统计物理学中的配分函数_宋世学

- U( n X + nX + … ) -U nX = ΢ e- Un Xe- Un X… … = ( ΢e- Un X ) (΢ )… … = ( Z= ΢ e e
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
∞
∞ n2
R
n1 n2…
n1 = 0
1 1 )… … U X) ( 1- e 1- eUX
R - U( n1 X 1+ n2X 2+ … )
( 5)
对于任一 r 值有 : nr = 0, 1, 2,… 且满足 : ΢ nr = N 。 r
-T -U X 经计算 lnZBE = T ) N- ΢ ln( 1- e r
r
( 6)
式中 T = -U _ (_ 是化学势 ) , 求和是对单粒子的所有能级求和 。 2. 2. 4 费米 — 狄拉克统计的配分函数 对具有反对称波函数的全同粒子体系应用费米— 狄拉克统计 (简称 B— E 统计 ) , 系统的 配分函数为: Z FD = ΢ e
-U X s N
( 1)
(式中 X s 是粒子处于第 s 个量子态时所具有的能量 )是单粒子的正则配分函数。
收稿日期 : 1999-1008 作者简介 : 宋世学 ( 1965 ) ,男 ,山东高密人 , 济南大学物理系讲师 ,硕士 。
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微正则系综 系统特点 约束条件 几率分布 配分函数 孤立系统 E , V , N 不变 Pr= C K( E , V , N ) = 1 /C S ( E, V, N ) =
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正则系综 闭口系统 U, V , N 不变 Pr= Ce- UEr Z( T,V ,N )= ΢exp( - Er /k T )
r
巨正则系综 开口系统 不变 U, V ,T Prs= Ce
- T Nr- U Es
T— P 系综 闭口系统 U,c, N 不变 Prs = Ce
-U Es- c Vr
A( f , V , T )=
第 10 卷第 2期 2000年
济南大学学报 JOURN AL OF JIN AN UNIVERSITY
V o l. 10 N o. 2 2000
统计物理学中的配分函数
宋世学
(济南大学 物理系 ,山东 济南 250002)
摘 要: 配分函数是系统的微观量与宏观量之间的桥梁 , 本文系统的论述了常见各种系统 的配分函数。 关键词: 系统 ; 系综 ; 配分函数 + 中图分类号: O 414. 21 1 文献标识码: A 研究热运动的基本理论有两种: 一种是宏观理论 , 通常称为热力学 ; 一种是微观理论 ,即统 计物理学。 统计物理学是从宏观物质系统是由大量微观粒子组成的这一实际出发 , 认为系统的 宏观性质是大量微观粒子运动的平均效果 , 宏观量是微观两的统计平均值 ,通过研究粒子的微 观运动状态 , 求得整个系统的宏观量 。 由于微观粒子运动的多样性和复杂性 , 如何将复杂的微 观粒子的运动与系统的宏观性质联系起来是统计物理学必须回答的问题 , 而配分函数是解决 这一问题的关键。 本文给出了常见体系的配分函数 。 1 统计系综的几率分布与配分函数 设有大量结构完全相同的系统 , 处在完全系统的宏观条件下 , 我们把这大量系统的集合称 为统计系综。 下表列出了几种常见系综的几率分布与系统的配分函数 [1 ]。 2 近独立系统的配分函数 在第一部分中提到的配分函数只是一些定义式 , 由于整个系统的量子态很难确定 , 因此要 进行具体的计算非常困难。 该部分将对系统进行近似 , 从而导出配分函数的可计算式。 所谓近 独立系统是指系统中各粒子的相互作用可以忽略不计 , 即近似地认为组成系统的粒子是独立 的 , 在此条件下导出各种系统的配分函数。 2. 1 近独立系统的经典统计 所谓经典统计是将粒子看成全同可分辨的质点 , 且粒子的运动服从经典力学规律的统计。 则含有 N 个全同粒子系统的正则配分函数为: Z = z 其中 z = ΢ e s
[ 1 ] 朱文浩 ,顾毓沁 .统计物理学基础 [ M ] .北京 : 清华大学出版社 , 1983.
QUOTA FUNCTION S IN STATISTICAL PH YSICS
SON G Shi -x ue
( Depa rtment o f Phy sics, Jina n U niv er sity , Jina n 250002, China )
R - U( n1X 1+ n2X 2+ … )
。 对任一 r 值有 : nr = 0, 1 。 且满足 ΢ nr = N
r -T -U X r
经计算 lnZFD = T N+ ΢ln( 1- e
r
)
( 7)
式 ( 7)和式 ( 6)很相似 , 只是正负号的改变。 3 结束语 在统计物理计算配分函数时常会张冠李戴 , 本文总结出了各种系统的配分函数 , 在计算 时 , 只需知道系统是由何种粒子组成 , 则代入相应的公式即可求得体系的配分函数 。 参考文献:
k lnK( E , V , N ) - k T lnZ ( T , V , N ) = - k T lnA( f , V , N ) U = 1 /k T T = - _ /k T c = P /k T
2. 2 近独立系统的量子统计 所谓量子统计是指组成系统的粒子服从量子力学规律的统计 。 在量子力学中 , 全同粒子系 统的波函数必须满足对称性的要求 , 即或者对称 , 或者反对称 。 满足对称波函数的系统 , 在任一 量子态上分布的粒子数不受限制 ; 而满足反对称波函数的系统 , 在任一量子态上最多只能有一 个粒子 , 这就导致了不同的量子统计分布。 下面分别加以论述 。 2. 2. 1 麦克斯韦 — 玻尔兹曼统计的正则配分函数 麦 — 玻统计是指近独立可分辨全同粒子的统计 。 系统的配分函数为 Z MB = ΢ e- U(n X+ n X+ … )
∞ N= 0
Δ ( T , P , N )= ΢Z V ( T , N ) exp ( - PV /k T ) G( T , P , N )= - k TΔ ( T , P , N )
΢ f ZN ( V , T )
N
热力学关系 说明
F ( T , V , N )=
J ( f , V , N ) = - PV
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
(e
-U X 1
+ e
-U X 2
+ …) = Z
N
N
即 ZMB = ZN
其中 Z = ΢ e r
-U X r
( 3) 是单个粒子的配分函数 。
2. 2. 2 光子统计的配分函数 光子气体的粒子数 N 是个变量 ,在 T , V 一定的条件下 , 处于热平衡的光子气体具有某个 - ,在这种条件下 ,光子气体的配分函数为: 统计平均的粒子 N 36
Abstract : Quo ta f unctio n is a bridg e bet w een microquantiti es and m acroquanti ties o f a system. Thi s article discusses the quo ta f unctio ns of va rio us comm on systems. Key words: system; quo ta functio n; ensemble
1 2
则 lnZ = - ΢ln( 1- e
r
-U X r
)
( 4)
其中 X r 是指单个光子第 r 个能级的能量。 2. 2. 3 玻色 — 爱因斯坦统计的配分函数 对于具有对称波函数的全同粒子体系应用玻色 — 爱因斯坦统计 (简称 B— E 统计 )。 系统 的配分函数: ZBE = ΢ e
1 1 2 2
R
( 2)
式中求和是对系统各种可能的量子态求和 , X 1 ,X 2… … 是单粒子的能级 , n1 , n2… … 是各 能级上的粒子数。 由 ( 2)式可得 : ZMB = n΢ n…
1 2
N! N! - U( n X + nX + …) = ΢ ( e- Un X ) ( e- Un X ) = e n n … n ! n ! n ! … n1! n2! n3! … 1 2 3
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