2017版高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第8节函数的模型及其综合应用模拟创新题理

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本

初等函数 第8节 函数的模型及其综合应用模拟创新题 理

一、选择题

1.(2016·湖北天门模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )

解析 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B. 答案 B

2.(2015·辽宁五校协作体模拟)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝1

2t 2米，那么，此人( )

A.可在7秒内追上汽车

B.可在9秒内追上汽车

C.不能追上汽车，但其间最近距离为14米

D.不能追上汽车，但其间最近距离为7米

解析 以汽车停止位置为参照，人所走过的位移为－25＋6t ，汽车在时间t 内的位移为s ＝12

t 2，故设相对位移为

y m ，则y ＝－25＋6t －12t 2＝－12

(t －6)2－7，故不能追上汽车，且当t ＝6时，其间最近距离为7米.故选D. 答案 D 二、填空题

3.(2016·陕西西安模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一. 解析 依题意有

a ·e －

b ×8＝

1

2a ，∴b ＝ln 2

8

， ∴y ＝a ·e －ln 2

8·t .若容器中只有开始时的八分之一，

则有a ·e －ln 28·t ＝1

8

a .

解得t ＝24，∴再经过的时间为24－8＝16 min. 答案 16 三、解答题

4.(2015·四川乐山模拟)某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x (百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足

r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5（0≤x ≤7），

13.5（x >7）.

假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？

解 依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )， 则f (x )＝r (x )－g (x )

所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5（0≤x ≤7）10.5－x （x >7）

(1)要使工厂盈利，则有f (x )>0， 因为f (x )>0⇒

⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2

＋6x －13.5>0，

或

⎩⎪⎨⎪⎧x >7，10.5－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27<0或

⎩

⎪⎨⎪⎧x >7，10.5－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，

3

所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内. (2)当37时，f (x )<10.5－7＝3.5. 所以当工厂生产600台产品时盈利最大.

创新导向题

一次函数模型的求解及应用

5.某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效，设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )

A.上午10：00

B.中午12：00

C.下午4：00

D.下午6：00

解析 当x ∈[0，4]时，设y ＝k 1x ，把(4，320)代入，得k 1＝80，∴y ＝80x .

当x ∈[4，20]时，设y ＝k 2x ＋b ，把(4，320)，(20，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2＋b ＝320，20k 2＋b ＝0，解得

⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，

b ＝400，

∴y ＝400－20x ，

∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ，0≤x ≤4，

400－20x ，4

由y ≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，80x ≥240，或⎩

⎪⎨⎪⎧4

400－20x ≥240，

解得3≤x ≤4或4

故第二次服药最迟应在当日下午4：00，故选C. 答案 C

专项提升测试 模拟精选题

一、选择题

6.(2016·四川成都模拟)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元.一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费S (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )

A.10元

B.20元

C.30元

D.40

3

元

解析 依题题可设S A (t )＝20＋kt ，S B (t )＝mt .

又S A (100)＝S B (100)，∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2，

于是S A (150)－S B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元，选A. 答案 A 二、填空题

7.(2016·山东日照模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次，每件利润增加2元.用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则获得利润最大时生产产品的档次是________.