《物理光学》第2章 光波的叠加与分析
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《物理光学》第二章 光波的叠加和分析
注意
波的叠加不是强度的叠加，也不是振幅的简单相 加，而是振动矢量的叠加
一、 同向传播的平面波的叠加
假设有两个简谐平面波，其时间频率为ω相同，振幅分别为E10和E20，初始位
相分别为10 和 20 ，振动方向平行，传播方向沿着 z 轴，它们被表示为：
E1 E10 exp i kz t 10 E2 E20 exp i kz t 20
(5)驻波的位相因子与z无关，不存在位相的传播问题，故把 这种波称为驻波，反之称为行波。 驻波 (6)因 cos kz 20 10 2 的取值可正可负，所以在每一波 节两边的点，其振动是反相的 驻波：由于节点静止不动，所以波形没有传播。能量以 动能和势能的形式交换储存，亦传播不出去。
E10 exp i10 E20 exp i20 exp i kz t
E0 exp i kz t
其中：
（2.2.1 ）
E0 E10 exp i10 E20 exp i 20
E0 exp i0
2 2 上式中：| E0 | [ E10 E20 2E10 E20 cos(20 10 )]
1 2
E10 sin 10 E20 sin 20 0 arctan[ ] E10 cos 10 E20 cos 20
二、反向传播的平面波的叠加——驻波及其实验
E10 cos 10 E20 cos 20 i E10 sin 10 E20 sin 20
E0 exp i0
(2.2.2)
1 2
上式中：
2 2 | E0 | [ E10 E20 2E10 E20 cos( 20 10 )]
物理光学A---第二章 光波的叠加与分析
相速度
群速度
h
z
26
2.5 光波的分析
P20 理想纯洁光：E Acoskz t 时间、空间无限延展的周期函
数 实际光：波列长度都有限
本节：复杂波是单色波的叠加 2.5.1 周期性波的分析
参见图2.18，该波的运动在一定的空间周期内重复一次，即 为周期性波。 应用数学上的傅立叶级数定理，具有空间周期的函数f(x)可 以表示为一组空间周期为的整分数倍的简谐函数之和，即
波强度 0和 在 4a2之间变化，这大 种时 强小 度的 时现象称
h
20
beat
1
2ACos
2
10
t
20
1
Cos
2
10
20
t
2
2
2
2
time
h
21
出现拍现象时的拍频等于2 m, 而m= 1-2,为参与叠加的两光 波的 频率之差，所以可通过观测光学拍现象来检测光波的微小
频率差。
2.4.2 群速度和相速度 对于一个单一的单色光波，光速是指其等位相面的传播速度，称 为相速度。对于两个单色波的合成波，光速包含两种传播速度： 等位相面的传播速度和等振幅面的传播速度，分别称为相速度和 群速度。由合成波波函数可求得两速度的表示式。
稳定的光强度的周期性变化，这就是光的干涉现象，这种叠加
称为相干叠加，叠加的光波称为相干光波。
h
7
二 .复数方法
三 光源S1、S2发出的单色光波在P点的复数形式的波函数为
E1 a1e xip a1t E2 a2exip a2t
两者叠加的合振动为
EE 1E 2a1ex i p 1ta2ex i p2t a1ex ip 1a2ex ip 2ex ip t
物理光学-2光波的叠加与分析201
§2.1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
1. 代数加法 两光波在P点的振动可用波函数表示为： E1 = a1 cos(kr1 − ω t ) E2 = a2 cos(kr2 − ω t ) a1 , a2分别是两光波在P点的振幅。
S1 r1
y P
S2
r2
由叠加原理， P点的合振动应为两振动 的叠加： E = E1 + E 2 = a1 cos(kr1 − ω t ) + a 2 cos(kr2 − ω t ) 令α 1 = kr1，α 2 = kr2，可将上式化简为 E = a1 cos(α 1 − ω t ) + a 2 cos(α 2 − ω t )
E B
§2.2 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
1. 椭圆偏振光
当两波到达 Z轴上 P点时，振动方程为 E x = a1 cos (kz1 − ω t ) E y = a 2 cos (kz 2 − ω t )
x
S1 S2 z1
y
z
P
两波在P点处叠加后的合振动 E = x0 E x + y0 E y = x0 a1 cos(kz1 − ω t ) + y0 a2 cos(kz 2 − ω t )
讨论
2 A2 = a12 + a2 + 2a1a2 cos(α 2 − α1 )
1. 设两单色光波在P点的振幅相等：a1 = a2 = a，则合振动的强度为 I = A2 = a 2 + a 2 + 2aa cos(α 2 − α1 ) = 4a 2 cos 2 式中 I 0 = a 2，是单个光波的光强度；
入射波和反射波的波函数为： E1 = a cos ( kz +ω t ) E1′ = a cos ( kz −ω t+δ )
2光波的叠加与分析
第二章 光波的叠加与分析 2.1 两个频率相同、振动方向相同的 单色波的叠加 2.2 驻波 2.3两个频率相同、振动方向互相垂直 的光波的叠加 2.4 不同频率的两个单色波的叠加
波的叠加原理:几个波在相遇点产生的合振动是各个波 在该点产生振动的矢量和.
E E E E 1 2 n
合成的光强取决于相位差=α1-α2
2
2 k r k r n ( r r ) 1 2 1 1 2 2 1 2
Δ=n(r1-r2)为光程差
2 m I I max ＝ m 0 , 1 , 2 ( 2 m 1 ) I I min
得合振动:
E A cos( t )
a si n a si n 1 1 2 2 tg a cos a cos 1 1 2 2
2 2 2 A a a 2 a a cos( ) 1 2 1 2 1 2
合成的光强:
2 2 2 I ＝ A ＝ a a 2 a a cos( ) 1 2 1 2 1 2
m I I max ＝ m 0 , 1 , 2 ( 2 m 1 ) I I min 2
2.2.2 复数方法
E a exp[ i ( t )] 1 1 1
E a exp[ i ( t )] 2 2 2
E ＝ E ＋ E ＝ a exp[ i ( t )] ＋ a exp i ( t )] 1 2 1 1 2 2
a si n ＋ a si n 1 1 2 2 tg ＝ a cos ＋ a cos 1 1 2 2
波的叠加原理:几个波在相遇点产生的合振动是各个波 在该点产生振动的矢量和.
E E E E 1 2 n
合成的光强取决于相位差=α1-α2
2
2 k r k r n ( r r ) 1 2 1 1 2 2 1 2
Δ=n(r1-r2)为光程差
2 m I I max ＝ m 0 , 1 , 2 ( 2 m 1 ) I I min
得合振动:
E A cos( t )
a si n a si n 1 1 2 2 tg a cos a cos 1 1 2 2
2 2 2 A a a 2 a a cos( ) 1 2 1 2 1 2
合成的光强:
2 2 2 I ＝ A ＝ a a 2 a a cos( ) 1 2 1 2 1 2
m I I max ＝ m 0 , 1 , 2 ( 2 m 1 ) I I min 2
2.2.2 复数方法
E a exp[ i ( t )] 1 1 1
E a exp[ i ( t )] 2 2 2
E ＝ E ＋ E ＝ a exp[ i ( t )] ＋ a exp i ( t )] 1 2 1 1 2 2
a si n ＋ a si n 1 1 2 2 tg ＝ a cos ＋ a cos 1 1 2 2
光波的叠加 物理光学 教学 讲义
光波的叠加物理光学教学讲义光波的叠加物理光学教学讲义第一节光波的叠加概述1. 光的波动性光既可以被看作是一束由粒子构成的粒子流，也可以被看作是一种波动的现象。
在物理光学中，我们将光视为一种波动，通过光的波动性可以解释和预测光的各种现象。
2. 光波的叠加原理光波的叠加原理是指当两个或多个光波相遇时，它们的振幅将叠加在一起形成新的光波。
具体说来，如果两个光波的相位差为整数倍的波长，它们的振幅将相加，形成增强的光波；如果相位差为奇数倍的波长，它们的振幅将相消，形成减弱的光波。
3. 光的干涉和衍射光的干涉是指两个或多个光波相遇形成干涉图样的现象。
光的衍射是指光通过绕过障碍物或通过狭缝时产生的弯曲和扩散现象。
干涉和衍射是光波叠加现象的典型表现。
第二节光的干涉叠加1. 杨氏双缝干涉实验介绍杨氏双缝干涉实验的原理和装置，包括光源、双缝、屏幕和观察装置等。
讲解双缝干涉的干涉图样，解释干涉条纹的形成原因。
2. 干涉条纹的特性和解释解释干涉条纹的亮暗规律，讲解干涉条纹的等倾和等厚条纹。
解释波的叠加和相位差的概念，引出双缝干涉的相长干涉和相消干涉。
3. 劈尖光的干涉介绍劈尖光的准直性和运动方向，讲解劈尖光的产生和观察方法。
讲解劈尖光与非劈尖光的干涉差异，解释劈尖光的干涉条纹。
第三节光的衍射叠加1. 单缝衍射介绍单缝衍射实验的原理和实验装置，包括光源、单缝、屏幕和观察装置等。
讲解单缝衍射的衍射图样，解释衍射图样的特性和规律。
2. 衍射级别和衍射极大解释衍射级别和衍射极大的概念，讲解衍射极大的定量计算方法。
解释衍射级别的关系，引出衍射极大的间隔公式。
3. 衍射光栅的原理和应用介绍衍射光栅的结构和制作方法，讲解光栅的分光作用和解析度的概念。
讲解光栅的应用，包括光谱仪、分光计和光学信息存储等。
第四节光波的叠加应用1. 全息术介绍全息术的原理和实验装置，讲解全息图样的形成过程和观察方法。
讲解全息术的应用，包括全息照相、全息显微术和全息存储等。
物理光学第二章光波的叠加与分析
2 变，将出现一系列的 幅振 为零的点 —波节和一系列振幅为 大最 值
的点—波腹。
2 由 cos k z 0可求得波节的位置为
2
kz n
22
n 1，3，5，
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.2.2 驻波实验
典型的驻波实验是维纳驻波实验。
1. P57 图2.8 2. 感光 3.全反射
E1 a1e xip a1t E2 a2exip a2t
两者叠加的合振动为
EE 1E 2a1ex i p 1ta2ex i p2t a1ex ip 1a2ex ip 2ex ip t
设中括号A内 exi p 的 ，部 则分 上为 式简化为
EAexi pexpitAexi pt
合振动振幅为
A2 a12 a22 2a1a2 cos2 1
当两波到Z达 轴上P点时，振动方程为
Ex Ey
aa12ccoosskkzz12tt
两波P点 在 处 叠加后的合振动为
E xx0 0a E1xcoyk0sE1 zyty0a2coksz2 t
合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可 得其末端的运动轨迹方程：
这个方Ea12x2程 Ea表 22y2 明 2Ea矢 1x： aE2y量 c合 o末 s振 2 端 动 1的 si轨 n2椭 迹 2 圆 是 1。 一个 物理光学第二章光波的叠加与分析
光驻波现象在多个光学过程中存在，现在见的最 多的是在激光器谐振腔中多次往复反射的光波 形成的驻波。激光输出的这种稳定的驻波称为 激光束的纵模。
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.3 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
2.3.1 椭圆偏振光
参见图2.10：由光源S1、S2发出两个单色光波，频率相同，振动 方向相互垂直。设两波的振动方向分别平行于X轴和Y轴。
的点—波腹。
2 由 cos k z 0可求得波节的位置为
2
kz n
22
n 1，3，5，
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.2.2 驻波实验
典型的驻波实验是维纳驻波实验。
1. P57 图2.8 2. 感光 3.全反射
E1 a1e xip a1t E2 a2exip a2t
两者叠加的合振动为
EE 1E 2a1ex i p 1ta2ex i p2t a1ex ip 1a2ex ip 2ex ip t
设中括号A内 exi p 的 ，部 则分 上为 式简化为
EAexi pexpitAexi pt
合振动振幅为
A2 a12 a22 2a1a2 cos2 1
当两波到Z达 轴上P点时，振动方程为
Ex Ey
aa12ccoosskkzz12tt
两波P点 在 处 叠加后的合振动为
E xx0 0a E1xcoyk0sE1 zyty0a2coksz2 t
合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可 得其末端的运动轨迹方程：
这个方Ea12x2程 Ea表 22y2 明 2Ea矢 1x： aE2y量 c合 o末 s振 2 端 动 1的 si轨 n2椭 迹 2 圆 是 1。 一个 物理光学第二章光波的叠加与分析
光驻波现象在多个光学过程中存在，现在见的最 多的是在激光器谐振腔中多次往复反射的光波 形成的驻波。激光输出的这种稳定的驻波称为 激光束的纵模。
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.3 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
2.3.1 椭圆偏振光
参见图2.10：由光源S1、S2发出两个单色光波，频率相同，振动 方向相互垂直。设两波的振动方向分别平行于X轴和Y轴。
《物理光学》第二章 光波的叠加和分析
注意
波的叠加不是强度的叠加，也不是振幅的简单相 加，而是振动矢量的叠加
一、 同向传播的平面波的叠加
假设有两个简谐平面波，其时间频率为ω相同，振幅分别为E10和E20，初始位
相分别为10 和 20 ，振动方向平行，传播方向沿着 z 轴，它们被表示为：
E1 E10 exp i kz t 10 E2 E20 exp i kz t 20
(1)、驻波波函数 假设两个简谐平面标量波的时间频率为ω，振幅分别E10 和E20，初始位相为 10 和20 ，一列波沿着z轴正向传播 另一列沿z轴负向传播，假定E10=E20= E0，即有：
E1 E0 exp i kz t 10
E2 E0 exp i kz t 20
光波叠加原理的数学基础：
2 如果光波E1 (r , t ) 和 E 2 ( r , t )都是方程 E E 的解， t 2
2
则它们的线性叠加 C1E1 (r , t ) C2 E2 (r , t ) C3 也显然是该方程
的解，并且构成一个复杂的波
微分波动方程的解的叠加性，构成了光波叠加原理的数学
（2.2.3 ） （2.2.4 ）
E10 sin 10 E20 sin 20 0 arctan[ ] E10 cos10 E20 cos 20
由以上分析得到合成波的表达式为：
E ( z , t ) | E0 | exp i kz t 0 表明：
几束简单的光波复杂的光波叠加分解一标量波和矢量波光波是横波选择传播方向为直角坐标系的z方向则矢量就变成了二维矢量可将之分解为xy方向的分量是矢量光波本质上是矢量波若光波传播的媒质对这两个方向上的分量有相同的性质则这两个分量有相同的传播规律于是任一个分量的波函数就可代表其对应的矢量波则矢量波的处理变为标量波处理
物理光学课件：1_5光波的叠加 基本
10
二、复数方法： 仍考虑两束同向传播的平面波的叠 加问题，原光波的波函数可以分别 写成 ：
E1 E10 exp[i(kz t 10 )]
E2 E20 exp[i(kz t 20 )]
合成波为同频率的简谐波：
E ( z, t) [E10 exp(i10 ) E20 exp(i20 )]exp[i(kz t)] E0 exp(i0 ) exp[i(kz t)]
不同的 不同的
振幅
初相位
11
[E10 exp(i10 ) E20 exp(i 20 )] E0 exp i0
❖ 其中
E120
E
2 20
2 E10 E20
cos( 20
10 )
E
2 0
tg 0
E10 sin 10 E10 cos10
E20 sin 20 E20 cos 20
i
❖ 如果，E10=E20 则有
tg a1 sin1 a2 sin2 a1 cos 1 a2 cos 2
可见：P点的振动也是一个简谐振动，振动频率和振动方向 6 都与两单色光波相同，而振幅A和初位相分别由上两式决定。
❖ 进一步：若两个单色光波在P点振幅相等。
即a1=a2=a 则P点的合振幅：
A2
a12
a22
2a1a2
cos( 2
光波的叠加原理:几个光波在相遇点产生的合振动是各个光波单 独在该点产生的振动的矢量和.
叠加原理是波动光学的基本原理。
2
叠加原理的特点:
叠加结果为光波 振幅 的矢量和，而不是 光强 的和。
E( p) E1( p) E2 ( p)
光波传播的独立性：两个光波相遇后又分开，每个 光波仍然保持原有的特性（频率、波长、振动方向、 传播方向等）,按照原来的传播方向继续前进。
二、复数方法： 仍考虑两束同向传播的平面波的叠 加问题，原光波的波函数可以分别 写成 ：
E1 E10 exp[i(kz t 10 )]
E2 E20 exp[i(kz t 20 )]
合成波为同频率的简谐波：
E ( z, t) [E10 exp(i10 ) E20 exp(i20 )]exp[i(kz t)] E0 exp(i0 ) exp[i(kz t)]
不同的 不同的
振幅
初相位
11
[E10 exp(i10 ) E20 exp(i 20 )] E0 exp i0
❖ 其中
E120
E
2 20
2 E10 E20
cos( 20
10 )
E
2 0
tg 0
E10 sin 10 E10 cos10
E20 sin 20 E20 cos 20
i
❖ 如果，E10=E20 则有
tg a1 sin1 a2 sin2 a1 cos 1 a2 cos 2
可见：P点的振动也是一个简谐振动，振动频率和振动方向 6 都与两单色光波相同，而振幅A和初位相分别由上两式决定。
❖ 进一步：若两个单色光波在P点振幅相等。
即a1=a2=a 则P点的合振幅：
A2
a12
a22
2a1a2
cos( 2
光波的叠加原理:几个光波在相遇点产生的合振动是各个光波单 独在该点产生的振动的矢量和.
叠加原理是波动光学的基本原理。
2
叠加原理的特点:
叠加结果为光波 振幅 的矢量和，而不是 光强 的和。
E( p) E1( p) E2 ( p)
光波传播的独立性：两个光波相遇后又分开，每个 光波仍然保持原有的特性（频率、波长、振动方向、 传播方向等）,按照原来的传播方向继续前进。
《物理光学》第2章,光波的叠加与分析
E E a
2 x 2 y
2
面对光的传播方向看
合成电矢量未端的运动描成一个圆——圆偏振光。
2.3.3 左旋和右旋
对着光传播的方向看去，合成电矢量是顺时针方向旋转时， 偏振是右旋的，反之是左旋的 。
y 传播方向 右旋椭圆 偏振光 E 0 y
x
x z
/2
左旋椭圆 偏振光 某时刻左旋圆偏振光E随z的变化
相幅矢量加法是一种图解法，可方便求解多个波的叠加。 相幅矢量A的长度 = 振幅；它与x 轴夹角 = 振动位相角；相幅矢量顺时 针以绕o点转动，矢量末端在x轴上
A a1 1
x
的投影运动代表简谐振动。
两个简谐振动的合成图示为：
2 A2 a12 a2 2a1a2 cos1 2
角频率分别为ω1和ω2的单色光波沿z方向传播：
E1 E0 cos 1t k1 z E2 E0 cos 2t k2 z
这两个光波的迭加得到 ：
E 2 E0 cos 1 1 2 t k1 k2 z cos 1 1 2 t k1 k2 z 2 2
d d
当n 1.49时 tan ，
max
2
0.4094 max 44032 / 4. ,
所以光束在棱体内两次全反射不能产生圆偏振光。
2.4 不同频率的两个单色光波的迭加
设有两个振动方向相同、振幅相等、频率相差很小 单色光波迭加，将产生光学上有意义的“拍”现象。
2.4.1 光拍
叠加光强讨论：
（1）当 2m 时，I=4I0 振动加强
（ 2 （2）当 m 1 / 2） 时， I=0 振动减弱
（3）当位相处于两者之间时，P点光强介于0~4I0间 只要两光波的位相差保持不变，在叠加区域内各点的光强分 布也是不变的。 光的干涉：在叠加区域内出现光强稳定的强弱分布的现象。 两相干光波叠加后，光的能量重新分布，有的地方变亮，有 的地方变暗。
《物理光学》光波的叠加综述
2 x 2 1 2 y
E与x轴的夹角满足： E2 E20 cos(kz −ωt +ϕ20 ) tgα = = E1 E10 cos(kz −ωt +ϕ10 ) 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z 和t变化。即合成波一般不是线偏振波。
§2-3 两个频率、传播方向相同、 两个频率 传播方向相同 频率、 相同、 振动方向互相垂直的 振动方向互相垂直的光波的叠加 椭圆形状由两叠加光波的位相差 δ=α2-α1或光程差∆和振幅比a2/a1 决定。 或光程差∆和振幅比a 旋向由δ 旋向由δ=α2-α1或光程差∆决定， 或光程差∆ sinδ sinδ>0 左旋情况 sinδ sinδ<0 右旋情况 强度： I = I x + I y 表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个 振动方向互相垂直的单色光波的强度之和， 它与两个叠加波的位相无关。
20 10
i(ϕ10 +ϕ20 ) ) exp[ ]exp[−iωt)] 2
§2-3 两个频率、传播方向相同、 两个频率 传播方向相同 频率、 相同、 振动方向互相垂直的 振动方向互相垂直的光波的叠加 叠加的结果为椭圆偏振光，和矢量终点的轨迹 满足如下方程：
E Ex Ey E + 2 −2 cosδ = sin 2 δ a1a2 a a2
k 3k 5k 7k
§2-5光波的分析
傅里叶级数也可以表示为复数形式: 傅里叶级数也可以表示为复数形式: f (z) = ∑C exp(inkz) (4)
∞ n=−∞ n
其中系数
λ
Cn =
1
λ−
∫ f (z) exp(−inkz)dz λ
2
2
E与x轴的夹角满足： E2 E20 cos(kz −ωt +ϕ20 ) tgα = = E1 E10 cos(kz −ωt +ϕ10 ) 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z 和t变化。即合成波一般不是线偏振波。
§2-3 两个频率、传播方向相同、 两个频率 传播方向相同 频率、 相同、 振动方向互相垂直的 振动方向互相垂直的光波的叠加 椭圆形状由两叠加光波的位相差 δ=α2-α1或光程差∆和振幅比a2/a1 决定。 或光程差∆和振幅比a 旋向由δ 旋向由δ=α2-α1或光程差∆决定， 或光程差∆ sinδ sinδ>0 左旋情况 sinδ sinδ<0 右旋情况 强度： I = I x + I y 表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个 振动方向互相垂直的单色光波的强度之和， 它与两个叠加波的位相无关。
20 10
i(ϕ10 +ϕ20 ) ) exp[ ]exp[−iωt)] 2
§2-3 两个频率、传播方向相同、 两个频率 传播方向相同 频率、 相同、 振动方向互相垂直的 振动方向互相垂直的光波的叠加 叠加的结果为椭圆偏振光，和矢量终点的轨迹 满足如下方程：
E Ex Ey E + 2 −2 cosδ = sin 2 δ a1a2 a a2
k 3k 5k 7k
§2-5光波的分析
傅里叶级数也可以表示为复数形式: 傅里叶级数也可以表示为复数形式: f (z) = ∑C exp(inkz) (4)
∞ n=−∞ n
其中系数
λ
Cn =
1
λ−
∫ f (z) exp(−inkz)dz λ
2
2
物理光学第二章光波的叠件与分析
振动的合成特别有用，如右图
A
所示，可以用矢量的多边形加
法求出合矢量。
a1
O
a4 a 3 23
a2
12
x
第二节 驻波
一、驻波的形成
两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反的 单色波产生驻波
1: 驻波的波函数 如图所示,设反射
面是z=0的平面，为 方便起见，假定界面 的反射比很高，可以 设入射波和反射波的 振幅相等。
二、几种特殊情况
根据下式：
2
EE x
2 y
2E xE yco ssi2n
a a 2 1
2 2
P点光强最大：Im ax4I0
当 2(m1) (m=0、1、2… )时，
2 P点光强最大：Imin 0
介于上述两者之间时, P点光强在最大和最小值之间。 从上述分析表明：在P点叠加的合振动的光强I取决于 两光波在叠加点的相位差。
由于我们假定两光波在S1和S2处的相位相同,因此两 光波在P点的相位差就是由于从两光源到P点的距离不同
22
相邻波节（或波腹）之间的距离为 2，相邻波节和波 腹间的距离为 4 ，且波节、波腹的位置不随时间而变。
若考虑反射面是z=0平面，x的方向指向入射波所在
介质，介质折射率为n1；反射面后介质的折射率为n2， 且n2﹥n1，则有 (在垂直入射时有的位相跃变)则 在z=0点形成一个波节。
另外从驻波的相位因子 cos(t )可以看出，它与z无 关，即合成波上任意点的振动位相2都相同，亦即不存在
令： a 1co 1 s a 2co 1 s A cos a 1 si1 n a 2si2 n A sin
A和 为待定的常数，把上面两式分别平方后相加可得
不同频率光波的叠加与分析
不同频率光波的叠加与分析干涉是指两个或多个波在一定条件下相互作用并产生干涉图样的现象。
在光学中，干涉实验往往使用两个具有不同频率的光波进行。
当两个光波相遇时，它们会相互干涉，最终形成干涉图样。
干涉可以分为两种类型：构建干涉和破坏干涉。
构建干涉通常发生在两个相干波叠加时，产生干涉条纹图案。
破坏干涉发生在两个相消波的叠加时，使得波的幅度减小或甚至完全破坏。
干涉现象的分析可以通过强度的测量来实现。
干涉条纹的强度可以使用干涉仪或波前传感器进行测量。
在干涉仪中，光波被分成两个相互独立的波，并在后续的叠加中产生干涉。
波前传感器是一种使用传感器来测量波前形状和波长的装置，它可以提供更为精确的干涉强度测量结果。
干涉的另一个重要应用是在干涉仪中的谱学分析。
谱学分析是一种通过测量光波的频率和强度来分析其组成的方法。
在干涉仪中，通过将不同频率的光波分成两路，并在后续的叠加中形成干涉，可以将其分离成不同频率的成分。
通过测量不同频率的光波的强度，可以得到光波的频谱信息。
除了干涉，衍射也是一种用于不同频率光波叠加分析的方法。
衍射是波在传播中遇到障碍物或孔径时发生的现象。
当不同频率的光波通过一个孔径或障碍物时，会发生衍射，形成特定的衍射图样。
通过观察衍射图样的形状和强度分布，可以推断光波的频率和波长。
在现代光学研究中，光波的叠加和分析是一项极其重要的技术。
它不仅在基础研究中起到关键作用，还在应用研究中有着广泛的应用。
例如，在光通信领域中，叠加和分析技术被用来调制和解调光信号，实现高速数据传输。
在光谱学中，叠加和分析技术被用来分析不同物质的发光特性，从而得到其组成和性质的信息。
总结起来，不同频率光波的叠加和分析是光学研究中的重要课题。
通过干涉和衍射等现象，可以实现光波的分离和测量，并得到其频率和强度的信息。
该技术在基础研究和应用研究中都具有重要的意义，对于光学技术的发展和应用有着重要的推动作用。
光波的叠加与分析
E2(z 0) E1(z 0) E2(z 0) 0
1
5 10 7 1 10 6 1.5 10 6 2 10 6
1.827 2
110 7
z
210 6
以光强度表示为
20 10
I
4I0
cos2
2
在P点的迭加光强度决定于位相差：
极大：
I 4I0
2m
n z2 z1 m
极小：
I 0
两个振动方向相同、振幅相等、频率相差很小单色光
波迭加
2.4.1 光学拍
角频率分别为ω1和ω2的单色光波沿z方向传播：
E1 E0 cos 1t k1z 这两个光波的迭加得到 ： E2 E0 cos 2t k2z
——椭圆偏振光 §2.3
❖ 同方向不同频率的光波的叠加 §2.4
——光学“拍”
线性媒质：
波的独立传播原理：几个波的传播,互不干扰,按 照各自的规律传播。每一个波独立的产生作用， 不因其他波的存在而受到影响。
波的迭加原理：几个波在相遇点产生的合振动是 各个波单独产生的振动的矢量和。
真空中普遍成立，介质中微扰条件（线性） 照射场小于：原子外层电子电场1010V/m.
E
E1
E1 '
2E10
cos
2
z cos
cos
wt
x平面合波z=0：
E
E1 E1 '
2E10
cos
2
x sin
wt
2.3 两个频率相同、振动方向互相垂直的光 2.3.1 椭圆偏振光 波的迭加
两个频率相同而振动方向相互垂直的单色光波的迭加。
s1
s2
y
x
p
z
1
5 10 7 1 10 6 1.5 10 6 2 10 6
1.827 2
110 7
z
210 6
以光强度表示为
20 10
I
4I0
cos2
2
在P点的迭加光强度决定于位相差：
极大：
I 4I0
2m
n z2 z1 m
极小：
I 0
两个振动方向相同、振幅相等、频率相差很小单色光
波迭加
2.4.1 光学拍
角频率分别为ω1和ω2的单色光波沿z方向传播：
E1 E0 cos 1t k1z 这两个光波的迭加得到 ： E2 E0 cos 2t k2z
——椭圆偏振光 §2.3
❖ 同方向不同频率的光波的叠加 §2.4
——光学“拍”
线性媒质：
波的独立传播原理：几个波的传播,互不干扰,按 照各自的规律传播。每一个波独立的产生作用， 不因其他波的存在而受到影响。
波的迭加原理：几个波在相遇点产生的合振动是 各个波单独产生的振动的矢量和。
真空中普遍成立，介质中微扰条件（线性） 照射场小于：原子外层电子电场1010V/m.
E
E1
E1 '
2E10
cos
2
z cos
cos
wt
x平面合波z=0：
E
E1 E1 '
2E10
cos
2
x sin
wt
2.3 两个频率相同、振动方向互相垂直的光 2.3.1 椭圆偏振光 波的迭加
两个频率相同而振动方向相互垂直的单色光波的迭加。
s1
s2
y
x
p
z
华中科技大学物理光学第二章
E A
2
S1
r1 r2
P
S2
E 1 = a 1 cos (kr 1 − ω t ) = a 1 cos (α 1 − ω t ) = a 2 cos (kr 2 − ω t ) = a 2 cos (α = a 12 + a 2 + 2 a 1 a 2 cos (α 2 a 1 sin α 1 + a 2 sin α 2 a 1 cos α 1 + a 2 cos α 2
n
内容
2-1 两个频率相同、振动方向相同的单 色光波叠加； 2-2 驻波； 2-3 两个频率相同、振动方向垂直的光 波叠加； 2-4 不同频率的两个单色波叠加； 2-5 光波的分析。
2-1 两个频率相同、振动方向相同 的单色光波叠加
研究对象：频率相同、振动方 向相同，P点光波相遇区域 任一点，求在P点的光振 动。 代数加法
第二章：光波的叠加与分析
杨振宇
本章研究频率相同、或相差很小的单色 光波的叠加； 任何复杂的光波都能分解为一组单色光 波之和； 光波服从叠加原理：在线性介质中，几 个光波在相遇点的合振动是各个光波单 独产生的振动的矢量和； E = E1 + E2 + ... = ∑ En 光波的分析：傅立叶级数定理、傅立叶 积分定理。
频率虽有差别，但差别很小， E 1 = acos (k 1 z − ω 1 t ) E 2 = acos (k 2 z − ω 2 t )
A = 2 acos (k m z − ω m t )
E = E 1 + E 2 = Acos (k z − ω t )
(2 - 45)
k m = (k 1 − k 2 ) 2 , ω m = (ω 1 − ω 2 ) 2
2
S1
r1 r2
P
S2
E 1 = a 1 cos (kr 1 − ω t ) = a 1 cos (α 1 − ω t ) = a 2 cos (kr 2 − ω t ) = a 2 cos (α = a 12 + a 2 + 2 a 1 a 2 cos (α 2 a 1 sin α 1 + a 2 sin α 2 a 1 cos α 1 + a 2 cos α 2
n
内容
2-1 两个频率相同、振动方向相同的单 色光波叠加； 2-2 驻波； 2-3 两个频率相同、振动方向垂直的光 波叠加； 2-4 不同频率的两个单色波叠加； 2-5 光波的分析。
2-1 两个频率相同、振动方向相同 的单色光波叠加
研究对象：频率相同、振动方 向相同，P点光波相遇区域 任一点，求在P点的光振 动。 代数加法
第二章：光波的叠加与分析
杨振宇
本章研究频率相同、或相差很小的单色 光波的叠加； 任何复杂的光波都能分解为一组单色光 波之和； 光波服从叠加原理：在线性介质中，几 个光波在相遇点的合振动是各个光波单 独产生的振动的矢量和； E = E1 + E2 + ... = ∑ En 光波的分析：傅立叶级数定理、傅立叶 积分定理。
频率虽有差别，但差别很小， E 1 = acos (k 1 z − ω 1 t ) E 2 = acos (k 2 z − ω 2 t )
A = 2 acos (k m z − ω m t )
E = E 1 + E 2 = Acos (k z − ω t )
(2 - 45)
k m = (k 1 − k 2 ) 2 , ω m = (ω 1 − ω 2 ) 2
《物理光学》第2章,光波的叠加与分析
角频率分别为ω1和ω2的单色光波沿z方向传播：
E1 E0 cos 1t k1 z E2 E0 cos 2t k2 z
这两个光波的迭加得到 ：
E 2 E0 cos 1 1 2 t k1 k2 z cos 1 1 2 t k1 k2 z 2 2
s p cos sin 2 n 2 tg tg 2 2 sin 2
450 (1 sin 2 ) sin 2 n 2 tg 2 2 sin 4
又 n 1 / 1.5, 450
53015或 50013
E E1 E2 A cos( t )
a1 sin 1 a2 sin 2 tan a1 cos1 a2 cos 2
2.2 驻波
2.2.1驻波的形成
两个频率相同，振动方向相同而传播方向相反
的单色光波的迭加。
n1<n2
n2
E1 a cos(kz t ) E2 a cos(kz t )
p
方位角45度时， 反射两次输出圆偏振光
5437’
5437’
例题：如图所示的菲涅耳棱体的折射率为1.5 ，入射线偏振光 电矢量与图面成450，问:1)要使从棱体射出圆偏振光，棱体顶 角φ应为多少？2)若棱体折射率为1.49，能否产生圆偏振光。
解：1）要使棱体的出射光为圆偏振光，出射p波和S波的振 幅必须相等, 位相差必须等于 / 2 。光束在棱体内以相同条 件全反射两次，每次全反射后p波和s波的位相差必须等于/ 4
6
2.2.2 维纳的实验： (用驻波概念证明电矢量感光）
证实了光驻波的存在 证实了光波对乳胶起感光作用的是电矢量而不是磁矢量。
E1 E0 cos 1t k1 z E2 E0 cos 2t k2 z
这两个光波的迭加得到 ：
E 2 E0 cos 1 1 2 t k1 k2 z cos 1 1 2 t k1 k2 z 2 2
s p cos sin 2 n 2 tg tg 2 2 sin 2
450 (1 sin 2 ) sin 2 n 2 tg 2 2 sin 4
又 n 1 / 1.5, 450
53015或 50013
E E1 E2 A cos( t )
a1 sin 1 a2 sin 2 tan a1 cos1 a2 cos 2
2.2 驻波
2.2.1驻波的形成
两个频率相同，振动方向相同而传播方向相反
的单色光波的迭加。
n1<n2
n2
E1 a cos(kz t ) E2 a cos(kz t )
p
方位角45度时， 反射两次输出圆偏振光
5437’
5437’
例题：如图所示的菲涅耳棱体的折射率为1.5 ，入射线偏振光 电矢量与图面成450，问:1)要使从棱体射出圆偏振光，棱体顶 角φ应为多少？2)若棱体折射率为1.49，能否产生圆偏振光。
解：1）要使棱体的出射光为圆偏振光，出射p波和S波的振 幅必须相等, 位相差必须等于 / 2 。光束在棱体内以相同条 件全反射两次，每次全反射后p波和s波的位相差必须等于/ 4
6
2.2.2 维纳的实验： (用驻波概念证明电矢量感光）
证实了光驻波的存在 证实了光波对乳胶起感光作用的是电矢量而不是磁矢量。
物理光学课件：1_5光波的叠加 基本
1)
4a2
cos2 (2
1 )
2
4a2
cos2
2
P点合振动的光强得
I
4I0
cos2 ( 2
1 )
2
4I0
cos 2
2
I0 a2 表示单个光波在P点的强度
2 1 表示两光波在P点的相位差 在P点叠加的合振动的光强I取决于两光波在叠加点的相位差。
δ=±2m (m=0、1、2… ) P点光强有最大值， I 4I0
驻波
18
❖ 若考虑反射面是z=0平面，z的方向指向入射波所 在介质，介质折射率为n1；反射面后介质的折射 率为n2，且n2﹥n1，则有 (在垂直入射时有 的位
相跃变,即“半波损失”)。
❖ 若介质分界面上的反射比不为1，则还同时存在行 波。
❖ 维纳驻波实验：电场引起胶片曝光，起主要作用
19
2.3、两个频率相同、振动方向垂直的单色光波的叠加
根据叠加原理，P点处的合振动为：
E x0Ex y0Ey
x0a1 cos(kz1 t) y0a2 cos(kz2 t)
20
合振动的大小和方向都是随时间变化的
Ex a1 cos(kz1 t) Ey a2 cos(kz2 t / 2)
根据叠加原理，P点处的合振动为：
E x0Ex y0Ey
在垂直于传播方向的平面内，光矢量只沿某一个固定方向 振动，则称为线偏振光，又称为平面偏振光或线偏振光。
24
Ex2 a12
E
2 y
a22
2 ExEy a1a2
cos
sin2
（2） 的奇数倍时，
Ey
a2 a1
Ex
Ey Ex
δ=π
物理光学 不同频率光波的叠加与分析
合成波的光强为 I A2 4a2 cos2 (km z mt) 2a2[1 cos2(kmz mt)]
合成波的强度随时间和位置在0～4a2之间变化，这种强
度时大时小的现象称为拍。
拍频等于 2，m 即等于振幅调制频率的两倍，或等于两
叠加单色光波频率之差。一个拍的空间长度为 12 /(2 1)
拍频的应用：利用已知的一个光频率1，测量另一个 未知的光频率2。
11
12Biblioteka 132.5 光波的傅里叶分析
1．相同频率而有任意振幅和位相的单色光波 的叠加时，所得到的合成波仍然是单色光波。
2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结 果就不再是单色波，波形曲线不再是正弦或余 弦曲线。
3．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一 组单色波。
2.5.1 周期性波的分析
该矩形波的傅里叶级数为：
f (z) 4 (sin kz 1 sin 3kz 1 sin 5kz )
3
5
其中第一项成为基波，它的空间角频率为
k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频。第二项、 第三项是三次谐波和五次谐波[空间频率 m/λ(m≥2)是谐频]。
通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里叶 分析的结果。
合成的光波：E 2acos(kmz mt)cos(kz t)
令km z mt 常数，得： vg
, k很小时，vg
d
dk
m
km
1 2
k1 k2
k
z或 t
在时间域上：2 m
2 ：在空间域上 km
群速度和相速度之间的关系
由 vg
d
dk
可得到vg与v之间的关系(用色散表示)。
vg
d
dk
d (kv) dk
合成波的强度随时间和位置在0～4a2之间变化，这种强
度时大时小的现象称为拍。
拍频等于 2，m 即等于振幅调制频率的两倍，或等于两
叠加单色光波频率之差。一个拍的空间长度为 12 /(2 1)
拍频的应用：利用已知的一个光频率1，测量另一个 未知的光频率2。
11
12Biblioteka 132.5 光波的傅里叶分析
1．相同频率而有任意振幅和位相的单色光波 的叠加时，所得到的合成波仍然是单色光波。
2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结 果就不再是单色波，波形曲线不再是正弦或余 弦曲线。
3．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一 组单色波。
2.5.1 周期性波的分析
该矩形波的傅里叶级数为：
f (z) 4 (sin kz 1 sin 3kz 1 sin 5kz )
3
5
其中第一项成为基波，它的空间角频率为
k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频。第二项、 第三项是三次谐波和五次谐波[空间频率 m/λ(m≥2)是谐频]。
通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里叶 分析的结果。
合成的光波：E 2acos(kmz mt)cos(kz t)
令km z mt 常数，得： vg
, k很小时，vg
d
dk
m
km
1 2
k1 k2
k
z或 t
在时间域上：2 m
2 ：在空间域上 km
群速度和相速度之间的关系
由 vg
d
dk
可得到vg与v之间的关系(用色散表示)。
vg
d
dk
d (kv) dk
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−7
z
2×10
−6
以光强度表示为
δ = ϕ 20 − ϕ10
I = 4 I 0 cos
2
δ
2
在P点的迭加光强度决定于位相差： 点的迭加光强度决定于位相差 极大： 极大：
I = 4I 0
极小： 极小：
δ = ±2mπ
∆ = n ( z2 − z1 ) = ± mλ
I =0
1 δ = ± m + 2π 2
（1）当 ） 点光强介于0~4I0间 （3）当位相处于两者之间时，P点光强介于 ）当位相处于两者之间时， 点光强介于 只要两光波的位相差保持不变， 只要两光波的位相差保持不变，在叠加区域内各点的光强 分布也是不变的。 分布也是不变的。 光的干涉： 光的干涉：在叠加区域内出现光强稳定的强弱分布的现象
两相干光波叠加后，光的能量重新分布，有点地方变亮， 两相干光波叠加后，光的能量重新分布，有点地方变亮， 有点地方变暗
——椭圆偏振光 §2.3 椭圆偏振光 ——光学“拍” 光学“ 光学
线性媒质： 线性媒质： 波的独立传播原理：几个波的传播,互不干扰,按 波的独立传播原理 照各自的规律传播。每一个波独立的产生作用， 不因其他波的存在而受到影响。 波的迭加原理：几个波在相遇点产生的合振动是 波的迭加原理 各个波单独产生的振动的矢量和。
E = 2 E10 cos
ϕ 20 − ϕ10
2
2 1.827 1
exp[ j (kz − ωt +
ϕ 20 + ϕ10
2
)]
E1( z , 0) E2( z , 0) E1( z , 0) + E2( z , 0)
0 1
5 .10
7
1 .10
6
1.5 .10
6
2 .10
6
− 1.827 2 1×10
E = E1 + E2 = A cos(α − ωt )
P点的合振动是一个简谐振动， 点的合振动是一个简谐振动， 振动频率和振动方向都与两单色光波相同
r1 S1 S2 r2 y p
如果两单色光波的振幅相等，即a1＝a2＝a，则P点的 合振幅:
A = a + a + 2aa cos(α 1 − α 2 ) = 2a + 2a cos δ = 4a cos
两个相邻波节或相邻波 腹之间的距离等于λ/2 腹之间的距离等于
2 1.919 E( z , 0) E z , 0.5 × 10
( ) − 15 ) E ( z , 0.8 ⋅ 10 − 15 ) E ( z , 2.5 ⋅ 10 − 15 ) E ( z , 1.5 ⋅ 10
− 15
1
0
7 5 . 10
P
∆ = n ( z1 − z2 )
δ=
2π
λ0
⋅∆
m = 0.1,2 K
2.1.3、相幅矢量加法（图解法） 相幅矢量A 长度 = 振幅 E1 = a1 cos(α1 − ωt ) 与x轴夹角 = 位相角 矢量顺时针以ω绕o点转动，矢量末端在x轴上的投影运动代表 简谐振动。E1 = a1 cos(α1 − ωt ) E2 = a2 cos(α 2 − ωt )
4 2.01 E1( z , 0) E2( z , 0) E1( z , 0) + E2( z , 0) 2 − 2.01 4 1×10
−7
2
0
5 .10
7
1 .10
6
1.5 .10
6
2 .10
6
z
2×10
−6
P点的合振动是一个简谐振动，振动频率和振动方向都与两单 色光波相同。 如果两单色光波的振幅相等，则P点的合振幅:
第二章 光波的叠加与分析
一．频率相同、振动方向相同的单色光波的迭加 *** 频率相同、 二．驻波 三．两个频率相同、振动方向垂直光波的迭加 两个频率相同、 四．不同频率的两个单色光波的迭加 五．光波的分析 * **
光波叠加种类：
同频率同方向光波的叠加 同一条直线相向传播的相干光叠加 同频率相互垂直的光波的叠加 同方向不同频率的光波的叠加 §2.4 ——干涉现象 干涉现象 ——驻波 驻波 §2.1 §2.2
两/多列波在相交处 / 振动独立
振动相加
强度干涉 两列光波相遇，每列波仍然保持原有的特性（频率、 波长、振动方向、传播方向等）。
§2.1 频率、振动方向相同单色波的迭加
迭加原理是介质对光波的线性响应的一种反映。 2.1.1、代数加法 两光波各自在P点产生的光振动可以写为 ：
E1 = a1 cos(kr1 − ωt ) E 2 = a 2 cos(kr2 − ωt )
∆ = n ( z2 − z1 ) = ± ( 2m + 1)
λ
2
位相差介于两者之间时， 点强度在0 之间。 位相差介于两者之间时，P点强度在0和4I0之间。
如果两光波在光源处的位相相同，两光波在P点的位相 差是由于从两光源到P点的距离不同而引起的。 只要两光波的初位相差保持不变，在迭加区域内各点 的强度分布也是不变的。
(a1 sin α1 + a2 sin α 2 ) = A sin α
∴合振动 E = E1 + E2 = A cos(α − ωt ) 其中
A2 = (a1 cos α1 + a2 cos α 2 ) 2 + (a1 sin α1 + a2 sin α 2 )2
= a + a + 2a1a2 cos(α1 − α 2 )
E1 = a cos(kz + ωt ) E2 = a cos(kz − ωt + δ )
E = E1 + E2 = 2a cos(kz + ) cos(ωt − ) 2 2
δ
δ
E = 2a cos(kz + ) cos(ωt − ) 2 2
与场点位置Z无关合成波的位相因子看出， 与场点位置Z无关合成波的位相因子看出，Z方向上每一点的振 动仍为频率为ω的简谐振动，不会在Z 动仍为频率为ω的简谐振动，不会在Z方向上传播 频率为 与时间无关合成波的振幅A 振幅随 值而变，这种波称为驻波 振幅随z 与时间无关合成波的振幅A，振幅随z值而变 这种波称为驻波。
2 2 2 2 2 2 2
δ
2
或以光强度表示为
I = 4 I 0 cos
2
δ
2
在P点的迭加光强度决定于位相差： 点的迭加光强度决定于位相差 P点光强介于0~4I0间 点光强介于0~4I
δ = (α 1 − α 2 )
δ = (α 1 − α 2 )
δ = ±2mπ 时，I=4I0 振动加强 （ 2 （2）当 δ = ± m + 1 / 2）π 时， I=0 振动减弱 ）
两个频率相同而振动方向相互垂直的单色光波的迭加。
s1 z1 s2 z2 y x p z
取z轴上任一点P，显然两单色光波在该点产生的光振动
2π z1 Ex = a1 cos ωt − λ
两个光振动的迭加:
2π z2 E y = a2 cos ωt − λ
E = x0 Ex + y0 E y
2 1 2 2
a1 sin α 1 + a 2 sin α 2 tan α = a1 cos α 1 + a 2 cos α 2
2 A 2 = a12 + a 2 + 2a1 a 2 cos(α 1 − α 2 )
a1 sin α 1 + a 2 sin α 2 tan α = a1 cos α 1 + a 2 cos α 2
2.1.2、复数方法 两光波各自在P点产生的光振动可以写为 ：
4 2.2
E1 = E10 exp( j (kz − ωt + ∆ϕ10 ) E1 = E20 exp( j (kz − ωt + ∆ϕ20 )
E1( z , 0) E2( z , 0) E1( z , 0) + E2( z , 0)
2
a1 α1 A
A = a + a + 2a1 a 2 cos(α 1 − α 2 ) a2
2 2 1 2 2
E = A cos(α − ωt )
A
a1 sin α 1 + a 2 sin α 2 tan α = a1 cos α 1 + a 2 cos α 2
a1 α
2.2 驻波
2.2.1驻波的形成 两个频率相同，振动方向相同而传播方向相反 两个频率相同， 的单色光波的迭加。 的单色光波的迭加
x
z平面合波x=0：
2π E = E1 + E1 ' = 2 E10 cos z cos θ cos ( wt ) λ x平面合波z=0： 2π E = E1 + E1 ' = 2 E10 cos x sin θ − wt λ
2.3 两个频率相同、振动方向互相垂直的光 两个频率相同、 2.3.1 椭圆偏振光 波的迭加
δ
δ
合成波的振幅A:
δ cos kz + = 0 2
形成波节的条件为:(始终不振动的场点) 或 kz +
A = 2a cos(kz + ) 2
δ
δ
2
= ±n
π
2
n=1，3，5…（奇数）
形成波腹的条件为：（振幅最大的场点） δ δ π cos kz + = 1 或：kz + = ± n n=0，2，4…（偶数） 2 2 2 两个相邻波节或相邻波腹之间的距离等于λ/2 两个相邻波节或相邻波腹之间的距离等于λ/2
z
2×10
−6
以光强度表示为
δ = ϕ 20 − ϕ10
I = 4 I 0 cos
2
δ
2
在P点的迭加光强度决定于位相差： 点的迭加光强度决定于位相差 极大： 极大：
I = 4I 0
极小： 极小：
δ = ±2mπ
∆ = n ( z2 − z1 ) = ± mλ
I =0
1 δ = ± m + 2π 2
（1）当 ） 点光强介于0~4I0间 （3）当位相处于两者之间时，P点光强介于 ）当位相处于两者之间时， 点光强介于 只要两光波的位相差保持不变， 只要两光波的位相差保持不变，在叠加区域内各点的光强 分布也是不变的。 分布也是不变的。 光的干涉： 光的干涉：在叠加区域内出现光强稳定的强弱分布的现象
两相干光波叠加后，光的能量重新分布，有点地方变亮， 两相干光波叠加后，光的能量重新分布，有点地方变亮， 有点地方变暗
——椭圆偏振光 §2.3 椭圆偏振光 ——光学“拍” 光学“ 光学
线性媒质： 线性媒质： 波的独立传播原理：几个波的传播,互不干扰,按 波的独立传播原理 照各自的规律传播。每一个波独立的产生作用， 不因其他波的存在而受到影响。 波的迭加原理：几个波在相遇点产生的合振动是 波的迭加原理 各个波单独产生的振动的矢量和。
E = 2 E10 cos
ϕ 20 − ϕ10
2
2 1.827 1
exp[ j (kz − ωt +
ϕ 20 + ϕ10
2
)]
E1( z , 0) E2( z , 0) E1( z , 0) + E2( z , 0)
0 1
5 .10
7
1 .10
6
1.5 .10
6
2 .10
6
− 1.827 2 1×10
E = E1 + E2 = A cos(α − ωt )
P点的合振动是一个简谐振动， 点的合振动是一个简谐振动， 振动频率和振动方向都与两单色光波相同
r1 S1 S2 r2 y p
如果两单色光波的振幅相等，即a1＝a2＝a，则P点的 合振幅:
A = a + a + 2aa cos(α 1 − α 2 ) = 2a + 2a cos δ = 4a cos
两个相邻波节或相邻波 腹之间的距离等于λ/2 腹之间的距离等于
2 1.919 E( z , 0) E z , 0.5 × 10
( ) − 15 ) E ( z , 0.8 ⋅ 10 − 15 ) E ( z , 2.5 ⋅ 10 − 15 ) E ( z , 1.5 ⋅ 10
− 15
1
0
7 5 . 10
P
∆ = n ( z1 − z2 )
δ=
2π
λ0
⋅∆
m = 0.1,2 K
2.1.3、相幅矢量加法（图解法） 相幅矢量A 长度 = 振幅 E1 = a1 cos(α1 − ωt ) 与x轴夹角 = 位相角 矢量顺时针以ω绕o点转动，矢量末端在x轴上的投影运动代表 简谐振动。E1 = a1 cos(α1 − ωt ) E2 = a2 cos(α 2 − ωt )
4 2.01 E1( z , 0) E2( z , 0) E1( z , 0) + E2( z , 0) 2 − 2.01 4 1×10
−7
2
0
5 .10
7
1 .10
6
1.5 .10
6
2 .10
6
z
2×10
−6
P点的合振动是一个简谐振动，振动频率和振动方向都与两单 色光波相同。 如果两单色光波的振幅相等，则P点的合振幅:
第二章 光波的叠加与分析
一．频率相同、振动方向相同的单色光波的迭加 *** 频率相同、 二．驻波 三．两个频率相同、振动方向垂直光波的迭加 两个频率相同、 四．不同频率的两个单色光波的迭加 五．光波的分析 * **
光波叠加种类：
同频率同方向光波的叠加 同一条直线相向传播的相干光叠加 同频率相互垂直的光波的叠加 同方向不同频率的光波的叠加 §2.4 ——干涉现象 干涉现象 ——驻波 驻波 §2.1 §2.2
两/多列波在相交处 / 振动独立
振动相加
强度干涉 两列光波相遇，每列波仍然保持原有的特性（频率、 波长、振动方向、传播方向等）。
§2.1 频率、振动方向相同单色波的迭加
迭加原理是介质对光波的线性响应的一种反映。 2.1.1、代数加法 两光波各自在P点产生的光振动可以写为 ：
E1 = a1 cos(kr1 − ωt ) E 2 = a 2 cos(kr2 − ωt )
∆ = n ( z2 − z1 ) = ± ( 2m + 1)
λ
2
位相差介于两者之间时， 点强度在0 之间。 位相差介于两者之间时，P点强度在0和4I0之间。
如果两光波在光源处的位相相同，两光波在P点的位相 差是由于从两光源到P点的距离不同而引起的。 只要两光波的初位相差保持不变，在迭加区域内各点 的强度分布也是不变的。
(a1 sin α1 + a2 sin α 2 ) = A sin α
∴合振动 E = E1 + E2 = A cos(α − ωt ) 其中
A2 = (a1 cos α1 + a2 cos α 2 ) 2 + (a1 sin α1 + a2 sin α 2 )2
= a + a + 2a1a2 cos(α1 − α 2 )
E1 = a cos(kz + ωt ) E2 = a cos(kz − ωt + δ )
E = E1 + E2 = 2a cos(kz + ) cos(ωt − ) 2 2
δ
δ
E = 2a cos(kz + ) cos(ωt − ) 2 2
与场点位置Z无关合成波的位相因子看出， 与场点位置Z无关合成波的位相因子看出，Z方向上每一点的振 动仍为频率为ω的简谐振动，不会在Z 动仍为频率为ω的简谐振动，不会在Z方向上传播 频率为 与时间无关合成波的振幅A 振幅随 值而变，这种波称为驻波 振幅随z 与时间无关合成波的振幅A，振幅随z值而变 这种波称为驻波。
2 2 2 2 2 2 2
δ
2
或以光强度表示为
I = 4 I 0 cos
2
δ
2
在P点的迭加光强度决定于位相差： 点的迭加光强度决定于位相差 P点光强介于0~4I0间 点光强介于0~4I
δ = (α 1 − α 2 )
δ = (α 1 − α 2 )
δ = ±2mπ 时，I=4I0 振动加强 （ 2 （2）当 δ = ± m + 1 / 2）π 时， I=0 振动减弱 ）
两个频率相同而振动方向相互垂直的单色光波的迭加。
s1 z1 s2 z2 y x p z
取z轴上任一点P，显然两单色光波在该点产生的光振动
2π z1 Ex = a1 cos ωt − λ
两个光振动的迭加:
2π z2 E y = a2 cos ωt − λ
E = x0 Ex + y0 E y
2 1 2 2
a1 sin α 1 + a 2 sin α 2 tan α = a1 cos α 1 + a 2 cos α 2
2 A 2 = a12 + a 2 + 2a1 a 2 cos(α 1 − α 2 )
a1 sin α 1 + a 2 sin α 2 tan α = a1 cos α 1 + a 2 cos α 2
2.1.2、复数方法 两光波各自在P点产生的光振动可以写为 ：
4 2.2
E1 = E10 exp( j (kz − ωt + ∆ϕ10 ) E1 = E20 exp( j (kz − ωt + ∆ϕ20 )
E1( z , 0) E2( z , 0) E1( z , 0) + E2( z , 0)
2
a1 α1 A
A = a + a + 2a1 a 2 cos(α 1 − α 2 ) a2
2 2 1 2 2
E = A cos(α − ωt )
A
a1 sin α 1 + a 2 sin α 2 tan α = a1 cos α 1 + a 2 cos α 2
a1 α
2.2 驻波
2.2.1驻波的形成 两个频率相同，振动方向相同而传播方向相反 两个频率相同， 的单色光波的迭加。 的单色光波的迭加
x
z平面合波x=0：
2π E = E1 + E1 ' = 2 E10 cos z cos θ cos ( wt ) λ x平面合波z=0： 2π E = E1 + E1 ' = 2 E10 cos x sin θ − wt λ
2.3 两个频率相同、振动方向互相垂直的光 两个频率相同、 2.3.1 椭圆偏振光 波的迭加
δ
δ
合成波的振幅A:
δ cos kz + = 0 2
形成波节的条件为:(始终不振动的场点) 或 kz +
A = 2a cos(kz + ) 2
δ
δ
2
= ±n
π
2
n=1，3，5…（奇数）
形成波腹的条件为：（振幅最大的场点） δ δ π cos kz + = 1 或：kz + = ± n n=0，2，4…（偶数） 2 2 2 两个相邻波节或相邻波腹之间的距离等于λ/2 两个相邻波节或相邻波腹之间的距离等于λ/2