谈变形技巧在初等数学中的一些应用
浅谈初等数学中的变形技巧
浅谈初等数学中的变形技巧
浅谈初等数学中的变形技巧如下：
1一元二次方程的化简
在我们所学的一元二次方程这节内容中，其方程的化简变形我们首先要观察方程式子中各元素的存在关系，我们把题目进行化简就能得到另一种显而易见的题目，而我们这样做的目的就是为了方便我们解题的直观。
2三角函数的变形技巧
在我们学三角函数的同时，我们常常要考虑其求值、解三角函数方程、证明这些问题。
这些问题都包含了如何运用三角变换的解题的方法与技巧。
但是由于三角公式有很多种变换形式，如果能熟练掌握三角恒等变换的技巧，那么我们就能够加深我们对三角公式的记忆，然后将各种三角公式联系起来，发现其中的技巧。
对我们逻辑思维能力的发展，以及提高数学知识的?C合能力都大有益处。
恒等变换在整个初等数学中随处可见，因为常见，所以就成为了中学生常用的解题工具。
3代数式的恒等变形
在中学数学中，我们把某个代数式换成另一个与其恒等的代数式的过程叫做代数式的恒等变形。
恒等变形是我们学初等代数中最基础的知识，但是正因为是基础知识，所以往往容易被很多人忽略。
恒等变形其依据是运算律和数学运算法则，并按各运算法则来进行变形。
浅谈初中数学中的变形技巧
教学研究
浅谈初中数学中的变形技巧
万丽丹
（吉林省长春市长沈路学校，吉林 长春 130000）
摘 要：什么是数学变形，这是一个很模糊的概念，它是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶 段。变形技巧在数学解题中是很常用的方法,数学解题中,为了完成论证,求值、化简等的任务,需要对一些式子进行恒等变形。一般情况下, 一个式子往往有多种变形形式,因题而异,技巧性非常强。笔者根据多年的工作经验，主要针对初中数学中的变形技巧进行分析和讨论。
系；ｃ．合理转换。概括起来就是：利用和、差、二倍角等三角公式实行 各种转化，从而达到问题解决的目的。三角变换是运算化简的过程 中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用 三角公式，掌握运算，化简的方法和技能。
三角函数式恒等变形是三角函数最重要的学习内容，无论是研 究三角函数式的性质，或是三角函数式的化简、求值和证明，都需要 对三角函数式进行恒等变形，方法和技巧十分丰富，其中也蕴含着 数形结合、化归、函数与方程、换元、等量代换、图形变换等诸多数学 思想方法，数学思想方法是数学知识在更高层次上的概括，它蕴涵 在数学知识发生、发展和应用的过程中。
４ 代数中的变形技巧 代数恒等变形是数学解题的基石， 变形能力的强弱直接制约着 解题能力的高低。变形实质上是为了达到某种目的而采用的“手 段”，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，需要在 实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。代数学习在中学 数学学习中及其重要，在代数学习中，掌握好变形技巧能够使我们 更好的明确解题方向，简化问题。代数中常见的变形有对数变形，指 数变形等等。 ４．１ 变形技巧在因式分解中的应用。多项式的因式分解， 方法多 样， 技巧性强， 有些多项式乔装打扮， 貌似不能因式分解，但经过适 当变形， 创造条件， 便可以进行因式分解。因式分解的主要方法有 符号变形、加减变形、换元变形、拆项变形、化简变形等， 利用这些 常见的变形方法解决一些具体的因式分解的问题。掌握了这些变形 方法后， 这类因式分解问题就可以迎刃而解了。 ４．２ 变形技巧在不等式中的应用。不等式的成立问题往往蕴藏 着许多内在的数学机理，从机理上分析不等式可以为我们寻找解决 问题的突破口带来便利。从不等式等号成立时各变量取值的状态这 一新视角来调控恒等变形方向。 代数变形的方法与技巧远不止于此，但上述的几种却是最核心 的、最本质的，乃至最常用的变形“技巧”。平时在教与学的过程中， 若能留意用二次以上的变形技巧（就是方法），并能做好长期的积累 与消化工作，对提高分析问题和解决问题的能力必将大有裨益，进 而有助于诸多良好思维品质的形成。 结束语 变形是数学解体活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多 变，一个公式，一个法则，它的表达形式是多种多样的。变形是为了 达到某种目的的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的 准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要 人们在学习数学的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。
浅谈中学数学中若干变形技巧
浅谈中学数学中的若干变形技巧-中学数学论文浅谈中学数学中的若干变形技巧江苏高邮市三垛中学赵静变形是数学解题的基石，变形能力的强弱直接制约着解题能力的高低。
变形是为了达到某种目的而采用的“手段”，是化归、转化的准备阶段。
本文旨在通过探讨变形技巧在数列问题、不等式问题、因式分解等问题中的若干应用，来揭示中学数学常见的一些变形技巧，帮助学生掌握变形的一般规律与特点，培养良好的发散性思维与创新精神。
一、掌握变形技巧的意义在代数运算中变形是用来帮助解答疑难问题时，在原代数式基础之上进行转换的方法。
我们在解题时，由于条件不充分或者不明显，常常需要求助于变形做适当的转换。
变形的意义在于把题目中的已知与求解的有关性质联系起来，从而使题目中分散的元素集中，把问题转化为另一种形式，便于利用有关的定义、公理、定理等达到解题的目的；当题中的条件与结论之间的关系不够明确时，变形还可以把所需的关系揭露出来，使隐蔽的条件显现，把复杂的问题化简，从而找到解决问题的途径。
二、变形技巧在数列中的应用（一）给定初始条件，数列的递推方程为：an+1=pan+q（p≠1）型等形式的变形，在不等式中还可以通过变元与消元、增、减项变成“积”一定以及放缩法等形式来变形，在因式分解中还可以通过主元变形等，这里就不再一一叙述。
总之变形是为了便于利用某些理论进行运算架设的桥梁，是把代数式中固有的但不很明显的性质得以明确地显示出来的催化剂。
变形的用途很广，虽然题目千差万别，解题方法多种多样，变形也因题而异．只要我们大胆探索，深入研究，就会找到其内在的规律。
参考文献：[1]马永传．递推数列通项公式求法及技巧[J]．六安师专学报，1999.[2]郭立军．运用基本不等式的变形技巧[J]．数学学习与研究(教研版)，2008.[3]候有歧.运用均值不等式解题的变形技巧[J].中学数学杂志，2007.[4]李开丁.在证明不等式中几种常用的等价变形形式[J].高等数学研究，2004.[5]郭茂华．因式分解中常用的几类变形技巧[J]．时代数学学习，1998.。
浅谈初等数学中的变形技巧
浅谈初等数学中的变形技巧摘要：本文从数学变形技巧的定义出发，介绍了变形技巧解决数学问题的有效性，重点介绍了初等数学中的变形技巧，如集合变形技巧、函数变形技巧、比例变形技巧等，并通过实例说明了变形技巧在初等数学中的应用，最后，从变形技巧学习的心得和建议出发，探讨了学习变形技巧的技巧。
关键词：初等数学；变形技巧；解决问题1.言数学是一门有趣的学科，它能够指导我们正确思考，提供可靠的方法来解决问题。
在数学解题过程中，有许多的技巧可以帮助我们，其中变形技巧也占据着重要的地位。
本文就从变形技巧的定义出发，介绍变形技巧在初等数学中的应用，为广大数学爱好者提供一些有用的参考。
2.形技巧的定义变形技巧是指从原来的某种形式到目标形式的变换过程，它是数学解题最基本的技巧，它可以让我们在满足一定的条件的情况下，通过运用简单的变形方法来解决数学问题。
3.等数学中的变形技巧3.1合变形技巧集合变形技巧是指从一种形式到另一种形式的变换，它是用来套用一些数学定理的基础。
比如，当某些集合都含有全集中的元素时，这些集合中有一些元素只出现在一个集合中，此时可以使用集合变形技巧来求出这些元素。
3.2数变形技巧函数变形技巧是指通过变换函数的形式，来把复杂的函数转换为简单的函数。
一般来说，变形后的函数求解起来更容易，而且可以用一些经典的求解方法来求解。
比如，将一元二次方程的求解转换为一元一次方程的求解，就是使用函数变形技巧的一个实例。
3.3例变形技巧比例变形技巧是指在解决比例问题时，通过改变比例元素中的一个因素，来达到求解比例问题的目的。
一般来说，比例变形技巧可以用来简化很多复杂的比例问题，可以使问题变得容易理解，从而易于求解。
4.例分析下面用一个具体的例子来说明初等数学中的变形技巧的应用。
例1：已知一元二次方程$$ax^2+bx+c=0,$$a,b,c为常数，求解该方程。
解：对于一元二次方程，我们可以用函数变形技巧把它转换为一元一次方程。
浅谈数学中的变形技巧
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变形技巧在数学解题中是很常用的方法，本文主要介绍在初高中 ＝ 。２ ＋ ６ ＋ — — ｝ 二 一 ａ ２＋ ６ ， ‘ 】 一 ，‘ 数学中经常出现的三角函数，不等式，一元二次方程的变形应用，掌 ａ ２ ＋ ： ＋ ｚ 握好并灵活运用好变形技巧，可化繁为简，提高解题效率。下面我们 、 分别来谈谈这几种变形技巧的应用。 ＝口 ＋ｂ ＋２ ｌ ａ ｂ Ｉ ＝（ 口十６ ） 。 １ ． 三角恒等变换技巧 规律技巧：本例充分利用到ｆ 与ｌ 一， 的加和等于 １这一特征， 三角函数作为高考数学的必考题，是初等函数的重要组成部分， 将１ 这个常数，灵活的应用在本题中，构成一因子，发挥 “ １ ”的替换 在求值，化简，证明及解三角方程与解几何问题中，常涉及三角函数 功能，是问题迎刃而解。 的恒等变换。可三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握，对罗 辑思维能力，类比能力都有很好的锻炼，而且三角函数公式的使用， 例 ３ 设ａ ， ｂ ， ｃ均 为正数 ，且 ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求 证 直贯穿到高等数学，下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换的
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解题技 巧做初 步的探 讨研究 。
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浅谈变形技巧在数学解题中的应用
变形技巧的运用方法：通过观察、分析、归纳和演绎等方法，将复杂问题转化为简单问题，提高解题效率。
变形技巧的注意事项：在运用变形技巧时，需要注意等价性、合法性和简洁性，避免出现错误或不必要的复杂化。
灵活运用多种变形技巧，提高解题效率
变形技巧的分类：代数变形、几何变形、三角函数变形等
变形技巧的运用原则：等价性、简捷性、直观性
揭示隐含关系：变形技巧可以帮助揭示数学表达式中的隐含关系，从而找到解决问题的关键点。
转化问题：在某些情况下，通过变形技巧可以将一个复杂的问题转化为一个更简单的问题，从而更容易找到解决方案。
证明定理和性质：在数学中，许多定理和性质都可以通过变形技巧进行证明和推导，这有助于加深对数学知识的理解和掌握。
变形技巧的应用范围
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变形技巧在数学解题中的应用
目录
01
添加目录标题
02
变形技巧的重要性
03
常见的变形技巧
04
变形技巧的运用方法
05
变形技巧的注意事项
06
变形技巧在数学竞赛中的应用
07
总结与展望
01
添加章节标题
02
变形技巧的重要性
变形技巧的定义
变形技巧是指通过改变数学表达式的形式，使其更易于计算或证明的技巧。
变形技巧在数学解题中具有重要的作用，可以帮助我们简化问题、提高解题效率。
常见的变形技巧包括代数变形、几何变形和三角函数变形等。
掌握变形技巧需要一定的数学基础和解题经验，需要不断练习和积累。
变形技巧在数学解题中的作用
简化复杂表达式：通过变形技巧，可以将复杂的数学表达式简化为更易于理解和计算的形式，提高解题效率。
浅谈数学中的变形技巧
浅谈数学中的变形技巧数学中的变形技巧是解决问题的重要方法之一、通过巧妙地变形，可以将一个问题从一个形式转化为另一个形式，从而更容易解决。
在数学中，变形技巧广泛应用于各种数学领域，包括代数、几何、概率等。
下面将对数学中的变形技巧进行浅谈。
首先，代数中的变形技巧是解决代数方程、方程组、不等式等问题的常用方法之一、在解代数方程时，可以通过变形将方程转化为更简单的形式，从而求得方程的解。
比如，对于方程x^2-6x+8=0，可以通过配方变形得到(x-2)(x-4)=0，从而得到方程的解为x=2或x=4、又如，在解方程组时，可以通过变形技巧将方程组转化为更容易求解的形式。
比如，对于方程组2x+y=5和x-3y=4，可以通过高斯消元法将方程组化简为x+y=2和-5y=-6，从而得到方程组的解为x=3，y=-1、变形技巧在解不等式时也是十分有用的。
比如，对于不等式2x+1<5x-2，可以通过变形得到3x>3，从而得到不等式的解为x>1其次，几何中的变形技巧是解决几何问题的重要方法之一、在几何中，常常需要将一个几何图形变形为另一个几何图形，以便更容易研究其性质。
比如，在证明几何定理时，可以通过将一个几何图形变形为另一个几何图形，从而将原问题转化为更容易证明的形式。
又如，在计算几何体的体积、表面积时，常常需通过变形将几何体分解为更容易计算的形状，比如将三棱柱分解为若干个三角形和矩形，从而得到几何体的体积和表面积。
此外，概率中的变形技巧也是解决概率问题的重要方法之一、在概率中，常常需要通过变形将一个复杂的概率问题转化为一个简单的概率问题，从而更容易计算。
比如，在计算事件的概率时，可以通过变形将事件分解为若干个相互独立的事件，从而计算概率。
又如，在计算复杂事件的概率时，可以通过变形将复杂事件转化为多个简单事件的并、交或差，并利用概率的性质计算概率。
在进行数学变形时，需要注意以下几点。
首先，变形的过程中要保持等价性。
代数变形常用技巧及其应用
代数变形常用技巧及其应用代数变形是数学中常用的一种技巧，用于处理代数表达式的结构和形式，以便简化和解决问题。
下面将介绍一些常见的代数变形技巧及其应用。
一、合并同类项：合并同类项是将具有相同字母和相同指数的项合并为一个项。
例如，将2x + 3x合并为5x，将4y²- 2y²合并为2y²。
这个技巧常用于简化代数表达式和解方程。
二、分配律：分配律是将一个数与一个括号中的表达式的每一项相乘，然后将结果相加或相减。
例如，将3(x + 2)扩展为3x + 6，将2(4x - 5)扩展为8x - 10。
这个技巧常用于化简和展开代数表达式。
三、因式分解：因式分解是将一个代数表达式分解成乘积的形式。
例如，将x²+ 4x + 4因式分解为(x + 2)(x + 2)，将3x²- 9因式分解为3(x - 3)(x + 3)。
这个技巧常用于解方程、简化分式和化简根式。
四、配方法：配方法是一种通过添加和减去适当的常数，使得一个代数表达式可以分解为平方的和或差的形式。
例如，将x²+ 6x + 9配方为(x + 3)²，将x²- 4x + 4配方为(x - 2)²。
这个技巧常用于解方程、化简根式和完成平方。
五、整理方程：整理方程是将方程中的项重新排列和组合，使得方程的形式更加简洁和易于解答。
例如，将2x + 3 = 7整理为2x = 4，将3x²- 5x + 2 = 0整理为3x²- 5x = -2。
这个技巧常用于解方程和求解未知数。
六、代入法：代入法是将一个变量的值代入到一个方程或表达式中，以便求解其他变量的值。
例如，将x = 2代入到2x + 3中，得到2(2) + 3 = 7。
这个技巧常用于解方程组和求解变量的值。
以上是一些常见的代数变形技巧及其应用。
通过灵活运用这些技巧，我们可以简化代数表达式、解决数学问题，以及更深入地理解代数的概念和原理。
浅谈数学中的变形技巧
变形过程要保持等 价性，不能改变原 式的意义
变形过程中不能引 入新的元素或结构
变形过程要符合数 学规则和逻辑，不 能出现矛盾或错误
变形过程要清晰明 了，易于理解和掌 握
注意符号的变化：在数学变形中，符号的变化是非常重要的，要时刻注意符号的变化，以免 出现错误。
变形前先判断是否满足条件 变形过程中要注意保持等价 变形后要进行验证和检查 避免出现逻辑错误和计算错误
掌握基本变形方法 理解变形目的和原则 灵活运用不同变形技巧 注意变形过程中的细节和规范
通过大量练习，提高对变形技巧的熟练度 不断尝试新的变形方法，拓宽解题思路 学会总结归纳，将经验转化为自己的知识 与同学、老师交流，共同提高变形技巧水平
微分和积分的变形技巧：利用微分和积分的性质和公式，将复杂的微分和积分表达式转化为简 单的形式
函数图像平移 函数图像伸缩 函数图像对称 函数图像旋转
三角形变换：通过平移、旋转、对称等方式改变三角形的形状和大小
圆形变换：通过平移、旋转、缩放等方式改变圆的位置、大小和形状
多边形变换：通过平移、旋转、缩放等方式改变多边形的形状和大小
避免繁琐计算：通过变形技巧，可 以避免繁琐的计算过程，提高解题 效率
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发现隐含条件：变形技巧可以帮助 我们发现题目中的隐含条件，从而 找到解题思路
拓展解题思路：变形技巧可以拓展 我们的解题思路，让我们能够从多 个角度思考问题
合并同类项
提公因式
运用分配律
平方差公式和完全平方公 式
代数式化简的定义 和目的
代数式化简的基本 技巧和方法
理解初中数学中的几何形变换技巧
理解初中数学中的几何形变换技巧数学是一门抽象而又有趣的学科，而几何形变换则是数学中一项重要而又实用的技巧。
几何形变换涉及到图形的平移、旋转、翻转和放缩等操作，通过这些操作可以改变图形的位置、形状、大小等特征。
了解和掌握几何形变换技巧对于初中数学学习和解题是非常重要的。
本文将从几何形变换的基本概念、实际应用和解题技巧等方面进行讨论。
一、基本概念几何形变换是指通过平移、旋转、翻转和放缩等操作，改变图形的位置、形状、大小等特征。
以下是几个基本概念的介绍：1. 平移：平移是指沿着一定方向和距离将图形整体移动，移动后的图形与原图形相似，只是位置发生了改变。
2. 旋转：旋转是指围绕一个中心点进行转动，使图形绕中心点旋转一定的角度。
旋转后的图形与原图形具有相同的形状，只是方向和位置发生了改变。
3. 翻转：翻转是指图形在平面上关于一条直线或者一个点进行对称变换。
翻转后的图形与原图形相似，只是关于对称轴对称。
4. 放缩：放缩是指改变图形的大小，使图形的各个部分等比例地缩放或者拉伸。
放缩后的图形与原图形具有相似的形状，只是大小发生了改变。
二、实际应用几何形变换技巧在现实生活中有着广泛的应用。
以下是几个实际应用的案例：1. 建筑设计：在建筑设计中，几何形变换技巧可以用来确定建筑物的平面布局和立体结构，包括平面的平移、旋转和翻转，以及空间的放缩等。
2. 电子游戏：在电子游戏中，几何形变换技巧可以用来实现游戏角色的移动、旋转和变形等效果，使游戏画面更加逼真和动态。
3. 图像处理：在图像处理中，几何形变换技巧可以用来调整图像的大小、形状和位置，实现图像的放缩、旋转和翻转等效果。
4. 人工智能：在人工智能领域，几何形变换技巧可以用来处理图形和图像数据，例如目标检测、图像分类和图像生成等任务。
三、解题技巧掌握几何形变换技巧对于初中数学解题非常重要。
以下是一些解题技巧的介绍：1. 利用平移性质解决问题：对于平移的题目，可以利用平移性质将问题转化为简单的计算或者构造问题。
代数变形常用技巧及其应用
良师导学77代数变形常用技巧及其应用★李雨凡对于代数的变形来讲，它作为数学解题的关键所在，学生对代数变形的掌握程度以及变形能力的高低，直接决定了其解题的能力。
之所以变形，它的根本目的就是要把题目简化并最终解决。
作为一种机能性很强的知识，它必须要通过不断地练习，才能慢慢的掌握。
本文展开了详细的分析。
一、代数变形的应用方法1、因式分解把一个多项式化成几个整式乘积的形式叫做因式分解，这在我们数学的解题过程中也是最常用到的一种方法。
2、因式的变形法学生在运用公司进行推理和运算的时候，往往无法做到灵活的运用，不知道怎么将公示转换变形。
究其原因，往往就是公式的变形能力差，所以，怎么进行因式教学的这一部分内容的时候，必须要针对以下的几种变形强加练习。
（1）公式基本变形我们可以将其展开，并对其移项，通过分配以及结合等等的方式，对其进行变形，从而得到一系列的公式。
但是，这一系列的公式并不需要我们完全将其记住，只要多做这方面的练习，就能够活用这些公式。
（2）公式推广变形对于很多比较重要的公式，我们都可以将其做出一些推广，而对于那些重要的推广结论，应该要求学生将其记住，因为，通常这些结论都有助于那些复杂问题的解决。
（3）公式反向变形对于很多的公式，学生往往只对那些正向的结论熟悉，而对这些公式的反向运用却往往忽视了，有时候看到一个公式，很难会联想到它的反向面。
但是，事实上，在很多的题目中，都需要通过反向变形的方式来解决。
3、构造法在具体的解题过程中，构造法也是一种经常会用到的方式。
这样的方式，主要是通过对条件以及结论的分析，将一个辅助的元素构造起来。
对于这一辅助元素，它既可以是一个图形、也可以使一个方程、还可以是一个函数或者一个等式等等。
这样的方式，实现了代数、三角以及几何等一系列问题的渗透，有效的将条件和结论串联起来，从而把题目解决。
4、反证法对于反证法来讲，作为一种间接的证法，它主要是先把和命题结论相反的假设提出来，在这之后，以这个假设为基础，通过一系列的推理和分析，造成矛盾，从而就能够把这一假设给否定掉，于是，原命题就被肯定。
代数变形常用技巧及其应用
代数变形常用技巧及其应用代数变形是数学中经常用到的一种技巧，它在解决各种数学问题中起着重要的作用。
通过合理的代数变形，我们可以将一个复杂的问题转化为一个更简单的形式，从而更容易求解。
本文将介绍一些常用的代数变形技巧及其应用。
1.合并同类项：合并同类项是代数变形中最基本的技巧之一、当公式或方程中存在相同的项时，可以将它们合并成一个项，从而简化问题。
例如，将4x+3x合并为7x。
应用：合并同类项常用于化简多项式、方程求解以及求极限等问题中。
2. 分配律：分配律是代数中的一个重要性质，它规定了乘法对加法的分配关系。
即a(b+c) = ab + ac。
通过分配律，我们可以将一个式子分解成几个简单的项。
应用：分配律常用于多项式乘法、因式分解以及解方程等问题中。
3.因式分解：因式分解是将一个多项式拆解成几个简单的因子的过程。
通过因式分解，我们可以找到多项式的根，化简多项式以及简化方程的求解过程。
应用：因式分解常用于求多项式的根、简化分式、解方程等问题中。
4.移项和整理：移项和整理是解方程时常用的一种技巧。
通过移项和整理，我们可以将方程中的未知数移到一边，并整理为一个更简单的形式，从而更容易求解。
应用：移项和整理常用于解一元一次方程、解二次方程以及解一元线性不等式等问题中。
5.平方差公式：平方差公式是一种将两个平方项相减的公式。
即(a+b)(a-b)=a^2-b^2、通过平方差公式，我们可以将一个带有平方项的多项式分解为两个平方项的差。
应用：平方差公式常用于因式分解、运算简化以及解方程等问题中。
6.提取公因子：提取公因子是一种将多项式中的公共因子提取出来的技巧。
通过提取公因子，我们可以将一个复杂的多项式化简为一个简单的形式。
应用：提取公因子常用于化简多项式、因式分解以及求极限等问题中。
7.奇偶性规律：奇偶性规律是代数中的一个重要性质。
它规定了偶数次幂的实数是非负数，而奇数次幂的实数可以是任意数。
通过奇偶性规律，我们可以推导出一些数学结论，从而简化问题。
数学中的变形与技巧
数学中的变形与技巧作者：韦金洁来源：《新教育时代·学生版》2017年第14期摘要：目前对于数学变形并没有一个明确的定义，其本质就是通过一定数学手法，借助化归、转化及联想的措施达成某种目的。
在数学解题中变形技巧是一种很常用的方法，经常借助变形完成解题任务。
本文中主要分析变形技巧在初中数学学习与解题中的应用。
关键词：初中数学变形技巧应用分析数学学习中解题是重要的组成部分，它可以让数学学习变得生动有趣，借助解题方法，可以帮助学生快速获得数学技巧。
数学学习与解题过程中通过适当变形，将困难问题简单化，或是抽象问题具体化，降低解题难度，可以节省大量时间，获得真实可靠的答案。
一、不等式中运用不等式的成立往往包含许多内在的数学机制，从机制分析不平等可以帮助我们找到解决问题的突破口。
从不等式等号成立时每个变量的取值的范围来调控恒定变形的方向。
初中数学教学中，基本不等式是学生解决问题的主要工具。
如整体代换思想的应用，就是用固定整体代换式一部分，化难为易，轻松解决问题。
再如，使用消元法，也可以让学生迅速了解问题，但该章节知识点学习时，需要学生大量练习，熟练掌握基本不等式使用规则，形成使用思维，提升学习效果。
例1 已知a+b+c>0，ab+bc+ac>0，且abc>0。
试证明：a>0，b>0，c>0证明：假设a≤0.若a=0，则abc=0，与已知矛盾.若a0.∴a（b+c）+bc0矛盾.由以上证明可知a>0，同理可证b>0，c>0.二、函数中运用初中教师在教学时，要注意对学生自学能力的培养，为学生提供足够的时间和空间，突出学生的主体地位，提高其主观能动性和自主学习能力。
例如，在学习一元二次不等式及其解法时，其主要形式为ax2+bx+c=0（a=0）或ax2+bx+c=0（a≠0）两种，这类方程式的解法先假设方程式等于0，求出两解，再结合一元二次函数图像确定解的实际范围。
数学中的变形技巧及其应用
本科生毕业论文（设计）题目：数学中的变形技巧及其应用院（系）数学与统计系专业班级数学与应用数学XX级X班学生姓名 XXX指导教师（职称） XXX 提交时间二○一三年五月数学中的变形技巧及其应用XXX（安康学院数学与统计系，陕西安康，725000）摘要许多数学问题都有一定难度，解决他们往往需要一定的技巧.为了在有限的时间内快速而准确地解决数学题，我们就必须采取一些方法与技巧.这就要求我们在平时的学习过程中细心观察、认真积累一些经验与方法.本文主要介绍数学中一些常用的变形技巧，给出了这些技巧在解数学问题中的应用.关键词数学变形技巧应用Deformation technique and its application in mathematicsXxx xxx WANG（Department of mathematics and statistics, Ankang University,Ankang Shaanxi, 725000)Abstract Many mathematical problems are difficult to solve, they often need certain skills. In order to solve math problems in the limited time quickly and accurately, we must adopt some methods and skills. Then we must observe carefully and accumulate some experience and methods in the usual learning process. This paper mainly introduces some deformation techniques commonly used in mathematics.Keywords mathematics deformation technique application目录摘要 (I)Abstract........................................................... I I 前言 (1)1.数学中的一般变形技巧 (2)1.1 一元二次方程的变形技巧 (2)1.2 三角函数的变形技巧 (4)1.3 “0”的变形技巧 (7)1.4 “1”的变形技巧 (9)2.最值问题的常用变形技巧 (11)2.1配方法 (12)2.2换元法 (13)2.3判别式法 (13)2.4不等式法 (14)3.运用均值不等式解题的变形技巧 (15)3.1拆项 (15)3.2拆幂 (15)3.3升幂 (16)3.4整体代换 (16)3.5平衡系数 (17)3.6分离取倒数 (17)结束语 (19)参考文献 (20)致谢 (21)前 言数学是一个有机整体，各个部分之间相互联系、相互依存、相互渗透，从而构成了一个个相互交错的立体空间.因此为了培养学生在数学学习中的运算能力、逻辑能力、推理能力、空间想象能力以及综合应用数学知识分析、解决实际问题的能力，我们应该对常用的数学方法和重要的数学思想引起重视，并且有意识地运用一些数学方法去解决问题，这样才能够使学生的数学学习提高到一个新的层次、新的高度 .数学方法，是针对不同的数学知识而定的一种策略.数学中的变形与数学知识一样，是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富.近几年来，中学数学考试中的考题越来越新颖，尤其是在中考，高考的试题中，要使考生在短短的两个小时之内完成所有的试题，这对大部分考生来说是非常困难的，而且有些试题的技巧性非常强，做起来有一定的难度，考生如果用常规的方法解决，这不仅会浪费很多时间，而且最后还可能得不到正确答案 .所以我们有必要针对一些题采取正确的解题技巧，即对它们作一些变形，这不仅能使试题变得简单明了，而且还能使我们做起题来得心应手，同时增加了我们解题的信心，还提高了我们对数学学习的兴趣.针对以上问题，本文主要总结归纳了数学中的一些变形技巧，通过例题的方式给出这些变形技巧及具体应用.1. 数学中的一般变形技巧在数学中什么是变形？它是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段.它属于技能技巧性知识，既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的.也就是说它存在着一定的技巧和方法，只有我们在学习数学的实践中反复操作才能掌握，以至于灵活运用.如勾股定理可表述为222c a b =+，也可表述222222,a c b b c a =-=-为等. 18?8⨯=若问，这显然是一个不屑回答的问题， 1?=但若问就成了最富灵活性的问题， 111=⨯例如或2222sin cos 1,sec tan 1,tan cot 1αααααα+=-==g .可见“变形”确实是一个内涵十分丰富的概念，在一些着名的数学问题解决中，变形技巧的巧妙运用也是非重要的一个环节.有时我们在数学解题中，为了完成论证、求值、化简等任务，常常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无固定的模式或规则，一个式子常常有多种可能的变形，因题而异，技巧性非常强.现在我们来看一下一元二次方程，三角函数，“0”，“1”等的变形应用，希望这几方面的变形应用的介绍，对其他题的变形能起到抛砖引玉的作用.下面我们就来谈谈这几种变形技巧的应用.1.1 一元二次方程的变形技巧对有些含有（或可转化）一元二次方程的代数问题，如能对方程进行适当变形并施以代换，则常常可使问题“化繁为简”.下面举例说明：例1 24,31033.x x αβαβ--=+已知是方程的两根，求的值解：22231031031x x ααααα--=∴--==+Q 是方程的根 即422(31)9619(31)613310ααααααα=+=++=+++=+则，分析：如果,αβ要求出的值，那么就很复杂，而且容易出错，在这里通过变形的技巧先从结论出发，这样可以提高解题的效率，以至于节省时间.例2 2,30070m n x x ++=若是一元二次方程的两个根，求解：由题意得：300,56m n mn +=-=而且 (韦达定理），分析：通过观察要求的结论可知，只要对要求的结论作一下变形，则这道题目便可以轻易解决. .m n 不必求出和的值例3 设实数m n 、分别满足2219991099190m m n n ++=++=，并且1mn ≠， 41.mn m n++求的值 解：由题设可得：2219119m m n n +=+两式相除，得 . 221919mn m m n n +=+由比例的基本性质，得 ，119mn n m ≠=因为 ，所以 ，分析：通过仔细的观察可知只要对已知条件进行变形，再利用比例的基本性质即可解决这道题.总结：在解决一元二次方程的代数问题时,首先要认真仔细地观察题目的已知条件和所求的式子，观察他们之间有什么特点与联系，然后再充分利用已知条 件来解决所求的问题.特别是要灵活运用韦达定理： 12,x x 即若为一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，1212,.b c x x x x a a+=-⋅=则在解这类题目时，可以先从已知条件出发，也可以从结论入手，关键是要善于观察所求式子的特点进而合理适当地变形，使所求问题得到解决.以上三道题都是由问题入手，对已知条件做适当的变形，进而应用韦达定理来解决所求问题.1.2 三角函数的变形技巧三角函数是初等函数的重要组成部分，其与二次函数、初等几何的关系十分密切.特别是“给出已知条件，求三角函数的值”的问题，求三角函数的值的关键即合理地进行三角恒等变形，其最基本的思路是“三看”，即一看角、二看函数名称、三看结构特征.除此之外，我们还常常应用代数的变形技巧和构造法，为三角恒等变形创造条件.例4 22tan 56sin 8sin cos 7cos .ααααα=--已知，求的值分析：除了这里的221sin cos αα=+外，还有以下等式也经常用到：22221tan cot ,1sec tan ,1csc cot ,1tan ,1sin ,1cos ,42ππααααααπ==-=-===灵活运用这些等式，能使许多三角函数问题得到简化.例5 ABC ∆在中，已知角A 、B 、C 成等差数列，tan 3tan tan 2222A C A C ++的值. 分析：本例题是正切公式变形的应用.在历年高考题中，曾多次出现两角和与差的正切公式的变形应用，希望读者在学习中一定要总结、体会以至于灵活运用.例6 4A B π+=已知， (1tan )(1tan ).A B ++求的值分析：对于正切和角tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=-公式可正用也可逆用.则其可变形tan tan 1tan tan ,tan tan tan()(1tan tan )tan()αβαβαβαβαβαβ±-=±=±-±为.这里()tan tan tan()(1tan tan )A B A B A B A B T ±±=±-是公式的变形应用.例7 22cos 10cos 50sin 40sin80.+-o o o o 试求的值解： 注意到 2222cos sin 1,cos sin cos 2ααααα+=-=可变形为我们可以通过构造对偶式，以减少三角变换的难度.再观察所求三角函数式， 很容易发现它与余弦定理非常相似，所以我们还可以通过构造三角形，使问题得到解决.2cos 40x y +=-o 则， 从而方法二：原式22sin 80sin 402sin 40sin80cos60=+-⋅o o o o o 构造ABC ∆， 80,40,6021A B C R ∠=∠=∠==o o o 使，外接圆直径则由正玄定理得：sin 80,sin 40,sin 602a b c ====o o o . 又由余弦定理得：2222cos60c a b ab =+-o ，说明：这里通过构造对偶式和三角形来求三角函数式的值是一种较高的变形技巧.总结：三角函数式的恒等变形是学习三角函数和其他数学知识不可缺少的知识.它包括：①化简三角函数式，②求三角函数式的值，③证明三角恒等式.三角函数式恒等变形的理论依据是代数恒等变形的一般方法和法则，三角函数 的变形公式在变形中要注意三角函数的定义域和值域的要求，以及符号的变化.1.3 “0”的变形技巧曾有人指出：“零不只是一个非常确定的数，而且它本身比其他一切被所限定的数都更重要。
浅谈初等数学中的变形技巧
浅谈初等数学中的变形技巧作者：蹇和平来源：《速读·下旬》2018年第07期摘要：变形化简是在现代数学教学中我们随处可见的一种技巧，需要我们在教学中重点讲解题目中的某些部分的恒等的变形。
恒等变形却没有固定的规律方法，这就需要我们对变形化简的累积了。
本文给出了变形中的技巧和方法，能够提高学生的学习兴趣，培养学生在解题中的创造性思维。
关键词：整式变形；分式变形；一元二次函数变形；根式变形随着数学体系的不断完善，现代考试中的试题越来越新颖，而变形技巧的掌握却可以使我们快速找到方向，然后顺利解决难题。
如今在中考、高考这样的大型考试中，题目的多样，使得学生在一百二十分钟内难以完成全部的试题，并且很多题目都抓不住重点，如果学生考试时在这些题目上钻牛角尖，显然是不明智的，所以变形技巧在当今就显得尤为重要了。
“如果我们有能对这些题进行巧解，对这些题目进行适当的变形，那么这不仅能使试题变得简单易解，而且还可以增加中学生解题的信心和提高他们对数学的兴趣，同时也是提高学生成绩的好方法。
”1一元二次方程的化简在我们所学习的一元二次方程这节内容中，其方程的化简变形我们首先要观察方程式子中各元素的存在关系，我们把题目进行化简就能得到另一种显而易见的题目，而我们这样做的目的就是为了方便我们解题的直观。
我们能不能直接求解呢？答案是肯定的，但是直接求解无疑是比较复杂的，并且会浪费我们很多时间。
这对于我们有限时间的考试是不利的，所以就需要我们去把题目进行适当的变形化简，这样就能为我们节省一部分时间来做其他题目，这也是我们能在考试拿到好成绩的便捷通道。
在我们学习与解决一元二次方程的代数问题时，我们所需要考虑的是寻求隐藏在题目中的隐含条件，通过已知以及隐含条件来求我们所需要的式子的答案。
我们需要注意的是灵活运用我们所学的韦达定理等公式定理，韦达定理，即如果[x1]，[x2]是方程[ax+bx+c=0a≠0]的两个根，则[x1+x2=﹣ba]，[x1·x2=ca]。
代数变形常用技巧及其应用（可编辑修改word版）
代数变形常用技巧及其应用（可编辑修改word版）代数变形常用技巧及其应用摘要代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式．本文旨在从五个方面展现常用到的代数变形技巧：一是利用换元法变形，二是根据数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，三是公式法变形，四是分解组合思想变形，五是利用待定系数法进行变形．另外，还介绍了这些变形技巧在分式、不等式、极限、求导、三角、方程组等方面的应用．关键词：代数变形换元法直接法公式法分解组合思想待定系数法The common skills and application of thealgebra distortionAbstractThe algebra distortion is one kind of distortion which uses the algebra knowledge to implement deformation and the nature invariable. It means a question equally transforms for another question, transforms by one form into the substantive equal another form, sums up it as the question or the form which are quite familiar easy to solve. This article aimly unfolds the usually used skill of algebra distortion from five aspects：The first, distort using the substitution of variables. The second, according to mathematical concepts, the nature, the principle and so on carries on the distortion directly to the datum. The third, decomposes the combination thought to distort. The fourth, formula distorts. The fifth, carries on the distortion using the undetermined coefficient law. Moreover, it also introduced these distortion s kill’s uses in the fraction,inequality,limit,derivation,triangle,equation group and so on. Key words：algebra distortion substitution of variables direct method formula method decomposite and combinate thought undetermined coefficient method目录摘要... ....................................................................................................................... (I)Abstract .............................................................................................................. . (II)一、绪论 (1)二、换元法及其应用 (1)（一）换元法的定义 (1)（二）换元法的应用 (2)1.应用于三角中 (2)2.应用于分式不等式中 (2)3.在方程组中的应用 (3)三、直接法及其应用 (4)（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入 (4)（二）在不等式中的应用 (5)（三）在求极限中的应用 (5)（四）在求导中的应用 (6)四、数学公式法及其应用 (7)（一）完全平方公式的变形及应用 (7)（二）三角公式变形及其应用 (7)（三）行列式变形及其应用 (8)五、分解组合思想及其应用 (9)（一）配方法 (9)1.应用于解方程和因式分解中 (9)2.应用于二次型中 (10)3.用配方法证明柯西不等式 (10)（二）拆项法 (11)1.应用于数列求和 (11)2.应用于行列式 (11).（三）加“0”乘“1”法 (12)1．加“0” (12)2．乘“1” (13)3.应用于行列式 (13)六、待定系数法及其应用 (14)（一）待定系数法 (14)（二）应用 (14)1.在有理分式分解中的应用 (15)2.在求取值范围中的应用 (16)3.在数列求和中的应用 (16)4.在极限中的应用 (17)结束语 (18)致谢 (19)参考文献 (20)一、绪论所谓代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式，其过程的实质是从未知到已知的转换过程，使原问题得以解决．一般情况下，代数变形必须是恒等变形或同解变形，这是他必须遵循的原则，不能让变形改变了题意．在变形的时候，不能改变一些实质性关键性的知识内容，否则就会使原问题“改头换面”，得到错误结果．实施代数变形，要把握几个主要因素，第一：题设中的关键性导语；第二：题设中的式子结构特征；第三：题设中的内在因素；第四：题设中所提供的数学模型，这些因素在变形中起着决定作用，是决策变形思维的关键．二、换元法及其应用（一）换元法的定义换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法．我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，进而解决问题．（二）换元法的应用1. 应用于三角中例1[1]求证3sin 2x - 4 cos 2x = sin 2x + 4 cos 2 x ．2 tan x - 1证明令 tan x = t ，则6t - 4(1 - t 2 ) 左边＝ 1 + t 21 + t2 2t - 1 4t 2+ 6t - 4 = (1 + t 2 )(2t - 1) = 2t + 4 ， 1 + t 2右边＝所以原恒等式成立2t1 + t2 + 4 1 + t 2= 2t + 4 1 + t 2＝左边， 2. 应用于分式不等式中x 2 a x 1 x 1b x 2 b ab++ +x 1 + x 2 - z 1 + z 2 + 11 - ? 211 例2[2] 试证对满足 x > 0 ， x > 0 ， x y - z2 > 0 ， x y - z 2 > 0 的所有实数 1 2 1 1 1 2 2 2x 1 ， x 2 ， y 1 ， y 2 ， z 1 ， z 2 ，有不等式：( )() ( )2≤22，x 1 + x 2 y 1 + y 2 - z 1 + z 2x 1 y 1 - z 1x 2 y 2 - z 2并求出等号成立的充要条件．证明设a = x y - z 2 > 0 ， b = x y - z 2 > 0 ，则 x y = a + z 2 ， x y = b + z 2 ，1 112 221 112 22所以(x + x )(y + y ) - (z+ z )2 = x y + x y+ x y + x y - z 2 - z 2 - 2z z122121 11 222 12 2121 22= a + b + 2 ? ? ?z 1 - 2 ? ≥ ( ?+ b )2，因此( )( ) ( )2≤ ( 8)≤2≤ 1 + 1 = 1 + 1 a b x y - z 2 x y - z 2 1 112 22( )() ( )2≤22，x 1 + x 2 y 1 + y 2 - z 1 + z 2x 1 y 1 - z 1x 2 y 2 - z 2且当且仅当 x 1 = x 2 , y 1 = y 2 , z 1 = z 2 等号成立．3. 在方程组中的应用例3[3] 已知方程组(1)，求 x 1000x1x 2 x 2004 = 1 ?x - x x x = 1 ? 1 2 32004 (1)x x - x x x = 11 2 3 42004 ??x 1 x 2 x 2003 - x 2004 = 1解由第一个方程可知x i ≠ 0(i = 1,2, ,2004)，设 p i = x 1 x 2 x i (i = 1,2, ,2003)用 p i 去乘第i + 1个方程，两边得ab x 2 x 1 x 1x 2 a a + y 1 + y 2 8z 88i i p 2 - 1 = p (i = 1,2, .2003)，所以有p =- 1 + 5 ，i 2又因为 x= p 1000 所以 x= 1或1 -5 或1 + 5 ．1000 p999 1000 1 + 5 1 - 5三、直接法及其应用利用数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，这是代数变形的最基本，最基础的方法．熟练掌握这些基本知识是进行代数变形的基础和依据，是必要的前提和准备．（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入例4[4](1) 已知 x y + z = a , y z + x = b , zz + y= c ，且x + y + z ≠ 0 ，a求1 + a+ b 1 + b + c 1 + c 的值． (2) 已知 a 3b = b 2a - 5b= 6a - 15b a 4a 2 - 5ab + 6b 2 ，求 a 2 - 2ab + 3b 2的值．解 (1) 由已知 1 + a = 1 + x =y + z x + y + zy + z ，所以a = 1 + ax x + y + z ，同理可得到b = 1 + by x + y + z, c = 1 + cz x + y + z ，所以 a 1 + a + b 1+ b + c = 1 + c x + x + y + z y + x + y + z z x + y + z = x + y + z = 1． x + y + z(2) 由已知条件知a ≠ 0, b ≠ 0 ，把已知条件中的等式变形并利用等比性质1 11消去b ，得：25a = 15b = 6a - 15b = 25a + 15b + (6a - 15b ) = 31a = 1，75b 30a - 75b a 75b + (30a - 75b ) + a 31a因此a = 3b ，所以原式=4(3b )2- 5 ? 3b ? b + 6b 2(3b )2 - 2 ? 3b ? b + 3b 2 =27b 26b 2= 9 ． 2（二）在不等式中的应用例5 设0 < a i < 1(i = 1,2, n )，且a 1 + a 2 + + a n = a求证：a 1 1 - a 1 + a 2 1 - a 2 + +a n 1 - a n ≥ nan - a(Shopiro 不等式)．证明因为a i1 - a i= 1 - 1(i = 1,2, n )， 1 - a i所以，原不等式变形为a 1+a 2 + a n= 1 + 1 + 1 - n ≥ na ， 1 - a 1 1 - a 2 1 - a n 1 - a 1 1 - a 2 1 - a nn - a即1 1 - a 1+ 11 - a2 +1 - an 2 ≥ ， n - a由算术平均≥ 调和平均，可得下式成立：1 1 - a + 1 1 - a +1 - a n2 ≥ (1 - a ) + (1 - a )+ (1 - a n 2 = ． n - a所以所求的原不等式成立．（三）在求极限中的应用1 2n 2 n n)1 1 ?n例6[5] 求数列极限lim 1+ + ? ．n →∞ ?n n 2 ?1 1 ?x解先求函数极限lim 1+ + ? (1∞型)，对数后的极限为：x →∞ ? ? 1 1 ?x x 2 ? ln (1+ x + x 2 ) - ln x 2x 2 + 2x lim x l n 1+ + 2 ? = lim = lim = 1，x →∞ ? x x ? x →∞ 1 xx →∞ x + x +1所以由归结原则可得：1 1 ?n1 1 ?xlim 1+ + 2 ? = lim 1+ + 2 ? = e ．n →∞ ? n n ? x →∞ ? x x ?（四）在求导中的应用21例7 设y = ( x + 5) ( x - 4)3 ( x > 4) ，求 y ' 51 ． ( x + 2) ( x + 4)2解先对函数式取对数得ln y = 2 ln ( x + 5) + 1 ln ( x - 4) - 5 ln ( x + 2) - 1ln ( x + 4) ，3 2再对上式两边分别求导数，得y ' = 2 + 1 -5 - 1，y ( x + 5) 3( x - 4) ( x + 2) 2 ( x + 4)整理后得到21y ' = ( x + 5) ( x - 4)3 2 + 1 - 5 - 1 ? ． 5 1 ( x + 5) 3( x - 4) ( x + 2) 2 (x + 4) ? ( x + 2) ( x + 4)2 ?四、数学公式法及其应用公式变形不仅仅是公式的基本形态的功能拓宽，而且在变形过程中，可以充分体现数学思想和观点，数学公式的转化和简化功能，更能深层次地理解公式的本质，有利于培养思维能力，创新意识．运用数学公式解决数学问题时，首先要对所学过的公式进行熟练掌握，这是基本的，首要的知识点，在此基础上才能灵22 3 3 2 2 2活变形使用．（一）完全平方公式的变形及应用由完全平方公式(a ± b )2 = a 2 ± 2ab +b 2 ，我们可以进行恒等变形为：(1) a 2 + b 2 = (a + b )2 - 2ab = (a - b )2 + 2ab ；1[( )2 ( )2 ]a +b ?2 ? a - b ?2(2) ab = 4 a + b - a - b = ? - ? ；2 ? ? ?(3) (a + b )2 + (a - b )2 = 2(a 2 + b 2 )．上述几个恒等式十分重要，在解数学题时，若能灵活应用，往往能避繁就简，收到奇效，现举例说明．例8[6] 化简( + + - 1)2+ ( + - + 1)2.解原式= [( 3 + 6 )+ ( - 1)]2+ [( 3 + 6 )- ( - 1)]2= 24 + 8 ．（二）三角公式变形及其应用在三角恒等变形中，熟悉公式的变化形式，既要学会顺用，又要学会逆用，还要会变用．例9 求证： tan (x + y ) + tan (y - z ) + tan (z - x ) = tan (x - y )? tan (y - z )? tan (z - x )．证明左边= tan (x - y ) + tan (y - z + z - x )[1 - tan (y - z )tan (z - x )]= tan (x - y ) - tan (x - y )[1 - tan (y - z )tan (z - x )] = tan (x - y )? tan (y - z )? tan (z - x ) = 右边（三）行列式变形及其应用学习行列式的时候，我们学习了范德蒙德行列式，并以公式的形式把它加以利用，利用范德蒙德行列式计算或证明行列式时，应根据反德蒙德行列式的特点，将所给的行列式化为范德蒙德行列式，然后根据范德蒙德行列式计算出结果．例10[7] 计算n +1阶行列式6 6 2 2a n a n-1 (a -1)n(a -1)n-1(a -n)n(a -n)n-1Dn+1=a a -11 1 a -n 1解此式不是范德蒙德行列式．将第n +1行，第n 行，，第2 行分别向上和n (n +1)相邻行交换n 次，n -1次，，1次，共交换了2次，得Dn+1 =(-1)n(n+1)21aa n-1a n1a - 1(a -1)n-1(a -1)n1a -n(a -n)n-1(a -n)n由n +1阶范德蒙德行列式的计算公式得Dn+1=(-1) n(n+1) 2∏[(a -i +1)-(a -j +1)]=∏(i -j)．n+1≥i>j≥1 n+1≥i≥i≥1五、分解组合思想及其应用将分解和组合的思想用于代数变形，其方法灵活多变，而且技巧性强，具体有“凑、配、添、拆”等实际做法．（一）配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式．通过配方法解决数学问题的方法叫配方法．其中用的最多的是配成完全平方式．1.应用于解方程和因式分解中一般在解析式的变化过程中，使用公式a2± 2ab +b2=(a ±b)2，可使其呈现某一式的完全平方．但在解答问题时，给定的多项式往往不是完全平方式，需要适当配项，使之成为完全平方式，于此同时方可发现隐含条件．y y 1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n 例11 设 1 - 1 =1 ，求 y + x的值． x y x + y x y解因为 1 - 1 =1 ，所以 y + x = 1 ， x y x + y x y又因为y x ?2yx ?2y x+ ? x y = - ? + 4 ? x y = 5 ，x y所以y + x= ± 5 ． x y2. 应用于二次型中例12[8] 用配方法将下列二次型化为标准型f (x , x , x ) = x 2 + 2x 2 + 2x x - 2x x ．12311 21 3解二次型可化为f = x 2 + 2x 2 + 2x x - 2x x = (x + x - x )2 + 2x 2 - (x - x )2，121 21 3123223y 1 = x 1 + x 2 - x 3 ?x 1 = y 1 - y 2令2 ?3 = x 2 = x 2- x 3 ?，即2 = y 23 = y 2 ， - y 3则有 f 的标准型为 f = y 2 + 2 y 2 - y 2 ．123. 用配方法证明柯西不等式例13[9] (柯西不等式)设a i ， b i ， (i = 1, 2, , n ) ，那么(a b + a b + +a b )2 ≤ (a 2 + a 2 + +a 2 ) (b 2 +b 2+ +b 2 )，当且仅当b 1 = a 1 ， b 1 = a 2 ，， b n = a n 时不等式取等号．证明当a 2 + a 2 + +a 2 =0，即a = a = = a 2 = 0 时，不等式成立；12n12n当a 2 + a 2 + +a 2 ≠ 0 时，作二次函数x xn n 1 2 2 3 ? ? 1 2 n 1 1 2 2 1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n f (b 2 + b 2 + +b 2 )f 1 1 1 1 n n n n 1 + +(a x + b )2 ≥ 0 当且仅当a 1 x + b 1 = = a n x + b n = 0 即b 1 = -xa 1, b n = -xa n 时等号成立，因为ax 2 + bx + c ≥ 0 (a > 0) 的充要条件是? = b 2 - 4ac ≤ 0 ，所以 ? = ?2 (a b + a b + +a b )?2-4 (a 2 + a 2 + +a 2 ) (b 2 + b 2 + +b 2 )≤ 0 ， ? 1 1 2 2n n ? 1 2 n 1 2 n 化简整理得(a b + a b + +a b )2 ≤ (a 2 + a 2 + +a 2 )(b 2 +b 2 + +b 2 )，在前面等式中令= -x ，当且仅当b 1 = a 1 ， b 2 = a 2 ， , b n = a n 时不等式取等号．（二）拆项法将某一式拆为另外两式之和或差的形式，从而化繁为简，化难为易．1. 应用于数列求和例14 计算 1 + 1 + 1 + + 1．1? 2 2 ? 3 3? 4 n (n +1)解由1= 1 - 1，n (n +1) n n +1原式=1 - 1 ? + ? 1 - 1 ? + +? 1 -1 ?= 1- 1 = n ．n n +1 ?n +1 n +12. 应用于计算行列式例15 计算n 阶行列式( x ) = (a 2+ a 2 + +a 2 ) x 2 + 2 (a b + a b + +a n b n ) x + ( x ) = (a 2 x 2+ a b x + b 2) + ???? ??(a 2 x 2+ 2a b x + b 2) = (a x + b )21nax + a 1 a 2 a 3 a n a 1 x + a 2 a 3 a n a 1 a 2 x + a 3 a n a 1 a 2 a 3 x + a n解按最后一列拆项得x + a 1 a 2 a 3 0 x + a 1 a 2 a 3a na 1 x + a 2 a 30 a 1 x + a 2 a 3 a n D n = a 1 a 2 x + a 3 0 + a 1 a 2 x + a 3a n a 1 a 2 a 3x a 1 a 2 a 3a n等号右边第一个行列式按最后一列展开，第二个行列式最后一列提出a n 后，第i 列减去最后一列的a i 倍(i = 1, 2 n -1) ，即得x 0 0 10 x 0 1D = xD + a 0 0 x 1 = xD+ a x n -1nn -1nn -1 n0 0 0 1= x (xD + a x n -2 ) + a x n -1 = = x n + x n -1∑ a ．n -2n -1ni i =1（三）加“0”乘“1”法1．加“0”例16[10] 在等差数列{a }与等比数列{b } 中， a = b > 0 ， a = b > 0 ，求证：当 nn ≥ 3 时， a n < b n ．n1122b ?n -1 ? a ?n -1 ? a - a + a ?n -1 ? a - a ?n -1 证明 b n = b 1 2 ? = a 1 2 ? = a 12 1 1 ? = a 1 1+ 21 ?b 1 ? ? a 1 ? ? a 1 ? ?a 1 ? ? a - a ? a - a ?2= a ?c 0 + c 12 1 + c 2 2 1 ? + ?1 ?? > ? n -1 n -1a 1 a 2 - a 1 ?n -1 ? 1 ? ?a 1 ?1+ (n -1) ?= a n ．a 1 ?1 1 1n nn 1 1 1 11 1 n n n n n2．乘“1”例17 设a , b , c ∈ R + >2．证明= ≥ 2 = a + b +1c2c a +b +c ，同理≥ 2a a+ b + c ≥ 2b ， a + b + c所以有≥2 (a + b + c ) a + b + c=2，又上述三个不等式中“=”不能同时成立故．3. 应用于计算行列式例18 计算n 阶行列式1+ x1+ x 21+ x n 1+ x 1+ x 2 1+ x nD =2 2 21+ x 1+ x 21+ x n 解将行列式加边升阶为11 - 1 - 1 - 11 1+ x 1+ x2 1+ x n 1 x x 2 x nD = 1 1+ x 1+ x 2 1+ x n = 1 x x 2 x n2222221 1+ x 1+ x 21+ x n1 x x2 x nc a + b ?1nx x x x x x ( ) n nn n n 1 + 11 x x x2 0 1 x 1 = 1 x 21 x n 0 0 - 1 - 12 n1 11 2 n 2 222 nn nn- 1 - 12 n1 12 n 2 22 n n n-1 0 0 01 x -1 x ( x -1) x n -1 ( x -1) n 1 1 1 1 1 =2 x(x - x ) + 1 x -1 x ( x -1) x n -1 (x -1) ∏ i∏ji22222i =11≤i < j ≤n1 x -1 x ( x -1) x n -1 (x -1) nn= 2∏ x i ∏ (x j - x i ) + (-1)∏(x j -1) ∏ (x j - x i )i =11≤i < j ≤nj =11≤i < j ≤nn n ?=∏ (x j - x i ) 2∏ x i - ∏(x j -1)? ．1≤i < j ≤n ? i =1 j =1 ?六、待定系数法及其应用（一）待定系数法在解数学问题中，若先判断所求结果具有某种特定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种接替方法称为待定系数法．（二）应用1. 在有理分式分解中的应用2x 4 - x 3 + 4x 2 + 9x -10例19 对作部分分式分解． x 5 + x 4 - 5x 3 - 2x 2+ 4x - 82x 4 - x 3 + 4x 2 + 9x -10 解令x 5+ x 4- 5x 3- 2x 2+ 4x - 8= Q x ，分母 x 5 + x 4 - 5x 3 - 2x 2 + 4x - 8 可写为几个因式乘积的形式即：R ( x ) = x 5 + x 4 - 5x 3 - 2x 2 + 4x - 8 = ( x - 2)( x + 2)2(x 2 - x +1) ，x x x x x x0 1 2 ?则部分分式分解的待定形式为：Q ( x ) = A 0+A 1+A 2+Bx + C，( x - 2) ( x + 2) ( x + 2)2用 R ( x ) 乘以上式两边，得一恒等式(x 2 - x +1)2x 4 - x 3 + 4x 2 + 9x -10 ≡ A (x + 2)2(x 2 - x +1) + A ( x - 2)( x + 2)(x 2 - x +1) + A (x - 2)(x 2 - x +1) +( B x + C )( x - 2)( x + 2)2，然后是等式两边同幂项系数相等，得到现行方程组：A 0 + A 1 +B = 2 ?3A - A + A + 2B +C = -11 2 ?A 0 - 3A 1 - 3A 2 - 4B + 2C = 4 ?4 A + 3A - 8B - 4C = 9 12求出它的解：4 A 0 - 4 A 1 - 2 A 2 - 8C = -10并代入(1) 式A 0 = 1 A 1 = 2，A 2 = -1B = -1 C=1所以原式的部分分式分解为2x 4 - x 3 + 4x 2+ 9x -10=1+2-1-x -1x 5 + x 4 - 5x 3 - 2x 2 + 4x - 8( x - 2) ( x + 2) ( x + 2)2(x 2- x +1)2. 在求取值范围中的应用例20[11] 已知- 1 ≤ 2x + y - z ≤ 8 ，2 ≤ x - y + z ≤ 9 ， - 3 ≤ x + 2 y - z ≤ 7 ，求证： - 6 ≤ 7x + 5 y - 2z ≤ 47 ．证明令 A (2x + y - z ) + B (x - y + z ) + C (x + 2 y - z ) = 7x + 5 y - 2z ，比较两边的对应系数，得：2 A + B + C = 7 ?A -B + 2C = 5 ?- A + B - C = -2A = 1 ? ?B = 2 ?C = 3 ．n 3 2 4 n ?? 2 ? n 2 ? 3 ?? 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 3 ? 4 ? 5 n n + 1)(n + 2) n n + 1)(n + 2)n n + 1 n + 2由于- 1 ≤ 2x + y - z ≤ 8 ，2 ≤ x - y + z ≤ 9 ， - 3 ≤ x + 2 y - z ≤ 7 ，所以有- 6 ≤ 7x + 5 y - 2z ≤ 47 ．3. 在数列求和中的应用例21[12] 求S =1 + 1 + 1 + + (1．1解设(=A +B +C ，比较两边对应项的系数，可得A = 1 ,B = -1,C = 1 ，2 2 故( 1) = 1 ? 1 - 2 + 1，n n + 1)(n + 2 2 n n + 1 n + 2 ?则有S = 1 ?? 1 - 2 + 1 ? + ? 1 - 2 + 1 ? + + ? 1 - 2 + 1 ?? n ? ? ?2 ?? 1 2 ? ?3 ? n + 1 n + 2 ??= 1 ??1 + 1 + + 1 ? - ? 2 + 2 + + 2 ? + ? 1 + 1 + + 1 ?? ? ??2 ? ? 3= 1 ? 1 - 1 + 1 ? n + 1? 4 n + 2 ??2 ? 2 n + 1 n + 2 ?4. 在极限中的应用例22[13] 若lim (3a + 4b ) = 8 ， lim (6a - b ) = 1 ，求lim (3a + b )．n →∞n nn →∞n nn →∞n n解设3a n + b n = A (3a n + 4b n ) + B (6a n - b n ) = (3A + 6B )a n + (4 A - B )b n ，比较系数得．3A + 6B = 3 1 14 A - B = 1 解得 A = , B = ， 3 3 所以 lim (3a + b ) = 1 lim (3a + 4b ) + 1 lim (6a - b ) = 8 + 1= 3 ．n →∞ n n 3 n →∞ nn 3 n →∞ n n 3 3代数变形的常用技巧还很多，如整体化思想，分离变量等．。
数学中公式变形原理的应用
数学中公式变形原理的应用1. 概述在数学中，公式变形是一种常见的方法，可以通过改变方程或等式的形式来推导出新的结果。
公式变形广泛应用于数学各个领域，如代数、几何、微积分等。
本文将介绍公式变形原理的应用，包括一些常见的技巧和实例。
2. 公式变形的基本原理公式变形是基于数学等式的性质和运算规则进行推导和转换的过程。
通过对方程两侧进行相同的操作或运算，可以改变等式的形式，从而得到新的结果。
以下是一些常见的公式变形原理：2.1. 代数中的公式变形在代数中，公式变形是指通过代数等式的合理运算和变换，将原始的等式变形为其他形式的等式。
代数公式变形常用的技巧包括：•合并同类项：将同一变量的不同项合并在一起，例如将2x + 3x合并为5x。
•因式分解：将一个多项式分解为两个或多个因子的乘积，例如将x^2 + 2x + 1分解为(x + 1)^2。
•移项：将方程中的项移动到等式的另一侧，例如将2x + 3 = 7中的3移动到等式的右侧，得到2x = 7 - 3。
•相乘：将方程两侧都乘以一个常数或表达式，例如将2x = 4乘以2，得到4x = 8。
2.2. 几何中的公式变形在几何中，公式变形常用于推导和证明几何定理和公式。
公式变形的技巧包括：•使用几何定理：通过运用已知的几何定理，可以从一个几何关系推导出另一个几何关系的公式。
•利用相似性质：当两个几何图形相似时，可以通过相似性质进行等式的变形和推导。
•运用三角函数关系：在三角形中，可以利用三角函数的关系进行公式的变形，如正弦定理、余弦定理等。
2.3. 微积分中的公式变形在微积分中，公式变形常用于求解导数、积分和微分方程等问题。
公式变形的技巧包括：•使用基本导数法则：根据导数的定义和基本导数法则，可以对函数进行求导和变形。
•利用积分的性质：根据积分的定义和性质，可以对函数进行积分和变形。
•运用微分方程的解法：通过对微分方程进行变形、分离变量或使用特殊的方法，可以求解微分方程的解。
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谈变形技巧在初等数学中的一些应用摘要:变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的。
在数学解题中，为了完成论证，求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强。
本文主要介绍了在初等数学中的" " ，" " ，三角函数，一元二次方程等的变形应用。
掌握好并灵活运用它，可以很快确定解题方向，减少解题的盲目性，提高解题效率。
关键词:初等数学；变形；技巧数学是一个有机的整体, 各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透, 从而构成了一个互相交错的立体空间. 所以, 为了培养数学学习中的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合应用数学知识分析解决实际问题的能力, 除了对各单元知识, 及一些开放探索性问题, 实践应用性问题等综合内容进行系统复习外, 在最后阶段的复习中, 应对常用的数学方法和重要的数学思想引起重视, 并有意识地运用一些数学思想方法去解决问题, 这样才能使我们的数学学习提高到一个新的层次、新的高度.常用的数学方法, 是针对各种不同的数学知识而定的一种策略. 不同的问题可以用不同的方法, 相同的问题也可以有各种不同的方法 ( 即所谓的一题多解 ). 各种数学方法与数学知识一样, 是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富, 并且是数学知识所不能替代的.在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类：?逻辑学中的方法。
例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等。
这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色。
?数学中的一般方法。
例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法。
代数中常用图象法，解析几何中常用坐标法)、向量法、比较法(数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法、同一法、数学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等。
这些方法极为重要，应用也很广泛。
数学中的特殊方法。
例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等。
这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之。
而变形也是数学中的一种重要的方法之一。
变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的。
例如勾股定理可表述为，亦可表述为等。
若问？，这显然是一个不屑回答的问题，但若问1=？就成了最富灵活性的问题，例如等。
可见"变形"实在是一个内涵十分丰富的概念，在某些著名数学问题的解决中，变形技巧的巧妙运用也是至关重要的一环。
我们在数学解题中，为了完成论证，求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强。
本文主要介绍" " ，" " ，三角函数，一元二次方程等的变形应用，希望对这几方面的变形应用的介绍，对于其他的解题变形能起到抛砖引玉的功效。
下面我们分别来谈谈这几种变形技巧的应用。
1.1 一元二次方程的变形技巧对有些含有（或可转化）一元二次方程的代数问题，如能对方程进行适当变形并施以代换，则常常可使问题化繁为简。
下面列举例子说明。
例 1 已知是方程的两根，求的值。
解：因为是方程的根。
则，。
又因为是方程的两根，，。
分析：如果要求出的值，那么就很复杂，而且容易出错，在这里通过变形的技巧先从结论出发，这样可以提高解题的效率、节省时间。
例 2 若，是一元二次方程的两个根，求的值。
解：由题设得，及，。
分析：通过观察要求的结论可知，只要对要求的结论作一下变形，则这道题目便可以轻易解决。
不必求出和的值。
例 3 设实数分别满足，并且，求的值。
解：由题设可得。
两式相除，得。
由比例的基本性质，得，整理得，分析：通过仔细的观察可知只要对已知条件进行变形，再利用比例的基本性质即可解决这道题。
∙总结：我们在解决一元二次方程的代数问题时，首先要认真仔细地观察题目的已知条件和所要求的式子，观察它们之间有什么特点，然后再充分利用已知条件来解决所要求的问题。
特别是要灵活应用韦达定理：即如果为方程的两个根，则。
在解这类题目时，可以从已知条件出发，也可以从结论入手。
关键是要善于观察所要求式子的特点。
1.2 三角函数的变形技巧∙三角函数是初等函数的重要组成部分，它与初等代数、初等几何的关系十分密切。
特别是三角函数的求值问题，而三角函数求值的关键是合理地进行三角恒等式的变形，其基本思路是"三看"，即一看角、二看函数名称、三看结构特征。
除此之外，我们还常常应用代数的技巧和构造法，为三角恒等变形创造条件。
∙例4 已知，求的值。
∙分析：除了这里的外，还有以下等式也经常用到：灵活运用这些等式，可以使许多三角函数问题得到简化。
∙例 5 已知，求的值。
∙分析：对于正切和角公式可正用也可逆用。
而为变形形式。
这里是公式的变形应用。
∙例 6 在中，已知角成等差数列，求的值。
∙解：成等差数列，∙由两角和的正切公式，得∙分析：本例是正切公式变形的应用。
在历年高考题中，曾多次出现两角和与差的正切公式的变形应用，读者在学习中一定要总结、体会。
∙例 7 （年全国高中数学联赛试题）试求的值。
∙讲解：注意到我们可以通过构造对偶式，以减少三角变换的难度。
再观察所求三角函数式，不难发现它与余弦定理非常相似，所以我们还可以通过构造三角形，使问题得到整体的解决。
∙说明：这里通过构造对偶式和三角形来求三角函数式的值是一种较高的变形技巧。
∙总结：三角函数式的恒等变形是学习三角函数和其他数学知识的重要知识。
它包括化简三角函数式，求三角函数式的值，证明三角恒等式等。
三角函数式恒等变形的理论依据是代数式恒等变形的一般方法和法则，与三角函数式的变形公式。
变形中要注意三角函数定义域和值域的要求，以及符号的变化和选择。
1.3 "0"的变形技巧恩格斯在《自然辨证法》一书中指出："零不只是一个非常确定的数，而且它本身比其他一切被要所限定的数都更重要，事实上，零比其他一切数都有更丰富的内容零乘以任何一个数,都使这个数变为零,零除以任何一个不等于零的数, 都等于零, "由于零具备许多特殊的性质,因此,在解题活动中我们若能对这些特性加以注意,对于解题的顺利进行是大有帮助的,下面我们举例几个"0"的特性在解题中的应用。
例 8 若，求证：。
证明：因为分析：通过观察可发现可以变形为，即式子中加了。
则再利用不等式的性质可方便解决这道题。
例9 在等差数列和等比数列中，分析：本题主要在变形，即分子上加，再利用不等式和等差数列的有关知识去解决即可。
例 10 在数列中，求：通项；前项的和。
解：令，为的前项和，则是首项为，公差为的等差数列。
分析：本题主要应用了然后再利用等差数列的知识便可解决这道题目。
总结："0"是一个很有用的数字，在数学解题中若能灵活应用它，则会帮助我们顺利地解题。
如果有些题目可以借助"0"来解决，我们应该充分利用"0"的有关特性去解决。
这样可以很快确定解题方向，提高解题效率。
1.4 "1"的变形技巧众所周知" "的变形表述形式是十分丰富的，在数学问题的求解活动中，如果我们善于捕捉" "，恰当地用" "来解决数学问题，会使问题的解决显得十分的简洁明了。
下面我们来看它的应用。
例 11 化简。
说明：本题充分利用使问题巧妙解决。
本题也可以用三角函数的知识来解答，但是比较麻烦。
例 12 若分析：由均值不等式有式左边是个正数之积，右边是的次乘方，而求证式左边是个正数的积，但任何数乘以其值不变，因此，我们可以在求证式的左边乘以个，将其视为正数之积。
说明：这里的有个例 13 在等差数列中，，公差，设，则。
分析：这里巧妙的运用使问题得以解决。
即而这里的。
例 14 设求证：。
解：若，，中有两个或三个为负，不妨设 , ,则 ,即矛盾。
因而，，中至多有一个为负。
当，，中只有一个为负时，不等式显然成立。
当，，均为非负时同理，故分析：这道题如果不认真去考虑，那么将很容易遗漏和这两种情况。
即要讨论，，这三个数的正负情况。
而第三种情况用到了和的变形技巧，即用到了的变形技巧，而用到了的变形技巧。
然后再利用不等式的性质便可解决这道题。
总结：通过以上的例子可以看出，如果可以借助"1"来解决有关的数学问题，则效率非常高。
因为"1"的变形是多种多样的。
对不同的题目，"1"的变形是不同的。
有些题目若能利用"1"来求解，则我们应该灵活运用"1"去解决。
我们在解数学题的过程中难免会遇到这样或那样的问题，那么我们应该怎么样去解决才使问题变得简单易懂呢？从波利亚的"怎样解题"表中可知数学解题一般有四个步骤：第一、弄清问题。
即要知道未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？然后拟定计划。
第二、找出已知数和未知数之间的联系。
如果找不出直接的联系你可能不得不考虑辅助问题。
你应该最终得出一个求解计划。
第三、实行你的计划。
第四、验算所得到的解。
以上是解题的一般步骤。
但是有时我们在解题的过程中应该注意，如果能利用变形技巧的，我们应该利用。
通过以上的几种变形技巧的介绍，我们可以看出在解题的过程中，如果善于利用变形技巧，则可以使许多问题化繁为简，化难为易。
变形技巧是数学解题的一种方法，变形能力的强弱直接制约着解题能力的高低。
变形实质上是为了达到某种目的而采用的"手段"，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识需要在实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。