知识讲解 离散型随机变量的均值与方差(理)(基础)

离散型随机变量的均值与方差

【学习目标】

1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；

2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；

【要点梳理】

要点一、离散型随机变量的期望

1.定义：

一般地，若离散型随机变量的概率分布为

则称……为的均值或数学期望，简称期望．

要点诠释：

（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．

（2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令…，则有…，…，所以的数学期望又称为平均数、均值。

（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．

2．性质：

①；

②若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，有；

的推导过程如下：：

的分布列为

于是……

＝……)……)＝

∴。

要点二：离散型随机变量的方差与标准差

1.一组数据的方差的概念：

已知一组数据，，…，，它们的平均值为，那么各数据与的差的平方的平均数

＋＋…＋叫做这组数据的方差。

2.离散型随机变量的方差：

一般地，若离散型随机变量的概率分布为

则称＝＋＋…＋＋…称为随机变量的方差，式中的是随机变量的期望．

的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作．

要点诠释：

⑴随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

⑵随机变量的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。

3.期望和方差的关系：

4.方差的性质：

若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，；

要点三：常见分布的期望与方差

1、二点分布：

若离散型随机变量服从参数为的二点分布，则

期望

方差

证明：∵,,,

∴

2、二项分布：

若离散型随机变量服从参数为的二项分布，即则

期望

方差

期望公式证明：

∵，

∴，

又∵，

∴＋＋…＋＋…＋

．

3、几何分布：

独立重复试验中，若事件在每一次试验中发生的概率都为，事件第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且，，称离散型随机变量服从几何分布，记作：。

若离散型随机变量服从几何分布，且则

期望

方差

要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。

4、超几何分布：

若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则

期望

要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用

1、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤：

①理解的意义，写出可能取的全部值；

②求取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列，由期望、方差的定义求出、、：

.

注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可．

2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用

①离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

②随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。

③对于两个随机变量和，当需要了解他们的平均水平时，可比较和的大小。

④和相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较和，方差值大时，则表明ξ比较离散，反之，则表明ξ比较集中．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关．

【典型例题】

类型一、离散型随机变量的期望

例1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

已知ξ的期望Eξ＝，则y的值为________．

【思路点拨】分布列中含有字母x、y,应先根据分布列的性质，求出x、y的值，再利用期望的定义求解；【解析】x＋＋＋y＝1，即x＋y＝.①

又7x＋＋＋10y＝，化简得7x＋10y＝.②

由①②联立解得x＝，y＝.

【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，

举一反三：

【变式1】某一离散型随机变量ξ的概率分布如下，且E（ξ）=，则a－b为（）．

A．－ B．0 C． D．

【答案】B

由分布列的性质知：+a+b+=1，

∴a+b=．又E（ξ）=0×+1×a+2×b+3×=，即a+2b=．

解得a=，b=，∴a－b=0．

【变式2】随机变量ξ的分布列为

，则E(5ξ＋4)等于( )

A．13 B．11 C．D．

【答案】A

由已知得：

E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝，

∴E(5ξ＋4)＝5E(ξ)＋4＝5×＋4＝13.

【变式3】节日期间，某种鲜花进货价是每束元，销售价每束5元；节后卖不出去的鲜花以每束元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是

元

C．754元D．720元

【答案】A

节日期间预售的量：

Eξ＝200×＋300×＋400×＋500×＝40＋105＋120＋75＝340(束)，

则期望的利润：

η＝5ξ＋(500－ξ)－500×＝ξ－450，

∴Eη＝ξ－450＝×340－450＝706.

∴期望利润为706元．

【变式4】设离散型随机变量的可能取值为1，2，3，4，且（），，则；