D101对弧长和曲线积分21839
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对弧长的曲线积分.doc
对弧长的曲线积分一、概念的引进假设xoy 面内有一段曲线弧L 具有质量,在L 上任一点(,)x y 处的线密度为ρ(,)x y ,且ρ(,)x y 在L 上连续,A 与B 分别是弧L 的端点,现计算弧L 的质量m 。
在L 上任意地插入n +1个分点A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,将L 分划成n 个小弧段。
对于第 i 个小弧段弧M i M i -1,由于线密度函数ρ(,)x y 在L 上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于ρξηξη(,)(,),i i ii i M i M i s i M i M i s ∆∆∀--弧表示弧的长度11于是,整个曲线弧L 的质量近似值为m s i i ii n≈⋅=∑ρξη(,)∆1用λ表示这n 个小弧段长度的最大者, 即λ=≤≤max {}1i ni s ∆为了得到质量m 的精确值,只需对上述和式取极限,令λ→0,即m s i i ii n=⋅→=∑lim (,)λρξη01∆ (1)撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。
【定义】设L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,函数f x y (,)在L 上有界,在L 内任意地插入n +1点,A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,它把L 分成n 个小弧段,设第i 个小段弧M i M i -1的长度为∆s i ,(,)ξηi i 为弧M i M i -1上任取的一点,记λ=≤≤max {}1i ni s ∆作和式 f s i i ii n(,)ξη⋅=∑∆1如果极限 lim (,)λξη→=⋅∑01f s i i ii n∆ 存在,这个极限值就叫做函数f x y (,)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分,记作f x y dsL(,)⎰。
亦即 f x y ds f s L i i i i n(,)lim (,)⎰∑=⋅→=λξη01∆其中:f x y (,)叫做被积函数, L 叫做积分弧段。
高等数学下册10.1 对弧长的曲线积分
L
(2)若曲线 L 的方程为 x (y)(cyd) 则 f (x, y)ds ？ L (3)若曲线的参数方程为x(t) y(t) z(t)(t)
则 f (x, y, z)ds ？ 提示
(1)L的参数方程为xx y(x)(axb) (2)L的参数方程为x(y) yy(cyd)
f (i ,i )si
如果当max{s1 s2 sn}0时 这和的极限总存在 则 称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 记作
i 1
n
L f (x, y)ds
即
lim f (i ,i )si L f (x, y)ds 0 i 1
§10.1 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在 xOy 面内的一段曲线弧 L 上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y) •把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长) •任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si
L
f (x, y)ds f [x, (x)] 1 2 (x)dx
a d
b
L
f (x, y)ds f [ ( y), y] 2 ( y) 1dy
c
(3) f (x, y, z)ds f [ (t), (t), (t)] 2 (t) 2 (t) 2 (t)dt
(x y z )ds (a2 k 2t 2) a2 k 2 dt
2 2 2
0
2
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 ) 3
(2)若曲线 L 的方程为 x (y)(cyd) 则 f (x, y)ds ？ L (3)若曲线的参数方程为x(t) y(t) z(t)(t)
则 f (x, y, z)ds ？ 提示
(1)L的参数方程为xx y(x)(axb) (2)L的参数方程为x(y) yy(cyd)
f (i ,i )si
如果当max{s1 s2 sn}0时 这和的极限总存在 则 称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 记作
i 1
n
L f (x, y)ds
即
lim f (i ,i )si L f (x, y)ds 0 i 1
§10.1 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在 xOy 面内的一段曲线弧 L 上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y) •把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长) •任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si
L
f (x, y)ds f [x, (x)] 1 2 (x)dx
a d
b
L
f (x, y)ds f [ ( y), y] 2 ( y) 1dy
c
(3) f (x, y, z)ds f [ (t), (t), (t)] 2 (t) 2 (t) 2 (t)dt
(x y z )ds (a2 k 2t 2) a2 k 2 dt
2 2 2
0
2
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 ) 3
高等数学第一节 对弧长曲线积分
高等数学第一节 对弧长曲线积分
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长曲线积分的概念 二、对弧长曲线积分的计算法
一、对弧长曲线积分的概念
引例 平面曲线的质量
若平面曲线 的线密度是常数 0，曲线长为 L， 则平面曲线的质量Ｍ = 0L．
若平面曲线 的线密度不是常数， 而是曲线上 点的位置的函数，设密度函数为 = f (x, y). 如何计算
f (x, y) —— 被积函数， f (x, y)dl —— 被积表达式，
dl —— 弧长元素， —— 积分路径.
如果 是封闭曲线，则曲线积分记为 f(x,y)dl. 设 由 1 与 2 组成，则
f(x, y)dl
f(x,y)d l f(x,y)d l.
1
2
由定义可知，对弧长的曲线积分与积分路径 的
f( x ,y ) d l a f [( t)( ,t)] 2 ( t) 2 ( t) d t.①
注意 由于dl > 0，故应保证 dt > 0， 因此公式 ① 右端对变量 t 的定积分中， 下限不超过上限.
上式可见，弧长的曲线积分化为定积分计算要 点是：
(1)被积函数定义在曲线 (或曲线 L)上，即 点 (x,y) 在曲线 上变化；
(2)弧长元素 dl (dx)2(dy)2;
(3)定积分的下限不超过上限.
例 1 试计算 (x y)dl, 其中 为 x 轴上直线 L
段 AB 与上半圆弧 BCA 组成的封闭曲线.
解 由曲线积分的性质，有
(xy)dl (x y )d l (x y )d l.
L
AB
BCA
y
由于直线段 AB 的参数式方程为
C
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长曲线积分的概念 二、对弧长曲线积分的计算法
一、对弧长曲线积分的概念
引例 平面曲线的质量
若平面曲线 的线密度是常数 0，曲线长为 L， 则平面曲线的质量Ｍ = 0L．
若平面曲线 的线密度不是常数， 而是曲线上 点的位置的函数，设密度函数为 = f (x, y). 如何计算
f (x, y) —— 被积函数， f (x, y)dl —— 被积表达式，
dl —— 弧长元素， —— 积分路径.
如果 是封闭曲线，则曲线积分记为 f(x,y)dl. 设 由 1 与 2 组成，则
f(x, y)dl
f(x,y)d l f(x,y)d l.
1
2
由定义可知，对弧长的曲线积分与积分路径 的
f( x ,y ) d l a f [( t)( ,t)] 2 ( t) 2 ( t) d t.①
注意 由于dl > 0，故应保证 dt > 0， 因此公式 ① 右端对变量 t 的定积分中， 下限不超过上限.
上式可见，弧长的曲线积分化为定积分计算要 点是：
(1)被积函数定义在曲线 (或曲线 L)上，即 点 (x,y) 在曲线 上变化；
(2)弧长元素 dl (dx)2(dy)2;
(3)定积分的下限不超过上限.
例 1 试计算 (x y)dl, 其中 为 x 轴上直线 L
段 AB 与上半圆弧 BCA 组成的封闭曲线.
解 由曲线积分的性质，有
(xy)dl (x y )d l (x y )d l.
L
AB
BCA
y
由于直线段 AB 的参数式方程为
C
高等数学(第五版)10-1对弧长的曲线积分
1 ( x ) 2 dx 1 xdx,
a
b
1 2
所求弧长为
s 1ds L
b
a
2 1 x dx [(1 b) (1 a ) ]. 3
3 2 3 2
例2.
y
解： 先写出积分弧段的方程,
L : y 9 x 2 (0 x 3)
3
L : x2 y2 9
L
f ( x , y , z )ds
2 2 2
f [ x(t ), y(t ), z( t )] x (t ) y (t ) z (t )dt
2 3 例 1 计算曲线 y x 2 上相应于 x 从a 到 b 的一 3
段弧的长度.
ds 1 y 2 dx 解: x
OA : y 0, 0 x 1, ds dx
y
L
B(1,1)
OA
( x y )ds 0
1
1 xdx 2
o
AB : x 1, 0 y 1, ds dy
3 AB ( x y )ds 0 (1 y)dy 2
1
A(1,0)
x
BO : y x, 0 x 1, ds 2dx
第十章曲线积分与曲面积分
一元积分: 一元函数在区间上的积分 二重积分: 二元函数在平面区域上的积分 三重积分: 三元函数在空间区域上的积分 本章： 曲线段 —— 曲线积分
积分范围：
曲面块 —— 曲面积分
第十章
第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
一、问题的提出
2
a
b
1 2
所求弧长为
s 1ds L
b
a
2 1 x dx [(1 b) (1 a ) ]. 3
3 2 3 2
例2.
y
解： 先写出积分弧段的方程,
L : y 9 x 2 (0 x 3)
3
L : x2 y2 9
L
f ( x , y , z )ds
2 2 2
f [ x(t ), y(t ), z( t )] x (t ) y (t ) z (t )dt
2 3 例 1 计算曲线 y x 2 上相应于 x 从a 到 b 的一 3
段弧的长度.
ds 1 y 2 dx 解: x
OA : y 0, 0 x 1, ds dx
y
L
B(1,1)
OA
( x y )ds 0
1
1 xdx 2
o
AB : x 1, 0 y 1, ds dy
3 AB ( x y )ds 0 (1 y)dy 2
1
A(1,0)
x
BO : y x, 0 x 1, ds 2dx
第十章曲线积分与曲面积分
一元积分: 一元函数在区间上的积分 二重积分: 二元函数在平面区域上的积分 三重积分: 三元函数在空间区域上的积分 本章： 曲线段 —— 曲线积分
积分范围：
曲面块 —— 曲面积分
第十章
第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
一、问题的提出
2
数学竞赛对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分
⎧ x = x(t ), ⎨ ⎩ y = y (t ),
t ∈ [α , β ] ，
L
x ′(t )、y ′(t)在 [α , β ] 上连续且 ( x ′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2 ≠ 0 ，f(x,y)在 L 上连续，则 ∫ f ( x, y )ds 存在且有
∫
L
f ( x, y )ds = ∫ f ( x(t ), y (t )) x′ (t ) + y′ (t ) dt .
对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分 一. 内容提要 一）对弧长的曲线积分 1.定义:设 L 为 xoy 平面上的光滑曲线，f(x,y)为定义在 L 上的有界函数，将曲线 L 任意分成 n 段
M 0 M 1 , M 1M 2 ,
M n −1M n .每段弧长记为 Δsi , (i = 1, 2, f (ξi ,ηi )Δsi (i = 1, 2, n)
L1 L2
其中 L = L1 ∪ L2 , L1 ∩ L2 = φ （或 L1与L2 最多边界点相交）. 3.计算方法. 设平面有向曲线 AB 的方程为： ⎨
⎧ x = x(t ) ⎩ y = y (t ).
t : α → β 表示曲线的定向
2 2
起点为 A( x(α ), y (α )), 终点为 B ( x( β ), y ( β )) ， x ′(t )、y ′(t ) 连续且 x ′ (t ) + y ′ (t ) ≠ 0, P(x,y)与 Q(x,y) 在 AB 上连续,则
∂Q ∂P ∂Q = 得: = 2 x, 所以 Q = x 2 + ϕ ( y ) ∂x ∂x ∂y
∫ ∫
即t +
2
( t ,1)
高等数学对弧长和曲线积分
B
Mk (ξk,ηk ) ∆s k Mk−1
∑
k= 1
机动
n
A
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结束
2.定义 . 设 L 是平面上一条有限长的光滑曲线, 义在 L上的一个有界函数, 若对 L的任意分割 和对 的 (ξk,ηk ) 局部的任意取点 任意取点, 局部的任意取点 下列“乘积和式极限”
λ→ k= 0 1
lim ∑ f (ξk,ηk )∆sk
平 x 交 . +z2 = 9 与 面 +z =1的 线 2 1 (x − 1)2 + 1 y2 =1 2 2 4 解: L: , 化为参数方程 x + z =1 x = 2cosθ + 1 2 ( 0 ≤θ ≤ 2π ) L: y = 2sinθ z = 1 − 2cosθ 2 则
∫
机动
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结束
例1. 计算
其中
①L是直线 y = x 上点 o ( 0,0 ) , A (1,1) 之间的一段 ②L是折线OBA，其中 o ( 0,0 ) , B (1,0 ) , A (1,1) ︵ ③L是上半圆周AB : x 2 + y 2 = R 2 ︵ 解: ① Q OA : y = x ( 0 ≤ x ≤ 1) , y A (1,1)
L
0
bt a 2 + b 2 dt = 2π 2 µb a 2 + b 2
2π 2 a 0
(
)
a 2 + b 2 dt = 2πµ a 2 a 2 + b 2
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内容小结
1. 定义
∫L f (x, y)ds
高等数学-第七版-课件-11-1 对弧长的曲线积分
四 、对弧长的曲线积分的应用
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念 二 、对弧长的曲线积分的性质
三 、对弧长的曲线积分的计算
四 、对弧长的曲线积分的应用
曲线弧的质心
x
L
x ( x , y )ds
L
(x ,y )ds
y
L
y ( x , y )ds
L
(x ,y )ds
(3) 在上述公式中,下限α一定小于上限β. (4) 口诀:变量参数化、一小二起下.
L
f ( x, y )ds f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
特例 (1)
y ( x ) ( x0 x X ) L：
对弧长的曲线积分
一、 对弧长的曲线积分的概念
二 、对弧长的曲线积分的性质
三 、对弧长的曲线积分的计算 四 、对弧长的曲线积分的应用
线性性质
f( x, y) g( x, y) ds f ( x, y)ds g( x, y)ds. L L L
可加性
则曲线积分 L f ( x , y )ds存在, 且
L
f ( x, y )ds f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
注
(1) 对弧长的曲线积分的计算归结为计算一个定积分!
(2) 化为定积分中的三个变化 L f(x,y) ds [α,β] f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt
三 变 、 一 注 意
[α,β] 积分弧段 L 被积函数 f ( x , y ) f ( ( t ), ( t )) 弧长元素 ds 2 ( t ) 2 ( t )dt 一点注意 下限一定小于上限
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念 二 、对弧长的曲线积分的性质
三 、对弧长的曲线积分的计算
四 、对弧长的曲线积分的应用
曲线弧的质心
x
L
x ( x , y )ds
L
(x ,y )ds
y
L
y ( x , y )ds
L
(x ,y )ds
(3) 在上述公式中,下限α一定小于上限β. (4) 口诀:变量参数化、一小二起下.
L
f ( x, y )ds f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
特例 (1)
y ( x ) ( x0 x X ) L：
对弧长的曲线积分
一、 对弧长的曲线积分的概念
二 、对弧长的曲线积分的性质
三 、对弧长的曲线积分的计算 四 、对弧长的曲线积分的应用
线性性质
f( x, y) g( x, y) ds f ( x, y)ds g( x, y)ds. L L L
可加性
则曲线积分 L f ( x , y )ds存在, 且
L
f ( x, y )ds f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
注
(1) 对弧长的曲线积分的计算归结为计算一个定积分!
(2) 化为定积分中的三个变化 L f(x,y) ds [α,β] f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt
三 变 、 一 注 意
[α,β] 积分弧段 L 被积函数 f ( x , y ) f ( ( t ), ( t )) 弧长元素 ds 2 ( t ) 2 ( t )dt 一点注意 下限一定小于上限
对弧长的曲线积分
一、问题的提出
实例: 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 M = ρ ⋅ s . 分割 M1 , M 2 ,L, M n−1 → ∆si ,
n
y
B
L Mn−1
(ξi ,ηi ) M i M2 Mi−1 M1
A
o
x
取 (ξ i ,η i ) ∈ ∆si , ∆M i ≈ ρ (ξ i ,η i ) ⋅ ∆si .
∫
Γ
f ( x, y, z)ds
β α
= ∫ f [ϕ(t ),ψ (t ),ω(t )] ϕ′2(t ) +ψ′2(t ) + ω′2(t )dt (α < β )
x = a cos t , 例1 求 I = ∫ xyds, L : 椭圆 (第Ι象限 ). L y = b sin t ,
解 由对称性, 知 由对称性
∫ x ds = ∫
2 Γ
Γ
y ds = ∫ z ds .
2 2 Γ
1 故 I = ∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )ds 3 Γ
a2 2 πa 3 = ∫ ds = . ( 2πa = ∫ ds, 球面大圆周长 ) Γ 3 Γ 3
六、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
( 2) 当 f ( x , y ) ≡ 1时, L弧长 = ∫Lds ;
( 3) 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量 ,
I x = ∫ y ρ( x , y )ds , I y = ∫ x ρ( x , y )ds .
2 2 L L
(4) 曲线弧的质心坐标
∫ xρ ( x , y )ds , x= ∫ ρ ( x , y )ds
实例: 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 M = ρ ⋅ s . 分割 M1 , M 2 ,L, M n−1 → ∆si ,
n
y
B
L Mn−1
(ξi ,ηi ) M i M2 Mi−1 M1
A
o
x
取 (ξ i ,η i ) ∈ ∆si , ∆M i ≈ ρ (ξ i ,η i ) ⋅ ∆si .
∫
Γ
f ( x, y, z)ds
β α
= ∫ f [ϕ(t ),ψ (t ),ω(t )] ϕ′2(t ) +ψ′2(t ) + ω′2(t )dt (α < β )
x = a cos t , 例1 求 I = ∫ xyds, L : 椭圆 (第Ι象限 ). L y = b sin t ,
解 由对称性, 知 由对称性
∫ x ds = ∫
2 Γ
Γ
y ds = ∫ z ds .
2 2 Γ
1 故 I = ∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )ds 3 Γ
a2 2 πa 3 = ∫ ds = . ( 2πa = ∫ ds, 球面大圆周长 ) Γ 3 Γ 3
六、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
( 2) 当 f ( x , y ) ≡ 1时, L弧长 = ∫Lds ;
( 3) 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量 ,
I x = ∫ y ρ( x , y )ds , I y = ∫ x ρ( x , y )ds .
2 2 L L
(4) 曲线弧的质心坐标
∫ xρ ( x , y )ds , x= ∫ ρ ( x , y )ds
对弧长曲线积分课件
对弧长的曲线积分的结果是一个标量， 与积分路径无关，只与起点和终点有 关。
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算 。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组 合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分 等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分 的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲 线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状 和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一 点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线 的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义 。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再 相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算 。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组 合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分 等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分 的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲 线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状 和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一 点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线 的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义 。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再 相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。
第一节对弧长的曲线积分
计算曲线积分？
例2 计算L 的一段弧．
y d s, 其中L是抛物线 y x2 上从点O(0,0)到点B(1,1)
解 曲线的方程为yx2 (0x1)，因此
L
y ds
1
0 1
x 2 1 ( x 2 ) 2 dx
2
1 x 1 4 x dx (5 5 1) ． 0 12 y
A f ( x, y )ds
C
z
z f ( x, y)
y
C
si
x
５．对弧长的曲线积分的性质：
(1)、 L [ f ( x, y ) g ( x, y )]ds L f ( x, y )ds L g ( x, y )ds ； (2)、 L kf ( x, y )ds k L f ( x, y )ds (k 为常数)； (3)、 L f ( x, y )ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds (L=L1L2)．
[(a cost )
2
(x 2 y 2 z 2 )ds
2
0
(a sin t ) 2 (kt) 2 ] (a sin t ) 2 (a cost ) 2 k 2 dt
2 2
(a k t ) a k dt
2 2 2 0
2
z k
2 a 2 k 2 (3a 2 4 2 k 2 ) ． 3
作乘积f(x i, h i) s i，并作和
f (x ,h )s ，
i 1 i i i
n
若当各小弧段的长度的最大值l0时，这和的极限总存在，则称
此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线
四节对弧长曲线积分
第四节 对弧长的曲线积分
（第十章 第一节） 一、弧微分 二、对弧长的曲线积分的计算
G 表示的几种几何形体以及其上的积分：
闭区间 [a,b]
D (平面有界 闭区域)
二重积分
(空间有界
闭区域)
三重积分
L （平面有限 对弧长的曲线积分 曲线段）
(空间有限
曲线段)
（有限曲 对面积的曲面积分 面片）
2
a3
(sin2
t)
2
a3 .
20 2
例2 计算 I L x y ds, 其中 L
是以 O(0,0), A1,0 , B1,1 为顶点的
三角形边界.
解 L是分段光滑弧段, y y x
B(1,1)
L OA AB BA.
L
OA
AB
小结
对弧长的曲线积分的计算----化为定积分
L f ( x, y)ds
1.把积分路径L代入被积函数； 2.根据积分路径L的不同的表示形式， 求出弧微分. 3. 定出定积分的上下限，下限小于上限.
(1) 曲线弧为参数方程的计算
L : x (t), y (t) ( t ).
2
讨论题
已知一柱面的准线（平面曲线）和高， 可以利用积分求出它的面积吗？
由此给出对弧长的曲线积分的几何意义. 答：柱面的侧面积
L f ( x, y)ds
（y=y(x)为底边，z=f (x,y)为高的面积）
提示：由定积分的几何意义推广.
平面上对弧长的曲线积分几何意义：
L f ( x, y)ds 表示柱面y y( x)介于
( x2 y2 )ds a2 2 a 2 a3 . L a2
（第十章 第一节） 一、弧微分 二、对弧长的曲线积分的计算
G 表示的几种几何形体以及其上的积分：
闭区间 [a,b]
D (平面有界 闭区域)
二重积分
(空间有界
闭区域)
三重积分
L （平面有限 对弧长的曲线积分 曲线段）
(空间有限
曲线段)
（有限曲 对面积的曲面积分 面片）
2
a3
(sin2
t)
2
a3 .
20 2
例2 计算 I L x y ds, 其中 L
是以 O(0,0), A1,0 , B1,1 为顶点的
三角形边界.
解 L是分段光滑弧段, y y x
B(1,1)
L OA AB BA.
L
OA
AB
小结
对弧长的曲线积分的计算----化为定积分
L f ( x, y)ds
1.把积分路径L代入被积函数； 2.根据积分路径L的不同的表示形式， 求出弧微分. 3. 定出定积分的上下限，下限小于上限.
(1) 曲线弧为参数方程的计算
L : x (t), y (t) ( t ).
2
讨论题
已知一柱面的准线（平面曲线）和高， 可以利用积分求出它的面积吗？
由此给出对弧长的曲线积分的几何意义. 答：柱面的侧面积
L f ( x, y)ds
（y=y(x)为底边，z=f (x,y)为高的面积）
提示：由定积分的几何意义推广.
平面上对弧长的曲线积分几何意义：
L f ( x, y)ds 表示柱面y y( x)介于
( x2 y2 )ds a2 2 a 2 a3 . L a2
§10.1对弧长的曲线积分
由函数f及, 的性质可知, 上式右端的和式极限 存在, 因此有 2 2 f ( x , y ) ds f [ ( t ), ( t )] ( t ) ( t ) d t L ( < )
x (t ) 推广: 若 : y ( t ) ( t ), 则 z (t ) f ( x , y , z ) ds 2 2 2 f [ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) ( t ) ( t ) dt . 对弧长的曲线积分的计算三原则:
注意: 转换后定积分的下限一定要小于上限( <). 特殊情形: (1) 若L: y=(x), a x b, b 2 f ( x , y ) ds f [ x , ( x )] 1 ( x ) dx . L a
(2) 若L: x= (y), c y d, d 2 f ( x , y ) ds f [ ( y ), y ] 1 ( y ) dy . L c
2
(2) 当 f(x, –y) = f(x, y) 时, f ( x , y ) ds 2 f ( x , y ) ds . L L 其中L2是L的关于x 轴对称的部分弧段: L2 = { (x, y) | (x, y)L, y 0 }.
③ 若L关于原点对称: f ( x , y ) ds 0 ; (1) 当 f(–x, –y)= – f(x, y)时, L
f ( x , y ) ds g ( x , y ) ds . L L f ( x , y ) ds | | f ( x , y ) | ds . 特别地, 有 | L L
对弧长的曲线积分公式极坐标
对弧长的曲线积分公式极坐标在我们学习数学的旅程中，有一个概念叫对弧长的曲线积分公式极坐标。
这玩意儿，听起来是不是有点让人头大？别慌，让我来给您好好说道说道。
先来说说啥是曲线积分。
想象一下，有一条弯弯曲曲的线，就像公园里那种曲折的小路。
我们要沿着这条小路做一些计算，这就是曲线积分啦。
而极坐标呢，就像是给我们换了一副特别的眼镜来看世界。
咱们平常熟悉的坐标是直角坐标，就是那个横横竖竖的x 轴、y 轴。
极坐标可不一样，它用角度和距离来确定一个点的位置。
比如说，您告诉别人“我在离原点 3 米远，角度是 45 度的地方”，这就是极坐标的表达方式。
那把曲线积分和极坐标放在一块儿，就有了对弧长的曲线积分公式极坐标。
这个公式看起来挺复杂，但其实就是帮助我们在极坐标下计算沿着曲线的一些量。
我记得有一次给学生讲这个知识点的时候，有个小家伙皱着眉头问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“同学们，想象一下，咱们要给一个圆形的花坛围上一圈彩灯，那得知道需要多长的彩灯线吧？这时候这个公式就能派上用场啦。
”为了让大家更好地理解，我在黑板上画了一个大大的极坐标图，标上了角度和距离。
然后一步一步地推导公式，边写边解释每个符号的含义。
那认真的劲儿，就像是在雕琢一件精美的艺术品。
同学们也跟着我的节奏，眼睛一眨不眨地盯着黑板，时不时还点点头，好像突然明白了什么。
在推导的过程中，有个平时挺调皮的学生突然喊了一句：“老师，我好像懂了！”那一瞬间，我心里别提多高兴了，就觉得所有的辛苦都值了。
当我们把这个公式弄明白之后，再去做那些相关的题目，就会发现其实也没那么难。
比如说，计算一个极坐标下的曲线长度，只要把相应的参数代入公式，认真算一算，答案就出来啦。
总之，对弧长的曲线积分公式极坐标虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去学，多做几道题，多琢磨琢磨，就能掌握它的奥秘。
就像我们在生活中面对困难一样，只要不退缩，总能找到解决的办法。
希望大家在学习这个知识点的时候，都能充满信心，加油！。
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3
3
2 a3
dx 可能为负.
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3. 性质
(1) f (x, y, z) g(x, y, z) ds f (x, y, z) ds g(x, y, z) ds
（k 为常数)
(3) f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds
)
r 2 ( ) r2 ( ) d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
: x (t), y (t), z (t) ( t )
则 f (x, y, z)ds
Hale Waihona Puke f ((t) , (t),(t) )
2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
2020/8/18
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第十章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分曲线积分 曲面积分
积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域 曲面域
曲线积分 曲面积分
对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
第一节
第十章
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
A
k 1
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2.定义
设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, 若通过对 的任意分割 和对
局部的任意取点, 下列“乘积和式极限” (k ,k , k )
n
记作
lim
0
k 1
f (k ,k , k )sk
f (x, y, z) ds
L
证: 根据定义
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n
lim
0 k 1
f
(k
,k
)sk
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设各分点对应参数为
点 (k ,k )对应参数为
sk
tk tk 1
2 (t ) 2 (t ) d t
2 ( k ) 2 ( k ) tk ,
则
n
lim
0
k
f
1
[
(
k
)
,
(
例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L : y x2 ( 0 x 1)
1
0 x
1
x
1 4x2 dx
0
1 12
(1
4x
2
)
3 2
1 0
1 (5 5 1) 12
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y B(1,1) y x2
L
o
1x
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1
2
( 由
组成)
( l 为曲线弧 的长度)
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二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理:
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
且
f (x, y) ds f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量
B
假设曲线形细长构件在空间所占
弧段为AB , 其线密度为 为计算此构件的质量, 采用
(k ,k , k )
Mk Mskk1
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
n
可得 M
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分.
Mk Mskk1
称为被积函数， 称为积分弧段 .
曲线形构件的质量 M (x, y, z) ds
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如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 则定义对弧长的曲线积
分为
k
)
]
注意 2 (t) 2 (t ) 连续
n
2020/8/18
lim
0
k
1
f
[
(
k
), ( k )
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]
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因此
说明:
(1)sk 0, tk 0,因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x)2 (d y)2
y
2 (t ) 2 (t ) d t
例2. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对
称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).
解: 建立坐标系如图, 则
y
I y2 ds L
L
:
xy
R cos R sin
o ( )
L
Rx
R2 sin2 (R sin )2 (R cos )2 d
R3 sin2
d
2R3
n
L
f
(x,
y) ds
lim
0
k 1
f
(k
,k
)sk
如果 L 是闭曲线 , 则记为 L f (x, y) ds.
思考:
(1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 L d s 表示什么?
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中
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2
3
a2 k 2 (3a2 4 2k 2 )
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例5. 计算
其中为球面
被平面
所截的圆周.
解: 由对称性可知 x2 ds y2 ds z2 ds
x2 ds 1 (x2 y2 z2 ) ds
3
1 a2 ds 1 a22 a
2
sin 2
4
0
R3( sin cos )
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例3. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
解: 在极坐标系下
y
它在第一象限部分为
L1 : r a cos 2 (0 4 )
o
x
利用对称性 , 得
4 4 r cos
r 2 ( ) r2 ( ) d
0
4 4 a2 cos d 0
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例4. 计算曲线积分 线
解: (x2 y2 z2 ) ds
其中为螺旋 的一段弧.
a2 k 2 2 [a2 k 2t 2]d t 0
因此上述计算公式相当于“换元法”. o
ds dy dx
xx
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如果曲线 L 的方程为
则有
b
f (x, (x) )
a
1 2(x) dx
如果方程为极坐标形式: L : r r( ) ( ),则
f (r( ) cos , r( )sin