小学奥数 排列问题
一年级奥数题归类排列
一．队伍1.小朋友列队去参观纪念馆，从前面数阿婷是第５个，从后面数秋秋是第３个。
她们中间还有６个人，这一列队伍共有多少人？2. 8个人排成一排，从左边数起，小明排第7,从右边数起，小明排第（）。
3. 一只小黑羊排在小白羊队伍里，从前面数小黑羊是第7只，从后面数小黑羊是第4只。
这队小羊一共（）只4、林林前面有2人，后面有7人，这一排一共有（）人。
5、小红的左边有5人，右边有3人，这一行一共有（）人.6、从前面数起，小林是第5个，从后面数起，小林第4个，一共有（）个。
7、11个小孩子站成一行，从前往后数，林林站在第3个，从后往前数，东东站在第3个，林林和东东中间还有（）个小朋友。
8、小朋友排队。
小平的左面有4个人，右面有8个人。
这一行有（）个人。
9、小朋友排队。
从左数过来小平是第4个，从右数过来是第8个。
这一行有（）个人。
二．猜岁数1.小芳今年10岁，妈妈比她大28岁，再过5年，妈妈多少岁？2.小东今年是5岁，小东的阿姨比他大20岁，再过8年，小东的阿姨多少岁？3.爷爷今年是75岁，爸爸比爷爷小30岁，当爷爷60岁时，爸爸多少岁？4.小王今年23岁，小何今年29岁，当小王15岁时，小何应该多少岁？5.今年妈妈比小佳大24岁，10年后，妈妈比小佳大多少岁？6.小亮今年7岁，爸爸比他打30岁，三年前，小亮比爸爸小多少岁？二．1、晾晒1块手帕，要用2只夹子；2块手帕，要用3只夹子；11块手帕，要用（）只夹子。
2、老师带了一些小朋友去看电影，一共买了11张票。
问和老师一起看电影的有（）个小朋友。
3、8名女同学站成一排，每隔2名女同学插进3名男同学，共插进（）名男同学。
5、小朋友排队。
小平的左面有4个人，右面有8个人。
这一行有（）个人。
6、小朋友排队。
从左数过来小平是第4个，从右数过来是第8个。
这一行有（）个人。
7.小明、小林和小红一起比体重，结果是小明比小林重，小林比小红重，小明比小红重。
他们三人中（）最重，（）最轻。
小学奥数：简单的排列问题.专项练习及答案解析
1.使学生正确理解排列的意义；2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3.掌握排列的计算公式；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法； ……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+L （）（）（），即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L （）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L L （）（） ．教学目标例题精讲知识要点7-4-1.简单的排列问题模块一、排列之计算【例 1】 计算：⑴ 25P ；⑵ 4377P P -．【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 由排列数公式121m n P n n n n m =---+L （）（）（）知：⑴ 255420P =⨯=⑵ 477654840P =⨯⨯⨯=,37765210P =⨯⨯=，所以4377840210630P P -=-=．【答案】⑴20 ⑵630【巩固】 计算：⑴ 23P ；⑵ 32610P P -．【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴ 23326P =⨯= ⑵ 326106541091209030P P -=⨯⨯-⨯=-=． 【答案】⑴6 ⑵30【巩固】 计算：⑴321414P P -； ⑵53633P P -．【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴32141414131214132002P P -=⨯⨯-⨯=；⑵536333(65432)3212154P P -=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=．【答案】⑴2002 ⑵2154模块二、排列之排队问题【例 2】 有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？ (照相时3人站成一排)【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．由排列数公式，共可能有：3443224P =⨯⨯=(种)不同的拍照情况．也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的拍照情况． 【答案】24【巩固】 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？ 【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从4个元素中选4个，排成一列的问题．这时4n =，4m =． 由排列数公式知，共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的排法． 【答案】24【巩固】 9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有99P 种不同站法．而问题中，9个人要站成两排，这时可以这么想，把9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题．方法一：由全排列公式，共有99987654321362880P=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的排法．方法二：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个．45 95987654321362880p p⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=【答案】362880【巩固】5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且4n=．由全排列公式，共有44432124P=⨯⨯⨯=(种)不同的站法．【答案】24【巩固】丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且n=4．由全排列公式，共有44432124P=⨯⨯⨯=(种)不同的站法．【答案】24【例 3】5个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有_______种？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第8题【解析】5个人全排列有5!120=种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是60种【答案】60种【例 4】一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共需要多少种不同的车票．【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】2141413182P=⨯=(种)．【答案】182【例 5】班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：有多少种不同的分工方式？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】55120P=(种)．【答案】120【例 6】有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中5n=，3m=．由排列数公式知，共可组成3554360P=⨯⨯=(种)不同的信号．【答案】60【巩固】 有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】23326P =⨯=． 【答案】6【巩固】 在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题．由排列数公式，共可以组成333216P =⨯⨯=(种)不同的信号． 方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3216⨯⨯=(种)． 【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．【答案】6模块三、排列之数字问题【例 7】 用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题，已知8n =，4m =，根据排列数公式，一共可以组成4887651680P =⨯⨯⨯=(个)不同的四位数． 【答案】1680【巩固】 由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？ 【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】36120P =． 【答案】120【例 8】 用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 （法1）本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中选择一个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有24P 种方法．由乘法原理得，此种三位数的个数是：24448P ⨯=(个)．（法2）：从0、1、2、3、4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0的．从0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为35P ，其中首位是0的三位数有24P 个．三位数的个数是：32545434348P P -=⨯⨯-⨯=(个)．本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．【答案】48【例 9】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知5n=，2m=，根据排列数公式，一共可以组成255420P=⨯=(个)符合题意的三位数．【答案】20【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张，有255420P=⨯=(种)选法．由乘法原理，一共可以组成32060⨯=(个)不同的偶数．．【答案】60【例 10】由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数，四位数有多少个？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为466543360P=⨯⨯⨯=，由于0不能在千位上，而以0为千位数的四位数有3554360P=⨯⨯=，它们的差就是由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的四位数的个数，即为：36060300-=个．方法二：完成这件事——组成一个四位数，可分为4个步骤进行，第一步：确定千位数；第二步：确定百位数；第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确定了，思维过程如下：根据乘法原理，所求的四位数的个数是：5543300⨯⨯⨯=(个)．【答案】300【例 11】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】按位数来分类考虑：⑴一位数只有1个3；⑵两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成22212P=⨯=(个)不同的两位数，共可组成248⨯=(个)不同的两位数；⑶三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每一组可以组成333216P=⨯⨯=(个)不同的三位数，共可组成6424⨯=(个)不同的三位数；⑷四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有44432124P=⨯⨯⨯=(个)不同的四位数；⑸五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(个)不同的五位数．由加法原理，一共有182424120177++++=(个)能被3整除的数，即3的倍数．【答案】177【例 12】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】可以分两类来看：⑴把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有44432124P=⨯⨯⨯=(种)放法，对应24个不同的五位数；⑵把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有336P=种选择．由乘法原理，可以组成33654⨯⨯=(个)不同的五位数．由加法原理，可以组成245478+=(个)不同的五位数．【答案】78【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】从高位到低位逐层分类：⑴千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个位可有39987504P=⨯⨯=(种)排列方式．由乘法原理，有45042016⨯=(个)．⑵千位上排5，百位上排0~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即288756P=⨯=，由乘法原理，有1556280⨯⨯=(个)．⑶千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有116742⨯⨯⨯=(个)．⑷千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个．综上所述，比5687小的四位数有20162804252343+++=(个)，故5687是第2344个四位数．【答案】2344【例 13】用数字l～8各一个组成8位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数．共有___种组成方法．【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛，第7题【解析】 l ～8中被三除余1和余2的数各有3个，被3整除的数有两个，根据题目条件可以推导，符合条件的排列，一定符合“被三除所得余数以3位周期”，所以8个数字，第1、4、7位上的数被3除同余，第2、5、8位上的数被3除同余，第3、6位上的数被3除同余，显然第3、6位上的数被3整除，第1、4、7位上的数被3除可以余1也可以余2，第2、5、8位上的数被3除可以余2可以余1，余数的安排上共有2种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有3！×3！×2！=144种方法.【答案】144种【例 14】 由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列．2008排在 个．【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 比2008小的4位数有2000和2002，比2008小的3位数有23318⨯⨯=（种），比2008小的2位数有236⨯=（种），比2008小的1位数有2（种），所以2008排在第21862129++++=（个）．【答案】29【例 15】 千位数字与十位数字之差为2（大减小)，且不含重复数字的四位数有多少个? 【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为29:，对应的十位数字取07:， 每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就行了，因此总共有288P ⨯个这样的四位数．⑵千位数字小于十位数字，千位数字取17:，十位数字取39:，共有287P ⨯个这样的四位数．所以总共有228887840P P ⨯+⨯=个这样的四位数． 【答案】840模块四、排列之策略问题【例 16】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种．第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312⨯=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次． 【答案】56【例 17】 幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 在这个问题中，只要把3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问题就可以转化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题．由排列数公式，共有：36654120P =⨯⨯=(种)不同的坐法． 【答案】120【巩固】幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】与例5不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个位置，则问题转化为从6把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问题．由排列公式，共有：36654120P=⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】120【巩固】10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】把6辆碰碰车看成是6个位置，而10个人作为10个不同元素，则问题就可以转化成从10个元素中取6个，排在6个不同位置的排列问题．共有6101098765151200P=⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】151200【例 18】一个篮球队有五名队员A，B，C，D，E，由于某种原因，E不能做中锋，而其余4个人可以分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：此题先确定做中锋的人选，除E以外的四个人任意一个都可以，则有4种选择，确定下来以后，其余4个人对应4个位置，有44432124P=⨯⨯⨯=(种)排列．由乘法原理，42496⨯=，故一共有96种不同的站位方法．方法二：五个人分配到五个位置一共有5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(种)排列方式，E能做中锋一共有44432124P=⨯⨯⨯=(种)排列方式，则E不能做中锋一共有54 541202496P P-=-=种不同的站位方法．【答案】96【例 19】小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO块糖分成了两部分．我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法．【答案】512。
小学奥数 简单的排列问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1.使学生正确理解排列的意义；2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3.掌握排列的计算公式；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法；……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法； 由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（） ．模块一、排列之计算教学目标例题精讲知识要点7-4-1.简单的排列问题【例 1】 计算：⑴ 25P ；⑵ 4377P P -．【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 由排列数公式121m n P n n n n m =---+（）（）（）知：⑴ 255420P =⨯=⑵ 477654840P =⨯⨯⨯=,37765210P =⨯⨯=，所以4377840210630P P -=-=．【答案】⑴20 ⑵630【巩固】 计算：⑴ 23P ；⑵ 32610P P -．【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴ 23326P =⨯= ⑵ 326106541091209030P P -=⨯⨯-⨯=-=．【答案】⑴6 ⑵30【巩固】 计算：⑴321414P P -； ⑵53633P P -．【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴32141414131214132002P P -=⨯⨯-⨯=；⑵536333(65432)3212154P P -=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=．【答案】⑴2002 ⑵2154模块二、排列之排队问题【例 2】 有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？ (照相时3人站成一排)【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．由排列数公式，共可能有：3443224P =⨯⨯=(种)不同的拍照情况．也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的拍照情况．【答案】24【巩固】 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从4个元素中选4个，排成一列的问题．这时4n =，4m =．由排列数公式知，共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的排法．【答案】24【巩固】 9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有99P 种不同站法．而问题中，9个人要站成两排，这时可以这么想，把9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题．方法一：由全排列公式，共有99987654321362880P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的排法．方法二：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个．45 95987654321362880p p⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=【答案】362880【巩固】5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且4n=．由全排列公式，共有44432124P=⨯⨯⨯=(种)不同的站法．【答案】24【巩固】丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且n=4．由全排列公式，共有44432124P=⨯⨯⨯=(种)不同的站法．【答案】24【例 3】5个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有_______种？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第8题【解析】5个人全排列有5!120=种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是60种【答案】60种【例 4】一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共需要多少种不同的车票．【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】2141413182P=⨯=(种)．【答案】182【例 5】班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：有多少种不同的分工方式？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】55120P=(种)．【答案】120【例 6】有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中5n=，3m=．由排列数公式知，共可组成3554360P=⨯⨯=(种)不同的信号．【答案】60【巩固】有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】23326P =⨯=． 【答案】6【巩固】 在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题．由排列数公式，共可以组成333216P =⨯⨯=(种)不同的信号．方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3216⨯⨯=(种)．【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．【答案】6模块三、排列之数字问题【例 7】 用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题，已知8n =，4m =，根据排列数公式，一共可以组成4887651680P =⨯⨯⨯=(个)不同的四位数．【答案】1680【巩固】 由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】36120P =． 【答案】120【例 8】 用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 （法1）本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中选择一个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有24P 种方法．由乘法原理得，此种三位数的个数是：24448P ⨯=(个)．（法2）：从0、1、2、3、4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0的．从0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为35P ，其中首位是0的三位数有24P 个．三位数的个数是：32545434348P P -=⨯⨯-⨯=(个)．本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．【答案】48【例 9】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知5n=，2m=，根据排列数公式，一共可以组成255420P=⨯=(个)符合题意的三位数．【答案】20【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张，有255420P=⨯=(种)选法．由乘法原理，一共可以组成32060⨯=(个)不同的偶数．．【答案】60【例 10】由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数，四位数有多少个？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为466543360P=⨯⨯⨯=，由于0不能在千位上，而以0为千位数的四位数有3554360P=⨯⨯=，它们的差就是由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的四位数的个数，即为：36060300-=个．方法二：完成这件事——组成一个四位数，可分为4个步骤进行，第一步：确定千位数；第二步：确定百位数；第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确定了，思维过程如下：根据乘法原理，所求的四位数的个数是：5543300⨯⨯⨯=(个)．【答案】300【例 11】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】按位数来分类考虑：⑴一位数只有1个3；⑵两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成22212P=⨯=(个)不同的两位数，共可组成248⨯=(个)不同的两位数；⑶三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每一组可以组成3 33216P=⨯⨯=(个)不同的三位数，共可组成6424⨯=(个)不同的三位数；⑷四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有44432124P=⨯⨯⨯=(个)不同的四位数；⑸五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(个)不同的五位数．由加法原理，一共有182424120177++++=(个)能被3整除的数，即3的倍数．【答案】177【例 12】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】可以分两类来看：⑴把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有4 4432124P=⨯⨯⨯=(种)放法，对应24个不同的五位数；⑵把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有336P=种选择．由乘法原理，可以组成33654⨯⨯=(个)不同的五位数．由加法原理，可以组成245478+=(个)不同的五位数．【答案】78【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】从高位到低位逐层分类：⑴千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个位可有39987504P=⨯⨯=(种)排列方式．由乘法原理，有45042016⨯=(个)．⑵千位上排5，百位上排0~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即288756P=⨯=，由乘法原理，有1556280⨯⨯=(个)．⑶千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有116742⨯⨯⨯=(个)．⑷千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个．综上所述，比5687小的四位数有20162804252343+++=(个)，故5687是第2344个四位数．【答案】2344【例 13】用数字l～8各一个组成8位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数．共有___种组成方法．【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛，第7题【解析】l～8中被三除余1和余2的数各有3个，被3整除的数有两个，根据题目条件可以推导，符合条件的排列，一定符合“被三除所得余数以3位周期”，所以8个数字，第1、4、7位上的数被3除同余，第2、5、8位上的数被3除同余，第3、6位上的数被3除同余，显然第3、6位上的数被3整除，第1、4、7位上的数被3除可以余1也可以余2，第2、5、8位上的数被3除可以余2可以余1，余数的安排上共有2种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有3！×3！×2！=144种方法.【答案】144种【例 14】 由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列．2008排在 个．【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 比2008小的4位数有2000和2002，比2008小的3位数有23318⨯⨯=（种），比2008小的2位数有236⨯=（种），比2008小的1位数有2（种），所以2008排在第21862129++++=（个）． 【答案】29【例 15】 千位数字与十位数字之差为2（大减小)，且不含重复数字的四位数有多少个?【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为29，对应的十位数字取07，每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就行了，因此总共有288P ⨯个这样的四位数．⑵千位数字小于十位数字，千位数字取17，十位数字取39，共有287P ⨯个这样的四位数．所以总共有228887840P P ⨯+⨯=个这样的四位数．【答案】840模块四、排列之策略问题【例 16】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种．第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312⨯=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次．【答案】56【例 17】 幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 在这个问题中，只要把3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问题就可以转化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题．由排列数公式，共有：36654120P =⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】120【巩固】 幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 与例5不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个位置，则问题转化为从6把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问题．由排列公式，共有：36654120P=⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】120【巩固】10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】把6辆碰碰车看成是6个位置，而10个人作为10个不同元素，则问题就可以转化成从10个元素中取6个，排在6个不同位置的排列问题．共有6101098765151200P=⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】151200【例 18】一个篮球队有五名队员A，B，C，D，E，由于某种原因，E不能做中锋，而其余4个人可以分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：此题先确定做中锋的人选，除E以外的四个人任意一个都可以，则有4种选择，确定下来以后，其余4个人对应4个位置，有44432124P=⨯⨯⨯=(种)排列．由乘法原理，42496⨯=，故一共有96种不同的站位方法．方法二：五个人分配到五个位置一共有5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(种)排列方式，E能做中锋一共有4 4432124P=⨯⨯⨯=(种)排列方式，则E不能做中锋一共有54541202496P P-=-=种不同的站位方法．【答案】96【例 19】小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO块糖分成了两部分．我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法．【答案】512。
小学奥数之排列组合问题
题目：将5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为 _______． 答案：60
掌握基础概念和公式
理解排列组合的原理和计算方法
理解排列组合的概念和公式
练习题：有5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为多少？ 答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？ 答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。练习题：用数字0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字且大于2000的三位数？ 答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？ 答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。
小学奥数~排列组合
5数的一半，即 A= 60 种，选 B . 奥数解排列组合应用题排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效 途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略 .1.相邻问题捆绑法 :题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排 列.例 1. A, B, C , D, E 五人并排站成一排，如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同的排法种数有 A 、60 种B 、48 种C 、36 种D 、24 种解析：把 A, B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列，A 4 = 24 种， 4答案： D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列， 再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为 A 5 种，再用甲乙去插 6 个空位有 A 2 种，不同的排56法种数是 A 5 A 2 = 3600 种，选 B .563.定序问题缩倍法 :在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数 的方法.例 3. A, B, C , D, E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边（ A, B 可以不相邻）那么不同的排法种数是 A 、24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、120 种解析： B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元素全排列1 2 5 4.标号排位问题分步法 :把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步 再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个 方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A 、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3 ×1=9 种填法，选 B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是 A 、1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种解析：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务，第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有C 2 C 1C 1 = 2520 种，选C .10 87C 4 C 4C 4（2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分 配方案有A 、 C 4 C 4C 4 种B 、 3C 4 C 4C 4 种C 、 C 4 C 4 A 3 种D 、128412 841283答案： A .6.全员分配问题分组法:例 6.（1）4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送 方案有多少种？解析：把四名学生分成 3 组有 C 2 种方法，再把三组学生分配到三所学校有 A 3 种，故共43有 C 2 A 3 = 36 种方法.43说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A 、480 种 B 、240 种 C 、120 种 D 、96 种 答案： B .7.名额分配问题隔板法:例 7.10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方 案？解析：10 个名额分到 7 个班级，就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆，每堆 至少一个，可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为 C 6 = 84 种.98.限制条件的分配问题分类法:例 8.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开 发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案 A 4 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3 种方8法，然后安排其余学生有 A 3 方法，所以共有 3 A 3 ；③若乙参加而甲不参加同理也有 3 A 3 种；888④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有 7 种方法，然后再安排其余 8 人到另外两个城市有A 2 种，共有 7 A 2 方法.所以共有不同的派遣方法总数为 A 4 + 3 A 3 + 3 A 3 + 7 A 2 = 4088 种.8888889.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况 分别计数，最后总计.例 9.（1）由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十 位数字的共有 A 、210 种 B 、300 种 C 、464 种 D 、600 种解析：按题意，个位数字只可能是 0、1、2、3 和 4 共 5 种情况，分别有 A 5 、 A 1 A 1 A 3 、54 3 3A 1 A 1 A 3 、3 3 3A 1 A 1 A 3 和 A 1 A 3 个，合并总计 300 个,选B .2 3 33 3（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A={7,14,21,98}共有14个元,100}共有86个元素；由此可知，素,不能被7整除的数组成的集合记做ðA={1,2,3,4,I从A中任取2个元素的取法有C2，从A中任取一个，又从ðA中任取一个共有C1C1，14I1486两种情形共符合要求的取法有C2+C1C1=1295种.141486（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将I={1,2,3,100}分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A={4,8,12,100}；能被4除余1的数集B={1,5,9,97}，能被4除余2的数集C={2,6,,98}，能被4除余3的数集D={3,7,11,99}，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C2+C1C1+C2种.2525252510.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A B)=n(A)+n(B)-n(A B).例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n(I)-n(A)-n(B)+n(A⋂B)=A4-A3-A3+A2=252种.655411.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
小学奥数排列组合
小学奥数排列组合 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一．计数专题：④排列组合一. 进门考1.有四张数字卡片， 用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？2.一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问： ①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？3.甲组有6人，乙组有8人，丙组有9人。
从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？4.从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？5.学校的一块活动场地呈梯形，如图所示．（1）这块活动场地的面积是多少平方米？（2）学校计划给这块地铺上草皮，如果每平方米的草皮20元，学校一共要为这块活动场地花费多少元钱？5 87 66*.按1，2，3，4的顺序连线，有多少种不同的连法?二．授新课①奥数专题：乘法原理专题简析在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．解决排列组合问题，离不开加法原理和乘法原理，合理分类、合理分组，求出组合数和排列数。
排列公式：由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．组合公式：从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m nC ．12)112321m m n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）．例1：排列数：121m n P n n n n m =---+（）（）（）1. 三个人排成一排照相，有多少种不同的排法？2. 有3名男生和2名女生排成一排照相，有多少种不同的排法如果要求两名女生必须相邻，有多少种排法3.有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？4.5人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 多少？例2：组合数：12)112321mm n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）1. 从有3名男生和2名女生中选出2名同学参加数学竞赛，有多少种选法？2.在“星星杯”,“排球比赛中,共有10个小球队参加比赛。
小升初奥数—排列组合问题
小升初奥数—排列组合问题一、排列组合的应用【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。
【解析】 （1）775040P =（种）。
（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）.（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×66P =1440(种)．（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ⨯= (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ⨯=（种）. （6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。
【例 2】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种。
第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312⨯=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次．【例 3】 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?【解析】 设A :BC DE 是满足题意的时刻，有A 为8，B 、D 应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有26P 种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有27P 种选法，所以共有26P ×27P =1260种选法。
小学五年级奥数专题之排列组合题一及答案
1、7个人站成一排，若小明不在中间，共有_______________种站法；若小明在两端，共有_________________种站法。
2、4个男生2个女生共6人站成一排合影留念，有________________种不同的排法；要求2个女生紧挨着有________________种不同的排法；如果要求2个女生紧挨着排在正中间有____________________种不同的排法。
3、A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻，请问共有________________________种不同的排法。
4、6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排，若A、B两人必须相邻，一共有________________________种不同的站法；若A、B两人不能相邻，一共有________________________种不同的站法；若A、B、C三人不能相邻，一共有________________________种不同的站法。
5、10个相同的球完全分给3个小朋友，若每个小朋友至少得1个，那么共有__________________种分法；若每个小朋友至少得2个，那么共有__________________种分法。
6、小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有______________________种不同的吃法。
7、5个人站成一排，小明不在两端的排法共有__________________种。
8、停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有________________________种不同的停车文案。
9、将3盆同样的红花和4盆同样的黄花摆放在一排，要求3盆红花互不相邻，共有____________________种不同的放法。
10、12个苹果分给4个人，每人至少1个，则共有____________________种分法。
小学奥数专题__排列组合
✧排列问题题型分类：1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题✧组合问题题型分类：1.几何计数问题2.加乘算式问题3.比赛问题4.选法问题✧常用解题方法和技巧1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类和准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10.消序法11.住店法12.对应法13.去头去尾法14.树形图法15.类推法16.几何计数法17.标数法18.对称法分类相加，分步组合，有序排列，无序组合基础知识（数学概率方面的基本原理）一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不同的方法，……，在第N类办法中有M n种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同的方法。
二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，完成第一步有n1种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同的方法。
三.两个原理的区别⏹做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。
每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)⏹做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同⏹这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．四.排列及组合基本公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 P m n表示.P m n =n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号C m n表示.C m n = P m n /m!=n!(n-m)!×m!一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用C m n = C n-m n来简化计算。
小学奥数~排列组合
奥数解排列组合应用题排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =ð共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A ð中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
小学奥数专题--排列组合
排列问题题型分类:1•信号问题2. 数字问题3. 坐法问题4. 照相问题5. 排队问题组合问题题型分类：1. 几何计数问题2. 加乘算式问题3. 比赛问题4. 选法问题常用解题方法和技巧1. 优先排列法2. 总体淘汰法3. 合理分类和准确分步4. 相邻问题用捆绑法5. 不相邻问题用插空法6. 顺序问题用“除法”7. 分排问题用直接法8. 试验法9. 探索法10. 消序法11. 住店法12. 对应法13. 去头去尾法14. 树形图法15. 类推法16. 几何计数法17. 标数法18. 对称法基础知识（数学概率方面的基本原理）.加法原理: 做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M中不同的方法，在第二类办法中有M中不同的方法，……，在第N类办法中有M种不同的方法，那么元成这件事情共有M+M+ ....... +M种不同的方法。
.乘法原理: 如果完成某项任务，可分为k个步骤，完成第一步有n i种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法， ...完成第k步有n k种不同的方法，那么完成此项任务共有n i Xn 2 X ............. X n k种不同的方法。
三.两个原理的区别做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题,每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。
每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) 做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理.任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来.四.排列及组合基本公式1. 排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(mcn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(mcn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P m n表示.P =n(n-1)(n- 2)……(n -m+1) =n! _(n-m)!2. 组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(mcn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(mc n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c n表示.一般当遇到m比较大时(常常是m>0.5n时)，可用U = C畀来简化计算规定：C\=1, C0n=1.3. n的阶乘(n!) ―― n个不同元素的全排列P：=n!=n x (n-1) x (n-2)…3x 2x 1五.两个基本计数原理及应用1. 首先明确任务的意义【例1】从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有 _________ 。
小学奥数思维训练-排列组合(经典透析)(通用,含答案)
保密★启用前小学奥数思维训练排列组合（经典透析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．小明和小王从北京出发先到天津看海，然后再到上海东方明珠塔参观．从北京到天津可以坐火车或者坐公共汽车，坐火车有4种车次，坐公共汽车有3种车次；而从天津到上海可以坐火车，公共汽车，轮船或者飞机，火车有3种，汽车有5种，轮船有4种，飞机有2种．问小明和小王从北京到上海旅游一共有多少种走法？2．某公园有两个园门，一个东门，一个西门．若从东门入园，有两条道路通向龙凤亭，从龙凤亭有一条道路通向园中园，从园中园又有两条道路通向西门．另外，从东门有一条道路通向游乐场．从游乐场有两条道路通向水上世界，另有一条道路通向园中园．从水上世界有一条道路通向西门，另有一条道路通向小山亭，从小山亭有一条道路通向西门．问若从东门入园，从西门出园一共有多少种不同的走法（不走重复路线）？3．由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？①可组成多少个没有重复数字的三位数？4．如下图，A、B、C、D、E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？5．4名同学到照相馆照相。
他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？6．从分别写有1、3、5、7、8五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：①有多少个不同的乘积？①有多少个不同的乘法算式？7．如下图，问：①下左图中，共有多少条线段？①下右图中，共有多少个角？8．从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？9．国家举行足球赛，共15个队参加．比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队．各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）．然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军．问：①共需比赛多少场？①如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？参考答案：1．98种【解析】【分析】首先看他们完成整个过程需要几个步骤，这是判断利用加法原理和乘法原理的依据．很明显整个过程要分两步完成，先从北京到天津，再从天津到上海，应该用乘法原理．我们再分开来看，先看从北京到天津，无论是坐火车还是汽车都是一步完成，所以要用加法原理，同样的道理，从天津到上海的走法计算也应该用加法原理．【详解】解：从北京到天津走法有：4+3=7种，从天津到上海走法有：3+5+4+2=14（种）．从北京到上海的走法有：7×14=98（种）．答：小明和小王从北京到上海旅游一共有98种走法．2．10种【解析】【详解】解法一：这个题的已知条件比较复杂．我们可将已知条件稍加“梳理”：1.从东门入园，从西门出园；2.从东门入园后，可以通向两个游览区，龙凤亭与游乐场；3.从龙凤亭经园中园可达到西门；4.从游乐场经水上世界可达到西门，或从游乐场经园中园可达到西门；5.从水上世界经小山亭可达到西门；根据以上五条可知，从东门入园经龙凤亭经园中园达到西门为一主干线．而东门到龙凤亭有两条不同路线；龙凤亭到园中园只有一条路线；园中园到西门又有两条不同的路线．由乘法原理，这条主干线共有2×1×2=4种不同的走法．再看从东门入园后到游乐场的路线．从东门到游乐场只有一条路，由游乐场分成两种路线，一是经园中园到西门，这条路线由乘法原理可知有1×1×2=2种不同走法；二是经水上世界到西门，从水上世界到西门共有两条路线（由水上世界直接到西门和经小山亭到西门），再由乘法原理可知这条路线有1×2×2=4种不同路线．最后由加法原理计算．从东门入园从西门出园且不走重复路线的走法共有2×1×2+1×1×2+1×2×2=10种．解法二：“枚举法”解题．如图，图中A 表示东门，B 表示西门，C 表示龙凤亭，D 表示园中园，E 表示游乐场，F 表示水上世界，G 表示小山亭，线表示道路．不同的走法有10种．1121111A C D BA C DB A E D BA E F G BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→ 1222222A C D BA C DB ACD B AEFG BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→答：不走重复路线，共有10种不同走法．【点睛】本题主要考察加法乘法原理．先分类利用加法原理，再对每一类进行分步利用乘法原理．建议可以利用加法与乘法原理的题型就没必要用枚举法，因为枚举法比较容易重复和遗漏．3．①48个①18个【解析】【分析】在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。
小学数学-学而思奥数网奥数专题-排列组合
排列组合
1、排列组合问题：
难度：中难度
用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数答：
2、排列组合问题：
难度：中难度
甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法？
答：
3、排列组合问题：
难度：中难度
从19、20、21……93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少?
答：
4、排列组合问题：
难度：高难度
已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？
答：
5、排列组合问题：
难度：高难度
平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线．
答：
学而思奥数网奥数专题（排列组合）
1、五年级排列组合问题答案：
2、五年级排列组合问题答案：
3、五年级排列组合问题答案：
两数之和为偶数时，必须是同奇或同偶，且加法可交换，故不必考虑顺序．因此只须分两类讨论即可．19、20……93、94共有38个奇数，38个偶数．从38个数中任选2个数的方法有
238C 3837(21)703=⨯÷⨯=种．
即 奇加奇、偶加偶各有703种，所以选法共有1406种．
4、五年级排列组合问题答案：
五年级排列组合问题答案：。
小学奥数排列和组合试题及答案
小学奥数排列和组合试题及答案第一篇：小学奥数排列和组合试题及答案小学四年级奥数排列组合练习1.由数字0、1、2、3、4可以组成多少个①三位数？②没有重复数字的三位数？③没有重复数字的三位偶数？④小于1000的自然数？2.从15名同学中选5人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种？①某两人必须入选；②某两人中至少有一人入选；③某三人中恰入选一人；④某三人不能同时都入选.3.如右图，两条相交直线上共有9个点，问：一共可以组成多少个不同的三角形？-------------------4.如下图，计算①下左图中有多少个梯形？②下右图中有多少个长方体？5.七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？①七个人排成一排；②七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；③七个人排成一排，某两人必须站在两头；④七个人排成一排，某两人不能站在两头；⑤七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排.-------------------答案：1.①100；②48；③30；④124.2.①C313＝286；②C515－C513＝1716；③C13·C412＝1485；④C515－C212＝2937.3.C15·C23＋C26·C13＝60；或C39－C36－C34＝60.4.①C26×C26＝225；②C25×C26×C25＝1500.5.①P77＝5040；②2P66＝1440；③2P55＝240；④5×4×P55＝2400；⑤2×3×4×P55＝2880.-------------------第二篇：小学奥数经典专题点拨：排列与组合排列与组合【有条件排列组合】例1 用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字能够组成______个没有重复数字的三位数。
（哈尔滨市第七届小学数学竞赛试题）讲析：用这十个数字排列成一个不重复数字的三位数时，百位上不能为0，故共有9种不同的取法。
小学奥数 排列组合
一．计数专题：④排列组合一. 进门考1.有四张数字卡片， 用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？2.一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？3.甲组有6人，乙组有8人，丙组有9人。
从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？4.从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？5.学校的一块活动场地呈梯形，如图所示．（1）这块活动场地的面积是多少平方米？（2）学校计划给这块地铺上草皮，如果每平方米的草皮20元，学校一共要为这块活动场地花费多少元钱？6*.按1，2，3，4的顺序连线，有多少种不同的连法?二．授新课5 87 6①奥数专题：乘法原理专题简析在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．解决排列组合问题，离不开加法原理和乘法原理，合理分类、合理分组，求出组合数和排列数。
排列公式：由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘．组合公式： 从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．．例1：排列数：1. 三个人排成一排照相，有多少种不同的排法？2. 有3名男生和2名女生排成一排照相，有多少种不同的排法？如果要求两名女生必须相邻，有多少种排法？3.有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？n m 121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（）121m n P n n n n m =---+（）（）（）m n ≤n 1m n m m n ≤n mm n C 12)112321m m n nm m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）121m n P n n n n m =---+（）（）（）4.5人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 多少？例2：组合数：1. 从有3名男生和2名女生中选出2名同学参加数学竞赛，有多少种选法？2.在“星星杯”,“排球比赛中,共有10个小球队参加比赛。
小学奥数排列
奶奶必须站中间，说明中间位置确定了，然后再在4个人中选出4
个人站剩下位置。
44 =4!=24(种）
答：有24种不同的站法。
本节课总结：
• 从n个元素中选出m个就可以应用公式
1.计算
=120
=90
5! =120
=1320
2.5个人站成一列照相
（1）没有任何要求，一共有几种不同的排法？
位了，接下来应该Biblioteka 剩下的3名小朋友里选，所以一共有3种选法。
从A、B、C、D、E这五名小朋友中选出3名坐成一排拍照，
现在我们分步骤来思考这个问题：
那么，五个人里选出三个人来排队，一共有多少种方法？
根据乘法原理：可以得到5×4×3=60（种）
答：一共有60种方法排队
1. 排列的定义：
一般地，从n个不同的元素中任意选出m个（m≤n）元素，按
答：八个人站一排，某两个人必须有一人站在排头
时，共有1440种站法。
八个同学一起照相，分别求出下列条件下各有多少种不同的站法
（3）八个人排成一排，某两个人必须站两头
22 × 66 =1440(种）
答：八个人排成一排，某两个人必须站两头时，共有1440种
站法。
丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5个人并
3. − = 7×6×5×4－9=831
4. = 6!=6×5×4×3×2×1=720
从7名同学中选出3名同学去分别去扫地、拖地、倒垃圾，一共有几这
种安排方法？
在7名同学里选出3名同学
=7×6×5=210(种）
答：一共有210种方法安排。
总结
• 所有排列的个数，叫作从n个不同的元素中取出m个元素的排列
小学奥数专题排列组合
✧排列问题题型分类：1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题✧组合问题题型分类：1.几何计数问题2.加乘算式问题3.比赛问题4.选法问题✧常用解题方法和技巧1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类和准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10.消序法11.住店法12.对应法13.去头去尾法14.树形图法15.类推法16.几何计数法17.标数法18.对称法分类相加,分步组合,有序排列,无序组合✧基础知识数学概率方面的基本原理一.加法原理：做一件事情,完成它有N类办法,在第一类办法中有M1中不同的方法,在第二类办法中有M2中不同的方法,……,在第N类办法中有M n种不同的方法,那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同的方法;二.乘法原理：如果完成某项任务,可分为k个步骤,完成第一步有n1种不同的方法,完成第二步有n2种不同的方法,……完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法,那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同的方法;三.两个原理的区别⏹做一件事,完成它若有n类办法,是分类问题,每一类中的方法都是独立的,故用加法原理;每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法,互不相同即分类不重；完成此任务的任何一种方法,都属于某一类即分类不漏⏹做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同⏹这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,因此也将两个原理区分开来．四.排列及组合基本公式1.排列及计算公式从n个不同元素中,任取m m≤n个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m m≤n个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号P mn表示.P mn=nn-1n-2……n-m+1=错误!规定0=1.2.组合及计算公式从n个不同元素中,任取m m≤n个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号C mn表示.C mn = P mn/m= 错误!一般当遇到m比较大时常常是m>时,可用C mn = C n-mn来简化计算;规定：C nn =1, C0n=1.3.n的阶乘n——n个不同元素的全排列P nn=n=n×n-1×n-2…3×2×1五.两个基本计数原理及应用1.首先明确任务的意义【例1】从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列, 这样的不同等差数列有________个;分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题;设a,b,c成等差,∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定,又∵ 2b是偶数,∴ a,c同奇或同偶,即：从1,3,5,……,19或2,4,6,8,……,20这十个数中选出两个数进行排列,由此就可确定等差数列,如：a=1,ｃ=7,则b=4即每一组a,c必对应唯一的b,另外1、4、7和7、4、1按同一种等差数列处理∴C2＝10×9＝90,同类同奇或同偶相加,即本题所求=2×90＝180;10【例2】某城市有4条东西街道和6条南北的街道,街道之间的间距相同,如图;若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,则从M到N有多少种不同的走法分析：对实际背景的分析可以逐层深入（一）从M到N必须向上走三步,向右走五步,共走八步;二每一步是向上还是向右,决定了不同的走法;三事实上,当把向上的步骤决定后,剩下的步骤只能向右;从而,任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走,就可以确定走法数,∴本题答案为：C38=56;2.注意加法原理与乘法原理的特点,分析是分类还是分步,是排列还是组合;采用加法原理首先要做到分类不重不漏,如何做到这一点分类的标准必须前后统一;注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合,再做全排列；同样,组合如补充一个阶段排序可转化为排列问题;【例3】在一块并排的10垄田地中,选择二垄分别种植A,B两种作物,每种种植一垄,为有利于作物生长,要求A,B两种作物的间隔不少于6垄,不同的选法共有______种;分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数,组合数的式子表示,因而采取分类的方法;第一类：A在第一垄,B有3种选择；第二类：A在第二垄,B有2种选择；第三类：A在第三垄,B有1种选择,同理A、B位置互换,共12种;1．恰好能被6,7,8,9整除的五位数有多少个分析与解 6、7、8、9的最小公倍数是504,五位数中,最小的是10000,最大为99999．因为10000÷504：19……424,99999÷504=198……207．所以,五位数中,能被504整除的数有198-19=179个．所以恰好能被6,7,8,9整除的五位数有179个．2．小明的两个衣服口袋中各有13张卡片,每张卡片上分别写着1,2,3, (13)如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积,可以得到许多不相等的乘积．那么,其中能被6整除的乘积共有多少个分析与解这些积中能被6整除的最大一个是13×12=26×6,最小是6．但在l×6～26×6之间的6的倍数并非都是两张卡片上的乘积,其中有25×6,23×6,21×6,19×6,17×6这五个不是．∴所求的积共有26-5=21个．3．1,2,3,4,5,6这6个数中,选3个数使它们的和能被3整除．那么不同的选法有几种分析与解被3除余1的有1,4；被3除余2的有2,5；能被3整除的有3,6．从这6个数中选出3个数,使它们的和能被3整除,则只能是从上面3类中各选一个,因为每类中的选择是相互独立的,∴共有2×2×2=8种不同的选法．4．同时满足以下条件的分数共有多少个①大于16,并且小于15；②分子和分母都是质数；③分母是两位数．分析与解由①知分子是大于1,小于20的质数．如果分子是2,那么这个分数应该在210与28之间,在这之间的只有211符合要求．如果分子是3,那么这个分数应该在315与318之间,15与18之间只有质数17,所以分数是317．同样的道理,当分子是5,7,11,13,17,19时可以得到下表．分子分数分子分数2 113 135 177 19于是,同时满足题中条件的分数共13个．5．一个六位数能被11整除,它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的6个数字重新排列,最少还能排出多少个能被11整除的六位数分析与解 设这个六位数为abcdef ,则有()a c e ++、()b d f ++的差为0或11的倍数．且a 、b 、c 、d 、e 、f 均不为0,任何一个数作为首位都是一个六位数． 先考虑a 、c 、e 偶数位内,b 、d 、f 奇数位内的组内交换,有33P ×33P =36种顺序；再考虑形如badcfe 这种奇数位与偶数位的组间调换,也有33P ×33P =36种顺序． 所以,用均不为0的a 、b 、c 、d 、e 、f 最少可以排出36+36=72个能被11整除的数包含原来的abcdef ．所以最少还能排出72-1=71个能被11整除的六位数．6．在大于等于1998,小于等于8991的整数中,个位数字与十位数字不同的数共有多少个分析与解 先考虑2000～8999之间这7000个数,个位数字与十位数字不同的数共有7×10×210P =6300．但是1998,8992～8998这些数的个位数字与十位数字也不同,且1998在1998～8991内,8992～8998这7个数不在1998～8991之内．所以在1998～8991之内的个位数字与十位数字不同的有6300+1-7=6294个． 7．个位、十位、百位上的3个数字之和等于12的三位数共有多少个分析与解 12 = 0 + 6 + 6 = 0 + 5 + 7 = 0 + 4 + 8 = 0 + 3 + 9 = 1 + 5 + 6= 1 + 4 + 7= 1 + 3 + 8 = 1 + 2 + 9 = 2 + 5 + 5 = 2 +4 + 6 = 2 +3 + 7 = 2 + 2 + 8= 3 + 4 + 5 = 3 + 3 + 6 = 4 + 4 + 4．其中三个数字均不相等且不含0的有7组,每组有33P 种排法,共7×33P =42种排法；其中三个数字有只有2个相等且不含0的有3组,每组有33P ÷2种排法,共有3×33P ÷2=9种排法；其中三个数字均相等且不含0的只有1组,每组只有1种排法；在含有0的数组中,三个数字均不相同的有3组,每组有222P 种排法,共有3×2×22P =12种排法；在含有0的数组中,二个数字相等的只有1组,每组有222P ÷2种排法,共有2种排法．所以,满足条件的三位数共有42 + 9 + 1 + 12 + 2 = 66个．8．一个自然数,如果它顺着看和倒过来看都是一样的,那么称这个数为“回文数”．例如1331,7,202都是回文数,而220则不是回文数．问：从一位到六位的回文数一共有多少个其中的第1996个数是多少分析与解 我们将回文数分为一位、二位、三位、…、六位来逐组计算． 所有的一位数均是“回文数”,即有9个；在二位数中,必须为aa 形式的,即有9个因为首位不能为0,下同；在三位数中,必须为aba a 、b 可相同,在本题中,不同的字母代表的数可以相同形式的,即有9×10 =90个；在四位数中,必须为abba 形式的,即有9×10个；在五位数中,必须为abcba 形式的,即有9×10×10=900个； 在六位数中,必须为abccba 形式的,即有9×10×10=900个．所以共有9 + 9 + 90 + 90 + 900 + 900 = 1998个,最大的为999999,其次为998899,再次为997799．而第1996个数为倒数第3个数,即为997799．所以,从一位到六位的回文数一共有1998个,其中的第1996个数是997799．9．一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:2430,那么从8时到9时这段时间里,此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个分析与解 设A:BC DE 是满足题意的时刻,有A 为8,B 、D 应从0,1,2,3,4,5这6个数字中选择两个不同的数字,所以有26P 种选法,而C 、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字,所以有27P 种选法,所以共有26P ×27P =1260种选法,即从8时到9时这段时间里,此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个．10．有些五位数的各位数字均取自1,2,3,4,5,并且任意相邻两位数字大减小的差都是1．问这样的五位数共有多少个分析与解 如下表,我们一一列出当首位数字是5,4,3时的情况． 首位数字543所有满足题意的数字列表6 9 12满足题意的数字个数因为对称的缘故,当首位数字为1时的情形等同与首位数字为5时的情形, 首位数字为2时的情形等同于首位数字为4时的情形．所以,满足题意的五位数共有6 + 9 + 12 + 9 + 6 = 42个．11．用数字1,2组成一个八位数,其中至少连续四位都是1的有多少个分析与解当只有四个连续的1时,可以为11112 ,211112 , 211112 ,211112, 21111,因为号处可以任意填写1或2,所以这些数依次有23,22,22,22,23个,共28个；当有五个连续的l时,可以为111112 ,2111112 ,2111112, 211111,依次有22,2,2,22个,共12个；当有六个连续的1时,可以为1111112 2111111,依次有2,1,2个,共5个；所以满足条件的八位数有28 + 12 + 5 + 2 + 1=48个．12．在1001,1002,…,2000这1000个自然数中,可以找到多少对相邻的自然数,满足它们相加时不进位分析与解设1,bcd xyzw为满足条件的两个连续自然数,有xyzw=1bcd+1．我们只用考察1bcd的取值情况即可．我们先不考虑数字9的情况因为d取9,则w为0,也有可能不进位,则d只能取0,1,2,3,4；c只能取0,1,2,3,4；b只能取0,1,2,3,4；对应的有5×5×5=125组数．当d=9时,有19bc的下一个数为1(1)0b c+,要想在求和时不进位,必须++≤9,(1)c c所以c此时只能取0,1,2,3,4；而b也只能取0,1,2,3,4；共有5×5=25组数．当cd=99时,有199b的下一个数为1(1)00b+,要想在求和时不进位,必须b+b+1≤9,所以b此时只能取0,1,2,3,4；共有5组数．所以,在1001,1002,…,2000这1000个自然数中,可以找到125 + 25 + 5 = 155对相邻的自然数,满足它们相加时不进位．13．把1995,1996,1997,1998,1999这5个数分别填入图20-1中的东、南、西、北、中5个方格内,使横、竖3个数的和相等．那么共有多少种不同填法分析与解显然只要有“东”+“西”=“南”+“北”即可,剩下的一个数字即为“中”．因为题中五个数的千位、百位、十位均相同,所以只用考虑个位数字,显然有5 + 9 = 6 + 8,5 + 8 = 6 + 7,6 + 9 = 7 + 8．先考察 5 + 9 = 6 + 8,可以对应为“东”+“西”=“南”+“北”,因为“东”、“西”可以调换,“南”、“北”可以对调,有2×2=4种填法,而“东、西”,“南、北”可以整体对调,于是有4×2=8种填法．5 + 8 =6 + 7,6 + 9 =7 + 8同理均有8种填法,所以共有8×3=24种不同的填法．14．在图20-2的空格内各填人一个一位数,使同一行内左面的数比右面的数大,同一列内上面的数比下面的数小,并且方格内的6个数字互不相同,例如图20-3为一种填法．那么共有多少种不同的填法23图20-26 4 27 5 3图20-3分析与解为了方便说明,标上字母：C D 2A B 3要注意到,A 最大,D 最小,B 、C 的位置可以互换．但是,D 只能取4,5,6,因为如果取7,就找不到3个比它大的一位数了． 当D 取4,5,6时分别剩下5,4,3个一位大数．有B 、C 可以互换位置． 所有不同的填法共35C ×2+34C ×2+33C ×2=10×2+4×2+1×2=30种．2003年一零一中学小升初第12题将一些数字分别填入下列各表中,要求每个小格中填入一个数字,表中的每横行中从左到右数字由小到大,每一竖列中从上到下数字也由小到大排列．1将1至4填入表1中,方法有______________ 种：2将1至6填入表2中,方法有______________ 种；3将1至9填入表3中,方法有______________ 种．分析与解 12种：如图,1和4是固定的,另外两格任意选取,故有2种； 25种：1和6是固定的,其他的格子不确定．有如下5种：342种：由2的规律已经知道,3×2是5种：1、2、3确定后,剩下的6个格子是3×2,为5种．如下： 同理也各对应5种； 注意到 例外,对应的不是5种,因为第一排右边的数限制了其下方的数字,满足条件的只有如下几种：共计5 + 5 + 5 + 4 + 2 = 21种．另外,将以上所有情况翻转过来,也是满足题意的排法,所以共21×2=42种．15．从1至9这9个数字中挑出6个不同的数填在图20－4的6个圆圈内, 使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数．那么共能找出多少种不同的挑法6个数字相同、排列次序不同的都算同一种．分析与解显然任意两个相邻圆圈中的数一奇一偶,因此,应从2、4、6、8中选3个数填入3个不相邻的圆圈中．第一种情况：填入2、4、6,这时3与9不能同时填入否则总有一个与6相邻,和3+6或9+6不是质数．没有3、9的有1种；有3或9的,其他3个奇数l、5、7要去掉1个,因而有2×3=6种,共1+6＝7种．第二种情况：填入2、4、8．这时7不能填入因为7+2,7+8都不是质数,从其余4个奇数中选3个,有4种选法,都符合要求．第三种情况：填入2、6、8．这时7不能填入,而3与9只能任选1个,因而有2种选法．第四种情况：填入4、6、8．这时3与9只能任选1个,1与7也只能任选1个．因而有2×2=4种选法．总共有7 + 4 + 2 + 4 = 17种选法20．一个骰子六个面上的数字分别为0,1,2,3,4,5,现在掷骰子,把每次掷出的点数依次求和,当总点数超过12时就停止不再掷了,这种掷法最有可能出现的总点数是几1.从甲地到乙地有2种走法,从乙地到丙地有4种走法,从甲地不经过乙地到丙地有317.在7名运动员中选出4名组成接力队参加4×100米比赛,那么甲、乙都不跑中间两棒的安排方法有种．18.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．1从口袋内取出3个球,共有种取法；2从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有种取法；3从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有种取法．19.甲,乙,丙,丁4个足球队举行单循环赛：1共需比赛场；2冠亚军共有种可能．20.按下列条件,从12人中选出5人,有种不同选法．1甲、乙、丙三人必须当选；2甲、乙、丙三人不能当选；3甲必须当选,乙、丙不能当选；4甲、乙、丙三人只有一人当选；5甲、乙、丙三人至多2人当选；6甲、乙、丙三人至少1人当选；21.某歌舞团有7名演员,其中3名会唱歌,2名会跳舞,2名既会唱歌又会跳舞,现在要从7名演员中选出2人,一人唱歌,一人跳舞,到农村演出,问有种选法．22.从6名男生和4名女生中,选出3名男生和2名女生分别承担A,B,C,D,E五项工作,一共有种不同的分配方法．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
排列
例1：甲乙两人在16个方格的正方形中各放一枚棋子，要求两枚棋子不在同行同列，共有多少种放法？
例2：将赵钱孙李四位同学排成一排，有多少种排法？
解析：排位有四个位置，所以第一个位置有四种选择，第二个位置就只剩3种选择，第三个位置则2种选择，第四个只剩1种选择，又因是乘法原理，故4×3×2×1=24（种）。
可以引用乘法原理进行总结：从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的排列问题可以这样计算：第一步：排第一个位置上的元素从n个中任取，可以有n种选法；
第二步：排第二个位置的可以有n-1（n个抽掉1个只剩n-1个）种选法；
第三步：则有n-2种选法；。
第m步：前面已排了m-1个元素，这里只能从剩下的n-（m-1）中选，则有n-m+1种选法。
整理排列公式得：n×（n-1）×（n-2）。
×（n-m+1）
m个
例3、有5位同学排成一排拍照，问：
（1）共有多少种排列
（2）如果有8个位置，有几种排法
（3）如果某人不坐两端，共有多少种排法
（4）如果二人不相邻，有多少种排法
（5）如果二人高，三人矮，高的不相邻有几种排法
练习：
1、一趟往返于杭州与上海之间的火车，中间要停靠6个站，要准备多少种不同的票？
2、有5面颜色不同的小旗，任意取出3面排成1行表示1种信号，共有多少种不同信号？
3、用0、1、2、3、
4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？
4个同学去郊游，拍照时必须有1位同学给其他三人拍照，共有多少种情况？
5、5个人排成一排，其中甲不站在两边，乙不站在中间，共有多少种排法？
6、有5本不同的书，7名同学去借，每人最多一本，书都借出去了，有多少种借法？
7、有5名同学拍照，其中甲乙不相邻，有多少种排法？
8、舰船信号兵用红、黄、蓝三色上下悬挂表示不同信号，可任挂一面、二面、三面，不同顺序不同信号，有多少种不同信号？
9、上午1到4节准备上语数英体各一节，限定数学只在前二，体育在后二，有几种排课方式
10、图书室有不同文艺书80本，不同科学书120本，如果最多从这两类图书中各借一本，共有几种借法？
11、要排一张6个唱歌节目、4个舞蹈节目的演出节目单，如果任何两个舞蹈不相邻，有多少种排法？
12、架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的不分开，有多少种排法？
13、甲乙丙丁四人各有一本作业本混放在一起，4人每人随便拿一本，问：
（1）甲拿到自己作业本的拿法有多少种？
（2）恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？
（3）至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？
（4）谁也没有拿到自己作业本的拿法有多少种？。