第1讲二次根式与勾股进阶(word版)

第1讲二次根式与勾股进阶

模块一二次根式计算巩固

1．二次根式的三大性质

0且a≥0

2＝a(a≥0)

(0)

||

(0)

a a

a

a a

≥

⎧

=⎨

-<

⎩

2．二次根式的运算法则

3．最简二次根式

a≥0）中的a称为被开方数，满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式，

(1)被开方数不含分母：）

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．()

在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，井且分母中不含二次根式．

4．分母有理化

如果计算结果的分母中含有二次根式，需要把分母中的根号去掉，这个过程叫做分目有理化．例

如

=

2

1

1

===

-

．

5．同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫

做同类二次根式．

同类次根式可以合并，例如:(a b

=+

例1

(1)已知实数a 满足|2006－a |a ，求a －20062

的值．

(2)已知实数m ，n ，p p 的值．

练习

(x ＋y )2

，求x －y 的值． 例2

(1)化简下列式子:

(2)计算

②

③-

④-÷

练习

(1)

(2)2(其中a ＞0，b ＞0)

(3)若a ＋b ＝3，ab ＝1+

(4)若a ＋b ＝2，ab ＝

1

2

模块二 二次根式的进阶 知识导航

我们知道，21)＝2＋2×1＋12

＝3＋3＋，我们也可

以把它转化成21)的形式，从而就可以进一步化简；

1．

同样的，类比a 2＋6ab ＋9b 2＝(a ＋3b )2

，当m ≥0且n ≥0时，有时我们也会根据解题需求进行这样的配方构造；

m ＋9n ＝2＋22＝2．

题型一 配方 例3

①322- ②945- ③843-

④23+

例4

(1)已知a －2a ＋b －4b ＋5＝0，求a 、b 的值．

(2)已知a －21a -＋b －42b -＋2＝0，求a 、b 的值．

【真题演练】

(2016武昌区八下期中)

已知4(12)x y z +-+-＝x ＋y ＋z ＋9在实数范围内成立，求x xy y z

++的值．

【归纳总结】

形如m －4m ＋n －3＋23n -＋5＝0的等式，除了可以用上述方法直接配方构造外，也可以将根式换元升次；

设m ＝x ，3n -＝y ，则m ＝x 2

，n ＝y 2

＋3，代入得x 2

－4x ＋y 2

＋2y ＋5＝0，配方即可． 模块三 网格问题

例6（2016江岸区八下期中）

如图，正方形网格中的每一个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，在现有的网格中，分别按下列要求画以格点为顶点的三角形．

（1）在图1中，画一个等腰直角三角形，使它的面积为5．

（2）在图2中，画一个三角形，使它的边长分别为，3、22、5． （3）在图3中，画一个三角形，使它三个边长都为有理数． （4）在图4中，画一个直角三角形，使它的三边长都为无理数．

图1 图2 图3 图4

练习（2017二中八下期中）

正方形网格中，小格的顶点叫做格点，三角形三个顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．如图，在边长为1单位长度的小正方形组成的4×4网格中，请按下列要求答题． （1）在图1中画出一个格点菱形，使其面积为4；

（2）在图2中画出一个格点三角形，使其三边长分别为32、10、4； （3）在4×4正方形网格中，所有的格点三角形的斜边长共有_______种不同值．

图1 图2

例7 问题背景：在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为51013、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形形网格（每个小正方形的面积为1）．再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不用求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将△ABC 的面积直接填写在横线上________． 思维拓展：

（2）我们把上述求△ABC 面积的犯法叫做构图法．若△ABC 三边的长分别为5a 、22a 、17a （a >0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ，并求出它的面积． 探索创新：

（3）若△ABC 三边的长分别为2216m n +、2294m n +、222m n +（m >0，n >0，且m ≠n ），试运用构图法直接写出这个三角形的面积_______（结果用m 、n 表示）

图1 图2

练习（2016粮道街中学八下期中）

如图，是由36个边长为1的小正方形组成的6×6的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．

（1）请你在所给的网格中画出边长为51017、、的格点三角形△ABC ． （2）△ABC 的面积为_________．

模块四 二次格式与最值 例8（2017二中八下期中）

如图，铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于B ，已知DA =15km ，CB =10km ．现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得

（1）①若C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？ ②若E 站到C 、D 站的距离之和最短，则E 站应建在离A 站多少km 处？

（2）受（1）小题第②问启发，你能否解决以下问题？正数a 、b 满足条件a ＋b =5，且22169s a b =+++，则s 的最小值=_______

练习（2017东湖高新区八下期中）

若221(6)4y x x =++-+，在x 的取值范围内，y 的最小值为________ 课后作业 A 基础巩固

1（2017七一中八下期中）如图所示，观察图形：

12S S L L 、、分别是直角三角形的面积．求2221210S S S +++L L 的值为（ ）

A ．40

B ．

554 C ．50 D ．33

4