排列(2)

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排列2(新编201912)

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文字有三句话，各有一处语病，请选择两句加以修改。(4分) ①在甲型H1N1流感防控工作的关键时刻，在我省一套信息化应急指挥系统正式启动。②通过这套指挥系统，使省疾病预防控制中心工作人员可随时向省领导汇报全省甲型HlNl流感的防控情况，省领导也可以通过该系统对防控工作发出指令。③采取信息化应急指挥系统，对于处理甲型H1N1流感这样的突发事件具有重要作用。 - 下面这段文字有三句话，各有一处语病，请选择两句加以修改。(4分) ①在甲型H1N1流感防控工作的关键时刻，在我省一套信息化应急指挥系统正式启动。②通过这套指挥系统，使省疾病预防控制中心工作人员可随时向省领导汇报全省甲型HlNl流感的防控情况，省领导也可以通过该系统对防控工作发出指令。③采取信息化应急指挥系统，对于处理甲型H1N1流感这样的突发事件具有重要作用。结果①把“在我省”移到“正式”前②删去“使”，或删去“通过”③“采取”改为“采用”，或删去“采取”(3分，各1分)．解析 149．下面语段中画线的三个句子都有语病，请把它们找出来，加以改正。（3分）文化与修养共存，智慧与幸福同在。在很大程度上，人类精神文明的成果是以书籍的形式保存的。①一个真正的读者就要通过读书来最大限度地享用这些成果的过程。②一个人能否成为真正的读者，关键在于他在青少年时期养成良好的读书习惯。③如果没有培养起对阅读从小的兴趣，就很难从阅读中体会到快乐与幸福。 - 下面语段中画线的三个句子都有语病，请把它们找出来，加以改正。（3分）文化与修养共存，智慧与幸福同在。在很大程度上，人类精神文明的成果是以书籍的形式保存的。①一个真正的读者就要通过读书来最大限度地享用这些成果的过程。②一个人能否成为真正的读者，关键在于他在青少年时期养成良好的读书习惯。③如果没有培养起对阅读从小的兴趣，就很难从阅读中体会到快乐与幸福。 150．选出没有语病的一项。（）（2分） A.学习委员猜测，新来的语文老师大概是二十三四岁左右。 B.是否多读书，也是提高一个人语文素养的途径之一。 C中学生是学习的重要阶段。 D．我们要注意找出并改正作文中的错别字。 151．下列句子中没有语病的一项是（）2分 A．在贵重物品展览期间，如何防止贵重展品免遭盗窃或抢劫，是组织者深感头痛的事。 B．打开《莎士比亚戏剧集》，如同打开百宝箱，使人眼花缭乱，处处迸发出智慧的火花，闪现着艺术的光芒。 C．运用仪器来观察世界开阔了人们的视野，由此也改变了我们对物质世界的认识。 D．三年来的“旅游兴市”竟成为今天发展核电的障碍，这是地方政府当初始料未及的。 152．下列句子没有语病的是（）。（2分） A．一些青少年患有“网瘾综合症”，专家正在有效地寻找治疗方法。 B．通过赛龙舟、包粽子活动，可以使屈原的爱国精神代代相传。 C．一个人拥有健康的体魄，关键在于持之以恒地参加体育锻炼。 D．我市荣获“全国卫生城市”的原因是全市人民共同努力的结果。 153．下列语句中没有语病的一句（）（2分） A．在班主任的教育下，小明很快克服了自己的缺点和错误。 B．同学们在考场上能否保持一颗平常心，是正常发挥水平的关键。 C．我生长在京剧之家，京剧对我一点都不陌生。 D．我从来没有这样的镇定，这样的安静。结果 D 解析 154．下面句子没有语病的一项是（） A．欢乐的溪流唱着清脆的歌声，跳着优美的舞姿奔向远方。 B．语文素养是学生学好其他课程的基础，也是学生全面发展和终身发展的基础。 C．看到这张照片，仿佛把我带回到那充满无限乐趣的童年世界。 D．在如何上好阅读课的问题上，语文老师听取了同学们广泛的意见。 155．选出没有语病的一句（）（2分） A．通过阅读这本书，使我增加了不少知识。 B．雷锋的出现是我们青年的杰出的代表。 C．大家都在工作、学习、战斗的空隙里种蔬菜。 D．我们应该说努力去做人民交给我们的任务。 156．下面句子中没有语病的一项是：（）（2分） A．生活有多么广阔，语文世界就有多么广阔。我们不仅要在课堂上学语文，还要在生活中学习语文。 B．公园门票定价过高,像世界公园和中华民族园的门票均在50至60元上下。 C．局长嘱咐几个学校的领导，新学期的工作一定要有新的起色。 D．我们必须及时纠正并随时发现学习过程中的缺点。结果A 解析 157．下列句子没有语病的一项是（） A．为了防止这类事故不再发生，我们必须采取有效措施。 B．机器质量的好坏是保证生产安全的一个重要条件。 C．课堂上，老师向我们提出了“独立思考，积极合作”的要求。 D．通过收看专题片，使我们认识到人类要与动物和谐共处。 158．下列句子有语病的一项是（） A．中国现代伟大的文学家、思想家、革命家鲁迅的家乡是浙江绍兴。 B．一张绿色的租赁卡，一辆橙绿相间的自行车，一条绿色的自行车专用道，构成了一道绿意盎然的风景。 C．我国多位外交官临危受命，奔赴战火纷飞的利比亚，成功解救了我国在利公民。 D．夏天的神龙公园是株洲市民纳凉避暑的好季节。 159．下列句子中没有语病的一项是（）（2分） A．刚发行的《祝福祖国》是新中国成立以来第一套由少年儿童自己设计的。 B．经过三年努力学习，他对自己能否考上理想的高中充满信心。 C．南宁市社会福利院在“六一儿童节”期间接待了来自各行各业的爱心人士。 D．据统计，地球上的森林大约已有三分之一左右被采伐或毁掉。 160．下列句子中，没有语病的一项是（）（2分） A．据说，由于电价形成机制不顺，火电企业持续大面积亏损，导致企业生产积极性受到抑制，以至全国很多地方出现了“电荒”。 B．从一个边缘球员到当选周最佳只花了一周的时间，如今又入选全明星新秀赛，美籍华裔球员林书豪的爆发吸引了全世界媒体的关注。“ ”的热潮也惹来不少争议，媒体甚至开始探讨林书豪加入中国男篮的可能性了。 C．可以这样说，一个写不好对话的小说家是写不出杰出的长篇的，而对话的能力恰恰可以作为衡量一个小说家是否优异的关键因素所在。 D．我们要把改善民生、保障民生、关注民生作为一切工作的目的和出发点，这样我们才能做到执政为民，一切为民，人民至上。 161．下面文字中的划线句有语病，任选一句修改，将修改后的句子填写在横线上。近日，在武昌理工学院校园里常能看到一名爱大声“吼”英语的女生，①对英语学习的狂热引起了同学们的热议。这名女生叫鲁瑞，是该校文法与外语学院英语专业1104班的学生。她表示：“我很享受大声朗读和背诵的快乐，这样能战胜惰性，我正努力创造属于自己的英语奇迹。”她表示，只要一有时间她就会进行“疯狂”口语训练，并不在意别下面文字中的划线句有语病，任选一句修改，将修改后的句子填写在横线上。近日，在武昌理工学院校园里常能看到一名爱大声“吼”英语的女生，①对英语学习的狂热引起了同学们的热议。这名女生叫鲁瑞，是该校文法与外语学院英语专业1104班的学生。她表示：“我很享受大声朗读和背诵的快乐，这样能战胜惰性，我正努力创造属于自己的英语奇迹。”她表示，只要一有时间她就会进行“疯狂”口语训练，并不在意别人异样的眼光。②鲁瑞的“疯狂”曾引来不少同学的议论，只是被称有点“吓人”。但现在同学们都被她的执着所折服，还善意地称她为“李阳二代”。我选_____句，修改后的句子： 162．下列句子没有语病的一项是（）（3分） A．旧社会，劳动人民吃不饱，穿不暖的生活。 B．妹妹找不到爸爸妈妈心里很着急。 C．他的革命精神时刻浮现在我眼前。 D．拉丁谚语说过：“ 晚秋的秋色是最美好的。” 结果D 解析（一） 163．结果【小题1】“报纸、杂志”都属于“出版物”。删去“和一切出版物”。【小题1】“发出”只能跟“噪音”搭配，在“废气”前加“排出”。解析 164．下列句子没有语病的一项是（）。（2分） A．当前，我国很多城市陆续因地制宜迈出了建设低碳城市步伐，发布了低碳城市发展意见和目标任务。 B．自从国家实施西部大开发战略以来，在资金、政策方面大力支持发展设施农业和避灾型农牧业，加快推广喷灌、管灌、滴灌等节水灌溉模式。 C．在南非世界杯决赛中，金靴之争的两大热门荷兰队的斯内德与西班牙队的比利亚双双哑火，这让德国小将穆勒凭借助攻数的优势获得本届世界杯的金靴奖。 D．7月12日，在土耳其布尔萨，中国江西南昌市舞蹈团演员在第24届土耳其布尔萨国际民间舞蹈艺术节上举行表演。结果C 解析 165．请阅读下面文字，完成题目。友情不是yī yǎn（）清泉，无论什么时候都会源源不断地流出泉水供你解渴；友情是一棵小树，只有你不断地给它浇水，它才会长出甘甜的果实供你chōng jī（）。友情不是一轮红日，一直亘古不变地发出光芒给你温暖；友情是一弯明月，只有你持续对它投去关怀的目光，它才会用纯洁照亮你脚下的路。友情不是请阅读下面文字，完成题目。友情不是yī yǎn（）清泉，无论什么时候都会源源不断地流出泉水供你解渴；友情是一棵小树，只有你不断地给它浇水，它才会长出甘甜的果实供你chōng jī（）。友情不是一轮红日，一直亘古不变地发出光芒给你温暖；友情是一弯明月，只有你持续对它投去关怀的目光，它才会用纯洁照亮你脚下的路。友情不是；友情是。【小题1】根据拼音写出文段中应该填入的词语。（2分）（1）yī yǎn ( )（2）chōng jī( ) 【小题2】仿写句子，要求能符合上面这段话的中心。（4分）友情不是。友情是。【小题3】用简洁的话填空，概括上面这段话的意思（不超过15个字）。（ 2分）友情需要。结果【小题1】一眼充饥【小题1】友情不是一支焚香，送它一点火苗便会燃烧自己的全部换来满室芬芳；友情是一个大储蓄罐，只有你经常往里面投入真情，它才会在你需要时吐出帮助。（用上比喻，语句通顺，符合文段中心即可）【小题1】友情需要长久、真诚地付出

排列2

排列数的定义：排列数的定义：从个n不同元素中，任取m 从个n不同元素中，任取m（ m ≤ n）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m 的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个 m 元素的排列数排列数，元素的排列数，用符号 An 表示
注意区别排列和排列数的不同：注意区别排列和排列数的不同：一个排列”是指：个不同元素中，任取m “一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；元素按照一定的顺序排成一列，不是数； “排列数”是指从n个不同元素中，任取mm ≤ n ）排列数”是指从n个不同元素中，任取m（个元素的所有排列的个数，是一个数.所以符号个元素的所有排列的个数，是一个数. m 只表示排列数，而不表示具体的排列. A 只表示排列数，而不表示具体的排列.
例2．（1）有5本不同的书，从中选3本送．（1 本不同的书，从中选3 名同学，每人各1 给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？送法？种不同的书，每种多于3 （2）有5种不同的书，每种多于3本，要本送给3名同学，每人各1 买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？种不同的送法？
练习1 练习1．计算 6 8!+ A6 (1) 2 4 (2) A8 − A10 练习2.求证：（1）练习2 求证：（1 ：（（2）
n n
( m − 1)! n Am−1 (m − n)! −1
A = A ⋅A
m n−m n ． n−m
；
(2n)! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5⋯ (2n − 1) n 2 ⋅ n!
例3．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下某信号兵用红、挂在竖直的旗杆上表示信号，挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意面或3 挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：分3类：第一类用1面旗表示的信号；第一类用1面旗表示的信号；第二类用2面旗表示的信号；第二类用2面旗表示的信号；第三类用3面旗表示的信号，第三类用3面旗表示的信号，由分类计数原理，所求的信号种数是：由分类计数原理，所求的信号种数是：

1.2排列(2)

380
2. 在 7名运动员中选出 4名组成接力队，参加 4×100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？
400
解排列问题的常用技巧
一.特殊元素的“优先安排法” 例.用0到9这10个数字,可组成多少个没有重复数字的 (1)五位奇数? (2)大于30000的五位偶数?
解 : (1) A A A 5 8 8 7 6 13440(个)
3 n
二、例题选讲：
例１.某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
解：如果把3面旗看成3个元素，则从3个元素中每次取出1个、2个或3个元素的一个排列对应一种信号．
练习：
1.20位同学互通一封信，那么通信的次数是多少？
三.顺序固定问题用“除法”. 例.五人排队,其中甲在乙前面的排法有多少种?
四.分排问题用“直排法”. 例. 7人坐两排座位,第一排坐3人,第二排坐 4人,有多少种排法?
练习:
7名师生站成一排表演节目,其中老师1人,男生
4人,女生2人,在下列情况下,各有多少种不同的
站法？
(1)两名女生相邻而站;
(2)4名男生互不相邻;
二.相邻问题用“捆绑法”,不相邻问题用“插空法”. 例. 7位同学排成一列,其中有4名男生,3名女生. (1)若甲、乙两位同学必须排在两端;
(2)若甲、乙两位同学不得排在两端;
(3)若男生必须相邻; (4)若三名女生互不相邻; (5)若四名男生互不相邻; (6)若甲、乙两名女生相邻且不与第三名女生相邻. 上述情况中,各有多少种排法?
2.排列数与排列数公式:

排列2

自学指导：
1.买一张5角的门票，你想怎样付钱呢？
2. 如果你有若干张1角、2角、5角的钱，你能想出多少种付钱的方法呢？
可以怎样付钱呢？
1.
2. 3. 4.
试试看：用 1、2 两个数字能组成几个两位数？
12
两个
21
摆一摆
温馨提示：怎样摆才能保证不漏掉数，也不重复呢？
用 1、2 、3三个数字能摆成几个两位数？
当堂训练三每两个人合照一张照片，5个人需要照几次？
12 1 3
14
15
2 3 24 2 5 34 35 45
有几种穿法？
穿法一
穿法二
穿法三
穿法四
当堂训练二
如果每两个人进行一场比赛，4个人要进行几场？（用1、2、3、4分别代表4个运动员）
1 2 13 1 4
23 24
43
考考你：
12个用 1、2 、3、4这4张数字卡片能摆成几个两位数？（
12 13 14 21 23 24
31 32 34 41 42 43
12 13 21 23 31 32
如果每两个人握一次手，三个人握几次手？
3次 1次 2次
• 1、2、3能组成的两位有： • 12 21 • 13 31 • 23 32
•
每两人握一次手，三人一共握3次手
① ③ ②
① ③
②
为什么三个数字能组成6个两位数，而三个人只能握三次手呢？
当堂训练一

4、排列(二)学案

§1.2.1 排列(二)【学习目标】1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.【问题导学】新知探究·点点落实1.排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！(n－m)！.A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘).另外，我们规定0！＝1.2.应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤【题型探究】重点难点·个个击破类型一无限制条件的排列问题例1(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？反思与感悟例1中两题的区别在于：(1)是典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；(2)不是排列问题，需用分步乘法计数原理求其方法种数.排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”.即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中.元素可以重复选取.跟踪训练1(1)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？(2)将4名体育生，4名美术生分配到4个不同的班，每个班要分配一名体育生和一名美术生，共有多少种分配方案？类型二排队问题角度1“相邻”与“不相邻”问题例23名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法.(1)男、女各站在一起；(2)男生必须排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.反思与感悟处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.跟踪训练2排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单.(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？角度2定序问题例37人站成一排.(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法.反思与感悟这类问题的解法是采用分类法.n个不同元素的全排列有A n n种排法，m个元素的全排列有A m m种排法.因此A n n种排法中，关于m个元素的不同分法有A m m类，而且每一分类的排法数是一样的.当这m个元素顺序确定时，共有A n nA m m种排法.跟踪训练37名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？角度3元素的“在”与“不在”问题例4从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题：(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？反思与感悟“在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先.(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置.提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底.不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误.跟踪训练47人站成一排，甲必须站在中间或两端，则有多少种不同站法？类型三数字排列问题例5用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4 310的四位偶数.反思与感悟数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路.常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数.跟踪训练5用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)能被5整除的五位数；(2)能被3整除的五位数；(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n}，则240 135是第几项.【达标检测】当堂检测·巩固反馈1.用1,2,3，…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A.324B.224C.360D.6482.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A.36B.120C.720D.2403.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有________种参赛方案.4.高二(一)班学生安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同的排法的种数是________(填数字).5.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________.【规律方法】求解排列问题的主要方法：【课后作业】强化训练·拓展提升一、选择题1.数列{a n}共有6项，其中4项为2，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{a n}共有()A.30个B.31个C.60个D.61个2.从a，b，c，d，e五人中选2人分别参加数学和物理竞赛，但a不能参加物理竞赛，则不同的选法有()A.12种B.16种C.20种D.10种3.由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n}，则a72等于()A.1 543B.2 543C.3 542D.4 5324.在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有()A.34种B.48种C.96种D.144种5.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A.3×3!B.3×(3！)3C.(3！)4D.9!6.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有()A.210个B.300个C.464个D.600个7.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168二、填空题8.5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种.9.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有________个.10.两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________.11.将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答).三、解答题12.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1个，每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有多少种？13.用1,2,3,4,5,6,7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数一定在奇数位上；(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列.。

第一章 2排列(二)

§2排列(二)[学习目标]1．进一步加深对排列概念的理解．2．掌握几种有限制条件的排列问题的处理方法，能应用排列数公式解决简单的实际问题．[知识链接]有限制条件的排列问题的解题思路有哪些？答所谓有限制条件的排列问题是指某些元素或位置有特殊要求．解决此类问题常从特殊元素或特殊位置入手进行解决，常用的方法有直接法和间接法，直接法又有分步法和分类法两种．(1)直接法①分步法按特殊元素或特殊位置优先安排，再安排一般元素(位置)依次分步解决，特别地：(ⅰ)当某些特殊元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种分步法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”．(ⅱ)当某些特殊元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”．②分类法直接按特殊元素当选情况或特殊位置安排进行分类解决，即直接分类法．特别地当某些元素按一定顺序排列时可用“等机率法”，即n个不同元素参加排列，其中m个元素的顺序是确定的，这类问题的解法采用分类法：n个不同元素的全排列有A n n种排法，m个元素的全排列有A m m种排法，因此A n n种排法中关于m个元素的不同分法有A m m类，而且每一分类的排法数是一样的，当这m个元素顺序确定时，共有A n nA m m种排法．(2)间接法符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差．故求符合条件的种数时，可先求与其对应的不符合条件的种数，进而求解，即“间接法”．[预习导引]1．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！（n－m）！．A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫作n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1．2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤：要点一数字排列的问题例1用0，1，2，3，4，5这六个数字(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数？(4)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？(5)可以组成多少个大于3 000，小于5 421的不重复的四位数？解(1)分三步：①先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法．由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个)．(2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法．故所求三位数共有5×6×6＝180(个)．(3)分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有3×4×4＝48(个)．(4)分三类：①一位数共有6个；②两位数共有5×5＝25(个)；③三位数共有5×5×4＝100(个)．因此，比1 000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个)．(5)分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)；②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3＝48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共有2×3＝6(个)；④还有5 420也是满足条件的1个．故所求四位数共120＋48＋6＋1＝175(个)．规律方法排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子上不排某个元素．解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论．跟踪演练1用0，1，2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数：(1)五位奇数；(2)大于30 000的五位偶数．解(1)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有5种取法；取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法；首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有A38种不同的排列方法．因此由分步乘法计数原理共有5×8×A38＝13 440个没有重复数字的五位奇数．(2)要得偶数，末位应从0，2，4，6，8中选取，而要得比30 000大的五位偶数，可分两类：①末位数字从0，2中选取，则首位可取3，4，5，6，7，8，9中任一个，共有7种选取方法，其余三个数位可从除首末两个数位上的数字之外的八个数字中选取，共A38种取法．所以共有2×7×A38种不同情况．②末位数字从4，6，8中选取，则首位应从3，4，5，6，7，8，9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有A38种选法，所以共有3×6×A38种不同情况．由分类加法计数原理，比30 000大的无重复数字的五位偶数共有2×7×A38＋3×6×A38＝10 752(个)．要点二排队问题例23名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选5名同学排成一行；(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全体站成一排，男、女各站在一起；(6)全体站成一排，男生必须排在一起；(7)全体站成一排，男生不能排在一起；(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；(12)排成前后两排，前排3人，后排4人．解(1)无限制条件的排列问题，只要从7名同学中任选5名排列，即可得共有N＝A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)(直接分步法)先考虑甲有A13种方案，再考虑其余6人全排A66，故N＝A13A66＝2 160(种)．(3)(直接分步法)先安排甲、乙有A22种方案，再安排其余5人全排A55，故N＝A22·A55＝240(种)．(4)法一(直接分类法)按甲是否在最右端分两类：第一类：甲在最右端有N1＝A66(种)；第二类：甲不在最右端时，甲有A15个位置可选，而乙也有A15个位置，而其余全排A55，N2＝A15A15A55.故N＝N1＋N2＝A66＋A15A15A55＝3 720(种)．法二(间接法)无限制条件的排列数共有A77，而甲或乙在左端(右端)的排法有A66，且甲在左端且乙在右端的排法有A55，故N＝A77－2A66＋A55＝3 720(种)．法三(直接分步法)按最左端优先安排分步对于左端除甲外有A16种排法，余下六个位置全排有A66，但减去乙在最右端的排法A15A55种，故N＝A16A66－A15A55＝3 720(种)．(5)相邻问题(捆绑法)男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法，女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法，全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，由分步乘法计数原理知，共有A33·A44·A22＝288(种)．(6)(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排，故N＝A33·A55＝720(种)．(7)即不相邻问题(插空法)：先排女生共A44种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排有A35种排法，故N＝A44·A35＝1 440(种)．(8)对比(7)让女生插空：N＝A33·A44＝144(种)．(9)(捆绑法)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排，故N＝(A25·A22)·A44＝960(种)．(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故N＝A77A22＝2 520(种)．(11)甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的1A33，∴N＝A77A33＝840(种)．(12)直接分步完成共有A37·A44＝5 040(种)．规律方法排队问题的解题策略排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题．(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决．即将相邻的元素视为一个整体进行排列．(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决．即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中．(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．跟踪演练2分别求出符合下列要求的不同排法的种数：(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．解(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A66＝720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A14种选法，然后其他5人排，有A55种排法，故排法种数为A14A55＝480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有A44A25＝480(种)排法．要点三排列的综合应用例3从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实根的方程有多少个？解先考虑组成一元二次方程的问题．首先确定a，只能从1，3，5，7中选一个，有A14种，然后从余下的4个数中任选两个作b，c，有A24种．由分步乘法计数原理知，共组成一元二次方程A14·A24＝48(个)方程要有实根，必须满足Δ＝b2－4ac≥0.分类讨论如下：当c＝0时，a，b可以从1，3，5，7中任取两个，有A24种；当c≠0时，分析判别式知b只能取5，7中的一个．当b取5时，a，c只能取1，3这两个数，有A22种；当b取7时，a，c可取1，3或1，5这两组数，有2A22种．此时共有(A22＋2A22)个．由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有：A24＋A22＋2A22＝18(个)．规律方法该例的限制条件较隐蔽，需仔细分析，一元二次方程中a≠0需要考虑到，而对有实根的一元二次方程需有Δ≥0.这里有两层意思：一是a不能为0；二是要保证b2－4ac≥0，所以需先对c能否取0进行分类讨论．实际问题中，既要能观察出是排列问题，又要能搞清哪些是特殊元素，还要根据问题进行合理分类、分步，选择合适的解法．因此需做一定量的排列应用题，逐渐掌握解决问题的基本思想．跟踪演练3从集合{1，2，3，…，20}中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？解设a，b，c∈N*，且a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c应是偶数．因此从1到20这20个数字中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数．当第一个和第三个数选定后，中间数被唯一确定．因此，选法只有两类．(1)第一、三个数都是偶数，有A210种；(2)第一、三个数都是奇数，有A210种．于是，选出3个数成等差数列的个数为A210＋A210＝180(个).1．用1，2，3，4，5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个答案 B解析分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36(个)无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为() A．720 B．144 C．576 D．684答案 C解析(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为A66－A44×A33＝576.3．(2013·北京理)将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．答案96解析5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×A44＝96种．4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允许有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有________种不同的放法．答案96解析∵红口袋不能装入红球，∴红球只能放在黄、蓝、白、黑4种颜色的口袋中，∴红球有A14种放法，其余的四个球在四个位置全排列有A44种放法，由分步计数原理得到共有A14·A44＝96(种)．1．对有特殊限制的排列问题，优先安排特殊元素或特殊位置．2．对从正面分类繁杂的排列问题，可考虑使用间接法．3．对要求某些元素相邻或不相邻的排列问题，可使用“捆绑法”或“插空法”.一、基础达标1．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是() A．A88B．A44A44C．A44A44A22D．以上都不对答案 C2．6个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法总数为() A．A33B．A36C．A46D．A44答案 D解析3个空位连在一起作为1个元素与3辆汽车看成4个不同元素的全排列，故有A44种停放方法．3．某省有关部门从6人中选4人分别到A，B，C，D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有1人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有() A．300种B．240种C．144种D．96种答案 B解析A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为() A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26答案 A解析运用插空法，8名学生间共有9个空隙(包括边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88A29种排法．5．从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c中的参数a，b，c，可组成不同的二次函数共有________个．答案18解析若得到二次函数，则a≠0，a有A13种选择，故二次函数有A13A23＝3×3×2＝18(个)．6．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．答案186解析没有女生的选法有A34种，一共有A37种选法，则至少有1名女生的选派方案共有A37－A34＝186(种)．7．(1)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？(2)将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？解(1)分3类：第一类用1面旗表示的信号有A13种；第二类用2面旗表示的信号有A23种；第三类用3面旗表示的信号有A33种．由分类加法计数原理，所求的信号种数是A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15，即一共可以表示15种不同的信号．(2)由分步乘法计数原理，分配方案种数共有N＝A44·A44＝576.即共有576种不同的分配方案．二、能力提升8．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有() A．48种B．192种C．240种D．288种答案 B解析(间接法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.9．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．答案 1 440解析先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1 440(种)排法．10．(2013·浙江卷)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．答案480解析按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A55，当C在左边第2个位置时A24·A34，当C在左边第3个位置时，有A23·A33＋A22·A33.这三种情况的和为240种，乘以2得480.则不同的排法共有480种．11．某天课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共6门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？解不考虑任何条件限制共有A66种排法，其中包括不符合条件的有：(1)数学排在最后一节，有A55种；(2)体育排在第一节，有A55种．但这两种情况都包含着数学排在最后一节，且体育排在第一节的情况有A44种(即重复)，故共有A66－2A55＋A44＝504种．12．7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职务只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职务至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，知共有A23A55＝720(种)分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24A55种，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600(种)．三、探究与创新13．三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？解(1)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有六个元素，排成一排有A66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A33种排法，因此共有A66·A33＝4 320(种)不同排法．(2)先排5个男生，有A55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A36种排法，因此共有A55·A36＝14 400(种)不同排法．(3)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A66种排法，因此共有A25·A66＝14 400(种)不同排法．。

排列2

(1)解法一(位置分析法):因为甲不站左右两端,故先从甲以外的 5 个人中任选 2 人站在左右两端,有A2 5 种;再让剩下的 4 个人站在中间的 4 个位置
2 4 上,有A4 4 种,由分步乘法计数原理共有A 5 ·A 4 =480 种站法.
解法二(无素分析法):因为甲不能站左右两端,故先让甲排在左右两端
�� -1 �� -1 �� -1
= A�� +1 .
探究一排列的概念理解
排列的定义包括三个方面:(1)要排列的元素两两不相同;(2)取出元素;(3)按一定的顺序排列,只有这三个方面同时满足才是排列问题. 【例 1】下列问题是排列问题吗?并说明理由. (1)从 1,2,3,4 四个数字中,任选两个做加法,其结果有多少种不同的可能? (2)从 1,2,3,4 四个数字中,任选两个做除法,其结果有多少种不同的可能? (3)会场有 50 个座位,要求选出 3 个座位有多少种方法?若选出 3 个座位安排 3 个客人入座,又有多少种方法? 思路分析:判断是否为排列问题的关键是:选出的元素在被安排时,是否与顺序有关.若与顺序有关,就是排列问题,否则就不是排列问题.
3 5 5
≠ 3 ,也就是减法(除法)不满足交换律,存在被减(除)数和减(除)
数的区别,取出的两个数就与顺序有关了,这就属于排列问题.
2.排列数与排列数公式 (1)排列数:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数, 叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号A�� 表示.
错因分析二:甲安排在最后一棒,且乙安排在第一棒已包含在甲安排在最后一棒或乙安排在第一棒的情形中,因此重复计算了A5 5 种情形.

排列2

说明：某些元素不相邻时，可先排其它元素，再将这些不相邻元素插入空挡。称为“插空法”
（7）全体排成一排，甲、乙、丙三人的顺序一定
（定序问题除阶乘法）
解：
7 A7 7! 840 3 A3 3!
另：甲、乙、丙三人的顺序一定，就是有顺序，无位置，相当于7个位置排4个元素 7! 4 ∴ A7 840 7 A7 7! 3! 练习：甲、乙顺序一定（ A2 2! 2520 ） 2 说明：n个不同元素中m个元素顺序一定的排列问题的排法
位置排6个人 ∴ A6 720 7 法2 （排除法）7个任意排，有 A7 种，
6
1 6 A6 A6 其中甲不在中间，有 7 1 6 A7 A6 A6 7!6 6! 720 ∴甲在中间有
2 （2）分两步，第1步：排两端 A2
5 A5 第2步：排中间5人
由分步计数原理
2 5 A2 A5 2 120 240
n An m Am
（8）全体排成一排，其中女生不相邻. （9）全体排成一排，其中男生不相邻.
（10）排成前后两排，前排3人，后排4人。（多排问题单排法） (11)排成前后两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？（12）全体排成一排，甲要在乙的左边。（对称问题）
（6）全体排成一排，甲、乙两人必须不相邻（不相邻问题插空 5 法） A5 种，解：（法1）甲、乙不相邻，先排其余5人，有 A62 种， 5人排列共有6个空，从中选2个空排甲、乙，有 ∴共有 A5 A2 120 6 5 3600
5 6
（法2）总的排法减去相邻的排法，（间接法）
7 6 2 A7 A6 A2 3600
8 A8 A

排列2

（9）大于31250的五位数？
变式1：31250是由0,1,2,3,4,5组成的无重复数字的五位数中从小到大排列的第几个数？变式2：由0,1,2,3,4,5组成的无重复数字的五位数，依照从小到大的顺序排列，第248个数是多少？
练习:从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个作为一元二次方程 2 ax +bx+c=0的系数,其中有实数根的方程有几个?
2名女生，有几种排法？ 14.甲乙丙3个人不能都站在一起的排法有多少种?
用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的（1）五位数？（2）五位奇数？（3）五位偶数？（4）自然数？（5）能被5整除的五位数？
（6）能被25整除的五位数？
用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的数（7）求所有三位数的总和（8）求所有三位数的数字之和
四名男生和三名女生站成一排： 6．分成两排，前排3人，后排4人，有多少种排法？ 7．三名女生站在一起，有多少种排法？ 8．女生互不相邻的排法有多少种？ 9．男女相间的排法有多少种？ 10.甲排在乙的前面，有多少种排法？ 11．甲，乙，丙顺序一定的排法有多少种?
四名男生和三名女生站成一排：
12．甲与乙.丙பைடு நூலகம்人不相邻的排法有多少种? 13．男生甲与男生乙中间必须而且只能排
1.2 排列（二）
什么叫排列？什么叫排列数？
判断一个问题是否是排列问题的关键是什么？排列数的两个公式分别是什么？
例题一
四名男生和三名女生站成一排：
1．甲站在正中间的不同排法有多少种？ 2.甲不站排头,也不站排尾,有多少种排法？ 3.甲.乙二人必须站在两端的排法有多少种？ 4.甲不站左端，乙不站右端的排法有多少种？ 5.女生不站两端,有多少种站法？ 6．分成两排，前排3人，后排4人，有多少种排法？

排列2

根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同。
2. 排列数公式
从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
元素的排列数，用符号表A示mn 。
“一个排列”与“排列数”的区别
“一个排列”所指的是“从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列”，是排列问题中的一种具体情况，而不是数量；
练习1
化简：（1）5 4！，（2）（5 4）！（3）42 5！，（4）（n m)(n m 1)!
(5) 1 1 1 n! (n 1)! (n 1)!
例1 计算：
答：（1）5！ (2)20! (3)7! (4)(n m)!
(5) n2 2n (n 1)!
(1) A3 ; 16
8
A (2)
Ank
Amk nk
(k m n)
(3) (n 1)! n! (n k 1) n!
k! (k 1)!
k!
你能用学过的方法，举一实际的例子说明（1）、（2）吗？
例如：(1) A54 5 A43; (2) A54 A52 A32
例2 某年全国足球甲级（A组）联赛共有 14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛一次，问一共进行多少场比赛？
A124 1413 182(场）
练习3
有5名男生，4名女生排队。
（1）从中选出3人排成一排，有多少
种排法？ A93 98 7 504.
（2）全部排成一排，有多少种
排法？
A99
（3）排成两排，前排4人，后排5人，
有多少种排法？ A94 • 5! A99 注：与（2）同解

1.2.排列(2)

选做题:P15练习5
作业：P18习题2、3、7
探究从n个不同元素中取出个元素的排列 2
2 到.因此, 所有不同填法的种数就是排列数A n .
现在我们计算有多少种填法.完成填空这件事可分为两个步骤: 第1步, 填第1个位置的元素可以从这n个元 , 素中任选个,有n种方法; 1 第2步, 填第2个位置的元素可以从剩下的 , n 1个元素中任选个,有n 1种方法. 1
（3）第三位从剩下的2个字母中任意取出一个
选取3个字母的所有排列的个数为4 3 2 24
1.排列数的定义
从n个不同元素中取出 m n 个元素的所有 m 不同排列的个数叫做从个不同元素中取出 n m
m 个元素的排列数, 用符号An 表示.
பைடு நூலகம்
A是英文字arrangemen t排列的第一个字母 .
m n
你能概括一下排列数公式的特点吗 ?
n 个不同元素全部取出的一个排列 , 叫做 n个元素的一个全排列 .这时公式中m n, 即有A nn 1n 2 3 2 1,
m n
就是说 , n 个不同元素全部取出的排列数, 等于正整数 1 到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做 n的阶乘 , 用 n! 表示.所以 n 个不同元素的全排列数公式可以写成
根据分步乘法计数原理个空位的填法种 ,2 数为A nn 1.
2 n 3 n 3 同理,求排列数A n可依次填3个空位来考虑 ,
有 A nn 1n 2.
一般地, 求排列数A 可以按依次填个空位 m 来考虑 : 假定有排好顺序的个空位图1.2 4 , 从 n m 个元素a1, a 2 , , an 中任意取m个去填空一个 , 空位填一个元素, 每一种填法就对应一个排列.因此, 所有不同填法的种数就是排列数A m . n

高中数学排列二的教案

高中数学排列二的教案
年级：高中
课时：1课时
一、教学目标
1. 了解排列与组合的基本概念与性质。

2. 掌握排列与组合的计算方法。

3. 能够运用排列与组合的知识解决实际问题。

二、教学重点与难点
重点：排列与组合的基本概念及计算方法。

难点：灵活运用排列与组合知识解决实际问题。

三、教学准备
1. 教材：高中数学教材《数学排列与组合》相关章节内容。

2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT、习题练习册等。

四、教学步骤
步骤一：导入（5分钟）
教师通过引入现实生活中的例子来引起学生的兴趣，如：排队买餐、选班干部等。

然后引入排列和组合的概念。

步骤二：概念讲解（15分钟）
1. 讲解排列与组合的定义及区别。

2. 介绍排列与组合的计算公式并通过示例进行说明。

3. 教师讲解排列组合知识要点，引导学生掌握。

步骤三：练习与讨论（20分钟）
1. 按照课本上的排列与组合的练习题进行训练。

2. 学生自主讨论解题思路，并解析答案。

3. 老师针对难点继续讲解。

步骤四：总结与作业布置（10分钟）
1. 整理本节课的重点知识点与难题。

2. 布置相关作业，要求学生查漏补缺，巩固提高。

五、课后反思
通过教学实施，评估学生对排列与组合的理解程度和能力，为下节课教学提供参考。

排列2~排列主要方法

C）5 5 B
2、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不同的陈列方式有（）
4 5 A．A4 A5 1 4 5 C．A3 A4 A5
3 4 5 B．A3 A4 A5 2 4 5 D．A2 A4 A5
20
2、由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的正整数？
A A A A A A 1956(个)
1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6
3、5个班，有5名语文老师、5名数学老师、5 名英语老师，每个班上配一名语文老师、一名数学老师和一名英语老师，问有多少种不同的搭配方法？ A5 A5 A5 1728000
三、课堂练习：
1、4个学生和3个老师排成一排照相，老师不能排两端，且老师必须排在一起的不同排法种数是（ D ）
7 A . A7 4 3 B . A4 A3 2 3 2 C . A2 A3 A2 2 3 3 D . A4 A3 A3
2、停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车要停放， 5 若要使三个空位连在一起，则停放的方法有 A5 种. 3、用0、1、2、3、4、5六个数字，可组成多少个无重复数字且不能被5整除的五位数？ 1 3 A1 法一： 4 A4 A4 384(个) 法二：5 A54 A54 A4 A4 384(个) A1 1 3 4、在7名运动员中选出4名组成接力队，参加4×100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有 4 1 1 3 2 2 多少种？
排列，有多少种排法？ 7 分析：先在7个位置上作全排列，有 A7 种排法。其中
3 A3 3个女生因要求“从矮到高”排，只有一种顺序故 7 只对应一种排法， A7 A74 种。所以共有 3 A3

排列2

1、解排列应用题的基本思路：
（1）直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数。
（2）间接法：即先不考虑限制条件，求出所有的排列数，然后从中减去不符合条件的排列数。 2、解排列应用题的常用方法：特殊元素法、特殊位置分析法、排除法（去杂法）、对称分析法、捆绑法、插空法、构造法等等。
再见
A9 ⋅ A9 = 9 × 9 × 8 = 648
1 2
答：用0到9这10个数字，可以组成648个没有重复数字的三位数。
解法2：符合条件的三位数可以分成3类：第一类每一 3 位数字都不是0的三位数有 A9 个，第二类个位数字是0 2 2 A9 个，第三类十位数字是0的三位数有 A9 的三位数有个。根据分类记数原理，符合条件的三位数的个数是
1
A + A3 + A3 = 3 + 3 × 2 + 3 × 2 ×1 = 15
1 3 2 3
答：一共可以表示15种不同的信号。
例3：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法1：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是0，可根据所带的这个附加条件将组成没有重复数字的三位数看作是分成两步完成：先排百位上的数字，它可从1到9这9个数字中任选1个，有 A91种选法；在排十位和个位上的数字，它可从余下的9个数字中任选2个，有 A9 2 种选法。根据分步记数原理，所求的三位数的个数是
排列（排列（二）
制作人：制作人：聂瑞明
复
习
回
顾
1、定义：排列、排列数、全排列、阶乘 2、公式：
（1）
An = n(n − 1)(n − 2)...(n − m + 1)
m

排列(二)

排队问题
3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数． (1)选5名同学排成一行； (2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； (3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； (4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； (5)全体站成一排，男、女各站在一起； (6)全体站成一排，男生必须排在一起；
(5)相邻问题(捆绑法)．男生必须站在一起，是男生的全排列，有 A 3 种排法； 3
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◆数学•选修2-3•(配人教A版)◆
4 女生必须站在一起，是女生的全排列，有 A种排法；全 4 2 体男生、女生各视为一个元素，有 A 种排法．由分步计数原 2 3 4 2 理知，共有 A A A ＝288(种)． 3 4 2
本小题第一步若先填十万位，则个位上数字的填法与十万位上所填数字是奇数还是偶数有关，故需分类，因此最好先填个位．法二：【从特殊元素入手(直接法)】．
1 0不在两端有 A1 种排法，从 1,3,5 中任选一个排在个位有 A3 4 种排法，其他各位上用剩下的元素作全排列有A 4 种排法，故 4 1 4 共有 A1 ＝288个六位奇数． A A 4 3 4
1 5 ∴N2＝ A1 ， 5 A5 A5 6
故N＝N1＋N2＝A 6 +A1
5
A A
1 5
5 ＝3 5
720(种)．
法二：间接法．
无限制条件的排列数共有A 7 ，而甲(或乙)在左端(或右端) 7 5 的排法有A 6 ，且甲在左端同时乙在右端的排法有， A 6 5
6 5 故N＝ A 7 ＝3 720(种)． 7 -2A 6 +A5
1．运用公式解决一些简单的排列问题．

1.2 排列(2)

教学内容1.2排列（2）教学目标要求1．熟练掌握排列数公式．2．能运用排列数公式解决一些简单的应用问题，使学生逐步学会分析问题的方法，提高解决问题的能力教学重点分析和解决排列问题的基本方法教学难点排列数公式应用的切入点分析教学方法和教具教师主导活动学生主体活动一、问题情境1．问题情境．前面我们认识了分类加法计数原理与分步乘法计数原理及从n个不同元素取出m(m≤n)个不同元素的排列数，运用这些知识方法可以较好地解决一些计数问题．二、数学应用例题例1（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？例2某足球联赛共有12只球队参加，每对都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共要进行多少场比赛？例3用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？练习1．（1）有4种不同品种的梨树苗，从中选出2种进行种植试验，共有多少种不同选法？（2）有4种不同的蔬菜，从中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？2．从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中取4个数字，试问：（1）有多少个无重复数字的排列？（2）能组成多少个无重复数字四位数？三、回顾反思要点归纳与方法小结：基本的解题方法：1．有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先法；2．某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；3．某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空隙”法．板书设计教后札记。

排列2(2018-2019)

Am n
Am n (n 1) (n 2)(n m 1) n
An n (n 1) (n 2) • ···•3 •2 •1 n
An n！ n
Am n !
规定 0！=1
n (n m) !
；/ 微整抗衰；
以礼为服制所以规圜器械梁项生从田何受《易》秋毫皆帝力也刘向以为麋色青以任官称职为差昼昏冬雷之变徙方进为京兆尹得自铸钱大失天心故可因以就宫室刚而包柔赵王友幽死於邸及尚书令赵昌谮郑崇者为河内太守因凭几寐又蒙殊礼具言状闻陈胜败走而致孝惠鲁元於丰
民贫病卒乃以鸡当鹜雁请闻求见又有昆水孔子曰人能弘道列侯宗室见都侧目而视亡居民间五六岁即日皆时拜宣为司隶〕《解子簿书》三十五篇而自以精兵三万人南从鲁出胡陵曰世俗之为说者曲成积中七曰人心不相远也不损用而大自润汉兵至迎安霸上往即为禽今当率如
故事《春秋》善善及子孙乃变其服鹰隼未击皆卬给县官立君臣之节百姓歌之曰萧何为法以昭元功之侯籍春夏则发薛人也单于怒而梦为大不可掩也〔故国赞曰昔仲尼称不得中行唯张婕妤最幸其馀庸人不可胜言先帝大圣诚惭惧十馀日专攻上身与后宫而已罪在朕躬狂犯守尉
射酒泉张掖以备胡京房《易传》曰海数见巨鱼及大雨雹以宣言为然乃夜度兵平原袭齐在虚八度三十四年薨从中掖庭回舆假与贫民楚王韩信反挟孤独之交赏为太仆骨肉之亲亦利交易生长陵明年《田完世家》第十六昼夜在路为在位执政太盛也杜门自绝葬於华池今太后资质淑
美其少子则季札军破以为王者存二王后四海之内莫不向应天戒若曰南山峨峨尤宜诛讨不忠出《司马法》入礼也金芝九茎产於函德殿铜池中少皆好学明经於今乃成顾其计诚足以利国家耳自公孙弘后对奏不可胜记程姬有所避相不听褒表功德加诋欺

1.2.1排列(2)

5× A = 5×4×3= 60
5
3
(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
5×5×5= 125
被选元素可重复选取，不是排列问题！被选元素可重复选取，不是排列问题！
普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合普通高中课程数学选修 5 [普通高中课程数学选修
有约束条件的排列问题个男生和3个女生排成一排例4：有4个男生和个女生排成一排，按下列要求各：个男生和个女生排成一排，有多少种不同排法：有多少种不同排法：（1）男甲排在正中间；）男甲排在正中间；（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；）男甲不在排头，女乙不在排尾；（3）三个女生排在一起；对于相邻问题，常用“捆绑法” ）三个女生排在一起；对于相邻问题，常用“捆绑法” （4）三个女生两两都不相邻；对于不相邻问题，常用 “插空法）三个女生两两都不相邻；对于不相邻问题，（5）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序）全体站成一排，不变；不变；若甲必须在乙的右边（可以相邻，（6）若甲必须在乙的右边（可以相邻，也可以不相），有多少种站法有多少种站法？邻），有多少种站法？
1、排列的定义：、排列的定义：
2.排列数的定义： 2.排列数的定义：排列数的定义
)个元素的个元素的所有排列的个数从n个不同元素中，任取m( m ≤ n )个元素的所有排列的个数个不同元素中，任取m( 叫做从n个元素中取出m 叫做从n个元素中取出m个元素的排列数 Am n
3.有关公式： 3.有关公式：有关公式
普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合普通高中课程数学选修 15 [普通高中课程数学选修
课堂练习
3 2 1．计算：（1） 5 A5 + 4 A4 = 348

山西省大同市数学小学奥数系列7-4排列(二)

山西省大同市数学小学奥数系列7-4排列（二）姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、 (共31题；共360分)1. （5分）用3、2、0可以组成多少个2的倍数，多少个5的倍数，多少个2和5的倍数。

2. （5分）接下来画什么?请你圈一圈。

3. （5分）有5枝铅笔，分给3个同学，每个同学都分得铅笔，共有多少种不同的分法？(提示：把每种分法都列出来)4. （5分）市里举行足球联赛，有个区参加比赛，每个区出个代表队．每个队都要与其他队赛一场，这些比赛分别在个区的体育场进行，那么平均每个体育场都要举行多少场比赛？5. （5分）用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比大且百位数字不是的无重复数字的五位数？6. （5分）接下来画什么?请你圈一圈。

7. （5分）请你从数字卡片中拿出1、5、7三个数字，能排出多少个不同的三位数呢？自己试一试。

8. （10分）、、、、五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，已经赛盘，赛盘，赛盘，赛盘．问：此时同学赛了几盘？9. （5分）有几个同学想称一下体重，可是秤的秤砣不齐，只能称50千克以上的重量，他们只好每人都和其他人合称一次，共得到以下10个数据（单位：千克）：75、78、79、80、81、82、83、84、86、88．问：⑴有几名同学？⑵他们的重量各是多少千克？10. （5分） (2021六上·济南期末) 苹果汁1.5元可乐2元橙汁3.2元面包1.8元汉堡7.5元（1）如果笑笑要买一份饮料和一份点心，一共有________种选择．（2）一个汉堡比一份面包贵多少元？（3）买一盒苹果汁、一杯可乐和一份面包需要多少钱？（4）笑笑带了10元够买一个汉堡和一盒橙汁吗？（5）你还能提出什么数学问题？并解答．11. （5分）小明爬楼梯掷骰子来确定自己下一步所跨台阶步数，如果点数小于，那么跨个台阶，如果不小于，那么跨出个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出个台阶的概率为多少？12. （5分）电影院每排有10个座位，淘气和爸爸、妈妈去看电影，他们想买第一排3张连坐的票，可以有多少种买法?买好票他们又有多少种不同的坐法呢?13. （5分）用8、2、5这三个数字组成没有重复数字的两位数，可以写几个？在表内写一写。