小学奥数：简单的排列问题.专项练习

1.使学生正确理解排列的意义；

2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；

3.掌握排列的计算公式；

4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．

一、排列问题

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．

一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．

排列的基本问题是计算排列的总个数．

从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．

根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：

步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；

步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法； ……

步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有

11n m n m --=-+（）(种)方法；

由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是

121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（）

，即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．

二、排列数

一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（

）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）　．

教学目标

例题精讲

知识要点

7-4-1.简单的排列问题

模块一、排列之计算

【例 1】 计算：⑴ 25P ；⑵ 4377P P -．

【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答

【解析】 由排列数公式121m n P n n n n m =---+（）（）（）知：

⑴ 255420P =⨯=

⑵ 477654840P =⨯⨯⨯=,37765210P =⨯⨯=，所以4377840210630P P -=-=．

【答案】⑴20 ⑵630

【巩固】 计算：⑴ 23P ；⑵ 32

610P P -．

【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答

【解析】 ⑴ 23326P =⨯= ⑵ 32

6106541091209030P P -=⨯⨯-⨯=-=． 【答案】⑴6 ⑵30

【巩固】 计算：⑴321414P P -； ⑵53

633P P -．

【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答

【解析】 ⑴32

141414131214132002P P -=⨯⨯-⨯=；

⑵536333(65432)3212154P P -=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=．

【答案】⑴2002 ⑵2154

模块二、排列之排队问题

【例 2】 有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多

少种拍照情况？ (照相时3人站成一排)

【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置

由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．

由排列数公式，共可能有：3443224P =⨯⨯=(种)不同的拍照情况．

也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的拍照情况． 【答案】24

【巩固】 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？ 【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从4

个元素中选4个，排成一列的问题．这时4n =，4m =． 由排列数公式知，共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的排法．

【答案】24

【巩固】 9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有99P 种不同

站法．而问题中，9个人要站成两排，这时可以这么想，把9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题．

方法一：由全排列公式，共有9

9987654321362880

P=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的排法．方法二：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个．

45 95987654321362880

p p⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=

【答案】362880

【巩固】5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问

题，是一个全排列问题，且4

n=．由全排列公式，共有4

4432124

P=⨯⨯⨯=(种)不同的站法．

【答案】24

【巩固】丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且n=4．

由全排列公式，共有4

4432124

P=⨯⨯⨯=(种)不同的站法．

【答案】24

【例 3】5个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有_______种？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】填空

【关键词】学而思杯，4年级，第8题

【解析】5个人全排列有5!120

=种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是60种

【答案】60种

【例 4】一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共需要多少种不同的车票．

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】2

141413182

P=⨯=(种)．

【答案】182

【例 5】班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：有多少种不同的分工方式？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】5

5120

P=(种)．

【答案】120

【例 6】有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由

于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，

且其中5

n=，3

m=．

由排列数公式知，共可组成3

554360

P=⨯⨯=(种)不同的信号．【答案】60