固体电子论基础 优秀课件
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《固体中的电子》PPT课件
B
在原子的 L 壳层中，电子可能具有的四个量子数
(n，l，ml，ms)是
(1) (2，0，1，1/2)。 (2) (2，1，0，-1/2)。 (3) (2，1，1，1/2)。 (4) (2，1，-1，-1/2)。
以上四种取值中，哪些是正确的？ (A) 只有 (1)、(2) 是正确的。 (B) 只有 (2)、(3) 是正确的。 (C) 只有 (2)、(3)、(4) 是正确的。 (D) 全部是正确的。
(B) n = 3，l = 1，ml = -1，ms = -1/2。
(C) n = 1，l = 2，ml = 1，ms = -1/2。
(D) n = 1，l = 0，ml = 1，ms = -1/2。
B
直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验。 (B) 卢瑟福实验。 (C) 戴维逊 - 革末实验。 (D) 斯特恩 - 盖拉赫实验。
1s，2s，3s 电子轨道角动量为
l l 1 0 0 1 0
2p，3p 电子轨道角动量为
l l 1 1 1 1 2
在 z 方向的投影可以为
m l， 0 ，
第13章 固体中的电子 (Electrons in solid)
固体一般指晶体，是物质的一种凝聚态， 它的电性质、磁性质、甚至力性质都与其中的 电子有关。
可解释，电子先填入 4s，后填入 3d 的特例。
1s，2s，2p，3s，3p，4s，3d，4p，5s，4d，5p，6s， 4f，5d，6p，7s，6d，5f，7p，6f，7d
原子中电子排布实例表
原子 序数
元素
K s
L
s
p
M
s
p
1H 1
2 He 2
固体电子导论ppt3
的波，这种在晶体中格点间传播的波，称为格波。
一种振动模式q,
试解代入运动方程
m 2 (eiqa eiqa 2) 2 2 [1 cos(qa)]
m
2 sin qa
m2
——一维布拉菲晶格中格波的色散关系
2 sin qa
m2
常将q 限制在
色散关系具有周期性
2 m
q
1 2
)hυl
声子
晶体系统的能量可看成由大量声子组成。
声子的粒子性：
① 光子------电磁波的能量量子。电磁波可以认为是 光子流，光子携带电磁波的能量和动量。
② 声子------声子携带格波（简谐振动）的能量和动 量。若格波频率为ω，波矢q为，则声子的能量为 ħω，动量为ħq。
③ 声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律， 如同具有能量ħω和动量ħq的粒子一样。
U qi
0
0
平衡位置处势能为极小值
bij
2U qi q
j
0
略去高阶项（简谐近似）
晶体的振动势能：U qi
1 2
ij
bij qi q j
拉格朗日函数 L T U
代入拉格朗日方程
d dt
(
L qk
)
L qk
0
(k 13N )
•• 3N
qk bik qi 0 k 1,2,,3N i 1
动,因而恢复力为0,故 0
2a, q 邻近原子反向运动(位相相反)，所以恢
a 复力和频率取极大值
二、周期性边界条件
考虑有限长的一维原子链，由N个原子组成，另有 无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长 的一维原子链，各段相应原子运动情况相同。
xn xN n
一种振动模式q,
试解代入运动方程
m 2 (eiqa eiqa 2) 2 2 [1 cos(qa)]
m
2 sin qa
m2
——一维布拉菲晶格中格波的色散关系
2 sin qa
m2
常将q 限制在
色散关系具有周期性
2 m
q
1 2
)hυl
声子
晶体系统的能量可看成由大量声子组成。
声子的粒子性：
① 光子------电磁波的能量量子。电磁波可以认为是 光子流，光子携带电磁波的能量和动量。
② 声子------声子携带格波（简谐振动）的能量和动 量。若格波频率为ω，波矢q为，则声子的能量为 ħω，动量为ħq。
③ 声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律， 如同具有能量ħω和动量ħq的粒子一样。
U qi
0
0
平衡位置处势能为极小值
bij
2U qi q
j
0
略去高阶项（简谐近似）
晶体的振动势能：U qi
1 2
ij
bij qi q j
拉格朗日函数 L T U
代入拉格朗日方程
d dt
(
L qk
)
L qk
0
(k 13N )
•• 3N
qk bik qi 0 k 1,2,,3N i 1
动,因而恢复力为0,故 0
2a, q 邻近原子反向运动(位相相反)，所以恢
a 复力和频率取极大值
二、周期性边界条件
考虑有限长的一维原子链，由N个原子组成，另有 无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长 的一维原子链，各段相应原子运动情况相同。
xn xN n
固体电子理论 很好的课件讲解
CVe
N0kB 2
2
kBT EF0
R
2
2
kBT EF0
T
R 2
2
kB EF0
固体电子理论
晶格振动对热容的贡献：
德拜温度 则
由上可知，随着温度降低，CVe 增大 CVa
因此只有当温度很低时才考虑电子对热容的贡献。
总的热容为：
CV CVe CVa T bT 3 CV bT 2
平移任意晶格矢量
对应的平移算符
T
(
Rm
)
T m2 1
(a1
)
T m2 2
(a2
)
T m3 3
(a3
)
平移算符Tα的性质，作用于任意函数
平移算符作用于周期性势场 各平移算符之间对易,对于任意函数
T T T T
固体电子理论
平移算符和哈密顿量对易 对于任意函数
和
微分结果一样
（3） （4）
固体电子理论
由周期性边界条件： 1x L 1x
kx
2nx
L
nx 0,1,2
（5）
eik r
e kxxkyykz z
由归一化条件：
A = 1/ L3/ 2
（6）
E h2 2mL2
nx2 ny2 nz2
k 2mE
在能量E→E+dE之间的区域，就是半径为k和k+dk的两个球面之间的球壳层，
体积是 4π k2dk ,对应的状态数目：
dZ Vc 4 k 2dk 4 3
《固体电子论基础》课件
课件的编写目的和意义
课件的结构和内容安排
课件目的
掌握固体电子论的基本概念和原理 了解固体电子论在材料科学中的应用 掌握固体电子论的数学基础 了解固体电子论在物理、化学等领域的应用
适用人群
固体电子论专业本 科生
固体电子论爱好者
电子工程、材料科 学等领域的研究人 员
对固体电子论感兴 趣的其他人员
课件结构
固体电子论在器 件设计中的应用
半导体技术 太阳能电池 电子器件 磁学和光学应用
应用领域
固体电子结构与性质
固体电子结构
固体电子论的 概述
固体电子的能 级结构
固体电子的态 密度
固体电子的输 运性质
电子性质
电子的电荷与质 量
电子的能级与跃 迁
电子的波粒二象 性
电子在固体中的 行为
固体能带结构的定义
固体电子论概述
固体电子论的定义
定义与概念
固体电子论的研究对象
固体电子论的基本概念
固体电子论与量子力学、固体物理学的关系
固体电子论的起源
发展历程
固体电子论的发展阶段
固体电子论的应用领域
固体电子论的未来展望
研究内容
固体电子论的基 本概念和原理
固体电子论的研 究对象和方法
固体电子论在材 料科学中的应用
单击此处输入你的 项正文
电流方向：单向 导电
单击此处输入你的 项正文
伏安特性：正向和 反向伏安特调幅 信号解调为音频信
号
单击此处输入你的
项正文
开关电路：控制 电路的通断
单击此处输入你的 项正文
晶体管工作原理及应用
晶体管基本结构与工作原理 晶体管类型与特性 晶体管在电路中的应用 晶体管在固体电子器件中的重要性
固体电子论
+
能量必须符合量子化的不连续性.
+
+
+
+ +
+ + 子核束缚。 +
+
考虑电子在一维金属丝（长为L)中的运动
一维无限深势阱
2 2 2 8 2 m 2 2 （ 2 ）（E U） 0 2 x y z h
U(x) U(x)
U=0 U=0
2 8 2 m （ 2 ）E 0 2 x h
1 ( x ) 2 ( y )3 ( y )
1 ( x ) Ax sin k x x 2 ( y ) Ay sin k y y 3 ( z ) Az sin k z z
A sin k x x sin k y y sin k z z
• 只剩下正弦项,余弦项为零. • A为归一化常数,电子能量:
•自由电子的性质与理想气体中的分子相似，形成 自由电子气； •自由电子沿各个方向运动的几率相等，不会产生 电流。
金属中的离子与自由电子示意图
+
+ +
+
+ +
+
+ +
+
+ +
+
+ +
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
当给固体施加外电场时： 当金属中有电场时，每个自由电子都因受到 电场力的作用而加速，即在无规则的热运动上叠 加一个定向运动。 电子与电子的相互作用忽略不计。 自由电子在运动过程中频繁地与离子实碰撞， 碰后电子向各个方向运动的几率相等。因此可认 为每个电子在相邻两次碰撞间做初速为零匀加速 直线运动。 大量自由电子的统计平均，就是以平均定向 漂移速度 v 逆着电场线漂移。
第五章 固体电子论基础
§5.2.2索末菲电子气的能量状态
• 索末菲认为金属中的价电子好比理想气 体，彼此之间没有相互作用，各自独立 地在势能等于平均势能的场中运动。如 果取平均势能为能量零点，那么要使金 属中的自由电子逸出，就必须对它作相 当的功，所以每个电子的能量状态就是 在一定深度的势阱中运动的粒子所具有 的能量状态。
（5.1-7）
• 经典自由电子理论推导的电导率公式表明，电导率的大小正比于 电荷浓度 ne （单位体积固体中的自由电子数）和单位电场强度产 生的加速度 e n 以及弛豫时间 τ 的乘积。 • 根据经典自由电子理论，即自由电子的行为如同理想气体一样， 服从玻耳兹曼统计。因此应用理想气体定律可以计算电子的动能 1 3 2 （5.1-8） 5.1-8 E = mv = k B T 2 2 • 式中 v 为自由电子平均速度；kB为玻耳兹曼常数；T为热力学温 度；m为电子质量。 • 由式（5.1-8）可以估计电子平均热运动速度。当T=0（K） 时， = 0 ；当T=300（K）时，电子动能为0.04eV，其热运动速 v 度为105m/s。由测不准关系知，电子“轨道”运动速度测不准 时约为107m/s，比所求值还大。其原因是即使在T→0（K）时， 电子运动速度也不为零，而且运动速度在106m/s。由此可见经 典自由电子理论在处理电子问题的局限性。
• 用这种模型描述的自由电子，通常称为特鲁德-洛仑兹电子，或 简称特鲁德电子。特鲁德和洛仑兹利用这一模型导出了金属电导 率和热导率，并得到了维德曼-夫兰兹定律。在没有外电场作用 时，固体中的自由电子沿着各个方向运动的几率相等，故不会产 生电流。当给固体施加外电场后，自由电子获得附加速度，于是 便沿外加电场方向发生定向运动，从而形成了电流。自由电子在 定向运动过程中，因不断与正离子发生碰撞，而使电子运动受阻， 这便是产生电阻的原因。 • 利用这一模型还可以定性地解释金属的某些性质，如金属块的不 透明性和特有的光泽，主要是由于入射光波被金属表面层电子吸 收所致，而电子吸收光波后产生强迫振动又发出光波来，因此出 现金属光泽。 • 总之，经典自由电子理论的基本内容是：金属中存在着大量能够 自由运动的电子，这些自由电子的行为象理想气体一样；正离子 所形成的电场是均匀的，电子气体除了在同离子实发生不断碰撞 的瞬间外，其余时间在离子实之间的运动被认为是自由的；电子 1τ τ 和电子之间的相互作用（碰撞）忽略不计，电子和离子之间的碰 撞过程可以用一个电子与离子实相继作用两次碰撞之间所间隔的 平均时间 （碰撞）来描述（ 表示电子和离子实之间的碰撞 几率）；电子气体是通过和离子实组成的晶格的热碰撞达到热平 衡，自由电子运动速度的热平衡分布遵循麦克斯韦-玻耳兹曼统 计规律。
第五章 固体电子论基础
以kx、ky、kz为坐标轴建立 起来的空间称为波矢空间 (也称空间)，每一个电子本 征态可以用该空间的一个 点(称状态点)表示。
3
3 态密度
能量值在E~E+∆E之间的电子本征态数目∆Z
Z
dsdk 2
3
L3
dk k E E
L3 ds Z E 3 2 k E 态密度函数N(E) Z L3 ds N ( E ) lim 3 E 0 E 2 k E
晶体的哈密顿算符包括了如下各种能量算符：
2 2 电子的动能 T e ：T e i T i 2m i i
离子的动能 T z
电子─电子互作用能
离子─离子互作用能 电子─离子互作用能
Ve
Vz
V eZ
H T e T z V e V Z V eZ
Rn n1a1 n2 a2 n3 a3
单电子在复杂势场中 的运动
单电子在周期性势场 中的运动
周 期 场 近 似
小结
能带理论把晶体系统的多粒子问题简化为 在周期场中的单电子问题。晶体电子的状态就 可以用单电子在周期场中运动的状态来描述， 电子的能量及波函数从下述方程确定：
即使在绝对零度， 电子的平均动能 也不为零。
2）T≠0K，但kBT<<EF
1 1 f ( E ) 2 0 E比EF 小几个k BT E EF E比EF 高几个k BT
0 E F的电子获得k T数量级 在T≠0K时，一部分能量低于 B 0 的热能，从而跃迁到能量高于 E F 的状态中。
第一章 固体中电子能量结构和状态 PPT
1.2.1 金属中自由电子的能级
一维情况，建立一维势阱模型
U(0) U(L)
边界条件 U( x) 0,U(0) U(L)
U(x) 0
电子能量
0
L
E
h2
2m2
2 2m
K2
代入一维薛定谔方程
d
2 ( x)
dx2
2mE 2
(x)
0
d
2 ( x)
dx 2
(
2
)2
(
x)
0
解得 Acos 2 x B sin 2 x
▪金属的费密（Fermi）-索末菲（Sommerfel）
电子理论
▪晶体能带理论
内容先后基本按照人类对电子行为认识的逐渐深入
1.1 .1电子的粒子性
霍尔效应(Hall effect) B
以金属导体为例：
I
金属中的电流就是自由
E
++_++ +_ ++_ ++_+++ Nhomakorabea+
_
+ +
_
+ +
_
+ +
_
+ +
d 2 ( x)
dx2
4 2
h2
p2 ( x)
因 P2 2mE （非相对论形式，E为经典粒子动能）
d
2 ( x)
dx2
2mE 2
(
x)
0
此为一维条件下自由电子的薛定谔方程
如电子是不自由的，其总能量是势能和动能之合 P2 2m(E U )
d
2 ( x)
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3.电子运动最大速度
为电子相邻两次碰撞的时间间隔 。
v a eE
m
a eE m
4.电子运动的平均速度(漂移速度)
由于电子在自由程之间所获得的附加速度是从零
增加至v，所以电子运动的平均速度(漂移速度)为：
v eE
2m
5.电流、电流密度和自由电子密度、漂移速度的关系
(1)电流密度和自 由电子密度、漂 移速度的关系
固体电子论基础
一、经典理论对电子气的描述
1.特鲁特自由电子模型(1900年) (1)金属中的价电子象气体分子一样组成电子气，在温 度为T的晶体内，它们的行为和理想气体中的气体分子 一样。 (2)除了和金属离子碰撞以外，基本上是自由的。通过 和金属离子的碰撞在一定温度下达到热平衡。可以用具 有确定的平均速度和平均的自由时间的电子来代表。 (3)在外电场的作用下，电子气产生的漂移运动引起了 电流。
8.自由电子气的动能
3 2 kBT
1 mv 2 2
3 1.3810-23 300 2
6.2110-21 J 0.04eV
9.电子热运动的速度— 约为: 105m/s
v
8kT
m
81.381023 300 3.14 9.9110-31
105
m
s
三、魏德曼—弗兰兹定律
1.电导率和热导率之间的关系 实验表明：金属的电导率越高，则其热导率也越高。
M, NA为阿伏伽德罗常数，则n为：
n z N A
M
4.每个电子平均占据的体积及其等效球的半径
V 1 4rs3
Nn 3
rs
3 1 3
4n
rs～10-10m，金属中自由电子气的密度比经典理想气体 的浓度(250C时空气的分子密度为: 2.46×1025个/m3)大 1000倍左右(约为:1028～1029个/m3)。
2.特鲁特-洛伦兹自由电子模型(经典自由电子理论)
在特鲁特自由电子模型的基础上，1904年，洛伦兹
对该模型进行了补充和改进：
(1)电子气是经典粒子，服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布。
f v 4
m
32
e v -
m 2 kT
v2
2
2kT
f v
d N f vd v
N
O
v vdv
v
某一温度下麦克斯韦速率分布曲线
ne2l
2mv
C e,V
3 2 nkB
3 2 kBT
1 mv 2 2
e
3
Ce,V vl ne2l 2mv
2Ce,V v 2m 3ne 2
mv 2kB e2
3kB2T e2
LT
L
3k
2 B
e2
2.23 108
洛仑兹常数与具体 的金属和温度无关。
e LT
L
3k
2 B
e2
(1)当温度一定时，各金属的导热系数与电导率之比等
1.22
2.30
Al
3
18.1
1.10
2.07
In
3
11.5
1.27
2.41Sn414.81.172.22
Bi
5
14.1
1.19
2.25
二、金属的电导率
1.有外场E 时金属中自由电子的运动规律 (1)在外场E 的作用下, 金属中的电子在电场的反方向上 将获得附加速度;
(2)当电子与正离子发生碰撞时, 电子将失去附加速度;
5.一些金属元素的自由电子密度
元素
z
n/1028m-3 rs/10-10m
rs/a0
Li
1
4.70
1.72
3.25
Na
1
2.65
2.08
3.93
K
1
1.4
2.57
4.86
Cu
1
8.47
1.41
2.67
Ag
1
5.86
1.60
3.02
Mg
2
8.61
1.41
2.66
Ca
2
4.61
1.73
3.27
Zn
2
13.2
M
j nev ne2E
2m
j zN Ae2E A m2 2mM
设电子平均自由程为l，则 l v 电流密度可写成
6.电导率
j zN Ae2E l A m2 2mM v
j zN Ae2 l
或
E 2mM v
ne2l
2mv
7.自由电子气的压力
PCu nkT 8.41028 1.3810-23 273 3.5108 Pa
后，得到的数值都是常数(L—洛仑兹 常数)，与具体的金属和温度无关。
L T
4.魏德曼—弗兰兹—洛仑兹定律理论推导
1 Cvl
3
e
1 3
C
e,V
v
l
e 电子热导率
Ce,V
自由电子对热容的贡献,Ce,V
3 2
R
3 2 nkB
v 自由电子运动的平均速度
l 自由电子运动的平均自由程
e
1 3
C
e,V
v
l
2.魏德曼—弗兰兹定律 在不太低的温度下，金属的导热系数与电导率之比
正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。
W
ne2l
2mv
金属的导热系数； 金属的电导率；
W 魏德曼－弗兰兹常数。
1 Cvl
3
3.魏德曼—弗兰兹—洛仑兹定律(洛仑兹关系)
各种温度下，金属的导热系数 与 电导率 之比除以相应的绝对温度以
S j
v
vt
e-
I
v
—漂移速度：自由电子在
电场力作用下产生的
定向
运动的平均速度。垂直于S面。
n —自由电子密度。
t 时间内通过S的电荷为： q e n vt S
I d q envS dt
j I env
S cos
(2)电流密度的计算
n z N A
n为单位体积固体中的自由电子数。
(3)碰撞后由于外场的继续作用, 电子又会获得定向运动
速度而自由的前进。
这个过程在周期性晶体点阵 中反复不断的进行。
E
F
F
v0 0
v a v0 0
2.电子运动的动力学方程
E
F
F
v0 0
v a v0 0
F eE F ma
a eE m
E —外加电场的电场强度; m—电子质量； a—电子定向运动的加速度
(2)在一定的温度下，达到热平衡，电子具有确切的平
均动能和平均自由程。
3 2
kBT
1 kT
理想气体分子自由程
2nd 2 2 pd 2
(3)可以用经典力学定律(牛顿定律)对金属自由电子气模 型作出定量计算。
3.自由电子密度n 单位体积内的自由电子数称为自由电子密度。
设金属密度为，原子价为z,原子量为
于一个相同的常数;
(2)实验表明,洛仑兹常数只有在较高的温度即大于德拜
温度时才近似为常数;
(3)当温度趋于0K时，洛仑兹常数也趋近于零, 这是因
为金属中的导热不仅有电子的贡献,而且还有声子的贡
献。
四、经典自由电子理论的局限性
1.电子气的热容问题。
(1)晶格振动对热容CV的贡献
CVa 3NkB 3R＝24.9 J K mol ;
(2)电子若有贡献，每个电子对热容的贡献为：
CVe
3 2 kB
或
CVe