实验四 系统根轨迹法数字仿真分析
4-4 第四节 控制系统的根轨迹分析法 自动控制原理课件
时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：
% e 1 2 100% ectg 100%
ts
3
n
3
(为极点实部 )
n
j 1 2n
%和 的关系如下图 %
80
60
若闭环极点落在下图中红线包围
的区域中，有：
% ectg 和ts
3
40
20
0 30 60 90
上述结论也可应用于具有主导极点的高阶系统中。如下例：
是稳定的（为什么？）；
kg 64 kg 14
当 kg 195和14 kg 64 时， 系统是不稳定的。
kg 14 kg 64
kg 195
左图是用Matlab工具绘
制的。
条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这 样的系统叫做条件稳定系统。
下面的系统就是条件稳定系统的例子：
A B
这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着kg 的增加， 主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计
算。 下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：
% ectg1 100%, 当 % 18%时解得： 60
在根轨迹图上画两条与实轴夹角为 60的直线，与根轨 迹交与A、B两点。 则A、B两点就是闭环共轭主导极点， 这时系统的超调量为18%。通过求A、B两点的坐标，可以 确定这时的根轨迹增益kg ，进而求得开环放大系数k。
[例4-12]单位反馈系统的开环传递函数为：Gk
(s)
s(s
kg 4)( s
6)
若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量 % 18% ，试确定 开环放大系数。
[解]：首先画出根 轨迹如右。由图 可以看出：根轨 迹与虚轴的交点 为+j5,-j5，这时的 临界增益 kgp 240 当 kg 240 时， 闭环系统不稳定。
实验四线性系统的根轨迹
姓名: 学号: 得分:实验四 线性系统的根轨迹一、实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
二、基础知识及MATLAB 函数根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。
这个参数一般选为开环系统的增益K 。
课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。
而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。
假设系统的对象模型可以表示为11210111()()m m m m n n n nb s b s b s b G s KG s K s a s b s a -+--++++==++++ 系统的闭环特征方程可以写成01()0KG s +=对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。
如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。
若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。
绘制系统的根轨迹rlocus （）MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为:rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。
rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。
rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。
r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。
[r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向量k 。
其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。
K 为根轨迹增益，可设定增益范围。
例3-1:已知系统的开环传递函数32(1)()429s G s K s s s *+=+++，绘制系统的根轨迹的matlab 的调用语句如下:num=[1 1]; %定义分子多项式den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式rlocus (num;den) %绘制系统的根轨迹grid %画网格标度线xlabel(‘Real Axis ’),ylabel(‘Imaginary Axis ’) %给坐标轴加上说明 title(‘Root Locus ’) %给图形加上标题名 则该系统的根轨迹如图3-1（a ）所示。
四章线系统的根轨迹法
pi
)
K
*
m
(s
z
j
)
0
i 1
j 1
n
(s pi ) 0
i 1
s pi
又从
1 K*
n
(s
i 1
m
pi ) (s
j 1
z
j)
0
K*
m
(s z j ) 0
j 1
s zj
在实际系统通常是 n m ，则还有 (n m) 条根轨迹终 止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 (n m)
j 1
3 2.3 1 0
n
(s
pi
)
K
*
m
(s
z
j
)
n
(s
pl
)
i 1
j 1
l 1
sn
n
(
pi
)s n1
(1) n
n
pi
K
*[s m
(
z
j
)s m1
(1) m
n
z
j
]
i 1
i 1
l 1
sn
(
pl
)s
n1
(1) n
n
pl
l 1
nm 2
n
n
pi pl
i 1
l 1
(1)
n
n
pi
K * (1) m
s(s 4)(s 2 2s 2)
（1） p1 0, p2 4 , p3 1 j
p4 1 j, z1 1
（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴
（3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线
与实轴夹角
控制系统的根轨迹分析
实验四 控制系统的根轨迹分析一. 实验目的:1. 学习利用MATLAB 语言绘制控制系统根轨迹的方法。
2. 学习利用根轨迹分析系统的稳定性及动态特性。
二. 实验内容:1. 应用MATLAB 语句画出控制系统的根轨迹。
2. 求出系统稳定时，增益K 的范围。
3. 实验前利用图解法画出系统的根轨迹，算出系统稳定的增益范围，与实测值相比较。
4. 应用SIMULINK 仿真工具，建立闭环系统的实验方块图进行仿真。
观察不同增益下系统的阶跃响应，观察闭环极点全部为实数时响应曲线的形状；有共轭复数时响应曲线的形状。
（实验方法参考实验二）5. 分析系统开环零点和极点对系统稳定性的影响。
三. 实验原理:根轨迹分析法是由系统的开环传递函数的零极点分布情况画出系统闭环根轨迹，从而确定增益K 的稳定范围等参数。
假定某闭环系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2++-+=s s s s s K s H s G 利用MATLAB 的下列语句即可画出该系统的根轨迹。
b=[1 1]； ％确定开环传递函数的分子系数向量a1=[l 0]； ％确定开环传递函数的分母第一项的系数a2=[l -1]； ％确定开环传递函数的分母第二项的系数a3=[l 4 16]； ％确定开环传递函数的分母第三项的系数a=conv(al ，a2)； ％开环传递函数分母第一项和第二项乘积的系数 a=conv(a ，a3)； ％分母第一项、第二项和第三项乘积的系数 rlocus(b,a) ％绘制根轨迹，如图（4-l ）所示。
p=1.5i ； ％ p 为离根轨迹较近的虚轴上的一个点。
[k ，poles]=rlocfind(b ，a ，p) ％求出根轨迹上离p 点很近的一个根及所对应的增益K 和其它三个根。
K=22.5031， poles= -1.5229+2.7454i -1.5229-2.7454i0.0229+1.5108i 0.0229-1.5108i再令p=1.5108i ，可得到下面结果:k=22.6464， poles=-1.5189+2.7382i -1.5189-2.7382i0.0189+1.5197i 0.0189-1.5197i再以此根的虚部为新的根，重复上述步骤，几步后可得到下面的结果： k=23.316， poles=-1.5000+2.7040i -1.5000-2.7040i0.0000+1.5616i 0.0000-1.5616i这就是根轨迹由右半平面穿过虚轴时的增益及四个根。
第四章控制系统的根轨迹法
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
实验四 根轨迹分析与设计
实验四 根轨迹分析与设计姓名： 学号：一、实验题目2.4.1已知单位反馈系统的开环传函为s s G 201)(=，试利用MATLAB 环境，完成根轨迹控制器设计，使得系统满足：阶跃响应最大超调量σ%≤35%，ts ≤1s(Δ=±5%)。
练习 1. 已知一单位反馈系统的开环传函为)8.0(16+s s ，试加入一个串联超前校正控制ps z s k --（其中|z|<|p|），使得闭环系统的ts(Δ=2%)≤4s ，超调量≤40%。
二、实验目的学习在MA TLAB 中绘制根轨迹的方法，掌握用根轨迹法在MATLAB 环境下设计控制器，以及利用rltool 实现控制器设计的方法。
体会零极点的分布对系统阶跃响应指标的影响。
三、实验过程与结果题2.4.1：1、根据题目要求计算出ζ和 的范围：ζ≥0.32，n ω≥9.382、令ζ=0.32，n ω=9.5，在MATLAB 中编程画初始根轨迹，确定主导极点坐标为（-3，±9j ），分析根轨迹与主导极点的差距。
num=[1];den=[1 0 0];k=[0:0.1:50];rlocus(num,den,k);sgrid(0.32,9.5) 结果如图1：图一 初始根轨迹3、设计校正零极点使根轨迹通过主导极点。
num=[1 3];den=[1 15 0 0];k=[0:0.1:300];rlocus(num,den,k);sgrid(0.32,9.5)结果如图2：图2 设计校正零极点后根轨迹图4、调整校正极点坐标，使根轨迹恰好通过主导极点。
用鼠标单击主导极点处根轨迹，确定k值。
num=[1 3];den=[1 9.8 0 0];k=[0:0.1:300];rlocus(num,den,k);sgrid(0.32,9.5）结果如图3：图3 确定校正零极点和k值5、做控制系统阶跃响应核定结果，显示超调量和调整时间。
num=112*[1 3];den=[1 9.8 0 0];[nc,dc]=cloop(num,den,-1);step(nc,dc) 结果如图4：图4 控制系统阶跃响应曲线6、分析：超调量σ%=52.5%，调整时间ts=1.2s，不满足要求，需要重新设计。
自动控制原理-线性系统的根轨迹实验报告
线性系统的根轨迹一、 实验目的1． 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2． 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3． 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4． 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
二、 实验容1． 请绘制下面系统的根轨迹曲线。
)136)(22()(22++++=s s s s s K s G )10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G )11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++=s s s s K s G 同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的围。
2． 在系统设计工具rltool 界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并观察增加极、零点对系统的影响。
三、 实验结果及分析1.（1） )136)(22()(22++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序：num=[1];den=[1 8 27 38 26 0];rlocus(num,den)[r,k]=rlocfind(num,den)gridxlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis') title('Root Locus')运行结果：选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得：selected_point =0.0021 + 0.9627ik =28.7425r =-2.8199 + 2.1667i-2.8199 - 2.1667i-2.3313-0.0145 + 0.9873i结论：根轨迹与虚轴有交点，所以在K 从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。
由根轨迹图和运行结果知，当0<K<28.7425时，系统总是稳定的。
（2） )10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序：num=[1 12]；den=[1 23 242 1220 1000];rlocus(num,den)[k,r]=rlocfind(num,den)gridxlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis')title('Root Locus')运行结果：选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得：selected_point =k =1.0652e+003r=-11.4165 + 2.9641i-11.4165 - 2.9641i-0.0835 + 9.9528i-0.0835 - 9.9528i结论：根轨迹与虚轴有交点，所以在K 从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。
《根轨迹分析法》课件
《根轨迹分析法》课件1. 课件简介根轨迹分析法是一种用于分析和设计反馈控制系统的方法，通过绘制系统的根轨迹来了解系统在不同参数下的稳定性和动态性能。
本课件将介绍根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
2. 课件内容2.1 根轨迹分析法的基本概念2.1.1 根轨迹的定义根轨迹是指在系统参数变化范围内，使闭环系统稳定的闭环极点轨迹。
2.1.2 根轨迹的性质（1）根轨迹是闭环极点在复平面上的轨迹，反映了闭环系统的稳定性。
（2）根轨迹的形状由系统开环传递函数的极点和零点决定。
（3）根轨迹的分布与系统参数有关，通过改变参数可以改变系统的稳定性和动态性能。
2.2 根轨迹分析法的方法2.2.1 绘制根轨迹的基本步骤（1）确定系统开环传递函数。
（2）画出开环传递函数的极点和零点。
（3）根据系统参数的变化，绘制出根轨迹。
（4）分析根轨迹的形状，判断闭环系统的稳定性。
2.2.2 根轨迹的绘制技巧（1）利用软件工具，如MATLAB，自动绘制根轨迹。
（2）手动绘制根轨迹时，注意利用对称性和周期性简化绘制过程。
2.3 根轨迹分析法的应用2.3.1 设计控制器通过分析根轨迹，可以确定控制器参数，使闭环系统具有所需的稳定性和动态性能。
2.3.2 系统优化根轨迹分析法可以帮助我们找到系统参数的最佳组合，从而优化系统的性能。
2.3.3 故障诊断分析根轨迹可以帮助我们发现系统中的故障，为故障诊断提供依据。
3. 课件总结本课件介绍了根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
通过学习本课件，您可以了解根轨迹分析法在控制系统设计和分析中的重要性，并掌握绘制根轨迹的基本方法。
希望这有助于您在实际工作中更好地应用根轨迹分析法。
科学性：1. 内容准确：课件内容基于控制理论的基本原理，准确地介绍了根轨迹分析法的概念、方法和应用。
2. 逻辑清晰：课件从基本概念入手，逐步深入到方法介绍和应用实例，逻辑结构清晰，易于理解。
3. 实例典型：课件中提供了控制系统的实例，帮助学习者更好地理解根轨迹分析法的应用场景。
第四 根轨迹系统
p4=-1+j1
▼
求极点 p4 处的出射角：
本 节 返 回
c
本 章 返 回
180 [(135 26.6 90 ) 45 ]
* Kp 3 2 0 2 3 0
解得：=0， 2
本 节 返 回 本 章 返 回
根轨迹与虚轴的交点坐标为： s j 2
* 临界放大系数为： Kp 6
方法二： 利用劳斯判据计算交点和临界放大系数
由特征方程： F(s)=s3+3s2+2s+K*=0
理论计算结果仿真结果仿真实现321sc1266sc2266158342本章小结1根轨迹的基本概念2根轨迹的绘制法则起点kg0终点kg根轨迹数目及对称性实轴上根轨迹分离点与会合点根轨迹的渐近线根轨迹的出射角和入射角根轨迹与虚轴的交点闭环极点的性质在根轨迹上确定特征根增加闭环零点闭环极点对系统性能的影响增加开环零点开环极点对系统性能的影响
[k=0,1,2,…]
本 章 返 回
⑵ 渐近线的交点
设无限远处有特征根si ，则s平面上所有开环
m 有限零点-zi和极点-pj到 si的矢量长度都相等。可 ( s zi ) 认为对于si来说，所有开环零点和极点都汇集在 K * in1 1 一起，设位置为-,此即为渐近线交点。 (s p j )
*
本 章 返 回
解： 系统特征方程为：
1+Gk(s)=0 s3+3s2+2s+K*=0
太原理工大学 自动控制原理 实验四 控制系统的根轨迹和频域特性分析
本科实验报告课程名称：自动控制原理实验名称：实验四控制系统的根轨迹和频域特性分析实验四 控制系统的根轨迹和频域特性分析一、实验目的1．学会利用MATLAB 绘制系统的根轨迹，并对系统进行分析； 2．学会利用MATLAB 对系统进行频域特性分析。
二、实验设备安装Windows 系统和MATLAB 软件的计算机一台。
三、实验内容1．基于MATLAB 的控制系统根轨迹分析 1）利用MATLAB 绘制系统的根轨迹利用rlocus( )函数可绘制出当根轨迹增益k 由0至+∝变化时，闭环系统的特征根在s 平面变化的轨迹，该函数的调用格式为[r,k]=rlocus(num,den) 或 [r,k]=rlocus(num,den,k)其中，返回值r 为系统的闭环极点，k 为相应的增益。
rlocus( )函数既适用于连续系统，也适用于离散系统。
rlocus(num,den)绘制系统根轨迹时，增益k 是自动选取的，rlocus(num,den, k)可利用指定的增益k 来绘制系统的根轨迹。
在不带输出变量引用函数时，rolcus( )可在当前图形窗口中绘制出系统的根轨迹图。
当带有输出变量引用函数时，可得到根轨迹的位置列向量r 及相应的增益k 列向量，再利用plot(r,‘x’)可绘制出根轨迹。
2）利用MATLAB 获得系统的根轨迹增益 在系统分析中，常常希望确定根轨迹上某一点处的增益值k ，这时可利用MATLAB 中的rlocfind( )函数，在使用此函数前要首先得到系统的根轨迹，然后再执行如下命令[k,poles]=rlocfind(num,den) 或 [k,poles]=rlocfind(num,den,p)其中，num 和den 分别为系统开环传递函数的分子和分母多项式的系数按降幂排列构成的系数向量；poles 为所求系统的闭环极点；k 为相应的根轨迹增益；p 为系统给定的闭环极点。
例3-1 已知某反馈系统的开环传递函数为)2)(1()()(++=s s s ks H s G试绘制该系统根轨迹，并利用根轨迹分析系统稳定的k 值范围。
根轨迹与系统分析
2012/11/16
深圳大学
附1.去掉偶极子时细化图
2012/11/16
深圳大学
附2.matlab程序
subplot(2,1,1) num=[1,0.1]; den1=[1,1,0] den2=[1,2.05,0.1] den=conv(den1,den2) rlocus(num,den) v=[-0.6 0.6 -3 3] axis(v) subplot(2,1,2) num=[1]; den1=[1,1,0] den2=[1,2] den=conv(den1,den2) rlocus(num,den) v=[-0.6 0.6 -3 3] axis(v)
( s)
1 (0.67s 1)(0.01s ^ 2 0.16s 1)
知其有三个极点，S1=-1.5，S2=-8+j6，S3=-8-j6。 很容易看出实数极点S1离虚轴最近，其为主导极点，系统 近似化为一阶系统 1 (s) 0.67 s 1 故系统无超调，调节时间t=3T=2.01s
2012/11/16 深圳大学
2、关于系统性能分析
一个控制系统总是希望它的输出量尽可能地 复现给定理想输出量，要求系统响应过程的快速 性和平稳性要好一点，要想保证这些要求，闭环 系统的零、极点应该怎么分布呢？
2.1、系统的稳定性
要使系统稳定，闭环零极点都必须在s左半 平面上 。再画根轨迹时，我们知道当K趋向于无 穷时，可能部分根轨迹会落在右半平面，对于这 样的问题，我们要确定根轨迹与虚轴相交点的K 值，在这个范围内取值，系统稳定。
对应闭环极点之一s1=-2+j2，求的开环根轨迹增益是 k=2，开环增益k*=2k=4。所以，k*=4时，阻尼比为0.707， 系统有较好的平稳性和快速性。
实验四 线性系统的根轨迹分析
10K 10K
1uF 500K
R
_
C (t) 输出 测量端
_
图 3－2
系统的开环增益为
K＝500KΩ/R，开环传递函数为：
G(S)
S(S
K 1)(0.5S
1)
3．绘制根轨迹 (1) 由开环传递函数分母多项式 S(S+1)(0.5S+1)中最高阶次 n＝3，故根轨迹分支数为 3。 开环有三个极点：p1＝0，p2＝－1，p3＝－2。 (2) 实轴上的根轨迹：
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① 起始于 0、－1、－2，其中－2 终止于无穷远处。 ② 起始于 0 和－1 的两条根轨迹在实轴上相遇后分离，分离点为
d[S(S 1)(0.5S 1)] ds
1.5S2
3S 1
0
S1 S2
0.422 1.578
显然 S2 不在根轨迹上，所以 S1 为系统的分离点，将 S1＝－0.422 代入特征方程 S(S+1)(0.5S+1)＋K 中，得 K＝0.193 (3) 根轨迹与虚轴的交点
二、 实验设备
PC 机一台，TD－ACC 系列教学实验系统一套。
三、实验原理及内容
1．实验对象的结构框图
R(S) + E(S) _
1 T0 S
K1 T 1 S+1
K2 T 2 S+1
C(S)
2．模拟电路构成
r (t) 200K 输入
200K _
200K
图 3－1
500K
2uF
_
500K
500K 2uF
（1）R = 109 KΩ（不稳定发散）
图 5-1 R=109KΩ阶跃响应曲线图 （2）R = 149 KΩ（临界稳定等幅振荡）
(仅供参考)自动控制理论实验报告-根轨迹仿真分析
编号：根轨迹仿真分析实验报告学生姓名专业班级学号日期自动控制理论根轨迹仿真分析实验报告一、实验目的1.学习和掌握根轨迹的原理及绘制方法；2.掌握开环零、极点在不同配置时，闭环根轨迹的变化特点及对系统动态性能的影响；3.掌握当增加开环零、极点时，闭环根轨迹的变化特点及对系统动态性能的影响；4.知道产生零度根轨迹的原因，了解参数根轨迹的绘制方法；5.了解运用计算机仿真绘制根轨迹的方法。
二、实验内容1.观察二极点一零点系统的根轨迹。
（1）指出该根轨迹的起始点与终止点，并说明它们与开环传函零、极点的关系；（2）指出根轨迹的分支数，在图上读出分离点坐标；（3）指出该类型根轨迹图形的特点，并在进一步实验中验证。
2.改变开环零极点位置对根轨迹的影响。
（1）给定一组Z ，p 1，p 2的值，绘出它的根轨迹；（2）取1'1p p =，2'2p p =，分别使Z Z >'，Z Z <'，绘出根轨迹，观察改变开环零点位置对系统性能的影响； （3）取Z Z ='，改变'1p 、'2p 与p 1、p 2的大小关系，绘出根轨迹，观察改变开环极点位置对系统性能的影响。
3.改变零极点个数对根轨迹的影响。
（1）输入参数Z ，观察当增加一个开环零点时根轨迹的变化，零点位置变化对根轨迹的影响，对闭环系统的响应的影响；图2.1图2.2图2.3（2）输入参数P ，观察当增加一个开环极点时根轨迹的变化，极点位置变化对根轨迹的影响，对闭环系统的响应的影响；（3）观察同时引入开环极点和零点时，闭环根轨迹的变化和闭环系统的响应的变化；（4）观察引入重极点或者重零点时系统的根轨迹；（5）观察增加一对开环偶极子时系统根轨迹的变化，以及系统动态响应和稳态特性的变化；（6）观察当引入的开环零极点与原系统零极点对消时根轨迹的变化。
4.互逆系统的根轨迹。
()()()()()()()()()()()()32132323212211+++++=+++++=s s s s s s s H s G s s s s s s s H s G 观察如式（2-1）描述的互逆系统根轨迹的异同。
第4章根轨迹法(4)
减少到0.19（即 K
* 1
1 0.422 0.578 1.578 0.19 2
），
这意味着，对于具有同样的振荡倾向，增加开环极点后使 开环增益值下降。一般来说，增加的开环极点越靠近虚轴 ，其影响越大，使根轨迹向右半平面弯曲就越严重，因而 系统稳定性能的降低便越明显。
从上例可以看出，增加一个开环极点，对系统的根轨 迹有以下影响： （1）改变了根轨迹在实轴上的分布。 （2）改变了根轨迹渐近线的条数、倾角及与实轴的 交点。 （3）改变了根轨迹的分支数。 （4）根轨迹曲线向右偏移，不利于改善系统的稳定 性和动态性能。所增加的极点越靠近虚轴，这种影响就 越大。
由于所求闭环极点的实部（绝对值） 3.15 ， 因而系统的调整时间为
4 ts 1.27s 3s 3.15 4
在单位斜坡输入时， 系统的稳态误差为
2 K1 K 2 2 20 0.215 ess 0.315 0.35 K1 20
由此可知， K1 20，K 2 0.215 , 能使系统达到预定的性能要求。
（4-50）
可绘制系统的根轨迹，如图4-30（b）所示。
由图可见，增加开环极点使根轨迹的复数部分向 右半平面弯曲。
若取
a1 1 a2 2
则渐近线的倾角由原来的 90° 变为 60° 分离点由原来的−0.5向右移至-0.422；
与分离点相对应的开环增益由原来的0.25 （即 K * 0.5* 0.5 0.25 ）
K * ( s 2 2s 4) G(s) s( s 4)( s 6)( s 2 1.4s 1)
试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定的
K *的取值范围。
解：利用前面介绍的根轨迹绘制方 法可以画出根轨迹，如图4-22所示。
实验四基于MATLAB的根轨迹绘制与性能分析
实验四基于MATLAB的根轨迹绘制与性能分析一、实验目的1.了解根轨迹的概念和作用；2.学习使用MATLAB绘制根轨迹；3.通过根轨迹进行系统性能分析。
二、实验原理1.根轨迹的概念根轨迹是指随着系统参数变化，系统极点随参数变化所经过的连续点的轨迹。
根轨迹可以用来表示系统的动态性能，并可以用来分析系统的稳定性、抗干扰能力以及动态响应等。
2.根轨迹的绘制方法根轨迹的绘制方法主要有以下几步：(1)确定系统传递函数的开环极点和零点；(2)根据系统传递函数的特征方程确定根轨迹起始点和抵达无穷远点的分支数量；(3)确定分支的方向；(4)计算根轨迹抵达无穷远点的角度；(5)计算根轨迹与实轴的交点。
三、实验步骤1.准备工作(1)安装MATLAB软件，并确保已安装了Control System Toolbox；(2)准备所需绘制根轨迹的系统传递函数。
2.绘制根轨迹(1)在MATLAB命令窗口中输入以下命令，定义系统传递函数：G = tf([1],[1 2 3]);(2)输入以下命令，绘制系统的根轨迹：rlocus(G);3.性能分析(1)根据根轨迹的形状，可以判断系统的稳定性。
如果根轨迹与实轴相交的次数为奇数，则系统是不稳定的。
(2)根据根轨迹的形状以及相交点的位置，可以判断系统的过渡过程的振荡性和阻尼性。
(3)根据根轨迹抵达无穷远点时的角度，可以判断系统的相对稳定性。
角度接近0或180度时，系统相对稳定。
(4)根据根轨迹抵达实轴的位置，可以判断系统的动态性能。
抵达实轴的位置越远离原点，系统的动态响应越快。
四、实验结果分析通过上述步骤，我们可以得到系统的根轨迹图，并根据根轨迹图进行性能分析。
根据根轨迹的形状、交点位置、角度以及抵达实轴的位置，我们可以判断系统的稳定性、过渡过程的振荡性和阻尼性、相对稳定性以及动态响应速度。
根轨迹分析可以帮助我们设计和优化系统的控制器，从而改善系统的性能。
五、实验总结本实验通过MATLAB绘制根轨迹，并利用根轨迹进行系统性能分析。
控制系统的根轨迹法分析
可得
s2 20s 50 0
解得
s1,2 10 5 2
因此，分离点为-2.93，会合点为-17.07。
分离角和会合角分别 为 ， 90 根轨迹为圆，如下图所示。
（2）当 2 时，阻尼角
2Hale Waihona Puke 45，表示 45角的直线为OB，其方程为
，
代入特征方程整理后得
(5 k) 10k j(2 2 5 k ) 0
解：（1）起点：有三个开环极点，所以起点为
p1 0, p2 2 j2 3, p3 2 j2 3
（2）终点：因没有有限零点，所以三条根轨迹都将趋于无穷远。
（3）实轴上的根轨迹：根轨迹存在的区间为（－∞，0］。
（4
（5
①渐近线的倾角：根据渐近线计算公式得
φα
180 (1 2μ) 2
60 ,60 ,180
例：单位反馈控制系统的开环传递函数为
K
G (s)
K
s(s 4)(s 6)
若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量
σ%≤18%，试确定系统的开环增益。
解：绘出 K由零变化到∞时系统的根轨迹如图所示。当K＝17时，根轨迹在实轴
上有分离点。当K≥240时，闭环极点是不稳定的。根据σ%≤18 %的要求，求得阻尼 角应为β≤60°，在根轨迹图上作β＝60 °的射线，并以此直线和根轨迹的交点A ， B作为满足性能指标要求的闭环系统主导极点，即闭环系统主导极点为
闭环系统的极点为
s 2 1
1, 2
n
n
图中阻尼角β与阻尼比ζ的关 系为
cos1
根据根轨迹我们可以确定系统工作在根轨迹上任一点时所对应的ζ，ωn 值，再根据暂态指标的计算公式
% 12 100%
根轨迹分析法
第四章根轨迹分析法一、主要内容<1）根轨迹法的基本概念<2）绘制180o根轨迹的基本法则<3）绘制0o根轨迹的基本法则<4）参变量系统的根轨迹<5）非最小相位系统的根轨迹<6）控制系统的根轨迹分析二、基本要求<1）理解根轨迹法、根轨迹、根轨迹方程、180o根轨迹和0o根轨迹等概念。
<2）掌握180o根轨迹的绘制方法，理解和熟记根轨迹的绘制法则，会用幅值方程求对应的<或）值。
<3）了解闭环零、极点分布和系统阶跃响应的定性关系，掌握系统根轨迹分析的基本思路。
<4）掌握0o根轨迹、参变量系统根轨迹和非最小相位系统根轨迹绘制的方法。
三、内容提要1、根轨迹法的基本概念<1）根轨迹：当系统开环传递函数中某参数<如根轨迹增益）在某一范围内<如）连续变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹，称为根轨迹。
b5E2RGbCAP<2）根轨迹方程幅值方程：相角方程：。
相角方程是根轨迹的充分必要条件，而幅值方程的作用主要用来确定对应点的增益。
2、绘制180o根轨迹的基本法则法则1：根轨迹的起点和终点根轨迹起始于系统的开环极点<包括重极点），m条根轨迹终止于开环零点，条根轨迹分支终止于无穷远处。
法则2：根轨迹的连续性和分支数根轨迹具有连续性，且对称于实轴。
法则3：根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于，即系统的阶数。
法则4：根轨迹的渐近线有条渐近线，渐近线与实轴正方向的夹角为：，渐近线与实轴的交点为：法则5：实轴上根轨迹的分布实轴上某区域，若其右边的开环零点和开环极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
法则6：根轨迹的分离<会合）点根轨迹的分离<会合）点实质上闭环特征方程的重根，因而可以用求解方程式重根的方法来确定其在复平面上的位置。
p1EanqFDPw 设系统闭环特征方程为：满足以下任何一个方程，且保证为正实数的解，即是根轨迹的分离<会合）点。
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实验四 系统根轨迹法数字仿真分析
4-1、()()()2101++=
s s s K s G g
（a ）根轨迹的起点为：Kg=0时，开环传递函数的极点。
即为：0，-1，-2
根轨迹的终点为：无限零点。
根轨迹的条数为3条。
（b ）根轨迹的分离点为：（-0.423，0），根轨迹增益为0.358。
（c ）临界稳定时根轨迹增益为：12.6g =L K
4-2()()
()()16411202++-+=s s s s s K s G g
使得系统稳定的根轨迹增益取值范围：23.9<k<30.6
4-3 ()()
()2303++=s s s K s G g
（a ）确定系统具有最大超调量M Pmax 时的根轨迹增益。
系统具有最大超调量M Pmax 时为1.17，根轨迹增益为2.01
01.2g =K 17.1max p =，M
（b ）确定系统阶跃响应无超调量时的根轨迹增益取值范围。
系统阶跃响应无超调量时的根轨迹增益取值范围为：
6.93<k<
7.46和0.536<k<0.582
2、完成上述各题要求，分析闭环极点在s 平面上的位置与系统动态性能的关系。
答：闭环极点在s 平面上的位置与系统动态性能的关系有：
如果闭环系统有两个负实极点，那么单位阶跃响应是指数型的。
如果两个实极点相距较远，则暂态过程主要决定于离虚轴近的极点。
如果闭环极点为一对复极点，单位阶跃响应是衰减振荡型的，它由两个特征参数决定，即阻尼比和自然振荡角频率。
如果θ不变，则随着ωn 的增加，极点将沿矢量方向延伸ξωn 是表征系统指数衰减的系数，它决定系统的调节时间。
如果闭环系统除一对复极点外还有一个零点，则将增大超调量。
如果大于5倍左右，则可以不计零点的影响。
闭环系统中一对相距很近的实极点和零点称为偶子，偶子对系统暂态响应很小，可以忽略不计。