高一数学正弦定理余弦定理习题及答案

高一数学正弦定理余弦定理习题及答案

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

正 余 弦 定 理

1．在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的 （ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02C x x A B -⋅+

=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是 （ ）

（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形.

3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .

4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠=

，则a= 。

5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ．

6、在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2

74sin cos 222

B C A +-= （1）求A ∠的度数 （2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值

7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.

8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c .

A

B 323

π

1、解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ．

2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222

C C A B -=⋅⋅=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+-

cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，所以ABC ∆一定是等腰三角形选C

3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.

【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C

【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得

1sin sin 60A =得1sin 2

A =，由a b <知60A

B <=，所以30A =，180

C A B =--

90=，所以sin sin 90 1.C ==

4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。

【思路点拨】对C ∠利用余弦定理，通过解方程可解出a 。

【规范解答】由余弦定理得，222121cos

33

a a π+-⨯⨯⨯=，即220a a +-=，解得1a =或2-（舍）。【答案】1

【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。

5、【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。

【思路点拨】先根据sin cos B B +=B ，再利用正弦定理求出sin A ，最后求出A.

【规范解答】由sin cos B B +=12sin cos 2B B +=，即sin 2B 1=，因为

0

得：2=sin A sin 45，解得1sin A 2

=，又

6π

6．【答案】由题意得 []2721cos()2cos 12B C A -+-+= ()2721cos 2cos 12A θ+-+= ∴1cos 2

A = 03

A π<<

2221

cos 22

b c a A bc +-==()223b c a bc +-=将3a b c =+=代入得2,bc =由3b c +=及2bc =，得1,2b c ==或2,1b c ==. 7、 【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.

【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式

2RsinAcosB=2RsinBcosA

sinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0

A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形

解法2:由余弦定理: 2

2222222bc a c b b ac b c a a -+⋅=-+⋅ 22b a = ∴ b a =

即△ABC 为等腰三角形. 8、 【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角

【答案】解法1：由正弦定理得：232

45sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b

当A=60︒时C=75︒ 2

2645sin 75sin 2sin sin +=== B C b c 当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===

B C b c 解法2：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+=将已知条件代入，整理：0162=+-x x 解之：226±=x 当226+=c 时2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 从而A=60︒ ，C=75︒ 当2

26-=c 时同理可求得：A=120︒ C=15︒.