最新6-2第二讲算术平均数与几何平均数

6-2第二讲算术平均数与几何平均数

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2

第六章 第二讲

时间：60分钟 满分：100分 一、选择题(8×5＝40分) 1．(2009·武汉模拟卷)下列不等式的证明过程正确的是 ( )

A ．若a 、b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·a b

＝2 B ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2

C ．若a 、b ∈R ＋，则lg a ＋lg b ≥2lg a lg b

D ．若a ∈R －，则a ＋4a ≥－2a ·4a

＝－4 答案：B

解析：对于A ，b a

＞0即ab ＞0时才能成立，而a ，b ∈R ，故A 不正确；对于B ，a ∈R 时，2a ＞0,2－a ＞0.∴B 正确；对于C ，当a ，b ∈R ＋时，lg a 、lg b 不能确定一定是正数；对于

D ，a ＋4a

≤－4. 2．下列函数中，最小值为2的函数是

( )

A ．y ＝x ＋1x

B ．y ＝sin θ＋cos θ(0＜θ＜π2

) C ．y ＝sin θ＋cos θ(0＜θ＜π)

D ．y ＝x 2＋2x 2＋1

答案：D

解析：(排除法)答案A 中x 的正负无法确定，答案B 、C 中y ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4

)≤2，∴只能选D. (直接法)y ＝

x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2(当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x ＝0时取等号，)∴选D.

3．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1y

的最小值为 ( )

A ．6

B ．5

C ．3＋22

D ．4 2

答案：C

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3

解析：∵x ＋2y ＝1，∴1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝3＋2y x ＋x y ≥3＋2 2. 4．(2009·重庆一中)函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是

( )

A ．23＋2

B ．23－2

C ．2 3

D ．2

答案：A

解析：∵y ＝x 2＋2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1

， ∵x －1＞0，

∴x －1＋3x －1

＋2≥23＋2， 当且仅当x －1＝3x －1

时取“＝”， 即x ＝1±3时取“＝”． 又∵x ＞1，∴x ＝1＋3时取等号．

5．(2009·黑龙江大庆一模)设M ＝(1a －1)(1b －1)(1c

－1)，且a ＋b ＋c ＝1(a 、b 、c ∈R ＋)，则M 的取值范围是

( )

A ．[0，18]

B ．(18

，1) C ．[18

，1] D ．[8，＋∞) 答案：D

解析：由M ＝(1a －1)(1b －1)(1c －1)＝1－a a ·1－b b ·1－c c ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c

＝8，故选D.

6．(2009·天津，9)设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1.若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y

的最大值为

( )

A ．2 B.32

C ．1 D.12

答案：C

解析：∵a x ＝b y ＝3，∴x ＝log a 3，y ＝log b 3，

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4

∴1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3(a ＋b )24

＝log 33＝1，故选C. 7．设0＜x ＜1，a ，b 都为大于零的常数，则a 2x ＋b 2

1－x

的最小值为 ( )

A ．(a －b )2

B ．(a ＋b )2

C ．a 2b 2

D ．a 2

答案：B 解析：a 2x ＋b 21－x ＝(a 2x ＋b 21－x )[x ＋(1－x )]＝a 2＋b 2＋a 2(1－x )x ＋b 2x 1－x

≥a 2＋b 2＋2a 2(1－x )x ·b 2x 1－x

＝(a ＋b )2，故选B. 8．已知m ，n ，s ，t ∈R ＋，m ＋n ＝2，m s ＋n t

＝9，其中m ，n 是常数，且s ＋t 的最小值是49，满足条件的点(m ，n )是椭圆x 24＋y 2

2

＝1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为 ( )

A ．x －2y ＋1＝0

B ．2x －y －1＝0

C ．2x ＋y －3＝0

D ．x ＋2y －3＝0

答案：D 解析：由已知得s ＋t ＝19(s ＋t )(m s ＋n t )＝19(m ＋n ＋mt s ＋ns t )≥19(m ＋n ＋2mn )＝19(m ＋n )2，又s ＋t 的最小值是49，因此19(m ＋n )2＝49

，m ＋n ＝2，又m ＋n ＝2，所以m ＝n ＝1.设以点(m ，n )为中点的弦的两个端点的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则有x 214＋y 212

＝1， x 224＋y 222

＝1， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2

＝0 ①，又点(1,1)是该弦的中点，因此有x 1＋x 22＝y 1＋y 22＝1，x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝2 ②，把②代入①得y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即所求直线的斜率是－12，所求直线的方程是y －1＝－12

(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 总结评述：在求解有关二次曲线的以某个已知点为中点的弦所在的直线方程时，注意利用“点差法”来确定相应直线的斜率．

二、填空题(4×5＝20分) 9．(2009·吉林长春一模)若正数a 、b 满足1a ＋4b

＝2，则ab 的最小值为________． 答案：4

解析：∵a 、b 都为正数．