第1讲直线与圆

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《直线与圆的位置关系》教案

《直线与圆的位置关系》教案第一章：引言教学目标：1. 让学生了解直线与圆的位置关系的概念。

2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆的位置关系。

教学内容：1. 直线与圆的定义。

2. 直线与圆的位置关系的分类。

教学步骤：1. 引入直线和圆的定义，让学生回顾相关概念。

2. 提问：直线和圆有什么关系？它们可以相交、相切还是相离？3. 引导学生观察和思考直线与圆的位置关系，让学生举例说明。

练习题目：a) 直线x=2与圆x^2+y^2=4b) 直线y=3与圆x^2+y^2=9c) 直线x+y=4与圆x^2+y^2=8第二章：直线与圆的相交教学目标：1. 让学生了解直线与圆相交的概念。

2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆相交的性质。

教学内容：1. 直线与圆相交的定义。

2. 直线与圆相交的性质。

教学步骤：1. 引入直线与圆相交的概念，让学生了解相交的含义。

2. 提问：直线与圆相交时，会有什么特殊的性质？3. 引导学生观察和思考直线与圆相交的性质，让学生举例说明。

练习题目：a) 直线y=2x+3与圆x^2+y^2=16b) 直线x-y+4=0与圆x^2+y^2=16c) 直线x+y-6=0与圆x^2+y^2=36第三章：直线与圆的相切教学目标：1. 让学生了解直线与圆相切的概念。

2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆相切的性质。

教学内容：1. 直线与圆相切的定义。

2. 直线与圆相切的性质。

教学步骤：1. 引入直线与圆相切的概念，让学生了解相切的含义。

2. 提问：直线与圆相切时，会有什么特殊的性质？3. 引导学生观察和思考直线与圆相切的性质，让学生举例说明。

练习题目：a) 直线y=3x+2与圆x^2+y^2=16b) 直线x-y+4=0与圆x^2+y^2=16c) 直线x+y-6=0与圆x^2+y^2=36第四章：直线与圆的相离教学目标：1. 让学生了解直线与圆相离的概念。

2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆相离的性质。

第一讲：求直线和圆的方程方法总结

第一讲求直线和圆的方程方法总结※求直线方程的若干方法：直线是数学中最常见的图形,直线方程数学中最常用方程,该知识点与其他知识点的融合是最紧密的,考查的题型和方法也多样，这里总结复习几种不同的求直线方程的方法. 【关健词】直线方程方法一、知识要点概述:1、直线的方程、方程的直线概念；2、直线方程形式（1）点斜式：直线过点00(,)x y 斜率为k ，直线方程：00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴直线；（2）斜截式：直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，直线方程：y kx b =+,它不包括垂直于x 轴直线；（3）两点式：直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，直线方程：121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线；（4）截距式：直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,直线方程：1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线；（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A ,B 不同时为0)的形式. 提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）二、解题方法指导:1、求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解直接写出直线方程设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.（6）经过两条直线0111=++C y B x A 和0222=++C y B x A 的交点的直线系方程为：λ+++111C y B x A 0)(222=++C y B x A （λ为参数）.2、具体方法有：⑴利用公式求直线方程；⑵通过直线系求直线方程；⑶借助相关点求直线方程——轨迹法； ⑷利用参数求直线方程；⑸通过分析结构求直线方程. 三、范例剖析 1、直接法例1、直线l 在y 轴上的截距为3，且倾斜角α的正弦值为45，求直线l 的方程.解：4sin 5α=，3cos 5α=±，∴直线的斜率43k =±故所求直线的方程为433y x =±+，即4390x y -+=或4390x y +-= 评注：由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个，写出形式适当的方程即为直接法.同时，求解本例时不要混淆概念，倾斜角应在[0,)π内，从而cos α有两个解. 2、待定系数法（公式法）例2、过点P (2，1）作直线l 交y x ,正半轴于AB 两点，当||||PB PA ⋅取到最小值时，求直线l 的方程.解法1：设直线l 的方程为：)0(),2(1≠-=-k x k y令y ＝0解得kx 12-=；令x ＝0，解得k y 21-=，∴A （k 12-，0），B （0，k 21-），∴||||PB PA ⋅＝)4)(11(22k k ++4248)1(4822=⨯+≥++=kk当且仅当12=k 即1±=k 时，||||PB PA ⋅取到最小值.又根据题意0<k ，∴1-=k 所以直线l 的方程为：03=-+y x方法2：由题设，可令直线l 为：1(2)y k x -=-，分别令y =0和x =0 可得21(,0)k A k-，B （0，1-2k ）.∴2221||||1(2)4(121)k PA PB k k-⋅=+-+-- 442)2(2)1(22222222==≥+=k k k k k k当且仅当12=k 即1k =±时，||PA PB ⋅取最小值4.又0k >∴k =-1，这时直线l 的方程是x +y -3=0.方法3：设直线l 方程为1=+b y a x ，l 过（2，1）点∴112=+b a ∴2-=a ab∴22||||(2)14(1)PA PB a b ⋅=-++-8)2(4)2(428)2(4)2(42222+--≥+-+-=a a a a 488=+=（以下略）.评述：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k ＝1的情形.引申1：过点P （2，1）作直线l 交x 轴、y 轴正方向于A 、B ，求使∆A O B 的面积最小时的直线l 的方程.yBP(2,1)O A解：设所求直线方程为x a y b +=1，则由直线l 过点P （2，1），得21100a ba b +=>>()，即b aa =-2，由b >0，得a >2，所以S a b a a a A O B∆==⋅-12122221442(2)22a a a a -+==⋅--14(2)22a a =++- 14[(2)4]22a a =-++-14]42≥= 当且仅当a a -=-242，即a b ==42，时，S AOB ∆取得最小值为4 此时所求直线方程为x y421+=，即x y +-=240 评注：由题意直接选择直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程，再求解方程，称为公式法.这里选择了截距式方程.引申2：在本例条件下，求求直线l 在两坐标轴截距之和的最小值及其此时直线l 的方程. （参考数学试题精编P 54） 3、直线系法：直线系的定义：具有某种共同性质的直线的集合，叫做直线系．它的方程叫做直线系方程.例3. 求过02321=+-y x l ：与l x y 23420：--=交点且与直线440x y +-=平行的直线方程. 解：设l 1与l 2交点的直线方程为：(*)0)243()232(=--++-y x y x λ即022)43()32(=-+--++λλλy x 因为所求直线与044=-+y x 平行，所以143432λλ--=+，解得λ=-1419 将λ=-1419代入(*)，得:所求直线方程为4660x y +-= 4、相关点法:利用相关点法求直线的方程实质上是轨迹法.例4、求直线l x y '：--=20关于直线l x y ：330-+=的对称直线方程. 解：设所求的对称直线上任意一点坐标为（x ，y ）关于直线l 的对称点为()x y 00，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅--=++-+⋅13032230000x x yy y y x x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+-=53545359535400y x y y x x ，因为()x y 00，在直线x y --=20上所以x y 0020--=，()()-+--++-=45359535453520x y x y ，即7220x y ++=5、参数法例5、直线l 经过M （0，1），且被直线1l ：x -3y +10=0和2l ：2x +y -8=0所截得的线段恰以M 为中点，求直线l 的方程．解法1.：过点M 且与x 轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y =kx +1,与已知直线1l ，2l 交于A ，B 两点，联立方程组：{{()11()3100280y kx y kx I II x y x y =+=+-+=+-=，由（I ）解得A x =731k -，由（II ）解得B x =72k +，点A 平分线段AB ， 2A B M x x x ∴+=即：731k -+72k +=0，解得14k =-，故所求直线的方程为：x +4y -4=0.解法2：设l 交1l 于A （3t -10，t ），l 交2l 于B （u ，8－2u ），利用中点坐标公式得： ∴31002822t u t t u -+=⎧⇒=⎨+-=⎩ , ∴A （-4，2）由直线方程的两点式可得，直线l 的方程为：102140y x --=---，即x +4y -4=0. 解法3：设l 与已知直线1l ，2l 交于A ，B 两点，点 A （3t -10，t ）在直线1l 上，则由中点坐标公式得A 关于M （0，1）的对称点B （10-3t ，2- t ），点B 在直线2l 上，∴2(103)(2)802t t t -+--=⇒=，以下同解法2，此处略. 解法4. 设所求直线方程为y =kx +1,代入方程（x -3y +10）·（ 2x +y -8）=0得：()()22253287490k k x k --++-=，同解法1设所求直线与已知直线1l ，2l交于A ，B 两点，由题意：2287253A B k x x k k++=---=2M x =0，可得：14k =-，故所求直线的方程为：x +4y -4=0. 注意：本题所求直线过点M （0，1），故只要设出直线方程的点斜式，由题中另一条件即可确定斜率，思路顺理成章.但是想在解题过程中不断地提高自己的逻辑思维能力以及分析问题，解决问题的能力，还应联系题中已知条件和相关知识，看能否找到新的解法，如解法2，解法3，而解法4在学习了后续知识后会有更深刻的体会. 6、结构分析法：例6、已知两直线l 1:a 1x +b 1y +1=0和l 2：a 2x +b 2y +1=0的交点为P （2，3），求过两点Q 1（a 1，b 1）、Q 2（a 2，b 2）（a 1≠a 2）的直线方程.分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.解：∵P （2，3）在已知直线上，2a 1+3b 1+1=0，2a 2+3b 2+1=0.∴2（a 1－a 2）+3（b 1－b 2）=0，即2121a a b b --=－32.∴所求直线方程为y －b 1=－32（x －a 1），∴2x +3y －（2a 1+3b 1）=0，即2x +3y +1=0. 评述：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙.解法2：将l 1与l 2的交点P （2，3）代入l 1与l 2的方程，得11222310,230a b a b ++=+=，根据以上两式的结构特点易知：点与Ba b ()22，的坐标都适合方程2x +3y +1=0故经过点A 、B 的直线l 的方程为x y +=23练习：若两条直线33222111=+=+y b x a l y b x a l ：，：相交于点P （1，2），试求经过点Aa b ()11，与)(22b a B ，的直线方程.解：将l 1与l 2的交点P （1，2）代入l 1与l 2的方程，得3211=+b a ，a b 2223+=根据以上两式的结构特点易知：点与Ba b ()22，的坐标都适合方程xy +=23 故经过点A 、B 的直线l 的方程为x y +=23巩固练习：1、过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l x y 1220：--=和l x y 230：++=之间的线段AB 恰被P 点平分，求此直线方程.解：设所求直线分别与l l 12、交于A 、B ，因为A 在l 1直线上，故可设A t t ()，22- 又P （3，0）为AB 的中点，由中点坐标公式，得B t t ()622--，由B 在l 2上，得03)22()6(=+-+-t t ，解得，即A ()113163，由两点式得所求直线方程为0248=--y x .2、一直线被两直线1l ：064=++y x ，2l ：0653=--y x 截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.解：设所求直线与1l ，2l 的交点分别是A 、B ，设A (00,y x ），则B 点坐标为(00,y x --)因为A 、B 分别在1l ，2l 上，所以⎩⎨⎧=-+-=++06530640000y x y x ②①①＋②得：0600=+y x ，即点A 在直线06=+y x 上，又直线06=+y x 过原点，所以直线l 的方程为06=+y x .3、求过点P （2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程.解：在两轴上的截距都是0时符合题意，此时直线方程为3x －2y ＝0 若截距不为0，则设直线方程为ay a x +＝1 将点P （2，3）代入得aa 32+＝1，解得a ＝5 ∴直线方程为55yx +＝1，即x ＋y ＝5. 4、直线方程0=++C By Ax 的系数A 、B 、C 满足什么关系时，这条直线有以下性质? (1)与两条坐标轴都相交；(2)只与x 轴相交;(3)只与y 轴相交； (4)是x 轴所在直线；(5)是y 轴所在直线.答：(1)当A ≠0，B ≠0，直线与两条坐标轴都相交. (2)当A ≠0，B =0时，直线只与x 轴相交. (3)当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.(4)当A ＝0，B ≠0，C ＝0，直线是x 轴所在直线. (5)当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线.5、求与直线l ：5x -12y +6=0平行且到l 的距离为2的直线的方程.解：设所求直线的方程为5x -12y +c =0.在直线5x -12y +6=0上取一点P 0（0，21），点P 0到直线5x -12y +c =0的距离为：d =136)12(5211222-=-++⨯-c c ，由题意得136-c =2.所以c =32或c =-20.所以所求直线的方程为5x -12y +32=0和5x -12y -20=0. ※求圆方程的若干方法一、知识要点总结： 1、圆的方程形式：⑴圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=.⑵圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=>＋－， ⑶圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r .圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0)x r y r r t θθ→==≤≤.⑷()()1122,,,A x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--= 2方法总结：求圆方程的主要方法是待定系数法，也经常数形结合来确定.例1、圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________ （答：22(1)1x y ++=）；例2、圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （答：9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(22=++-y x ）；例3（以下各题参考数学精编p 63）求过两圆22(3)13x y ++=和22(3)37x y ++=交点，且圆心在直线y =x -4上的圆的方程.例4、求圆心在直线y =-2x 上，且与直线y =1-x 相切于点A （2，-1）的圆的方程.例5、圆心在直线y =2x -7上的圆C 与y 轴交于点A （0，-4），B （0，-2），求圆的方程.例6、半径为1的圆分别与y 轴正半轴和射线()30y x =≥相切，求圆的方程.例7、设圆方程满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3:1；③圆心到直线l：x-2y=0，求该圆的方程.。

2015届高考二轮复习专题六第1讲直线与圆

答案 B
(2)已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x
对称，直线 4x － 3y － 2 ＝ 0 与圆 C 相交于 A ， B 两点，且 x2＋(y－1)2＝10 |AB|＝6，则圆C的方程为________________. 解析设所求圆的半径是 r，依题意得，抛物线 y2＝4x
的焦点坐标是(1,0)，
解决与圆有关的问题一般有两种方法： (1) 几何法，
系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
变式训练2
(1)已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过点A(－1,0)的直线l
与圆C相交于P、Q两点，若|PQ|＝2 3 ，则直线l的
方程为( )
A.x＝－1或4x＋3y－4＝0
B.x＝－1或4x－3y＋4＝0 C.x＝1或4x－3y＋4＝0 D.x＝1或4x＋3y－4＝0
所以 x2＋y－32＝2 x2＋y2，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以圆心M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上.
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，
则2－1≤|CD|≤2＋1，
即 1≤ a2＋2a－32≤3.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R； 12 2 由 5a －12a≤0，得 0≤a≤ . 5
1.直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜
率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线). (2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率
为k，不包括y轴和平行于y轴的直线).
y－y1 x－x1 (3)两点式：＝ (直线过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， y2－y1 x2－x1 且 x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线). x y (4)截距式：＋＝1(a、 b 分别为直线的横、纵截距，且 a≠0， a b

高三数学二轮专题复习第1讲直线与圆

∴切线方程为
y＝±
3x－2，和直线 y＝2
的交点坐标分别为－4
3
3，2，4
3
3，2.
故要使视线不被⊙O
挡住，则实数

的取值范围是－∞，－4
3
3∪4
3
3，＋∞.
答案 (1)－53 (2)B
考法2 圆的弦长相关计算【例3－2】 (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B
归纳总结思维升华
探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.
【训练1】 (1)(2018·贵阳质检)已知直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，
但m＝－1时，直线l1与l2重合.
当m＝－7时，l1的方程为2x－2y＝－13，直线l2：2x－2y＝8，此时l1∥l2.
∴“m＝－7或m＝－1”是“l1∥l2”的必要不充分条件. (2)设 l 的方程为ax＋by＝1(a>0，b>0)，则1a＋2b＝1. ∵a>0，b>0，∴1a＋2b≥2 a2b.则 1≥2 a2b， ∴ab≥8(当且仅当1a＝2b＝12，即 a＝2，b＝4 时，取“＝”). ∴当a＝2，b＝4时，△OAB的面积最小. 此时 l 的方程为2x＋4y＝1，即 2x＋y－4＝0. 答案 (1)B (2)A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)过点(1，2)的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当

备战2023年新高考数学二轮专题复习直线和圆

专题六解析几何第一讲直线和圆——小题备考微专题1直线的方程及应用常考常用结论1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．直线方程常用的三种形式(1)点斜式：过一点(x0，y0)，斜率k，直线方程为y－y0＝k(x－x0)．(2)斜截式：纵截距b，斜率k，直线方程为y＝kx＋b.(3)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝12√A2+B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝00√A2+B2.保分题1.[2022·山东潍坊二模]已知直线l1：x－3y＝0，l2：x＋ay－2＝0，若l1⊥l2，则a＝()A．13B．－13C．3 D．－32．[2022·湖南常德一模]已知直线l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2022·山东济南二模]过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为()A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0提分题例1 [2022·江苏海安二模](多选)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是()A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0听课笔记：技法领悟1．设直线的方程时要注意其使用条件，如设点斜式时，要注意斜率不存在的情况；设截距式时要注意截距为零的情况．2．已知直线的平行、垂直关系求参数值时，可以直接利用其系数的等价关系式求值，也要注意验证与x，y轴垂直的特殊情况．巩固训练1[2022·山东临沂三模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，C(－4，0)，则其欧拉线方程为________________________．微专题2圆的方程、直线与圆、圆与圆常考常用结论1．圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(r>0)(2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(−D2，−E2)为圆心，√D2+E2−4F2为半径的圆．2．直线与圆的位置关系22222切线长的计算：过点P向圆引切线P A，则|P A|＝√|PC|2−r2(其中C为圆心)．弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2√r2−d2(其中d为弦心距)．3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)，(1)(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．保分题1.[2022·河北石家庄一模]与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是()A．2x＋y＋√5＝0或2x＋y－√5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋√5＝0或2x－y－√5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝02．[2022·北京卷]若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝()A．12B．－12C．1 D．－13．[2022·湖北十堰三模]当圆C：x2＋y2－4x＋2ky＋2k＝0的面积最小时，圆C与圆D：x2＋y2＝1的位置关系是________．提分题例2 (1)[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．(2)[2022·山东临沂二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线a2x＋2b2y＋3＝0恒过定点M的坐标为________．听课笔记：【技法领悟】1．圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程：对于这种情况可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，进而求出直线方程．(2)过圆外一点的切线方程：这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解(交点)时斜率的值，进而求出直线方程．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．3．两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．巩固训练21.[2022·福建德化模拟]已知点A(－2，0)，直线AP与圆C：x2＋y2－6x＝0相切于点P，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗ 的值为()A．－15 B．－9C．9 D．152．[2022·广东梅州二模]已知直线l：y＝kx与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0交于A、B两点，若△ABC为等边三角形，则k的值为()A．√33B．√22C．±√33D．±√22微专题3有关圆的最值问题常考常用结论1．与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解，注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离．2．与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如μ＝y−bx−a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离平方的最值问题．3．与距离最值有关的常见的结论(1)圆外一点A到圆上距离最近为|AO|－r，最远为|AO|＋r；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；(3)直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离d＋r，最小为d－r；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积．(5)直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；(6)两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离．4．与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．保分题1.圆x2＋y2＋2x－8＝0截直线y＝kx＋1(k∈R)所得的最短弦长为()A．2√7B．2√2C．4√3D．22．[2022·辽宁抚顺一模]经过直线y＝2x＋1上的点作圆x2＋y2－4x＋3＝0的切线，则切线长的最小值为()A．2 B．√3C．1 D．√53．[2022·辽宁辽阳二模]若点P ，Q 分别为圆C ：x 2＋y 2＝1与圆D ：(x －7)2＋y 2＝4上一点，则|PQ |的最小值为________．提分题例3 (1)[2022·广东汕头一模]点G 在圆(x ＋2)2＋y 2＝2上运动，直线x －y －3＝0分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点，则△MNG 面积的最大值是( )A ．10B ．232C ．92D ．212(2)[2022·山东泰安三模](多选)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0，则下列说法正确的是( )A ．yx的最大值为43B ．yx 的最小值为0C ．x 2＋y 2的最大值为√5＋1D ．x ＋y 的最大值为3＋√2 听课笔记：技法领悟1．要善于借助图形进行分析，防止解题方法错误．2．要善于运用圆的几何性质进行转化，防止运算量过大，以致运算失误．巩固训练31.[2022·北京昌平二模]已知直线l ：ax －y ＋1＝0与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，当a 变化时，△ABC 的面积的最大值为( )A ．1B ．√2C ．2D ．2√22．[2022·辽宁鞍山二模](多选)已知M 为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2上的动点，P 为直线l ：x －y ＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是( )A ．直线l 与圆C 相切B ．直线l 与圆C 相离C ．|PM |的最大值为3√22 D ．|PM |的最小值为√22专题六解析几何第一讲直线和圆微专题1 直线的方程及应用保分题1．解析：∵l 1⊥l 2，∴13·(－1a)＝－1⇒a ＝13.答案：A2．解析：若l 1∥l 2，则有－a 2＋4＝0，解得a ＝±2，当a ＝2时，l 1：2x －4y －3＝0，l 2：x －2y ＋1＝0，l 1∥l 2，当a ＝－2时，l 1：2x ＋4y ＋3＝0，l 2：x ＋2y ＋1＝0，l 1∥l 2，所以若l 1∥l 2，a ＝±2，则“a ＝2”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件．答案：A3．解析：由{x −y =0x +y =2，得x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1，1)，又因为直线平行于向量v ＝(3，2)，所以所求直线方程为y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0. 答案：C提分题[例1] 解析：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时点A 到直线l 的距离为5，点B 到直线l 的距离为1，此时不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0， ∵点A (－2，2)，B (4，－2)到直线的距离相等，∴√k 2+1＝√k 2+1，解得k ＝－23，或k ＝2，当k ＝－23时，直线l 的方程为y －4＝－23(x －3)，整理得2x ＋3y －18＝0，当k ＝2时，直线l 的方程为y －4＝2(x －3)，整理得2x －y －2＝0. 综上，直线l 的方程可能为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：BC [巩固训练1]解析：设△ABC 的重心为G ，垂心为H ，由重心坐标公式得x ＝0+2+(−4)3＝－23，y ＝0+4+03＝43，所以G (－23，43)．由题，△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x ＝0，直线BC ：y ＝x ＋4，A (2，0)，所以△ABC 的边BC 上的高线所在直线方程为y ＝－x ＋2，所以{x =0y =−x +2⇒H (0，2)，所以欧拉线GH 的方程为y －2＝2−430−(−23)x ，即x －y ＋2＝0.答案：x －y ＋2＝0微专题2 圆的方程、直线与圆、圆与圆保分题1．解析：由题得直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，所以所求的直线的斜率为2，设所求的直线方程为y ＝2x ＋b ，∴2x －y ＋b ＝0. 因为所求直线与圆相切，所以1＝√4+1，∴b ＝±√5.所以所求的直线方程为2x －y ＋√5＝0或2x －y －√5＝0. 答案：C2．解析：因为直线2x ＋y －1＝0是圆(x －a )2＋y 2＝1的一条对称轴，所以直线2x ＋y －1＝0经过圆心．由圆的标准方程，知圆心坐标为(a ，0)，所以2a ＋0－1＝0，解得a ＝12.故选A.答案：A3．解析：由x 2＋y 2－4x ＋2ky ＋2k ＝0，得(x －2)2＋(y ＋k )2＝k 2－2k ＋4＝(k －1)2＋3，当k ＝1时，(k －1)2＋3取得最小值，此时，圆心坐标为(2，－1)，半径为√3.因为|CD |＝√22+(−1)2＝√5，√3－1<√5<√3＋1，所以两圆相交．答案：相交提分题 [例2] 解析：(1)因为k AB ＝a−32，所以直线AB 关于直线y ＝a 对称的直线方程为(3－a )x－2y ＋2a ＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以√4+(3−a )2≤1，整理，得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32.(2) 解析：由C 1：x 2＋y 2＝1和C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝1可得公共弦所在直线方程为x 2＋y 2－[(x −a )2+(y −b )2]＝0，即2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，由公共弦AB 的长为1可得直线2ax ＋2by －a 2－b 2＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交弦长即为1，又圆心到直线的距离22√4a 2+4b 2＝√a 2+b 22，故2√1−(√a 2+b22)2＝1，即a 2＋b 2＝3，故直线a 2x＋2b 2y ＋3＝0，可化为a 2x ＋(6－2a 2)y ＋3＝0，整理得a 2(x －2y )＋6y ＋3＝0，由{x −2y =06y +3=0，解得{x =−1y =−12，故定点M 的坐标为(−1，−12). 答案：(1)[13，32] (2)(−1，−12) [巩固训练2]1．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为C (3，0)，半径为3，即|CP⃗⃗⃗⃗ |＝3，由圆的几何性质可知AP ⊥CP ，所以，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗ 2＝−|CP ⃗⃗⃗⃗ |2＝－9. 答案：B2．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心为C (3，0)，半径为2，由题意可知，圆心C 到直线l 的距离为d ＝2sin π3＝√3，由点到直线的距离公式可得d ＝√k 2+1＝√3，解得k ＝±√22.答案：D微专题3 有关圆的最值问题保分题1．解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝32，故圆心为(－1，0)，半径为r ＝3.(0＋1)2＋12＝2<32，所以点(0，1)在圆x 2＋y 2＋2x －8＝0内，(0，1)和(－1，0)的距离为√(−1)2+(−1)2＝√2，根据圆的几何性质可知，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0截直线y ＝kx ＋1(k ∈R )所得的最短弦长为2√32−(√2)2＝2√7.答案：A2．解析：直线y ＝2x ＋1上任取一点P (x 0，y 0)作圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0的切线，设切点为A ，圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，圆心C (2，0)，r ＝1，切线长为√|PC|2−r 2＝√|PC|2−1， |PC |min ＝√22+(−1)2＝√5，所以切线长的最小值为√(√5)2−1＝2.答案：A3．解析：因为|CD |＝7>1＋2，所以两圆相离，所以|PQ |的最小值为7－1－2＝4. 答案：4提分题 [例3] 解析：(1)易知点M (3，0)、N (0，－3)，则|MN |＝√32+32＝3√2，圆(x ＋2)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－2，0)，半径为√2，圆心到直线x －y －3＝0的距离为√2＝5√22，所以，点G 到直线x －y －3＝0的距离的最大值为5√22+√2＝7√22，所以，△MNG 面积的最大值是12×3√2×7√22＝212. (2)由实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可得点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上，作其图象如下，因为yx 表示点(x ，y )与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线OB 方程为y ＝kx ，则圆心(2，1)到直线OB 的距离d ＝√k 2+1＝1，解得：k ＝0或k ＝43，∴yx ∈[0，43]，∴(yx )max ＝43，(yx )min ＝0，A ，B 正确；x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的最大值为|OC |＋1，所以x 2＋y 2的最大值为(|OC |＋1)2，又|OC |＝√22+12，所以x 2＋y 2的最大值为6＋2√5，C 错，因为x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故可设x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ，所以x ＋y ＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋√2sin (θ＋π4)，所以当θ＝π4时，即x ＝2＋√22，y ＝1＋√22时x ＋y 取最大值，最大值为3＋√2，D 对．答案：(1)D (2)ABD [巩固训练3]1．解析：因为直线l ：ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)在圆内，所以直线与圆相交，圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心C (1，0)，r ＝2，所以△ABC 的面积的最大值为： S ＝12|CA ||CB |sin ∠ACB ＝12r 2sin ∠ACB ≤12r 2＝12×4＝2.2．解析：圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心C (－1，0)，半径r ＝√2， ∵圆心C (－1，0)到直线l ：x －y ＋4＝0的距离d ＝√12+(−1)2＝3√22>r ， ∴直线l 与圆C 相离， A 不正确，B 正确； |PM |≥|PC |－r ≥d －r ＝√22， C 不正确，D 正确．答案：BD。

二轮复习解析几何第1讲直线与圆

解析几何第1讲直线与圆一、单项选择题1．直线l经过两条直线x－y＋1＝0和2x＋3y＋2＝0的交点，且平行于直线x－2y＋4＝0，则直线l的方程为()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x－y＋2＝0 D．2x＋y－2＝02．(2022·福州)已知A(－3，0)，B(3，0)，C(0,3)，则△ABC外接圆的方程为() A．(x－1)2＋y2＝2B．(x－1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝2D．x2＋(y－1)2＝43．(2022·新高考全国Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3等于()A．0.75 B．0.8C．0.85 D．0.94．过圆C：(x－1)2＋y2＝1外一点P作圆C的两条切线P A，PB，切点分别为A，B，若P A⊥PB，则点P到直线l：x＋y－5＝0的距离的最小值为()A．1 B. 2C．2 2 D．3 25．与直线x－y－4＝0和圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2都相切的半径最小的圆的方程是() A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝46．已知圆O ：x 2＋y 2＝94，圆M ：(x －a )2＋(y －1)2＝1，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝π3，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－15，15]B ．[－3，3]C ．[3，15]D ．[－15，－3]∪[3，15]7．已知圆C 1：(x ＋6)2＋(y －5)2＝4，圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，M ，N 分别为圆C 1和C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．[7，＋∞)C ．[10，＋∞)D ．[15，＋∞)8．(2022·菏泽质检)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC ，|AB |＝|AC |，点B (－1,1)，点C (3,5)，过其“欧拉线”上一点Р作圆O ：x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为M ，N ，则|MN |的最小值为( ) A. 2B ．2 2 C. 3D ．2 3二、多项选择题9．已知直线l 过点(3,4)，点A (－2,2)，B (4，－2)到l 的距离相等，则l 的方程可能是( )A ．x －2y ＋2＝0B ．2x －y －2＝0C ．2x ＋3y －18＝0D ．2x －3y ＋6＝010．在平面直角坐标系中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的可能取值是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．(2022·南通)已知P 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的动点，直线l 1：x cos θ＋y sin θ＝4与l 2：x sin θ－y cos θ＝1交于点Q ，则( )A ．l 1⊥l 2B ．直线l 1与圆O 相切C ．直线l 2与圆O 截得弦长为2 3D ．|PQ |长的最大值为17＋212．(2022·龙岩质检)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：x ＋y ＝4上的一点，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝2的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA ，OB ，则( )A ．当四边形OAPB 为正方形时，点P 的坐标为(2,2)B ．|P A |的取值范围为[6，＋∞)C ．当△P AB 为等边三角形时，点P 的坐标为(1,3)D ．直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫12，12三、填空题13．与直线2x －y ＋1＝0关于x 轴对称的直线的方程为__________________．14．过点P (2,2)的直线l 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，则直线l 的方程为____________________．15．(2022·杭州模拟)在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点A 在直线l ：y ＝2x 上，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 的另一个交点为D .若AB ⊥CD ，则圆C 的半径等于________．16．若抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与坐标轴分别交于三个不同的点A ，B ，C ，则△ABC 的外接圆恒过的定点坐标为________．。

24.2.2直线和圆的位置关系

O
d
要点归合纳作探究（用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）
o
o
dr
r d
o r
d
∟
直线和圆相交直线和圆相切直线和圆相离数形结合：位置关系
d< r d= r d> r 数量关系
公共点个数
练一练：
1.已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d ：（1）若d=4cm ,则直线与圆相交 , 直线与圆有_2___个公共点. （2）若d=6cm ,则直线与圆_相__切___, 直线与圆有__1__个公共点. （3）若d=8cm ,则直线与圆_相__离___, 直线与圆有__0__个公共点.
A．(－1，－2)
B．(1，2)
C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)
解析：过点A作AQ⊥MN于Q，连接AN，设半径为r，由垂径定理有MQ＝NQ，所以AQ＝2，AN＝r，NQ＝4－r，利用勾股定理可以求出NQ＝1.5，所以N点坐标为(－1，－2)．故选A.
拓展提升：已知☉O的半径r=7cm,直线l1 // l2,且l1 与☉O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.
0个：相离；1个：相切；2个：相交
d>r：相离 d=r:相切 d<r：相交
特别提醒：在图中没有d要先做出该垂线段
课后作业
见《学练优》本课时练习
B
当r=2.4cm或3cm≤r＜4cm时,⊙C与线
段AB有一个公共点.
5
4
D 当2.4cm＜r≤3cm 时,⊙C与线段AB有
C 3 A 两公共点.
例2 如图，Rt△ABC的斜边AB=10cm,∠A=30°.
(1) 以点C为圆心，当半径为多少时，AB与☉C相切？

第一讲求直线和圆的方程方法总结

第一讲求直线和圆的方程方法总结求直线和圆的方程是解决几何问题的基本方法之一，本文将对求直线和圆的方程的方法进行总结和介绍。

主要包括直线的一般方程、点斜式方程和两点式方程，以及圆的一般方程和截距式方程。

一、直线的一般方程直线的一般方程是形如Ax+By+C=0的方程，其中A、B、C均为实数，A和B不能同时为零。

直线的一般方程是直线的最一般形式，适用于所有直线。

它的推导过程为：首先，根据直线的斜率k和截距b，可以得到直线的斜截式方程为y = kx + b；然后，将直线的斜截式方程中的y换成Ax+By+C，化简得到直线的一般方程Ax+By+C=0。

二、直线的点斜式方程直线的点斜式方程是形如y-y₁=k(x-x₁)的方程，其中x₁和y₁是此直线上的一点，k是直线的斜率。

直线的点斜式方程通过给定一点和斜率来确定直线方程。

推导方法为：已知直线上有一点(x₁，y₁)和斜率k，根据斜率的定义可得到k=(y-y₁)/(x-x₁)；通过变形，化简得到点斜式方程y-y₁=k(x-x₁)。

三、直线的两点式方程直线的两点式方程是形如(y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁)的方程，其中(x₁，y₁)和(x₂，y₂)是直线上的两个点。

直线的两点式方程通过给定两个点来确定直线方程。

推导方法为：已知直线上有两个点(x₁，y₁)和(x₂，y₂)，根据点斜式方程的推导过程，可将其化简为两点式方程。

四、圆的一般方程圆的一般方程是形如(x-a)²+(y-b)²=r²的方程，其中(a，b)是圆心的坐标，r是圆的半径。

圆的一般方程给出了圆与坐标轴的关系。

推导方法为：已知圆心为(a，b)，圆的半径为r，利用圆的定义可以得到距离公式：r²=(x-a)²+(y-b)²；通过展开和整理得到圆的一般方程(x-a)²+(y-b)²=r²。

五、圆的截距式方程圆的截距式方程是形如[x-a]²/α²+[y-b]²/β²=1的方程，其中a、b、α、β均为实数，α和β分别为x轴和y轴的截距。

直线与圆的位置关系(第1课时)教学设计

拓宽视角，让数学教学更自然——苏科版“直线与圆的位置关系”（第1课时）教学设计1教材简解直线和圆的位置关系是本章的重点内容之一。

从知识体系上看,它既是点与圆位置关系的延续与提高,又是学习切线的判定定理的基础。

从数学思想方法层面上看它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系,渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法,有助于提高学生的思维品质。

因此,直线和圆的位置关系在圆一章中起承上启下的作用。

2目标预设2.1知识与技能目标：知道直线和圆相交、相切、相离的定义；会根据定义来判断直线和圆的位置关系；会根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆位置关系。

2.2过程与方法目标：通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透分类、数形结合的思想，培养学生观察、分析和概括的能力。

2.3情感态度与价值观：使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系，培养学生辩证唯物主义观点。

3重点、难点重点：引导发现直线与圆的位置关系与圆心到直线的距离与半径的数量关系之间的联系。

难点：理解并灵活运用圆心到直线的距离与半径的数量关系判定直线与圆的位置关系。

4设计理念翻看数学史，不难发现：数学定理、数学思想、数学方法都是数学家们经历曲折、艰辛的研究结果；完美的数学符号、概念、法则是数学界长期自然、合理进化的结果。

从再创造的角度出发，学生的思维和当初创建这些数学知识的数学家们的思维本质一致。

既然数学知识的产生和发展是自然合理的，那么，数学教学只能以自然、合理的方式展开。

[1]本节课的教学中,努力挖掘内容的本质和联系,充分考虑学生的学习基础和思维发展方向,力求教学过程的自然流畅.5教学设计环节1：课题引入问题1：几何学习中，我们常常会研究图形与图形之间的位置关系，我们学习过哪些图形与图形之间的位置关系？大家还想研究哪些图形与图形之间的位置关系呢？问题2：观察太阳缓缓升起的过程,把地平线看成一条直线,而把太阳抽象成一个运动着的圆,地平线与太阳经历了哪些位置关系?环节2：实践探索一问题3：在纸上画一条直线，把它看成水平线，借助圆形纸片演示太阳升起的过程,猜想直线和圆的位置关系?师生活动:在学生尝试活动的基础上,教师再用几何画板演示。

2023年新高考数学大一轮复习专题六解析几何第1讲直线与圆(含答案)

新高考数学大一轮复习专题：第1讲直线与圆[考情分析] 1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选择题、填空题形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．考点一直线的方程核心提炼1．已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为零)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为零)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2．点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为零)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.例1 (1)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A.2B.823C.3D.833答案 B解析由l 1∥l 2得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6，解得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－12＝823. (2)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点N ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为( )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x ＋3y ＋12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x －3y －12＝0答案 B解析由ax ＋y ＋3a －1＝0可得a (x ＋3)＋y －1＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，∴N (－3,1)．设直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)．则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)． ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0. 易错提醒解决直线方程问题的三个注意点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． (3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．跟踪演练1 (1)已知直线l 经过直线l 1：x ＋y ＝2与l 2：2x －y ＝1的交点，且直线l 的斜率为－23，则直线l 的方程是( )A ．－3x ＋2y ＋1＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －5＝0D ．2x －3y ＋1＝0答案 C解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以两直线的交点为(1,1)．因为直线l 的斜率为－23，所以直线l 的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.(2)已知直线l 1：kx －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋ky －3＝0(k ≠0)分别过定点A ，B ，又l 1，l 2相交于点M ，则|MA |·|MB |的最大值为________．答案252解析由题意可知，直线l 1：kx －y ＋4＝0经过定点A (0,4)，直线l 2：x ＋ky －3＝0经过定点B (3,0)．易知直线l 1：kx －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋ky －3＝0始终垂直，又M 是两条直线的交点，所以MA ⊥MB ，所以|MA |2＋|MB |2＝|AB |2＝25，故|MA |·|MB |≤252⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当|MA |＝|MB |＝522时取“＝”.考点二圆的方程核心提炼 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________．答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析方法一设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 方法二画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.(2)已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.则圆C 的标准方程为________________________．答案 (x －1)2＋(y －2)2＝2 解析设圆心C (a ，b )，半径为r ， ∵圆C 与x 轴相切于点T (1,0)， ∴a ＝1，r ＝|b |.又圆C 与y 轴正半轴交于两点， ∴b >0，则b ＝r ，∵|AB |＝2，∴2＝2r 2－1， ∴r ＝2，故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. 规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2020·全国Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55B.255 C.355 D.455答案 B解析由题意可知圆心在第一象限，设为(a ，b )． ∵圆与两坐标轴都相切， ∴a ＝b ，且半径r ＝a ，∴圆的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2. ∵点(2,1)在圆上，∴(2－a )2＋(1－a )2＝a 2， ∴a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5. 当a ＝1时，圆心坐标为(1,1)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离为d ＝|2×1－1－3|22＋－12＝255；当a ＝5时，圆心坐标为(5,5)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离为d ＝|2×5－5－3|22＋－12＝255. 综上，圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255.(2)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3,4)为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为________________．答案 x 2＋(y －3)2＝10解析 ∵P (3,4)为C 上一点，∴9m －162＝1，解得m ＝1，则B (1,0)，∴k PB ＝42＝2，PB 的中点坐标为(2,2)，PB 的中垂线方程为y ＝－12(x －2)＋2，令x ＝0，则y ＝3，设外接圆圆心为M (0，t )，则M (0,3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10， ∴△PAB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10. 考点三直线、圆的位置关系核心提炼1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．例3 (1)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A ．2B ．42C ．6D ．210 答案 C解析由题意，得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，知圆C 的圆心为C (2,1)，半径为2.方法一因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB |＝6.方法二由题意知，圆心在直线l 上，即2＋a －1＝0，解得a ＝－1，再由图知，|AB |＝6.(2)(2020·全国Ⅰ)已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为( ) A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0答案 D解析 ⊙M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，则圆心M (1,1)，⊙M 的半径为2. 如图，由题意可知PM ⊥AB ，∴S 四边形PAMB ＝12|PM |·|AB |＝|PA |·|AM |＝2|PA |， ∴|PM |·|AB |＝4|PA | ＝4|PM |2－4.当|PM |·|AB |最小时，|PM |最小，此时PM ⊥l . 故直线PM 的方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴P (－1,0)．又∵直线x ＝－1，即PA 与⊙M 相切， ∴PA ⊥x 轴，PA ⊥MA ，∴A (－1,1)．又直线AB 与l 平行，设直线AB 的方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠2)，将A (－1,1)的坐标代入2x ＋y ＋m ＝0，得m ＝1. ∴直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0. 规律方法直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．跟踪演练3 (1)已知点M 是抛物线y 2＝2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为( ) A ．10B ．43C ．8D ．215答案 D解析设圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，而r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝a44＋16，∵圆M 与x 轴交于A ，B 两点， ∴|AB |＝2r 2－a 2＝2a 44＋16－a 2＝a 4－4a 2＋64＝a 2－22＋60≥60＝215.(2)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 答案102解析联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0，故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a2＝5a(a >0)．故222－⎝⎛⎭⎪⎫5a 2＝22，解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102. 专题强化练一、单项选择题1．过点A (1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A ．y －x ＝1B ．y ＋x ＝3C ．2x －y ＝0或x ＋y ＝3D ．2x －y ＝0或y －x ＝1答案 D解析当直线过原点时，可得斜率为2－01－0＝2，故直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0，当直线不过原点时，设方程为x a ＋y－a＝1，代入点(1,2)可得1a －2a＝1，解得a ＝－1，方程为x －y ＋1＝0，故所求直线方程为2x －y ＝0或y －x ＝1.2．若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－32答案 A解析由两直线平行的条件可得－2＋m ＋m 2＝0， ∴m ＝－2(舍)或m ＝1.3．已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称，则k 的值为( ) A ．－1B ．1C ．±1D．0 答案 A解析化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1. 则圆心坐标为(－k 2，－1)，∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称， ∴直线y ＝x 经过圆心， ∴－k 2＝－1，得k ＝±1.当k ＝1时，k 4－4k ＋1<0，不合题意， ∴k ＝－1.4．(2020·厦门模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0与直线l 相切于点P (3，3)，则直线l 的方程为( ) A ．3x －3y －6＝0 B ．x －3y －6＝0 C ．x ＋3y －4＝0 D ．x ＋3y －6＝0 答案 D解析圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0可化为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心C (2,0)，直线PC 的斜率为k PC ＝0－32－3＝3，∵l ⊥PC ，则直线l 的斜率为k ＝－1k PC ＝－33，∴直线l 的点斜式方程为y －3＝－33(x －3)，化为一般式得x ＋3y －6＝0. 5．(2020·长沙模拟)已知直线l 过点A (a,0)且斜率为1，若圆x 2＋y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( ) A ．3 2 B ．±3 2 C ．±2 D ．± 2答案 D解析直线l 的方程为y ＝x －a ，即x －y －a ＝0.圆上恰有三个点到直线l 的距离为1，可知圆心到直线的距离等于半径的一半，即|a |2＝1，a ＝± 2.6．已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A (0，－6)，B (4,0)，则|PA →＋PB →|的最大值为( ) A.26＋2 B.26＋4 C ．226＋4 D ．226＋2 答案 C解析取AB 的中点D (2，－3)，则PA →＋PB →＝2PD →，|PA →＋PB →|＝|2PD →|，又由题意知，圆C 的圆心C 的坐标为(1,2)，半径为2， |PD →|的最大值为圆心C (1,2)到D (2，－3)的距离d 再加半径r ，又d ＝1＋25＝26，∴d ＋r ＝26＋2， ∴|2PD →|的最大值为226＋4，即|PA →＋PB →|的最大值为226＋4.7．(2020·北京市陈经纶中学月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A ，B 距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M 的轨迹是圆，若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则M 点的轨迹围成区域的面积为( )A ．πB．2πC．3πD．4π 答案 D解析以A 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (3,0)．设M (x ，y )，依题意有，x 2＋y 2x －32＋y2＝2，化简整理得，x 2＋y 2－8x ＋12＝0，即(x －4)2＋y 2＝4，则M 点的轨迹围成区域的面积为4π.8．(2020·辽宁省大连一中模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x －y ＋6＝0，在直线l 上任取一点P 向圆C 作切线，切点为A ，B ，连接AB ，则直线AB 一定过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23 B ．(1,2)C ．(－2,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，43 答案 A解析设点P (x 0，y 0)，则x 0－y 0＋6＝0.过点P 向圆C 作切线，切点为A ，B ，连接AB ，以CP 为直径的圆的方程为x (x －x 0)＋y (y －y 0)＝0，又圆C ：x 2＋y 2＝4，作差可得直线AB 的方程为xx 0＋yy 0＝4，将y 0＝x 0＋6，代入可得(x ＋y )x 0＋6y －4＝0，满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，6y －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝23，故直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23.二、多项选择题9．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r >0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是( ) A ．3B ．5C ．7D ．9 答案 AC解析圆x 2＋y 2＝4的圆心是O (0,0)，半径为R ＝2，圆(x －3)2＋(y －4)2＝r 2的圆心是C (3,4)，半径为r ，|OC |＝5，当2＋r ＝5，r ＝3时，两圆外切，当|r －2|＝5，r ＝7时，两圆内切，它们都只有一个公共点，即集合A ∩B 中只有一个元素． 10．下列说法正确的是( )A ．直线x －y －2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点P (0,2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为P ′(1,1)C ．过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x ＋y －2＝0 答案 AB解析选项A 中直线x －y －2＝0在两坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成的三角形的面积是2，所以A 正确；选项B 中PP ′的中点⎝⎛⎭⎪⎫0＋12，2＋12在直线y ＝x ＋1上，且P (0,2)，P ′(1,1)两点连线的斜率为－1，所以B 正确；选项C 中需要条件y 2≠y 1，x 2≠x 1，所以C 错误；选项D 中还有一条截距都为0的直线y ＝x ，所以D 错误．11．已知圆C 1：(x ＋6)2＋(y －5)2＝4，圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，M ，N 分别为圆C 1和C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的值可以是( ) A ．6B ．7C ．10D ．15 答案 BCD解析圆C 2关于x 轴的对称圆C 3为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，圆心C 3(2，－1)，r 3＝1，点N 关于x 轴的对称点N ′在圆C 3上，又圆C 1的圆心C 1(－6,5)，r 1＝2，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|≥|PC 1|－r 1＋|PC 3|－r 3＝|PC 1|＋|PC 3|－3≥|C 1C 3|－3＝2＋62＋－1－52－3＝7，∴|PM |＋|PN |的取值范围是[7，＋∞)．12．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( ) A ．(0，2) B ．(1，2－1) C ．(2，0) D ．(2－1,1)答案 AC 解析如图所示，坐标原点O 到直线l ：x ＋y －2＝0的距离d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y2＝1相切，由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值，连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝ 2.设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得t 2－2t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．三、填空题13．若直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值是________．答案 3＋2 2解析因为直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，所以1a ＋2b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a＋2ab≥3＋22，当且仅当a ＝2＋1，b ＝2＋2时等号成立．所以直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值是3＋2 2.14．已知⊙O ：x 2＋y 2＝1.若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是______________________．答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 ∵⊙O 的圆心为(0,0)，半径r ＝1，设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PAOB 为正方形，故有|PO |＝2r ＝2，∴圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离d ≤2，即|2|1＋k2≤2，即1＋k 2≥2，解得k ≥1或k ≤－1.15．(2020·石家庄长安区期末)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，当△AOB 的面积达到最大时，k ＝________. 答案 ±1解析由圆O ：x 2＋y 2＝1，得到圆心坐标为O (0,0)，半径r ＝1，把直线l 的方程y ＝kx ＋1(k ≠0)，整理为一般式方程得l ：kx －y ＋1＝0，圆心O (0,0)到直线AB 的距离d ＝1k 2＋1，弦AB 的长度|AB |＝2r 2－d 2＝2k 2k 2＋1，S △AOB ＝12×2k 2k 2＋1×1k 2＋1＝|k |k 2＋1＝1|k |＋1|k |，又因为|k |＋1|k |≥2|k |·1|k |＝2，S △AOB ≤12，当且仅当|k |＝1|k |，即k ＝±1时取等号，S △AOB 取得最大值，最大值为12，此时k ＝±1.16．已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，给出下列结论：①a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0；②2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2；③x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b .其中正确的结论是________．(填序号)答案 ①②③解析公共弦所在直线的方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，所以有2ax 1＋2by 1－a 2－b 2＝0，②正确；又2ax 2＋2by 2－a 2－b 2＝0，所以a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，①正确；AB 的中点为直线AB 与直线C 1C 2的交点，又AB ：2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，C 1C 2：bx －ay ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，bx －ay ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a2，y ＝b2.。

【2021新高考数学二轮复习】第1讲直线与圆

【2021新高考数学二轮复习】[学生用书P69]第1讲直线与圆考点一直线的方程[学生用书P70][自主练透]1．设a ∈R ，则“a ＝－2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件解析：选A.当a ＝－2时，l 1：－2x ＋2y －1＝0，l 2：x －y ＋4＝0，显然l 1∥l 2.当l 1∥l 2时，由a (a ＋1)＝2且a ＋1≠－8，得a ＝1或a ＝－2.所以“a ＝－2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件．2．(多选)(2020·福建三明一中期中)下列说法正确的是( )A ．直线x －y －2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点(0，2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为(1，1)C ．过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1D ．经过点(1，1)且在x 轴和y 轴上的截距都相等的直线方程为x ＋y －2＝0 解析：选AB.A 中，直线x －y －2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别为2，－2，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2，所以A 正确．B 中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋12，2＋12在直线y ＝x ＋1上，且点(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以B 正确．C 中，直线方程成立需要条件y 2≠y 1，x 2≠x 1，所以C 错误．D 中，还有一条截距都为0的直线y ＝x ，所以D 错误．故选AB.3．已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0，4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为__________________．解析：由⎩⎨⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(1，2)．显然直线x ＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为点P (0，4)到直线l 的距离为2，所以|－4＋2－k |1＋k 2＝2，所以k ＝0或k ＝43.所以直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝04．设点P 为直线l ：x ＋y －4＝0上的动点，点A (－2，0)，B (2，0)，则|P A |＋|PB |的最小值为________．解析：设点B (2，0)关于直线l 的对称点为B 1(a ，b )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×（－1）＝－1，a ＋22＋b 2－4＝0，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝2，所以B 1(4，2)．因为|P A |＋|PB |＝|P A |＋|PB 1|，所以当A ，P ，B 1三点共线时，|P A |＋|PB |最小，最小值为|AB 1|＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210.答案：210(1)求直线方程的两种方法①直接法：根据已知条件，找出直线方程的确定条件，选择适当的直线方程的形式，直接求出直线方程．②待定系数法：其具体步骤为：〈1〉设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式)；〈2〉根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组；〈3〉解方程或方程组得到待定系数；〈4〉写出直线方程；〈5〉验证所得直线方程是否为所求直线方程，如果有遗漏需要补加．(2)两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．考点二圆的方程[学生用书P70][典型例题](1)(多选)(2020·日照模拟)设圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是()A．圆A的半径为2B．圆A截y轴所得的弦长为2 3C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离(2)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(－1，0)和(2，3)，则圆C的半径为()A．22B．8C．5 D． 5(3)已知圆心在直线x－y－1＝0上的圆与y轴的两个交点的坐标分别为(0，4)，(0，－2)，则该圆的方程为________．【解析】(1)把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4，所以圆A的圆心坐标为(1，0)，半径为2，A正确；圆A截y轴所得的弦长为2×4－1＝23，B正确；圆心(1，0)到直线3x－4y＋12＝0的距离为3，故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C正确；圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为(4，4)，半径为3，根据（4－1）2＋42＝5可知，圆A与圆B相切，D错误．故选ABC.(2)因为圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心C在直线y＝x或y＝－x上．①当圆心C在直线y＝x上时，设C(m，m)，半径为R，则(m＋1)2＋m2＝(m －2)2＋(m－3)2＝R2，可得m＝1，R2＝5，所以R＝ 5.②当圆心C在直线y＝－x上时，设C(m，－m)，半径为R，则(m＋1)2＋(－m)2＝(m－2)2＋(－m－3)2＝R2，该方程组无解．所以圆C 的半径为5，故选D.(3)因为圆与y 轴的两个交点的坐标分别为(0，4)，(0，－2)，所以圆心在点(0，4)，(0，－2)连线的垂直平分线y ＝1上，又因为圆心在直线x －y －1＝0上，所以由⎩⎨⎧y ＝1，x －y －1＝0得圆心的坐标为(2，1)，圆的半径为22＋（1－4）2＝13，所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝13.【答案】 (1)ABC (2)D (3)(x －2)2＋(y －1)2＝13求圆的方程的2种方法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程1．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，则圆C 关于直线y ＝－x －4对称的圆的方程是( )A ．(x ＋4)2＋(y ＋6)2＝1B ．(x ＋6)2＋(y ＋4)2＝1C ．(x ＋5)2＋(y ＋7)2＝1D ．(x ＋7)2＋(y ＋5)2＝1解析：选A.设所求圆的圆心为C ′(a ，b )．圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，故其圆心为(2，0)，半径r ＝1.因为C 与C ′关于直线y ＝－x －4对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2＝1，b 2＝－a －22－4，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝－6，所以所求圆的圆心坐标为(－4，－6)，半径r ′＝1，其方程为(x ＋4)2＋(y ＋6)2＝1，故选A.2．经过原点且与直线x ＋y －2＝0相切于点(2，0)的圆的标准方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2C．(x－1)2＋(y＋1)2＝4D．(x＋1)2＋(y－1)2＝4解析：选A.设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则a2＋b2＝r2①，(a－2)2＋b2＝r2②，ba－2＝1③，联立①②③解得a＝1，b＝－1，r2＝2.故所求圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选A.3．(多选)(2020·淄博模拟)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上B．满足条件的圆C有且只有一个C．点(2，－1)在满足条件的圆C上D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4 2解析：选ACD.因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a＞0)，故圆心在y＝－x上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入可知满足(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，故C正确；它们的圆心距为（5－1）2＋（－5＋1）2＝42，D正确．考点三直线与圆的位置关系[学生用书P71][典型例题]命题角度1圆的切线问题(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)若直线l与曲线y＝x和圆x2＋y2＝15都相切，则l的方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x＋1 2C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12 (2)设点M (x 0，y 0)为直线3x ＋4y ＝25上一动点，过点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点为B ，C ，则四边形OBMC 面积的最小值为________．【解析】 (1)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55 ①，设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0>0)，则y ′|x ＝x 0＝12x 0－12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③，由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x 0－12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去)，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程为y ＝12x ＋12.(2)圆心O 到直线3x ＋4y ＝25的距离d ＝259＋16＝5，则|OM |≥d ＝5，所以切线长|MB |＝|OM |2－2≥d 2－2＝23，所以S 四边形OBMC ＝2S △OBM ≥2×12×23×2＝46.所以四边形OBMC 面积的最小值为46.【答案】 (1)D (2)46直线与圆相切问题的解题策略(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．(2)过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．命题角度2 圆的弦长问题(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知圆x 2＋y 2－6x ＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 (2)已知直线l ：x －3y －a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y ＋3)2＝4交于点M ，N ，点P 在圆C 上，且∠MPN ＝π3，则实数a 的值等于( ) A ．2或10B ．4或8C ．6±2 2D ．6±2 3【解析】 (1)将圆的方程x 2＋y 2－6x ＝0化为标准方程(x －3)2＋y 2＝9，设圆心为C ，则C (3，0)，半径r ＝3.设点(1，2)为点A ，过点A (1，2)的直线为l ，因为(1－3)2＋22<9，所以点A (1，2)在圆C 的内部，则直线l 与圆C 必相交，设交点分别为B ，D .易知当直线l ⊥AC 时，直线l 被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C 到直线l 的距离为d ，则d ＝|AC |＝（3－1）2＋（0－2）2＝22，所以|BD |min ＝2r 2－d 2＝232－（22）2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.(2)由∠MPN ＝π3，可得∠MCN ＝2∠MPN ＝2π3.在△MCN 中，CM ＝CN ＝2，∠CMN ＝∠CNM ＝π6，可得点C (3，－3)到直线MN ，即直线l ：x －3y －a ＝0的距离为2sin π6＝1.所以|3－3×（－3）－a |1＋3＝1，解得a ＝4或a ＝8.故选B. 【答案】 (1)B (2)B求解圆的弦长的3种方法关系法根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r 2＝d 2＋l 24(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)公式法根据公式l ＝1＋k 2|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)距离法联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解命题角度3 直线与圆的综合问题已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为2 3.点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N .(1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求BA 1→·BA 2→. 【解】 (1)易知圆心C 在线段AB 的中垂线y ＝x 上，故可设C (a ，a )，圆C 的半径为r .因为直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为23，且r ＝a 2＋（a －2）2，所以C (a ，a )到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|7a ＋5|5＝r 2－3＝2a 2－4a ＋1，所以a ＝0或a ＝170.又圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，所以a ＝0，此时r ＝2，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)将y ＝x ＋1代入x 2＋y 2＝4得2x 2＋2x －3＝0.设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－32.所以BA 1→·BA 2→＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋5＝－3＋1＋5＝3.讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．[对点训练]1．(2020·高考全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A.55 B ．255C.355 D ．455解析：选B.因为圆与两坐标轴都相切，点(2，1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，所以(2－a )2＋(1－a )2＝a 2，即a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2x －y －3＝0的距离为|2×1－1－3|22＋（－1）2＝255或|2×5－5－3|22＋（－1）2＝255，故选B. 2．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线y ＝2x －1上的一个动点．若线段OP 的垂直平分线与圆有交点，则|OP |的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.设P (a ，2a －1)，则线段OP 的中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a －12.若线段OP 的垂直平分线与圆有交点，则由图可知点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a －12在圆O ：x 2＋y 2＝1内部(包括边界)．所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122≤1，整理得5a 2－4a ≤3.所以|OP |＝a 2＋（2a －1）2＝5a 2－4a ＋1≤3＋1＝2.所以|OP |的最大值为2.故选B.3．已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2，1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为________．解析：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P (2，5)，Q (2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝25，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠12，则圆心到直线l 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2，所以|PQ |＝29－d 2，S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝（9－d 2）d 2≤9－d 2＋d 22＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92，因为25＜92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.答案：x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0[学生用书(单独成册)P145]1．已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( ) A ．(3，3) B ．(2，3) C ．(1，3) D ．⎝⎛⎭⎪⎫1，32 解析：选C.直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝33（x ＋2），y ＝－3（x －2），解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切解析：选B.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心O 1(1，0)，半径r 1＝1，圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心O 2(0，2)，半径r 2＝2，因为|O 1O 2|＝5，故|r 1－r 2|<|O 1O 2|<|r 1＋r 2|，所以两圆的位置关系是相交．3．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：选B.依题意知，点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点．因为圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k ＝－2. 故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.4．直线l ：kx ＋y ＋4＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A (0，k )作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为( )A.22B ． 2 C. 6 D ．2 6解析：选 C.圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，表示以C (－2，2)为圆心，2为半径的圆．由题意可得，直线l ：kx ＋y ＋4＝0经过圆心C (－2，2)．所以－2k ＋2＋4＝0，解得k ＝3，所以点A (0，3)，故直线m 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，则圆心C 到直线m 的距离d ＝|－2－2＋3|2＝12.所以直线m 被圆C 所截得的弦长为2× 2－12＝ 6.故选C.5．(多选)(2020·辽宁葫芦岛普通高中质量监测)若P 是圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝1上任一点，则点P 到直线y ＝kx －1距离的值可以为( )A ．4B ．6C ．32＋1D ．8解析：选ABC.由题意，知圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝1的圆心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)．由图可知，圆心C 到直线y ＝kx －1距离的最大值为（－3－0）2＋（3＋1）2＝5，则点P 到直线y ＝kx －1距离的最大值为5＋1＝6，因此A ，B ，C 正确，只有D 不正确．故选ABC.6．(多选)(2020·山东枣庄滕州一中期中)已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则下列结论正确的是( )A ．a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0B ．2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2C ．x 1＋x 2＝aD ．y 1＋y 2＝2b解析：选ABC.圆C 2的方程可化为x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0，则将圆C 1与圆C 2的方程相减可得直线AB 的方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，即2ax ＋2by ＝a 2＋b 2.将A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点代入直线AB 的方程可得⎩⎨⎧2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2，2ax 2＋2by 2＝a 2＋b 2，两式相减可得2a (x 1－x 2)＋2b (y 1－y 2)＝0，即a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，所以选项A ，B 是正确的．由圆的性质可得，线段AB 与线段C 1C 2互相平分，所以x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b ，所以选项C 是正确的，选项D 是不正确的．故选ABC.7．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝________．解析：由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以MP ⊥MQ ，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10.答案：108．已知圆O ：x 2＋y 2＝4到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为________．解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O 到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)．答案：(－32，32)9．已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP→的最大值为________，|OA→＋OP →|的最大值为________．解析：设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝1，所以AO →·AP →＝(2，0)·(x ＋2，y )＝2(x ＋2)．因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以－1≤x ≤1，所以AO →·AP →∈[2，6]．所以AO →·AP→的最大值为6. 因为OA→＋OP →＝(－2，0)＋(x ，y )＝(x －2，y )，所以|OA→＋OP →|＝（x －2）2＋y 2＝（x －2）2＋1－x 2＝5－4x ，又－1≤x ≤1.故1≤5－4x ≤9，所以1≤|OA →＋OP →|≤3，从而|OA →＋OP →|max＝3. 答案：6 310．已知圆(x －1)2＋y 2＝25，直线ax －y ＋5＝0与圆相交于不同的两点A ，B .(1)求实数a 的取值范围；(2)若弦AB 的垂直平分线l 过点P (－2，4)，求实数a 的值．解：(1)把直线ax －y ＋5＝0代入圆的方程，消去y 整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0，由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0，即12a 2－5a >0，解得a >512或a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞. (2)由于直线l 为弦AB 的垂直平分线，且直线AB 的斜率为a ，则直线l 的斜率为－1a，所以直线l 的方程为y ＝－1a (x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0，由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上，所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝34，由于34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞，所以a ＝34.11．已知点M (－1，0)，N (1，0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )，由题意得（x ＋1）2＋y 2＝3·（x －1）2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求．(2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0)．设曲线E 的圆心为E ，则E (2，0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22，由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3， |EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－（t －2）22，整理得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3，所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.12．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆O 的方程．(2)若直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点Q ，使得OQ→＝OA →＋OB →？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：(1)设圆O 的半径为r .因为直线x －3y －4＝0与圆O 相切，所以r ＝|0－3×0－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)存在，直线l 的斜率为±2 2.因为直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 相交于A ，B 两点，所以圆心O 到直线l 的距离d ＝|3|1＋k 2<2. 所以k >52或k <－52.假设存在点Q ，使得OQ→＝OA →＋OB →. 因为A ，B 在圆上，且OQ→＝OA →＋OB →. 同时|OA→|＝|OB →|，连接AQ ，BQ ，由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB 为菱形，所以OQ 与AB 互相垂直且平分．所以原点O 到直线l ：y ＝kx ＋3的距离d ＝12|OQ |＝1，即|3|1＋k 2＝1. 解得k 2＝8，则k ＝±22，经验证满足条件．所以存在点Q ，使得OQ →＝OA →＋OB →，此时直线l 的斜率为±2 2.。

2020版新高考数学二轮复习：第二部分专题五第1讲直线与圆 Word版含解析

第1讲直线与圆[做真题]题型一圆的方程1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2解析：选A.由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43. 2．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0＜m ＜4，r ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为(x－32)2＋y 2＝254. 答案：(x －32)2＋y 2＝2543．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 题型二直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为A (－2，0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2，6]，即△ABP 面积的取值范围是[2，6]．2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解析：选C.设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20. 所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，所以|MN |＝46，故选C.3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3，即||3m －3m 2＋1＝3，解得m ＝－33，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |cos 30°＝4.答案：4[山东省学习指导意见]1．直线与方程(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(2)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．体会斜截式与一次函数的关系．(3)探索并掌握两点间的距离公式．点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离，会求两直线的交点坐标．2．圆与方程(1)由圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程． (2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系． (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．空间直角坐标系了解空间直角坐标系，明确感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式．直线的方程 [考法全练]1．若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B ．2－52或0C ．2±52D ．2＋52或0解析：选A.因为平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，所以k AB ＝k AC ，即a 2＋a2－1＝a 3＋a 3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1±2.故选A. 2．若直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，则m 的值为( ) A ．7 B ．0或7 C ．0D ．4解析：选B.因为直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，所以m (m －1)＝3m ×2，所以m ＝0或7，经检验，都符合题意．故选B.3．已知点A (1，2)，B (2，11)，若直线y ＝⎝⎛⎭⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2，0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0，6]C ．[－2，－1]∪[3，6]D ．[－2，0)∪(0，6]解析：选C.由题意得，两点A (1，2)，B (2，11)分布在直线y ＝⎝⎛⎭⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，所以⎝⎛⎭⎫m －6m －2＋1⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫m －6m －11＋1≤0，解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C.4．已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0，4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为__________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(1，2)．显然直线x ＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0，4)到直线l 的距离为2，所以|－4＋2－k |1＋k 2＝2，所以k ＝0或k ＝43.所以直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝05．(一题多解)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于直线l 对称，则直线l 2的方程是________．若直线l 3与l 关于点(1，1)对称，则直线l 3的直线方程是________．解析：法一：l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任意一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1，0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上的一点，设其关于l 的对称点为(x ，y )，则 ⎩⎨⎧x 2－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.即(1，0)，(－1，－1)为l 2上两点，故可得l 2的方程为x －2y －1＝0. 因为l 3∥l ，可设l 3的方程为x －y ＋c ＝0，则 |1－1－1|2＝|1－1＋c |2. 所以c ＝±1，所以l 3的方程为x －y ＋1＝0.法二：设l 2上任一点为(x ，y )，其关于l 的对称点为(x 1，y 1)，则由对称性可知 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12－y ＋y 12－1＝0，y －y1x －x 1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y ＋1，y 1＝x －1.因为(x 1，y 1)在l 1上，所以2(y ＋1)－(x －1)－2＝0，即l 2的方程为x －2y －1＝0. 因为l 3∥l ，可设l 3的方程为x －y ＋c ＝0，则 |1－1－1|2＝|1－1＋c |2. 所以c ＝±1，所以l 3的方程为x －y ＋1＝0. 答案：x －2y －1＝0 x －y ＋1＝0(1)两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．(2)轴对称问题的两种类型及求解方法圆的方程 [典型例题]在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． (2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．【解】由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0. 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则可得Δ＝m 2－8m >0，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m . 令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0，2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0或m ＝－12.由Δ>0得m <0或m >8，所以m ＝－12，此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－14，0即圆心，半径r ＝|CM |＝174，故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋y 2＝1716. (2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0，2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0，整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝25，y ＝45，故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0，1)和⎝⎛⎭⎫25，45.求圆的方程的2种方法[对点训练]1．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．⎝⎛⎭⎫－23，0 C ．(－2，0)D ．⎝⎛⎭⎫－2，23 解析：选D.若方程表示圆，则a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，化简得3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.2．经过原点且与直线x ＋y －2＝0相切于点(2，0)的圆的标准方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4解析：选A.设圆心的坐标为(a ，b )，则a 2＋b 2＝r 2①，(a －2)2＋b 2＝r 2②，ba －2＝1③，联立①②③解得a ＝1，b ＝－1，r 2＝2.故所求圆的标准方程是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选A.3．(2019·山东青岛模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0，若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA →·OB →＝－6(其中O 为坐标原点)，则圆M 的半径为( )A ． 5B ． 6C ．7D ．2 2解析：选C.圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1－a (a <1)，圆心M (1，0)，则|OM |＝1，因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA →＝－MB →，且|MA →|＝|MB →|＝r ，则OA →·OB →＝(OM →＋MA →)·(OM →＋MB →)＝(OM →－MB →)·(OM →＋MB →)＝OM →2－MB →2＝1－r 2＝－6，所以r 2＝7，得r ＝7，所以圆的半径为7，故选C.直线与圆、圆与圆的综合问题[典型例题]命题角度一切线问题已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y2＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A ．⎝⎛⎭⎫12，14B ．⎝⎛⎭⎫14，12C ．⎝⎛⎭⎫34，0D ．⎝⎛⎭⎫0，34【解析】因为点P 是直线x 4＋y2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为P A ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．所以圆心C 的坐标是⎝⎛⎭⎫2－m ，m2，且半径的平方r 2＝（4－2m ）2＋m 24，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2＋⎝⎛⎭⎫y －m 22＝（4－2m ）2＋m 24，① 又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1＝0，2x －y ＝0得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝12，所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫14，12.故选B. 【答案】 B过一点求圆的切线方程的方法(1)过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线的方程的求法若切线斜率存在，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k (k ≠0)，由垂直关系知切线斜率为－1k，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则可由图形写出切线方程x ＝x 0.(2)过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线的方程的求法当切线斜率存在时，设切线斜率为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当切线斜率不存在时要加以验证．命题角度二弦长问题已知圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx＋1与圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)过点(0，1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．【解】 (1)设圆心C (a ，a )，半径为r ，因为圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，即（a ＋2）2＋（a －0）2＝（a －0）2＋（a －2）2＝r ，解得a ＝0，r ＝2，故所求圆C的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设圆心C 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S .因为直线l ，l 1都经过点(0，1)，且l 1⊥l ，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1.又|PQ |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 21，所以S ＝12|PQ |·|MN |＝12×2×4－d 2×2×4－d 21 ＝216－4（d 21＋d 2）＋d 21d 2＝212＋d 21d 2≤212＋⎝⎛⎭⎫d 21＋d 222＝212＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立，所以四边形PMQN 面积的最大值为7.求解圆的弦长的3种方法命题角度三直线与圆的综合问题已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为2 3.点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N .(1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求BA 1→·BA 2→； (3)求证：|AN |·|BM |为定值．【解】 (1)易知圆心C 在线段AB 的中垂线y ＝x 上，故可设C (a ，a )，圆C 的半径为r .因为直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为23，且r ＝a 2＋（a －2）2，所以C (a ，a )到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|7a ＋5|5＝r 2－3＝2a 2－4a ＋1，所以a ＝0或a ＝170.又圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，所以a ＝0，此时r ＝2，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)将y ＝x ＋1代入x 2＋y 2＝4得2x 2＋2x －3＝0. 设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－32.所以BA 1→·BA 2→＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋5＝－3＋1＋5＝3.(3)证明：当直线P A 的斜率不存在时，|AN |·|BM |＝8. 当直线P A 与直线PB 的斜率都存在时，设P (x 0，y 0)，直线P A 的方程为y ＝y 0－2x 0x ＋2，令y ＝0得M ⎝⎛⎭⎫2x 02－y 0，0.直线PB 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得N ⎝⎛⎭⎫0，2y 02－x 0.所以|AN |·|BM |＝⎝⎛⎭⎫2－2y 02－x 0⎝⎛⎭⎫2－2x 02－y 0＝4＋4⎣⎡⎦⎤y 0x 0－2＋x 0y 0－2＋x 0y 0（x 0－2）（y 0－2）＝4＋4×y 20－2y 0＋x 20－2x 0＋x 0y 0（x 0－2）（y 0－2）＝4＋4×4－2y 0－2x 0＋x 0y 0（x 0－2）（y 0－2）＝4＋4×4－2y 0－2x 0＋x 0y 04－2y 0－2x 0＋x 0y 0＝8，综上，|AN |·|BM |为定值8.讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．[对点训练]1．自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0解析：选D.由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.2．(2019·江苏南师大附中期中改编)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为________________，圆C被x轴截得的弦长为________________．解析：将已知圆化为标准式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圆心为(3，3)，半径为3 2.由于两个圆相切于原点，圆心连线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0，0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x ＋8y＝0.圆心C到x轴距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为2×（42）2－42＝8.答案：x2＋y2＋8x＋8y＝083．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与y轴相切，且过点M(1，3)，N(1，－3)．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积为－2.求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标．解：(1)因为圆C过点M(1，3)，N(1，－3)，所以圆心C在线段MN的垂直平分线上，即在x轴上，故设圆心为C(a，0)，易知a>0，又圆C与y轴相切，所以圆C的半径r＝a，所以圆C的方程为(x－a)2＋y2＝a2.因为点M(1，3)在圆C上，所以(1－a )2＋(3)2＝a 2，解得a ＝2. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)记直线OA 的斜率为k (k ≠0)，则其方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋y 2＝4，y ＝kx ，消去y ，得(k 2＋1)x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝4k 2＋1.所以A ⎝⎛⎭⎫4k 2＋1，4kk 2＋1.由k ·k OB ＝－2，得k OB ＝－2k ，直线OB 的方程为y ＝－2k x ，在点A 的坐标中用－2k 代替k ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2k 2＋4，－8k k 2＋4. 当直线l 的斜率不存在时，4k 2＋1＝4k 2k 2＋4，得k 2＝2，此时直线l 的方程为x ＝43.当直线l 的斜率存在时，4k 2＋1≠4k 2k 2＋4，即k 2≠2.则直线l 的斜率为4kk 2＋1－－8k k 2＋44k 2＋1－4k 2k 2＋4＝4k （k 2＋4）＋8k （k 2＋1）4（k 2＋4）－4k 2（k 2＋1）＝3k （k 2＋2）4－k 4＝3k2－k 2. 故直线l 的方程为y －4k k 2＋1＝3k 2－k 2⎝⎛⎭⎫x －4k 2＋1.即y ＝3k 2－k 2⎝⎛⎭⎫x －43，所以直线l 过定点⎝⎛⎭⎫43，0. 综上，直线l 恒过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎫43，0.一、选择题1．已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D ．⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选C.直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x ＋2），y ＝－3（x －2），解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．2．圆C 与x 轴相切于T (1，0)，与y 轴正半轴交于A 、B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4解析：选A.由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A.3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B.圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，M (0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，所以两圆的圆心距为2，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．4．(多选)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是( )A ．0<m <1B ．m <1C ．－2<m <1D ．－3<m <1解析：选AC.圆x 2＋y 2－2x －1＝0的圆心为(1，0)，半径为 2.因为直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d ＝|1＋m |1＋1<2，所以|1＋m |<2，解得－3<m <1，求其充分不必要条件，即求其真子集，故由选项易得AC 符合，故选AC.5．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )A ．102B ．10C ．5D ．10解析：选D.由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以MP ⊥MQ ，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D.6．(一题多解)(2019·潍坊模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C.法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)>0，y 1＋y 2＝2k k 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，因为OM →＝OA →＋OB →，故M ⎝⎛⎭⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上，故4（k 2＋1）2＋4k2（k 2＋1）2＝4，解得k ＝0. 法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，且点M 在圆C 上，得圆心C (0，0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝11＋k 2＝1，解得k ＝0. 二、填空题7．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33. 答案：－338．已知圆O ：x 2＋y 2＝4到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为________．解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O 到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)．答案：(－32，32)9．(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．解析：法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－（－2）×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.答案：－2 5三、解答题10．已知点M (－1，0)，N (1，0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )，由题意得（x ＋1）2＋y 2＝3·（x －1）2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求．(2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0)．设曲线E 的圆心为E ，则E (2，0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝⎛⎭⎫t ＋22，t －22，由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝⎛⎭⎫t ＋22－12＋⎝⎛⎭⎫t －222，|ED |2＝3， |EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，所以⎝⎛⎭⎫t 22＋⎝⎛⎭⎫t －222＝3－（t －2）22，整理得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3，所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x －x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m2，y －12＝x 2（x －x22），又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m 2，－12)，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－（m2）2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)因为圆心在直线l ：y ＝2x －4上，也在直线y ＝x －1上，所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1，得圆心C (3，2)，又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，又因为点A (0，3)，显然过点A ，圆C 的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，所以|3k －2＋3|k 2＋12＝1，解得k ＝0或k ＝－34，所以所求切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y －3＝0或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上，所以设圆心C 为(a ，2a －4)，又因为圆C 的半径为1，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1. 设M (x ，y )，又因为|MA |＝2|MO |，则有 x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D ，所以点M 既在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 与圆D 有交点，所以2－1≤a 2＋（2a －4＋1）2≤2＋1，解得0≤a ≤125，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125.。

专题七解析几何第一讲直线与圆—2023届高考数学二轮复习重点练(含解析)

专题七解析几何第一讲直线与圆1.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为( )A.5B.5C.5D.52.下列说法中不正确的是( )A.平面上任一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)表示B.当0C =时,方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)表示的直线过原点C.当0,0,0A B C =≠≠时,方程0Ax By C ++=表示的直线与 x 轴平行D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化3.已知设点M 是圆224690C x y x y +--+=上的动点，则点M 到直线240x y ++=距离的最小值为( )2 2- 2+ 2 4.已知直线1l ，2l 分别过点(1,3)P -，(2,1)Q -，若它们分别绕点P ，Q 旋转，但始终保持平行，则1l ，2l 之间的距离d 的取值范围为( )A.(0,5]B.(0,5)C.(0,)+∞D.5.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是( )A.[2,6]B.[4,8]C.D.6.已知直线:10l x ay +-=是圆22:6210C x y x y +--+=的对称轴,过点()1,A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则AB =( ) A.1B.2C.4D.87.已知点(2,0),(1,1)A B --，射线AP 与x 轴的正方向所成的角为π4，点Q 满足||1QB =，则||PQ 的最小值为( )1 B.1 C.1 18.（多选）已知直线12:210,:20l ax y a l x ay a --+=+--=,圆22:4240E x y x y +-+-=,则以下命题正确的是( )A.直线12,l l 均与圆E 不一定相交B.直线1l 被圆E 截得的弦长的最小值C.直线2l 被圆E 截得的弦长的最大值6D.若直线1l 与圆E 交于2,,A C l 与圆E 交于,B D ,则四边形ABCD 面积最大值为14 9. （多选）已知圆221:()1C x a y ++=，圆2222:()(2)2C x a y a a -+-=，下列说法正确的是( )A.若12C OC △（O 为坐标原点）的面积为2，则圆2C 的面积为2πB.若a ，则圆1C 与圆2C 外离C.若a ，则y x =1C 与圆2C 的一条公切线D.若a 1C 与圆2C 上两点间距离的最大值为610. （多选）已知直线11:0l ax y -+=，2:10l x ay ++=，a ∈R ，则下列结论中正确的是( )A.不论a 为何值，1l ，2l 都互相垂直B.当a 变化时，1l ，2l 分别经过定点(0,1)A 和(1,0)B -C.不论a 为何值，1l ，2l 都关于直线0x y +=对称D.若1l ，2l 相交于点M ，则MO11.过两直线10x +=0y +的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________________.12.圆221:2120C x y x ++-=与圆222:440C x y x y ++-=的交点为A ，B ，则弦AB 的长为_____.13.已知圆22:2410C x y x y ++-+=，若存在圆C 的弦AB ，使得AB =，且其中点M 在直线20x y k ++=上，则实数k 的取值范围是___________.14.已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B.（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以20,5E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.15.已知半圆224(0)x y y +=≥，动圆与此半圆相切（内切或外切，如图），且与x 轴相切.（1）求动圆圆心的轨迹方程，并画出其轨迹.（2）是否存在斜率为13的直线l ，它与（1）中所得的轨迹由左至右顺次交于A ，B ，C ，D 四点，且满足||2||AD BC =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：B解析：设圆心为()00,P x y ，半径为r ，圆与x 轴，y 轴都相切，00x y r ∴==，又圆经过点(2,1)，00x y r ∴==且()()2220021x y r -+-=，222(2)(1)r r r ∴-+-=，解得1r =或5r =.①1r =时，圆心(1,1)P ，则圆心到直线230x y --=的距离d ==②5r =时，圆心(5,5)P ，则圆心到直线230x y --=的距离d ==故选B. 2.答案：D解析：对于选项A,在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α,当90α≠︒时,直线的斜率k 存在,其方程可写成y kx b =+,它可变形为0kx y b -+=,与0Ax By C ++=比较,可得,1,A k B C b ==-=；当90α=︒时,直线的斜率不存在,其方程可写成1x x =,与0Ax B C ++=比较,可得11,0,A B C x ===-,显然,A B 不同时为0,所以此说法是正确的.对于选项B,当0C =时,方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0),即0Ax By +=,显然有000A B ⨯+⨯=,即直线过原点()0,0,故此说法正确.对于选项C,因为当0A =,0,0B C ≠≠时,方程0Ax By C ++=可化为Cy B=-,它表示的直线与x 轴平行,故此说法正确.D 说法显然错误. 3.答案：B解析：由题意可知圆心(2,3)C ，半径2r =，则点M 到直线240x y ++=距离的最小值min22d =-=-，故选B. 4.答案：A解析：易知两直线之间的最大距离为P ，Q 两点间的距离，由两点间的距离公式得||5PQ .故1l ，2l 之间的距离d 的取值范围为(0,5].5.答案：A解析：由圆22(2)2x y -+=可得圆心坐标为()2,0，半径r ABP △的面积记为S ，点P 到直线AB 的距离记为d ，则有1||2S AB d =⋅.易知||AB =max d ==，min d =26S ≤≤，故选A.6.答案：C解析：已知直线:10l x ay +-=是圆22:6210C x y x y +--+=的对称轴,圆心()3,1C ,半径3r =,所以直线l 过圆心()3,1C ,故310a +-=,故2a =-.所以点()1,2A --,||5AC =,||4AB ==.故选C.7.答案：A解析：因为||1QB =，所以点Q 在以点B 为圆心，1为半径的圆上，显然当射线AP 在x 轴的下方时||PQ 取得最小值，此时直线:20AP x y ++=，点B 到AP 的距离d ==所以||PQ 1，故选A. 8.答案：BCD解析：由题意,直线1:210l ax y a --+=,即(2)10a x y --+=.令20x -=,得2,1x y ==,即直线1l 过定点()2,1;直线2:20l x ay a +--=,即2(1)0x a y -+-=,令10y -=,得2,1x y ==,即直线2l 过定点()2,1,所以直线12,l l 过同一个定点()2,1,记为点M .圆22:4240E x y x y +-+-=可化为22(2)(1)9x y -++=,而点()2,1M 在圆E 内部,所以直线12,l l 均与圆E 相交,所以A 选项错误;对于直线1l ,当0a =时,直线1l 被圆E 截得的弦长最小,且最小值为所以B 选项正确;对于直线2l ,当0a =时,直线2l 被圆E 截得的弦长最大,且最大值恰好为圆E 的直径6,所以C 选项正确;又当0a ≠时,直线1l 的斜率为a ,直线2l 的斜率为1a-,即直线12l l ⊥.设圆心E 到直线12,l l 的距离分别为12,d d ,则12d d ==又22212||4d d EM +==,即22||||99444AC BD -+-=,所以22||||56AC BD +=,所以2211||||||||14222ABCDAC BD S AC BD +=⋅≤⨯=四边形,当且仅当||||AC BD ==,等号成立,故四边形ABCD 面积最大值为14,所以D 选项正确,故选BCD. 9.答案：BC解析：本题考查圆与圆的位置关系.依题意1(,0)C a -，2(,2)C a a ，圆1C 半径11r =，圆2C 半径2|r a =.对于选项A ，1221|||2|22C OC S a a a =-⋅==△，则a =2|2r a ==，则圆2C 的面积为22π4πr =，选项A 错误；对于选项B，12|C C a，121|r r a +=+，若圆1C 与圆2C 外离，则1212C C r r >+，即|1|a a >，得2a >或2a <，选项B 正确；对于选项C ，当a =时，1C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2C ⎝，121r r ==，1212|2C C a r r ===+，所以圆1C 与圆2C 外切，且121C C k =，所以两圆的公切线中有两条的斜率为1，设切线方程为0x y b -+=1=，解得2b =-或2b =，则一条切线方程为0x y -=，即y x =，选项C 正确；对于选项D，当a =1(C，2C ，11r =，22r =，12|4C C a ==，圆1C 与圆2C 上两点间距离的最大值为1247r r ++=，选项D 错误.故选BC.10.答案：ABD解析：因为110a a ⨯-⨯=，所以无论a 为何值，1l ，2l 都互相垂直，故A 正确；1l ，2l 分别经过定点(0,1)A 和(1,0)B -，故B 正确；1:10l ax y -+=关于直线0x y +=对称的直线方程为10ay x -++=，不是2:10l x ay ++=，故C 错误；由10,10,ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩解得221,11,1a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO =≤MO的最大值是D 正确.故选ABD.11.答案：12x =或10x +=解析：联立10,0,x y ⎧+=⎪+解得1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即两直线的交点为12⎛ ⎝⎭.当直线的斜率不存在时，12x =，到原点的距离等于12，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为12y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即220kx y k -+=.因为直线与原点的最短距离为12，所以12=，解得k =，所以所求直线的方程为10x +=，所以所求直线的方程为12x =或10x +=. 12.答案：解析：圆221:2120C x y x ++-=与圆222:440C x y x y ++-=联立可得：公共弦的方程为260x y -+=，222:440C x y x y ++-=变形为()()222:228C x y ++=-，故222:440C x y x y ++-=的圆心为()22,2C -，半径为，而()22,2C -满足260x y -+=，故弦AB 的长为圆2C 的直径，故弦AB的长为.故答案为：. 13.答案：k 解析：圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y ++-=，圆心(1,2)C -，半径2r =，由于弦AB满足||AB =M，则||1CM ，因此M 点在以(1,2)C -为圆心，1为半径的圆上，又点M 在直线20x y k ++=上，故直线20x y k ++=与圆22(1)(2)1x y ++-=1≤，解得k ≤14.答案：（1）见解析（2）当0t =时，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 解析：（1）证明：依题意，可设:AB y kx b =+，1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()()2212,B x y x x ≠.联立2,2,x y y kx b ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得2220x kx b --=. 2480k b ∆=+>，122x x k +=，122x x b =-.又直线DA 与抛物线相切，则2111122x x x t+=-，所以211210x tx --=，同理222210x tx --=. 所以1222k x x t =+=，1221b x x -=⋅=-，所以k t =，12b =，则直线1:2AB y tx =+，必过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭. （2）解法一：由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由21,22y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得2210x tx --=. 于是122x x t +=，()21212121y y t x x t +=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，||2EM =，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 解法二：设M 为线段AB 的中点，由（1）可知212,M t t ⎛+⎫ ⎪⎝⎭.所以()2,2EM t t =-，()2,FM t t =，又EM FM ⊥，则()2220t t t t ⋅+-⋅=，解得0t =或1t =或1t =-.当0t =时，||2EM =，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 15.答案：（1）见解析（2）不存在满足题意的直线l .理由见解析解析：（1）设动圆圆心(,)M x y ，作MN x ⊥轴于点N . ①若动圆与半圆外切，则||2||MO MN =+，2y +，两边平方得22244x y y y +=++，化简得211(0)4y x y =->. ②若动圆与半圆内切，则||2||MO MN =-，2y =-，两边平方得22244x y y y +=-+，化简得211(0)4y x y =-+>.综上，当动圆与半圆外切时，动圆圆心的轨迹方程为211(0)4y x y =->；当动圆与半圆内切时，动圆圆心的轨迹方程为211(0)4y x y =-+>. 动圆圆心的轨迹如图所示.（2）假设满足题意的直线l 存在，可设l 的方程为13y x b =+.依题意，可得直线l 与曲线211(0)4y x y =->交于A ，D 两点，与曲线211(0)4y x y =-+>交于B ，C 两点.由21,3114y x b y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩与21,311,4y x b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 整理可得23412120x x b ---=①与23412120x x b ++-=②. 设(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，(),D D D x y ，则43A D x x +=，12123A D b x x --=，43B C x x +=-，12123B C b x x -=.又||A D AD x =-，||B C BC x -，且||2||AD BC =，2A D B C x x x x ∴-=-，即()()22444A D A D B C B C x x x x x x x x ⎡⎤+-=+-⎣⎦，整理得2244(1212)44(1212)43333b b ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得23b =.将23b =代入方程①，得2A x =-，103D x =. 函数211(0)4y x y =->的定义域为(,2)(2,)-∞-+∞，∴假设不成立，即不存在满足题意的直线l .。

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第1讲直线与圆
高考定位考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.
真题感悟
1.(2020·全国Ⅲ卷)在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点.若AC →·BC
→＝1，则点C 的轨迹为( )
A.圆
B.椭圆
C.抛物线
D.直线
解析以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，
设点A ，B 分别为(－a ，0)，(a ，0)(a >0)，点C 为(x ，y )，则AC →＝(x ＋a ，y )，BC →＝
(x －a ，y )，所以AC →·BC →＝(x －a )(x ＋a )＋y ·y ＝x 2＋y 2－a 2＝1，整理得x 2＋y 2＝a 2＋
1.因此点C 的轨迹为圆.故选A.
答案 A
2.(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55
B.255
C.355
D.455
解析因为圆与两坐标轴都相切，且点(2，1)在圆上.所以可设圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0).则(2－a )2＋(1－a )2＝a 2，解之得a ＝1或a ＝5.所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|2×1－1－3|22＋（－1）2＝255。

第1讲 直线与圆