高中数学建模之一

高中数学建模之一 以 函 数 为 模 型 的 应 用 题
南平市高级中学 林奕生
函数主要研究两个变量间的变化规律，它在现实生活中有着非常广泛的应用。

以函数为模型的应用题是中学数学中最重要的内容之一，也是高考考查的热点之一。

而从应用题中抽象出问题的数学特征，找出函数关系，解决实际问题也是中学数学教学的重要任务之一。

问题世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决. 例1：
某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为α ,tan α=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC 最大（不计此人的身高） （2005年天津卷，第20题） 解：如图所示，建立平面直角坐标系， 则)0,200(A ，)220,0(B ，)300,0(C ． 直线l 的方程为αtan )200(-=x y ，即2
200
-=x y ． 设点P 的坐标为),(y x ，则)2
200
,(-x x P （200>x ） 由经过两点的直线的斜率公式
x x x x k PC 28003002200-=--=，x
x x x k PB 2640220
2200
-=
--=． 由直线PC 到直线PB 的角的公式得
640160288642640280012160
1tan 2
⨯+-=-⋅
-+=+-=
x x x x
x x x x k k k k BPC PC
PB PC PB
288
64016064
-⨯+=
x
x （200>x ）
要使BPC tan 达到最大，只须288640
160-⨯+x
x 达到最小． 由均值不等式2886401602288640160-⨯≥-⨯+
x x ．当且仅当x
x 640
160⨯=
时上式取等号．故当320=x 时BPC tan 最大．这时，点P 的纵坐标y 为602
200
320=-=y ．
由此实际问题知，2
0π
<
∠<BPC ，所以BPC tan 最大时，BPC ∠最大．故当此人距水平
地面60米高时，观看铁塔的视角BPC ∠最大．
评注:
根据实际情况，把实际问题解析几何化，建立适当的坐标系，选用适当公式列出函数关系，利用代数方法解决问题，考查了学生解决实际问题的能力。

在函数的定义域、数列的范围，不等式的成立条件等细节上构造陷阱等，是出题者的意图。

解题时应特别注意，防止落入命题者设置的陷阱。

例．2随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员a 2人（140<a 2<420，且a 为偶数），每人每年可创利b 万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员．．．1人，则留岗职员每人每年．．．．多创利b 01.0万元，但公司需付下岗职员每人每年b 4.0万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的4
3
，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
解：设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则 bx bx b x a y 4.0)01.0)(2(-+-= =ab x a x b
2])70(2[100
2+--- 依题意 x a -2≥
a 243⋅， ∴0<x ≤2a
. 又140<a 2<420， 70<a <210. (1)当0<70-a ≤2a
，即70<a ≤140时，70-=a x ， y 取到最大值；
(2)当70-a >2a ，即140<a <210时，2
a
x = ， y 取到最大值；
综上所述，当70<a ≤140时，应裁员70-a 人；当140<a <210时，应裁员2
a
人.
评注: 在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如
何分类？
例3．（2004年普通高等学校春季招生考试数学试题（北京卷理工19））
某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商
订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.
（I ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（II ）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P f x =()的表达式； （III ）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本） 解：（I ）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则 x 01006051
002
550=+
-=. 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元. （II ）当0100<≤x 时，P =60
当100550<<x 时，P x x =--=-600021006250
.() 当x ≥550时，P =51
所以P f x x x x x N x ==<≤-<<∈≥⎧⎨⎪⎪
⎩⎪
⎪()()60
0100625010055051
550
（III ）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则
L P x x x x x
x x N =-=<≤-<≤∈⎧⎨⎪⎩
⎪()()4020010022501005002 当x =500时，L =6000；当x =1000时，L =11000
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元. 评注:
本题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力. 利用分段函数来模拟表达问题是常见的方法，利用不同时段对应函数的最值可完成问题求解。

例4．
某工厂今年一月、二月、三月生产某种产品产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月数x 关系，模拟函数可以选用二次函数或函数c b a y x
+⋅=（其中a 、b 、c 为常数），已知四月份该产品的产量为1.39万件，问用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由。

根据所得结果预测5月份的产量。

分析 先根据前三个月的产量，用待定系数法确定模拟函数，再用四月份产量检验哪个模拟函数更接近实际产量，5月份的产量用较好的那个模拟函数去计算。

解 设二次函数为112
11)(c x b x a x f ++= ，
1)1(1=f ，2.1)2(1=f ，3.1)3(1=f ，得⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++3
.1392.1241111
111111c b a c b a c b a
解之得 05.01-=a ，35.01=b ，7.01=c ，
所以 7.035.005.0)(2
1++-=x x x f . 由 c b a x f x
+⋅=)(2，1)1(2=f ，
2.1)2(2=f ，
3.1)3(2=f ，得 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=+2.12.11
32c ab c ab c ab
解得 4.1,5.0,8.0===c b a 因此 4.1)5.0(8.0)(2+⋅=x
x f ， 而 07.037.1)4(1=-f ，02.037.1)4(2=-f
因4.1)5.0(8.0)(,07.002.02+⋅=<x
x f 用作为模拟函数较好。

有：425.14.1)5.0(8.0)5(5
2=+⋅=f （万件） 所以预测 5月产量为 425.1 万件。

评注 本题为科学预测问题。

解此类问题一般步骤为：
（1） 根据经验选定几个模拟函数；（2）根据过去数据求出模拟函数解析式； （2） 比较各函数模拟情况，确定最优模拟函数； （4） 根据函数解析式预测未来情况。

例5．如下图，直线MN 为宽度忽略不计的小溪，小溪的一侧是沙地，另一侧是草地。

沙地上的点A 到小溪MN 的距离AC=20 Km ，且CD=70Km 。

现有一位骑士要把情报从A 送到B ，已知骑士在草地上的行进速度是在沙地上的行进速度的两倍，为使用时最少，骑士应选择怎样的行进路线？
解 设骑士的行进路线是折线AOB （O 在直线MN 上）。

以10Km 为单位，令CO=x ,则
x OD -=7，
不妨设骑士在沙地上的速度为1，则草地上的速度为2，
M
由题意行进的总时间为：)70(3)7(2
1
22222≤≤+-+
+=x x x y ， 则9
)7(274
2
2
+---
+=
'x x x x y ，令1,0=='x y ，因为1=x 是唯一极值点，
即当点O 选在离C 点10 Km 处时，能使骑士从A 到B 处的用时最少。

评注 上述一例所建立的数学模型为无理函数，对于求此类函数的最值问题利用常规方法
费力费时，学生普遍感到困难。

而导数法为我们解决此类函数最值问题提供了一般性的方法。

练习：（略）。