD PAC ∠BD ⊥ PAC BF PC ⊥BF PAC OF OF PC ∴⊥PA PC ⊥//OF PA ∴O BD F ∴PC 2PB BC ∴==BPC DPC ∆≅∆DF PC ⊥BF DF =BFD ∴∠B PC D --∴2222222162cos 277BD BF DF BF DF BFD BF BF BF =+-⋅∠=+=即，解得，，，，，即与底面所成角的大小为；②连接，过作于，由，平面，平面，平面，点到平面的距离即点到平面的距离，，，，平面，平面平面，且是交线，，平面，在中，，由等积法可得，即，即点到平面．21、（12分）（Ⅰ）证明：由直三棱柱的性质，得平面平面，又，平面，又平面，，，在和△中，，，即，又，平面．（Ⅱ）证明：由题意知，在△中，，又，，平面，不包含于平面，平面，、分别为、的中点，，又，，，不包含平面，平面，平面，平面，，平面平面．（Ⅲ）解：平面，平面平面，平面，为平行平面与之间的距离，21647BF =274BF =∴23PC FC ===∴sin 2PC PC PAC AC AO ∠====090PAC ︒∠︒ ……60PAC ∴∠=︒PA ABCD 60︒ON O OG FD ⊥G //ON CD ON ⊂/PCD CD ⊂PCD //ON ∴PCD ∴N CDP O CDP BF PC ⊥ DF PC ⊥BF DF F = PC ∴⊥BFD ∴PCD ⊥BDF DF OG FD ⊥ OG ∴⊥PCD Rt OFD ∆1,OF OD DF ===OF OD FD OG ⋅=⋅OG =N CDP ABC ⊥11BB C C AB BC ⊥AB ∴⊥11BB C C 1B D ⊂11BB C C 1AB B D ∴⊥1112BC CD DC B C ==== ∴Rt BCD ∆Rt 11DC B 1145BDC B DC ∠=∠=︒190BDB ∴∠=︒1B D BD ⊥AB BD B = 1B D ∴⊥ABD 111EB B F ==∴Rt 1EB F 145FEB ∠=︒145DBB ∠=︒//EF BD ∴BD ⊂ ABD EF ABD //EF ∴ABD G F 11A C 11B C 11//GF A B ∴11//A B AB //GF AB ∴\AB ABD ⊂ 平面GF ABD //GF ∴ABD EF ⊂ EFG GF ⊂EFG EF GF F = ∴//EFG ABD 1B D ⊥ ABD //EGF ABD 1B D ∴⊥EGF HD ∴EFG ABD．22、证明：（1）如图所示，取中点，连接，是正三角形，又平面平面，且平面平面，平面，平面，，，且，平面；如图所示，连接，，过点，作，，分别与交于点，，过点作，交于点，连接，设，，，则，由（1）得平面，即为直线与平面所成角的平面角，平面，，则，解得：，故，，解得又，所以平面，，，，解得所以点为线段的中点，故点也为线段中点，11HD B D B H ∴=-==CD O PO PCD ∆ PO CD∴⊥PCD ⊥ABCD PCD ⋂ABCD CD =PO ∴⊥ABCD BC ⊂ABCD PO BC ∴⊥BC PD ⊥ PO PD P = BC ∴⊥PCD OB BD D P DM AB ⊥PN AB ⊥AB M N M //MQ NP AP Q DQ 22AD BC ==2CD a =0a >OP =OP ⊥ABCD OBP ∴∠PB ABCD BC ⊥PCD BC CP ∴⊥OP PB OBP BP =∠===1a =BD AB ====BM AM =DM //BC AD AD ⊥PCD AD PD ⊥PA ===BN AN PN ===M AN Q AP所以，所以即为二面角的平面角，．12QM PN DQ ===DMQ ∠P AB D --222cos 2DM QM DQ DMQ DM QM +-∠===⋅。
几何立体单元测试题及答案
几何立体单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 一个立方体的体积是27立方厘米，它的边长是（）厘米。
A. 3B. 6C. 9D. 122. 一个长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米和3厘米，它的表面积是（）平方厘米。
A. 94B. 104C. 114D. 1243. 一个圆柱的底面半径是2厘米，高是5厘米，它的体积是（）立方厘米。
A. 12πB. 20πC. 30πD. 40π4. 一个圆锥的底面半径是3厘米，高是4厘米，它的体积是（）立方厘米。
A. 12πB. 15πC. 18πD. 24π5. 一个球的体积是(4/3)πr³，其中r是球的半径。
如果球的体积是100π立方厘米，那么它的半径是（）厘米。
A. 3B. 5C. 7D. 96. 一个正四面体的每个面都是等边三角形，且边长为a厘米，那么它的表面积是（）平方厘米。
A. a²B. 2a²C. 3a²D. 4a²7. 一个正八面体的每个面都是等边三角形，且边长为a厘米，那么它的表面积是（）平方厘米。
A. 2a²B. 3a²C. 4a²D. 6a²8. 一个正十二面体的每个面都是正五边形，且边长为a厘米，那么它的表面积是（）平方厘米。
A. 3a²B. 5a²C. 6a²D. 9a²9. 一个正二十面体的每个面都是等边三角形，且边长为a厘米，那么它的表面积是（）平方厘米。
A. 5a²B. 10a²C. 15a²D. 20a²10. 一个正六面体（立方体）的对角线长度是√3a厘米，其中a是它的边长。
如果边长是2厘米，那么对角线的长度是（）厘米。
A. 2√3B. 3C. 4D. 6二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个长方体的长、宽、高分别是l、w、h，它的体积公式是 V =_______ 。
高一数学必修2立体几何初步单元测试题（修改）
高一数学必修2立体几何初步单元测试题（修改）高一数学必修2立体几何初步单元测试题班级：姓名：学号：一、选择题：1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（）A 、AB α? B 、AB α?C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线一定（）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是（）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1BC成60角 5、若直线l ∥平面α，直线a α?，则l 与a 的位置关系是（）A 、l ∥aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点6、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行。
其中正确的个数有（）A 、1B 、2C 、3D 、47、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b íM ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有（）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个8、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为（）A 、2VB 、3VC 、4VD 、5V二、填空题：9、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).10、正方体1111ABCD A BC D -中，平面11AB D 和平面1BCD 的位置关系为QC'B'A'CBAB1C 1A 1D 1BAC D11、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是 .12、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD满足条件_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)三、解答题：13、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.14、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH ∥BD .15、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．H G FE D B A CSDBA16、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点.,求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)面1BDC //面11AB D ．17、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且ADAFAC AE = 求证：平面BEF ⊥平面ABC .D 1ODB AC 1B 1A 1CFEDBAC高一数学必修2立体几何测试题参考答案一、选择题 ACDDD BBB 二、填空题11、小于 12、平行 13、菱形 14、对角线A 1C 1与B 1D 1互相垂直三、解答题15、解:设圆台的母线长为l ,则圆台的上底面面积为224S ππ=?=上圆台的上底面面积为2525S ππ=?=下，所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧于是725l ππ= 即297l =为所求. 16、证明：,EH FG EH ? 面BCD ，FG ?面BCD∴EH ∥面BCD又EH ? 面BCD ，面BCD 面ABD BD =，∴EH ∥BD17、证明：90ACB ∠=BC AC ∴⊥又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥=AD ∴⊥面SBC19、证明：（1）连结11AC ，设11111ACB D O = 连结1AO ， 1111ABCD A BCD -是正方体11A ACC ∴是平行四边形∴A 1C 1∥AC 11AC AC = 又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11OC AO = 11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴? 面11ABD ，1C O ?面11AB D∴C 1O ∥面11AB D（2）1CC ⊥ 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥又1111AC B D ⊥ ，1111B D AC C ∴⊥面 111AC B D ⊥即同理可证11AC AB ⊥，又1111D B AB B =∴1AC ⊥面11AB D 20、证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD ，∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ，∴CD ⊥平面ABC.又ADAFAC AE = ∴EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ?平面BEF,∴平面BEF ⊥平面ABC.。
立体几何单元自测练习题 3
(Ⅲ)取 中点 ,连接 、 .因为 是 的中点,所以 且 ∥ .而 是 上的点且 , ∥ ,所以 且 ∥ .所以四边形 是平行四边形,所以 ∥ .而 ,所以 .又因为 平面 , 平面 ,所以 .而 , 平面 , 平面 ,所以 平面 ,即 平面 .
① ⇒α∥β② ⇒α∥β
③ ⇒a∥α④ ⇒α∥a
其中正确的命题是()
A．①②③B．①④
C．②D．①③④
有互不相同的直线m，n，l和平面α，β，给出下列四个命题：
①若m⊂α，l∩α＝A，A∉m，则l与m不共面；
②若m，l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
③若m，n是相交直线，m⊂α，m∥β，n⊂α，n∥β，则α∥β；
C．若 ，则 D．若 ，则
5.一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()
6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()
A．6B．8C．10D．12
7.若空间中四条两两不同的直线 ，满足
则下列结论一定正确的是（）
A． B. C. 与 既不垂直也不平行D. 与 的位置关系不确定
如图，直角梯形 与等腰直角 所在平面互相垂直， 为 的中点，
（1）求证 ： ；（2）求四面体 的体积．
解析：若m⊥α，α∥β，则m⊥β.故填②④.
答案：②④
解析：①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，
故①正确，②AE⊥PB，AF⊥PB⇒EF⊥PB，故②正确，③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．
求证：AP∥GH.
立体几何单元测试卷
立体几何 单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是( ) A ．若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b B ．若a ⊥α，b ∥a ，b ⊂β，则α⊥β C ．若a ⊥α，b ⊥β，α∥β，则a ∥b D ．若a ∥α，a ∥β，则α∥β 答案 D解析 由题意可得A ，B ，C 选项显然正确，对于选项D ：当α，β相交，且a 与α，β的交线平行时，有a ∥α，a ∥β，但此时α与β不平行．故选D.2．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行 答案 D解析 连接C 1D ，BD .∵N 是D 1C 的中点，∴N 是C 1D 的中点，∴MN ∥BD .又∵CC 1⊥BD ，∴CC 1⊥MN ，故A ，C 正确．∵AC ⊥BD ，MN ∥BD ，∴MN ⊥AC ，故B 正确，故选D.3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.8π3 B.82π3C ．82π D.32π3答案 B解析 S 圆＝πr 2＝1⇒r ＝1，而截面圆圆心与球心的距离d ＝1，∴球的半径为R ＝r 2＋d 2＝ 2.∴V ＝43πR 3＝82π3，故选B.4．某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．4B ．2 2 C.203 D ．8答案 D解析 由三视图可知，该几何体如图所示，其底面为正方形，正方形的边长为2.HD ＝3，BF ＝1，将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体的体积为12×2×2×4＝8.5.如图所示，正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则P A 与BE 所成的角为( )A.π6B.π4 C.π3 D.π2答案 C解析 连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，易得OE ∥P A . ∴所求角为∠BEO . 由所给条件易得OB ＝62，OE ＝12P A ＝22，BE ＝ 2. ∴cos ∠OEB ＝12，∴∠OEB ＝60°，选C.6．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的直观图及三视图如下图所示，D 为AC 的中点，则下列命题是假命题的是()A．AB1∥平面BDC1B．A1C⊥平面BDC1C．直三棱柱的体积V＝4D．直三棱柱的外接球的表面积为43π答案 D解析由三视图可知，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB＝BC＝2.连接B1C交BC1于点O，连接AB1，OD.在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，∴AB1∥平面BDC1.故A正确．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD.又AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面AA1C1C.∴BD⊥A1C.又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，∴A1B1⊥平面B1C1CB，∴A1B1⊥BC1.∵BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B1C.∴BC1⊥A1C，∴A1C⊥平面BDC1.故B正确．V＝S△ABC×C1C＝12×2×2×2＝4，∴C正确．此直三棱柱的外接球的半径为3，其表面积为12π，D错误．故选D.7．在平面四边形ABCD中，AD＝AB＝2，CD＝CB＝5，且AD⊥AB，现将△ABD沿着对角线BD 翻折成△A′BD，则在△A′BD折起至转到平面BCD内的过程中，直线A′C与平面BCD所成的最大角的正切值为()A ．1 B.12 C.33D. 3答案 C解析 如图所示，OA ＝1，OC ＝2.当A ′C 与圆相切时，直线A ′C 与平面BCD 所成的角最大，最大角为30°，其正切值为33.故选C.8．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )A.5＋33π2＋3π2＋1 B ．25＋33π＋3π2＋1 C.5＋33π2＋3π2 D.5＋33π2＋π2＋1 答案 A解析 还原为直观图如图所示，圆锥的高为2，底面半径为2，圆锥的母线长为6，故该几何体的表面积为S ＝12×2×5＋12×2π×2×34×6＋π×(2)2×34＋12×2×1＝5＋33π2＋3π2＋1.9．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°答案 C解析 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0， CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2.∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.10．已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是( )A ．288＋36πB ．60πC ．288＋72πD ．288＋18π答案 A解析 将几何体的三视图转化为直观图此几何体下面为长方体上面为半圆柱，根据三视图所标数据，可得 V 长方体＝6×8×6＝288， V 半圆柱＝12×32×π×8＝36π.∴此几何体的体积为V ＝288＋36π.11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BB 1中点，G 是DD 1中点，F 是BC 上一点且FB ＝14BC ，则GB 与EF 所成的角为( )A ．30°B ．120°C ．60°D ．90°解析 方法一：连D 1E ，D 1F ，解三角形D 1EF 即可． 方法二：如图建立直角坐标系D －xyz ，设DA ＝1，由已知条件，得G (0,0，12)，B (1,1,0)，E (1,1，12)，F (34，1,0)，GB →＝(1,1，－12)，EF →＝(－14，0，－12)．cos 〈GB →，EF →〉＝GB →·EF →|GB →||EF →|＝0，则GB →⊥EF →.故选D.12．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，点P 在线段BD 1上，当∠APC 最大时，三棱锥P －ABC 的体积为( )A.124B.118C.19D.112答案 B解析 以B 为坐标原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴建立空间直角坐标系，设BP →＝λBD 1→，可得P (λ，λ，λ)，再由cos ∠APC ＝AP →·CP →|AP →||CP →|可求得当λ＝13时，∠APC 最大，故V P －ABC ＝13×12×1×1×13＝118.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知四个命题：①若直线l ∥平面α，则直线l 的垂线必平行于平面α；②若直线l 与平面α相交，则有且只有一个平面经过直线l 与平面α垂直； ③若一个三棱锥每两个相邻侧面所成的角都相等，则这个三棱锥是正三棱锥； ④若四棱柱的任意两条对角线相交且互相平分，则这个四棱柱为平行六面体． 其中正确的命题是________．解析④正确，如右图，A1C与B1D互相平分，则四边形A1B1CD是平行四边形，同理四边形ABC1D1是平行四边形，则A1B1綊AB綊CD，因此四边形ABCD是平行四边形，进而可得这个四棱柱为平行六面体．14．(2013·江苏)如图所示，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.答案1∶24解析由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2，S△ADE∶S△ABC＝1∶4.因此V1∶V2＝13AF·S△AED2AF·S△ABC＝1∶24.15．已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若P A，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．答案3 3解析正三棱锥P－ABC可看作由正方体P ADC－BEFG截得，如图所示，PF为三棱锥P－ABC的外接球的直径，且PF⊥平面ABC.设正方体棱长为a，则3a2＝12，a＝2，AB＝AC＝BC＝2 2.S△ABC＝12×22×22×32＝2 3.由V P－ABC＝V B－P AC，得13·h·S△ABC ＝13×12×2×2×2，所以h＝233，因此球心到平面ABC的距离为33.16.如图所示是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，分别为P A，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P AD.其中正确的有______个．答案 2解析将几何体展开图拼成几何体(如图)，因为E，F分别为P A，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面P AD，E∈平面P AD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面P AD与平面BCE 不一定垂直，④错．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.(1)请画出该几何体的三视图；(2)求四棱锥B－CEPD的体积．答案(1)略(2)2解析(1)该组合体的三视图如右图所示．(2)因为PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ， 所以平面PDCE ⊥平面ABCD . 因为四边形ABCD 为正方形， 所以BC ⊥CD ，且BC ＝DC ＝AD ＝2.又因为平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面PDCE .因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥DC .又因为EC ∥PD ，PD ＝2，EC ＝1， 所以四边形PDCE 为一个直角梯形，其面积 S 梯形PDCE ＝12(PD ＋EC )×DC ＝12×3×2＝3.所以四棱锥B －CEPD 的体积V B －CEPD ＝13S 梯形PDCE ×BC ＝13×3×2＝2.18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面ACM ； (2)证明：AD ⊥平面P AC ；(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值． 答案 (1)略 (2)略 (3)455解析 (1)连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.(2)因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面P AC.(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝12PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝12，所以DO＝52.从而AN＝12DO＝54.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝MNAN＝154＝455，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为455.19．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB＝4，P A＝3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PCD.(1)求证：AG∥平面PEC；(2)求AE的长；(3)求二面角E－PC－A的正弦值．答案(1)略(2)3625(3)3210解析(1)证明：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD.又∵CD⊥AD，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD.∴CD⊥AG.又PD⊥AG，∴AG⊥平面PCD.作EF⊥PC于点F，连接GF，∵平面PEC ⊥平面PCD ，∴EF ⊥平面PCD .∴EF ∥AG .又AG ⊄平面PEC ，EF ⊂平面PEC ，∴AG ∥平面PEC .(2)解：由(1)知A ，E ，F ，G 四点共面，又AE ∥CD ，AE ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AE ∥平面PCD .又∵平面AEFG ∩平面PCD ＝GF ，∴AE ∥GF .又由(1)知EF ∥AG ，∴四边形AEFG 为平行四边形，∴AE ＝GF .∵P A ＝3，AD ＝4，∴PD ＝5，AG ＝125. 又P A 2＝PG ·PD ，∴PG ＝95. 又GF CD ＝PG PD ，∴GF ＝95×45＝3625，∴AE ＝3625. (3)解：过E 作EO ⊥AC 于点O ，连接OF ，易知EO ⊥平面P AC ，又EF ⊥PC ，∴OF ⊥PC .∴∠EFO 即为二面角E －PC －A 的平面角．EO ＝AE ·sin45°＝3625×22＝18225，又EF ＝AG ＝125， ∴sin ∠EFO ＝EO EF ＝18225×512＝3210. 20．(本小题满分12分)如图所示，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝2 3.(1)求证：AB ∥平面MCD ；(2)求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值．答案 (1)略 (2)255解析 (1)证明：取CD 中点O ，因为△MCD 为正三角形，所以MO ⊥CD .由于平面MCD ⊥平面BCD ，所以MO ⊥平面BCD .又因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ∥MO .又AB ⊄平面MCD ，MO ⊂平面MCD ，所以AB ∥平面MCD .(2)连接OB ，则OB ⊥CD ，又MO ⊥平面BCD .取O 为原点，直线OC ，BO ，OM 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示．OB ＝OM ＝3，则各点坐标分别为C (1,0,0)，M (0,0，3)，B (0，－3，0)，A (0，－3，23)． CM →＝(－1,0，3)，CA →＝(－1，－3，23)．设平面ACM 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧ n 1·CM →＝0，n 1·CA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3z ＝0，－x －3y ＋23z ＝0， 解得x ＝3z ，y ＝z ，取z ＝1，得n 1＝(3，1,1)．又平面BCD 的法向量为n 2＝(0,0,1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝15. 设所求二面角为θ，则sin θ＝255. 21．(本小题满分12分)圆锥PO 如图①所示，图②是它的正(主)视图．已知圆O 的直径为AB ，C 是圆周上异于A ，B 的一点，D 为AC 的中点．(1)求该圆锥的侧面积S ；(2)求证：平面P AC ⊥平面POD ；(3)若∠CAB ＝60°，在三棱锥A －PBC 中，求点A 到平面PBC 的距离．答案 (1)3π (2)略 (3)223 解析 (1)由圆锥的正视图可知，圆锥的高h ＝2，底面半径r ＝1，所以其母线长为l ＝3，所以圆锥的侧面积S ＝12l ·2πr ＝12×3×2π×1＝3π. (2)证明：因为AB 是圆O 的直径，所以AC ⊥BC .又因为O ，D 分别为AB ，AC 的中点，所以OD ∥BC ，所以OD ⊥AC .因为PO ⊥平面ABC ，所以AC ⊥PO .因为PO ∩OD ＝O ，PO ，OD ⊂平面POD ，所以AC ⊥平面POD .因为AC ⊂平面P AC ，所以平面P AC ⊥平面POD .(3)因为∠CAB ＝60°，AB ＝2，所以BC ＝3，AC ＝1.所以S △ABC ＝32. 又因为PO ＝2，OC ＝OB ＝1，所以S △PBC ＝334. 设A 到平面PBC 的距离为h ，由于V P －ABC ＝V A －PBC ，得13S △ABC ·PO ＝13S △PBC ·h ，解得h ＝223. 22．(本小题满分12分)如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点．(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ；(2)求二面角A 1－BD －A 的大小；(3)在线段AA 1上是否存在一点E ，使得平面B 1C 1E ⊥平面A 1BD ？若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由．答案 (1)略 (2)π3 (3)存在且AE ＝33解析 (1)如图①所示，连接AB 1交A 1B 于点M ，连接B 1C ，DM .因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，所以四边形AA 1B 1B 是矩形，所以M 为AB 1的中点．因为D 是AC 的中点，所以MD 是三角形AB 1C 的中位线，所以MD ∥B 1C . 因为MD ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，所以B 1C ∥平面A 1BD .(2)作CO ⊥AB 于点O ，所以CO ⊥平面ABB 1A 1，所以在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中建立如图②所示的空间直角坐标系O －xyz .因为AB ＝2，AA 1＝3，D 是AC 的中点，所以A (1,0,0)，B (－1,0,0)，C (0,0，3)，A 1(1，3，0)．所以D (12，0，32)，BD →＝(32，0，32)，BA 1→＝(2，3，0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BD 的法向量，所以⎩⎨⎧ n ·BD →＝0，n ·BA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 32x ＋32z ＝0，2x ＋3y ＝0.令x ＝－3，则y ＝2，z ＝3.所以n ＝(－3，2,3)是平面A 1BD 的一个法向量．由题意可知AA 1→＝(0，3，0)是平面ABD 的一个法向量，所以cos 〈n ，AA 1→〉＝2343＝12.所以二面角A 1－BD －A 的大小为π3. (3)设E (1，y,0)，则C 1E →＝(1，y －3，－3)，C 1B 1→＝(－1,0，－3)．设平面B 1C 1E 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，所以⎩⎨⎧ n 1·C 1E →＝0，n ·C 1B 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋(y －3)y 1－3z 1＝0，－x 1－3z 1＝0.令z 1＝－3，则x 1＝3，y 1＝63－y ，所以n 1＝(3，63－y ，－3)． 又n 1·n ＝0，即－33＋123－y－33＝0，解得y ＝33. 所以存在点E ，使得平面B 1C 1E ⊥平面A 1BD 且AE ＝33.。
立体几何单元测试卷
立体几何测试题（2）班级___________ 姓名__________ 学号_________ 分数___________ 一、选择题（每小题5分，共60分）1、以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面）其中正确命题的个数是（ ） ①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 2、下列说法正确的是（ ）A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABC D A B C D -中，下列几种说法正确的是（ ）A 、11A C AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与D C 成45 角 D 、11A C 与1B C 成60 角 5、若直线l 平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是（ ）A 、l aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点 6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 7、在空间四边形A B C D 各边A B B C C D D A 、、、上分别取EFGH 、、、四点，如果与EF G H 、能相交于点P ，那么（ ） A 、点必P 在直线A C 上 B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外 8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：其中正确的是（ ） ①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ； ②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ； ③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ； ④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b . A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 9、一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ） A.底面是正方形，有两个侧面是矩形 B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（ ）A 、23B 、76C 、45D 、5611、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于 （ ）A 、34B 、35C、7D、712、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为（ ）A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V二、填空题（每小题5分，共２０分）13、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 、CC 1的中点，则异面直线EF 与A 1C 所成角的大小是_______________．14、正方体1111ABC D A B C D -中，平面11A B D 和平面1B C D 的位置关系为 15、已知P A 垂直平行四边形A B C D 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形A B C D 一定是 . 16、如图PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ②EF ⊥PB ③AF ⊥BC④AE ⊥平面PBC ，其中真命题的序号是 。
几何立体单元测试题目及答案
几何立体单元测试题目及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 正方体的体积公式是：A. V = a^2B. V = a^3C. V = 2aD. V = a2. 一个圆柱的底面半径为3厘米，高为5厘米，其体积是：A. 141.3立方厘米B. 282.6立方厘米C. 94.2立方厘米D. 235.5立方厘米3. 一个球体的直径为10厘米，其表面积是：A. 628平方厘米B. 314平方厘米C. 157平方厘米D. 100平方厘米4. 圆锥的体积公式是：A. V = 1/3πr^2hB. V = πr^2hC. V = 1/3πr^3D. V = πr^35. 长方体的对角线公式是：A. d = √(l^2 + w^2 + h^2)B. d = l + w + hC. d = √(l^2 + w^2)D. d = √(h^2 + l^2)6. 一个棱柱的底面是正六边形，高为5厘米，如果正六边形的边长为2厘米，那么棱柱的体积是：A. 60立方厘米B. 120立方厘米C. 180立方厘米D. 240立方厘米7. 正四面体的每个面都是等边三角形，如果边长为a，那么其体积是：A. V = a^3/6B. V = a^3/4C. V = a^3/2D. V = a^38. 一个圆锥的底面半径为2厘米，高为4厘米，那么圆锥的体积是：A. 16π/3立方厘米B. 8π立方厘米C. 16π立方厘米D. 4π立方厘米9. 一个球体的体积公式是：A. V = 4/3πr^3B. V = 1/4πr^3C. V = πr^3D. V = 2πr^310. 一个圆柱的底面半径为4厘米，高为10厘米，那么圆柱的侧面积是：A. 251.2平方厘米B. 502.4平方厘米C. 100.48平方厘米D. 200.96平方厘米二、填空题（每题2分，共10分）11. 一个长方体的长、宽、高分别是5厘米、3厘米、2厘米，其体积是________立方厘米。
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高二上期数学九月必修二第一章检测题（高2016届）
班级： 姓名：
学号：
一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案，答案写在后面的表中．．．．．．．．．） 1 有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个
A 棱台
B 棱锥
C 棱柱
D 都不对
2 棱长都是1的三棱锥的表面积为
A
3 B 23 C 33 D 43
3 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在
同一球面上，则这个球的表面积是
A 25π
B 50π
C 125π
D 都不对
4、已知圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是 A.23π3
B ．23π C.73π6 D.73π
3
5、某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是
6、正方体内切球与外接球体积之比为
A ．1: 3
B ．1:3
C ．1:3 3
D ．1:9
7．下列命题中正确的是
A ．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥
B ．棱锥的高线可能在几何体之外
C ．仅有一组对面平行的六面体是棱台
D ．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
主视图 左视图 俯视图
8. 圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．顶角为30°的等腰三角形D．其他等腰三角形
9.在△ABC中，
2, 1.5,120
AB BC ABC
==∠=,若使绕直线BC旋转一周，
则所形成的几何体的体积是
A
9
2
π
B
7
2
π
C
3
2
π
D
5
2
π
10.如果用表示一个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那
么右图中有7个立方体叠成的几何体，则正视图是
A．B．C．D．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
11. 底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面面积为______cm2.
12. 一个底面直径是32 cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上
升了9 cm，则这个球的半径是________cm.
13.
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．
14.图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由
________块木块堆成;
15.三棱柱ABC－A′B′C′的底面是边长为1 cm的正三角形，
侧面是长方形，侧棱长为4 cm，一个小虫从A点出发沿表面
一圈到达A′点，则小虫所行的最短路程为________cm.
三.解答题.(75分)
16、画出如图所示几何体的三视图．
图（1）
17．圆柱有一个内接长方体AC1，长方体对角线长是10 2 cm，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100π cm2，求圆柱的体积．
18.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为
10 cm，求圆锥的母线长．
19. 如图是一个几何体的正视图和俯视图．
(1)试判断该几何体是什么几何体？(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；
(3)求出该几何体的体积．
20.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的
3
2倍，且
AC＝8，BC＝6，AB＝10，求球的表面积与球的体积？
21.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M，高4M，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M（高不变）；二是高度增加4M(底面直径不变)
（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积（不包括底面）；
（3）哪个方案更经济些？
.
高二上期九月必修二第一章检测题答案
一． AABDD, CBACB
二．11. 16π； 12.12； 13.56；
14.4； 15.5，
三． 17.解：解：设圆柱底面半径为r cm ，高为h cm. 则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则 ⎩⎨
⎧
2r 2＋h 2＝102
2
2πrh ＝100π
，∴⎩⎨⎧
r ＝5h ＝10
.
∴V 圆柱＝Sh ＝πr 2h ＝π×52×10＝250π(cm 3)．
18.解：设圆锥的母线长为l ，圆台上、下底面的半径分别为r 、R . ∵l －10l ＝r R ，∴l －10l ＝14，∴l ＝40
3 cm.
即圆锥的母线长为40
3
cm.
19：解：(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．
(2)该几何体的侧视图如图．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 是正六棱锥的高，即AD ＝3a ，所以该平面图形的面积为12·3a ·3a ＝3
2
a 2. (3)设这个正六棱锥
的底面积是S ，体积为V ，
则S ＝6×34a 2＝332a 2，所以V ＝13×332a 2×3a ＝3
2
a 3.
20. 解：解：如图，设球的半径为R ，球心为O ，截面圆心为O 1，则OO 1＝32
R ．在△ABC 中，
∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴O 1是AB 的中点，即O 1B ＝5．
又OO 21＋O 1A 2＝OA 2，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32R 2＋52＝R 2， ∴R 2＝100，R ＝10．
∴球的表面积S 球＝4πR 2＝4π×102＝400π，球的体积V 球＝43πR 3＝43π×103＝4 000
3π． 21. 解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M ,则仓库的体积
2
3111162564()
3323V Sh M ππ⎛⎫
==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
如果按方案二，仓库的高变成8M ，则仓库的体积
2
3211122888=96()3323πππ⎛⎫
==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
V Sh M
（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M ,半径为8M
棱锥的母线长为22
8445l =+=则仓库的表面积
2
1845325()S M ππ=⨯⨯= 如果按方案二，仓库的高变成8M
棱锥的母线长为22
8610l =+= 则仓库的表面积
2261060()
S M ππ=⨯⨯=
（3）
21
V V > ，
21
S S < ∴方案二比方案一更加经济。