固体电子论基础 优秀课件
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《固体中的电子》PPT课件
B
在原子的 L 壳层中，电子可能具有的四个量子数
(n，l，ml，ms)是
(1) (2，0，1，1/2)。 (2) (2，1，0，-1/2)。 (3) (2，1，1，1/2)。 (4) (2，1，-1，-1/2)。
以上四种取值中，哪些是正确的？ (A) 只有 (1)、(2) 是正确的。 (B) 只有 (2)、(3) 是正确的。 (C) 只有 (2)、(3)、(4) 是正确的。 (D) 全部是正确的。
(B) n = 3，l = 1，ml = -1，ms = -1/2。
(C) n = 1，l = 2，ml = 1，ms = -1/2。
(D) n = 1，l = 0，ml = 1，ms = -1/2。
B
直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验。 (B) 卢瑟福实验。 (C) 戴维逊 - 革末实验。 (D) 斯特恩 - 盖拉赫实验。
1s，2s，3s 电子轨道角动量为
l l 1 0 0 1 0
2p，3p 电子轨道角动量为
l l 1 1 1 1 2
在 z 方向的投影可以为
m l， 0 ，
第13章 固体中的电子 (Electrons in solid)
固体一般指晶体，是物质的一种凝聚态， 它的电性质、磁性质、甚至力性质都与其中的 电子有关。
可解释，电子先填入 4s，后填入 3d 的特例。
1s，2s，2p，3s，3p，4s，3d，4p，5s，4d，5p，6s， 4f，5d，6p，7s，6d，5f，7p，6f，7d
原子中电子排布实例表
原子 序数
元素
K s
L
s
p
M
s
p
1H 1
2 He 2
固体电子导论ppt3
的波，这种在晶体中格点间传播的波，称为格波。
一种振动模式q,
试解代入运动方程
m 2 (eiqa eiqa 2) 2 2 [1 cos(qa)]
m
2 sin qa
m2
——一维布拉菲晶格中格波的色散关系
2 sin qa
m2
常将q 限制在
色散关系具有周期性
2 m
q
1 2
)hυl
声子
晶体系统的能量可看成由大量声子组成。
声子的粒子性：
① 光子------电磁波的能量量子。电磁波可以认为是 光子流，光子携带电磁波的能量和动量。
② 声子------声子携带格波（简谐振动）的能量和动 量。若格波频率为ω，波矢q为，则声子的能量为 ħω，动量为ħq。
③ 声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律， 如同具有能量ħω和动量ħq的粒子一样。
U qi
0
0
平衡位置处势能为极小值
bij
2U qi q
j
0
略去高阶项（简谐近似）
晶体的振动势能：U qi
1 2
ij
bij qi q j
拉格朗日函数 L T U
代入拉格朗日方程
d dt
(
L qk
)
L qk
0
(k 13N )
•• 3N
qk bik qi 0 k 1,2,,3N i 1
动,因而恢复力为0,故 0
2a, q 邻近原子反向运动(位相相反)，所以恢
a 复力和频率取极大值
二、周期性边界条件
考虑有限长的一维原子链，由N个原子组成，另有 无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长 的一维原子链，各段相应原子运动情况相同。
xn xN n
一种振动模式q,
试解代入运动方程
m 2 (eiqa eiqa 2) 2 2 [1 cos(qa)]
m
2 sin qa
m2
——一维布拉菲晶格中格波的色散关系
2 sin qa
m2
常将q 限制在
色散关系具有周期性
2 m
q
1 2
)hυl
声子
晶体系统的能量可看成由大量声子组成。
声子的粒子性：
① 光子------电磁波的能量量子。电磁波可以认为是 光子流，光子携带电磁波的能量和动量。
② 声子------声子携带格波（简谐振动）的能量和动 量。若格波频率为ω，波矢q为，则声子的能量为 ħω，动量为ħq。
③ 声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律， 如同具有能量ħω和动量ħq的粒子一样。
U qi
0
0
平衡位置处势能为极小值
bij
2U qi q
j
0
略去高阶项（简谐近似）
晶体的振动势能：U qi
1 2
ij
bij qi q j
拉格朗日函数 L T U
代入拉格朗日方程
d dt
(
L qk
)
L qk
0
(k 13N )
•• 3N
qk bik qi 0 k 1,2,,3N i 1
动,因而恢复力为0,故 0
2a, q 邻近原子反向运动(位相相反)，所以恢
a 复力和频率取极大值
二、周期性边界条件
考虑有限长的一维原子链，由N个原子组成，另有 无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长 的一维原子链，各段相应原子运动情况相同。
xn xN n
固体电子理论 很好的课件讲解
CVe
N0kB 2
2
kBT EF0
R
2
2
kBT EF0
T
R 2
2
kB EF0
固体电子理论
晶格振动对热容的贡献：
德拜温度 则
由上可知，随着温度降低，CVe 增大 CVa
因此只有当温度很低时才考虑电子对热容的贡献。
总的热容为：
CV CVe CVa T bT 3 CV bT 2
平移任意晶格矢量
对应的平移算符
T
(
Rm
)
T m2 1
(a1
)
T m2 2
(a2
)
T m3 3
(a3
)
平移算符Tα的性质，作用于任意函数
平移算符作用于周期性势场 各平移算符之间对易,对于任意函数
T T T T
固体电子理论
平移算符和哈密顿量对易 对于任意函数
和
微分结果一样
（3） （4）
固体电子理论
由周期性边界条件： 1x L 1x
kx
2nx
L
nx 0,1,2
（5）
eik r
e kxxkyykz z
由归一化条件：
A = 1/ L3/ 2
（6）
E h2 2mL2
nx2 ny2 nz2
k 2mE
在能量E→E+dE之间的区域，就是半径为k和k+dk的两个球面之间的球壳层，
体积是 4π k2dk ,对应的状态数目：
dZ Vc 4 k 2dk 4 3
《固体电子论基础》课件
课件的编写目的和意义
课件的结构和内容安排
课件目的
掌握固体电子论的基本概念和原理 了解固体电子论在材料科学中的应用 掌握固体电子论的数学基础 了解固体电子论在物理、化学等领域的应用
适用人群
固体电子论专业本 科生
固体电子论爱好者
电子工程、材料科 学等领域的研究人 员
对固体电子论感兴 趣的其他人员
课件结构
固体电子论在器 件设计中的应用
半导体技术 太阳能电池 电子器件 磁学和光学应用
应用领域
固体电子结构与性质
固体电子结构
固体电子论的 概述
固体电子的能 级结构
固体电子的态 密度
固体电子的输 运性质
电子性质
电子的电荷与质 量
电子的能级与跃 迁
电子的波粒二象 性
电子在固体中的 行为
固体能带结构的定义
固体电子论概述
固体电子论的定义
定义与概念
固体电子论的研究对象
固体电子论的基本概念
固体电子论与量子力学、固体物理学的关系
固体电子论的起源
发展历程
固体电子论的发展阶段
固体电子论的应用领域
固体电子论的未来展望
研究内容
固体电子论的基 本概念和原理
固体电子论的研 究对象和方法
固体电子论在材 料科学中的应用
单击此处输入你的 项正文
电流方向：单向 导电
单击此处输入你的 项正文
伏安特性：正向和 反向伏安特调幅 信号解调为音频信
号
单击此处输入你的
项正文
开关电路：控制 电路的通断
单击此处输入你的 项正文
晶体管工作原理及应用
晶体管基本结构与工作原理 晶体管类型与特性 晶体管在电路中的应用 晶体管在固体电子器件中的重要性
固体电子论
+
能量必须符合量子化的不连续性.
+
+
+
+ +
+ + 子核束缚。 +
+
考虑电子在一维金属丝（长为L)中的运动
一维无限深势阱
2 2 2 8 2 m 2 2 （ 2 ）（E U） 0 2 x y z h
U(x) U(x)
U=0 U=0
2 8 2 m （ 2 ）E 0 2 x h
1 ( x ) 2 ( y )3 ( y )
1 ( x ) Ax sin k x x 2 ( y ) Ay sin k y y 3 ( z ) Az sin k z z
A sin k x x sin k y y sin k z z
• 只剩下正弦项,余弦项为零. • A为归一化常数,电子能量:
•自由电子的性质与理想气体中的分子相似，形成 自由电子气； •自由电子沿各个方向运动的几率相等，不会产生 电流。
金属中的离子与自由电子示意图
+
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当给固体施加外电场时： 当金属中有电场时，每个自由电子都因受到 电场力的作用而加速，即在无规则的热运动上叠 加一个定向运动。 电子与电子的相互作用忽略不计。 自由电子在运动过程中频繁地与离子实碰撞， 碰后电子向各个方向运动的几率相等。因此可认 为每个电子在相邻两次碰撞间做初速为零匀加速 直线运动。 大量自由电子的统计平均，就是以平均定向 漂移速度 v 逆着电场线漂移。
第五章 固体电子论基础
§5.2.2索末菲电子气的能量状态
• 索末菲认为金属中的价电子好比理想气 体，彼此之间没有相互作用，各自独立 地在势能等于平均势能的场中运动。如 果取平均势能为能量零点，那么要使金 属中的自由电子逸出，就必须对它作相 当的功，所以每个电子的能量状态就是 在一定深度的势阱中运动的粒子所具有 的能量状态。
（5.1-7）
• 经典自由电子理论推导的电导率公式表明，电导率的大小正比于 电荷浓度 ne （单位体积固体中的自由电子数）和单位电场强度产 生的加速度 e n 以及弛豫时间 τ 的乘积。 • 根据经典自由电子理论，即自由电子的行为如同理想气体一样， 服从玻耳兹曼统计。因此应用理想气体定律可以计算电子的动能 1 3 2 （5.1-8） 5.1-8 E = mv = k B T 2 2 • 式中 v 为自由电子平均速度；kB为玻耳兹曼常数；T为热力学温 度；m为电子质量。 • 由式（5.1-8）可以估计电子平均热运动速度。当T=0（K） 时， = 0 ；当T=300（K）时，电子动能为0.04eV，其热运动速 v 度为105m/s。由测不准关系知，电子“轨道”运动速度测不准 时约为107m/s，比所求值还大。其原因是即使在T→0（K）时， 电子运动速度也不为零，而且运动速度在106m/s。由此可见经 典自由电子理论在处理电子问题的局限性。
• 用这种模型描述的自由电子，通常称为特鲁德-洛仑兹电子，或 简称特鲁德电子。特鲁德和洛仑兹利用这一模型导出了金属电导 率和热导率，并得到了维德曼-夫兰兹定律。在没有外电场作用 时，固体中的自由电子沿着各个方向运动的几率相等，故不会产 生电流。当给固体施加外电场后，自由电子获得附加速度，于是 便沿外加电场方向发生定向运动，从而形成了电流。自由电子在 定向运动过程中，因不断与正离子发生碰撞，而使电子运动受阻， 这便是产生电阻的原因。 • 利用这一模型还可以定性地解释金属的某些性质，如金属块的不 透明性和特有的光泽，主要是由于入射光波被金属表面层电子吸 收所致，而电子吸收光波后产生强迫振动又发出光波来，因此出 现金属光泽。 • 总之，经典自由电子理论的基本内容是：金属中存在着大量能够 自由运动的电子，这些自由电子的行为象理想气体一样；正离子 所形成的电场是均匀的，电子气体除了在同离子实发生不断碰撞 的瞬间外，其余时间在离子实之间的运动被认为是自由的；电子 1τ τ 和电子之间的相互作用（碰撞）忽略不计，电子和离子之间的碰 撞过程可以用一个电子与离子实相继作用两次碰撞之间所间隔的 平均时间 （碰撞）来描述（ 表示电子和离子实之间的碰撞 几率）；电子气体是通过和离子实组成的晶格的热碰撞达到热平 衡，自由电子运动速度的热平衡分布遵循麦克斯韦-玻耳兹曼统 计规律。
第五章 固体电子论基础
以kx、ky、kz为坐标轴建立 起来的空间称为波矢空间 (也称空间)，每一个电子本 征态可以用该空间的一个 点(称状态点)表示。
3
3 态密度
能量值在E~E+∆E之间的电子本征态数目∆Z
Z
dsdk 2
3
L3
dk k E E
L3 ds Z E 3 2 k E 态密度函数N(E) Z L3 ds N ( E ) lim 3 E 0 E 2 k E
晶体的哈密顿算符包括了如下各种能量算符：
2 2 电子的动能 T e ：T e i T i 2m i i
离子的动能 T z
电子─电子互作用能
离子─离子互作用能 电子─离子互作用能
Ve
Vz
V eZ
H T e T z V e V Z V eZ
Rn n1a1 n2 a2 n3 a3
单电子在复杂势场中 的运动
单电子在周期性势场 中的运动
周 期 场 近 似
小结
能带理论把晶体系统的多粒子问题简化为 在周期场中的单电子问题。晶体电子的状态就 可以用单电子在周期场中运动的状态来描述， 电子的能量及波函数从下述方程确定：
即使在绝对零度， 电子的平均动能 也不为零。
2）T≠0K，但kBT<<EF
1 1 f ( E ) 2 0 E比EF 小几个k BT E EF E比EF 高几个k BT
0 E F的电子获得k T数量级 在T≠0K时，一部分能量低于 B 0 的热能，从而跃迁到能量高于 E F 的状态中。
第一章 固体中电子能量结构和状态 PPT
1.2.1 金属中自由电子的能级
一维情况，建立一维势阱模型
U(0) U(L)
边界条件 U( x) 0,U(0) U(L)
U(x) 0
电子能量
0
L
E
h2
2m2
2 2m
K2
代入一维薛定谔方程
d
2 ( x)
dx2
2mE 2
(x)
0
d
2 ( x)
dx 2
(
2
)2
(
x)
0
解得 Acos 2 x B sin 2 x
▪金属的费密（Fermi）-索末菲（Sommerfel）
电子理论
▪晶体能带理论
内容先后基本按照人类对电子行为认识的逐渐深入
1.1 .1电子的粒子性
霍尔效应(Hall effect) B
以金属导体为例：
I
金属中的电流就是自由
E
++_++ +_ ++_ ++_+++ Nhomakorabea+
_
+ +
_
+ +
_
+ +
_
+ +
d 2 ( x)
dx2
4 2
h2
p2 ( x)
因 P2 2mE （非相对论形式，E为经典粒子动能）
d
2 ( x)
dx2
2mE 2
(
x)
0
此为一维条件下自由电子的薛定谔方程
如电子是不自由的，其总能量是势能和动能之合 P2 2m(E U )
d
2 ( x)
第四章固态电子论基础
固体物理
第四章固态电子论基础
第四章 固态电子论基础
§4-4 金属的热容、电导与热导
利用索末菲的自由电子气模型，特别是根据金属的 费米属性，我们便可以很容易地解释金属的热容、
第四章固态电子论基础
• 金属的热容
金属是由金属离子构成的晶格与价电子（自由电子） 组成的。金属的热容应该包括晶格振动的贡献（即 声子气的贡献）和自由电子气的贡献两部分。在常 温下电子气的热容远远小于声子气的热容，故可以 忽略电子气对热容的贡献，金属的热容主要以声子 气热容的形式表现出来，在常温下为一与温度无关 的常数，满足杜隆—帕替定律。
另外，人们还发现一些金属化合物具有很大的电子热 容系数γ，其数值比一般金属的电子热容系数高出近 2～3个数量级。包括UBe13、CeAl3、CeCu2Si2和 CeCu6等，被称为重费米子金属。一般认为，由于近 邻离子中f电子波函数的弱重叠效应，使得这些化合物 中的f电子所具有的惯性质量可以达到1000 m左右。有 关重费米子金属的研究是固体物理中的研究热点之一。
根据分析，当外加电场恒定时，金属波矢空间电子 占据态的球形分布就会将越来越偏心，即净电流将 随时间不断地增加。实际上，由于金属中的杂质、 缺陷形成的势场以及声子等都会对电子的运动产生 散射，这些散射导致Δk并不会随时间t无限制地增加。 当外场的漂移作用与散射作用达到动态平衡时，电 子占据的球形分布将保持稳定的偏心。
第四章固态电子论基础
如果金属处于均匀恒定的外电场E中，则金属中的
每个电子都会受到电场力F=－eE的作用，电子的
动量按照下面规律变化：
dp dk eE dt dt
（4-55）
即：
dk
eE
dt
（4-56）
经过t时间后，电子波矢的增量为：
第四章固态电子论基础
第四章 固态电子论基础
§4-4 金属的热容、电导与热导
利用索末菲的自由电子气模型，特别是根据金属的 费米属性，我们便可以很容易地解释金属的热容、
第四章固态电子论基础
• 金属的热容
金属是由金属离子构成的晶格与价电子（自由电子） 组成的。金属的热容应该包括晶格振动的贡献（即 声子气的贡献）和自由电子气的贡献两部分。在常 温下电子气的热容远远小于声子气的热容，故可以 忽略电子气对热容的贡献，金属的热容主要以声子 气热容的形式表现出来，在常温下为一与温度无关 的常数，满足杜隆—帕替定律。
另外，人们还发现一些金属化合物具有很大的电子热 容系数γ，其数值比一般金属的电子热容系数高出近 2～3个数量级。包括UBe13、CeAl3、CeCu2Si2和 CeCu6等，被称为重费米子金属。一般认为，由于近 邻离子中f电子波函数的弱重叠效应，使得这些化合物 中的f电子所具有的惯性质量可以达到1000 m左右。有 关重费米子金属的研究是固体物理中的研究热点之一。
根据分析，当外加电场恒定时，金属波矢空间电子 占据态的球形分布就会将越来越偏心，即净电流将 随时间不断地增加。实际上，由于金属中的杂质、 缺陷形成的势场以及声子等都会对电子的运动产生 散射，这些散射导致Δk并不会随时间t无限制地增加。 当外场的漂移作用与散射作用达到动态平衡时，电 子占据的球形分布将保持稳定的偏心。
第四章固态电子论基础
如果金属处于均匀恒定的外电场E中，则金属中的
每个电子都会受到电场力F=－eE的作用，电子的
动量按照下面规律变化：
dp dk eE dt dt
（4-55）
即：
dk
eE
dt
（4-56）
经过t时间后，电子波矢的增量为：
《固体电子导论》课件
钙钛矿材料
钙钛矿材料在太阳能电池、光电探 测器等领域展现出巨大的应用潜力， 具有高效、低成本的优势。
新器件的研发
01
柔性电子器件
柔性电子器件能够适应各种曲面和弯曲状态，具有轻便、可折叠、可穿
戴等特点，为便携式电子设备和可穿戴设备的发展提供了技术支持。
02
纳电子器件
纳电子器件是指尺寸在纳米级别（10^-9米）的电子器件，具有极高的
复合材料的性能取决于其组成材料的性质以及它们的组合方式，可以通过调整材料 的比例和制备工艺来优化其性能。
03
固体电子器件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二极管
总结词
基本电子元件，具有单向导电性
详细描述
二极管是电子学中的基本元件，由一个PN结组成，它允许电流沿一个方向流动 ，阻止电流沿相反方向流动。它在各种电子设备中都有应用，如整流器、开关和 信号放大器。
燃料电池
燃料电池利用化学反应产生电 能，其中的电化学反应传感器 、电流收集器等部件由固体电
子器件构成。
医疗电子
医疗电子
医疗电子设备如医学影像设备、监护仪、起搏器等都离不开固体电子 技术的应用。
医学影像设备
医学影像设备如X光机、CT机、MRI机等利用固体电子器件实现图像 的获取、处理和显示。
监护仪
监护仪是一种用于监测病人生命体征的医疗设备，其核心部件如传感 器、放大器等由固体电子器件构成。
02
固体电子材料
半导体材料
半导体材料在固体电子技术中具有重 要地位，其导电性能介于导体和绝缘 体之间。
半导体材料的电子和空穴是可移动的， 这使得它们在制造电子器件如晶体管、 太阳能电池和集成电路等方面具有广 泛应用。
常见的半导体材料包括硅、锗、硒、 磷等元素半导体以及化合物半导体如 砷化镓、磷化铟等。
钙钛矿材料在太阳能电池、光电探 测器等领域展现出巨大的应用潜力， 具有高效、低成本的优势。
新器件的研发
01
柔性电子器件
柔性电子器件能够适应各种曲面和弯曲状态，具有轻便、可折叠、可穿
戴等特点，为便携式电子设备和可穿戴设备的发展提供了技术支持。
02
纳电子器件
纳电子器件是指尺寸在纳米级别（10^-9米）的电子器件，具有极高的
复合材料的性能取决于其组成材料的性质以及它们的组合方式，可以通过调整材料 的比例和制备工艺来优化其性能。
03
固体电子器件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二极管
总结词
基本电子元件，具有单向导电性
详细描述
二极管是电子学中的基本元件，由一个PN结组成，它允许电流沿一个方向流动 ，阻止电流沿相反方向流动。它在各种电子设备中都有应用，如整流器、开关和 信号放大器。
燃料电池
燃料电池利用化学反应产生电 能，其中的电化学反应传感器 、电流收集器等部件由固体电
子器件构成。
医疗电子
医疗电子
医疗电子设备如医学影像设备、监护仪、起搏器等都离不开固体电子 技术的应用。
医学影像设备
医学影像设备如X光机、CT机、MRI机等利用固体电子器件实现图像 的获取、处理和显示。
监护仪
监护仪是一种用于监测病人生命体征的医疗设备，其核心部件如传感 器、放大器等由固体电子器件构成。
02
固体电子材料
半导体材料
半导体材料在固体电子技术中具有重 要地位，其导电性能介于导体和绝缘 体之间。
半导体材料的电子和空穴是可移动的， 这使得它们在制造电子器件如晶体管、 太阳能电池和集成电路等方面具有广 泛应用。
常见的半导体材料包括硅、锗、硒、 磷等元素半导体以及化合物半导体如 砷化镓、磷化铟等。
五章节固体电子论基础
2020/2/10
• 只剩下正弦项,余弦项为零.
• A为归一化常数,电子能量:
E
h2 2m
(kx2
k
2 y
kz2 )(h
h
2
)
E
h2
8 2m
(nx2
ny2
nz2 )
2
L2
E
h2 8mL2
(nx2
ny2
nz2 )
粒子的状态由一组正整数（n x ,ny ,nz）来确定，
• 推广到无限个线度都是L的势阱
2m
U(r)
,
(
r
（ 0 0 p
0, r L),阱外（箱外）
r p L)阱内（箱内）
0
L
2020/2/10
• 取箱内势能,其薛定谔状态方程为:
h2 2(x, y, z) E(x, y, z)分离变量： 2m
(x, y, z) （ 1 x)（ 2 y)（ 3 z）
1 ( x ) 2 ( y ) 3 ( y ) 1 ( x) Ax sin k x x 2 ( y ) Ay sin k y y
3 ( z ) Az sin k z z
A sin k x x sin k y y sin k z z
体 积 4 k2dk
状态
数 ： dZ=
VC
4 3
4
k 2dk
2020/2/10
VC 4 2mE 2m dE 4 3 h 2 h 2 E
31
VC (2m) 2 E 2 dE
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3.电子运动最大速度
为电子相邻两次碰撞的时间间隔 。
v a eE
m
a eE m
4.电子运动的平均速度(漂移速度)
由于电子在自由程之间所获得的附加速度是从零
增加至v，所以电子运动的平均速度(漂移速度)为：
v eE
2m
5.电流、电流密度和自由电子密度、漂移速度的关系
(1)电流密度和自 由电子密度、漂 移速度的关系
固体电子论基础
一、经典理论对电子气的描述
1.特鲁特自由电子模型(1900年) (1)金属中的价电子象气体分子一样组成电子气，在温 度为T的晶体内，它们的行为和理想气体中的气体分子 一样。 (2)除了和金属离子碰撞以外，基本上是自由的。通过 和金属离子的碰撞在一定温度下达到热平衡。可以用具 有确定的平均速度和平均的自由时间的电子来代表。 (3)在外电场的作用下，电子气产生的漂移运动引起了 电流。
8.自由电子气的动能
3 2 kBT
1 mv 2 2
3 1.3810-23 300 2
6.2110-21 J 0.04eV
9.电子热运动的速度— 约为: 105m/s
v
8kT
m
81.381023 300 3.14 9.9110-31
105
m
s
三、魏德曼—弗兰兹定律
1.电导率和热导率之间的关系 实验表明：金属的电导率越高，则其热导率也越高。
M, NA为阿伏伽德罗常数，则n为：
n z N A
M
4.每个电子平均占据的体积及其等效球的半径
V 1 4rs3
Nn 3
rs
3 1 3
4n
rs～10-10m，金属中自由电子气的密度比经典理想气体 的浓度(250C时空气的分子密度为: 2.46×1025个/m3)大 1000倍左右(约为:1028～1029个/m3)。
2.特鲁特-洛伦兹自由电子模型(经典自由电子理论)
在特鲁特自由电子模型的基础上，1904年，洛伦兹
对该模型进行了补充和改进：
(1)电子气是经典粒子，服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布。
f v 4
m
32
e v -
m 2 kT
v2
2
2kT
f v
d N f vd v
N
O
v vdv
v
某一温度下麦克斯韦速率分布曲线
ne2l
2mv
C e,V
3 2 nkB
3 2 kBT
1 mv 2 2
e
3
Ce,V vl ne2l 2mv
2Ce,V v 2m 3ne 2
mv 2kB e2
3kB2T e2
LT
L
3k
2 B
e2
2.23 108
洛仑兹常数与具体 的金属和温度无关。
e LT
L
3k
2 B
e2
(1)当温度一定时，各金属的导热系数与电导率之比等
1.22
2.30
Al
3
18.1
1.10
2.07
In
3
11.5
1.27
2.41Sn414.81.172.22
Bi
5
14.1
1.19
2.25
二、金属的电导率
1.有外场E 时金属中自由电子的运动规律 (1)在外场E 的作用下, 金属中的电子在电场的反方向上 将获得附加速度;
(2)当电子与正离子发生碰撞时, 电子将失去附加速度;
5.一些金属元素的自由电子密度
元素
z
n/1028m-3 rs/10-10m
rs/a0
Li
1
4.70
1.72
3.25
Na
1
2.65
2.08
3.93
K
1
1.4
2.57
4.86
Cu
1
8.47
1.41
2.67
Ag
1
5.86
1.60
3.02
Mg
2
8.61
1.41
2.66
Ca
2
4.61
1.73
3.27
Zn
2
13.2
M
j nev ne2E
2m
j zN Ae2E A m2 2mM
设电子平均自由程为l，则 l v 电流密度可写成
6.电导率
j zN Ae2E l A m2 2mM v
j zN Ae2 l
或
E 2mM v
ne2l
2mv
7.自由电子气的压力
PCu nkT 8.41028 1.3810-23 273 3.5108 Pa
后，得到的数值都是常数(L—洛仑兹 常数)，与具体的金属和温度无关。
L T
4.魏德曼—弗兰兹—洛仑兹定律理论推导
1 Cvl
3
e
1 3
C
e,V
v
l
e 电子热导率
Ce,V
自由电子对热容的贡献,Ce,V
3 2
R
3 2 nkB
v 自由电子运动的平均速度
l 自由电子运动的平均自由程
e
1 3
C
e,V
v
l
2.魏德曼—弗兰兹定律 在不太低的温度下，金属的导热系数与电导率之比
正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。
W
ne2l
2mv
金属的导热系数； 金属的电导率；
W 魏德曼－弗兰兹常数。
1 Cvl
3
3.魏德曼—弗兰兹—洛仑兹定律(洛仑兹关系)
各种温度下，金属的导热系数 与 电导率 之比除以相应的绝对温度以
S j
v
vt
e-
I
v
—漂移速度：自由电子在
电场力作用下产生的
定向
运动的平均速度。垂直于S面。
n —自由电子密度。
t 时间内通过S的电荷为： q e n vt S
I d q envS dt
j I env
S cos
(2)电流密度的计算
n z N A
n为单位体积固体中的自由电子数。
(3)碰撞后由于外场的继续作用, 电子又会获得定向运动
速度而自由的前进。
这个过程在周期性晶体点阵 中反复不断的进行。
E
F
F
v0 0
v a v0 0
2.电子运动的动力学方程
E
F
F
v0 0
v a v0 0
F eE F ma
a eE m
E —外加电场的电场强度; m—电子质量； a—电子定向运动的加速度
(2)在一定的温度下，达到热平衡，电子具有确切的平
均动能和平均自由程。
3 2
kBT
1 kT
理想气体分子自由程
2nd 2 2 pd 2
(3)可以用经典力学定律(牛顿定律)对金属自由电子气模 型作出定量计算。
3.自由电子密度n 单位体积内的自由电子数称为自由电子密度。
设金属密度为，原子价为z,原子量为
于一个相同的常数;
(2)实验表明,洛仑兹常数只有在较高的温度即大于德拜
温度时才近似为常数;
(3)当温度趋于0K时，洛仑兹常数也趋近于零, 这是因
为金属中的导热不仅有电子的贡献,而且还有声子的贡
献。
四、经典自由电子理论的局限性
1.电子气的热容问题。
(1)晶格振动对热容CV的贡献
CVa 3NkB 3R＝24.9 J K mol ;
(2)电子若有贡献，每个电子对热容的贡献为：
CVe
3 2 kB
或
CVe