第1讲二次根式与勾股进阶(word版)
沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第1讲 二次根式的概念及性质(解析版)
二次根式是以实数中所学内容为基础，对开平方、开立方等运算进行扩展，基本要求是知道二次根式的取值范围、掌握二次根式的求值，二次根式中题目类型多变，方法多种多样．重点是掌握二次根式的概念、性质，难点是通过性质进行化简和求值．1、二次根式的概念（1）代数式a （0a ）叫做二次根式，读作“根号a ”，其中a 是被开方数． （2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的概念及性质知识结构模块一：二次根式的概念知识精讲内容分析例题解析【例1】下列各式中，二次根式的个数有 （ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B ．根式，当0x <时就不是．【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数．【例2】添加什么条件时，下列式子是二次根式？（1（2 （3 （4 【答案】（1）4x ≥；（2）11x -<<；（3）0y ≥；（4）14x ≥或14x ≤-．【解析】（1）由40x -≥，得4x ≥； （2）由10x ->，得11x -<<； （3）由230x y ≥，得0y ≥；（4）由104x -≥，得14x ≥或14x ≤-． 【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．【例3）A ． 对于任意实数a ，它表示的是a 的算术平方根B ． 对于任意的正实数a ，它表示的是a 的算术平方根C ． 对于任意的正实数a ，它表示的是a 的平方根D ． 对于任意的非负实数a ，它表示的是a 的算术平方根 【答案】D ．(0)a ≥表示a 的算术平方根． 【总结】本题考查算术平方根的概念．【例4成立的条件是（）A ．02xx ≥- B ．0x ≥ C ．2x ≠ D ．2x > 【答案】D ．【解析】由0x ≥，20x ->，得0x ≥，2x >，∴2x >．【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零．【例5】求使下列二次根式有意义的实数x 的取值范围．（1（2【答案】（1）1x ≥或0x <；（2）12x ≥-且1x ≠． 【解析】（1）由110x -+≥，得1x ≥或0x <； （2）由21010x x +≥⎧⎨-≠⎩，得12x ≥-且1x ≠．【总结】二次根式有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零．【例6】实数x 、y满足，xy y=，求的值．【答案】3．【解析】由0x ≥0x ≥，得x =y =；∴3x y =．【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零．【例72|313|0x y --=，求2017()x y +的值． 【答案】1．【解析】由题意得：2203130x x y -=⎧⎨--=⎩，解得：23x y =⎧⎨=-⎩，∴20172017()(1)-1x y +=-=．【总结】考查非负数相加和为零的模型，则这几个式子都为零．【例8】如果代数式有意义，那么在平面直角坐标系中()P m n ，的位置在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C ． 【解析】0mn ≠，∴0m ≠且0n ≠，0m ∴->，0m ∴<．0mn >又， 0n ∴<．故点P 在第三象限． 【总结】二次根式的被开方数为非负数．【例9】如果2y =xy 的值． 【答案】6．【解析】33x x ≥≤∵，， 3x ∴=，2y ∴=， 6xy ∴=．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零．【例10】 已1()2x y z x y z =++，求、、的值．【答案】1x =， 2y =，3z =．【解析】由题意得：x y z =++，∴0x y z ---， 即)))2221110++=，∴1x =， 2y =，3z =．【总结】本题主要考查利用配方将原式化为几个非负数和为零的形式．【例11】 若222222()a b b c a b c ab bc ac -=+-=++---的值． 【答案】30．【解析】2a b -=2b c -=，∴4a c -=．∴ =原式222222222a b c ab bc ac ++---=()()()222a b b c a c -+-+-=((222224++=7716+- =30．【总结】本题主要考查三项完全平方式的运用以及二次根式的计算．【例12】 若z ，求z 的值． 【难度】★★★【答案】3358． 【解析】20160x y -+≥， ∴2016x y +≥．又20160x y --≥， ∴2016x y +≤， ∴2016x y +=．∴35232530x y z x y z +--++-=．即35230125302x y z x y z +--=⎧⎨+-=⎩（）（）， 解得：220143358x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【总结】本题先根据二次根式有意义的条件，得出2016x y +=，又考查当两个非负数的和为零时，则这两个式子必然都等于零．1、二次根式的性质 （1）二次根式的性质：性质1：2(0)a a a =≥；性质2：2()(0)a a a =≥；性质3：ab a b =⨯（0a ≥，0b ≥）；性质4：aa bb=（0a ≥，0b >）．知识精讲模块二：二次根式的性质（2）2a 与a 的关系：2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩．【例13】 计算下列各式的值：（1）23； （2）2(3)-；（3）2(3)--； （4）2(3)-；（5）21()5-； （6）221(0)x x x -+<．【答案】（1） 3； （2） 3； （3） -3； （4）3； （5）15-；（6）1x -+．【解析】根据二次根式性质2即可得出结果． 【总结】考查二次根式性质2的运用．【例14】 化简： （1）320(0)a a >； （2）2320a b ；（3）254(0)a b c a <；（4）22()a b b --（00a b ><，）．【答案】（1）25a a ；（2）25ab b ；（3） 22ab c b -；（4）a ． 【解析】（1）原式=24525a a a a ⨯=；（2）原式=224525a b b ab b ⨯=； （3）原式=24422a b c b ab c b ⨯=-；（4） 00a b >>，，∴0a b ->，∴原式=()a b b a ---=．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．例题解析【例15】 化简：（1；（2（3）20a a <()；（45)x <<．【答案】（1）21a +；（2）()()00(0)0a b a b a b a b a b ++>⎧⎪+=⎨⎪--+<⎩；（3）3a -；（4）3．【解析】（121a =+； （2()()00(0)0a b a b a b a b a b a b ++>⎧⎪+=+=⎨⎪--+<⎩；（3）()223a a a a =--=-； （4253x x -=+-=．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【例16】 化简：（10)x >；（22+．． 【答案】（1）()()10111x x x x -<<⎧⎪⎨-≥⎪⎩； （2）1x -．【解析】（1()()101111x x x x x -<<⎧⎪-=⎨-≥=⎪⎩； （2）20x -≥，∴2x ≥．∴原式=122x x x ---+-=1221x x x x --++-=-．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【例17】 把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变．（1（2）（3）2-（4）(1)x -【答案】（1 （23）4）【解析】（1（2）=（3）2-（4）(1)x -== 【总结】把式子移入根号中，要保持式子的正负值不变化，同时注意题目中的隐含条件的发掘．【例18】 化简：（100)ab bc ><，；（20)a b <<【答案】（1）-；（2）22a b -．【解析】（1）原式=a c ac ⋅=- （2）原式=2222a b a b -=-．【总结】考查二次根式的化简，注意被开方出来的结果一定非负．【例19】 已0，求()x x y +的值． 【答案】9．【解析】由题意得：203280x y x y -=⎧⎨+-=⎩， ∴21x y =⎧⎨=⎩．∴()()2219x x y +=+=．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零．【例20】 已知x y 、是实数，且1|1|21y y y -<-，求的值． 【答案】1-．【解析】由题意得：1x =，12y <；∴|1|1111y y y y --==---．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，再利用去绝对值的知识就可以解决．【例21】 已知125x x -=-，求x 的取值范围． 【答案】14x ≤≤．【解析】由题意得：1425x x x ---=-；零点分段法分类讨论即可．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【例22】 如7x y --成立，求xy 的值． 【答案】30．【解析】由题意得：3x =，10y =，∴30xy =．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，再利用去绝对值的知识就可以解决．【例23】 已知2x =+的值．．【解析】=又∵2x =，∴42420x -=+=<．∴原式=()()41411x x x x -=-==---【总结】考查二次根式的化简求值，注意被开方出来的结果一定非负．【例24】 已知2441310x x x x --+=+，求的个位数字． 【答案】7． 【解析】∵1130x x-+=， ∴113x x+=． ∴2222112132167x x x x ⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭，∴()2422421121672x x x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，∴个位数字为7．【总结】本题考查了完全平方公式的变形及计算．【例25】 （1）在△ABC 中，a b c 、、0，求最大边c 的取值范围；（2）已知实数x y 、，满足2()x y +22x y +的平方根．【答案】（1）814c ≤<；（2）±【解析】（1）根据题意，即为60a -，由此60a -=，80b -=，解得：6a =， 8b =，根据三角形三边关系，且c 为最大边，可知b c a b ≤<+，即814c ≤<．（2）由题意得：2()0x y +=，∴053160x y x y +=⎧⎨--=⎩，解得：22x y =⎧⎨=-⎩，∴==±．【总结】考查非负数相加和为零的模型，则这几个式子都为零，然后根据三角形三边关系即可确定取值范围．【例26】 已知：1141r a b c r r ≥=-==+，，，试比较a 、b 、c 的大小． 【答案】a b c <<． 【解析】由题意得：22a =-=，∵4r ≥， 1≤<，∴a b <；又∵11b r c ===， ∴b c <，∴a b c <<．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【例27】 已b 的式子表示）． 【答案】21b b -．21-=∴()211b y b-+=，∴原式114y ++()()22214111b bb b b bbbbb-++--==． 【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【例28】 化0)a >．【答案】a b +． 【解析】原式=()()222222222a b a a b a a b b-+-+---=()()222222a b aa b b-+---=2222a b a a b b -+---，又∵20a b >>，∴原式=2222a b a a b b -+--+=a b +．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【例29】 已知：m =1465-，求43224882467m m m m m m --++-+的值．【答案】8．【解析】由题意得：35m =-；∴35m -=，∴2(3)5m -=，∴264m m =-， 把264m m =-代入原式，合并同类项得：原式=8．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【习题1】 下列计算中正确的是（ ）．A ．2(2)2=B ．22(2)2=C ．22(2)2-=-D ．211()42-=-【答案】A ．【解析】根据二次根式性质1即可得出结果． 【总结】考查二次根式的性质1．【习题2】 判断下列哪些二次根式是二次根式？ （1）4；（2）1a +；（3）2a ；（4）211a +；（5）223x x -+；（6）22(0)x x x -<．【答案】（1）是； （2）不是 ； （3）是； （4）是； （5）是；（6）是．随堂检测【解析】二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可． 【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．【习题3】 当添加什么条件时，下列二次根式有意义？（1）43x -； （2）121a --；（3）2a ；（4）143x--；（5）22x x -+-；（6）21xx +． 【答案】（1）43x ≤；（2）12a <； （3）a 为任意实数；（4）43x >；（5）2x =； （6）0x ≥．【解析】（1）由430x -≥得：43x ≤； （2）由1021a -≥-得：12a <； （3）a 为任意实数； （4）由1043x -≥-得：43x >； （5）2x =； （6）0x ≥．【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．【习题4】 化简：（1）24()9-；（2）22((2))a -；（32441x x -+12x ≥（）；（42(3)a -【答案】（1）49； （2）24a ； （3）21x -； （4）()()()3330333a a a a a a ->⎧⎪-==⎨⎪-<⎩．【解析】（12444()=999--=； （2）222((2))4a a -=；（324412121x x x x -+-=-； （4()()()233(3)30333a a a a a a a ->⎧⎪-=-==⎨⎪-<⎩．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【习题5】 化简下列二次根式：（100)x y ≥≥，；（2（3(0)a a <．【答案】（1）5 （2） 3.14π-； （3）2a -．【解析】（15（2 3.14 3.14π=-=-π；（32a a a a =--=-．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【习题6】 已知2+的整数部分是a ，小数部分是b ，那么(2b a ++的值是多少? 【答案】5．23<，∴425<，∴4a =，242b ==，∴(()2524(52b a =-++=．【总结】对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来，只能用一种整体思想相应的表示出来．【习题7】 已知3x = 【答案】1．=代入3x =， 原式．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【习题8】 222(2)023y x xy y +=-+，求的值． 【答案】40．【解析】∵3020x y -=⎧⎨+=⎩， ∴32x y =⎧⎨=-⎩．∴代入得：2223x xy y -+=()()2223332240⨯-⨯⨯-+-=．【总结】本题主要考查当两个非负数的和为零时，则说明这两个非负数均为零．【习题9】 已知非零实数x 、y 满足条件24224x y x -++=-，求x y +的值． 【答案】1．【解析】∵()230x y -≥，∴30x -≥，即3x ≥，∴240x ->，∴24224x y x -++-，即20y +=，∴2030y x +=⎧⎨-=⎩， 解得：32x y =⎧⎨=-⎩．∴3(2)1x y +=+-=．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，另一方面考查了非负数和为零的基本模型．【习题10】=a x y 、、是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y +--+值等于 __________．【答案】13．【解析】由题意知： ()()()()()()01020304a x a a y a x a a y -≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩， 解得：0a x y =⎧⎨=-⎩．∴22222222223313x xy y y y y x xy y y y y +---==-+++． 【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【习题11】 求满足26a x y -=-的自然数a x y 、、的值． 【答案】617x y a ===，，或325x y a ===，，． 【解析】由题意得：262(1)a x y xy-=+-∵26a -是无理数，假设xy 是有理数，则2x y xy +-是有理数，这与（1）式矛盾， ∴xy 为无理数，∴6x y a xy +=⎧⎨=⎩，又∵26a x y -=-，∴x y >．∴617x y a ===，，或325x y a ===，，．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【作业1】 判断下列式子哪些是二次根式？（1）2x； （2）2x； （3）1(1)x x -<； （4）244b b -+； （5）321a +；（6）222a +．【答案】（1）不是； （2）不是； （3）不是； （4）是； （5）不是； （6）是． 【解析】根据二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数，即可判断出来．【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数．【作业2】 将x 移到根号内，不改变原来的式子的值：（1）21(1)x x x ->；（2）21(2)(2)44x x x x ->-+． 【答案】（1）222x x -；（2）1． 【解析】（1）()22212221x x x x x x =---=；（2）()()2221(2)44212x x x x x ----==+．【总结】把式子移入根号中，要保持式子的正负值不变化，同时注意题目中的隐含条件的发课后作业掘．【作业3】若11)-有意义，则x 的取值范围是______． 【答案】10x x ≥≠且．【解析】∵11)-=∴101010x x x +≥⎧≥⎧⎪⎨≠≠⎩，解得：． 【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零；③零没有零次幂．【作业4】计算：201520162)2)．2．【解析】))2015201520162)2)222⎡⎤=⎣⎦2．【总结】当碰到次数较大的时候，想到去用公式，本题运用平方差公式和二次根式的计算即可．【作业5】 化简：（10)y <；（2） 【答案】（1） （2【解析】（1）原式=(136y ⨯-=（2）原式()()00x x =>⎪<⎪⎩，∴． 【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质3、性质4，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【作业6】 已知x 为非零实数，且112221x x x a x-++=，则=________． 【答案】22a -．【解析】∵1122x xa -+=， a=， ∴212x a x++=， ∴212x a x+=-，∴22112x x a x x+=+=-．【总结】本题考查完全平方公式的变形和二次根式的综合．【作业7】 若代数式3|2|0a a b --，求的立方根．【解析】由题意得：2,4a b ==，∴3a b -==【总结】本题主要考查当几个非负数的和为零时，则这两个式子必然都等于零的基本模型，还考查了去绝对值的知识．【作业8】 m 2 【答案】2．【解析】由题意得：1m =12m m-=． 【总结】考查根号中套根号类型的式子，注意观查，部分可转化为一个数字的平方，同时对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来，只能用一种整体思想相应的表示出来．【作业9】 已知a b c 、、为有理数，且等式a +29991001a b c ++求的值．【答案】2000．=a +∴011a b c ===，，， ∴2999100199910012000a b c ++=+=．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【作业10】已知14(01)a a a +=<<的值．【答案】【解析】212422a a =+-=-=， ∵01a <<0<=【总结】本题考查完全公式的变形和无理数、二次根式的综合．【作业11】已知2|8|(41)0x y y -+- 【答案】1．【解析】由题意得：80410830x y y z x -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得：21434x y z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩132122=+-=．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，还考查了去绝对值的知识．【作业12】 化简： （1（2．【答案】（12；（2+． 【解析】（12==；（2=．【总结】本题主要考查复合二次根式的化简，注意观察，部分可转化为一个数字的平方，即=，由此可进行化简计算，注意观察根号中数字的因数，分解即可得到相关计算结果，同时根据二次根式性质进行相关变形计算．。
(精品教案)沪科版《勾股定理》讲课稿(精选6篇)
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勾股定理是学生在差不多掌握了直角三角形的有关性质的基础上举行学习的，它是直角三角形的一条很重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一具三角形三条边之间的数量关系，它能够解决直角三角形中的计算咨询题，是解直角三角形的要紧依照之一，在实际日子中用途非常大。
教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析咨询题的能力，经过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；经过联系和比较，明白勾股定理，以利于正确的举行运用。
据此，制定教学目标如下：1、明白并掌握勾股定理及其证明。
2、可以灵便地运用勾股定理及其计算。
3、培养学生观看、比较、分析、推理的能力。
4、经过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和钻研精神。
教学重点：勾股定理的证明和应用。
教学难点：勾股定理的证明。
教法和学法是体如今整个教学过程中的，本课的教法和学法体现如下特点：1、以自学辅导为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣，组织学日子动，让学生主动参与学习全过程。
2、切实体现学生的主体地位，让学生经过观看、分析、讨论、操作、归纳，明白定理，提高学生动手操作能力，以及分析咨询题和解决咨询题的能力。
3、经过演示实物，引导学生观看、操作、分析、证明，使学生得到获得新知的成功感觉，从而激发学生钻研新知的欲望。
本节内容的教学要紧体如今学生动手、动脑方面，依照学生的认知规律和学习心理，教学程序设计如下：（一）创设情境以古引新1、由故事引入，3000多年前有个叫商高的人对周公讲，把一根直尺折成直角，两端连接得到一具直角三角形。
假如勾是3，股是4，这么弦等于5。
如此引起学生学习兴趣，激发学生求知欲。
2、是别是所有的直角三角形都有那个性质呢？教师要善于激疑，使学生进入乐学状态。
勾股定理的证明和出入相补原理(最全)word资料
勾股定理的证明和出入相补原理(最全)word资料勾股定理的证明和出入相补原理出入相补原理是我国著名数学家吴文俊先生提出的，他认为这个原理“就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移到他处，面积不变．又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系．立体的情形也是如此”．我们教材中介绍的勾股定理的证明就用到了出入相补原理．下面我们再介绍刘徽的一种证明勾股定理的方法：如下图，正方形ABCD、BFGI的边长分别为b、a，在BF上取一点E，使AE=a连结DE、GE，将△ADE移至△CDH，将△EFG 移至△HIG，由此就可以证明勾股定理，你试一试吧!20中学数学教学2020 年第1期勾股定理证明的探讨与教学思考安徽省合肥市第四十五中学李光武孔云( :230001勾股定理的证明方法有很多种,目前教材给出的几种证明方法是面积法.如下图所示:①利用若干个全等的直角=三角形和一个小正方形,拼成一个大正方形(图1是邹元治的证明拼图法、图2是赵爽的证明拼图法;②利用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形,拼成一个直角梯形(图3是1876年总统Garfield的证明拼图法.教材选用这几种证明方法,都是利用几个简单的直角三角形和一个正方形或等腰直角三角形,拼成一个学生比较熟悉,而且它们的面积也是很容易求解的一种几何图形.够珞图1图2图3然后,教材给出学生比较熟悉的证明方法——面积法,即先算出整个图形的面积,再算出各个部分的图形面积,利用图形分割前后的面积相等,构成一个等式,最后经过整式的化简、整理o,c9c’o'070?o_c'coc,t70’o’o’o’o,o’_。
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2024年中考重点之二次根式的基本概念与性质
2024年中考重点之二次根式的基本概念与性质二次根式，也称为平方根，是数学中一种重要的概念。
在2024年中考中，二次根式将是一个重点考点。
本文将对二次根式的基本概念和性质进行详细的阐述，帮助同学们更好地理解和掌握这个知识点。
一、基本概念1. 什么是二次根式二次根式指的是形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
√a表示求a的平方根。
当a≥0时，二次根式有唯一的实数解；当a<0时，二次根式没有实数解。
例如，√9=3，√16=4，√(-1)在实数范围内没有解。
2. 平方根的运算性质（1）非负实数的平方根是唯一的。
即对于非负实数a和b，当a=b²（b≥0）时，b是a的平方根。
（2）若a≥0，b≥0，则√(ab)=√a × √b。
（3）若a≥0，b≥0，则√(a/b)=√a / √b（b≠0）。
（4）若a≥0，b≥0，则√a ± √b不能再进行有理化简。
二、性质和定理1. 二次根式的大小关系对于非负实数a和b，有以下性质：（1）若a<b，则√a<√b。
（2）若a>0，则√a>0。
（3）若a<0，则√a不存在。
2. 二次根式的化简（1）约分与有理化分母当二次根式的被开方数含有平方数因子时，可以进行有理化分母的操作。
例如，√(12)=√(4×3)=√4 × √3=2√3。
（2）分解因式当二次根式的被开方数可以分解成平方数的乘积时，可以进行分解因式的操作。
例如，√(16×25)=√(4²×5²)=4×5=20。
3. 基本运算法则（1）加减法两个二次根式相加或相减时，要求被开方数和指数相同。
例如，√3 + √3 = 2√3，√5 - √2 = √5 - √2。
（2）乘法两个二次根式相乘时，可以利用二次根式的乘法法则进行计算。
例如，√3 × √5 = √(3×5) = √15。
(完整word版)上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理
上海市沪教版八年级数学上册知识点梳理第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念和性质16.1 二次根式1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。
2． 二次根式的性质 ①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a b a b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式16.3 二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：≥0) ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a=a ≥0,b>0） n ≥0)第十七章 一元二次方程17.1 一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2．一般形式y=ax ²+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项17.2 一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a---= , = ；△=24b ac -≥0 17.3 一元二次方程的判别式1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：△＞0时，方程有两个不相等的实数根△＝0时，方程有两个相等的实数根△＜0时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的17.4 一元二次方程的应用1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根2．把二次三项式分解因式时；如果24b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式3． 实际问题：设，列，解，答第十八章 正比例函数和反比例函数18.1．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x =4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值18.2 正比例函数1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3．对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4．一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =5． 正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且有如下性质：（1）当k ＜0时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大（2）当k ＜0时 ，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小18.3 反比例函数1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2．解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数 反比例函数的定义域是不等于零的一切实数 3．反比例函数(0)k y k k x =≠是常数,有如下性质： （1）当k ＞0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小（2）当k ＜0时 ，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内。
勾股定理(知识点+题型分类练习)(word文档物超所值)
A B Ca c 弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
常用关系式由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜c 边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；；8,15,17等3,4,56,8,105,12,137,24,25③用含字母的代数式表示组勾股数：n （为正整数）；221,2,1n n n -+2,n ≥n （为正整数）2221,22,221n n n n n ++++n （，为正整数）2222,2,m n mn m n -+,m n >m n 4.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（4）如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）A5.直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°⇒ （2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
2019秋八年级数学上册北师大版同步学案全辑(精致WORD)
第一章勾股定理1探索勾股定理第1课时勾股定理1第2课时勾股定理的验证及其应用2 2一定是直角三角形吗33勾股定理的应用4第二章实数1认识无理数52平方根63立方根74估算85用计算器开方96实数107二次根式第1课时二次根式的概念及性质11 第2课时二次根式的运算12第三章位置与坐标1确定位置132平面直角坐标系第1课时平面直角坐标系14第2课时点的坐标15第3课时建立直角坐标系16 3轴对称与坐标变化17第四章一次函数1函数182一次函数与正比例函数193一次函数的图象204一次函数的应用第1课时求一次函数的表达式21 第2课时单个一次函数的应用22 第3课时两个一次函数的应用23 第五章二元一次方程组1认识二元一次方程组242求解二元一次方程组第1课时代入消元法25第2课时加减消元法263应用二元一次方程组——鸡兔同笼274应用二元一次方程组——增收节支285应用二元一次方程组——里程碑上的数296二元一次方程与一次函数307用二元一次方程组确定一次函数表达式31*8三元一次方程组32第六章数据的分析1平均数332中位数与众数343从统计图分析数据的集中趋势354数据的离散程度第1课时极差、方差和标准差36第2课时极差、方差、标准差的应用37第七章平行线的证明1为什么要证明382定义与命题393平行线的判定404平行线的性质415三角形内角和定理第1课时三角形内角和定理42 第2课时三角形的外角43第一章勾股定理1探索勾股定理第1课时勾股定理知识点1、2认识勾股定理及其简单应用定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2．(总分30分)1．(知识点1)(3分)已知直角三角形两直角边的长分别为9，12，则其斜边长为(C)A．13 B．14C．15 D．162．(知识点1)(3分)在△ABC中，∠A＝90°，则下列式子中，错误的是(C)A．∠B＋∠C＝90°B．AB2＋AC2＝BC2C．BC2＝AC2－AB2D．AC2＝BC2－AB23．(知识点2)(3分)如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(C)第3题A．48 B．60C．76 D．804．(知识点2)(3分)如图所示，直角三角形ABC的两直角边BC＝12，AC＝16，则三角形ABC的斜边AB上的高CD的长是(C)第4题A．20 B．10C．9.6 D．85．(知识点1)(3分)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝ 4 ．6．(知识点2)(8分)如图，已知等腰三角形的底边长为6，底边上的高AD 长为4，且D 点为BC 的中点，求等腰三角形的腰长．解：因为D 是BC 的中点，所以BD ＝12BC ＝3，AD ⊥BC .在Rt △ABD中，由勾股定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2＝42＋32＝25.所以AB ＝5，即腰长为5.7．(知识点2)(7分)在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ∶b ＝3∶4，c ＝25，求a ，b .解：设a ＝3k ，b ＝4k .因为在△ABC 中，∠C ＝90°，c ＝25，所以由勾股定理，得(3k )2＋(4k )2＝252.因为k ＞0，所以k ＝5.所以a ＝3×5＝15，b ＝4×5＝20.第2课时 勾股定理的验证及其应用知识点1、2 勾股定理的验证及其应用验证勾股定理⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧思路：拼图面积法注意事项：拼图时要做到 不重不漏 .关键：运用不同方法表示图形的 面积 .等量关系：整个图形的面积＝每个小的图形的面积之 和 .(总分30分)1．(知识点1)(3分)如图，下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( C)2．(知识点2)(3分)已知x ，y 为正数，且|x 2－4|＋(y 2－3)2＝0，如果以x ，y 为直角边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( C )A ．5B ．25C．7 D．153．(知识点2)(4分)如图，小明将升旗的绳子拉到底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(D)A．12m B．13mC．16m D．17m4．(知识点1)(4分)如图，把长、宽、对角线的长分别是a，b，c的长方形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是a2＋b2＝c2．5．(知识点2)(4分)如图，直角三角形三边上的半圆面积之间的关系是S1＋S2＝S3．第5题6．(知识点2)(4分)如图，在海上观察所A处，我边防海警发现正北6km 的B处有一可疑船只正在向正东方向8km的C处行驶．我边防海警即刻派船只前往拦截．若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为50km/h 时，才能恰好在C处将可疑船只截住．第6题7．(知识点2)(8分)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为一边作正方形ABMN，且AC＝3.(1)求正方形ABMN的面积；(2)求对角线BN的长．解：(1)因为△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝3，所以AB 2＝AC 2＋BC2＝32＋32＝18，又因为S 正方形AQMN ＝AB 2，所以S 正方形ABMN ＝18. (2)因为四边形ABMN 为正方形，所以BN 2＝AB 2＋AN 2，即BN 2＝18＋18＝36，所以BN ＝6.2 一定是直角三角形吗知识点1 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．知识点2 勾股数满足a 2＋b 2＝c 2的三个 正整数 ，称为勾股数．(总分30分)1．(知识点1)(3分)下列四组线段能组成直角三角形的是( C ) A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3 B ．a ＝2，b ＝3，c ＝4 C ．a ＝3，b ＝4，c ＝5D ．a ＝4，b ＝5，c ＝62．(知识点2)(3分)在下列各组数中，是勾股数的一组是( C )A．35，45，1 B．0.3，0.4，0.5C．6，8，10 D．4，5，63．(知识点1)(3分)如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(D)第3题A．10 B．11C．12 D．134．(知识点1)(3分)如图，在4×5的方格中，A，B为两个格点，再选一个格点C，使∠ACB为直角，则满足条件的点C的个数为(D)第4题A．3个B．4个C．5个D．6个5．(知识点1)(3分)五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(C)6．(知识点1)(3分)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a2＋b2－c2)2＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为等腰直角三角形．7．(知识点1)(3分)一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，周长为90cm，则它的面积是270cm2．8．(知识点1)(9分)如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，已知每平方米蔬菜可售30元．爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算产量．小明找了一把卷尺，测得AD＝3m，AB＝4m，BC＝12m，CD＝13m，且∠BAD＝90°，求四边形土地上的蔬菜全部售出可得多少钱？解：连接BD.在△ABD中，因为AD＝3m，AB＝4m，∠BAD＝90°，所以由勾股定理得BD2＝AD2＋AB2＝32＋42＝52.所以BD＝5m.在△BCD 中，因为BD＝5m，BC＝12m，CD＝13m，所以BD2＋BC2＝CD2.所以△BCD是直角三角形．所以四边形ABCD的面积为S△ABD＋S△BCD＝12×3×4＋12×5×12＝36(m2)．则蔬菜全部售出后可得，36×30＝1080(元)．3勾股定理的应用知识点1确定几何体上的最短路线在平面上寻找两点之间的最短路线是根据线段的性质：两点之间，线段最短．在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，两点间的最短路线不一定是两点间的线段长，应将其展开成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线．知识点2利用勾股定理解决生活中的长度问题在实际生活中常用于判断两直线是否垂直，解决问题的一般方法：实际问题→数学问题→利用勾股定理的逆定理判定垂直．(总分30分)1．(知识点2)(3分)为迎接国庆的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开联欢晚会．小刘搬来一架长5米的木梯，准备把拉花挂到3米高的墙上，则梯子底端与墙脚之间的距离应为(A)A．4米B．3米C．5米D．6米2．(知识点2)(3分)一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大伸长为13米，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是(A)A．12米B．13米C．14米D．15米3．(知识点2)(3分)在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，请你帮张大爷分析一下，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？(A)A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对4．(知识点1)(4分)如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是(A)A．12≤a≤13 B．12≤a≤15C．5≤a≤12 D．5≤a≤135．(知识点1)(4分)如图，长方体的高为3cm，底面是边长为2cm的正方形，现用绳子从A开始缠绕，沿长方体表面经BD到达C处，则需要绳子的最短长度是(B)A．4cm B．5cmC．5.5cm D．6cm6．(知识点2)(4分)如图，一个游泳爱好者要横跨一条宽AC＝8m的河流，由于水流速度的原因，这位游泳爱好者向下游偏离了BC＝6m，这位游泳爱好者在横跨河流时的实际游泳距离为10 m.7．(知识点1)(9分)有一个圆柱，它的高为9厘米，底面周长为24厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁要沿侧面到上底面B点取食物，问它爬行的最短路程是多少厘米？解：画圆柱侧面展开图如图，依题意得AD＝12厘米，BD＝9厘米，在Rt△ABD中，AB2＝BD2＋AD2＝92＋122＝225，所以AB＝15厘米，所以蚂蚁需要爬行的最短路程是15厘米．第二章实数1认识无理数知识点1非有理数的存在整数和分数统称为有理数．随着研究的深入，人们发现，现实生活中还存在着大量的不是有理数的数．知识点2估计数值的大小用x表示正方形的边长，若x2＝2，则x既不是整数，也不是分数，我们可以用无限逼近的方法估计x的值，从而求出x的近似值．知识点3无理数的概念无限不循环小数称为无理数．(总分30分)1．(知识点3)(3分)下列各数中，是无理数的是(C)A．－1 B．0C．πD．1 32．(知识点1、3)(3分)在等式x2＝7中，下列说法中正确的是(D)A．x可能是整数B．x可能是分数C．x可能是有理数D．x是无理数3．(知识点1、3)(3分)下列说法正确的是(C) A．分数是无理数B．无限小数是无理数C．不能写成分数形式的数是无理数D．不能在数轴上表示的数是无理数4．(知识点1、3)(3分)在13，3.1415926，0.9090090009…(每两个9之间0的个数逐次加1)，0.8，3π中，无理数有(B) A．1个B．2个C．3个D．4个5．(知识点3)(3分)半径为20的圆的面积是(D) A．整数B．分数C．有理数D．无理数6．(知识点1、3)(3分)在数227，0，3.6·6·，－13，π2，0.232332…(2个2之间依次多1个3)，32中，有理数有227，0，3.6·6·，－13，32，无理数有π2，0.232332…(2个2之间依次多1个3) ．7．(知识点2、3)(6分)已知半径为1的圆．(1)它的周长l是有理数还是无理数？说说你的理由；(2)估计l的值；(结果精确到十分位)(3)如果结果精确到百分位呢？解：(1)它的周长l＝2π是无理数，理由如下：2π是无限不循环小数．(2)结果精确到十分位，2π≈6.28≈6.3.(3)结果精确到百分位，2π≈6.283≈6.28.8．(综合题)(6分)如图所示，把16个边长为1cm的正方形拼在一起．(1)连接A和B，C，D的线段，哪几条是无理数？请说明理由；(2)判断△BCD是什么三角形？请说明理由．解：(1)AC，AD的长是无理数，理由如下：因为AC2＝10，AD2＝13，AC，AD的长既不是整数，也不是分数，所以AC，AD的长是无理数．(2)△BCD是等腰三角形，理由如下：因为BC2＝5，CD2＝5，BD＝2，所以BC＝CD≠BD，所以△BCD是等腰三角形．2平方根知识点1算术平方根的概念与性质一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为a，读作“根号a”．知识点2平方根的概念与性质(1)定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)．(2)性质：一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．知识点3开平方求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数．知识点4a2与(a)2(a≥0)的性质(1)a2＝|a| ，即当a≥0时，a2＝a，当a＜0时，a2＝－a．(2)(a)2＝a(a≥0)．(总分30分)1．(知识点1)(3分)数7的算术平方根为(A) A．7 B．49 C．±49 D．±72．(知识点1)(3分)一个数的算术平方根是34，这个数是(C)A．32B．34C．916D．不能确定3．(知识点2)(3分)16的平方根是(A)A．±4 B．±1 4C．4 D．－44．(知识点4)(3分)下列各式中，正确的是(B) A．（－5）2＝－5 B．－52＝－5 C．（±5）2＝－5 D．52＝±55．(知识点2)(3分)关于平方根，下列说法正确的是(B) A．任何一个数有两个平方根，并且它们互为相反数B．负数没有平方根C．任何一个数只有一个算术平方根D．以上都不对6．(知识点2)(3分)如果a，b分别是17的两个平方根，那么ab＝－17 ．7．(知识点2、3)(3分)若25x2＝9，则x的值为±35．8．(知识点2、3)(4分)求式子中x的值：x2－16＝25.解：±419．(综合题)(5分)已知2a－1的平方根是±3，4是3a＋b－1的算术平方根，求a＋2b的值．解：因为2a－1的平方根是±3，所以2a－1＝9，解得a＝5.因为4是3a＋b－1的算术平方根，所以3a＋b－1＝16，所以14＋b＝16，解得b＝2，所以a＋2b＝5＋2×2＝9.3立方根知识点1立方根的概念与性质(1)立方根的概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根或三次方根．(2)立方根的性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0 的立方根是0.知识点2开立方(1)定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．(2)重要公式：①(3a)3＝3a3＝a；②3－a＝－3a.知识点3立方根与平方根的区别与联系(1)区别：①平方根的根指数是 2 ，能省略，立方根的根指数是 3 ，不能省略．②平方根只有对非负数才有意义，而立方根对任何数都有意义，且每个数都只有一个立方根．③正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个．(2)联系：都与相应的乘方运算互为逆运算．(总分30分)1．(知识点1)(2分)64的立方根是(A)A．4 B．±4C．8 D．±82．(知识点2)(2分)化简327的结果是(C)A．±3 B．－3C ．3D ．2 33．(知识点1、2)(3分)下列说法中正确的是( D ) A ．－5没有立方根B ．2的立方根是±32 C ．136的立方根是16D ．－5的立方根是3－54．(知识点2)(3分)127的立方根是 13．5．(知识点3)(3分)一个数的平方等于164，则这个数的立方根是 ±12．6．(知识点2)(3分)若－3a ＝378，则a 的值是 －78． 7．(知识点2)(4分)求下列式子的立方根： (1)16164；(2)(－1)2021.解：(1)54(2)－18．(知识点1)(4分)求下列式子的值．(1)3－64；(2)(3－1)3.解：(1)－4(2)－19．(知识点2)(6分)已知第一个立方体纸盒的棱长是6厘米，第二个立方体纸盒的体积比第一个立方体纸盒的体积大127立方厘米，求第二个立方体纸盒的棱长．解：因为第一个立方体的体积是63＝216，所以第二个立方体的体积是216＋127＝343，所以第二个立方体的棱长是343的立方根，即棱长为7厘米．4估算知识点1估算法确定无理数的大小估算是现实生活中一种常用的解决问题的方法．很多情况下需要去估算无理数的近似数，估算无理数经常用到“夹逼法”，即通过平方运算或立方运算，通过两边无限逼近，逐渐夹逼，确定其所在范围．知识点2比较两个无理数的大小的方法(1)估算法：用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时，一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较．(2)求差法：若a－b＞0；若a－b＜(3)平方法(或立方法)：当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：若a＞b≥0a＞b(总分30分)1．(知识点1)(2分)估计13的值在(C)A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间2．(知识点1、2)(2分)若k＜87＜k＋1(k是整数)，则k的值是(D) A．6 B．7C．8 D．93．(知识点2)(2分)比较下列各组数的大小，正确的是(C)A．1.7＞ 3 B．π＜3.14C．－5＞－ 6 D．5＜3 1004．(知识点1)(2分)17的整数部分是 4 ．5．(知识点2)(3分)如图，M，N，P，Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示7的点是点P．6．(知识点1)(3分)若正方形ABCD的面积为57，则边AB的长介于连续整数7 和8 之间．7．(知识点1、2)(3分)试写出－2与3之间的所有整数：－1，0，1 ．8．(知识点1)(8分)估算下列各数的大小(结果精确到1)：(1)99；(2)26.3；(3)3 120；(4)－319.8.解：(1)10(2)5(3)5(4)－39．(知识点1)(5分)某商厦今年一月份的销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，以后改进管理，经减员增效，大大激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元，求三、四月份销售额平均每月增长的百分率．(精确到0.1%)解：设三、四月份销售额平均每月增长的百分率是x .由题意，得60(1－10%)·(1＋x )2＝96，所以(1＋x )2≈1.7778，1＋x ≈± 1.7778.因为 1.3333＜ 1.7778＜1.3334，所以 1.7778≈1.333，所以x 1≈0.333＝33.3%，x 2≈－2.333(舍去)．即该商厦三、四月份销售额平均每月增长的百分率约是33.3%.5 用计算器开方知识点1、2 利用计算器开方及进行较复杂的计算用计算器开方⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧开平方⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧先按“□”键再输入 被开方数 再按“＝”键最后按“S ⇔D ”键开立方 ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧先按“SHIFT ”键再按“□”键再输入被开方数最后“＝”键利用计算器进行较复杂的计算时要注意根号下相乘除(或相加减)的按键顺序，切记“π”的按键顺序．(总分30分)1．(知识点1)(2分)用计算器求2021的平方根时，下列四个键中，必须按的键是(C)2．(知识点2)(2分)在计算器上按键□16⊳－5＝S⇔D显示的结果是(C)A．3 B．－3C．－1 D．13．(知识点2)(3分)式子23＋2的结果精确到0.01为(可用计算器计算或笔算)(C)A．4.9 B．4.87C．4.88 D．4.894．(知识点1)(3分)用计算器计算：2028≈45.0 ．(结果精确到0.1)5．(知识点1)(3分)用计算器比较52，43，35(用“＜”符号连接)6．(知识点2)(3分)用计算器比较大小：3(填“＞”“＜”或“＝”)7．(知识点1)(4分)用计算器求下列各式的近似值(精确到0.01)： (1) 3.62； (2)－78； (3)3－0.81； (4)3327.8.解：(1)1.90 (2)－0.94 (3)－0.93 (4)6.908．(知识点2)(4分)利用计算器计算(结果精确到0.01)： (1)12＋3×6； (2)320×13－ 3.6÷2. 解：(1)4.74 (2)0.629．(知识点2)(6分)在某项工程中，需要一块面积为5平方米的正方形钢板，应该如何划线、下料呢？要解决这个问题，必须首先求出正方形的边长，那么请你算一算：(1)如果精确到十分位，正方形的边长是多少？ (2)如果精确到百分位呢？ 解：(1)2.2米 (2)2.24米6 实 数知识点1 实数的概念、分类(1)实数的概念：有理数和 无理数 统称为实数．(2)实数的分类⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧按定义分⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧有理数⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎫整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数分数⎩⎨⎧正分数负分数有限小数和无限循环小数无理数→无限不循环小数按大小分⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎨⎧正整数正分数正无理数零负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数⎩⎨⎧ 负整数 负分数负无理数 知识点2 实数的相关概念在实数范围内，一个数的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样，即这些有理数中的概念在 实数范围 内仍适用．知识点3 实数的运算与比较有理数的运算法则与运算律在实数范围内仍然适用．正数大于负数；正数大于0 ；0大于负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小．知识点4实数与数轴上点的关系实数与数轴上的点是一一对应的关系．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(总分30分)1．(知识点2)(3分)3的相反数是(A)A．－ 3 B． 3C．13D．32．(知识点4)(3分)实数a，b在数轴上的对应的点的位置如图所示，计算|b－a|的结果为(B)A．a＋b B．a－bC．b－a D．－a－b3．(知识点3)(3分)比较大小：填“＞”“＜”或“＝”)．4．(知识点2)(3分)化简：|3－2|5．(知识点2)(6分)求下列各数的相反数、倒数和绝对值： (1)－15；(2)3278； (3)3－π.解：(1)－15的相反数是15，倒数是－115，绝对值为|－15|＝15.(2)因为3278＝32，所以3278的相反数是－32，倒数为23，绝对值为32. (3)3－π的相反数为－(3－π)＝π－3，倒数为13－π，绝对值为|3－π|＝π－3.6．(知识点3)(6分)计算： (1)|6－3|－|3－6|； (2)|1－2|＋|2－3|＋|3－2|.解：(1)原式＝(6－3)－(6－3)＝0. (2)原式＝2－1＋3－2＋2－3＝1.7．(知识点1、3)(6分)已知下列7个实数：0，π，－2，23，－1.1，38，17，试解决下列问题：(1)将它们分成有理数和无理数两组；(2)将7个实数按从小到大的顺序排列，用“＜”号连接．解：(1)有理数：0，23，－1.1，38；无理数：π，－2，17. (2)大小关系为：－2＜－1.1＜0＜23＜38＜π＜17.7 二次根式第1课时 二次根式的概念及性质知识点1 二次根式的概念及性质(1)定义：一般地，形如a (a ≥0)的式子叫做 二次根式 ，a 叫做被开方数．(2)性质：①a 2＝ |a | ＝⎩⎨⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）.②aba ≥0，b ≥0)． ③a b ＝a b( a ≥0，b ＞0 )． 知识点2 最简二次根式的概念及其化简(1)定义：被开方数不含 分母 ，也不含能开得尽方的 因数或因式 ，这样的二次根式，叫做最简二次根式．(2)化简二次根式的方法：①被开方数是整数的，先分解因数，再利用积的算术平方根的性质化简；②被开方数是分数或小数的，利用商的算术平方根的性质化简．(总分30分)1．(知识点1)(2分)下列式子中，不是二次根式的是(B)A．45 B．－3C．a2＋3 D．2 32．(知识点1)(2分)已知m和－m都有意义，则(C) A．m≥0 B．m≤0C．m＝0 D．m≠03．(知识点2)(3分)下列二次根式中的最简二次根式是(A) A．30 B．12C．8 D．1 24．(知识点2)(3分)下列各式正确的是(D) A．（－4）×（－9）＝－4×－9B．16＋94＝16×94C ．449＝4×49D ．4×9＝4×95．(知识点2)(3分)把2006．(知识点2)(3分)若x ＜0，y ＞0，化简x 2y 2＝ －xy ． 7．(知识点1)(6分)当a 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)2a 2＋1； (2)－a 2； (3)a －12－a.解：(1)a 为任意实数． (2)a ＝0. (3)a ≥1且a ≠2. 8．(知识点2)(8分)化简：(1)3×25×225； (2)（－12）×（－8）； (3)2514； (4)（45）2＋（25）2. 解：(1)原式＝75 3. (2)原式＝4 6. (3)原式＝1012. (4)原式＝255.第2课时 二次根式的运算知识点1二次根式的乘除(1)乘法法则：a·ba≥0，b≥0)；(2)除法法则：ab＝a≥0，b＞0)．知识点2二次根式的加减及混合运算(1)几个二次根式化成最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．(2)一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根式，然后再将同类二次根式分别合并．有括号时，要先去括号．(3)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．(总分30分)1．(知识点2)(2分)下列各数中与2是同类二次根式的是(A)A．8 B．32C． 4 D．12 2．(知识点2)(2分)计算32－2的值是(D) A．2 B．3C． 2 D．2 23．(知识点1)(2分)计算3×5的结果是(B) A．8 B．15 C．3 5 D．5 34．(知识点2)(3分)计算(515－245)÷(－5)的结果为(A)A．5 B．－5C．7 D．－75．(知识点2)(3分)若最简二次根式3a－8与17－2a可以合并，则a ＝ 5 ．6．(知识点1、2)(3分)把22＋2进行化简，得到的最简结果是(结果保留根号)7．(知识点1、2)(3分)计算：(27－13)×3＝8 ．8．(综合题)(12分)计算：(1)15 3；(2)6×15×10；(3)－212＋(613－348)；(4)－4318÷(218×1354)．解：(1)原式＝ 5.(2)原式＝900＝30.(3)原式＝－43＋23－123＝－14 3.(4)原式＝－42÷(62×6)＝－42÷123＝－6 9.第三章位置与坐标1确定位置知识点1、2位置的确定及有序数对定位法和方位角加距离定位法要确定平面内一个物体的位置，一般需要两个独立的数据，常见的表示方法有：行列定位法、经纬定位法、区域定位法、有序数对定位法、方位角加距离定位法．(总分30分)1．(知识点1)(3分)电影院的第4排第8座表示为(4，8)，如果某同学的座位号为(4，9)，那么该同学所坐的位置是(B)A．第2排第4座B．第4排第9座C．第4排第4座D．无法确定2．(知识点1)(3分)气象台为预测台风，首先要确定台风中心的位置，下列说法能确定台风中心位置的是(C)A．距台湾200海里B．位于台湾和海口之间C．位于东经120.8°，北纬32.8°D．位于太平洋3．(知识点1)(3分)下列数据中，不能确定物体位置的是(D)A．某市新华书店位于人民路18号B．吴刚家位于某小区6号楼308号C．某渔船位于东经116.2°，北纬31.5°D．电影票的座位号是15排4．(知识点2)(3分)安徽省蒙城县板桥中学办学特色好，“校园文化”建设，主体鲜明新颖：“国学引领，孝老敬亲，家校一体，爱满乡村．”如图所示，若用“C4”表示“孝”，则“A5—B4—C3—C5”表示(D)A．爱满乡村B．孝老敬亲C．国学引领D．板桥中学5．(知识点2)(3分)生态园位于县城东北方向6公里处，如图表示准确的是(B)6．(知识点2)(3分)如图是小刚画的一张脸，他对妹妹说，“如果我用(1，3)表示左眼，用(3，3)表示右眼，那么嘴的位置可以表示成(2，1) ”．7．(知识点2)(12分)如图所示．(1)电影院在学校南偏东70°的方向上，距离是600 米；(2)书店在学校北偏西60°的方向上，距离是800 米；(3)图书馆在学校南偏西15°的方向上，距离是400 米；(4)王老师骑自行车从学校到邮局发邮件，每分钟骑250米，需要多长时间到达？解：200×5÷250＝1000÷250＝4(分钟)．答：需要4分钟到达．2平面直角坐标系第1课时平面直角坐标系知识点1平面直角坐标系及相关概念(1)在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴叫做x轴或横轴．铅直的数轴叫做y轴或纵轴．它们的公共原点O称为直角坐标系的原点．(2)两条坐标轴将平面分为四个部分，右上部分叫做第一象限，其他按逆时针方向依次是第二象限、第三象限、第四象限．坐标轴上的点不在任何一个象限．知识点2平面内点的坐标对于平面内任意一点，过这个点分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数字a，b分别叫做这个点的横坐标、纵坐标，有序实数对(a，b) 叫做这个点的坐标．知识点3平面直角坐标系与有序实数对之间的关系坐标平面内的点与一对有序实数对是一一对应关系．(总分30分)1．(知识点3)(3分)小明建立了如图的直角坐标系，则点“A”的坐标是(B)第1题A．(－1，1) B．(1，2)C．(－1，2) D．(1，－1)2．(知识点2)(3分)如图，点A(－2，1)到y轴的距离为(C)第2题A．－2 B．1C．2 D． 53．(知识点1)(3分)如图，小手盖住的点的坐标可能为(D)A．(4，3)B．(－5，4)C．(－3，－4)D．(4，－5)4．(知识点2)(3分)已知点P在第一象限，且P到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则P点的坐标为(D)A．(2，－6) B．(－2，6)C．(6，－2) D．(6，2)5．(知识点2)(3分)点P(－4，－3)到x轴的距离为 3 ．6．(知识点2)(7分)如图，写出下列各点A，B，C，D，E，F，H的坐标．解：A(2，1)，B(－4，3)，C(－2，－3)，D(3，－3)，E(－3，0)，F(0，2)，H(0，0)．7．(综合题)(8分)如图，A点、B点的坐标分别是(－2，0)和(2，0)．(1)请你在图中描出下列各点：C(0，5)，D(3，5)，E(－4，－5)，F(0，－5)；(2)连接AC，CD，DB，BF，FE，EA，并写出图中的任意一组平行线．解：(1)略．(2)略，平行线有AB∥CD∥EF，AE∥BF.第2课时点的坐标知识点1平面直角坐标系中由点的坐标确定点的位置找点的方法：先分别找出该点的横坐标、纵坐标在两条数轴上的点，再分别作对应坐标轴的垂线，交点即为所要找的点的位置．知识点2点的坐标特征(1)坐标轴上点P(a，b)的坐标特征：点P在x轴上，a为一切实数，b＝0 ．点P在y轴上，b为一切实数，a ＝ 0 ．点P 在原点，a ＝ 0 ，b 0 ．(2)与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：点的坐标特征⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧与x 轴平行⎩⎨⎧ 横坐标 不同纵坐标相同与y 轴平行⎩⎨⎧横坐标相同 纵坐标 不同 (3)两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征：坐标轴夹角平分线⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ 第 一、三 象限⎩⎪⎨⎪⎧点的坐标特征：横、纵坐标相同表示法：（a ，a ）第二、四象限⎩⎨⎧点的坐标特征：横、纵坐标 互为相反数 表示法：（a ，－a ） (总分30分)1．(知识点2)(3分)坐标平面内的下列各点中，在x 轴上的是( B )A ．(0，2)B ．(－2，0)C ．(－2，2)D ．(－1，－3)2．(知识点2)(3分)如果点A 与点B 的横坐标相同，纵坐标不同，那么直线AB 与y 轴的关系为( A )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上均不对。
《二次根式》word教案 (公开课)2022年北师大版 (5)
2.7二次根式〔第3课时〕教学设计一、学生情况分析前面学习了实数，实数的运算法那么，最简二次根式及二次根式的化简，已能进行实数的四那么运算.但熟练程度不高，同时对根号内含字母的二次根式的化简比拟生疏.．为今后的数学学习扫清了计算方面的障碍．二、教学任务分析二次根式〔第3课时〕是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章?实数?第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第3课时．继续稳固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算．二次根式化简掌握以后，初中阶段实数的运算根本完成，本节课就是进一步完善二次根式的运算。
假设能够在含字母的二次根式的化简方面再深化一下，那么在今后的学习中，实数的计算问题根本解决了．经历本节课的学习，学生对实数的运算，就有了较全面的了解。
因此本节课的目标定为：1.进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简。
2. 了解根号内含有字母的二次根式的化简3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题．通过独立思考，能选择合理的方法解决问题．4.在运算过程中稳固知识，通过与人交流总结方法．根号内含字母的二次根式的化简对学生来说是一个难点．三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识稳固；第三环节：问题解决；第四环节：知识提升；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置.第一环节：复习引入内容：〔1〕最简二次根式的概念；〔2〕二次根式化简过程中，你有哪些体会？〔3〕上节课课后作业：假设414.12≈，732.13≈，449.26≈，求23．你是怎样解决的？ 意图：借助复习，在稳固旧知的同时，导入新课． 第二环节：知识稳固例4 计算：〔1〕3223-；〔2〕81818+-；〔3〕3)6124(÷-． 解：〔1〕3223-＝33322223⨯⨯-⨯⨯＝631621-＝6)3121(-＝661； 〔2〕81818+-＝162222322+⨯-⨯＝2412223+-＝245； 〔3〕3) 6124(÷-＝ 361324÷-÷＝ 361324÷-÷ ＝ 3618⨯-＝ 66224⨯-⨯＝ 26122-＝ 2611． 说明：可以放手让学生独立完成，然后通过交流，发现问题，给出一个统一的意见．收集第〔3〕小题有多少种解决方法．让学生说说想法．以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？化简：〔1〕10152-；〔2〕31312+-；〔3〕8)2118(⨯-．第三环节：问题解决如以下图，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形的面积，你有哪些方法，与同伴交流．让学生充分发表意见．〔1〕直接求法．过点D 作AB 边上的高DE ，可发现边AB ，DC 及DE都是某一个小直角三角形的斜边．根据勾股定理可求得AB ＝25， CD ＝2，DE ＝23，面积梯形AB CD 的面积是23)225(21⨯+＝18. 〔2〕间接求法．将梯形ABCD 补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面积，得梯形ABCD 的面积是11212421552175⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯＝18． 第四环节：知识提升问题：2a 〔0>a 〕等于多少？根据算术平方根的定义，可知a a =2〔0>a 〕．例5 化简：〔1〕3325b a 〔0>a ，0>b 〕；〔2〕3)(y x +〔0≥+y x 〕；〔3〕a b b a 〔0>a ，0>b 〕． 解：〔1〕3325b a ＝ab b a ⋅2225＝ab b a ⋅2225＝ab ab 5；〔2〕3)(y x +＝)()(2y x y x +⋅+＝y x y x ++)(；〔3〕a b b a ＝2a ab b a ＝ab a b a 1⨯＝ab b 1． 0>a ，0>b 时化简：〔1〕)(a b b a ab +；〔2〕324b a ；〔3〕ab b a⨯-)1(； 〔4〕b a a b ab a 155102÷⋅． 解：〔1〕)(a b b a ab +＝a b ab b a ab ⨯+⨯＝ab ab b a ab ⨯+⨯ ＝22b a +＝b a +；〔2〕324b a ＝b b a ⋅2222＝b b a ⋅2222＝b ab 2；〔3〕ab b a⨯-)1(＝ab b ab a ⨯-⨯1＝ab b ab a ⨯-⨯1＝a b b ⨯-2 ＝a b b -；〔4〕b a a b ab a 155102÷⋅＝ba ab ab a ÷⋅÷⨯)15510(2＝a b a 32310⋅ ＝222310a ba b a ⋅⋅＝222310a ba b a ⋅⋅＝222310aab b a ⋅⋅＝ab a b a ⋅⋅2310 ＝ab ab 310． 2. 求代数式ab b a ⨯-)1(的值，其中3=a ，2=b ． 解：由题知0>a ，0>b ．ab b a ⨯-)1(＝ab b ab a ⨯-⨯1＝ab b ab a⨯-⨯1＝2ab b - ＝a b b -．当3=a ，2=b 时，a b b -＝322-．第五环节：课堂小结〔1〕二次根式的化简：二次根式的化简一定要化成最简二次根式．〔2〕利用式子a a =2〔0>a 〕可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式．第六环节：课后作业习题 2．11 1， 3补充作业：化简：〔1〕)263)(232(+-； 〔2〕)483814122(23+-； 〔3〕)0,0()2(≥≥⋅+-y x xy yx x y xy ； 〔4〕)0,0()(33≥≥⋅-+b a ab ab ab b a ；〔5〕)0(4322763232≥+-a a ab a b ab a ． 答案：〔1〕64216-；〔2〕6648-；〔3〕x y xy +-2；〔4〕ab ab ab b a -+22；〔5〕a ab 325． 五、教学反思[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
第01讲二次根式的性质
第01讲二次根式的性质第1讲二次根式的性质知识导航1．二次根式的概念与被开方数中字母的取值范围；2．二次根式的双重非负性；3．开平方与平方两种运算的关系【板块一】二次根式的概念与基本性质方法技巧一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式，”称为二次根号．开平方时，被开方数a的取值范围是a0，二次根式有两个非负性，也叫二次根式的双重非负性，即被开方数a的取值范围是a0，算术平方根的结果0．题型一判断式子是否为二次根式【例1】下列式子中是二次根式的有()；；－；；；(x＞1)；A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】形如(a0)的式子叫做二次根式，被开方数a的取值范围是a0；不符合被开方数a的取值范围是a0，是开3次方，为二次根式，故选C．【解答】C题型二二次根式有意义的字母的取值范围【例2】在下列式子：；(x－2)0；中，x不可以取2的是()A．只有 B．只有 C．和 D．和【分析】二次根式中被开方数大于等于零，零指数幂的底数不为零，分母的值不为零．，x－20，则x2；(x－2)0，x－20，则x2；中，x－20，解得x2，故x不可以取2的是和，故选C【解谷】C题型三二次根式的双重非负性【例3】若x，y为实数，y＝，则4y－3x的平方根是．【分析】，故只有x2－4＝0，即x＝±2，又x－2≠0，x＝－2，y＝＝－，4y－3x＝－1－(－6)＝5，故4y－3r的平方根是±．【解答】士．【例4】已知|7－9m|＋(n－3)2＝9m－7－，求(n－m)2019的值．【分析】非负数有三种呈现形式：绝对值，平方，算术平方根，几个非负数的和一定是非负数，若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0．【解答】＋(n－3)2＝9m－7－，＋(n－3)2＋＝9m－70，9m－7＋(n－3)2＋＝9m－7，(n－3)2＋＝0，n－3＝0，m－4＝0，n＝3，m＝4，(n－m)2019＝(－1)2019＝－1．题型四二次根式中的隐含条件的运用【例5】若实数x，y，m适合关系式＋＝·，求m的值．【分析】由(x＋y)－200，20－(x＋y)0，所以x＋y＝20．再利用两个二次根式的和等于0，即每一个被开方数等于0．【解答】x＋y－200，20－(x＋y)0，x＋y＝20．＋＝0，≥0，0，3x＋3y－m＝0，m＝3(x＋y)＝3×20＝60．针对练习11．x取何值时，下列各式有意义(1)；(2)；－；(4)．【解答】(1)x＞；(2)x4且x－5；(3)1x≤2；(4)x5且x6．2．代数式＋＋的最小值是()A．0 B．1＋ C．1 D．不存在【解答】B．3．方程＋＝0的解是．【解答】，或4．已知x，y为实数，且满足－(3y－1)＝0，则(xy)2019＝．【解答】－15．如果x，y，z为实数，且满足＋＋z2－z＋＝0，求(y＋z)x2的值．【解答】|4x－4y＋1|＋＋(z－)2＝0，又≥0，0，(z－)20，4x－4y＋1＝0，2y＋z＝0，z－＝0，x＝－，y＝－，z＝，(y＋z)x2＝(－＋)(－)2＝．6．若m适合关系式：－＝－，求m的值．【解答】由条件得x＋y－1160，116－(x＋y)0，116≤x＋y116，x＋y＝116，＝－，≥0，－0，，＋得5(x＋y)＋18＝2m，2m＝5×116＋18，m＝299．【板块二】二次根式的两个基本性质的综合运用方法技巧二次根式的两个性质()2＝a(a≥0)和＝，可以运用上述两个性质进行有关计算和化简．题型五＝的运用【例1】已知0＜a＜1，化简－＝．【分析】a＝()2，＝，又0＜a＜1，()2＜，即＜．原式＝－＝－＝＋－（－）＝2．【解答】2．【例2】若化简－的结果为2x－5，则x的取值范围是．【分析】根据x的取值化简绝对值和二次根式的性质分析．－＝－＝2x－5，则－＝x－1＋x－4，即1－x0，x－40，解得1x≤4．【解答】1x≤4．题型六()2＝a(a0)的运用【例3】已知ABC的三边a，b，c满足关系式a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，试求ABC的周长．【分析】根据式子的结构特点，运用a＝()2配方，然后利用非负性解题．【解答】a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，(a－5)－2＋1＋(b－4)－4＋4＋(c－1)－6＋9＝0，(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，a－5＝1，b－4＝4，c－1＝9．a＝6，b＝8，c＝10，ABC的周长为6＋8＋10＝24．题型七二次根式的规律探究【例4】观察分析，探求出规律，然后填空：，2，，2，，，…，(第n个数)．【分析】由题意可知，被开方数是2的倍数，由此即可求解＝，2＝，＝，2＝，＝，第6个数是＝2，第n个数是．【解答】2，．【例5】观察下列各式：＝2；＝3；＝4；，请你猜想⑴＝，＝；(2)计算(请写出推导过程)：；(3)请你将猜想到的规律用含有自然数n(n≥1)的代数式表达出来．【分析】先将被开方数化为假分数，再用二次根式的性质化简．【解答】＝5，＝6；(2)＝＝＝14；＝(n＋1)（n1）．题型八求值【例6】已知：x＝2－，求代数式x2－4x－6的值．【分析】由x＝2－得x－2＝－，两边平方可得二次式．【解答】x＝2－，x－2＝－，(x－2)2＝(－)2，x2－4x＋4＝10，x2－4x＝6，x2－4x－6＝0．【例7】已知x＝2－，那么x4－8x3＋16x2－x＋1的值是．【分析】由x＝2－得出x2－4x－1＝0，用x2－4x－1除x4－8x3＋16x2－x＋1，得出商和余数，利用：被除数＝除数×商十余数，将多项式化简，再代值计算．【解答】由x＝2－得x－2＝－，两边平方，得x2－4x＋4＝5，x2－4x－1＝0，x4－8x3＋16x2－x＋1＝(x2－4x－1)(x2－4x＋1)＋(－x＋2)＝2－x＝．题型九复合二次根式的化简【例8】先阅读下面的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个非负数a，b，使a＋b＝m，ab ＝n，这样()2＋()2＝m，(＝，那么便有＝＝(a＞b)．例如：化简．首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4＋3＝7，43＝12，即()2＋()2＝7，(＝，＝＝＝2＋．由上述例题的方法化简：(1)；(2)；(3)．【分析】由例题所给信息知关键是要找到两个合适的非负数．【解答】(1)＝＝；(2)＝＝＝－；(3)＝＝(＝(－1)＝－．＝＝＝＝1＋．解决问题：(1)在括号内填上适当的数：＝＝＝＝________；(2)根据上述思路，试将予以化简．【分析】通过完全平方公式，将被开方数化成平方的形式，再根据二次根式的性质，化去里面的一层根号．【解答】(1)＝＝＝＝3＋；(2)＝＝＝＝5－．针对训练21．a，b，＋＋－a－．a，b在数轴上的位置可得a＜0a＋b＜0－a＞0b－＜0．－a|－|b －|＝－a－a－b＋－a＋b－＝－3a．2．＝·，－2＋．＝·3x＋10，2－x0，∴－≤x≤2，x－2＋＝x－2＋3x＋1＝－(x－2)＋(3x＋1)＝2x＋3．＋＋1，试化简代数式：|x－1|－－．【解答】∵－x≥0，x－≥0，－x＝，y＞0＋0＋1，y＞1y－1＞，＝－＝－14．当1＜x＜5时，化简：－．【解答】原式＝－＝|x－1|－|x－5|，又∵1＜x＜5，原式＝(x－1)－[－(x－5)]＝2x－6．5．若x，y为实数，且y＝＋＋，求－的值．【解答】∵1－4x≥0，4x－1≥0，∴1－4x＝0，∴x＝，∴y＝，＋＝2＋＝．∴原式＝－＝＝．6．已知a为偶数，且＝，求－的值．【解答】∵＝，∴a－1≥0，3－a＞0，∴1≤a＜3，又∵a为偶数，∴a＝2，又∵－＝－，∵a＝2，a－3＜0，∴原式＝a－1－＝a－1＋＝2－1＋＝．7．对于题目“化简求值：＋，其中a＝”甲、乙两人的解答不同．甲的解答是：＋＝＋＝＋－a＝－a＝；乙的解笞是：＋＝＋＝＋a－＝a＝，谁的解答是错误的?为什么?【解答】乙的解答是错误的．∵当a＝时，－a＞0，∴＝－a．8．化简：(1)；(2)．【解答】(1)原式＝＝＝；(2)原式＝＝＝(＋1)＝＋．9．已知a＋b＋c＝2＋4＋6－14，求a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)的值．【解答】依题意得(a＋1)－2＋1＋(b＋1)－4＋4＋(c－2)－6＋9＝0，∴(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，∴＝1，＝2，＝3，∴a＝0，b＝3，c＝11．a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)＝0＋33＋33＝66．10．利用“≥0”解答下列问题：(1)若＋＋＝0，求a，b，c的值；(2)若a＋b＋c＝4＋6＋2，求a，b，c的值．【解答】(1)∵≥0，≥0，≥0．＋＋＝＝0，＝0＝0，a＝1b＝4，c ＝9；(2a－2＋b－4＋c－6＝0，[()2－2＋1]＋[()－4＋4]＋[()－6＋9]＝0，(－1＋(－2)＋(－3)＝0，(－10，(－2)0，(－3)0．－1＝0，－2＝0－3＝0，a＝2，b＝8，c＝18．11．＋＝a－2017＝__．a－2018≥0，即a≥2018，则原方程可化为|2017－a＋＝aa－2017＋＝a＝2017a－2018＝201720172＝2018．2018．。
二次根式与勾股定理综合辅导(精)
1第一部分 勾股定理题型拓展练习一、利用勾股定理求边长1、在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
2、在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
3、在Rt △ABC ，∠C=90°，c=25，a ：b=3：4，则a= ，b= 。
4、平面直角坐标系中点)4,3(-P 到原点的距离为 个单位长度。
5、平面内点)5,1(-M 到点)7,6(N 的距离（即线段MN 的长）为 。
6、已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。
二、利用勾股定理求面积(一)多边形中如果有90度，直接连直角三角形7、如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝6，∠A ＝60°，∠ADC ＝150°，∠ABC ＝90°，求四边形ABCD 的面积。
8、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2，CD ＝1，∠ A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，求四边形ABCD 的面积。
（二）已知三角形的三边求面积9、等腰三角形10、非等腰三角形（做不出来？换一边作高试试） （三）已知三角形两边及夹角求面积 11、 如图，AB=AC=10,A ∠=o 150,求ABC ∆的面积。
（四）已知两角及一边 12、 如图，AC=10,,A B ∠=∠=o o 4530求ABC ∆的面积。
三、图形折叠问题13、如下左图，矩形ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，抓痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为14、如上右图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为 ，△DEB 的面积为 。
15、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，在边CD 上适当选定一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在边BC 上一点F 处，且△ABF 的面积是30cm 2．求此时AD 的长．16、如图，已知P 是等边三角形ABC 内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB 的度数。
(word版)初二数学二次根式与勾股定理
二次根式【知识要点】二次根式的有关概念1〕二次根式：形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。
2〕最简二次根式满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
练习：化简：(1)12=；(2)18=；(3)24=；(4)48=.(5)以下的根式中，属最简二次根式的是〔〕A.9xB.x29C.xD.(x9)292.3〕同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
练习：假设最简二次根式3与2 m是同类二次根式，那么m=.二次根式的性质：a0；⑵2〔a≥0〕⑴a⑷ab〔a0,b0〕；⑸ab分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。
练习：化简：11311；⑶a2；〔a0,b0〕21333212121二、【典型例题】1.二次根式1a中，字母a的取值范围是__________．2.式子x有意义的x取值范围是________．2x3.当x时，x1在实数范围内有意义．x24.23的倒数是；23的绝对值是．5.8的有理化因式是，x y的有理化因式是．6.化简：6=____________．322317.当1x2时，化简1x44x x2的结果是_________．8.把a b1___________．a化成最简二次根式，结果是b9.假设a 2b40，那么ab___________．210.假设a、b为实数，且b＜a22a2，化简：1b24b42a。
2b11.假设，，x，那么x__________．12.3，35，350，那么35000___________．13.方程a b2004的整数解有_____________．14.实数a满足1992a a1993a，那么a19922的值是_____________．比较大小：⑴3111；⑵72221；⑶35343433 5416.计算：21117538517.计算：945 313225 2318.a32，b32，求a25abb2的值．3232219.如果13的小数局部是a，1的小数局部是b，试求b的值。
2017秋人教版数学九年级上册21.1《二次根式》WORD教案
这里只要求学生 知道“什么是代数 式”即可，不要求 掌握“什么叫代数 式”.
进行重复练习.
补充作业：本课无.
观察： 定义： 性质 1： 性质 2 性质 3
板书设计 例1 性质 2、3 探究过程
课堂小结归纳
学生板演内容 课堂训练中错题展示
教 学 反思
作业布置：
65 可读作二次根号 65，
简称根号 65(只有二次可简 称)，也可读作 65 的算术平 方根. 可由学生思考后进行讨论， 然后教师订正，最后师生共 同归纳得出性质 1：
让学生理解二次 根式是按形式定 义的，并理解二次 根式存在的条件 和运算结果的非 负性.
么？可不可能为负数？ a ( a ≥0)是什么样的数呢？
活动 2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表 的平方根.
定义、归纳性质.
示的共同意义.
活动 3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法.
活动 4、思考下列问题：
① 9 的运算结果是 3， 9 是不是二次根式？3 是不是？ ②定义中为什么要加 a ≥0？若 a<0， a 表示什么？有无意义？ ③当 a=0 时， a 表示什么？结果是什么？当 a>0 时， a 表示什
求不同，计算结果
练习：课本例 3
找学生板演，说明解题过程 也因 a 而异. 引导学生先观察、分析，解
补充练习：1、化简： ( 4)2 ， (2 3)2 ；
题后养成说明理由的反思习 补 充 练 习 在 于 强
2、直角三角形的三边分别为 a，b，c，其中 c 为斜边，则式子 惯.
化二次根式的结 果具有非负性，也
a 2 - c 2 与式子 (a c)2 有什么关系？
促使学生养成解 题先观察的习惯。
2020年名校版九年级数学上册教案：21.1 二次根式 第一课时 二次根式(一)
课 题：21.1 二次根式第一课时 二次根式（一）＆.教学目标：1、理解二次根式的概念，能根据二次根式的概念，求出其中字母的取值范围。
2、能够深刻理解二次根式的性质并能熟练应用。
3、通过二次根式的学习，培养学生的探索能力，并学会使用分类讨论的思想方法。
＆.教学重点、难点：重点：二次根式的概念及a a =2)(（0≥a ）的化简。
难点：利用“a （0≥a ）及a a =2)(（0≥a ）”解决具体问题。
＆.教学过程：一、情景导入1、解答下列问题：（1）求16的平方根和算术平方根；平方根是+4、-4 算术平方根是4（2）在ABC Rt ∆中，两直角边cm AB 6=，acm BC =，求AC 的长；（3）求6的算术平方根； √6（4）正方形的面积为s ，求边长. 4s教学方法：学生完成练习，交流发现它们的共同特征。
思考：根据上面的（2）～（4）题的结果，你能发现它们有什么共同的特征吗？共同特征：都含有“”的形式，被开方数都是非负数。
（引入标题） 二、探究新知§1、探究二次根式的概念：问题：“a ”表示什么含义？教学方法：学生思考、交流，发表自己的见解。
概括：当0≥a 时，a 表示非负数a 的算术平方根，它是一个非负数；当0 a 时，a 无意义。
§.二次根式的概念：形如a （0≥a ）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号。
注意：（1）二次根式必须满足两个条件：一是根指数为为2，二是被开方数是非负数；（2）数学表达为：0≥a ；()00≥≥a a 。
§2.探索()()02≥=a a a . 1、请同学们完成下列各题： （1）()__________42==；（2）()__________92==；（3）()__________52==.答案：（1）22，4；（2）23，9；（3）52、思考：通过上述习题，你能发现什么规律，请你用语言及式子加以表示。
答案：一个非负数的算术平方根的平方等于这个正数本身，即()()02≥=a a a §.二次根式的性质：()()02≥=a a a .三、讲解例题，巩固新知§.例1、判断下列各式哪些是二次根式。
第1讲+破解升级版''鱼钩''-二次根式
第1讲破解升级版''鱼钩''-二次根式学习目标1.了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件；2.能根据二次根式的性质对代数式作简单变形；能在给定条件下，确定字母的值.入门测单选题练习1.若式子有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．练习2.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠3B．x＞且x≠3C．x≥2D．x≥且x≠3练习3.如果=2﹣a，那么（）A．a＜2B．a≤2C．a＞2D．a≥2练习4.将（2﹣x）根号外面的因式移到根式里面，正确的是（）A．B．C．D．练习5.若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥2C．x＞1D．x＞2填空题练习1.使代数式有意义的x的取值范围是．练习2.计算﹣+﹣的值为．练习3.化简=．解答题练习1.'已知+=b+8．（1）求a的值；（2）求a2﹣b2的平方根．'情景导入里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？知识精讲二次根式的定义知识讲解1.形如的式子叫做二次根式。
二次根式中被开方数a既可以是一个数，也可以表示一个代数式，前提是必须满足a≥0.2.二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。
特别要强调二次根式的被开方数是“非负数”，而不是“正数”。
例题精讲二次根式的定义例1.化简的结果是（）A．3B．-3C．±3D．9例2.下列各式一定是二次根式的是（）A．B．C．D．例3.下列式子中二次根式的个数有（）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．A．2个B．3个C．4个D．5个二次根式有意义的条件知识讲解二次根式有意义的条件就是二次根式被开方数必须是非负数，有分式时，还要考虑分式分母不为0的条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题。
华师大初三上册提高讲义第一讲 二次根式
第一讲 二次根式学习目标1、知识目标：了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质；熟练进行二次根式的乘除法运算；理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算；了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。
2、能力目标：培养学生由特殊到一般的思维能力，掌握公式的一般推导方法；通过比较、猜想、论证二次根式的运算法则，通过计算和化简掌握二次根式的运算法则。
3、情感目标：通过对二次根式的计算和化简，培养学生对根式的运算兴趣，并掌握运算的技巧；通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，并且注意培养学生的类比思想。
一、知识讲解课前测评1．（2014x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x≥1D ．x≠12．（2015年秋耒阳市冠湘学校期末）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．18 B ．24 C ．48 D ．323．若01=++-y x x ，则20052006y x +的值为 。
4．（2016年秋耒阳市冠湘学校第二次月考）若二次根式a 则ab= ．5．计算： （1）（38+）×6 （2）22)6324(÷-知识点回顾1、理解二次根式的概念及二次根式有意义的条件定义：形如 的式子叫做二次根式。
2、掌握二次根式的性质及其应用（1（a ≥0）（2）2= （a ≥0）（3=3、理解二次根式的乘法法则：a b ⋅= (0,0)a b ≥≥ 4、掌握积的算术平方根性质：ab = (0,0)a b ≥≥5、理解二次根式的除法法则：a b= (0,0)a b ≥> 6、掌握商的算术平方根的性质及最简二次根式的定义：（1= (0,0)a b ≥> （2）最简二次根式：化简后的二次根式被开方数中不含 ，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于 ，像这样的二次根式称为最简二次根式。
7、理解同类二次根式的概念把几个二次根式化成 后，如果 相同，那么这样的二次根式叫做同类二次根式。
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第1讲二次根式与勾股进阶
模块一二次根式计算巩固
1．二次根式的三大性质
0且a≥0
2＝a(a≥0)
(0)
||
(0)
a a
a
a a
≥
⎧
=⎨
-<
⎩
2．二次根式的运算法则
3．最简二次根式
a≥0）中的a称为被开方数，满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式，
(1)被开方数不含分母：）
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．()
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，井且分母中不含二次根式．
4．分母有理化
如果计算结果的分母中含有二次根式，需要把分母中的根号去掉，这个过程叫做分目有理化．例
如
=
2
1
1
===
-
．
5．同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫
做同类二次根式．
同类次根式可以合并，例如:(a b
=+
例1
(1)已知实数a 满足|2006－a |a ，求a －20062
的值．
(2)已知实数m ，n ，p p 的值．
练习
(x ＋y )2
，求x －y 的值． 例2
(1)化简下列式子:
(2)计算
②
③-
④-÷
练习
(1)
(2)2(其中a ＞0，b ＞0)
(3)若a ＋b ＝3，ab ＝1+
(4)若a ＋b ＝2，ab ＝
1
2
模块二 二次根式的进阶 知识导航
我们知道，21)＝2＋2×1＋12
＝3＋3＋，我们也可
以把它转化成21)的形式，从而就可以进一步化简；
1．
同样的，类比a 2＋6ab ＋9b 2＝(a ＋3b )2
，当m ≥0且n ≥0时，有时我们也会根据解题需求进行这样的配方构造；
m ＋9n ＝2＋22＝2．
题型一 配方 例3
①322- ②945- ③843-
④23+
例4
(1)已知a －2a ＋b －4b ＋5＝0，求a 、b 的值．
(2)已知a －21a -＋b －42b -＋2＝0，求a 、b 的值．
【真题演练】
(2016武昌区八下期中)
已知4(12)x y z +-+-＝x ＋y ＋z ＋9在实数范围内成立，求x xy y z
++的值．
【归纳总结】
形如m －4m ＋n －3＋23n -＋5＝0的等式，除了可以用上述方法直接配方构造外，也可以将根式换元升次；
设m ＝x ，3n -＝y ，则m ＝x 2
，n ＝y 2
＋3，代入得x 2
－4x ＋y 2
＋2y ＋5＝0，配方即可． 模块三 网格问题
例6（2016江岸区八下期中）
如图，正方形网格中的每一个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，在现有的网格中，分别按下列要求画以格点为顶点的三角形．
（1）在图1中，画一个等腰直角三角形，使它的面积为5．
（2）在图2中，画一个三角形，使它的边长分别为，3、22、5． （3）在图3中，画一个三角形，使它三个边长都为有理数． （4）在图4中，画一个直角三角形，使它的三边长都为无理数．
图1 图2 图3 图4
练习（2017二中八下期中）
正方形网格中，小格的顶点叫做格点，三角形三个顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．如图，在边长为1单位长度的小正方形组成的4×4网格中，请按下列要求答题． （1）在图1中画出一个格点菱形，使其面积为4；
（2）在图2中画出一个格点三角形，使其三边长分别为32、10、4； （3）在4×4正方形网格中，所有的格点三角形的斜边长共有_______种不同值．
图1 图2
例7 问题背景：在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为51013、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形形网格（每个小正方形的面积为1）．再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不用求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC 的面积直接填写在横线上________． 思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC 面积的犯法叫做构图法．若△ABC 三边的长分别为5a 、22a 、17a （a >0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ，并求出它的面积． 探索创新：
（3）若△ABC 三边的长分别为2216m n +、2294m n +、222m n +（m >0，n >0，且m ≠n ），试运用构图法直接写出这个三角形的面积_______（结果用m 、n 表示）
图1 图2
练习（2016粮道街中学八下期中）
如图，是由36个边长为1的小正方形组成的6×6的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．
（1）请你在所给的网格中画出边长为51017、、的格点三角形△ABC ． （2）△ABC 的面积为_________．
模块四 二次格式与最值 例8（2017二中八下期中）
如图，铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于B ，已知DA =15km ，CB =10km ．现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得
（1）①若C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？ ②若E 站到C 、D 站的距离之和最短，则E 站应建在离A 站多少km 处？
（2）受（1）小题第②问启发，你能否解决以下问题？正数a 、b 满足条件a ＋b =5，且22169s a b =+++，则s 的最小值=_______
练习（2017东湖高新区八下期中）
若221(6)4y x x =++-+，在x 的取值范围内，y 的最小值为________ 课后作业 A 基础巩固
1（2017七一中八下期中）如图所示，观察图形：
12S S L L 、、分别是直角三角形的面积．求2221210S S S +++L L 的值为（ ）
A ．40
B ．
554 C ．50 D ．33
4
任何实数a ，可用[a ]表示不大于a 的最大整数，例如[a ]=4=1．现对72进行如下操作：72第一次=8
第二次=2第三次=1．这样对72只需要进行3次操作后变成1．只需要进行3次操作后变成1的所有正整数中，最大的是（ ）
A ．256
B ．255
C ．80
D ．81
3．（2017江汉区八下期中）若y <0，则-4________．
4．计算：
（1 （2
（3） （40,0)a b +>> 5．（2016二中八下期中）
已知1,1x y =，求下列各式的值 ① 222;x xy y ++ ②22;x y - 6．当
a =
，求24321996a a a --的值
7．当
a =，求代数式2963a a a -+-的值．
8．已知1
52
a b c +-=-，求a ＋b ＋c 的值．
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形．
（2）①在图2中以格点画一个三角形，使三角形的三边长分别为555、2、 ②求此三角形最长边上的高
图1 图2 图3
10．如图，在4×4的小正方形网格中，小正方形的边长为1，点O 在格点（网格线的交点）上． （1）试在格点上找点A ．使得10OA =，并写出点A 的坐标；
（2）在格点上找出点B 和C ，使得13BC =（只画出一条符合条件的BC ）
（3）点M （5，0），点P （x ，0）是线段OM 上一动点，在图中作出长度分别为24x +和2(5)9x -+的线段，并求224(5)9x x ++-+的最小值．。