两个频率相同振动方向互相垂直的光波的叠加
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物理光学-2光波的叠加与分析201
§2.1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
1. 代数加法 两光波在P点的振动可用波函数表示为： E1 = a1 cos(kr1 − ω t ) E2 = a2 cos(kr2 − ω t ) a1 , a2分别是两光波在P点的振幅。
S1 r1
y P
S2
r2
由叠加原理， P点的合振动应为两振动 的叠加： E = E1 + E 2 = a1 cos(kr1 − ω t ) + a 2 cos(kr2 − ω t ) 令α 1 = kr1，α 2 = kr2，可将上式化简为 E = a1 cos(α 1 − ω t ) + a 2 cos(α 2 − ω t )
E B
§2.2 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
1. 椭圆偏振光
当两波到达 Z轴上 P点时，振动方程为 E x = a1 cos (kz1 − ω t ) E y = a 2 cos (kz 2 − ω t )
x
S1 S2 z1
y
z
P
两波在P点处叠加后的合振动 E = x0 E x + y0 E y = x0 a1 cos(kz1 − ω t ) + y0 a2 cos(kz 2 − ω t )
讨论
2 A2 = a12 + a2 + 2a1a2 cos(α 2 − α1 )
1. 设两单色光波在P点的振幅相等：a1 = a2 = a，则合振动的强度为 I = A2 = a 2 + a 2 + 2aa cos(α 2 − α1 ) = 4a 2 cos 2 式中 I 0 = a 2，是单个光波的光强度；
入射波和反射波的波函数为： E1 = a cos ( kz +ω t ) E1′ = a cos ( kz −ω t+δ )
物理光学 不同频率光波的叠加与分析
合成波的光强为 I A2 4a2 cos2 (km z mt) 2a2[1 cos2(kmz mt)]
合成波的强度随时间和位置在0～4a2之间变化，这种强
度时大时小的现象称为拍。
拍频等于 2，m 即等于振幅调制频率的两倍，或等于两
叠加单色光波频率之差。一个拍的空间长度为 12 /(2 1)
拍频的应用：利用已知的一个光频率1，测量另一个 未知的光频率2。
11
12Biblioteka 132.5 光波的傅里叶分析
1．相同频率而有任意振幅和位相的单色光波 的叠加时，所得到的合成波仍然是单色光波。
2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结 果就不再是单色波，波形曲线不再是正弦或余 弦曲线。
3．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一 组单色波。
2.5.1 周期性波的分析
该矩形波的傅里叶级数为：
f (z) 4 (sin kz 1 sin 3kz 1 sin 5kz )
3
5
其中第一项成为基波，它的空间角频率为
k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频。第二项、 第三项是三次谐波和五次谐波[空间频率 m/λ(m≥2)是谐频]。
通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里叶 分析的结果。
合成的光波：E 2acos(kmz mt)cos(kz t)
令km z mt 常数，得： vg
, k很小时，vg
d
dk
m
km
1 2
k1 k2
k
z或 t
在时间域上：2 m
2 ：在空间域上 km
群速度和相速度之间的关系
由 vg
d
dk
可得到vg与v之间的关系(用色散表示)。
vg
d
dk
d (kv) dk
合成波的强度随时间和位置在0～4a2之间变化，这种强
度时大时小的现象称为拍。
拍频等于 2，m 即等于振幅调制频率的两倍，或等于两
叠加单色光波频率之差。一个拍的空间长度为 12 /(2 1)
拍频的应用：利用已知的一个光频率1，测量另一个 未知的光频率2。
11
12Biblioteka 132.5 光波的傅里叶分析
1．相同频率而有任意振幅和位相的单色光波 的叠加时，所得到的合成波仍然是单色光波。
2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结 果就不再是单色波，波形曲线不再是正弦或余 弦曲线。
3．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一 组单色波。
2.5.1 周期性波的分析
该矩形波的傅里叶级数为：
f (z) 4 (sin kz 1 sin 3kz 1 sin 5kz )
3
5
其中第一项成为基波，它的空间角频率为
k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频。第二项、 第三项是三次谐波和五次谐波[空间频率 m/λ(m≥2)是谐频]。
通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里叶 分析的结果。
合成的光波：E 2acos(kmz mt)cos(kz t)
令km z mt 常数，得： vg
, k很小时，vg
d
dk
m
km
1 2
k1 k2
k
z或 t
在时间域上：2 m
2 ：在空间域上 km
群速度和相速度之间的关系
由 vg
d
dk
可得到vg与v之间的关系(用色散表示)。
vg
d
dk
d (kv) dk
物理光学-第二章 光波的叠加与分析
当E10=E20时，由（2.2.4 ）得：
0 (10 20 ) / 2
可见，合成波的初位相等于两个分量波初位相的平均值
当E10=E20时，总的合成波函数为
E z,t 2E10 cos 10 20 2 exp i kz t 10 20 2
所以，当E10=E20且φ10=φ20时，合成波与分量波振动状态
相同，只是振幅增大一倍
而在φ10-φ20=±π情况下，可知合成振幅为零。
物理光学
2020年6月17日星期三
两列波在空间相遇的情况
波的独立传播原理： 当两个或多个光波在空间相遇时，如果振动不是十 分强，各列波将保持各自的特性不变，继续传播。 相互之间没有影响。 波的叠加原理
几列波在相遇点所引起的扰动是各列波在该点所 引起的扰动的叠加（矢量的线性叠加，矢量和）
表示： (1) 对某一Z点，E随时间以频率ω作简谐振动，某一时刻， 振幅随Z不同而变（振幅不是常数）; (2) 称振幅最大值和最小值的位置为波腹、波节的位置，它 们不随时间而变 ;
波腹位置：kz 20 10 2 m (m为整数) 波节位置：kz 20 10 2 m 1 2 (m为整数)
(3) 相邻波腹（或波节）之间距为λ/2，相邻波腹与波节间距 为λ/4;
其中的 eˆx 、eˆ y 是直角坐标系Oxyz中x、y方向上的单位
矢量。两束光波叠加，合成波函数 E 为：
E E1 E2
显然合成波在xy平面内，其方向垂 直于传播方向z轴，但是一般而言它 不再与x或y轴同向。如右图所示，E 与x轴的夹角α满足：
tg | E2 | E20 cos(kz t 20 ) | E1 | E10 cos(kz t 10 )
若光波传播的媒质对这两个方向上的分量有相同的性质， 则这两个分量有相同的传播规律，于是任一个分量的波 函数就可代表其对应的矢量波，则矢量波的处理变为标 量波处理。
光学术语光学名词解释
（共158个）1.干涉1. 等厚干涉：各相干光均以同样的角度入射于薄膜，入射角9 o不变，改变膜厚度，这时每个干涉条纹对应的是同一个厚度的光干涉的结果。
2•临界角：光从光密媒质到光媒介质，当入射角大于一特定角度时，没有折射光而被被全部反射回光密媒质，这一特定角度称为临界角，用亠表示，且亠=些c 7 cn i3. 光波的独立传播定律：两列光比或多列光波在空间相遇时，在交叠区里各自保持自己的振动状态独立传播，互不影响。
4. 光源许可宽度：光源临界宽度的四分之一，此时干涉条纹的可见度为0.9。
5. 光波叠加原理：光波在相遇点产生的合振动是各个波单独在该点产生的振动的矢量和。
6. 驻波：两个频率相同，振动方向相同而传播方向相反的单色光波的叠加将形成驻波。
7. 简谐波：波源是简谐振动，波所到之处介质都作同频率同振幅的简谐振动。
8. 相干叠加：满足干涉条件波相遇，总振幅是各个波振幅的和。
9. 光波的相干条件；频率相同；存在相互平行的振动分量；出相位差稳定。
10. 发光强度：表征辐射体在空间某个方向上的发光状态，体现某一方向上单位立体角内的辐射光通量的大小单位：次德拉。
11. 分波面干涉；将点光源发出的光波波面分成若干个子波面，形成若干个点光源发出的多束相干光波。
12. 分振幅干涉：将一束光波的振幅（能量）分成若干部分，形成若干束相干光波。
13.13. 空间相干性：在给定宽度的单色线光源（或面光源）照明的空间中，随着两个横向分布的次波源间距的变化，其相干程度也随之变化，这种现象称为两个横向分布次波源的空间相干性。
14. 时间相干性：在非单色点光源照射的光波场中，随着两个纵向分布的次波之间距离或光程差的变化，其相干程度也随之变化，这种现象称为两个纵向分布次波源的时间相干性。
15. 牛顿环：曲率半径很大的平凸透镜与玻璃平板之间的薄空气层形成的同心环形等厚条纹。
2几何光学1.1球面镜成像1. 费马原理：光沿光程取平稳值的路径传播。
物理光学第二章光波的叠加与分析
2 变，将出现一系列的 幅振 为零的点 —波节和一系列振幅为 大最 值
的点—波腹。
2 由 cos k z 0可求得波节的位置为
2
kz n
22
n 1，3，5，
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.2.2 驻波实验
典型的驻波实验是维纳驻波实验。
1. P57 图2.8 2. 感光 3.全反射
E1 a1e xip a1t E2 a2exip a2t
两者叠加的合振动为
EE 1E 2a1ex i p 1ta2ex i p2t a1ex ip 1a2ex ip 2ex ip t
设中括号A内 exi p 的 ，部 则分 上为 式简化为
EAexi pexpitAexi pt
合振动振幅为
A2 a12 a22 2a1a2 cos2 1
当两波到Z达 轴上P点时，振动方程为
Ex Ey
aa12ccoosskkzz12tt
两波P点 在 处 叠加后的合振动为
E xx0 0a E1xcoyk0sE1 zyty0a2coksz2 t
合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可 得其末端的运动轨迹方程：
这个方Ea12x2程 Ea表 22y2 明 2Ea矢 1x： aE2y量 c合 o末 s振 2 端 动 1的 si轨 n2椭 迹 2 圆 是 1。 一个 物理光学第二章光波的叠加与分析
光驻波现象在多个光学过程中存在，现在见的最 多的是在激光器谐振腔中多次往复反射的光波 形成的驻波。激光输出的这种稳定的驻波称为 激光束的纵模。
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.3 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
2.3.1 椭圆偏振光
参见图2.10：由光源S1、S2发出两个单色光波，频率相同，振动 方向相互垂直。设两波的振动方向分别平行于X轴和Y轴。
的点—波腹。
2 由 cos k z 0可求得波节的位置为
2
kz n
22
n 1，3，5，
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.2.2 驻波实验
典型的驻波实验是维纳驻波实验。
1. P57 图2.8 2. 感光 3.全反射
E1 a1e xip a1t E2 a2exip a2t
两者叠加的合振动为
EE 1E 2a1ex i p 1ta2ex i p2t a1ex ip 1a2ex ip 2ex ip t
设中括号A内 exi p 的 ，部 则分 上为 式简化为
EAexi pexpitAexi pt
合振动振幅为
A2 a12 a22 2a1a2 cos2 1
当两波到Z达 轴上P点时，振动方程为
Ex Ey
aa12ccoosskkzz12tt
两波P点 在 处 叠加后的合振动为
E xx0 0a E1xcoyk0sE1 zyty0a2coksz2 t
合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可 得其末端的运动轨迹方程：
这个方Ea12x2程 Ea表 22y2 明 2Ea矢 1x： aE2y量 c合 o末 s振 2 端 动 1的 si轨 n2椭 迹 2 圆 是 1。 一个 物理光学第二章光波的叠加与分析
光驻波现象在多个光学过程中存在，现在见的最 多的是在激光器谐振腔中多次往复反射的光波 形成的驻波。激光输出的这种稳定的驻波称为 激光束的纵模。
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.3 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
2.3.1 椭圆偏振光
参见图2.10：由光源S1、S2发出两个单色光波，频率相同，振动 方向相互垂直。设两波的振动方向分别平行于X轴和Y轴。
2光波的叠加及分析
率相同、振动方向相同的 单色波的叠加 2.2 驻波 2.3两个频率相同、振动方向互相垂直 的光波的叠加 2.4 不同频率的两个单色波的叠加
波的叠加原理:几个波在相遇点产生的合振动是各个波
在该点产生振动的矢量和.
E E1 E2 En
n
原理表明:1.光波传播的独立性.
相邻波幅或 m=0,1,2… 波节的间距:
kz ＝(m 1 )
2
2
Δz=λ/2
2.2 .2 驻波实验
结论: 1.证实了光驻波的存在;
2.光波对乳胶起感光作 用的是电矢量.
乳胶上暗条纹的距离:
e＝ 2sin
实验证明,乳胶膜上第一暗纹不与镜面重合,而是在 离镜面1/4波长处,电矢量产生半波损,磁矢量不产生半 波损,起感光作用的是电矢量.
cos
tg 2
cos
2a1
tg a2
a1
E x2 a12
E 2y a22
2 Ex a1
Ey a2
cos
sin2
光的偏振态由a1、a2、δ完全
确定,易测的是长轴 b1、短轴 b2及长轴与Ex的夹角β
2a2
Ey
χ
β
Ex
O
2a1
tg2 tg2 cos sin2 sin2 cos 五个方程联立:
E＝[a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 )]exp(it) Aexp(i )＝a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 ) E＝Aexp(i)exp(it) Aexp[i( t)]
A2 [ Aexp(i )][ Aexp(i )]
结果：I A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2) Aexp(i )＝a1 cos1＋a2 cos2 i(a1 sin1＋a2 sin2 )
波的叠加原理:几个波在相遇点产生的合振动是各个波
在该点产生振动的矢量和.
E E1 E2 En
n
原理表明:1.光波传播的独立性.
相邻波幅或 m=0,1,2… 波节的间距:
kz ＝(m 1 )
2
2
Δz=λ/2
2.2 .2 驻波实验
结论: 1.证实了光驻波的存在;
2.光波对乳胶起感光作 用的是电矢量.
乳胶上暗条纹的距离:
e＝ 2sin
实验证明,乳胶膜上第一暗纹不与镜面重合,而是在 离镜面1/4波长处,电矢量产生半波损,磁矢量不产生半 波损,起感光作用的是电矢量.
cos
tg 2
cos
2a1
tg a2
a1
E x2 a12
E 2y a22
2 Ex a1
Ey a2
cos
sin2
光的偏振态由a1、a2、δ完全
确定,易测的是长轴 b1、短轴 b2及长轴与Ex的夹角β
2a2
Ey
χ
β
Ex
O
2a1
tg2 tg2 cos sin2 sin2 cos 五个方程联立:
E＝[a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 )]exp(it) Aexp(i )＝a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 ) E＝Aexp(i)exp(it) Aexp[i( t)]
A2 [ Aexp(i )][ Aexp(i )]
结果：I A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2) Aexp(i )＝a1 cos1＋a2 cos2 i(a1 sin1＋a2 sin2 )
光的干涉光波的叠加与干涉现象
光的干涉光波的叠加与干涉现象光的干涉是指两束或多束光波相遇后叠加的现象。
在特定条件下，光波之间会产生干涉，使得光的强度发生变化，这种现象称为光的干涉现象。
一、光波的叠加光波是一种电磁波，当两束或多束光波相遇时，它们会产生叠加效应。
根据光波的特性，光波之间可以出现相位差，相位差的大小决定了光波叠加后的干涉效果。
二、干涉现象光波的干涉现象可以分为两种类型：构成干涉的光波来源于同一光源的相干干涉和来自不同光源的非相干干涉。
1. 相干干涉相干干涉是指两束或多束光波源来自同一光源，相位关系固定，波长相同，频率相同，振动方向相同。
在这种情况下，光波的叠加会产生明暗交替的干涉条纹。
相干干涉主要有两种类型：等厚干涉和薄膜干涉。
2. 非相干干涉非相干干涉是指来自不同光源的光波相遇后叠加。
由于光源的相位关系不固定，干涉效果不稳定，产生的干涉条纹呈现随机性。
非相干干涉常见的例子有自然光的干涉和多光束干涉。
三、光的叠加原理光的叠加主要遵循两个基本原理：波动原理和叠加原理。
1. 波动原理根据波动原理，波峰与波峰相遇会发生叠加，产生亮度增强的现象，称为增强干涉；波峰与波谷相遇会发生互相抵消的现象，称为减弱干涉。
2. 叠加原理叠加原理指出，当两束或多束光波相遇时，它们的位移矢量分别相加得到新的位移矢量。
根据位移矢量的大小和方向，可以决定光波的相位差和干涉模式。
四、光的干涉现象的应用光的干涉现象在很多领域中都有重要的应用。
以下是几个常见的应用：1. 干涉测量光的干涉测量可以用于测量非常小的长度或形状的变化，如薄膜厚度、光学元件的形状等。
干涉测量通过测量干涉条纹的位置或形状来确定被测物体的参数。
2. 干涉显微术干涉显微术是一种高分辨率的显微术，它利用光的干涉原理来观察并测量微小物体的形状、粗糙度等参数。
干涉显微术在生物学、材料科学等领域中有广泛的应用。
3. 干涉光纤传感干涉光纤传感技术利用光的干涉现象来实现对温度、压力、湿度等物理量的测量。
《物理光学》光波的叠加综述
2 x 2 1 2 y
E与x轴的夹角满足： E2 E20 cos(kz −ωt +ϕ20 ) tgα = = E1 E10 cos(kz −ωt +ϕ10 ) 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z 和t变化。即合成波一般不是线偏振波。
§2-3 两个频率、传播方向相同、 两个频率 传播方向相同 频率、 相同、 振动方向互相垂直的 振动方向互相垂直的光波的叠加 椭圆形状由两叠加光波的位相差 δ=α2-α1或光程差∆和振幅比a2/a1 决定。 或光程差∆和振幅比a 旋向由δ 旋向由δ=α2-α1或光程差∆决定， 或光程差∆ sinδ sinδ>0 左旋情况 sinδ sinδ<0 右旋情况 强度： I = I x + I y 表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个 振动方向互相垂直的单色光波的强度之和， 它与两个叠加波的位相无关。
20 10
i(ϕ10 +ϕ20 ) ) exp[ ]exp[−iωt)] 2
§2-3 两个频率、传播方向相同、 两个频率 传播方向相同 频率、 相同、 振动方向互相垂直的 振动方向互相垂直的光波的叠加 叠加的结果为椭圆偏振光，和矢量终点的轨迹 满足如下方程：
E Ex Ey E + 2 −2 cosδ = sin 2 δ a1a2 a a2
k 3k 5k 7k
§2-5光波的分析
傅里叶级数也可以表示为复数形式: 傅里叶级数也可以表示为复数形式: f (z) = ∑C exp(inkz) (4)
∞ n=−∞ n
其中系数
λ
Cn =
1
λ−
∫ f (z) exp(−inkz)dz λ
2
2
E与x轴的夹角满足： E2 E20 cos(kz −ωt +ϕ20 ) tgα = = E1 E10 cos(kz −ωt +ϕ10 ) 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z 和t变化。即合成波一般不是线偏振波。
§2-3 两个频率、传播方向相同、 两个频率 传播方向相同 频率、 相同、 振动方向互相垂直的 振动方向互相垂直的光波的叠加 椭圆形状由两叠加光波的位相差 δ=α2-α1或光程差∆和振幅比a2/a1 决定。 或光程差∆和振幅比a 旋向由δ 旋向由δ=α2-α1或光程差∆决定， 或光程差∆ sinδ sinδ>0 左旋情况 sinδ sinδ<0 右旋情况 强度： I = I x + I y 表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个 振动方向互相垂直的单色光波的强度之和， 它与两个叠加波的位相无关。
20 10
i(ϕ10 +ϕ20 ) ) exp[ ]exp[−iωt)] 2
§2-3 两个频率、传播方向相同、 两个频率 传播方向相同 频率、 相同、 振动方向互相垂直的 振动方向互相垂直的光波的叠加 叠加的结果为椭圆偏振光，和矢量终点的轨迹 满足如下方程：
E Ex Ey E + 2 −2 cosδ = sin 2 δ a1a2 a a2
k 3k 5k 7k
§2-5光波的分析
傅里叶级数也可以表示为复数形式: 傅里叶级数也可以表示为复数形式: f (z) = ∑C exp(inkz) (4)
∞ n=−∞ n
其中系数
λ
Cn =
1
λ−
∫ f (z) exp(−inkz)dz λ
2
2
两个频率相同、振动方向互相垂直的光波的叠加
振动方向垂直是指两个波的振动方向 相互垂直，即一个波的振动方向与另 一个波的振动方向始终保持垂直。
VS
在物理中，振动方向通常用正交坐标 系来表示，其中x轴表示水平方向，y 轴表示垂直方向，z轴表示深度方向。 当两个波的振动方向互相垂直时，一 个波的振动方向可能是x轴方向，另 一个波的振动方向可能是y轴方向， 或者一个波的振动方向可能是z轴方 向，另一个波的振动方向可能是与该 轴垂直的平面内的任意方向。
合成波的偏振状态
偏振叠加
两个垂直偏振的光波叠加时，合成波的偏振状态将发生变化。
偏振调制
当两个波的偏振状态不同时，合成波的偏振状态将发生调制。
偏振旋转
当两个波的偏振状态相互旋转时，合成波的偏振状态将发生旋转。
05
实验验证
实验设计
准备实验器材
调整光波相位
包括激光器、分束器、反射镜、光电 探测器等。
线性叠加
当两个频率相同、振动方向互相垂直的光波在相遇区域内相遇时，它们的振动可以 线性叠加。
线性叠加意味着两个波的振幅和相位可以简单地相加或相减，形成一个新的合成波。
合成波的振幅和相位与原始的两个波的振幅和相位有关，具体取决于它们在相遇区 域内的相对位置和时间。
02
振动方向互相垂直的波的叠
加
振动方向垂直的定义
通过调整反射镜的位置，确保两束光 波在叠加区域相遇时具有相同的相位。
设计实验装置
将激光器发出的光束通过分束器分成 两束，经过反射镜后形成两个频率相 同、振动方向互相垂直的光波。
数据采集与分析
1 2
采集数据
通过光电探测器记录光波叠加区域的光 Nhomakorabea变化数 据。
数据处理
对采集到的数据进行处理，提取出光强的峰值和 谷值，计算光强的相对变化量。
物理光学第二章光波的叠件与分析
振动的合成特别有用，如右图
A
所示，可以用矢量的多边形加
法求出合矢量。
a1
O
a4 a 3 23
a2
12
x
第二节 驻波
一、驻波的形成
两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反的 单色波产生驻波
1: 驻波的波函数 如图所示,设反射
面是z=0的平面，为 方便起见，假定界面 的反射比很高，可以 设入射波和反射波的 振幅相等。
二、几种特殊情况
根据下式：
2
EE x
2 y
2E xE yco ssi2n
a a 2 1
2 2
P点光强最大：Im ax4I0
当 2(m1) (m=0、1、2… )时，
2 P点光强最大：Imin 0
介于上述两者之间时, P点光强在最大和最小值之间。 从上述分析表明：在P点叠加的合振动的光强I取决于 两光波在叠加点的相位差。
由于我们假定两光波在S1和S2处的相位相同,因此两 光波在P点的相位差就是由于从两光源到P点的距离不同
22
相邻波节（或波腹）之间的距离为 2，相邻波节和波 腹间的距离为 4 ，且波节、波腹的位置不随时间而变。
若考虑反射面是z=0平面，x的方向指向入射波所在
介质，介质折射率为n1；反射面后介质的折射率为n2， 且n2﹥n1，则有 (在垂直入射时有的位相跃变)则 在z=0点形成一个波节。
另外从驻波的相位因子 cos(t )可以看出，它与z无 关，即合成波上任意点的振动位相2都相同，亦即不存在
令： a 1co 1 s a 2co 1 s A cos a 1 si1 n a 2si2 n A sin
A和 为待定的常数，把上面两式分别平方后相加可得
光波的叠加与分析
23
Ey
Ex
3. 及其奇数倍时，
2
椭圆方程为：
E
2 x
E
2 y
1
a12
a
2 2
δ=3π/2
此为一正椭圆,长短轴与x，y轴重合.
❖ 若两光波的振幅a1、a2相等，为a。
则：
E
2 x
E
2 y
a2
表示一个圆偏振光。
24
椭圆形状的分析：( a2 a1 , 2 1 )
（图10-30）
Ey
Ey
Ey
Ey
Ex
Ex
Ex
Ex
δ=0
Ey
0<δ<π/2
Ey
δ=π/2
Ey
π/2<δ<π
Ey
Ex
Ex
Ex
Ex
δ=π
π<δ<3π/2
δ=3π/2
3π/2<δ<2π 25
26
左旋和右旋
1、右旋光：迎着光的传
播方向观察，合矢量顺 时针方向旋转。
此时：sin(2 1) 0
2、左旋光：迎着光的传
播方向观察，合矢量逆 时针方向旋转。
两列波交叠区域任意一点P的合振动？
根据叠加原理，P点的合振动为
E E1 E2 a1 exp[i(1 t)] a2 exp[i(2 t)]
式中 1 kr1, 2 kr2
光强为
I E E a1 exp[i(1 t)] a2 exp[i(2 t)] a1 exp[i(1 t)] a2 exp[i(2 t)]
r1 )
2 0
D
采用光程概念的好处是，可以把光在不同介质中 的传播路程都折算为在真空中的传播路程，便于 6 进行比较。
§2-3 两个频率相同、振动方向互相垂直的光波的叠加
r r r r E0 = [E10 exp(i10 ) + E20 exp(i20 )] = E0 exp i0
2 20 2
E + E + 2E10 E20 cos(20 10 ) = E0
2 10
E10 sin 10 + E20 sin 20 tg0 = E10 cos10 + E20 cos20
第二章： 第二章：光波的叠加与分析
二、波的叠加原理： 当两列(或多列) 当两列(或多列)波在同一空间传播时， 空间各点都参与每列波在该点引起的振 动。若波的独立传播定律成立，则当两 列(或多列)波同时存在时，在它们的交迭 或多列) 区域内每点的振动是各列波单独在该点 产生振动的合成. 产生振动的合成.此即波的迭加原理。 与独立传播定律相同，叠加原理适用性 也是有条件的。这条件,一是媒质, 也是有条件的。这条件,一是媒质,二是波 的强度。
(3)
(4)
一、椭圆偏振光
(3) ×cosα2 ,(4) ×cosα2 cosα cosα
Ex × cosα2 = cosα1 cosα2 cosωt + sin α1 cosα2 sin ωt a1 Ey × cosα1 = cosα1 cosα2 cosωt + sin α2 cosα1 sin ωt a2
§2-1 两个频率、振动方向、传播方向 两个频率、振动方向、 相同的单色光波的迭加 两个频率、振动方向、传播方向相同的单色 光波的迭加的结果表示为：
E = Acosα cosωt + Asin α sin ωt = Acos(α ωt)
r r r 或： E(z, t) = [E10 exp(i10 ) + E20 exp(i20 )]exp[i(kz ωt)] v = 式中： E0 exp[i(kz ωt)] a sin α1 + a2 sin α2 2 2 2 tgα = 1 A = a1 + a2 + 2a1a2 cos(α2 α1) a1 cosα1 + a2 cosα2
§2-3 两个频率相同、振动方向互相垂直的光波的叠加
对于相干光波 ：
~ E ( P) ~ Ei ( P)
N i 1
即N列波的振幅满足线性迭加关系。
波在其中不服从迭加原理的媒质称为“非 线性媒质”。
§2-1 两个频率、振动方向、传播方向 相同的单色光波的迭加
两个频率、振动方向、传播方向相同的单色 光波的迭加的结果表示为：
E A cos cos t A sin sin t A cos( t )
2 Ex E y E x2 E y 2 2 cos( 20 10 ) sin 2 ( 20 10 ) a12 a2 a1a2
一、椭圆偏振光
Ex E y E 2 2 cos( 20 10 ) sin 2 ( 20 10 ) a a2 a1a2
2 x 2 1 2 Ey
a
2 1
a
2 2
1
此为一正椭圆,长短轴与x，y轴重合. 若两光波的振幅a1、a2相等，为a。 2 2 2 Ex E 相同的 单色光波的迭加
这样 n(r2 r1 ) 0 式中n(r1–r2)是光程差,以后用符号△表示。 光程:光波在某一介质中所通过的几何路程和 这介质的折射率的乘积。 从上式中看出:光程差与相位差相对应。 (m=0、1、2… ) n(r2 r1 ) m0 P点光强最大。 1 n(r2 r1 ) (m )0 (m=0、1、2… ) 2 P点光强最小。
E0 [ E10 exp( i10 ) E20 exp( i 20 )] E0 exp i 0
2 20 2
E E 2 E10 E 20 cos( 20 10 ) E0
华中科技大学物理光学第二章
E A
2
S1
r1 r2
P
S2
E 1 = a 1 cos (kr 1 − ω t ) = a 1 cos (α 1 − ω t ) = a 2 cos (kr 2 − ω t ) = a 2 cos (α = a 12 + a 2 + 2 a 1 a 2 cos (α 2 a 1 sin α 1 + a 2 sin α 2 a 1 cos α 1 + a 2 cos α 2
n
内容
2-1 两个频率相同、振动方向相同的单 色光波叠加； 2-2 驻波； 2-3 两个频率相同、振动方向垂直的光 波叠加； 2-4 不同频率的两个单色波叠加； 2-5 光波的分析。
2-1 两个频率相同、振动方向相同 的单色光波叠加
研究对象：频率相同、振动方 向相同，P点光波相遇区域 任一点，求在P点的光振 动。 代数加法
第二章：光波的叠加与分析
杨振宇
本章研究频率相同、或相差很小的单色 光波的叠加； 任何复杂的光波都能分解为一组单色光 波之和； 光波服从叠加原理：在线性介质中，几 个光波在相遇点的合振动是各个光波单 独产生的振动的矢量和； E = E1 + E2 + ... = ∑ En 光波的分析：傅立叶级数定理、傅立叶 积分定理。
频率虽有差别，但差别很小， E 1 = acos (k 1 z − ω 1 t ) E 2 = acos (k 2 z − ω 2 t )
A = 2 acos (k m z − ω m t )
E = E 1 + E 2 = Acos (k z − ω t )
(2 - 45)
k m = (k 1 − k 2 ) 2 , ω m = (ω 1 − ω 2 ) 2
2
S1
r1 r2
P
S2
E 1 = a 1 cos (kr 1 − ω t ) = a 1 cos (α 1 − ω t ) = a 2 cos (kr 2 − ω t ) = a 2 cos (α = a 12 + a 2 + 2 a 1 a 2 cos (α 2 a 1 sin α 1 + a 2 sin α 2 a 1 cos α 1 + a 2 cos α 2
n
内容
2-1 两个频率相同、振动方向相同的单 色光波叠加； 2-2 驻波； 2-3 两个频率相同、振动方向垂直的光 波叠加； 2-4 不同频率的两个单色波叠加； 2-5 光波的分析。
2-1 两个频率相同、振动方向相同 的单色光波叠加
研究对象：频率相同、振动方 向相同，P点光波相遇区域 任一点，求在P点的光振 动。 代数加法
第二章：光波的叠加与分析
杨振宇
本章研究频率相同、或相差很小的单色 光波的叠加； 任何复杂的光波都能分解为一组单色光 波之和； 光波服从叠加原理：在线性介质中，几 个光波在相遇点的合振动是各个光波单 独产生的振动的矢量和； E = E1 + E2 + ... = ∑ En 光波的分析：傅立叶级数定理、傅立叶 积分定理。
频率虽有差别，但差别很小， E 1 = acos (k 1 z − ω 1 t ) E 2 = acos (k 2 z − ω 2 t )
A = 2 acos (k m z − ω m t )
E = E 1 + E 2 = Acos (k z − ω t )
(2 - 45)
k m = (k 1 − k 2 ) 2 , ω m = (ω 1 − ω 2 ) 2
《物理光学》第2章,光波的叠加与分析
角频率分别为ω1和ω2的单色光波沿z方向传播：
E1 E0 cos 1t k1 z E2 E0 cos 2t k2 z
这两个光波的迭加得到 ：
E 2 E0 cos 1 1 2 t k1 k2 z cos 1 1 2 t k1 k2 z 2 2
s p cos sin 2 n 2 tg tg 2 2 sin 2
450 (1 sin 2 ) sin 2 n 2 tg 2 2 sin 4
又 n 1 / 1.5, 450
53015或 50013
E E1 E2 A cos( t )
a1 sin 1 a2 sin 2 tan a1 cos1 a2 cos 2
2.2 驻波
2.2.1驻波的形成
两个频率相同，振动方向相同而传播方向相反
的单色光波的迭加。
n1<n2
n2
E1 a cos(kz t ) E2 a cos(kz t )
p
方位角45度时， 反射两次输出圆偏振光
5437’
5437’
例题：如图所示的菲涅耳棱体的折射率为1.5 ，入射线偏振光 电矢量与图面成450，问:1)要使从棱体射出圆偏振光，棱体顶 角φ应为多少？2)若棱体折射率为1.49，能否产生圆偏振光。
解：1）要使棱体的出射光为圆偏振光，出射p波和S波的振 幅必须相等, 位相差必须等于 / 2 。光束在棱体内以相同条 件全反射两次，每次全反射后p波和s波的位相差必须等于/ 4
6
2.2.2 维纳的实验： (用驻波概念证明电矢量感光）
证实了光驻波的存在 证实了光波对乳胶起感光作用的是电矢量而不是磁矢量。
E1 E0 cos 1t k1 z E2 E0 cos 2t k2 z
这两个光波的迭加得到 ：
E 2 E0 cos 1 1 2 t k1 k2 z cos 1 1 2 t k1 k2 z 2 2
s p cos sin 2 n 2 tg tg 2 2 sin 2
450 (1 sin 2 ) sin 2 n 2 tg 2 2 sin 4
又 n 1 / 1.5, 450
53015或 50013
E E1 E2 A cos( t )
a1 sin 1 a2 sin 2 tan a1 cos1 a2 cos 2
2.2 驻波
2.2.1驻波的形成
两个频率相同，振动方向相同而传播方向相反
的单色光波的迭加。
n1<n2
n2
E1 a cos(kz t ) E2 a cos(kz t )
p
方位角45度时， 反射两次输出圆偏振光
5437’
5437’
例题：如图所示的菲涅耳棱体的折射率为1.5 ，入射线偏振光 电矢量与图面成450，问:1)要使从棱体射出圆偏振光，棱体顶 角φ应为多少？2)若棱体折射率为1.49，能否产生圆偏振光。
解：1）要使棱体的出射光为圆偏振光，出射p波和S波的振 幅必须相等, 位相差必须等于 / 2 。光束在棱体内以相同条 件全反射两次，每次全反射后p波和s波的位相差必须等于/ 4
6
2.2.2 维纳的实验： (用驻波概念证明电矢量感光）
证实了光驻波的存在 证实了光波对乳胶起感光作用的是电矢量而不是磁矢量。
2.3垂直光波叠加2.4不同频率光波叠加
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
可以证明：对于多个不同频率的单色光波合成的复杂波，只要各个波的频率相差不大，他们只集中在某个“中心”频率附近，且介质色散不大，就可以认为上述结论仍然适用。
作业： 2.1、2.2、2.3、2.4、2.6、2.7、 2.9、 2.10、
一、椭圆偏振光
为讨论方便,将两原光波分别写为: 由叠加原理： 令kz1=α1,kz2=α2 可得到合矢量末端轨迹方程
一、椭圆偏振光
(3) ×cosα2 ,(4) ×cosα1 (5)-(6): (3) ×sinα2 ,(4) ×sinα1
一、椭圆偏振光
(8)-(9): 对上两式两边取平方再求和： 令α2-α1=δ，则： 为教材上的结果
三、左旋和右旋：
对于某一时刻，传播路程上各点的合矢量末端位置构成一个螺旋线，螺旋线的空间周期为光波波长，各点场矢量的大小不一，其末端在与传播方向垂直 的平面上的投影为 一个椭圆。
z
x
y
四、椭圆偏振光的强度
在矢量形式下光波的强度一般地可写成 在同一介质内时 对于椭圆偏振光：它是由振动方向互相垂直地两线偏振光叠加构成：则 即 此式表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个振动方向互相垂直的单色光波的强度之和，它与两个叠加波的位相无关。
三、左旋和右旋：
通常规定:迎着光传播方向看去，合矢量是顺时针方向旋转时，偏振光是右旋的。反之，是左旋的。 分析过程只需将不同时刻的两原光波的位相差 （ ）比较后即可看出； sinδ>0 左旋情况 sinδ<0 右旋情况 在左旋椭圆偏振光情况下，各点场矢量的末端构成的螺旋线的旋向与光传播方向成右手螺旋系统；而右旋椭圆偏振光的情形、螺旋线的旋向与关传播方向成左手螺旋系统。
1为什么两个独立的同频率的普通光源发出的光波叠加时不
光学1.为什么两个独立的同频率的普通光源发出的光波叠加时不能得到干涉图样？答：普通光源发光的特点是：包含大量断断续续的、长度有限的、相互独立的波列。
两个独立光源发出的光的振动方向、频率、初相位是完全随机的（不存在稳定的相位差），所以它们不可能是相干光。
即使它们的频率相同，有同方向的振动分量，但由于在叠加点相位差的完全随机性，也不能形成稳定的光振动加强和减弱现象，因而就不能得到光的干涉图样。
2.在杨氏双缝干涉实验中，如果一条缝稍稍加宽一些，屏上的干涉条纹有什么变化？如把其中一条狭缝遮住，将发生什么现象？答：将杨氏双缝装置的一条缝稍稍加宽一些，通过两缝的光强是不同的，两缝各自的单缝衍射中央明区的宽度也不相同，在屏上叠加点两个光振动的振幅不同，干涉相消处（暗条纹）的光强不等于零，干涉条纹的可见度下降。
若把其中一条缝遮住，则成为单缝衍射装置，屏上将出现单缝衍射的条纹。
3.干涉与衍射有什么区别？答：干涉是两束光或有限束光的相干叠加，而衍射是从同一波阵面上各点发出的无数个子波（球面波）的相干叠加，从这个角度看，衍射本质上也是干涉。
另外在纯干涉的情况下，不同级次干涉条纹的光强是一样的；而衍射条纹不同级次的光强是不同的，级次越高，光强越弱。
若将双缝干涉条纹与单缝衍射条纹比较，双缝干涉条纹是等间距的，单缝衍射条纹的中央明纹宽度是其他各级条纹宽度的两倍。
4.日光照射在窗玻璃上,也分别会在玻璃的两个界面上反射,为什么观察不到干涉现象?答：由于每个原子的持续发光时间是有限的，原子发射的每一个波列有一定的长度。
如果在薄膜干涉中相干的两束光的光程差超过了波列的长度，那么由同一列波分解出来的两个分光束就不能相遇，而相遇的是不同波列分解出来的分光束，它们不是相干光，不会产生干涉。
其次，光源的单色性不好会使相干长度大大低于波列的长度，除激光器外，一般光源发射的单色光并非单一波长的光，总有一定的波长范围，当这样的光产生干涉时，干涉图样是这些不同波长的光各自干涉条纹的叠加，而不同波长的光的干涉条纹间距是不同的，有些不同波长的干涉条纹将连成一片，因而看不到干涉条纹。
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20 10
一、椭圆偏振光：
• 设两束线偏振波的波函数为：
E1 (z,t) x0 E10 cos(kz t 10 )
• •
i则,j，为由坐叠标加系原理oxE：yz2中(，zx,，t)y方向y的0单E位2矢0 c量o。s(kz t 20 )
• 显然，E仍垂直于传播方向，但一般不再与x、y轴同向。
§2-3 两个频率相同、振动方向互 相垂直的光波的叠加
上次课内容回顾： 一、椭圆偏振光： 二、几种特殊情况： 三、左旋和右旋： 四、左旋和右旋： 五、利用全反射产生椭圆和圆偏振光
第二章：光波的叠加与分析
• 本章所讨论内容的理论基础： • 一、波的独立传播定律： • 两列光波在空间交迭时，它的传播互不干扰,亦即每列波如何传播，就
]
cos(20
2
10
)
exp[i(kz
t)]
E0 exp(i0 ) exp[i(kz t)]
0
10
20
2
I
4I0
cos2 (2
1 )
2
4I0
cos2
2
§2-1 两个频率相同、振动方向相同的 单色光波的迭加
• 差。
是两光波在P点的位相差.此式表明在P点叠加后的光强度决定于位相 21
• 显然，
• 两个频率、振动方向、传播方向相同的单色光波的迭加的结果表示为：
• 或：
• 式中：E Acos cost Asin sin t Acos( t)
E(z,t) [E10 exp(i10 ) E20 exp(i20 )]exp[i(kz t)]
E0 exp[i(kz t)]
A2 a12 a22 2a1a2 cos(2 1)
的位置上振幅最大，为2E10；
•当
m=0、1、 2
的位置上振幅为零。
kz 20 10 m
2
kz 20 10 (m 1 )
2
2
§2-2驻波
• 振幅为零的点称为驻波的波节，两波节间距为 /2，
• （振幅最大的点称k为驻波z 的波腹，两波）z 腹间距为 /2，
（
）2
•
若介相考质跃虑的变反折)则射射有面率书是为上znk=2的，0平结且z面果n2，。﹥zn的1，方则向有z指向2入射波所在介质，介质折(在射垂率直为入n1射；时反有射面的后位
•当
(m=0、1、2… )时，
•
P点光强最大 ；
• •
当
P点光强最小
2m
(m=0、1、2… )时，
• 介于上两者之间时, P点光强在0 ~ 2之间。
I 4I0
2(m 1 )
2
I 0
§2-1 两个频率相同、振动方向相
同的单色光波的迭加
• 从前面假定条件知,我们很容易把位相差表示为P点到光源的距离r1之r2差：
• 即N列波的强度满足线性迭加关系。
N
I (P) Ii (P) i 1
第二章：光波的叠加与分析
• 对于相干光波 ：
•
•
即N列波的振幅满足~线性迭加关系。N ~ 波在其中不服从迭E加原( P理的)媒质称为“非E线i性(媒P质)”。
i 1
§2-1 两个频率、振动方向、传播方向 相同的单色光波的迭加
tg a1 sin 1 a2 sin 2
a1
cos
1
a2
cos
2
E0 [E10 exp(i10 ) E20 exp(i20 )] E0 exp i0
E120 E220 2E10E20 cos(20 10 ) E0 2
tg 0
E10 sin 10 E10 cos10
E20 sin 20 E20 cos 20
时，在它们的交迭区域内每点的振动是各列波单独在该点产生振动的合
成.此即波的迭加原理。
• 与独立传播定律相同，叠加原理适用性也是有条件的。这条件,一是媒质, 二是波的强度。
第二章：光波的叠加与分析
• 光在真空中总是独立传播的，从而服从叠加原理。
•
光在普通玻璃中，只要不是太强，也服从叠加原理。
•
波在其中服从叠加原理的媒质称ห้องสมุดไป่ตู้“线性媒质”。此时，对于非相干光波：
§2-1 两个频率、振动方向、传播方向 相同的单色光波的迭加
• 若两个单色光波在相遇区的任意一点P振幅相等。即： • a1=a2,E10=E20则，P点的合振幅：
•
A强2 度：a12
a22
2a1a2
cos(
2
1)
4a2
cos2
(2
1
2
)
4a2
cos2
2
E(
z,
t)
2E10
exp[
i(10
2
20
)
• 从上式中看出:光程差与相位差相对应。
•
(m=0、1、2… )
P点光强最大。
•
(m=0、1、2… )
•
P点光强最小。
n(r2 r1) m0
n(r2
r1
)
(m
1 2
)0
§2-2驻波
• 一、驻波的波函数：
••E(此zA式：, t表合) 明成：波2E合振1成幅0 波不co上是s任常(k意数z一，点与都各20作点2圆坐频标1率有0 )为关e，xp当的[简i(谐1振0动2。但20：) ]exp[ it)] m=0、1、 2
像另一列波完全不存在一样各自独立进行.此即波的独立传播定律。 • 必须注意的是：此定律并不是普遍成立的，例，光通过变色玻璃时是
不服从独立传播定律的。
第二章：光波的叠加与分析
• 二、波的叠加原理：
•
当两列(或多列)波在同一空间传播时，空间各点都参与每列波在该点
引起的振动。若波的独立传播定律成立，则当两列(或多列)波同时存在
E E1 E2
一、椭圆偏振光
• 为讨论方便,将两原光波分别写为:
Ex (•z,t由) 叠加x原0a理1 c：os(kz1 t)
1
Ey (z,t) y0a2 cos(kz2 t)
2
• • •
令由可kE得zx,1到=αE合y表1矢,k达量z2式=末α消端2去轨参迹数方Et程(,xz0,at1)cosx(0kEz1x
y0Ey
t)
y0a2
cos(kz2
t)
Ex a1
cos1 cost sin 1 sin t
3
Ey a2
cos 2 cost sin 2 sin t
• 由于：
• 故：
• • •
或：
式中为光源在介质中的波长，
k • r 0为真空中的1波长，n为介质1折射率2. k • r2
2 1 k • (r2 r1)
2
(r2
r1)
0
n
§2-1 两个频率相同、振动方向相同的
单色光波的迭加
• • •
这式光样中程n:光(r1波–在r2某)是一光2介程0质差n中,(所以r2通后过用r1的符) 几号何△路表程示和。这介质的折射率的乘积。