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积的变化规律教学设计 (2)
相关链接——积的变化规律主备人：宁阳现代学校耿继银第 1 课时课题：相关链接——积的变化规律教学内容：青岛版数学四年级上册41页教学目标：1、学生通过观察，发现并总结积的变化规律。
2、使学生经历积的变化规律的发现过程，感受发现数学中的规律是一件十分有趣的事情。
3、尝试用简洁的语言表达积的变化规律，培养初步的概括和表达能力，初步获得探索规律的一般方法和经验，发展学生的推理能力。
教学重点:引导学生自己发现并总结积的变化规律。
教学难点：学生自己发现并总结积的变化规律。
教学方法：三疑三探教具学具准备:卡片多媒体课件预习设计：1、把80×15与80×30、80×45、80×60的结果算出来。
2、再一次观察、比较80×15与80×30、80×45、80×60的算式、结果又有什么规律3、尝试总结发现的规律。
预习检查：指生尝试用简洁的语言表达所发现的积的变化规律。
教学过程：一、激趣导入：1、同学们，我们先来做个游戏，一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿；三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿......1×4＝4 2 ×4＝8 3×4＝12 4×4＝16 5×4＝202、仔细观察上面的式子和算出的积，想一想，你能把这组算式继续写下去吗试一试，你一定能行！3、导入新课：同学们真是动了脑筋，其实这个问题的思考是有一定数学规律的，那么这其中的奥秘是什么呢这就是这节我们要研究的——积的变化规律。
（板书课题：积的变化规律）请同学们大声把课题齐读一遍。
4、围绕课题质疑：看到这个课题，你想知道哪些问题?（预设：积的变化与谁有关变化规律是什么可以解决什么问题）大家提出的问题都很有研究价值，老师把你们提出的问题和课本例题进行整理，就是这节课的的自探提示，请大家先来看一看：二、设疑自探：1、出示自探提示：（课件出示）【找学生读自探提示】自学课本41页内容，思考下面问题：（1）从上往下观察第一组题:第一个因数有什么特点第二个因数怎样变化积有什么变化你发现了什么规律把你的发现写出来。
《积的变化规律》课件
在热学中，积的变化规律可以用于计 算热量、温度等，例如在计算物体的 热量变化时，可以利用积的变化规律 简化计算过程。
在日常生活中的应用
金融
在金融领域，积的变化规律可以用于计算利息、投资回报等 ，例如在计算银行的定期存款利息时，可以利用积的变化规 律简化计算过程。
统计学
在统计学中，积的变化规律可以用于计算样本方差、平均数 等，例如在计算一组数据的平均数时，可以利用积的变化规 律简化计算过程。
课程目标
理解乘法分配律、乘 法结合律等基本运算 规则。
培养学生对数学的兴 趣和热爱，提高数学 素养。
能够运用积的变化规 律解决Leabharlann 际问题。02 积的变化规律概述
什么是积的变化规律
积的变化规律是指两个或多个数相乘时，其乘积会随着这些数的变化而变化的规律 。
当一个或多个数增大或减小时，乘积也会相应地增大或减小。
代数运算
积的变化规律在代数运算中有着广泛的应用，例如在求解一元二次方程、不等 式、函数等过程中，可以利用积的变化规律简化计算过程。
几何图形
在几何图形中，积的变化规律可以用于计算面积、体积等，例如在计算矩形、 三角形、圆柱等图形的面积和体积时，可以利用积的变化规律简化计算过程。
在物理中的应用
力学
在力学中，积的变化规律可以用于计 算力矩、力场等，例如在计算杠杆的 力矩时，可以利用积的变化规律简化 计算过程。
03
总结词：综合应用
04
详细描述：在复杂的乘法运 算中，学生需要综合考虑各 种因素来掌握积的变化规律 。这种综合应用可以提高学 生的思维能力和解决问题的 能力，使其更好地理解和掌 握积的变化规律。
06 总结与展望
总结积的变化规律的主要内容
小学数学(青岛版五四制)知识点目录
青岛版小学数学（五四制）知识点目录一上一快乐的校园-----10以内数的认识1.5以内数的认识（数数、读写、组成、数序）2.0的认识3.6-10的认识（数数、读写、组成、数序意义）4.认识“＞”、“＜”和“＝”二妈妈的小帮手-----分类与比较1.分类2.比较物体的长短、高矮、轻重三走进花果山-----10以内的加减法1.5以内的加法2.5以内的减法3.得数是6、7的加法4.被减数是6/7的减法5.得数是8、9的加法；被减数是8、9的减法6.得数是10的加法；被减数是10的减法7.连加、连减8.加减混合四有趣的游戏-----认识位置1.认识上下、前后、左右2.智慧广场：借助直观图解决简单的重叠问题五海鸥回来了-----11-20各数的认识1.11-20以内数的认识2.20以内的加减法六谁的手儿巧-----认识图形1.认识长方体、正方体、圆柱、球七小小运动会-----20以内的进位加法和退位减法1.9加几2.8加几3.7、6加几4.十几减95.十几减86.十几减7、6、5八总复习智慧广场：借助直观图解决移多补少问题一下一下雨了-----认识钟表1.认识整时、半时、大约几时二丰收了-----100以内数的认识1.100以内数的认识2.比较数的大小3.整十数加减整十数；整十数加几；几十几减几十；几十几减几4.智慧广场：用有序列举的方法，找符合条件的数三牧童-----认识图形1.认识三角形、平行四边形、长方形、正方形、圆四绿色行动-----100以内的加减法（一）1.两位数加一位数（不进位）；两位数加减整十数2.两位数加一位数（进位）3.两位数减整十数4.整十数减一位数（退位）；两位数减一位数（退位）五小小存钱罐-----人民币的认识1.认识元、角、分2.元角的简单计算六大海边-----100以内的加减法（二）1.两位数加两位数（不进位、竖式）2.两位数减两位数（不退位）3.两位数加两位数（进位）4.两位数减两位数（退位）5.两位数连加、连减、加减混合两步运算七看魔术-----乘法的初步认识1.求相同加数的和2.认识乘法3.有关1和0的乘法八阿福的新衣-----厘米、米的认识1.认识厘米，认识线段2.认识米九我换牙了-----统计1.简单的数据收集和整理智慧广场：列表格有序列举，解决递增递减问题二上一看杂技------表内乘法1.5的乘法口诀2.2的乘法口诀（1的乘法口诀）3.3、4的乘法口诀4.相关链接：乘加、乘减计算（口诀）二小制作------角的初步认识1.角的初步认识2.锐角、直角、钝角3.智慧广场：分类有序地数图形三凯蒂学艺------表内乘法（二）1.6的乘法口诀2.7的乘法口诀3.8的乘法口诀、倍的认识4.9的乘法口诀、学习竖式5.口诀的回顾整理四森林里的故事------除法的初步认识1.认识平均分2.认识平均分的两种情况3.学习列除法算式解决问题4.0的除法五美丽的校园------认识方向1.认识生活中和平面图中的东西南北四个方向六制作标本------表内除法1.用5以内口诀解决问题、学习除法竖式2.用5以上口诀解决问题3.求一个数是另一个数的几倍4.相关链接：乘除混合运算（口诀）5.回顾整理七谁的眼睛亮------观察物体1.根据实物、照片或直观图等辨认从不同方向观察的简单物体八野营------有余数的除法1.有余数除法的认识（直观得到结果）2.会用有余数除法解决问题（能计算结果）会根据实际情况取结果（进一法或）3.智慧广场：小彩旗（图形的周期）九休闲假日------解决问题1.分两步解决问题（乘加、乘减）2.分两步解决问题（除加、除减）十过年------总复习二下一游览北京------万以内数的认识1.认识千和千以内数2.认识万和万以内数3.认识近似数和书的大小比较4.口算（整百（千）（万）数的加减）5.数的估计策略二甜甜的梦------毫米、分米、千米的认识1.毫米、分米的认识2.千米的认识3.智慧广场：搭配问题三勤劳的小蜜蜂------万以内数的加减法（一）1.口算：32+45,45-322.不进位笔算：三位+三位，三位+两位3.估算：大约有多少，认识约等号4.进位加法和退位减法5.验算四爱心行动------图形与拼组1.长方形和正方形的特征2.图形的拼组五田园小卫士------万以内数的加减法1.连续进位加2.连续退位减3.解决问题：求比一个数多（少）几是多少（纸条图分析问题）4.解决问题：两步加减问题六动物趣闻------克、千克、吨的认识1.克、千克、吨的认识七快乐大课间------两位数乘一位数1.口算20×22.不进位笔算3.进位笔算4.解决问题：求比一个数的几倍多（少）几是多少（线段图分析问题）八富饶的大海------三位数乘一位数1.口算和不进位笔算2.进位笔算3.因数中间有零或末尾有零的笔算、估算九我是体育小明星------数据的收集与整理1.分类统计2.用正字法收集数据3.奇妙的动物世界十奥运在我心中------总复习数字谜三上一风筝厂见闻-----两三位数除以一位数（一）1.口算2.两位数除以一位数的笔算3.三位数除以一位数的笔算（商是三位数）二走进新农村-----位置与变换1.八个方向2.平移和旋转三采摘节------混合运算1.加减和乘法的混合运算2.加减和除法的混合运算3.小括号的混合运算四庆元旦------时分秒的认识1.时分的认识2.时间段的计算3.秒的认识五美化校园-----图形的周长1.认识周长2.长方形和正方形周长的计算六采访果蔬会-----两三位数除以一位数（二）1.口算2.三位数除以一位数的笔算（被除数最高位不够除）3.三位数除以一位数的笔算（商的中间和末尾有0的除法）4.回顾整理七美丽的街景-----两位数乘两位数1.口算2.笔算（不进位）3.笔算（进位）八绿色生态园-----解决问题1.连乘、连除应用题2.归一、归总问题九我家买新房子了------长方形和正方形面积1.面积和面积单位2.长方形和正方形面积的计算3.周长和面积的比较4.智慧广场：等量代换十我当小厨师-----分数的初步认识1.认识分数2.简单分数大小比较3.同分母分数加减法十一谁长得快-----数据的收集与整理1.数据的收集与整理2.变化的影子3.点击双休日三下一热闹的民俗节-----对称1.对称二大数知多少-----万以上数的认识1.万以上数的认识及读数2.写数3.数的大小比较、改写以万（亿）为单位4.认识近似数和四舍五入三走进天文馆-----年、月、日1.12时和24时计时法2.年、月、日四家居中的学问-----小数的初步认识1.小数的初步认识、小数的大小比较2.小数加减法五繁忙的工地-----线与角1.线和角的认识2.角的度量和角的分类六保护大天鹅-----三位乘两位数1.口算2.笔算和估算3.相关连接：积的变化规律4.回顾整理七交通中的线-----平行与相交1.认识平行2.认识垂直3.两点间的距离和点到直线的距离八收获的季节-----被除数是两位数的除法1.口算2.笔算和试商3.笔算和调商4.相关连接：商不变的规律九快捷的物流运输-----解决问题1.路程、速度和时间，相遇问题十小小志愿者-----混合运算1.单价、数量和总价，不带括号的三部混合运算2.带小括号、中括号的三部混合运算十一新校服-----条形统计图1.一格表示一个单位2.一格表示多个单位3.智慧广场植树问题4.数字编码四上一泰山古树-----计算器1.计算器二节能减排-----用字母表示数1.字母表示数的意义2.字母表示公式和数量关系三快乐农场-----运算律1.加法结合律和交换律2.乘法结合律和交换律3.乘法分配律四巧手小工匠-----认识多边形1.三角形的认识、三角形的分类2.三角形三边关系、三角形内角和3.平行四边形的认识、梯形的认识五动物世界-----小数的意义和性质1.小数的意义2.小数大小比较和小数的意义3.小数点位置移动引起小数大小变化4.小数名数改写5.求小数的近似数和小数的改写六趣味拼搭-----观察物体1.能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体（3个或4个小正方体搭成的立体图形）的形状图七奇异的克隆牛-----小数加减法1.小数加减法2.小数加减混合运算和简便运算3.智慧广场：重叠问题八今天我当家-----小数乘法1.小数乘整数2.小数乘小数3.小数四则混合运算（积取近似值）和简便运算九我锻炼我健康-----平均数1.平均数2.分段统计十游三峡-----小数除法1.小数除以整数2.小数除以小数3.求商的近似数、循环小数4.小数四则混合运算5.图形的密铺6.消费知多少四下一走进动物园-----简易方程1.方程的意义2.等式性质一及解X+A=B X-A=B3.等式性质二及解X×A=B X÷A=B4.用方程解决较简单问题5.用方程解决较复杂问题二生活中的多边形-----多边形的面积1.平行四边形的面积2.三角形的面积3.梯形的面积4.组合图形的面积5.相关连接：公顷和平方千米三团体操表演-----因数与倍数1.因数与倍数2.2/3/5倍数的特征3.质数与合数四中国的热极-----认识负数1.认识负数五校园艺术节-----分数的意义与性质1.分数的意义、真分数和假分数2.分数与除法的关系3.分数的基本性质六图案美-----对称、平移与旋转1.轴对称图形2.图形中的平移与旋转七剪纸中的数学-----分数加减法（一）1.公因数与最大公因数2.约分及同分母分数加减3.连加、连减和加减混合4.公倍数与最小公倍数5.相关连接：分数与小数的互化八绿色家园-----折线统计图1.单式折线统计图2.选择合适的统计图3.智慧广场：排列问题五上一走进军营-----方向与位置1.数对确定位置2.方向与距离确定位置二关注环境-----分数加减法（二）1.通分2.异分母分数加减3.异分母分数连加连减三包装盒-----长方体和正方体1.长方体和正方体的认识2.长方体和正方体的表面积3.体积和体积单位4.长方体和正方体的体积计算5.相关连接：测量不规则物体的体积四小手艺展示-----分数乘法1.分数乘整数2.分数乘分数3.解决问题：求一个数的几分之几是多少4.分数连乘应用题5.相关链接：倒数五摸球游戏-----可能性1.确定、不确定，可能性有大有小六布艺兴趣小组-----分数除法1.分数除以整数2.一个数除以分数3.用分数除法解决简单的问题4.分数乘、除混合运算及解决问题七人体的奥秘-----比1.比的意义和基本性质2.按比例分配八中国的世界遗产-----分数四则混合运算1.稍复杂的分数乘法问题2.稍复杂的分数除法问题九爱护眼睛-----复式统计图1.复式条形统计图（设计调查表）2.复式折线统计图3.智慧广场：尝试枚举4.聪明的测量员五下一完美的世界-----圆1.圆的认识和扇形的认识2.圆的周长3.圆的面积和环形的面积二体验中的百分数-----百分数（一）1.百分数的意义2.相关链接：百分数、小数、分数的互化3.求一个数是另一个数的百分之几和求百分率4.智慧广场：鸡兔同笼三欢乐农家游-----百分数（二）1.求一个数比另一个数多（少）百分之几2.用百分数知识解决问题（成数）3.纳税问题（折）4.相关链接：利息四冰淇淋盒有多大-----圆柱和圆锥1.认识圆柱和圆锥2.圆柱的表面积3.圆柱的体积4.圆锥的体积五啤酒生产中的数学-----比例1.比例的意义和基本性质2.正比例的意义3.反比例的意义4.用正比例和反比例解决问题六快乐足球-----比例尺1.比例尺的认识2.根据比例尺求实际距离3.根据比例尺求图上距离4.相关链接：图形的放大与缩小七奥运奖牌-----扇形统计图1.认识扇形统计图2.选择合适的统计图解决问题八回顾整理1.数的认识2.数的运算3.量与计量4.比与比例5.式与方程6.图形的认识与测量7.图形的位置与运动8.统计与概率9.策略与方法。
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一、情境图导入
从学生熟悉的情境导入，激发学生的学习兴趣，调动了积极性二、有效的数学教学活动
自主探索与合作交流是学生学习数学内容的重要形式
通过独立思考，小组交流的形式，达到生生、师生互动，对教学的动态因素进行互动与反馈，达到一种良好的效果。
自主、合作、探究是学生学习数学的重要方式，在课程改革全面推开的今天，必须乘着课改的东风，致力于学生学习方式的转变，让学生在自主探索中学习数学。
三、数学源于生活又服务于生活，生活中处处有数学。
让学生运用所学知识去解决生活中的实际问题，使学生在实践数学的过程中及时掌握所学知识，感悟到数学学习的价值所在，从而增强学好数学的信心，学会用数学，想身边的事情，拓展数学学习的领域。
小学数学积的变化规律
05 练习与巩固
基础练习题
总结词：针对基础知识点，帮助学生理 解积的变化规律。
通过简单的乘法计算练习，让学生掌握 积的基本计算方法。
举例说明积的变化规律，如“一个数扩 大几倍，另一个数缩小相同的倍数，它 们的积不变”。
详细描述 计算两个数的积，并观察积的变化。
进阶练习题
详细描述
总结词：增加难度，考察学 生对积的变化规律的运用。
重要性及应用
重要性
理解积的变化规律是学习数学的 基础，有助于培养学生的逻辑思 维和数学应用能力。
应用
在实际生活中，积的变化规律也 有广泛的应用，如计算面积、体 积等几何量时，需要运用这一规 律进行计算和推理。
02 积的变化规律概述
什么是积的变化规律
积的变化规律是指两个或多个数相乘 时，它们的乘积会随着这些数的变化 而变化。
引导学生分析问题，拆解复杂问 题为多个简单步骤，逐步解决问 题。
总结词：整合知识，提升学生解 决复杂问题的能力。
通过解决综合练习题，提高学生 的思维能力和解决问题的能力。
06 总结与展望
总结积的变化规律的重点和难点
重点
理解积的变化规律的基本概念，掌握 积的变化规律的应用方法。
难点
理解积的变化规律背后的数学原理， 以及如何灵活运用积的变化规律解决 实际问题。
当一个数扩大或缩小一定的倍数时， 它们的乘积也会扩大或缩小相同的倍 数。
积的变化规律的表现形式
01
02
03
04
当一个数扩大a倍，另一个数 扩大b倍，它们的乘积会扩大
a×b倍。
当一个数缩小a倍，另一个数 缩小b倍，它们的乘积会缩小
a×b倍。
当一个数扩大a倍，另一个数 缩小a倍，它们的乘积保持不
积的变化规律和商的变化规律
积的变化规律和商的变化规律
积的变化规律是指在进行乘法运算时，两个数相乘得到的结果的变化规律。
一般来说，在进行乘法运算时，随着被乘数或乘数的增加，积也会相应地增加。
例如，5乘以2得到10，而
10乘以2得到20，可以看出乘数增加一倍，积也增加一倍。
商的变化规律是指在进行除法运算时，被除数除以除数得到的商的变化规律。
一般来说，在进行除法运算时，如果被除数保持不变，而除数增加，商会相应地减少。
例如，10除以2得
到5，而10除以5得到2，可以看出除数增加一倍，商减少一倍。
需要注意的是，这里所讨论的变化规律是在其他因素保持不变的情况下观察的。
在实际运算中，还可能存在其他因素的影响，导致变化规律不完全符合上述描述。
《积的变化规律》课件
学生可以通过解决实际问题来巩固和加深对积的变化规律的理解。在未来的学习中，应注 重培养学生的实际应用能力，使学生能够运用所学知识解决生活中的问题。
培养数学思维和创造力
数学的学习不仅仅是掌握知识，更重要的是培养数学思维和创造力。在未来的学习中，学 生应积极思考、勇于创新，不断挖掘数学的奥秘和可能性。
课程目标
理解积的变化规律
01
学生将通过本课件的学习，深入理解积的变化规律，掌握乘法
分配律、乘法结合律等基本运算规则。
运用积的变化规律解决实际问题
02
学生将学会运用积的变化规律解决实际问题，提高数学应用能
力和解决问题的能力。
培养数学思维能力
03
通过本课件的学习，学生将培养数学思维能力，提高数学素养
和数学成绩。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，数据结构是基础课程之一，其中涉及到大量的数组、矩阵等数据结构，这些结构的 操作都需要用到积的运算性质。
算法优化
在算法优化中，通过利用积的运算性质，可以优化算法的时间复杂度和空间复杂度，提高算法的效率 。
05
CATALOGUE
积的变化规律与生活实例
购物优惠券的积的变化规律
乘法交换律
总结词
乘法交换律是指两个数相乘时，交换它们的顺序，其积不变。
详细描述
乘法交换律也是基本的数学运算性质之一，它表明在乘法运算中，数的顺序并 不会影响最终的乘积结果。例如，对于任意两个数a和b，有a×b=b×a，即乘法 的交换性。
乘法分配律
总结词
乘法分配律是指一个数与另外两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘 后再求和。
掌握积的变化规律有助于理解数学运 算的本质，提高数学运算的准确性和 速度。
积的变化规律图文
06
CHAPTER
总结与展望
总结积的变化规律的重要性及其应用
积的变化规律在数学中具有重要地位，它涉及 到乘法运算的性质和技巧，对于数学基础理论 研究和实际应用都具有重要意义。
在数学基础理论研究中，积的变化规律是数学 分析、实变函数、复变函数等学科的重要内容， 对于数学的发展和推进具有重要作用。
在实际应用中，积的变化规律也具有广泛的应 用，例如在概率论、统计学、金融等领域中， 积的变化规律都发挥着重要的作用。
材料科学
在材料科学中，积的变化规律可以 用于计算材料的物理性质，例如通 过测量不同温度和压力下的材料性 能，分析其变化规律。
05
CHAPTER
积的变化规律的实例分析
实例一：分数的乘法运算
总结词
分数的乘法运算中，分子乘分子，分母乘分 母，结果可能化简。
详细描述
当两个分数进行乘法运算时，可以将它们的 分子相乘，分母相乘，得到一个新的分数。 例如，$frac{a}{b} times frac{c}{d} = frac{ac}{bd}$。如果分子和分母有公因数， 结果可以进一步化简。
在概率统计中的应用
概率计算
在概率统计中，积的变化规律常用于概率 的计算。例如，在计算多个事件同时发生 的概率时，我们可以利用积的变化规律来 简化计算过程。具体来说，如果事件A和 事件B是独立的，那么P(A∩B)=P(A)P(B)。
VS
统计分析
在统计分析中，积的变化规律也经常被用 到。例如，在回归分析中，我们需要计算 回归直线的斜率和截距，这时可以利用积 的变化规律来简化计算过程。此外，在方 差分析中，我们也需要利用积的变化规律 来计算方差和协方差等统计量。
实例二：矩阵的乘法运算
积的变化规律与商的变化规律课件
积与商的拓展知识比较
乘法和除法都是基本的四则运 算之一，它们之间存在密切的 联系。乘法可以看作是重复相 加的过程，而除法可以看作是 重复相减的过程。
在乘法中，交换律和结合律非 常重要，它们允许我们在不改 变结果的前提下改变乘法的顺 序。而在除法中，基本的运算 性质允许我们简化除法表达式 。
在数学中，乘法和除法都有逆 元和零元的概念。对于乘法， 逆元是它的倒数，而零元是0 。对于除法，逆元是它的倒数 ，而零元是1。这些概念在解 决数学问题时非常有用。
面积和体积计算
在建筑、装修等领域，需要使用乘法来计算面积和 体积。
除法在日常生活中的应用
80%
分配
在分配物品或资源时，除法用于 计算每个人或每个部分应得的数 量。
100%
速度和效率
在计算速度、效率等指标时，除 法也是必不可少的。
80%
成本计算
在商业和财务领域，除法用于计 算成本、利润等。
积与商在数学建模中的应用
积的变化规律与商的变化规律 课件
目
CONTENCT
录
• 积的变化规律 • 商的变化规律 • 积与商的应用 • 积与商的证明方法 • 积与商的拓展知识
01
积的变化规律
乘法交换律
乘法交换律是指两个数相乘，交换因 数的位置，积不变。
乘法交换律是基本的数学运算规则之 一，它表明无论因数的顺序如何，它 们的积都是相同的。例如，2乘以3等 于3乘以2。
除法的性质
除法具有交换律、结合律和分配律等基本性质，这些性质在数学 中有着广泛的应用。
商的运算性质
商的加法性质
如果a除以b得到商c，那么(a+d) 除以b也等于c+d/b，其中d是任 意实数。
小学数学课件《积的变化规律
在解决实际问题时，如计算面积、体积等，可以利用积的变化规律简化计算。
解决实际问题
在数学证明中，可以利用积的变化规律证明一些定理和性质。
数学证明
通过观察和实验，发现积的变化规律，例如通过计算不同乘积来发现规律。
通过归纳和演绎的方法，从具体的例子中抽象出积的变化规律，并进行证明和应用。
建议学生多做练习题，加深对积的变化规律的理解和应用。同时，鼓励学生自己探索和发现其他数学规律和性质。
学习建议
本节课所学的积的变化规律是数学中一个非常重要的性质，对于后续学习其他数学知识，如分数的运算、比例等都有很大的帮助。希望学生能够认真掌握，为以后的数学学习打下坚实的基础。
展望
总结词
乘法结合律也是基本的乘法运算规律之一，它表明在有三个数相乘的情况下，改变因数相乘的顺序，它们的积仍然是相同的。例如，（2×3）×4=2×（3×4），即改变了因数相乘的顺序，但它们的积仍然是24。
详细描述
总结词
乘法分配律是指一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与两个数相乘再求和。
详细描述
乘法分配律是基本的乘法运算规律之一，它表明一个数与两个数的和相乘时，可以分别与两个数相乘再求和，结果不变。例如，5×（2+3）=5×2+5×3，即先求出2和3的和，再用5乘以这个和，结果与将5分别与2和3相乘再求和的结果相同。
积的变化规律练习题
04
01
总结词：巩固基础
02
乘法算式：如3×4=12，6×8=48等，让学生发现当一个因数扩大若干倍，另一个因数不变时，积也扩大相同的倍数。
03
判断题：如“两个因数同时扩大5倍，它们的积扩大多少倍？”让学生判断答案是否正确。
积的变化规律知识点总结
积的变化规律知识点总结积的变化规律是指在一定条件下，随着某个变量的改变，积的数值如何变化的规律。
积的变化规律在数学中具有重要的意义，它可以帮助我们理解和解决各种实际问题。
下面将从几个方面总结积的变化规律的知识点。
1. 积的定义：积是两个或多个数相乘所得的结果。
例如，2和3的积为6，可表示为2×3=6。
2. 积的性质：积具有交换律、结合律和分配律等性质。
交换律表示两个数相乘的积与顺序无关，即a×b=b×a；结合律表示多个数相乘的积与加法的顺序无关，即(a×b)×c=a×(b×c)；分配律表示乘法对加法的分配关系，即a×(b+c)=a×b+a×c。
3. 积的变化规律与正负数的乘法：正数与正数相乘得到正积，负数与负数相乘也得到正积；正数与负数相乘得到负积，负数与正数相乘也得到负积。
4. 积的变化规律与小数和分数的乘法：小数和分数的乘法可以通过将小数或分数转化为整数进行计算，最后再将结果转化回小数或分数。
5. 积的变化规律与零的乘法：任何数与零相乘都得到零积，即a×0=0。
6. 积的变化规律与幂的乘法：幂的乘法规则表示相同底数的幂相乘时，底数不变，指数相加。
即a^m×a^n=a^(m+n)。
7. 积的变化规律与指数函数的性质：指数函数的性质包括指数为0的特殊情况、指数为1的特殊情况、指数为负数的情况等。
8. 积的变化规律与对数函数的性质：对数函数是幂函数的逆运算，对数函数的性质包括对数的底数、对数为1的特殊情况、对数为0或负数的情况等。
9. 积的变化规律与指数增长和指数衰减：指数增长和指数衰减是指随着自变量的增加或减小，函数值呈指数级别的增长或衰减。
10. 积的变化规律与复合函数的乘法：复合函数的乘法规则表示两个函数相乘时，函数的值相乘，即(f×g)(x)=f(x)×g(x)。
5第五讲 积的变化规律
，另一个因数除以b(b≠0)，那么积就是原来
的积除以(axb)。
练习一
1、填空
在乘法算式中，一个因数不变，另 一个因数乘2，积就（ 乘2 ）； 一个因数不变，另一个因数除以3， 积就（ 除以3 ）；一个因数乘4，另 一个因数乘3，积就（ 乘12 ）；一 个因数除以2，另一个因数乘8，积就 （ 乘4 ）。
12÷4=3 81÷3=27 答：得到的新积是27。
3×5=15 630÷15=42
答：得到的新积是42。
1、两个数相乘，如果一个因数不变，另一 个因数乘a，那么积就乘a。
2、两个数相乘，如果一个因数乘a，另一个 因数乘b，那么积就乘(axb)。
3、两个数相乘，如果一个因数乘a，另一个 因数除以b(b≠0)，那么积就是原来的积乘a除 以b
如果一个因数除以4，另一个因 数也除以4，那么积有什么变化?
分析与解答：一个因数除以4， 即120÷4，另一个因数也除以4， 即80÷4。那么积变为： （120÷4）×(80÷4) 9600÷4÷4
（120×6）×（60÷3） 120×60=7200
=30×20
=2400÷4
=720×20
即7200×6÷3
2、两个数相乘，如果一个因数乘a， 另一个因数乘b，那么积就乘(axb)。
拓 展1 在乘法算式25×8中，如 果一个因数乘2，另一个因数乘3， 那么积有什么变化?
分析与解答：一个因数乘2，即25×2， 另一个因数乘3，即8×3，那么积变为：
（25×2）×（8×3） = 50×24 = 1200
25×8=200 即200×2×3=1200 也就是 2×3=6,200×6=1200 答：积就乘6，由原来的的 200变为1一个 因数乘3、另一个因数乘4。积有什么 变化?
积的变化规律步骤
积的变化规律步骤
积的变化规律主要涉及到两个因数的变化对积的影响。
以下是详细的规律：
1. 当两个数相乘，如果一个因数扩大N倍，另一个因数不变，那么它们的积也扩大N倍。
2. 如果一个因数扩大a倍，另一个因数扩大b倍，那么积就扩大a*b倍。
3. 当两个数相乘时，一个因数扩大了N倍，另一个因数缩小了N倍，那么它们的积保持不变。
4. 特别的，如果一个因数乘以（或除以）一个非零数，另一个因数乘以（或除以）同一个非零数，那么积将乘以（或除以）那个非零数。
例如：3×4＝12，如果3不变，4乘2，那么12也要乘2，即3×（4×2）＝12×2，结果是24。
在学习这一规律时，重点是理解因数与积之间的变化关系，并培养概括能力和推理能力。
这种规律不仅有助于简化计算过程，还能为学习更复杂的数学概念，如小数乘法，打下坚实的基础。
第三单元第3课时积的变化规律(教学设计)-【上好课】四年级数学下册同步高效课堂系列(苏教版)
第三单元第3课时积的变化规律教学设计3.发现：这组乘法算式中，第一个乘数5乘10、乘100、乘1000，第二个乘数不变，还是11，它们的积正好是原来的积55乘10、乘100、乘1000。
4.提出质疑：这些独立的乘法等式，它们完全是独立的？是巧合？还是隐藏数学规律呢？这就是我们这节课要学习的内容。
（板书课题）三、新知探究—习“方法”课件出示例4情境。
借助例4观察乘数和积的变化规律。
例4：任务一：观察乘数和积的变化观察表格中乘数的变化，按照所学乘法知识计算乘积。
【设计意图：任务引领，引导学生仔细观察表格。
按照所学乘法知识，计算两个数相乘而其中一个乘数变成原来几倍的乘积，为下一步归纳总结积的变化规律奠定基础。
】1.学生观察图片。
（1）引导：请同学们看这里的表格，第一行中第一个乘数别是多少？第二个乘数是多少？积呢？再看第二行，哪一个乘数变化了？这时积是多少？怎么算？（2）学生各自观察，自由讨论。
（3）说明：我们可以先算3×2=6，20×6=120。
这时积是120。
（4）提问：会填这里的表格了吗？先算一算、填一填，把表格补充完整。
任务二：总结归纳积的变化规律通过小组讨论交流，培养合作意识，探索并发现积的变化规律。
【设计意图：引导学生探索并发现积的变化规律，总结出“两个数相乘，一个乘数不变，另一个乘1.填空题。
（1）两个数相乘的积是120，一个乘数不变，另一个乘数乘10，积是________。
（2）两个数相乘的积是120，一个乘数乘5，另一个乘数除以10，积是________。
2. 选择题。
（1）如果a×b＝2400，要使积变成240，下面的方法（）不能做到。
A．a和b同时除以10B．a乘10，b除以100C．a除以100，b乘10（2）与320×60的积相等的算式是（）。
A．（320×2）×（60×2）B．（320÷2）×（60÷2）C．（320÷2）×（60×2）（二）学以致用3.根据85×32＝2720，直接写出下面各题的积。
《积的变化规律》教学设计与意图
《积的变化规律》教学设计与意图【教学内容】《义务教育教科书.数学》（青岛版）数学四年级上册第三单元相关链接——积的变化规律【教材分析】本单元的知识是小学阶段整数乘法的最后一部分。
它是在学生掌握了两位数乘两位数知识的基础上学习的，同时又是为后面学习小数乘法的基础。
对整数乘法形成较为完整的知识结构。
本次相关链接的内容是小学四年级上册第三单元后的内容，它是学生在掌握乘法运算的基本技能的基础上利用乘法运算，培养学生的推理能力，特别是合情的推理能力，是本单元教学的重要任务。
教材以两组乘法算式为载体，引导学生探索当一个因数不变时，另一个因数与积的变化情况，从中归纳出积的变化规律。
通过这个过程的探索，不但让学生理解两数相乘时，积的变化随其中一个因数的变化而变化，同时体会事物间是密切相关的，受到辩证思想的启蒙教育。
新课程标准提出要让学生“经历、体验、探索”。
因此在教学《积的变化规律》这节课中，我注重开发利用身边的生活资源，创造性地使用教材，将教材中的两组算式调整为一组乘法算式，但是，这一组算式是以能够体现我们课本所要传达的信息与知识，引导学生通过这一组算式去发现问题从而去经历四个层次：猜测规律——验证规律——总结规律——应用规律，通过学习，使学生不但发现了积的变化规律，而且学会研究规律教学的一般方法。
《积的变化规律》是引导学生通过观察、探索、交流、归纳等方式经历积的变化规律的探索过程，初步获得探索规律的一般方法和经验，为学生今后学习相关内容提供必要的思维模式。
体验发现规律是一件很愉快的事情，从而增强学习数学的自信心。
【教学目标】：知识目标：理解掌握积的变化规律，尝试用简单的语言表达积的变化规律。
能力目标：在学习过程中培养学生的探究能力、合作交流能力和归纳总结能力，培养初步的概括和表达能力。
情感目标：引导学生经历积的变化规律的发现过程，感受发现数学中的规律是一件十分有趣的事情。
德育目标：引导学生通过猜测、验证、总结、应用等探究活动，引导学生独立思考，坚持己见，培养学生求真务实的科学态度，以及勇于探索、敢于质疑、善于创新的科学态度。
《积的变化规律》说课稿
《积的变化规律》说课一、说教材本节课是义务教育教科书青岛版（五四制）三年级下册第六单元的“相关链接”内容，是在学生掌握乘法运算的基本技能的基础上进行的教学，同时发展学生的推理能力，为今后学生探究商的变化规律、学习小数乘法等诸多知识奠定基础。
二、说学情学生已经学习了三位数乘两位数的乘法，但是对于探究规律的方法接触较少，并且本节课是线上教学，为保护学生眼睛，时间有所限制，因此本节课可以从探究加法算式中的规律入手，利用课前学习单和课上交流等方式促进学生掌握探究规律的一般方法：猜想——验证——得出结论。
三、说教学目标《2017课标》中明确提出：在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。
结合《课标》中的要求及学情，我将本节课的目标设计为：1.探索并掌握积的变化规律，能将这一规律恰当地运用于计算和解决简单的实际问题中。
2.经历积的变化规律的探索过程，初步获得探索和发现数学规律的基本方法和经验，发展推理能力。
3.通过学习活动的参与，使学生获得成功的乐趣，增强学习的兴趣和信心。
重点：引导学生自己发现规律，概括规律，进而运用积的变化规律。
难点：灵活运用积的变化规律。
四、说教学方法考虑到网课的特殊环境，本节课我主要采用教师引导和学生课前、课中、课后自主探究的教学方法，让学生充分经历“猜想——验证——得出结论”的过程，在掌握积的变化规律规律的同时，发展推理能力，提高探究数学的兴趣。
五、说教学过程（一）探索回顾加法的规律学生在一二年级的学习中就已经遇到过观察几组加法算式说一说你有什么发现的习题，只是没有系统地总结其中所蕴含的“一个加数不变，另一个加数增加（或减去）几，和也增加（或减去）几”的规律。
上网课的时间受限，因此可以设计课前学习单，让学生观察两组加法算式，发现其中的规律。
教师课前把学生完成课前学习单的情况分类，课堂上直接展示，开门见山的引出“一个加数不变，另一个加数增加几，他们的和也增加几”和“一个加数不变，另一个加数减去几，他们的和也减去几”这两条猜想，然后明确我们由少量数据说话是不负责任的，因此要提供充足的数据才有说服力，教师列举大量例子，同时介绍“反例”这一概念，发展学生的推理能力。
数学日记积的变化规律
数学日记积的变化规律今天，我想记录一下关于积的变化规律的一些思考。
在数学中，乘法是一个非常重要的概念，而积的变化规律是乘法的一个重要属性。
通过学习积的变化规律，我们可以更好地理解乘法的本质，并且在解决数学问题时更加得心应手。
积的变化规律：如果一个因数扩大到原来的几倍，或缩小到原来的几分之一，另一个因数不变，那么它们的积也扩大到原来的几倍，或缩小到原来的几分之一。
例如：如果一个数扩大到原来的2倍（2a），另一个因数缩小到原来的1/2（b/2），那么它们的积不变（ab=2a*（b/2））。
首先，我们来回顾一下乘法的交换律。
交换律是乘法的一个基本属性，它表明交换两个乘数的位置不会改变它们的乘积。
例如，我们可以将2乘以3写作3乘以2，而结果仍然是6。
这是因为2乘以3等于3乘以2，这就是乘法的交换律。
接下来，我们来探讨乘法的结合律。
结合律表明，当我们将两个数相乘后再与第三个数相乘时，顺序并不影响结果。
例如，我们可以将2乘以3再乘以4，或者先乘以4再乘以3再乘以2，得到的结果都是一样的。
这是因为(2乘以3)乘以4等于2乘以(3乘以4)，这就是乘法的结合律。
然后，我们来学习乘法的分配律。
分配律表明，当我们把一个数与另外两个数的和相乘时，等于把这个数分别与那两个数相乘后再把结果相加。
例如，我们可以将2乘以(3加上4)，或者先乘以3再加上乘以4，结果都是14。
这是因为2乘以(3加上4)等于2乘以3加上2乘以4，这就是乘法的分配律。
以上三个规律是我们在学习乘法过程中必须掌握的基本规律。
而掌握了这些基本规律后，我们就可以进一步探讨积的变化规律的应用。
在解决实际问题时，我们可以通过灵活运用这些规律来简化计算和提高效率。
接下来，我们来了解一下积的变化规律在生活中的运用。
在生活中，积的变化规律可以帮助我们解决很多实际问题。
比如在购物时，我们可以利用积的变化规律快速计算出商品的总价；在投资时，我们可以利用积的变化规律来计算投资的收益等等。