空间点阵群
名词解释
点群：一个结晶多面体所有的全部宏观对称要素的集合，称为该结晶多面体的点群。
对称型：晶体结构中所有点对称要素（对称面、对称中心、对称轴和旋转反伸轴）的集合称为对称型，也称点群。
空间群：空间群：指在一个晶体结构中所存在的一切对称要素的集合。
它由两部分组成，一是平移轴的集合（也就是平移群），另外是除平移轴之外的所有其他对称要素的集合（与对称型相对应）。
无规则网络假说：凡是成为玻璃态的物质和相应的晶体结构一样，也是由一个三度空间网络所构成。
这种网络是由离子多面体（三角体或四面体）构筑起来的。
晶体结构网是由多面体无数次有规律重复构成，而玻璃中结构多面体的重复没有规律性。
网络形成体：单键强度大于335KJ/mol的氧化物，可单独形成玻璃。
网络变性（改变）体：单键强度小于250KJ/mol的氧化物，这类氧化物不能形成玻璃，但是能改变网络结构。
从而使玻璃性质改变。
正尖晶石；二价阳离子分布在1／8四面体空隙中，三价阳离子分布在l／2八面体空隙的尖晶石。
反型尖晶石：二价阳离子分布在八面体空隙中，三价阳离子一半在四面体空隙中，另一半在八面体空隙中的尖晶石。
萤石结构（CaF2）：F-填充在八个小立方体中心，8个四面体全被占据，八面体全空（有1+12*1/4=4个八面体空隙，其中有12个位于棱的中点，为4个晶胞所共用，1个位于体心) 。
可塑性：粘土与适当比例的水混合均匀制成泥团，该泥团受到高于某一个数值剪应力作用后，可以塑造成任何形状，当去除应力泥团能保持其形状，这种性质称为可塑性。
弗伦克尔缺陷：如果在晶格热振动时，一些能量足够大的原子离开平衡位置后，挤到晶格的间隙中，形成间隙原子，而原来位置上形成空位，这种缺陷称为弗伦克尔缺陷。
Frenkel缺陷的特点是：①间隙原子和空位成对出现；②缺陷产生前后，晶体体积不变。
网络形成剂：这类氧化物单键强度大于335KJ/mol，其正离子为网络形成离子，可单独形成玻璃。
液相独立析晶：是在转熔过程中发生的，由于冷却速度较快，被回收的晶相有可能会被新析出的固相包裹起来，使转熔过程不能继续进行，从而使液相进行另一个单独的析晶过程，就是液相独立析晶。
简述晶体结构与空间点阵之间的关系
简述晶体结构与空间点阵之间的关系晶体结构是指由原子、离子或分子按照一定的规律排列而形成的固体结构。
而空间点阵则是描述晶体结构的数学模型，用来表示晶体中原子、离子或分子的排列方式和间距。
晶体结构与空间点阵之间存在着密切的关系，下面将从晶体结构和空间点阵的定义、表示方法以及它们之间的关系三个方面来进行阐述。
一、晶体结构的定义和表示方法晶体结构是指由原子、离子或分子按照一定的规律排列而形成的固体结构。
在晶体中，原子、离子或分子之间的排列方式是非常有序的，各个粒子之间有着固定的位置关系和间距。
晶体结构可以通过实验方法如X射线衍射等来确定，也可以通过理论计算和模拟方法来推测。
晶体结构的表示方法主要有两种，一种是晶体结构的几何图形表示，另一种是用数学模型表示。
几何图形表示主要通过晶体的晶面、晶胞和晶格来描述晶体的结构。
晶面是晶体表面上的一个平面，晶胞是晶体中的最小重复单元，晶格是由相邻晶胞的重复堆积形成的一个无限延伸的空间网格。
数学模型表示主要是通过空间点阵来描述晶体的结构。
二、空间点阵的定义和表示方法空间点阵是一种数学模型，用来描述晶体中原子、离子或分子的排列方式和间距。
空间点阵是由一系列的基矢量和晶胞参数来表示的。
基矢量是一组线性无关的矢量，它们的线性组合可以表示出空间中的任意矢量。
晶胞参数包括晶胞的长度、角度和对称操作元素等。
空间点阵可以分为离散点阵和连续点阵两种。
离散点阵是指晶体中的原子、离子或分子按照一定的规律在空间中离散排列的情况，如简单立方晶体、体心立方晶体和面心立方晶体等。
连续点阵是指晶体中的原子、离子或分子在空间中连续排列的情况，如钻石晶体和金属晶体等。
三、晶体结构与空间点阵的关系晶体结构与空间点阵之间存在着密切的关系。
晶体结构可以通过空间点阵来描述和表示。
在晶体中，原子、离子或分子按照一定的规律排列，形成了一种具有周期性的结构。
这种周期性的结构可以通过空间点阵的平移操作来表示，即晶体结构是由空间点阵的平移操作所生成的。
空间点阵空间点阵到底有多少种排列形式？按照每个阵点的周围环境
-空间点阵空间点阵到底有多少种排列形式？按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，在这样一个限定条件下，法国晶体学家布拉菲（A. Bravais）曾在1848年首先用数学方法证明，空间点阵只有14种类型。
这14种空间点阵以后就被称为布拉菲点阵。
空间点阵是一个三维空间的无限图形，为了研究方便，可以在空间点阵中取一个具有代表性的基本小单元，这个基本小单元通常是一个平行六面体，整个点阵可以看作是由这样一个平行六面体在空间堆砌而成，我们称此平行六面体为单胞。
当要研究某一类型的空间点阵时，只需选取其中一个单胞来研究即可。
在同一空间点阵中，可以选取多种不同形状和大小的平行六面体作为单胞，如图1-8所示。
一般情况下单胞的选取有以图1-8 空间点阵及晶胞的不同取法图1-9面心立方阵胞中的固体物理原胞图1-10晶体学选取晶胞的原则下两种选取方式：1．固体物理选法在固体物理学中，一般选取空间点阵中体积最小的平行六面体作为单胞，这样的单胞只能反映其空间点阵的周期性，但不能反映其对称性。
如面心立方点阵的固体物理单胞并不反映面心立方的特征，如图1-9所示。
2．晶体学选法由于固体物理单胞只能反映晶体结构的周期性，不能反映其对称性，所以在晶体学中，规定了选取单胞要满足以下几点原则（如图1-10所示）：①要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性；②在满足①的基础上，单胞要具有尽可能多的直角；③在满足①、②的基础上，所选取单胞的体积要最小。
根据以上原则，所选出的14种布拉菲点阵的单胞（见图1-12）可以分为两大类。
一类为简单单胞，即只在平行六面体的 8个顶点上有结点，而每个顶点处的结点又分属于 8个相邻单胞，故一个简单单胞只含有一个结点。
另一类为复合单胞(或称复杂单胞)，除在平行六面体顶点位置含有结点之外，尚在体心、面心、底心等位置上存在结点，整个单胞含有一个以上的结点。
14种布拉菲点阵中包括7个简单单胞，7个复合单胞。
图1-11 单晶胞及晶格常数根据单胞所反映出的对称性，可以选定合适的坐标系，一般以单胞中某一顶点为坐标原点，相交于原点的三个棱边为X、Y、Z三个坐标轴，定义X、Y轴之间夹角为γ，Y、Z之间夹角为α，Z、X轴之间夹角为β，如图1-11所示。
无机材料科学基础名词解释
名词解释肖特基缺陷：正常格点上的原子，热起伏过程中获得能量离开平衡位置迁移到晶体表面，晶体内正常格点上留下空位弗伦克尔缺陷：晶格热振动时，能量足够大的原子离开平衡位置，挤到晶格间隙中，形成间隙原子，原来位置上形成空位空间群：晶体结构中一切对称要素的集合称为空间群。
本征扩散:指空位来源于晶体结构中本征热缺陷而引起质点的迁移的扩散方式；非本征扩散是由不等价杂质离子取代造成晶格空位，由此而引起的质点迁移。
固溶体：在固态条件下，一种组分（溶剂）内“溶解”了其它组分（溶质）而形成的单一、均匀的晶态固体称为固溶体。
烧结与熔融：烧结是在远低于固态物质的熔融温度下进行的，熔融时全部组元都转变为液相，而烧结时至少有一组元是固态的。
等同点：在晶体结构中占据相同的位置和具有相同的环境的点点阵（空间点阵）：空间点阵，一系列在三维空间按周期性排列的几何点结点间距：行列中两个相邻结点间的距离晶体：内部质点在三维空间按周期性重复排列的固体，具有格子构造的固体基本性质：结晶均一性、各向异性、自限性、对称性、最小内能性对称：物体中相同部分之间的有规律的重复宏观晶体的对称要素：对称轴、对称中心、对称面、倒转轴对称变换（对称操作）:使对称物体中各相同部分作有规律重复的变换动作对称型（点群）：宏观晶体中对称要素的集合，包含了宏观晶体中全部对称要素的总和以及它们相互间的组合关系晶胞：晶体结构中的平行六面体单位，其形状大小与对应的空间格子中的平行六面体一致。
单位晶胞：能够充分反映整个晶体结构特征的最小结构单位，其形状大小与对应的单位平行六面体完全一致。
配位数：晶体结构中，原子或离子的周围，与它直接相邻结合的原子个数或所有异号离子的个数。
固相反应：广义：固相参与的化学反应；狭义：固体与固体发生化学反应生成新的固体。
固相反应速度较慢、需要高温烧结：一种或多种固体粉末经过成型，在加热到一定温度后开始收缩，在低于熔点的温度下变成致密、坚硬的烧结体的过程，包括粉末颗粒表面的粘结和粉末内部物质的传递与迁移。
第2章晶体结构和空间点阵
(a) (b)
(c) (d) 一维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点） (a) Cu ， (b) 石墨 ， (c) Se ， (d) NaC l
晶体结构的基本重复单位是晶胞，整个晶体 就是晶胞在三维空间周期地重复排列堆砌而成 的。只要将一个晶胞的结构剖析透彻，整个晶 体结构也就掌握了。
晶胞有两个要素： ⑴ 晶胞的大小和形状，由晶胞参数
a , b , c , α , β , γ 规定； ⑵晶胞内部各个原子的坐标位置，由原子坐标 参数 (x , y , z )规定。
第2章 晶体结构和空间点阵
➢ 内容
✓ 晶体结构的周期性与空间点阵。 ✓ 晶胞、晶列、晶面和晶面指数。 ✓ 倒易点阵 ✓ 晶体的对称性。 ✓ 7个晶系和14种Bravias空间格子。 ✓ 晶体缺陷
➢ 教学目标
通过本章学习，掌握晶体所具有的周期性结构与它的 点阵表示，倒易点阵，了解晶体对称性与空间群。
材料科学与工程
ห้องสมุดไป่ตู้
▪ 体心点阵，I
除8个顶点外，体 心上还有一个阵点， 因此，每个阵胞含 有两个阵点，000， 1/2 1/2 1/2
• 面心点阵。F
除8个顶点外，每 个面心上有一个 阵点，每个阵胞 上有4个阵点，其 坐标分别为000， 1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2
2. 2 晶体的周期性，晶胞
晶体结构(晶格） = 点阵 + 结构基元
原胞和晶胞
• 原胞（primitive cell）：最小的重复单元。 • 晶胞（unit cell）：体现所有对称性的最
浙江大学《材料科学基础》考研复习知识点
i
1 2
§2-2 位错 位错：原子行列间相互滑移，不再符合理想晶格的有序的排列，为线缺陷 (一)刃型位错 刃型位错：滑移面和未滑移面交界处的一条交界线，也即一个多余半原子面与滑
移面相交的交线上，由于原子失掉正常的相邻关系，形成的晶格缺陷。它 与滑移方向垂直。图 2- 6，图 2- 8 有正、负刃型位错
(1)对晶胞作晶轴X、Y、Z，以晶胞的边长作为晶轴上的单位长度。 (2)求出晶面在三个晶轴上的截距(如该晶面与某轴平行，则截距为∞)。例 如1、1、∞，1、1、1，1、1、1/2等。 (3)取这些截距数的倒数。例如110，111，112等。 (4)将上述倒数化为最小的简单整数， 并加上圆括号， 即表示该晶面的指数， 一般记为(hkl)。例如(110)，(111)，(112)等。如果所求晶面在晶轴上 的截距为负数，则在相应的指数上方加一负号，如(110)、(111)、(11 2 ) 等。
多的负离子包围它）和离子的相对大小（(rC)与(rA)之比）决定
负离子配位多面体：以正离子为中心，将周围最近邻配置的各负离子的中心连起
来形成的多面体
正离子配位数：配置于正离子周围的负离子数 三者之间关系：
表 1- 9 rC/rA 0-0.155 0.155-0.225 0.225-0.414 0.414-0.732 0.732-1.0 正、负离子半径比，正离子配位数和配位多面体形之间的关系 正离子配位数 2 3 4 6 8 配位多面体类型 线性 三角形 四面体 八面体 立方体 举例 CO2 B2O3 SiO2 TiO2 CsCl
四、晶体的对称性 (一)对称要素 对称要素：反映晶体对称性的参数。晶体通过相应对称操作后的位置与原始位置
完全重合
宏观对称要素：反映出晶体外形和其宏观性质的对称性 微观对称要素：与宏观对称要素配合运用能反映出晶体中原子排列的对称性 所有对称要素归纳：
空间点阵示意图在晶体中凡是几何环...
四、晶带、晶面间距和晶面夹角
1.晶带
在晶体结构和空间点阵中平行于某一轴向的所有晶面均 属于同一个晶带，这些晶面叫做晶带面（共带面）。晶带面 的交线相互平行，其中通过坐标原点的那条平行直线叫做晶 带轴。晶带轴的指数即为该晶带的指数。
同一晶带中所有晶面的法线都与晶带轴垂直。通过矢量 概念可以导出，凡属于[υϖω]晶带的晶面，它们的指数(ηκλ) 都必须符合下式：
第二章 X射线衍射方向
§2－1 晶体几何学基础
一、空间点阵
在晶体中凡是几何 环境、物理环境完全相 同的点称为等同点。
这些等同点按连接 起来，按原晶体中的原 子(原子团)的排列完全 相同的骨架，称为空间 点阵。
图2－1 空间点阵示意图
许多阵点在三维空间内 有规律、周期性地排列而成 的一种空间图形。
③ 每个晶体都有自己特定的 ③ 许多晶体具有相同的点阵
晶体结构
结构（只有十四种）
意义内容基本相同的有：
晶体结构 ① 晶胞 ② 晶胞参数 ③ 三基矢 a b c ④ 晶胞常数 a b c ⑤ 晶轴夹角αβγ ⑥ 晶面、晶面指数 ⑦ 晶向、晶向指数 ⑧ 晶带、晶带轴定理
点阵结构 ① 点阵胞 ② 点阵参数 ③ 三基矢 a b c ④ 点阵胞常数 a b c ⑤ 点阵轴夹角αβγ ⑥ 点阵面、点阵面指数 ⑦ 点阵方向、点阵方向指数 ⑧ 点阵带、点阵带定理
④ 需要注意的是X射线的反射角不同于可见光的反射角，X 射线的入射线与反射线的夹角永远是2θ。
§2－3 布喇格方程的讨论
一、产生X射线的条件
衍射只产生在波长和散射种间距为同一数量级或更小 的时候。
nλ
2d
=
第六章 空间点阵
3
4 正点阵空间的位矢 R uvw u a v b w c 长度表示为 a u u 2 R uvw R uvw R uvw u , v , w b a b c v u , v , w G v w w c 5 h1 k 1l1 与 h 2 k 2 l 2 两平面夹角为两倒易矢 rh1 k 1 l1 * 与 rh 2 k 2 l 2 * 间
7
实际晶体中出现几率大
的是 Miller 指数小的晶面。
定义 2：一族晶面中离原点最 近的平面点阵在轴 a ， b ， c 上的 1 1 1 截距分别为 a ， b ， c 的 ， , ，整数数组即为该晶面 的 Miller 指数。 h k l 定义 3：设一族点阵平面分别 将基矢 a ， b ， c 分为 h 段 , k 段 , l 段，则 该晶面的 Miller 指数为 hkl 。
a x a y a z a x a y a z ax ay az ax ay az 2 v a b c a b c bx by bz bx b y bz bx b y bz bx b y bz c c c c c c cx cy cz cx cy cz x y z x y z a a a b a c 2 1 b a b b b c det G 同理 v * det G * det G c a c b c c
Fourier
( x ua , y vb , z wc ) F hkl e
hkl
hkl
固体物理§1.2空间点阵
表示结点，其排列可以表示原子团的排列， 成。 、 表示结点，其排列可以表示原子团的排列，一个 基元可以由一个或多个原子组成。 基元可以由一个或多个原子组成。
5
基元
结点
结点
6
7
2.周期性 周期性 (1)布喇菲空间点阵学说概括了晶体的周期性。 布喇菲空间点阵学说概括了晶体的周期性。 布喇菲空间点阵学说概括了晶体的周期性 晶体中所有的基元都是等同的。 晶体中所有的基元都是等同的。 (2)如果知道了一个基元的结构和基元在空间三个方向上 如果知道了一个基元的结构和基元在空间三个方向上 的排列周期，就可以得到整个晶体的结构。 的排列周期，就可以得到整个晶体的结构。 基元沿不同的方向按一定的周期平移就可以构成整 个晶体的结构。 个晶体的结构。 不同方向的周期可以相同，也可以不相同。 不同方向的周期可以相同 ，也可以不相同。 无限分 布的物理意义是指1微米或更大。 布的物理意义是指 微米或更大。 微米或更大
21
基元
结点
22
复式格子的特点
注意事项： 注意事项： 1.晶格、布喇菲格子、复式格子的区别和联系 晶格、布喇菲格子、 晶格 (1)晶格 晶格 通过结点所作的晶面族围成的网格称为晶格。 通过结点所作的晶面族围成的网格称为晶格。 (2)布喇菲格子 (2)布喇菲格子 结点或基元中只包含一种原子的晶格称为布喇菲格 子。 (3)复式格子 复式格子 结点或基元中包含两种或两种以上原子(或分子、 结点或基元中包含两种或两种以上原子 或分子、 或分子 离子)的晶格称为复式格子。 离子 的晶格称为复式格子。 的晶格果基元(或结点 中包含两种或两种以上的原子 如果基元 或结点)中包含两种或两种以上的原子 ， 或结点 中包含两种或两种以上的原子， 则每个基元中相应的同种原子各组成和结点完全相同 的网格(这种网格称为子晶格 ， 这些网格相对有一定 的网格 这种网格称为子晶格)， 这种网格称为子晶格 的位移，称这种格子为复式格子。 的位移，称这种格子为复式格子。 (4)复式格子的特点 复式格子的特点 复式格子是由若干相同的 布拉菲格子相互位移套 复式格子是由 若干相同的 布拉菲格子 相互位移套 若干相同 构而成。 构而成。
空间点阵、原胞晶胞
空间点阵在三维空间中无限延伸， 形成一个连续的空间格子。
空间点阵的几何特征
阵点间距
阵点之间的距离是恒定的，称 为阵点间距。
阵面
由称为阵轴。
晶胞
在空间点阵中选取一个最小的 重复单元，称为原胞或晶胞。
空间点阵的应用
材料科学
空间点阵和原胞晶胞的理论为材料科学家提供了描述和预测材料性能的工具，有 助于实现材料的高效设计和优化。
05
空间点阵、原胞晶胞在其他
领域的应用
空间点阵在其他领域的应用
建筑学
空间点阵结构在建筑设计中被广泛应用，如网壳、网架和网格结构等，这些结 构具有优异的稳定性和轻质的特点，能够提供灵活多变的建筑空间。
子的位置。
空间点阵与原胞晶胞的区别
空间点阵是从宏观角度描述整个晶体的 结构，而原胞晶胞是从微观角度描述晶 体中最小重复单元的结构。
空间点阵中的每个格点代表一个原子或分子 的位置，而原胞晶胞中可能包含多个原子或 分子。
空间点阵的描述较为简单，只涉及 原子或分子的位置和取向，而原胞 晶胞的描述较为复杂，需要考虑晶 胞的形状、大小和内部原子或分子 的排列方式。
科学中的应用
材料科学中空间点阵的应用
空间点阵是描述晶体结构的基本工具 ，在材料科学中广泛应用于描述和预 测材料的物理性质，如力学、热学、 光学等。
通过空间点阵的参数，可以计算出晶 体的各种物理性质，如弹性模量、热 膨胀系数、折射率等，为材料设计和 性能优化提供依据。
材料科学中原胞晶胞的应用
原胞是晶体结构的基本单元，通过原胞的组合和堆叠可以形 成复杂的晶体结构。在材料科学中，原胞的选取和组合方式 对材料的性能有重要影响。
生物学
在生物学中，空间点阵结构被用于描述细胞组织的排列方式，如骨组织中的钙 磷晶体和蛋白质的排列，这些排列方式对细胞的生长和功能具有重要影响。
2.4 空间点阵
晶体结构＝点阵＋结构基元
晶体结构＝结构基元@点阵
点阵(lattice)
晶体的周期性结构使得人们可以把它抽象成“点阵”来研究. 将晶体中重复出现的最小单元作为结构基元(各个结构基元相 互之间必须是化学组成相同、空间结构相同、排列取向相同、 周围环境相同),用一个数 学上的点来代表,称为点 阵点.整个晶体就被抽象
第四章 空间点阵
1 点阵的概念
2 结构基元与点阵点
3 空间点阵 4 晶胞参数 5 分数坐标
点阵(lattice)
晶体宏观特征是由于晶体内原子分子等微粒在空间的周期排 列的结果，可抽象成为一个数学上的点阵。 点阵是一组无限的点，连结其中任意两点可得一向量，将各 个点按此向量平移能使它复原。平移必须是按向量平行移动； 点阵中每个点都具有完全相同的周围环境。 点阵的数学定义
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
子内为1 正当空间格子有7种形状，
空间点阵与正当空间格子
选择正当格子的三条标准次序不能颠倒。
试观察下图并想想： （1）为什么六方格子选左图而不选右图？
空间点阵与正当空间格子
试观察下图并想想：
（2）为什么NaCl型晶胞要抽象成立方面心格子（左）而不抽 象成三方R格子（右图红线所示）？尽管后者是一个素格子.
分数坐标
下面一些晶胞作为观察和练习晶胞两要素的材料(以下各图 中A与B代表两种异号离子,而不必特指具体的元素) ：
原子的分数坐标： A: 0 0 0；0 ½ ½； ½ 0 ½；½ ½ 0；
B: ½ 0 0；0 ½ 0
0 0 ½； ½ ½ ½ 结构基元: A-B （每个晶胞中有4个结构基元）
NaCl型晶体
3/4 1/4 ¼； 3/4 1/4 3/4
1/4 3/4 1/4 ；1/4 3/4 3/4 3/4 3/4 1/4 ；3/4 3/4 3/4
点阵 群
(154) P3221
(155) R32
两种定位：
1) 321：c为3，a为2，2a+b方向无(左图)
2) 312：c为3，a方向无，2a+b为2 (右图)
19
3m
(15பைடு நூலகம்) P3m1
(157) P31m
(158) P3c1
(159) P31c
(160) R3m
(161) R3c
c：4 a+b+c：3 a+b：⊥m
32
m3m
(221) Pm-3m
(222) Pn-3n
(223) Pm-3n
(224) Pn-3m
(225) Fm-3m
(226) Fm-3c
(227) Fd-3m
(228) Fd-3c
(229) Im-3m
(230) Ia-3d
c：4+⊥m a+b+c：-3 a+b：2+⊥m
(185) P63cm
(186) P63mc
c为6，a为⊥m，2a+b为⊥m（6次轴包含6个对称面）
26
-62m
(187) P-6m2
(188) P-6c2
(189) P-62m
(190) P-62c
两种定位：
1) -62m：c为-6(即3+⊥m)，a为2，2a+b为⊥m (上图)
2) -6m2：c为-6(即3+⊥m)，a为⊥m，2a+b为2(下图)
(209) F432
(210) F4132
(211) I432
(212) P4332
(213) P4132
晶体结构与空间点阵
晶系
三斜Triclinic a≠b≠c ，α≠β≠γ
布拉菲点阵 晶系
简单三斜
六方 Hexagonal
a1=a2＝a3≠c，α=β＝90º， γ=120º
布拉菲点 阵
简单六方
单斜 Monoclinic a≠b≠c， α=γ=90º≠β
正交 a≠b≠c，α=β=γ＝90º
简单单斜 底心单斜
简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
3.晶面指数（Indices of Crystallographic Plane）
求法： 1） 在所求晶面外取晶胞的某一顶点为原点o，三棱边为三坐标轴x，y，z 2） 以棱边长a为单位，量出待定晶面在三个坐标轴上的截距； 3） 取截距之倒数，并化为最小整数h，k，l并加以圆括号（h k l）即是。
求法： 1） 确定坐标系 2） 过坐标原点，作直线与待求晶向平行； 3） 在该直线上任取一点，并确定该点的坐标（x，y，z） 4） 将此值化成最小整数u，v，w并加以方括号[u v w]即是。 （代表一组互相平行，方向一致的晶向）
晶向族<u v w>：具有等同性能的晶向归并而成；
（x1,y1,z1）,(x2,y2,z2)二点连线的晶向指数：[x2-x1,y2-y1,z2-z1] *指数看特征，正负看走向
120°
（h k i l ) [u v t w]
i= -( h+k ) t= -( u+v )
三指数系统 → 四指数系统 three－index system four－index system
（h k l） （h k il） i＝-（h＋k）
[U V W]
[u v t w]
U = u - t, V = v - t, W = w
点群、空间群和晶体结构介绍
3.3点群的推导方法
通过对晶体外形的研究，人们发现共有32种晶态，每一种晶态 对应着一种点群。可以用不同方法导出32种点群。 A)从五种循环群1(C1)、2(C2)、3(C3)、4(C4)、6(C6)开始，再在 每种循环群上加进各种新的对称操作，最终导出32种点群。 例如： 在垂直于循环群对称轴的方向加上 2次对称轴；在垂直于循环 轴的方向或包含循环轴加上镜面；用非真旋转轴代替真旋转轴等。 用这些操作或者这些操作的某一种组合可能会得出一些新的点群。
附表1 32种点群
附 表
极 射 种投Leabharlann 点影 群图 投 影2 32
续 附 表极
射 种投 点影 群图 投 影
2 32
3.4空间群概念及其描述
能使三维周期物体(无限大晶体)自身重复的几何对称操作的集合 就是空间群。 用途：描述晶体(假设是无限大的)结构的空间对称性。 一个周期性物体的对称操作必然包含平移操作。用平移矢量来 描述点阵的周期性，所有平移矢量的集合构成 1 个平移群，是无限 群。 空间群的全部对称操作是由点对称操作和平移操作组成。 以{D/t)表示空间操作算符，则空间操作对一般位矢作用可表 示为:
把 32 种点群的符号、对称组合、主导生殖元素的 方向、阶数以及点群导出方法综合列于附表 1 中，把 它们的极射投影图综合列于附表 2 中，其中四方晶系 采用第二定向的。在附表 2 中的每一方格，中间的圆 是极射投影图，左上角是国际符号，右上角的i表示该 点群具有中心对称，左下角给出这个点群的基本对称 元素，右下角是国际完全符号。
dd是点对称操作的变换算符tt是平移操作?点阵的空间对称操作中除了使单胞平移到每一个其它单胞的操作对于有限群操作数为一数值n对于无限群操作数则为无穷大之外还有使初基单胞所含的实体晶体结构中的结构基元变换到本身的h个对称操作所以空间群共有nh个对称操作
空间点阵
对称操作一定与某一个几何图形相联系。换句话 说，进行对称操作都必须凭借于一定的几何要素， 这些几何要素可以是点、也可以是直线或者平面。 进行对称操作所凭借的几何要素称为对称要素。
对称性指的是物体在经过一定的操作之后其空间 构型能够完全复原的性质
ABCABC堆积就构成了一个 换一个角度看看立方最紧密
立方最紧密堆积结构
堆积可以看出一些特征
立方最紧密堆积结构可以抽 象出一个空间点阵，这个点 阵相当于下面的平行六面体 在三维空间无限堆垛而形成
点阵中的结点所代表 的基元只由一个圆球 构成。
这个图形所中顶点与面心是等同点吗？
从等大球体堆积构型中抽象出空间点阵 (三) 简单立方堆积
先旋转120图形能够复原， 因此该图形具有 1 条 3 次旋 转轴
该图形显然具有一个对称面
因此 6 次倒转轴相当于 1 条 3 次旋转轴加上一个对称面
6 3m
晶体中只存在有 8 种独立的对称要素， 分别为。 i, m, 1, 2, 3, 4, 6, 4
任何宏观晶体所具有的对称性都是这 8 种基本对称要素的组合。
空间点阵也可以看成是由一个只在八个顶点上 含有结点的平行六面体单元沿三维方向重复堆积而 构成的。这样的平行六面体单元称为原始格子。注 意到在空间点阵中，每个结点都由 8 个原始格子所 共有，因此，每个原始格子中只含有一个结点。显 然，对于一个给定的空间点阵，原始格子的划分方 法有很多种，取决于我们所选择的平行六面体三条 不共面的棱边 (行列) 的取向。
2.3.2 布拉维格子
布拉维认为，对于任何一种晶体的结构抽象出 来的空间点阵，都可以看成是由一个能够全面准确 体现该点阵几何特征的平行六面体沿三维方向重复 堆积而构成；这个能够全面准确体现空间点阵几何 特征的平行六面体的选取必须遵循 4 个基本原则：
材料物理基础第二章固体结构-(2)空间点阵-201209
Bravails lattice type P I F C primitive 简单 body centered 体心 all-face centered 面心 Side-or base-face centered 底心 rhombohedrel菱方
R trigonal三方（Hexagonal 六方， rhombohedrel菱方) cubic立方
Hexagonal六方
Rhombohedral菱方 Orthorhombic正交
Tetragonal四方
Cubic立方
30
a=b≠c ，α=β=γ=90°
a=b=c ，α=β=γ=90°
固体结构 — 空间点阵
Crystal Family a m o t h c triclinic/anorthic三斜 monoclinic单斜 orthorhombic正交 tetragonal四方
研究晶体中结构基元的三维周期性排列规律就可以转化为研 究空间点阵中阵点的三维周期性排列规律。
11
固体结构 — 空间点阵
+
=
• 在空间点阵中各个阵点位置上安置相同的结构基元，就得 到整个晶体结构。
12
固体结构 — 空间点阵
=
• 对于同一种点阵形式，阵点代表的结构基元不同，就得到 不同的晶体结构。
13
固体结构 — 空间点阵 （1）简单晶格：阵点（结构基元）只包含单个原子，即晶体 中只由一种原子组成，并且所有原子几何位置都是等同的，如 金属晶体。 （2）复式晶格 ：阵点（结构基元）包含两种或两种以上的几 何和化学环境不相同的原子/离子。 • 不同原子或离子组成，结构基元由是按一定方式排列的原子 群或离子群构成，如NaCl, CsCl, ZnS。 如：NaCl、CsCl、 ZnS等。 • 相同原子但几何位置不等价，如：具有金刚石结构的C、Si、 Ge以及具有六角密排结构的Be、Mg、Zn等。结构基元由几 何位置不同的原子组成。 • 复式晶格可以看作是由若干套简单晶格穿插构成。
空间点阵型式
空间点阵型式：14种布拉维格子-兰州大学结构化学在七大晶系基础上, 如果进一步考虑到简单格子和带心格子, 就会产生14种空间点阵型式, 也叫做14种布拉维格子. 不过, 格子是否带心并不能从宏观上发现, 所以, 空间点阵型式属于微观对称性的范畴.为什么要考虑带心格子呢? 原因是: 有些点阵中的格子, 如果取成某种复格子就能充分表现出它固有的较高对称性，但若取成素格子, 某些对称性就可能被掩盖，表现为较低的对称性. 我们宁愿观察一个高对称性的复格子, 也不愿观察一个低对称性的素格子. 所以, 选取正当格子时, 首先照顾高对称性, 其次才考虑点阵点尽可能少.前面以NaCl型晶体的格子为例讲过, 若取素格子, 只能表现三方对称性（这是一种三方R，现已不用）; 若取作立方面心复格子，就表现出了立方对称性. 当然, 这并不是说格子的选取方式能够改变点阵本身的对称性, 只是说, 点阵固有的较高对称性, 在素格子上被掩盖而不易表现出来.图6-42 NaCl型晶体的立方面心复格子(正当格子)与素格子那么, 任何点阵都能通过取带心格子表现出更高的对称性吗? 否! 例如, 在三斜晶体的点阵中, 无论取多少点, 格子的对称性也仍是三斜. 我们当然不去徒劳无益地选择带心格子.下面给出在七大晶系基础上进一步考虑简单和带心格子所产生的14种空间点阵型式, 即14种布拉维格子:图6-43 14种空间点阵型式（布拉维格子）对于以上两种六方格子需要特别说明几点：（1）图中只有蓝色线条围成的部分才是六方格子，而灰白色部分只是为了便于观察其对称性才画出的，因为六方格子也必须是平行六面体而不能是六棱柱；（2）六方晶系的晶体按六方晶胞表达只能抽象出六方简单（hP）格子，而三方晶系的晶体按六方晶胞表达时则能抽象出六方简单（hP）和六方R心（hR）两种格子，有时为了清楚起见，分别称之为“三方晶系的六方简单 (hP) 格子”和“三方晶系的六方R 心(hR) 格子”. 换言之，六方R心（hR）格子实际上只用于三方晶系，而六方简单 (hP)格子既用于六方晶系, 也用于三方晶系, 所以只算一种格子. （3）晶系是在实在的物理基础上划分的，所以，尽管三方晶系的两种格子——六方简单(hP)和六方R心(hR)的形状都与六方晶系的六方简单 (hP)格子相同（即hP是两个晶系共用的）, 但真实的三方晶体中只有三次对称轴而没有六次对称轴, 只有六方晶体才有六次对称轴.你能否发明更多的“布拉维格子”?例如：四方面心、四方底心?立方底心?或除去立方面心上相对的两个面心?……下图（a）表明：所谓的四方C心其实应当是四方简单；图(b)表明：所谓的四方面心其实其实应当是四方体心;图(c)表明:立方F被除去相对两个面心后，不仅沿体对角线的4条三重对称轴不复存在，而且沿图中箭头平移时再不能复原，所以，它不但丧失了作为立方格子的资格，而且丧失了作为点阵的资格!图6-44 （a）假想的四方C心(b)假想的四方面心 (c)立方F失去相对两个面心6.4.6 32个晶体学点群分子的对称操作的集合构成分子点群. 同理，晶体的宏观对称操作也是点操作，所有宏观对称元素也会通过一个公共交点按一切可能组合起来，产生晶体学点群. 不过，既然晶体中的宏观对称元素只有8种，晶体学点群数目也必然受到限制. 可以证明晶体学点群只有32种.晶体学点群可以用所谓的熊夫利(Schonflies)符号表示，也可以用国际符号表示，还有一种称之为“极射赤面投影图”的图形表示法. Schonflies符号由德国结晶学家Schonflies创造，我们在分子点群中已经用过，不过，由于轴次定理的限制，晶体学点群的Schonflies符号不会出现C5v、D5h等符号. 国际符号是尚未见过的新符号，需要作一简要介绍.晶体学点群的国际符号一般由三个位构成，每个位代表与特征对称元素取向有一定联系的方向. 所以, 任何一位代表的方向随晶系不同而可能不同.右表列出七种晶系中国际符号的三个位的方向.平行于某个方向的对称轴和/或垂直于该方向的对称面就标记在相应的位上. 表6-5 国际符号三个位的方向例如，立方晶系的三个位依次为a、a+b+c、a+b，由矢量加法可知, 它们分别是正方体的棱、体对角线、面对角线方向. 将各方向上的对称元素依次标记在相应的位上, 就是某个点群的国际符号.例如, 立方晶系的点群共有五个，用Schonflies符号分别标记为T, T h,O, Td , Oh, 国际符号是：尽管立方晶系的国际符号规定了三个位, 但23和m3点群属于四面体群，a+b位上没有对称元素，故只列出前两个位的对称元素.晶体学点群命名示意: NaCl型晶体NaCl型晶体的晶体点群与正方体的对称性相同, 为m3m（Schonflies符号为O h）. 不妨先观察一下正方体，可以看出: (1)垂直于a的方向有镜面; (2)平行于体对角线方向有3次对称轴; (3)垂直于面对角线方向有镜面. NaCl型晶体在相应的方向上也有这些对称性，所以，晶体点群的国际符号为m3m（Schonflies符号为Oh）. 可能有读者问：这些方向上还有别的对称元素，为什么只标记这样少数几个呢？这正是国际符号的奥妙之处, 它要尽可能紧凑，同一方向上不止一种对称元素时，按一定规则选取最必要者标出. 图6-45 NaCl型晶体的晶体点群与正方体的对称性相同,为m3m（Oh）事实上，国际符号又分为简略符号与完全符号. 例如，m3m是简略符号，是完全符号，但这简略符号已经包含了所有最必要的对称元素,如果需要的话，由这些对称元素出发，根据群论的组合原理就能导出点群中所有的对称元素. 因此，很少使用完全符号. 而且，即使完全符号也并不列出点群中所有的对称元素.现在，读者一定也明白为什么分子点群只用Schonflies符号，而不用国际符号的原因了吧？分子中没有晶轴的概念，国际符号的“位”对于分子根本没有意义.应当特别注意：晶体的点群是针对真实的晶体而言, 而不能仅仅针对只具有抽象几何意义的空间点阵和布拉维格子来划分. 晶体只有七个晶系, 却有32个点群, 所以, 必然会有多个点群属于同一个晶系的现象. 例如, 属于立方晶系的点群共有五个，用Schonflies符号分别标记记为T, Th, O, Td , Oh, 国际符号分别是抽象的空间点阵和布拉维格子的格点上没有放上真实的结构基元. 所以, 如果仅从布拉维格子看, 任一种晶系的布拉维格子都有该晶系的最高对称性, 即属于该晶系的全点群, 立方晶系的全点群就是Oh; 但真实晶体却必须在格点上放上结构基元, 于是, 对称性就可能从全点群下降(至多保持不变), 这样一来, 任一种晶系的真实晶体的对称性就未必能继续保持在该晶系的全点群, 也许只能属于该晶系对称性较低的点群, 称为偏点群. 任何晶系的偏点群都是其全点群的子群.许多初学者有这样一个常见问题: 为什么将立方晶系的特征对称元素规定为沿正方体四条体对角线的3, 而不是穿过正方体相对面心的三条4? 4的对称性不是更高吗? 难道属于立方晶系的晶体还不都具有三条4?事实是, 属于立方晶系的晶体确实不一定都具有三条4 !例如, NaCl 型晶体属于Oh点群, 它既有三条4 , 也有四条3 ; 而立方ZnS型晶体则不然, 它属于Td点群, 具有四条3,却没有三条4 . 这两类晶体共有的对称元素是四条3, 也就是立方晶系的特征对称元素.晶体学点群还有一种图形表示法, 称为极射赤面投影图. 其基本思想是利用立体仪把球面上的点投影到赤道平面上, 化立体为平面.先模仿地球仪按如下步骤造一个立体仪：1. 取一个单位圆球作为投影球S; 2.取赤道平面作为投影面Q, 与S交成投影圆; 3. 以垂直于Q并通过球心O的极轴作为投影轴, 两端分别为北极N和南极S.表6-6 32个晶体学点群图6-46 NaCl型与立方ZnS型晶体图6-47 立体仪用极射赤面投影图描述晶体学点群时, 通常对每个点群画出两个投影图. 以 m3m为例, 下图(a)表示晶体对称元素的投影，图(b)表示球上一组点的投影图, 这组点是从某一个普通的点开始, 利用所有对称操作复制出来的, 也反映点群对称性. 有的文献将这两种图合并在一起, 如图(c):我们以晶体对称元素为例, 简要介绍立体仪投影法.首先, 将晶体对称元素系的公共交点置于投影球心O, 从球心向各晶面引垂线(即晶面法线)并交于投影球, 在球面上形成一组点的分布. 由于这些晶面法线是晶体的各种对称轴, 所以, 这组点就构成了晶体对称轴的球面投影. 类似地, 晶体的对称面也可延伸至投影球, 与球面相交成圆. 所以, 除了对称中心处于球心, 不会在投影球面上形成点以外, 晶体的各种对称轴和对称面都可以在投影球上形成球面投影.图6-48 m3m的极射赤面投影图在此基础上, 利用立体仪投影法，把球面上的点进一步投影到赤道平面上: 设北半球球面上有一个点P，过P点向南极连线成PS，与赤道平面交于P’点, 就在P’处画一个点; 反之, 若南半球球面上有一点R，过R点向北极连线成RN，与赤道平面交于R’点, 就在R’处画一个空心圆圈, 以区别于北半球球面上点的投影(图中未画出):晶体对称面在投影球面上相交成圆, 而圆又可以被看作无数点的集合. 既然球面上每个点都能产生赤面投影, 对称面当然也能表示在极射赤面投影图上.关于极射赤面投影更详细的介绍, 可以参考晶体学的有关书籍.图6-49 极射赤面投影原理。
晶体结构与空间点阵
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国际上通用的是密勒（Miller）指数，即用 三个数字来表示晶面指数。
标定方法：
• (1)在一组相互平行的晶面中任选一个晶面， 量出它在三个坐标轴上的截距，并用点阵周 期a，b，c来度量。假设截距为r，s，t。
• (2)取截距的倒数 1/r，1/s，1/t。
• (3)将这些倒数乘以分母的最小公倍数，把他 们化为三个简单整数h，k，l， ，并用圆括号 括起来。使h∶k∶l = 1/r∶1/s∶1/t。
这样的晶面指数可以明显地显示出精六选课方件对称及等同晶面的特征。
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六方体系的晶向指数
六方晶系中如果用三轴定 向表示晶向指数用[UVW]，四 轴定向的晶向指数用[uvtw]来表 示。三轴和四轴晶向指数之间 的关系：
u 2U 1V 33
v 2V 1U
33
t
u
v w Wຫໍສະໝຸດ 1 3UV
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点阵点
点阵点是代表结构基元在空间重复排列方式的抽 象的点。如果在晶体点阵中各点阵点位置上，按同一 种方式安置结构基元，就得整个晶体的结构。
所以可简单地将晶体结构示意表示为：
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
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4
2.1.2 基本矢量与晶胞
一个结点在空间三 个方向上，以a, b, c重 复出现即可建立空间 点阵。重复周期的矢 量a, b, c称为点阵的基 本矢量。
3. 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2z1 ；
4. 化成最小、整数比u：v：w ；
5. 放在方括号[uvw]中，不加逗 号，负号记在上方 。
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红线由两个结点的坐标之差确定
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20
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Nr.Symbol Point group System Remarks 1P11triclinic 手性2P-1-1triclinic 中心3P22monoclinic 手性4P212monoclinic 手性5C22monoclinic 手性6Pm m monoclinic 非心7Pc m monoclinic 非心8Cm m monoclinic 非心9Cc m monoclinic 非心10P2/m2/m monoclinic 中心11P21/m2/m monoclinic 中心12C2/m2/m monoclinic 中心13P2/c2/m monoclinic 中心14P21/c2/m monoclinic 中心* 15C2/c2/m monoclinic 中心16P222222orthorhombic 手性17P2221222orthorhombic 手性* 18P21212222orthorhombic 手性* 19P212121222orthorhombic 手性* 20C2221222orthorhombic 手性* 21C222222orthorhombic 手性22F222222orthorhombic 手性23I222222orthorhombic 手性24I212121222orthorhombic 手性25Pmm2mm2orthorhombic 非心26Pmc21mm2orthorhombic 非心27Pcc2mm2orthorhombic 非心28Pma2mm2orthorhombic 非心29Pca21mm2orthorhombic 非心30Pnc2mm2orthorhombic 非心31Pmn21mm2orthorhombic 非心32Pba2mm2orthorhombic 非心33Pna21mm2orthorhombic 非心34Pnn2mm2orthorhombic 非心35Cmm2mm2orthorhombic 非心36Cmc21mm2orthorhombic 非心37Ccc2mm2orthorhombic 非心38Amm2mm2orthorhombic 非心39Abm2mm2orthorhombic 非心40Ama2mm2orthorhombic 非心41Aba2mm2orthorhombic 非心42Fmm2mm2orthorhombic 非心43Fdd2mm2orthorhombic 非心* 44Imm2mm2orthorhombic 非心45Iba2mm2orthorhombic 非心46Ima2mm2orthorhombic 非心47Pmmm mmm orthorhombic 中心48Pnnn mmm orthorhombic 中心49Pccm mmm orthorhombic 中心50Pban mmm orthorhombic 中心51Pmma mmm orthorhombic 中心52Pnna mmm orthorhombic 中心* 53Pmna mmm orthorhombic 中心54Pcca mmm orthorhombic 中心* 55Pbam mmm orthorhombic 中心56Pccn mmm orthorhombic 中心* 57Pbcm mmm orthorhombic 中心58Pnnm mmm orthorhombic 中心59Pmmn mmm orthorhombic 中心60Pbcn mmm orthorhombic 中心* 61Pbca mmm orthorhombic 中心* 62Pnma mmm orthorhombic 中心63Cmcm mmm orthorhombic 中心64Cmca mmm orthorhombic 中心65Cmmm mmm orthorhombic 中心66Cccm mmm orthorhombic 中心67Cmma mmm orthorhombic 中心68Ccca mmm orthorhombic 中心* 69Fmmm mmm orthorhombic 中心70Fddd mmm orthorhombic 中心* 71Immm mmm orthorhombic 中心72Ibam mmm orthorhombic 中心73Ibca mmm orthorhombic 中心74Imma mmm orthorhombic 中心75P44tetragonal 手性76P414tetragonal 手性* 77P424tetragonal 手性78P434tetragonal 手性* 79I44tetragonal 手性80I414tetragonal 手性* 81P-4-4tetragonal 非心82I-4-4tetragonal 非心83P4/m4/m tetragonal 中心84P42/m4/m tetragonal 中心85P4/n4/m tetragonal 中心* 86P42/n4/m tetragonal 中心* 87I4/m4/m tetragonal 中心88I41/a4/m tetragonal 中心* 89P422422tetragonal 手性90P4212422tetragonal 手性* 91P4122422tetragonal 手性92P41212422tetragonal 手性* 93P4222422tetragonal 手性*94P42212422tetragonal 手性* 95P4322422tetragonal 手性* 96P43212422tetragonal 手性* 97I422422tetragonal 手性98I4122422tetragonal 手性* 99P4mm4mm tetragonal 非心100P4bm4mm tetragonal 非心101P42cm4mm tetragonal 非心102P42nm4mm tetragonal 非心103P4cc4mm tetragonal 非心104P4nc4mm tetragonal 非心105P42mc4mm tetragonal 非心106P42bc4mm tetragonal 非心107I4mm4mm tetragonal 非心108I4cm4mm tetragonal 非心109I41md4mm tetragonal 非心110I41cd4mm tetragonal 非心* 111P-42m-42mm tetragonal 非心112P-42c-42mm tetragonal 非心113P-421m-42mm tetragonal 非心114P-421c-42mm tetragonal 非心* 115P-4m2-42mm tetragonal 非心116P-4c2-42mm tetragonal 非心117P-4b2-42mm tetragonal 非心118P-4n2-42mm tetragonal 非心119I-4m2-42mm tetragonal 非心120I-4c2-42mm tetragonal 非心121I-42m-42mm tetragonal 非心122I-42d-42mm tetragonal 非心123P4/mmm4/mmm tetragonal 中心124P4/mcc4/mmm tetragonal 中心125P4/nbm4/mmm tetragonal 中心* 126P4/nnc4/mmm tetragonal 中心* 127P4/mbm4/mmm tetragonal 中心128P4/mnc4/mmm tetragonal 中心129P4/nmm4/mmm tetragonal 中心* 130P4/ncc4/mmm tetragonal 中心* 131P42/mmc4/mmm tetragonal 中心132P42/mcm4/mmm tetragonal 中心133P42/nbc4/mmm tetragonal 中心* 134P42/nnm4/mmm tetragonal 中心* 135P42/mbc4/mmm tetragonal 中心136P42/mnm4/mmm tetragonal 中心137P42/nmc4/mmm tetragonal 中心* 138P42/ncm4/mmm tetragonal 中心* 139I4/mmm4/mmm tetragonal 中心140I4/mcm4/mmm tetragonal 中心141I41/amd4/mmm tetragonal 中心* 142I41/acd4/mmm tetragonal 中心* 143P33trigonal 手性144P313trigonal 手性145P323trigonal 手性146R33trigonal 手性147P-3-3trigonal 中心148R-3-3trigonal 中心149P31232trigonal 手性150P32132trigonal 手性151P311232trigonal 手性* 152P312132trigonal 手性* 153P321232trigonal 手性* 154P322132trigonal 手性* 155R3232trigonal 手性156P3m13m trigonal 非心157P31m3m trigonal 非心158P3c13m trigonal 非心159P31c3m trigonal 非心160R3m3m trigonal 非心161R3c3m trigonal 非心162P-31m-3m trigonal 中心163P-31c-3m trigonal 中心164P-3m1-3m trigonal 中心165P-3c1-3m trigonal 中心166R-3m-3m trigonal 中心167R-3c-3m trigonal 中心168P66hexagonal 手性169P616hexagonal 手性* 170P656hexagonal 手性* 171P626hexagonal 手性* 172P646hexagonal 手性* 173P636hexagonal 手性174P-6-6hexagonal 非心175P6/m6/m hexagonal 中心176P63/m6/m hexagonal 中心177P622622hexagonal 手性178P6122622hexagonal 手性* 179P6522622hexagonal 手性* 180P6222622hexagonal 手性* 181P6422622hexagonal 手性* 182P6322622hexagonal 手性* 183P6mm6mm hexagonal 非心184P6cc6mm hexagonal 非心185P63cm6mm hexagonal 非心186P63mc6mm hexagonal 非心187P-6m2-6m hexagonal 非心188P-6c2-6m hexagonal 非心189P-62m-6m hexagonal 非心190P-62c-6m hexagonal 非心191P6/mmm6/mmm hexagonal 中心192P6/mcc6/mmm hexagonal 中心193P63/mcm6/mmm hexagonal 中心194P63/mmc6/mmm hexagonal 中心195P2323cubic 手性196F2323cubic 手性197I2323cubic 手性198P21323cubic 手性* 199I21323cubic 手性200Pm-3m-3cubic 中心201Pn-3m-3cubic 中心* 202Fm-3m-3cubic 中心203Fd-3m-3cubic 中心* 204Im-3m-3cubic 中心205Ia-3m-3cubic 中心* 206Pa-3m-3cubic 中心* 207P432432cubic 手性208P4232432cubic 手性* 209F432432cubic 手性210F4132432cubic 手性* 211I432432cubic 手性212P4332432cubic 手性* 213P4132432cubic 手性* 214I4132432cubic 手性215P-43m-43m cubic 非心216F-43m-43m cubic 非心217I-43m-43m cubic 非心218P-43m-43m cubic 非心219F-43c-43m cubic 非心220I4-3d m-3m cubic 非心* 221Pm-3m m-3m cubic 中心222Pn-3n m-3m cubic 中心* 223Pm-3n m-3m cubic 中心224Pn-3m m-3m cubic 中心* 225Fm-3m m-3m cubic 中心226Fm-3c m-3m cubic 中心227Fd-3m m-3m cubic 中心* 228Fd-3c m-3m cubic 中心* 229Im-3m m-3m cubic 中心230Ia-3d m-3m cubic 中心*注：表中手性、非心、中心分别指该空间群属于手性、非中心对称或中心对称空间群。