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初二数学暑期学习计划

初二数学暑期学习计划篇一：初二数学暑假学习计划要点初二数学暑假学习计划要点09-08-21 16:59 来源：应用文写作网作者：佚名 [打印] [ 初二数学暑假学习计划要点如下：新课标数学教材在内容安排上有如下的特点：初一知识点多，初二难点多，初三考点多。

同时，新课标数学突出考查学生的“数学思维能力”和“数学应用能力”的考核。

因此，同学们在学习的过程中抛弃只做题不思考，一定要养成边学边练边想的习惯。

根据多年的教学经验，利用丰富的教研资源，编写了初二辅导班四个阶段的内部讲义。

讲义结合北师大版教材，进一步理顺知识框架结构；根据新课标要求适当扩充相关知识点、解题思路和解题方法，达到培养数学分析能力、解题能力，运用创新能力的目的。

讲课高屋建瓴、注重数学思维和方法的讲解，以“三七二十一思维定势法”、“三十六技”为主线，培养学生学数学用数学的意识来来学习数学，让学生达到醍醐灌顶的学习境界。

初二数学四个学习阶段环环相扣，结合整个讲义体系，暑假课程主要内容有如下：专题一、由三角形六大元素到全等的本质，探究直角三角形（三大定理）、等腰三角形（三线合一定理推广）专题二、由三角形全等到辅助线的作法，探讨共线、共点问题专题三、由平行四边形，学习定义法证明的经典思路，探讨三角形全等在初中几何中的地位专题四、从四边形一般化到特殊化，探讨数学定义在数学学习中的作用专题五、由三角形全等到多边形元素的探究，学习面积法、中位线法解题的技巧专题六、由a2+a到数与式、绝对值，学习恒等式的证明专题七、由勾股定理到二次根式，学习二次根式的计算专题八、由ax=b到方程解的实质，探究一元一次方程组的解专题九、由变量之间的关系，探究应变量的实质，学习一次函数专题十、从一次函数到数学建模思想的初步培养开放性、自主性学习的能力。

1篇二：八年级暑假学习计划暑期学习计划树立信心，努力坚持，别放弃，更不可半途而废。

1、早晨合理安排30分钟读一读英语，你要知道，外语基础呀。

初二数学暑期标准课全套讲义(教师版)-绝对经典

目录第一讲三角形 (2)1.1与三角形有关的线段 (2)1.2与三角形有关的角 (8)第二讲全等三角形的性质与判定 (22)2.1全等三角形的性质 (22)2.2全等三角形的判定 (23)2.3全等模型 (27)第三讲全等三角形常见的辅助线（一） (39)3.1角平分线 (39)3.2截长补短 (46)第四讲全等三角形常见的辅助线（二） (56)4.1倍长中线 (56)4.2全等其他辅助线 (58)第五讲轴对称 (72)5.1轴对称图形 (72)5.2垂直平分线 (75)5.3作轴对称图形 (77)5.4轴对称的坐标表示 (83)第六讲等腰三角形 (94)6.1等腰三角形的性质 (94)6.2等腰三角形的判定 (98)6.3等边三角形 (99)第七讲几何综合（一） (112)7.1倍长模型 (112)7.2截长补短 (118)7.3其他构造全等的方法 (122)第八讲几何综合（二） (131)8.1利用轴对称求最值——将军饮马问题 (131)8.2翻折问题 (138)8.3垂直平分线 (140)8.4三角形问题 (142)1入门检测:1.如图所示,已知△ABC ,试说明∠A+∠B+∠C=180°.【答案】略2.已知直线AB 和CD 相交于O 点,射线OE ⊥AB 于O ,射线OF ⊥CD 于O ,且∠BOF =25°,求∠AOC 与∠EOD 的度数.【答案】∠AOC=115°,∠DOE=155°(或∠AOC=65°,∠DOE=25°) 3.如图所示,已知AB∥CD ,试说明∠B+∥D+∥E =360°.【答案】略4.如图所示,已知AB,CD,EF 相交于O 点,AB∥CD,OG 平分∠AOE ,∠FOD =28°,求∠AOG 的度数.【答案】 59°5.如图所示,A,O,B 在一条直线上,OE 平分∠COB,OD∥OE 于O ,试说明OD 平分∠AOC .【答案】略B AECBADFE O G CBADE 1C A324D2第一讲三角形1.1与三角形有关的线段三角形的三边关系①三角形两边之和大于第三边 ②三角形两边之差小于第三边【例1】（1）下列长度的三条线段(单位：厘米)能组成三角形的是( )．A ．1,2,3.5B ．4,5,9C ．5,8,15D ．6,8, 9【答案】D【练习1.1】现有两根木棒,它们的长度分别为20cm 和30cm ,若不改变木棒的长度,要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取( )A .10cm 的木棒B .20cm 的木棒C .50cm 的木棒D .60cm 的木棒【答案】B三角形线段角度多边形3（2）已知三角形的两边长分别为5 cm 和8 cm ，则此三角形的第三边的长x 的取值范围是__________．【答案】3 cm<x<13 cm.【练习1.2】三角形的三边分别为3，1－2A ，8，则A 的取值范围是（） A ．－6＜A ＜－3 B ．－5＜A ＜－2 C ．2＜A ＜5 D ．A ＜－5或A ＞－2【答案】B ．（3）若a b c 、、表示ABC ∆的三边长,化简a b c b c a c a b--+--+--.【答案】a+b+c【练习 1.3】已知a b c 、、为ABC ∆的三边长,b c 、满足2(2)30b c -+-=,且a 为方程42x -=的解,求ABC ∆的周长,并判断ABC ∆的形状.【答案】ABC ∆的周长为7,且ABC ∆是等腰三角形.【例2】（1）如图，P 是△ABC 内一点，请想一个办法说明AB ＋AC ＞PB ＋PC ．【答案】延长BP 交AC 于D【练习2.1】如图所示,已知P 是△ABC 内一点,试说明1()2PA PB PC AB BC AC ++>++PCBA4【答案】略【练习2.2】如图，D ，E 是△ABC 内的两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC ．【答案】三角形的三线【例3】（1）如图，AE 是△ABC 的中线，EC ＝6，DE ＝2，则BD 的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【练习2.1】在△ABC 中,AB=AC ,AD 是中线,△ABC 的周长为34cm ,△ABD 的周长为30cm , 求AD 的长.5【答案】AD =13cm（2）如图，BM 是△ABC 的中线，若AB =5 cm ，BC =13cm ，那么△BCM 的周长与△ABM 的周长差是多少?【答案】8cm【练习3.2】如图，BD 是△ABC 的中线，若AB =8 cm ，AC =6 cm ，BC =6cm 则△ABD 与△BCD 的周长之差为__________.【答案】2 cm .（3）如图，△ABC 的边BC 上的高为AF ，AC 边上的高为BG ，中线为AC ，已知AF =6，BC =10,BG =5. (1)求△ABC 的面积；(2)求AC 的长；(3)说明△ABC 和△ACD 的面积的关系.【答案】(1) 30. (2) 12； (3)略【练习3.3】如图，在△ABC 中，AD ，BE 分别是边BC ，AC 上的高，试说明∠DAC 与∠EBC 的关系．【答案】略6（4）如图,(1)(2)和(3)中的三个三角形有什么不同？画出这三个ABC ∆三边上的高AD BE 、、,CF 并指出三条高线在各自三角形的什么位置？【答案】图(1)(2)(3)中的三角形分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；当ABC ∆是锐角三角形时,三边上的高都在三角形内；当ABC ∆是直角三角形时,三边上的高有两条是它的直角边,有一条在三角形内；当ABC ∆是钝角三角形时,三边上的高有两条在三角形外,有一条在三角形内【练习3.4】画△ABC 中AB 边上的高，下列画法中正确的是（）A B C D 【答案】C（5）如图,在ABC ∆中,2,3AC cm BC cm ==,ABC ∆的高AD 与BE 的比是多少?【答案】:2:3AD BE =【练习3.5】如图，AD 、CE 是△ABC 的两条高，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，CE ＝8cm ，则ADAABCBC(2)(1)(3)BCADE7的长（）．A .3 cmB .4 cmC .5 cmD . 6 cm【答案】B（6）如图,AD 是ABC 的角平分线,DE ∥AC,DE 交AB 于E,DF ∥AB,DF 交AC 于F ,图中∠1与∠2有什么关系?为什么?【答案】相等【练习3.6】如图，AD 是△ABC 的角平分线，过点D 作直线DF ∥BA ，交△ABC 的外角平分线AF 于点F ，DF 与AC 交于点E ．求证：DE=EF ．【答案】略A BCD E12CFEB3481.2与三角形有关的角三角形内角和定理【例4】(1)在△ABC 中，若∠A ＝80°，∠C ＝20°，则∠B ＝__________°；【答案】80°【练习4.1】若∠A ＝80°，∠B ＝∠C ，则∠C ＝__________°；【答案】50°(2)已知△ABC 的三个内角的度数之比∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶5，则∠B ＝__________°，∠C ＝__________°.【答案】∠B ＝54°，∠C ＝90°.【练习4.2】如果三角形三个外角度数之比为5:4:3，那么这个三角形一定是（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等腰三角形【答案】A(3)已知在△ABC 中，∠A ＝40°，∠B －∠C ＝40°，则∠B ＝__________，∠C ＝__________.【答案】∠B ＝90°，∠C ＝50°【练习4.3】在ABC ∆中，（1）C B A ∠=∠︒=∠,80，则=∠B _____________；（2）︒=∠-∠︒=∠-∠20,35A B C A ，则=∠B _____________；（3）︒=∠90C ，︒=∠30A ，则=∠B _____________. 【答案】（1）︒50 （2）︒85 （3）︒60(4)如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠C＝60°，求∠DAC 及∠BOA ．【答案】 ∠DAC ＝30°；∠BOA ＝120°．【练习4.4】如图，已知BD AB ⊥，CD AC ⊥，︒=∠40A ，则=∠D ______.【答案】40°三角形的外角【例5】(1)填空：(1)如图(1)，P 为△ABC 中BC 边的延长线上一点，∠A ＝50°，∠B ＝70°，则∠ACP ＝________°.(2)如图(2)所示，已知∠ABE ＝142°，∠C ＝72°，则∠A ＝__________°，∠ABC ＝__________°. (3)如图(3)，∠3＝120°，则∠1－∠2＝________°.【答案】 (1)120 (2)70 38 (3)60【练习5.1】一个三角形的一个外角是它相邻内角的1.5倍，是不相邻内角的3倍，求这个三角形的各内角.【答案】这个三角形的三个内角为︒36，︒72，︒72.(2)如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝__________.【答案】270°.【练习5.2】如图，已知︒=∠27A ，︒=∠96CBE ，︒=∠30C . 求ADE ∠的大小.【答案】︒=︒-︒=∠-∠=∠272754A DEC D .(3)如图，O 是△ABC 外一点，OB ，OC 分别平分△ABC 的外角∠CBE ，∠BCF ．若∠A ＝n °，试用含n 的代数式表示∠BOC ．【答案】.2190o on【练习5.3】如图，已知线段AD ，BC 相交于点Q ，DM 平分∠ADC ，BM 平分∠ABC ，且∠A ＝27°，∠M ＝33°，求∠C 的度数．【答案】39°．1.3多边形及其内角和多边形定义【例6】(1)三角形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．(2)四边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．(3)五边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．(4)n 边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．【答案】一个三角形有3个顶点，3个角，6个外角，从一个顶点能画出0条对角线，共有0条对角线；一个四边形有4个顶点，4个角，8个外角，从一个顶点能画出1条对角线，共有2条对角线；一个五边形有5个顶点，5个角，10个外角，从一个顶点能画出2条对角线，共有5条对角线；一个n 边形有n 个顶点，n 个角，2n 个外角，从一个顶点能画出(n －3)条对角线，共有n(n －3)2条对角线；【练习 6.1】(1)从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形．【答案】六边形．(2) 十边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线【答案】10个顶点，10个内角，20个外角，从一个顶点能画出7条对角线，共有35条对角线；多边形内角和与外角和【例7】（1）四边形的四个内角的度数的比是1：2：4：3，则最小的内角为_______度．【答案】36°【练习7.1】一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，该内角多少度？【答案】130°（2）已知一个多边形的每个内角都等于168°，求它的边数．【答案】30【练习7.2】一个多边形的内角和等于其外角和，这个多边形是________边形；【答案】四（3）证明：多边形外角和为360°【答案】略【练习7.3】一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.【答案】15（4）如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°【答案】360°【练习7.4】(1)已知：如图A，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝______．(2)已知：如图B，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝______．图A 图B【答案】(1)360°；(2)360°（5）如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【答案】360°【练习7.5】如图，在图A中，猜想：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝______°．请说明你猜想的理由．图A 图B如果把图A称为2环三角形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F；图B 称为2环四边形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H，则2环四边形的内角和为______°；2环五边形的内角和为______°；2环n边形的内角和为______°【答案】360；720；1080；2(n－2)×180．课后作业:1. 如图，已知在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=42°，∠C=84°，试求∠AEC，∠DAE．【答案】69°，21°2．如图所示，在△ABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线．分别交于D，P．（1）若∠A=30°，求∠BDC，∠BPC．（2）不论∠A为多少时，探索∠D+∠P的值是变化还是不变化？为什么？【答案】（1）∠BDC=105°，∠BPC=75°；（2）不变，∠D+∠P=180°3．（1）如图①所示，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？（2）如图②若把△ABC纸片沿DE点折叠当点A落在四边形BCED内部时，则∠A 与∠α+∠β之间有一种数量关系始终保持不变，请写出这个规律？并说明理由？【答案】（1）∠1+∠2=∠B+∠C（2）α+β=2∠A 4．请完成下面的说明:（1）如图①所示，△ABC的外角平分线交于G，试说明∠BGC=90°-12∠A．说明：根据三角形内角和等于180°，可知∠ABC+∠ACB=180°-∠_____．根据平角是180°，可知∠ABE+∠ACF=180°×2=360°，所以∠EBC+∠FCB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠_____）=180°+∠______．根据角平分线的意义，可知∠2+∠3=12（∠EBC+∠FCB）=12（180°+∠_____）=90°+12∠_______．所以∠BGC=180°-（∠2+∠3）=90°-∠____．（2）如图②所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC=90°+12∠A．（3）用（1），（2）的结论，你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗？①②【答案】（1）A A A A A A（2）略（3）互补．5. 如图所示，分别在三角形，四边形，五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪（图中阴影部分）．（1）图①中草坪的面积为_____;（2）图②中草坪的面积为_____;（3）图③中草坪的面积为_____;（4）如果多边形的边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为_____．【答案】（1）12πR2（2）πR2（3）32πR2（4）22n-πR26.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12 cm和15 cm两部分，求三角形的底边长．【答案】7 cm或11 cm.7.不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．【答案】5或4．8.若多边形所有内角与它的一个外角的和为600°，求这个多边形的边数及内角和．【答案】这个多边形的边数是5，内角和是540°.9.如图所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB＝__________.【答案】125°10.一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为2 670°，求这个多边形的边数和少加的内角的大小．【答案】边数是17.少加的内角是30°.11.如图(1)所示是小亮的爸爸带回家的一种零件示意图，它要求∠BDC ＝140°才合格，小明通过测量得∠A ＝90°，∠B ＝19°，∠C ＝40°后就下结论说此零件不合格，于是爸爸让小亮解释这是为什么呢？小亮很轻松地说出了原因，你能解释吗？【答案】∠BDC≠140°，故此零件不合格．12.已知△ABC 中，∠ABC 的n 等分线与∠ACB 的n 等分线相交于1G ，2G ，3G ，…，1G n -，试猜想：1n BG C -∠与∠A 的关系．(其中n ≥2且n 为整数)首先得到：当n ＝2时，如图1，1BG C ∠＝________；当n ＝3时，如图2，2BG C ∠＝________； ……猜想1n BG C -∠＝________．……图1 图2 图n －1【答案】当n ＝2时，;21901A C BG ∠+=∠当n ＝3时，;32602A C BG ∠+=∠ 猜想.1180o 1A nn n C BG n ∠-+=∠- 13.一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数．【答案】9入门检测：1.三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．无法确定【答案】1. B2.三角形的三边长分别为5，1+2x ，8，则x 的取值范围是．【答案】2. 1<x<63.如图，BD 平分∠ABC ，DA ⊥AB ，∠1=60°，∠BDC =80°，求∠C 的度数．【答案】3. 在△ABD 中，∵∠A =90°，∠1=60°， ∴∠ABD =90°-∠1=30°．∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD =∠ABD =30°．在△BDC 中，∠C =180°-（∠BDC +∠CBD ）=70°．4.如下图，ABC ∆中，点P 是CBD ∠与BCE ∠平分线的交点，说明P ∠与A ∠有怎样大小关系？【答案】4. 902AP ∠∠=︒-5.如图①，ABC △为等边三角形，面积为S ．111D E F ，，分别是ABC △三边上的点，且11112AD BE CF AB ===，连结111111D E E F F D ，，，可得111D E F △．（1）用S 表示11AD F △的面积1S =，111D E F △的面积'1S =；（2）当222D E F ，，分别是等边ABC △三边上的点，且22213AD BE CF AB ===时，如图②，按照上述思路探索下去，当n n n D E F ，，分别是等边ABC △三边上的点，且11n n n AD BE CF AB n ===+时（n 为正整数），n n AD F △的面积n S =，n n n D E F △的面积n S '= ．【答案】 5.根据同高的三角形的面积比是底的比求n n AD F △的面积，用ABC △的面积减去n n AD F △的面积的三倍求n n n D E F △的面积n S '(1)114S S =，114S S '= (2) 2(1)n n S S n =+，22121n n n S S n n -+'=++图②图①D 2E 2F 2F 1E 1D 1ABCCBA第二讲全等三角形的性质与判定2.1全等三角形的性质全等三角形的性质①全等三角形对应边相等 ②全等三角形对应角相等【例1】如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点BC D 与边上的N 点重合，如果，︒=∠==39,5,7DAM cm DM cm AD ，则=AN cm ，=NM cm ，=∠NAB .【答案】︒=∠︒=∠=∠====∆≅∆1239,5,7BAN DAM NAM cm DM NM cm AD AN ANM ADM ，得，全等三角形性质判定模型MDA NBC【练习1.1】如图，在长方形ABCD 中，将BCD ∆沿其对角线BD 翻折得到BED ∆，若︒=∠351，则=∠2 .【答案】︒352.2全等三角形的判定全等三角形判定方法1—“边边边”【例2】已知：如图，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：∠CAD ＝∠DBC .【答案】利用SSS 证ADB BCA ∆≅∆,得出C D ∠=∠,由三角形内角和得出结论.【练习2.1】.“三月三，放风筝”．如图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．【答案】利用SSS 证全等，得出角等.全等三角形判定方法2—“边角边”【例3】△ABC 是一个等边三角形，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且AD =CE ，BE 和CD 相交于P ，求∠BPD 的度数．【答案】根据题干条件：AC=BC ，∠A=∠ACB=60°，AD=CE ，可以判定△ABD ≌△BCE ，即可得到∠ACD=∠CBE ，又知∠BPD=∠EBC+∠DCB求出即可．【练习3.1】如图所示，已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．F DC BA【答案】由SSS 得ABE DCF ∆≅∆,C B ∴∠=∠,再由SAS 得AFB DEC ∆≅∆⏹ 全等三角形判定方法3—“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）【例4】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM .【答案】由“8”字型得出PMQ HNQ ∠=∠,根据ASA 得出PMQ HNQ ∆≅∆,进而得出结论.【练习4.1】已知如图，B 是CE 的中点，AD=BC ，AB=DC ．DE 交AB 于点F ，求证：（1）AD ∥BC （2）AF =BF ．【答案】由SSS 得出ABD CDB ∆≅∆,ADB CBD ∴∠=∠,由平行线判定得出结论（1），再由ASA 得出ADF BEF ∆≅∆,对应边相等.⏹ 全等三角形判定方法4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）【例5】如图，已知AC =CE ，∠1=∠2=∠3．（1）说明∠B =∠D 的理由；（2）说明AB =DE 的理由．【答案】全等三角形的判定与性质｡（1）由8字模型可得，△ADF 和△BCF 中∠B =∠D ；（2）由（1）知：∠B =∠D ， ∵∠2=∠3，∴∠DCE =∠ACB ， ∴△ABC ≌△EDC ，∴AB =DE （全等三角形的对应边相等）．【练习5.1】求证：两个角及第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．【答案】已知∠B =B '∠，∠C =∠C '，AD ，A D ''分别平分∠BAC ，B A C '''∠.求证：∆ABC ≌A B C '''∆证明：∵∠B =B '∠，∠C =∠C '， ∴∠BAC =B A C '''∠，∵AD ，A D ''分别平分∠BAC ，B A C '''∠， ∴∠BAD =B A D '''∠∵AD =A D ''，∠B =B '∠， ∴△ABD ≌A B D '''∆（AAS ）， ∴AB =A B ''，∵∠B =B '∠，AB =A B ''，∠BAC =B A C '''∠， ∴∆ABC ≌A B C '''∆（ASA ）．全等三角形判定方法5——“斜边、直角边”斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）【例6】已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF .求证：AB ∥DC .【答案】用HL 求证Rt △ADE ≌Rt △BCF ，利用全等三角形的性质，可证△ABF ≌△CDE 或△ABC ≌△CDA ,再由内错角相等两直线平行推出AB ∥CD ．【练习6.1】如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD =AF ，AC =AE ．求证：BC =BE ．【答案】证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD =AF ，AC =AE ， ∴Rt △ADC ≌Rt △AFE （HL ）． ∴CD =EF ． ∵AD =AF ，AB =AB ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ABF （HL ）． ∴BD =BF ． ∴BD -CD =BF -EF ．即BC =BE ．2.3全等模型手拉手模型【例7】如图，在直线AB 的同一侧作两个等边三角形ABD BCE ∆∆与，连接AE CD 与，证明：（1）△ABC ≌△DBC （2）AE CD =（3）AE CD 与之间的夹角为︒60 （4）△AGB ≌△DFB （5）△EGB ≌△FBC （6）GF AC ∥【答案】（1）AB =BD ，∠ABE =∠CBD ,BC =BE ，可得全等.（2）由（1）中全等可得.（3）由（1）中全等可得∠CAE =∠CDB ，在△ADH 中，∠DAH +∠ADH =120°，所以∠AHD =60°，问题得证.（4）由（1）中全等可得∠CAE =∠CDB ，因为AB =BD ，∠ABG =∠DBF =60°，可得全等.（5）证明方法同上一题.（6）连GF ，GBF 为等边，所以平行.【练习7.1】复习全等三角形的知识时，老师布置了一道作业题:“如图①,已知在ABC ∆中, ,AB AC P =是ABC ∆内任意一点,将AP 绕点A 顺时针旋转至,AQ 使QAP BAC ∠=∠，连接,BQ CP 、则=BQ CP .”小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图形①的分析,证明了,ABQ ACP ∆≅∆从而证得=BQ CP .之后,他将点P 移到等腰三角形ABC 之外,原题中其它条件不变,发现=BQ CP仍然成立,请你就图②给出自己的证明.图1 图2【答案】AQ=AP，∠QAB=∠P AC，AB=AC，可证△QAB≌△P AC，问题可证【练习7.1】如图,A、B、C在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点G，连接CD交BE于点F，连接GF得△BGF.（1）求证：△ABE≌△DBC;（2）试判断△BGF的形状，并说明理由.∴△ABE≌△DBC（SAS）（2）△BMN为等边三角形，理由为：证明：∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB又∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=60°即∠MBE=∠NBC=60°在△MBE和△NBC中，∵∠AEB=∠DCBEB=CB∠MBE=∠NBC∴△MBE≌△NBC（ASA）∴BM =BN ，∠MBE =60° 则△BMN 为等边三角形一线三等角模型【例8】在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 经过顶点C ，过A ，B 两点分别作l 的垂线AE ，BF ，垂足分别为E ，F .如图，当直线l 不与底边AB 相交时，求证：EF ＝AE ＋BF .【答案】（1）∵AE ⊥l ，BF ⊥l ，∴∠AEC ＝∠CFB ＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB ＝90°，∴∠2＋∠3＝90° ∴∠1＝∠3.∵在△ACE 和△CBF 中，13AEC CFBAC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△CBF （AAS ） ∴AE ＝CF ，CE ＝BF∵EF ＝CE ＋CF ，∴EF ＝AE ＋BF .【练习8.1】已知：如图,已知在△ABC 中,∠B =∠C =∠EDF ,D 为BC 上一点,BF =CD ,求证：DF =DE【答案】证明：∠BDF=∠CED，∠B=∠C，BF=CD，∴△BDF≌△CED∴DF=DE课后作业：1．如图，在△ABC 和△ADE 中，AC AB =，AE AD =，DAE BAC ∠=∠，点C 在DE上．求证：（1）△ABD ≌△ACE ；（2）ADC BDA ∠=∠．【答案】证明：（1）DAE BAC ∠=∠ ，DAC DAE DAC BAC ∠-∠=∠-∠∴.CAE BAD ∠=∠∴.在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD EAC BAD ACAB ∴ABD ∆≌ACE ∆.（2）ABD ∆≌ACE ∆.AEC ADB ∠=∠∴.AE AD = AEC ADC ∠=∠∴.ADC BDA ∠=∠∴.2．已知：如图，正方形ABCD ，E ，F 分别为DC ，BC 中点．求证：AE =AF ．【答案】证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴ AB =AD ，∠B =∠D =90°，DC =CB ． ∵E 、F 为DC 、BC 中点，∴DE =12DC ，BF =12BC ．∴DE =BF ． ∵在△ADE 和△ABF 中，B,,,AD AB D B DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ABF （SAS ）．∴AE =AF ．3．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，高线AD 和BE 交于点F .求证：CD ＝DF .【答案】证明： AD 、BE 是△ABC 的高线∴BC AD ⊥，AC BE ⊥∴︒=∠=∠90ADC ADB ,︒=∠90AEB∠ABC ＝45°∴△ADB 是等腰直角三角形∴BD AD = ︒=∠+∠9032, ︒=∠+∠9041,43∠=∠∴21∠=∠ ∴△BDF ≌△ADC (ASA ) ∴ CD ＝DF4．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．(1)求证：AE=CD ；(2)若AC =12cm ，求BD 的长．【答案】（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，BB∴∠DCB +∠D =∠DCB +∠AEC =90°．∴∠D =∠AEC ．又∵∠DBC =∠ECA =90°，且BC=CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE=CD ．（2）解：由（1）得AE=CD ，AC=BC ，∴△CDB ≌△AEC （HL ）， ∴BD=CE ，∵AE 是BC 边上的中线，∴BD=EC =12BC =12AC ，且AC =12cm ．∴BD =6cm ．5．如图，AB=AC ，∠BAC =90°，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，且BD ＞CE ．求证：BD=EC+ED ．【答案】证明：∵∠BAC =90°，CE ⊥AE ，BD ⊥AE ，∴∠ABD +∠BAD =90°，∠BAD +∠DAC =90°，∠ADB =∠AEC =90°．∴∠ABD =∠DAC ．∵在△ABD 和△CAE 中ABD EACBDA E AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE （AAS ）．∴BD=AE ，EC=AD ． ∵AE=AD+DE ，∴BD=EC+ED ．6．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等边三角形，AD 、BE 相交于点O ，点M N 、分别是线段,AD BE 的中点．(1)求证：AD BE =；(2)求证：MNC ∆是等边三角形．【答案】（1）证明全等（2）根据全等和中线得出MC NC =,且ACM BCN ∠=∠，则60MCN ∠=︒，从而证明MNC ∆是等边三角形7．已知：ABC ∆中,8AB AC ==，,BD EC DEF B =∠=∠, 5BE = ,求AF 的长．【答案】证明：58,3,,AB AC B CDEF B BDE CEFB C BDE CEF BE CF AC AF CEF BD EC BDE =∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∠=∠=∴∆∆∴===∴=≌又B入门检测：1．如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为．【答案】1. 80°2．如图所示，A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE=CF ，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，若AB=CD ，可以得到BD 平分EF ，为什么？说明理由．【答案】2.提示：根据HL 证明△ABF ≌△CDE ，得到DE =BF ，然后根据AAS 证明△DEG ≌△BFG 即可3．如图，已知ABE △和ACF △，AB =AE ，AF =AC ，∠EAB =∠F AC =90°．CE 和BF 相交于O ．求证：BF CE ．【答案】3.提示：拉手模型：根据SAS证明△AEC≌△ABF，得到∠ABF=∠AEC，从而得证∠BEO+∠OBE=∠BEO+∠AEO+∠EBA=∠AEB=∠ABE=90°，可得∠EOB=90°，从而得CE .（推导∠EOB=90°可有多种证法）到BF4．已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，求线段BH的长度.【答案】4.提示：∠ABC=45°可得AD=BD，由三角形内角和可得∠DBH=∠DAC，从而可证△BDH≌△ADC，可得BH=AC=4.5. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为.【答案】5.提示：根据条件可证得△ACF≌△BAE，故△ACF与△BDE的面积之和为△ABD 的面积，根据“等高的三角形面积比等于底的比”可得△ABD的面积=539第三讲全等三角形常见的辅助线（一）3.1角平分线辅助线（1）--双垂型角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. 双垂型的几何模型：全等三角形常见的辅助线（一）角平分线截长补短双垂型单垂型全等型平行型截长补短40【例1】△ABC 中，∠C =90°，AD 为角平分线，BC =64，BD ∶DC =9∶7,求D 到AB 的距离..【练习1.1】已知：如图，P A 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线．【答案】过P 作PE ⊥AC 于E ．∵P A ，PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD ⊥BM ，PF ⊥BN ∴PD =PE ，PF =PE ,∴PD =PF又∵PD ⊥BM ，PF ⊥BN ,∴点P 在∠MBN 的平分线上，即BP 是∠MBN 的平分线．41【例2】已知，如图，AC 平分∠BAD ，CD =CB ，AB >AD ．求证:∠B +∠D =180°．【答案】因为C 在角平分线上，所以可以根据辅助线一作角两边的垂线，证明全等，然后利用邻补角的性质证明结论.【练习2.1】．已知：ABC △的角平分线BM ，CN 相交于P ．求证：点P 到ABC △三边AB ，BC ，CA 的距离相等．【答案】作PD AB ⊥，PE BC ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为D ，E ，F ． ∵BM ，CN 是ABC △的角平分线(如图)， ∴PD PE =，PE PF =．∴PD PE PF ==，即点P 到ABC △三边AB ，BC ，CA 的距离相等．ACDPAB C图A BC DEM N P F辅助线（2）——单垂型【例3】如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过点C的直线于E.求证：BD=2CE.【答案】延长CE、BA交于点F,这样就在BD两侧出现全等三角形，从而得到CF=BD，再证明CF=BD即可.【练习3.1】如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED= .【答案】126°4243【练习3.2】已知：90A ∠=︒，AB AC =，CE BD ⊥交BD 的延长线于E ，2BD CE =. 求证：BD 平分ABC ∠.【答案】提示：延长CE 、BA 交于点F ,可证△ABD ≌△FCA ，得到CE =EF ，再根据SAS 证明△FBE ≌△CBE 即可辅助线（3）——全等型根据角平分线的尺规作图可知，角两边上有以角的顶点为端点的两条相等的线段时，则连接这两条线段的另一个端点与角平分线上的任何一点，可在角平线两侧出现全等三角形.全等型的几何模型：【例4】如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系并证明；（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【答案】（1）猜想FE =FD ；在AC 上截取AG =AE ，连接FG ，可证△AEF ≌AGF ，从而得OP AMNE B CDF ACE F BD图①图② 图③44到EF =GF 且∠AEF =∠AGF =105°，从而得∠FGC =75°，又因为∠FDC =75°，得∠FGC =∠FDC ，然后根据AAS 得证△GCF ≌DCF ,∴FE =FD ．（2）在AC 上截取AG =AE ，连接FG ，可证△AEF ≌AGF ，从而得到EF =GF ，根据三角形的内角和定理求出∠AFC =120°，则∠AFE =∠AFG =∠DFC =60° 然后根据AAS 得证△GCF ≌DCF ,即FE =FD ．【练习4.1】如图所示：AM ∥DN ，AE 、DE 分别平分∠MAD 和∠AND ，并交于E 点．过点E 的直线分别交AM 、DN 于B 、C ．（1）如图，当点B 、C 分别位于点AD 的同侧时，猜想BE 、CE 之间的数量关系并证明．（2）若点B 、C 分别位于点AD 的两侧时，（1）中的结论还成立吗？画图并写出证明过程．【答案】（1）BE =CE在AD 上作AF =AB ，连接EF 根据SAS 可证△ABE ≌△AFE ，从而得到BE =EF ，∠ABE =∠AFE ,由平行线的同旁内角互补及邻补角可知∠EFD =∠ECD ,根据AAS 可证△EFD ≌△ECD ，可得CE =EF ，等量代换得证BE =CE .（2）成立.提示：如图在AB 上作AF =AD ,根据SAS 可证△AFE ≌△ADE ，从而得到EF =ED ，根据平行线内错角相等及对顶角相等，可根据AAS 可证△BEF ≌△CED ,得到BE =CE .【练习4.2】P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC >AB ，求证：PC -PB <AC -AB ．45【答案】在AC 上作AE =AB ，连接PE ，可证得PE =BP ，则在△EPC 中利用三边关系即可.辅助线（4）--平行型等腰三角形知识先知：等边对等角，等角对等边. 平行型的几何模型：【例题5】已知：ABC △的角平分线BM ，CN 相交于P ，连结AP ，求证：AB +AC >2AP .【答案】过P 作BC 的平行线，交AB 、AC 于D ,E 两点，根据等角对等边得到边的关系，然后再利用三角形三边关系及不等式的性质得出题证结论.【练习5.1】已知：在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：BE CD 21． ABCPP D ACB46【答案】过点D 作DF ∥AB ，交BC 于F ，可证得DF =BF ，DF =DC ,再根据∠BDF +∠EDF =90°，∠DBF +∠BED =90°，可得DF =EF ，从而得到BE CD 21=.3.2截长补短截长补短【例6】如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC =AC +CD ．【答案】方法一：延长BA ，并取BM =BC ,连接MD . 证明△BDC ≌△BDM ，推得36,BCD BMD CD DM ∠=∠==根据三角形的内角和可得：72MAD DMA ∠=∠=， ∴MA =MD ∴BC =AC +CD ．方法二：在BC 上截取BM =BA,连接MD . 证明△BDA ≌△BDM ，推得根据三角形的内角和可得：72CMD CDM ∠=∠=，BAB CD∴CD=CM∴BC=AC+CD．【练习6.1】△ABC中，AB=AC=BC=1，△BDC中，∠BDC=120°，且BD=CD.以D为顶点作∠MDN=60°，点M、N分别在AB、AC上，求△AMN的周长.【答案】延长AC到E，使CE=BM，连接DE，求证△BMD≌△CDE可得∠BDM=∠CDE，进而求证△MDN≌△EDN可得MN=NE=NC+CE=NC+BM，即可计算△AMN周长，即可解题．【练习6.2】如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC．求证：BC=BD+AD．【答案】在BC上截取BE=BA，延长BD到F使BF=BC，连接DE、CF．易证：△ABD≌△EBD∴∠DEB=∠A=100°，则得∠DEC=80°48∴BC =BF =BD +DF =BD +AD【例7】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且∠ABC +∠ADC =180°．求证：1()2AE AB AD =+．【答案】可以在AB 上截长，也在AD 上可以补短，也可以过C 作AD 的垂线.详析方法一：在AB 上截取AM =AD ，连接CM ．利用SAS 证ADC AMC ∆≅∆,得出ADC AMC ∠=∠,利用AAS 可得CEM CEB ∆≅∆，根据线段之间的关系即可.【练习7.1】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且1()2AE AB AD =+．求∠ABC +∠ADC 的度数．【答案】可以在AB 上截长，也在AD 上可以补短，也可以过C 作AD 的垂线.详析方法一：在AB 上截取AM =AD ，连接CM ．利用SAS 证ADC AMC ∆≅∆,得出ADC AMC ∠=∠,利用SAS 可得CEM CEB ∆≅∆，得出CME CBE ∠=∠即可.【例8】已知，AB =AC ，底边BC 上任一点P ，过点P 向AB ,AC 分别作垂线，交AB 于M ，AC 于N ．求证：PM +PN =CG ．。

苏科版初二数学暑假乐园(2011年)参考答案

《初二数学暑假乐园》参考答案《暑假乐园》（1）1、C2、C3、B4、C5、606、直角7、38、40或259、27 10、由△ABF ≌△ACE 得到∠AFB=∠AEC 得到AF=AE 11、∠PAQ=40 12、AP=BQ 13、（1）在等边三角形ACM 中，AC=CM ∠ACM=60 所以∠MCB=120。

在等边三角形NCB 中，BC=CN ∠NCB=60 所以∠ACN=120 在△ACN 与△MCB 中 AC=CM ∠ACN =∠MCB CN=BC 所以△ACN ≌△MCB 所以AN=BM （2）如图，（3）在△BCM ’与△NCA ’中，M ’C ’=C ’A ’ ∠BCM ’=∠NCA ’=60 BC=CN 所以△BCM ’ ≌与△NCA ’ 所以BM ’=A ’N 即AN=BM(4) 因为∠MCA=∠NBA 所以MC ∥NB 即MM ’ ∥ND 所以 ∠MM ’A=∠NDA 所以∠CAM ’=∠MM ’A 所以∠CAM ’=∠NDA 所以BA=BD 即三角形ABD 为等腰三角形《暑假乐园》（2）1、D2、C3、D4、D5、A6、B7、D8、PO 平分∠AOB9、1110、110度 11、4.8 12、22.5 13、72度 14、32π 15、易得∠ADB=180-108=72=∠B 可知AB=AD 16、易得△BDO=△ECO 可知∠DBO=∠ECO ，所以∠DBO+∠DBC=∠ECO+∠OCB ，即∠ABC=∠ACB 所以AB=AC17、易得△ABD=△CDE 可知BD=DE ，即DBE 为等腰三角形《暑假乐园》（3）1、C2、B3、C4、C5、606、2∠1=27、28、略9、△ACE 为等腰三角形 10、OA=OC=BD 21，所以 ∠OAC=∠OCA11、不存在《暑假乐园》（4）1-6、√√×××√ 7、C 8、B 9、6 10、6 11、略12、易得△AFE ≌△DFE （SAS ）所以∠FAE=∠FAE ，又因为∠FAE=∠CAF+∠CAD ，∠FDE=∠B+∠BAD 又因为AD 为∠BAC 的平分线所以∠BAD=∠CAD ，所以∠CAF=∠B13、提示：连接AP ，证明△APF ≌△BPF （ASA ）得到PF=PE ，所以△EPF 为等腰三角形 14、（1）由旋转可知：∠BCO=∠ACD ，所以∠OCD=∠OCA+∠BOC=∠OCA+∠ACD=60，切OC=OD ，所以△OCD 为等边三角形。

初二数学暑假功课(十四)含解析.doc

初二数学暑假功课(十四)含解析【一】选一选，看完四个选项再做决定！〔每题5分，共25分〕1、假设三角形中相等旳两边长为10cm,第三边长为16cm,那么第三边上旳高为(D)A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm2、如图，正方形网格中旳△ABC ，假设小方格边长为1，那么△ABC 是〔A 〕A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、以上【答案】都不对3、将直角三角形旳三条边长同时扩大同一倍数,得到旳三角形是(C)A.钝角三角形;B.锐角三角形;C.直角三角形;D.等腰三角形.4、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，28，现将他们摆成一个三角形，其中正确旳选项是〔A 〕A.7,15,20B.7,15,24C.7,15,28D.7,20,285、假如△ABC 旳三边a 、b 、c 满足222()()a b a b c -+-＝0，那么△ABC 一定是〔D 〕 A 、等腰直角三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、等腰三角形或直角三角形想好了再作答哦！【二】填一填，要相信自己旳能力！〔每题5分，共25分〕1、，如图中字母B 、M 分别代表旳正方形旳面积分别为﹏﹏﹏144﹏﹏﹏、﹏﹏﹏﹏30﹏﹏﹏﹏。

B16925M75452、(1)直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm 和10cm.那么斜边上旳高等于﹏﹏﹏﹏4﹏﹏﹏﹏cm.(2)等腰三角形旳周长是20cm,底边上旳高是6cm,那么底边旳长为﹏﹏﹏﹏﹏8﹏﹏﹏﹏cm.3、在一棵树旳10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处旳池塘旳A 处；另一只爬到树顶D 后直截了当跃到A 处，距离以直线计算，假如两只猴子所通过旳距离相等，这棵树高﹏﹏﹏﹏﹏﹏15﹏﹏﹏﹏﹏米。

DC A B A DCB4、假设△ABC 旳三边长分别1x +、2x +、3x +，要使得此三角形为直角三角形，那么x 等于﹏﹏﹏2﹏﹏﹏。

5、如图是一块农家菜地旳平面图，其中AD ＝4m ，CD ＝3m ，AB ＝13m ，BC ＝12m ，∠ADC ＝90°，那么这块地旳面积为﹏﹏﹏﹏24﹏﹏﹏﹏2m 是时候展现自己了！【三】做一做，要注意认真审题！〔每题10分，共30分〕1.以下说法正确旳选项是〔D 〕A.假设a 、b 、c 是△ABC 旳三边，那么a 2＋b 2＝c 2B.假设a 、b 、c 是Rt △ABC 旳三边，那么a 2＋b 2＝c 2C.假设a 、b 、c 是Rt △ABC 旳三边， 90=∠A ，那么a 2＋b 2＝c 2D.假设a 、b 、c 是Rt △ABC 旳三边， 90=∠C ，那么a 2＋b 2＝c 22.△ABC 旳三条边长分别是a 、b 、c ，那么以下各式成立旳是〔B 〕A 、c b a =+ B.c b a >+ C.c b a <+ D.222c b a =+3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，以下说法正确旳选项是〔C 〕A 、斜边长为25B 、三角形周长为25C 、斜边长为5D 、三角形面积为20【四】探究创新，相信你能做到！〔每题10分，共20分〕1、如图，∠ACB ＝45°，BC ＝2，把△ABC 沿直线AC 折叠过去，点B 落在点B ’旳位置上，那么 BB ’=2。

初二暑假预科

第一讲三角形1、三角形的基本概念类比猜一猜四边形的定义。

三角形和四边形的稳定性。

重点题型：复杂图形中数三角形的个数。

三角形的定义。

三角形是（）A．连接任意三点组成的图形B．由三条线段所组成的图形C．由三条线段首尾顺次相接组成的图形D．以上说法均不对⑤三角形分类：按边分，可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形。

按角分，可分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。

如下表：注意：每个三角形中至少有两个锐角，至多有一个钝角或直角。

三角形的三个内角中，最大的一个是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角形或钝角三角形)。

判断题：有一个角是直角的三角形叫直角三角形。

有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。

有一个角是锐角的三角形叫锐角三角形。

例2：如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是( )A. 三角形的稳定性B. 两点之间线段最短C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短2、三角形的角内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，同一个三角形中，大边对大角。

外角：三角形的一边与另一边的(反向)延长线所组成的角叫做三角形的外角。

什么叫直角、锐角、钝角？三角形的边c b a 、、和C B A ∠∠∠、、的对应关系。

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

（如何证明？初步思路引导。

）三角形的外角：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，每个内角有两个邻补角。

因此，三角形有六个外角，其中三个与另外三个相等，每个顶点有两个外角是相等的。

外角和？（三个角还是六个角？）例2：如图，在△ABC中，∠A = 90°，BD为∠ABC的平分线交AC于D，DE⊥BC，E 是BC的中点，求∠C的度数。

思考题：如图，在△ABC中，∠B = ∠C，D在BC上，∠BAD = 50°，在AC上取一点E，使得∠ADE = ∠AED，求∠EDC的度数。

角的思路总结：1、三个内角和180°；2、平角为180°；3、外角等于不相邻的两个内角和例5:⑴在∆ABC中，若∠A：∠B：∠C = 2：2：1，则∠A = ____，∠C = ____。

人教版八年级数学暑假预习班讲义

买玻璃漫画释义满分晋级知识互联网1全等三角形的认识三角形4级全等三角形的认识三角形5级全等中的基本模型三角形6级特殊三角形之等腰三角形暑期班第一讲暑期班第二讲暑期班第四讲一、概念全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．对应顶点：完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点．对应角：完全重合时，互相重合的角为对应角．对应边：完全重合时，互相重合的边为对应边．如图，若ABC △与A B C '''△全等，记作“ABC A B C '''△≌△”，其中顶点A 、B 、C 分别与顶点A '、B '、C '对应．注意：寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规律是：⑴把其中一个图形通过平移、翻折或旋转，能与另一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，表示两个三角形全等时，要把对应字母写在对应位置上． ⑵有公共边时，则公共边为对应边；有公共角时，则公共角为对应角（对顶角为对应角）；最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角．二、全等三角形的性质⑴全等三角形的对应边相等； ⑵全等三角形的对应角相等；⑶全等三角形的周长相等，面积相等．模块一全等三角形的概念和性质知识导航CBA C'B'A'【例1】 ⑴ 如果ABC DEF △≌△，则AB 的对应边是_______，AC 的对应边是_______ ，C ∠的对应角是_______ ，DEF ∠的对应角是__________．两个三角形的周长ABC C △______DEF C △，两个三角形的面积ABC S △_____DEF S △（填“>”、“=”、“<”）．⑵ 如图，若ABC AEF △≌△，AB AE =，B E ∠=∠，则对应结论①AC AF =；②FAB EAB ∠=∠；③EF BC =； ④EAB FAC ∠=∠中正确结论共有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个⑶如图所示，若△ABE ≌△ACF ，且AB =5，AE =3，则EC 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．2.5【例2】如图，已知ABC ADE △≌△，且10CAD ∠=︒，25B ∠=︒，120EAB ∠=︒，求D F B∠的度数.模块二全等三角形的判断夯实基础能力提升FE CBAF GE DC BA FE CA全等三角形的判定方法：⑴如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS ． ⑵如果两个三角形的两边及这两边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS ．⑶如果两个三角形的两个角及这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA ．⑷如果两个三角形的两个角及其中的一个角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS ．⑸如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为HL ．特殊：直角三角形中，除以上几种方法外还可选用斜边直角边“HL ”．1. 全等三角形的判定（一）——SSS尺规作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC B'C'BC ===，，．并判断A B C '''△和ABC △C BA知识导航夯实基础知识导航【引例】已知：如图，AB DE AC DF BE CF ===，，．求证：AC DF ∥．分析：要证AC DF ∥，需证ACB DFE ∠=∠，只要证__________≌___________．证明：∵BE CF =（）∴BE EC CF EC +=+（）即BC =_____．在ABC △和DEF △中，()()()__________________AB BC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴__________≌___________（）∴ACB DFE ∠=∠（）∴AC DF ∥（）【解析】分析：只要证ABC DEF △≌△．证明：∵BE CF =（已知）∴BE EC CF EC +=+（等量加等量和相等）即BC EF =．在ABC △和DEF △中， AB DEBC EFAC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴ABC DEF △≌△（SSS ）．∴ACB DFE ∠=∠（全等三角形的对应角相等）．∴AC DF ∥（同位角相等，两直线平行）【例3】已知：如图，A 、F 、C 、D 四点在同一直线上，AB =DE ，BF =EC ，AC =DF ．⑴求证：AB ∥DE ；⑵又知∠D =30°，∠DEC =15°，求∠CFB 的度数．能力提升DBAA D FCBE2. 全等三角形的判定（二）——SAS尺规作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC A'A ==∠=∠，，．并判断A B C '''△和ABC △C BA【例4】如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90º，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC ． ⑴求证：△ABE ≌△CBD ； ⑵若∠CAE=30º，求∠BCD 的度数．3. 全等三角形的判定（三）——ASA &AAS尺规作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使B'C'BC B'B C'C =∠=∠∠=∠，，．并判断A B C '''△和ABC △是否全等．C BA知识导航能力提升知识导航ECDB A思考：若将C'C ∠=∠改成A'A ∠=∠呢？画出的A'B'C'△和ABC △全等吗？【例5】已知，如图，点D 在边BC 上，点E 在△ABC 外部，DE 交AC 于F ，若AD =AB ，∠1=∠2=∠3．求证：BC=DE ．4. 全等三角形的判定（四）——HL尺规作图：已知Rt ABC △，画一个Rt A B C '''△，使B'C'BC A'B'AB ==，．并判断A B C '''△和ABC △是否全等．C B A【例6】已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC =DC ，求证：BE =DF ．能力提升知识导航能力提升321F E D CBA F EDCBA【例7】如图所示为我国边境线上某界河，其中A 点在境外，我国地质勘探人员在不跨越国界的情况下要测量河两岸相对的两点A 、B 间的距离，请你给出解决方案并加以证明．【例8】如图所示，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，⑴你能找出图中的全等三角形吗？如果再加上AB AC =呢？⑵在⑴的基础上，连接EF 交AD 于M ，你能找出图中的全等三角形吗？ ⑶在⑵的基础上，当∠BAC =90︒时，你能找出图中的全等三角形吗？能力提升探索创新模块三全等三角形判定的应用AFE DCBA训练1. 已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB DC ∥，AB DC =．⑴ 求证：AC 与BD 互相平分； ⑵ 若过O 点作直线l ，分别交AB DC 、于E F 、两点，求证：OE OF =．训练2. 如右图所示，AB CD ∥，AC DB ∥，AB CD =，AD 与BC 交于O ，AE BC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，那么图中全等的三角形有哪几对？并简单说明理由．训练3. 请分别按给出的条件画ABC △（不写画法），并说明所作的三角形是否唯一；如果有不唯一的，想一想，为什么？⑴ 1202cm 4cm B AB AC ∠=︒==，，；⑵ 902cm 3cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑶ 302cm 3cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑷ 302cm 2cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑸ 302cm 1cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑹ 302cm 1.5cm B AB AC ∠=︒==，，；训练4. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？⑴ 请你画图举例说明两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不全等； ⑵ 阅读与证明：对于两个三角形均为锐角三角形，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形它们全等. 可证明如下：已知：ABC △、111A B C △均为锐角三角形，11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠．求证：111ABC A B C △≌△．（先把文字语言转化成符号语言）证明：分别过点B ，1B 作BD AC ⊥于D ，1111B D AC ⊥于1D ，则思维拓展训练(选讲)AF E O D C Bl OF EDCB A11190BDC B D C ∠=∠=︒，（如果需要添加辅助线，先说明辅助线做法） DCBAD 1C 1B 1A 1∵在BCD △和111B C D △中，11111190BDC B D C C C BC B C∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴111()BCD B C D AAS △≌△∴11BD B D =∵在ADB △和111A D B △中，111111190BD B D AB A B ADB A D B =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴ 111()ADB A D B HL △≌△，∴ 1A A ∠=∠， ∵在ABC △和111A B C △中，1111A A C C BC B C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ 111()ABC A B C AAS △≌△．对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等你们来试试吧！ ⑶归纳与叙述：由⑴、⑵可得到一个正确结论，请你写出这个结论．题型一全等三角形的概念和性质巩固练习【练习1】 ① 判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别． ② 两个三角形具备下列（）条件，则它们一定全等． A ．两边和其中一边的对角对应相等 B ．三个角对应相等C ．两角和一组对应边相等D ．两边及第三边上的高对应相等 ③ 下列命题错误的是（）A ．全等三角形对应边上的高相等B ．全等三角形对应边上的中线相等C ．全等三角形对应角的角平分线相等D ．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等【练习2】如图，在ABC △中，D E 、分别是边AC BC 、上的点，若ADB EDB EDC △≌△≌△，则C ∠的度数为______________．题型二全等三角形的判定巩固练习【练习3】已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =．求证：AC CD =．【练习4】如图所示，已知AC BC ⊥，AD BD ⊥，AD BC =，CE AB ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，试证明CE DF =．实战演练FE D CBAA CEDBDC BA题型三全等三角形判定的应用巩固练习【练习5】 ⑴如图，AB CD =，AD 、BC 相交于点O ，要使ABO DCO △≌△，应添加的条件为．(添加一个条件即可)⑵在ABC △和A B C '''△中，AB A B ''=，B B '∠=∠，补充条件后仍不一定能保证ABC A B C '''△≌△，则补充的这个条件是( )A ．BCBC ''= B ．A A '∠=∠ C ．AC A C ''=D ．C C '∠=∠O DCBA第十五种品格：创新想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉.严格地说，想象力是科学研究的实在因素.所以创新是时代的必须，也是所有人快速进步的必要手段.【创新的三个层次】一、处处是创造之处，人人是创造之人；二、敢想敢做，有付出定会有收获；三、坚持敢于创新的理念，持之以恒，追求奋斗，终会辉煌.钓鱼钓出食品冷冻法1940年，美国皮革商巴察在出售了自己的食品冷冻法专利后得到了3000万美元.这笔财富的获得完全得益于他的钓鱼爱好.巴察经常去纽芬兰海岸，在结了冰的海上凿洞钓鱼.从海水中钓起的鱼放在冰上立即被冻得硬梆梆的.当几天后食用这些冻鱼时，巴察发现只要鱼身上的冰不溶化，鱼味就不变.根据这一发现，巴察着手试验将肉和蔬菜冰冻起来.他高兴地发现，只要把肉和蔬菜冻得像那些鱼一样，就能保持新鲜.经过反复试验，他进一步发现：冰冻的速度和方法不同，会影响食品冰冻后的味道和保鲜程度.经过几个月废寝忘食的摸索，巴察为他发明的食物冰冻法申请了专利.由于这是一种具有极大潜力和应用范围的新技术，所以找上门来的人很多.巴察待价而沽，最终，通用食品公司以3000万美元的巨款把这项专利拿到了手.处处留心自己身边的机会，锲而不舍地加以探究，便会开发出新的财富.爸爸怎么样啦？漫画释义满分晋级知识互联网2全等中的基本模型三角形5级全等中的基本模型三角形6级特殊三角形之等腰三角形三角形7级倍长中线与截长补短暑期班第二讲暑期班第四讲秋季班第二讲把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =．求证：CF DE = 【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥∴90ACE BDF ∠=∠=︒ 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BDAE BF =⎧⎨=⎩模块一平移型全等知识导航夯实基础FEDC BA∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE =【例1】如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF =求证：AFC DEB △≌△如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．图1F EDC BA图2FE D(C )B A图3FEDCB A常见轴对称模型知识导航模块二对称型全等能力提升【例2】⑴如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中全等直角三角形的对数为（）A.3对B.4对C.5对D.6对⑵如图，ABE△和ADC△是ABC△分别沿着AB，AC翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________．【例3】如图，AB AC=，D、E分别是AB、AC的中点，AM CD⊥于M，AN BE⊥于N．求证：AM AN=．常见旋转模型：夯实基础能力提升知识导航模块三旋转型全等EDNMCBA4321EDCBADOFECBA【引例】如图，在ABC △中，::3:5:10A B ACB ∠∠∠=，若将ACB△绕点C 逆时针旋转，使旋转后的A B C ''△中的顶点B '在原三角形的边AC 的延长线上时，求BCA '∠的度数．【解析】 ∵::3:5:10A B ACB ∠∠∠=∴1018010018ACB ∠=︒⨯=︒∵由ACB △绕点C 旋转得到A'B'C △ ∴100A'CB'∠=︒∵180ACB A'CB'BCA'∠+∠-∠=︒ ∴100218020BCA'∠=︒⨯-︒=︒【教师铺垫】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：⑴AN BM =； ⑵60MFA ∠=； ⑶DEC △为等边三角形； ⑷DE AB ∥.【例4】如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M 、N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．⑴当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；⑵当把△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．图2图3图1MNMN N MA BCDE ABC D E ABC ED能力提升夯实基础A'B'CBAM D NEC BFA【例5】如图1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE ．⑴当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；⑵当正方形GFED 绕D 旋转到B ，D ，G 在一条直线（如图3）上时，连结CE ，设CE 分别交AG 、AD 于P 、H ，求证：AG ⊥CE ．PHG GG图1图3图2FABCEF ABC DEABC DEF D辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题,在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段. 添辅助线的作用：凸显和集散1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的.2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论.3. 化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的.4. 发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，知识导航模块四辅助线添加初步并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的.5. 构造图形的作用：对一类几何证明题，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.【例6】如图△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .⑴说明BE =CF 的理由；⑵如果AB =a ，AC =b ，求AE 、BE 的长.【例7】如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =︒∠，把一块含30︒角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．直线DE 交直线AB 于M ，直线DF 交直线BC 于N ． ⑴ 在图1中， ①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；⑵ 继续旋转至如图2的位置，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑶ 继续旋转至如图3的位置，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．图3图2图1FFFEEEDDC CBB AA能力提升GDAB CEF【例8】如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．训练1. 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O .求证：AO 平分DAE ∠.训练2. 如图，BD CE 、分别是ABC △的边AC 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =．求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．训练3. 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．训练4. 如图，AB AE =，ABC AED ∠=∠，BC ED =，点F 是CD 的中点．求证：AF CD ⊥．F EDC BA思维拓展训练(选讲)探索创新A BCD EFA B C DE OQ P EDCB A M E DC BA题型一平移型全等巩固练习【练习6】 ⑴ 如图⑴，若AB CD =，A E F C 、、、在一条直线上，AE CF =，过E F 、分别作DE AC ⊥，BF AC ⊥．求证：BD 平分EF ．⑵ 若将DEC △的边EC 沿AC 方向移动到图⑵的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．(2)(1)ABCE F GGFEC BA题型二对称型全等巩固练习【练习7】如图，已知Rt △ABC ≌Rt △ADE ，90ABC ADE ∠=∠=︒，BC 与DE 相交于点F ，连接CD 、EB ． ⑴图中还有几对全等三角形，请你一一列举； ⑵求证：CF=EF ．题型三旋转型全等巩固练习【练习8】如图，在Rt ABC △中，A B A C A D B C =⊥，，垂足为D ．EF 、分别是CD AD 、上的点，且CE AF =．如果62AED ∠=︒，那么DBF ∠=__________．实战演练F DCB A F E DC B A【练习9】如图，已知ABD △和AEC △都是等边三角形，AF CD ⊥于F ，AH BE ⊥于H ，请问：AF 和AH 有何关系？请说明理由．题型四辅助线添加初步巩固练习【练习10】如图①，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转．⑴ 如图②，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； ⑵ 若三角尺GEF 旋转到如图③所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与G 的延长线相交于点N ，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．③②①OOCB DAFGENMEGFADBCCA(G)O HF ED A第十五种品格：创新创新会更好汉斯是德国的一个农民，他爱动脑筋，所以常常花费比别人更少的力气有更大的收获.一次，又到了土豆收获季节，村里的农民进入了最繁忙的工作期.他们不仅要把土豆从地里收回来，而且还要把土豆按个头分成大、中、小三类.这样劳动量实在太大了，每人都起早摸黑地干，希望能早点把土豆运到城里去卖.汉斯一家与众不同，他们根本不做土豆分拣工作，而是直接把土豆装进麻袋就运走.但是，在向城里运送土豆时，他们不走平坦的公路，而是偏走颠簸不平的山路.数英里路下来，因为车子不断颠簸，小的土豆落到麻袋的最底部，而大的自然就留在了上面.到了市场，汉斯再把大小土豆进行分类出售.由于节省了时间，汉斯的土豆在市场上上市最早，卖出了比别人更理想的价位.俗话说，时间就是金钱，你有没有想到利用一些自然的方法加快你前进的脚步呢？知道事物应该是什么样，说明你是聪明的人；知道事物实际是什么样，说明你是有经验的人；知道怎样使事物变得更好，说明你是有才能的人.今天我学到了图形变换1级轴对称初步暑期班第三讲图形变换2级构造轴对称图形秋季班第一讲图形变换3级中考新题型之折纸与拼图春季班第六讲壮壮出糗记知识互联网满分晋级阶梯漫画释义3轴对称初步知识导航模块一轴对称图形的认识与应用2．对称点连成的线段被对称轴垂直平分．【例1】⑴在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A B C D⑵在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF．A BCA BCA BCCBA⑶正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．⑷下列图形中对称轴最多的是（）A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段⑸判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．夯实基础⑹ 已知两条互不平行的线段AB 和A ′B ′关于直线l 对称，AB 和A ′B ′所在的直线交于点P ，下面四个结论：①AB =A ′B ′；②点P 在直线l 上；③若A 、A ′是对应点，则直线l 垂直平分线段AA ′；④若B 、B ′是对应点，则PB =PB ′，其中正确的是（） A ．①③④ B ．③④ C ．①② D ．①②③④【例2】 ⑴ 图1的长方形ABCD 中，E 点在AD 上，且∠ABE =30°．分别以BE 、CE 为折线，将A 、D 向BC 的方向折过去，图2为对折后A 、B 、C 、D 、E 五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED =15°，则∠BCE 的度数为（） A ．30° B ．32.5° C ．35° D ．37.5°⑵如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）A ．①B ．②C ．③D ．④⑶ 已知30AOB ∠=°，点P 在AOB ∠内部，1P 与P 关于OB 对称，2P 与P关于OA 对称，则1P ，O ，2P 三点确定的三角形是（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．腰底不等的等腰三角形D ．等边三角形能力提升图2图1A B CD E②模块二线段的垂直平分线知识导航夯实基础【例3】⑴如何用圆规与直尺作线段AB的垂直平分线？⑵证明：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）.⑶ 证明：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定）.【例4】 ⑴ 如下图1，在△ABC 中，DE 是AC 的中垂线，AE =3cm ，△ABD 得周长为13cm ，则△ABC 的周长是． ⑵ 如下图2，BD 垂直平分线段AC ，AE ⊥BC ，垂足为E ，交BD 于P 点，PE =3cm ，则P 点到直线AB 的距离是． ⑶ 如下图3，在ABC △中，90A ∠=︒，:2:3ABD DBE ∠∠=，DE BC ⊥，E 是BC 的中点，求C ∠的度数．图3图2图1ED CBAPE DCBAED CBA【例5】 ABC △的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，⑴若BC =8，求△ADE 的周长；⑵若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．能力提升H FED CB A【教师铺垫】证明：⑴ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（角平分线的性质定理）．⑵ 在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上（角平分线的判定定理）．夯实基础知识导航模块三角平分线性质及常见辅助线模型（一）CPAM⑶ 三角形的三条内角平分线交于一点．（此点称之为三角形的内心）．⑷ 三角形的内心到三边的距离相等．（三角形内心性质）．【例6】 ⑴ 如图，已知ABC △的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC △的面积．⑵ 如图所示，2AB AC =，1∠2=∠，DA DB =. 求证：DC AC ⊥.【例7】如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线，AD 的垂直平分线分别交AB 、BC 延长线于F 、E ，求证：⑴∠EAD =∠EDA ；⑵DF ∥AC ；⑶∠EAC =∠B ．能力提升21ADCB CPBANMOA BCDEF OG ODCBA训练1. D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F ，EG AC ⊥于G .求证：BF CG =.F AGEDC B训练2. 已知：如图，ABC ∠及两点M 、N ．求作：在平面内找一点P ，使得PM PN =，且P 点到ABC ∠两边所在的直线的距离相等．B训练3. 如图，在ABC △中，BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠．DE AB FD AC ∥，∥．如果6BC =，求DEF △的周长．训练4. 已知：如图，在POQ ∠内部有两点M 、N ，MOP NOQ ∠=∠．⑴ 画图并简要说明画法：在射线OP 上取一点A ，使点A 到点M 和点N 的距离和最小；在射线OQ 上取一点B ，使点B 到点M 和点N 的距离和最小；⑵ 直接写出AM AN +与BM BN +的大小关系．思维拓展训练(选讲)FE DCBA O知识模块一轴对称图形的认识与应用课后演练【演练1】⑴下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．④③②①答：图形__________；理由是__________．⑵画出下图所示的轴对称图形的对称轴：⑶如图是奥运会会旗上的五环图标，它有（）条对称轴．A．1 B．2 C．3D．4⑷下列图形中，不是轴对称图形的是（）．A．角B．等边三角形C．线段D．不等边三角形⑸如图，它们都是对称的图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.实战演练【演练2】如图，把ABC△纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则A∠与1∠和2∠之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）．A．12A∠=∠-∠B．212A∠=∠-∠C．3212A∠=∠-∠D．()3212A∠=∠-∠知识模块二线段的垂直平分线课后演练【演练3】如图，已知40AOB∠=︒，CD为OA的垂直平分线，求ACB∠的度数．知识模块三角平分线性质及常见辅助线模型（一）课后演练【演练4】如图，BD CD=，90ABD ACD∠=∠=°，点E、F分别在AB、AC上，若ED平分BEF∠．①求证：FD平分EFC∠；②求证：EF BE CF=+.【演练5】证明：三角形一个内角的平分线与另外两个外角的平分线交于一点．FEDCBA21E ADCBO DC BA第十五种品格：创新需要一把剪刀据说篮球运动刚诞生的时候，篮板上钉的是真正的篮子.每当球投进的时候，就有一个专门的人踩在梯子上把球拿出来.为此，比赛不得不断断续续地进行，缺少激烈紧张的气氛.为了让比赛更顺畅地进行，人们想了很多取球方法，都不太理想.有位发明家甚至制造了一种机器，在下面一拉就能把球弹出来，不过这种方法仍没能让篮球比赛紧张激烈起来.终于有一天，一位父亲带着他的儿子来看球赛.小男孩看到大人们一次次不辞劳苦地取球，不由大惑不解：为什么不把篮筐的底去掉呢？一语惊醒梦中人，大人们如梦初醒，于是才有了今天我们看到的篮网样式.去掉篮筐的底，就这么简单，但那么多有识之士都没有想到.听来让人费解，然而这个简单的“难题”困扰了人们多年.可见，无形的思维定式就像那个结实的篮子禁锢了我们的头脑，使得我们的思维就像篮球被“囚禁”在了篮筐里.于是，我们盲目地去搬梯子、去制造机器……生活中许多时候，我们就需要这样一把剪刀，去剪掉那些缠绕我们的“篮筐”，生活原本并没有那么复杂.今天我学到了等腰？漫画释义满分晋级知识互联网4特殊三角形之等腰三角形三角形5级全等中的基本模型三角形6级特殊三角形之等腰三角形三角形7级倍长中线与截长补短暑期班第二讲暑期班第四讲秋季班第二讲模块一等腰三角形知识导航【例8】 ⑴ 如图，ABC △中，AC AD BD ==，80DAC ∠=︒，则B ∠的度数是（）A ．40︒B ．35︒C ．25︒D ．20︒⑵ ABC △的一个内角的大小是40︒，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是( )A ．140︒B ．80︒或100︒C ． 100︒或140︒D ． 80︒或140︒⑶如图，ABC △内有一点D ，且D A D B D C ==，若20DAB ∠=︒，30DAC ∠=︒，则BDC ∠的大小是（） A.100︒ B.80︒ C.70︒ D.50︒【例9】 ⑴等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边的长为（）A ．17cmB ．5cmC ．17cm 或5cmD ．无法确定 ⑵如图，在△ABA 1中，∠B =20°，AB =A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2=A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3=A 2D ；…，按此做法进行下去，∠A n 的度数为_________．夯实基础DCB A D CB AA nA 4A 3A 2A 1E DC A B。

初二数学暑假安排

第四次课
探索全等三角形的条件 1.边角边 2.角边角 3.角角边 4.边边边 5.三角形稳定性 6.尺规作图 7. 斜边、直角边【预期效果】1.学会用SAS、ASA、AAS、SSS说明两个三角形全都呢个，并会用HL说明两个直角三角形全等。2.灵活运用全等三角形的条件和性质，将实际问题转化为数学思想问题，解决线段和角相等的问题。 3.掌握尺规作图方法。 4.认识三角形的稳定性及其在生活中的应用。
·
学暑假12次课课程安排
定理中教研组），讲义的设置采用优能中学VPS模式。知识为载体，利用优能独特的教学法，提前学完初二上册的全部几何学思维的训练。
难度 ★★★
★★★
★★★★
★★★★
★★★★
★★ ★★★ ★★★★ ★★★ ★★★ ★★★★ ★★★★
的相应复习；变式。
数形结合的思想 1.勾股定理逆定理的实际应用展现了数形结合的思想。【预期效果】1.能理解数形结合的思想，方程思想以及分类讨论的思想。2.在运用勾第十二次课股定理解实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想，进一步体会数学的应用价值。
备注
1. 每节课有出门考：本节课内容的相应复习； 2. 每个知识点有相应的练习以及变式。
第十次课
勾股定理的逆定理 1.勾股定理逆定理的运用。2.勾股数。【预期效果】1.会阐述直角三角形判定条件。2.理解勾股数的含义，探索规律。
勾股定理的简单应用 1.勾股定理逆定理的实际应用。第十一次课【预期效果】1.能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。2.在运用勾股定理解实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想，进一步体会数学的应用价值。
第二次课
全等三角形 1.全等三角形概念运用 2.对应边、对应角的辨析 3.全等变换【预期效果】1.知道三角形权等的意义及全等三角形的对应元素；能运用符号正确的表示两个三角形全等。 2.掌握三角形的性质，并能进行简单的说理和计算。

2024年新八年级数学暑假提升精品讲义(北师大版)第14讲解题技巧专题：平面直角坐标系

第14讲解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、规律、新定义问题【题型一利用补形法或分割法求图形的面积】例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，求四边形的面积．【变式1-1】（2023上·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，过点作轴，过点作轴，轴，过点作轴，分别与和交于点和点，分别与和交于点和点．(1)直接写出下列点的坐标：点____，点____，点____；(2)利用图形求的面积．【变式1-2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，(1)在平面直角坐标系中画出．(2)求的面积．【变式1-3】已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示(1)写出A、B、C三点的坐标；(2)求的面积；(3)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出．【题型二与图形面积相关的点的存在性问题】例2.（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t 秒．(1)求点A、C的坐标；(2)在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时，_________；(3)点，在点P的运动过程中，是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．【变式2-1】（2024上·江西吉安·八年级统考期末）如图，在直角坐标平面内，已做，，(1)求的面积．(2)在y轴上找一点D，使，求点D的坐标．【变式2-2】（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，，满足关系式(1)请求出、、三点的坐标：(2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；(3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-3】（2023下·七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足．同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点的对应点，连接．(1)求点的坐标及四边形的面积；(2)在坐标轴上是否存在一点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；(3)是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与点重合），给出下列结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这个结论并求其值．【题型三平面直角坐标系中新定义规律探究问题】例距离的较小值称为点点的若点的若，两点为点的若点是若点的长距为的坐标为，试说明：中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点和谐点”．例如，点的一对“和谐点是点与点点的一对“和谐点”坐标是与；若点的一对重合，则y的值为若点C的一个坐标为，求点“”(1)直接写出点A，B的“－”(2)若点A为B，C的“－3”系和点，求点(3)点D为A，B的“k”系和点．①求点D的坐标（结果用k含的式子表示）；②若三角形ABD的面积为6，则符合条件的【题型四平面直角坐标系中点运动规律探究问题】例4. （23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在平面直角坐标中，动点M从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点M第2024次运动到点（）A．B．C．D．【变式4-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第47次运动后动点的坐标是【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，设一动点自处向下运动1个单位长度至处，然后向左运动2个单位长度至处，再向上运动2个单位长度至处，再向左运动2个单位长度至处，再向下运动2个单位长度至处，，如此继续运动下去，设，，2，3，，则的坐标是．【变式4-3】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点…，则点的坐标是．【题型五平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】例5. （23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有一菱形且，点O，B在y轴上，，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转，点B的落点依次为…，连续翻转2023次，则的坐标为（）A．B．C．D．【变式5-1】（2024·云南·模拟预测）如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置上，则点的坐标为（）A．B．C．D．【变式5-2】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为．【变式5-3】（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点，点．将矩形绕点A顺时针旋转，每次旋转，当第2023次旋转结束时，点的对应点的坐标是．一、单选题1．（2024·山东淄博·二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”·若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标是（）A．B．C．D．2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（）A．19B．20C．21D．21.53．（2024七年级下·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（）A．B．C．D．二、填空题4．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，…那么点的坐标为5．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积（用含有k的式子表示）6．（23-24七年级下·天津·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．（1）点的“长距”为；（2）若点是“完美点”，则的值为；三、解答题7．（23-24七年级下·重庆潼南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交y轴交于点F．(1)求点A、B的坐标；(2)求点F的坐标；(3)y轴上是否存在一点P，使的面积和的面积相等，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由．8．（23-24七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．(1)点的“长距”为______；(2)若点是“完美点”，求的值；(3)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”．9．（2024七年级下·天津·专题练习）如图1，四边形各个顶点的坐标分别为，，，．(1)______，点到轴的距离为______．(2)求四边形的面积．(3)如图2，已知点为轴正半轴上的一个动点，点是否存在一个位置使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是，的坐标是．(2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是，的坐标是．11．（23-24八年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，对于任意图形G及直线，，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形G的【】伴随图形，例如：点的【x轴，y轴】伴随图形是点．(1)点的【x轴，y轴】伴随图形点的坐标为_________；(2)已知，，，直线经过点．①当，且直线与轴平行时，点的【轴，】伴随图形点的坐标为_________；②当直线经过原点时，若的【轴，】伴随图形上只存在两个与轴的距离为1的点，求的取值范围．12．（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，两点，其中、、满足等式．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点运动时间为，当四边形为正方形时，解答下列问题．(1)__________，__________，__________；当点在线段上时，的长度为___________．（用含的代数式表示）(2)当时，求三角形的面积．(3)当时，三角形的面积为__________．(4)当时，直接写出的值．第14讲解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、规律、新定义问题【题型一利用补形法或分割法求图形的面积】例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，求四边形的面积．【答案】15【分析】本题主要考查了利用直角坐标系求多边形的面积，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F，即可知，代入求解即可．【详解】解：如下图，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F．∵点，，，∴，，∴，，，，．所以四边形的面积是15．【变式1-1】（2023上·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，过点作轴，过点作轴，轴，过点作轴，分别与和交于点和点，分别与和交于点和点．(1)直接写出下列点的坐标：点____，点____，点____；(2)利用图形求的面积．【答案】(1)，，(2)的面积为9．【分析】本题考查网格中求三角形的面积，坐标与图形．（1）根据点，点，点在坐标系中的位置，直接写出其坐标即可；（2）利用正方形的面积减去周围三个三角形的面积即可求解．【详解】（1）解：点，点，点；故答案为：，，；（2）解：的面积．【变式1-2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，(1)在平面直角坐标系中画出．(2)求的面积．【答案】(1)见解析(2)15【分析】（1）根据点的坐标画出图形即可；（2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可．【详解】（1）如图，即为所求；（2）【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题．【变式1-3】已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示(1)写出A、B、C三点的坐标；(2)求的面积；(3)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出．【答案】(1)，，(2)11.5(3)见解析【分析】（1）根据平面坐标系得出A、B、C三点的坐标即可；（2）根据各点坐标，利用梯形面积与三角形面积公式求出即可；（3）根据点经平移后对应点为判断出平移方式，然后画出三个顶点的对应点即可．【详解】（1）如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：，，；（2）的面积；（3）∵点经平移后对应点为，∴把向右平移4个单位，再向下平移3个单位得．如图，【点睛】此题考查了平移的性质，以及平移图形的画法和三角形面积求法，根据平移的性质正确平移对应顶点是解题关键．【题型二与图形面积相关的点的存在性问题】例2.（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t 秒．(1)求点A、C的坐标；(2)在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时，_________；(3)点，在点P的运动过程中，是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)2秒或8秒(3)当或时【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平方和二次根式的非负性，一元一次方程的应用，（1）由平方和二次根式的非负性即可求出a，b的值，即可求出点A、C的坐标．（2）由点A，点C的坐标即可求出点B的坐标，然后根据当点P到的距离为2个单位长度时，分两种情况，即可求出t的值．（3）先根据已知条件，求出，然后根据P在上，P在上，P在上，P在上时，根据已知条件，建立关于t的一元一次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解∵，∴，，∴，，∴，，∴，（2）由（1）可知，，∴，当点P到的距离为2个单位长度时，运动路程或者，∴秒或秒∴秒或秒，故答案为：2秒或8秒．（3）存在，理由如下：∵，∴，，∵，，轴，轴，∴，∴，，∴，∴，①当P在上时，，即时，，∴∴，解得，舍去②当P在上时，，即时，，∴∴，解得③当P在上时，，即时，∴，∴，解得，舍去④当P在上时，，即时，∴∴，解得综上，当或时【变式2-1】（2024上·江西吉安·八年级统考期末）如图，在直角坐标平面内，已做，，(1)求的面积．(2)在y轴上找一点D，使，求点D的坐标．【答案】(1)16(2)或【分析】本题考查的是坐标与图形面积，理解坐标系的特点是解本题的关键；（1）直接利用三角形的面积公式计算即可；（2）设点D的坐标为，再利用面积公式建立方程求解即可．【详解】（1）解：；（2）设点D的坐标为，．解得．∴满足条件的点D的坐标为或；【变式2-2】（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，，满足关系式(1)请求出、、三点的坐标：(2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；(3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)点坐标为，点坐标为，点坐标为；(2)；(3)存在这样的点M，点M的坐标为或．【分析】本题考查非负数的性质，直角坐标系中的面积问题，三角形的面积公式等知识．（1）根据非负数的性质求解即可；（2）求出，，再用计算即可；（3）根据设为，则，，再结合题意列出绝对值方程，求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，，；∴点坐标为，点坐标为，点坐标为；（2）解：过点作于，则，∵，，∴，，∴，，∴；（3）解：存在，点M的坐标为或，理由如下：假设存在这样的点M，设为，则，∵，∴∵，由题意得解得：或，∴存在这样的点M，点M的坐标为或．【变式2-3】（2023下·七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足．同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点的对应点，连接．(1)求点的坐标及四边形的面积；(2)在坐标轴上是否存在一点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；(3)是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与点重合），给出下列结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这个结论并求其值．【答案】(1)，(2)存在，或(3)①正确，【详解】（1），．点，点．根据平移规律可得，．（2）坐标轴上存在点满足．当点在轴上时，，．．点的坐标为或；当点在轴上时，，．．点的坐标为或．综上，点的坐标为或或或．（3）如图，点在线段上（不与点，重合），作交于点，．．．．．①正确．【题型三平面直角坐标系中新定义规律探究问题】例3.（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”．(1)点的“短距”为______；(2)若点的“短距”为3，求m的值；(3)若，两点为“等距点”，求k的值．【答案】(1)7(2)4或(3)或【分析】本题主要考查新定义下点到坐标轴的距离，（1）根据新定义，求得点B到坐标轴的距离即可；（2）根据新定义得到，求解即可；（3）根据新定义分别找到点C和点D到坐标轴的距离，再分类讨论与2的大小，列出对应的等式即可求得答案；【详解】（1）解：点到x轴、y轴距离分别为和7，根据定义得点的点的“短距，且，∴，解得或．（3）点C到x轴的距离为，到轴的距离为，到当时，，则或，解得或（舍）．当时，，则或，解得或（舍）．综上，k的值为或．2023上八年级统考期中）轴的距离的较大值称为点点的“长距”若点是若点的长距为的坐标为，试说明：【答案】(1)3(2)或见解析【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的完美点”．）解：根据题意，得点到轴的距离为，到轴的距离为点是∴，∴或，解得或；）解：点的长距为∴，解得，∴，∴点D的坐标为，y轴的距离都是完美点”．中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点和谐点”．例如，点的一对“和谐点是点与点点的一对“和谐点”坐标是与；若点的一对重合，则y的值为若点C的一个坐标为，求点(1)(3)或【分析】（1）根据“2）根据和谐点”的含义及两点重合即可完成；的坐标为，根据）解：由题意得：，，所以点的一对坐标是与；故答案为：；）解：由题意得：，，所以点的一对“和谐点坐标是与；又点的一对重合，，，故答案为：6（3）解：设，的一个“和谐点坐标为，则，，；；若点C的另一个“和谐点”坐标为，则，，；；综上，点C的坐标为或．【点睛】本题是新定义问题，考查了坐标与图形，关键是理解题中“和谐点”的含义．【变式3-3】在平面直角坐标系中，点P（a，b），Q（c，d）给出如下定义：对于实数k（k≠0），我们称点M（ka＋kc，kb＋kd）为P，Q两点的“k”系和点．例如，点P（3，4），Q（1，－2），则点P．Q的“”系和点的坐标为：（2，1），如图，已知点A（4，－1），B（－2，－1）．(1)直接写出点A，B的“－”系和点坐标为_________；(2)若点A为B，C的“－3”系和点，求点C的坐标：(3)点D为A，B的“k”系和点．①求点D的坐标（结果用k含的式子表示）；②若三角形ABD的面积为6，则符合条件的k的值为_________（直接写出结果）．【答案】(1)（-1，1）(2)（，）(3)①，②或【分析】（1）直接根据系和点的定义分别求出点的横坐标与纵坐标即可；（2）设出点C的坐标，根据系和点的定义列出方程，解方程即可得到答案；（3）①根据系和点的定义将k代入计算即可；②求出AB的长度，同时表示出AB边上的高，列出方程解出k的值即可．【详解】（1）解：∵点A（4，－1），B（－2，－1），∴点A，B的“－”系和点的横坐标为，纵坐标为，∴点A，B的“－”系和点坐标为（-1，1）．（2）解：∵点A为B，C的“－3”系和点，设点C坐标为（m，n），∴，，解得，．∴点C的坐标为（，）．（3）解：①∵点D为A，B的“k”系和点，设点D坐标为（a，b）则，，∴点D的坐标为；②∵点A（4，－1），B（－2，－1），∴．∵点D到AB的距离为，三角形ABD的面积为6，∴，解得或，∴符合条件的k的值为或．【点睛】本题考查新定义问题，图形与坐标，解题的关键是正确理解新定义的含义列出代数式表示出点的横纵坐标．【题型四平面直角坐标系中点运动规律探究问题】例4. （23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在平面直角坐标中，动点M从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点M第2024次运动到点（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查点的运动规律，能根据点的运动发现第次为正整数）运动后，动点的坐标是是解题的关键．依次求出前几次运动后点的坐标，再根据坐标的变化规律即可解决问题．【详解】解：由题知，第1次运动后，动点的坐标是；第2次运动后，动点的坐标是；第3次运动后，动点的坐标是；第4次运动后，动点的坐标是；第5次运动后，动点的坐标是；第6次运动后，动点的坐标是；第7次运动后，动点的坐标是；由此可见，第次为正整数）运动后，动点的坐标是．又，即第2024次运动后，动点的坐标是，即．故选：D【变式4-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第47次运动后动点的坐标是【答案】【分析】本题主要考查了点的坐标规律，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．【详解】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次运动到点，第5次接着运动到点，…，∴点P的横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，∵，则经过第47次运动后，动点P的横坐标为47，纵坐标为2，即经过第47次运动后，动点P的坐标是∶，故答案为∶．【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，设一动点自处向下运动1个单位长度至处，然后向左运动2个单位长度至处，再向上运动2个单位长度至处，再向左运动2个单位长度至处，再向下运动2个单位长度至处，，如此继续运动下去，设，，2，3，，则的坐标是．【答案】【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据点的运动方式，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题，能通过计算发现点坐标变化的规律是解题的关键．【详解】解：根据点的运动方式可知，点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；，由此可见，点的横坐标为，纵坐标为，当时，，，所以点的坐标为，所以点的坐标为，故答案为：．【变式4-3】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点…，则点的坐标是．【答案】【分析】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，解答本题的关键是找到循环规律．先根据即可得到，再根据，则，可得．即可作答．【详解】解：由图可得，，，∵∴，即，∴，，故答案为：【题型五平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】例5. （23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有一菱形且，点O，B在y轴上，，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转，点B的落点依次为…，连续翻转2023次，则的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】连接交y轴于点D，根据条件可以求出，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于，因此点向右平移1348（即）到点，即可求出点的坐标．【详解】连接交y轴于点D，如图所示，∵四边形是菱形，∴，，∴，，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，画出第5次､第6次､第7次翻转后的图形，由图可知:每翻转6次，图形向右平移4，∵，∴点向右平移1348（即）到点，，∵的坐标为，∴的坐标为，故选：D．【点睛】本题考查点坐标规律探索，菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．【变式5-1】（2024·云南·模拟预测）如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置上，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】此题主要考查了通过图形观察规律，根据题意分别求出、、、横坐标，再总结出规律即可得出，解题的关键是善于观察，总结规律．【详解】根据规律、、、、、、、、，；每个一个循环，，依次规律在次循环后与纵坐标一致，横坐标分别为：为、为、为、为；为、为、为、为；依次规律与横坐标为减，∴横坐标为，则坐标是，故选：．【变式5-2】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为．【答案】【分析】首先求出的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点的坐标．【详解】解：正方形边长为，，正方形是正方形的对角线为边，，点坐标为，同理可知，点坐标为，同理可知，点坐标为，点坐标为，点坐标为，，，，，由规律可以发现，每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，即，，的横纵坐标符号与点相同，横纵坐标相同，且都在第一象限，的坐标为，，故答案为：．【变式5-3】（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点，点．将矩形绕点A顺时针旋转，每次旋转，当第2023次旋转结束时，点的对应点的坐标是．【答案】【分析】本题主要考查旋转的性质、坐标与图形等致死点，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键．先根据矩形的性质作出旋转后的图形，然后找到C点的坐标规律，并按照规律解答即可．【详解】解：如图：将矩形绕点A顺时针旋转，可知：，，则：每旋转4次则回到原位置，∵，∴第2023次旋转结束时，完成了505次循环，又旋转了3次，∴当第2023次旋转结束时，点C对应的坐标是．故答案为：．。

数学八年级下浙教版暑假作业14

练习十四一、填空题：1、当x _______时，x2-在实数范围内有意义；12-的倒数是__________。

2、若a ＜2，化简aa a -+-2442＝___________ ； 345、678；正9、__________。

10。

112=，那么 12，腰长为13、平行四边形ABCD 的周长为48cm ，对角线相交于O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长多4cm ，则AB＝________，BC ＝___________。

二、选择题：1、下列各式化简正确的是（）A 、54513=B 、23132=C 、6412321=D 、6342332= 2、若b a -与b a +互为倒数，则a 、b 的关系是（）A 、a ＝b ＝1B 、a ＋b ＝1C 、b a =D 、a ＝b ＋13、22-=-a aa a 成立的条件是（）A 、a ≥0B 、a ＞2 .C 、a ≠2D 、2-a a≥04、已知x ＜0，则2||x x +等于（）A 、0B 、－xC 、－2xD 、2x5、已知一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（）A 、四边形B 、五边形C 、三角形D 、多边形6、既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A 、平行四边形B 、等边三角形C 、等腰梯形D 、菱形7、如果菱形的两条对角线的长分别是6cm 和8cm ，则这个菱形的周长为（）A 、16cmB 、20cmC 、18cmD 、22cm8、边长为15cm 、25cm 的一个矩形，如果一个内角的平分线分边长为两部分，则两部分的长为（）A 、12.5cm ，12.5cmB 、16cm ，9cmC 、15cm ，10cmD 、18 cm ，7cm9、等腰梯形的对角线互相垂直，上底为a ，下底为b ，则这个梯形的高等于（）A 、)(21b a + B 、)(21a b - C 、ab 21D 、不能确定10、四边形的四边依次是a 、b 、c 、d ，且满足0)()(22=-+-d b c a ，此四边形是（）A 、矩形B 、菱形C 、平行四边形D 、等腰梯形三、判断题：1、使式子1+-x x有意义，则x 的取值范围是x ≤0（）2、若61-=x ，615+=y ，则0=+y x （）3、2、5.0、32、28a 不是同类二次根式（）4、b a b a b ab a +=+÷++)()2(（）5、有三个角相等的四边形是矩形（）6、两条对角线互相垂直的矩形是正方形（）7、两条对角线垂直且相等的四边形是正方形（）8、平行四边形的对边关于对角线交点对称（）9、顺次连结矩形各边中点所组成的四边形是菱形（）10、菱形的面积等于两条对角线的乘积（）四、计算题： ①)755181(3125.032---+ ②62121231-+++③22)73()73)(73(2)73(++-+--④已知)57(21+=x ，)57(21-=y 。

初二数学暑期学习

初二数学暑期学习怎么学：初二是处在初中的中间阶段，这个学期很重要，是一个承上启下的阶段，难度和题量都有所提升，所以在学习这个学期的内容时，需要多复习，多看，多理解，把小学的好的学习方法在初中继续沿用，但是要注意多理解知识点，不能死记硬背。

学习大纲：实数，勾股定理，直角坐标系，坐标系下找规律，一次函数，一次函数的应用。

重点，难点罗列：第一章勾股定理一、勾股定理1、直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。

2、勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）。

3、勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形。

二、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

三、勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……四、勾股数的规律1、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。

即当a为奇数且a＜b时，如果b+c=a2，那么a,b,c就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……2、大于2的任意偶数，2n(n＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类（1）开方开不尽的数（2）含π的数（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

初一数学-09暑假园区14

园区新初一数学讲义14 测试卷一、选择题(20分)1．下列说法中，不正确的是 ( )A ．0既不是正数，也不是负数B ．0的相反数是0C ．0是最小的数D ．0的绝对值是02．有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图，下列结论中，正确的是 ( )A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＜c ＜bD ．a ＜b ＜c3．下列说法中，正确的是 ( ) A ．－12与2互为相反数 B ．任何负数都小于它的相反数 C ．数轴上表示－a 的点一定在原点左边 D ．5的相反数是︱一5︱4．从数6，－1，15，－3中，任取三个不同的数相加，所得到的结果中最小的是 ( ) A ．－3 B ．－1 C ．3 D ．25．下列算式中，运算结果为负数的是 ( ) A ．－(－3) B ．︱－3︱ C ．2×(－32) D ．(－3)26．下列说法中，错误的是 ( ) A ．若n 个有理数的积是0，则其中至少有一个数为0 B ．倒数等于它本身的有理数是±1 C ．任何有理数的平方都大于0 D ．－l 的奇数次幂等于－17．(－1)11－(－3)2×2的值是 ( ) A ．－17 B ．17 C ．－13 D ．－198．16．有一串数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，____，_____，____．•这串数是由小明按照一定的规律写下来的，他第一次写下“0，1”，第二次接着写下“2，3”，•第三次接着写下“6，7”，第四次接着写下“14，15”，就这样一直接着往下写，那么这串数的最后三个应该是下面的（）．A ．31，32，64B ．31，62，63C ．31，32，33D ．31，45，46 9．某商品先降价20%，再提价20%后的售价为a 元，则原价是（）． A ．0.96a 元 B ．a 元 C ．0.96a元 D ．以上都不对 10．下列说法中，正确的是 ( ) A ．两数相除，商一定小于被除数 B ．两数相乘，积一定大于每个因数C ．一个数除以它的倒数，其商就等于这个数的平方D ．一个数乘它的相反数，其积一定是一个负数二、填空题(13分)11．在有理数－3，7．2，213，－34，0，0．02中，属于正数集合的是，属于负数集合的是．12．若把长江的水位比警戒水位低0．8m记作－0．8m，则＋1．1m表示的意思是．13．－1．2的相反数是，倒数是，绝对值是．14．“a，b•两数的平方和除以它们乘积的2•倍”这句话用代数式可以表示为_______________．15．水池中的水位在某天中八个不同时刻的变化情况为(规定上升为正，单位：cm)：＋3，－6，－1，＋5，－4，＋2，－3，－2，则这八天中，水池水位最终的变化情况是．16．如图，学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人．按照这种规定填写下表中的空格：拼成一行的桌子数1 2 3 4 …n可坐人数…17．用3，4，－6，10算“24点”，写出的等式是．18．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，如此反复，那么，这样捏合次后刚好可拉出128根细面条．三、操作题(4分)19．先把下列各数在数轴上表示出来，再按从小到大的顺序排列起来：3．5，－(－2)，－1，－212．四、计算题(32分)20．312 43⎛⎫-+--⎪⎝⎭；21．(－25)－(－18)－(＋5)＋(＋12)；22．1510.5 364⎛⎫⎛⎫-+----⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；23．2131 2354 5252⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；24．(－12)×(－4)2；25．(－98)×(－0．125)＋98×18＋(－98)×54；26．－22－17×[2－(－3)2]；27．－25－(－1 )4×(－3 )3＋(－33 )×(－3 )．五、解答题(31分)28．少儿银行办理了7笔储蓄业务：取出9．5元，存入5．1元，取出8．3元，存入12．5元，存入25元，取出7元，取出10．25元，银行现款增加或减少了多少元?29．某检修组沿线检修线路，约定从A地到B地方向为正．某天，该组所走的各段路程记录如下(单位：km)：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－2，＋12，＋7，＋5．(1)收工时，他们距出发点A地有多远?(2)若他们所乘的工程车每千米耗油0．5kg，则从出发到收工，工程车共耗油多少?30．下表列出了国外几个城市与北京的时差(正数表示同一时刻比北京时间早的时数)．若现在是北京时间10月5日上午10：00．(1)求现在纽约的时间；(2)斌斌现在想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗?城市时差／时纽约－13巴黎－7东京＋1芝加哥－1431．有一根弹簧，原长为10cm，挂重物后（不超过50g）它的长度会改变，•请根据下面表格中的一些数据回答下列问题：质量（g） 1 2 3 4 …伸长量（cm）** 1 ** 2 …总长度（cm）** 11 ** 12 …（1）当所挂重物为xg时，用代数式表示此时弹簧的总长度；（2）当x=30时，求弹簧的总长度；（3）要想使弹簧伸长5cm，应挂重物多少克？32．如图所示，每张小纸带的长为30cm，宽为10cm，用胶水把它们粘贴成一张长纸带，接头部分的长为3cm．（1）分别求出用3张和5张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度．（2）用n张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度是多少？（3）根据（2）计算用30张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度．。

09暑假园区初二数学12727

园区新初三讲义12 实数 7.27一、实数1.无理数：_______________________.无理数的三种形式______________________.任意写出3个无理数：________________．2.实数的分类：____________________________________.3.实数和数轴上的点一一对应。

4. 把下列各数填入相应的集合内：213、38-、0、27、3∏、5.0、3.14159、-0.020020002 0.XX … (1)有理数集合{ } ;(2)无理数集合{ }(3)正实数集合{ };(4)负实数集合{ }5.在四个实数2，14,π，227，32,3.14159中，无理数的个数有…………（） A.1个 B. 2个 C. 3个D. 4个 6.在实数范围内因式分解：44x -＝_____________________ ．7.判断正误，若不对，请说明理由，并加以改正。

（1）无理数都是无限小数。

（2）带根号的数不一定是无理数。

（3）无限小数都是无理数。

（4）数轴上的点表示有理数。

（5）不带根号的数一定是有理数。

8.对实数进行分类，不正确的是( )A.实数有理数无理数B.实数有限小数无限循环小数无限不循环不数C.实数小数分数D.实数正实数 0 负实数练习1.把下列各数填入相应的集合内：-7，0.32，13， 8，3216，- 2π．有理数集合：{ …}；无理数集合：{ …}；2在5，0.1,－π，25，327-，43，8，73八个实数中，无理数的个数是（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．23.下列说法中正确的是（）Ａ．有理数和数轴上的点一一对应Ｂ．不带根号的数是有理数Ｃ．无理数就是开方开不尽的数Ｄ．实数与数轴上的点一一对应4.下列说法正确的是（）.A.无限小数都是无理数B.带根号的数都是无理数C.无理数是无限小数D.无理数是开方开不尽的数5.实数-1.732，2π，34，0.121121112…，01.0-中，有理数的个数有（）.**个 B. 3个 C.4个 D.5个二．用有理数估算一个无理数的大致范围1.2这个数在哪两个有理数之间？2.比较3与7的大小3.比较-7与-1.5的大小4.比较215- 与0.5的大小5.下列判断中，错误的是( )A.两个实数之间有无数个实数B.两个有理数之间有无数个有理数C.两个无理数之间有无数个无理数D.两个整数之间有无数个整数6.试估计比较35,102,53的大小，其中最小的一个数是。

09暑假园区初二数学10723

园区新初二数学10 平方根 7.23填空)(()()()()()()()22222222119,25,,;25,100,0, 4.481========-一．平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也称为二次方根，也就是说，如果_____________，那么x 就叫做a 的___________.注意：1.一个正数的平方根有____个，它们是____________；0只有___个平方根，它是__本身；负数_____平方根。

2.求一个数的平方根的运算叫做开平方。

开平方和平方互为逆运算，因此求一个数的平方根可以通过平方运算来求填空 ⑴若x 2=a （a ＞0），那么a 叫做x 的，x 叫做a 的，记为， 0的平方根是。

3. -9的平方根_______.⑵因为平方得16的数是，所以 16开平方得，因此平方与互为逆运算．⑶∵（）2=121，∴121的平方根是．81的平方根是。

二．合作探究：例：1求下列各数的平方根：（1）25；（2）8116 （3）15；（4）()22-。

2、求下列各式中的x 的值⑴1962=x ⑵01052=-x ⑶()2336-x －25=0练习 3 求下列各式中的x.⑴x 2=49 ⑵４(x-1)2=25,⑶９(x 2+1)=10, ⑷x =3.（5）25x 2-36=0 （6）5x 2-51=0(x ＞0)4.判断题 ⑴把一个数先平方再开平方得原数（）⑵正数a 的平方根是a ± （）⑶－a 没有平方根（）三.课内巩固：填空：1．下列各数：－8，()23-，25-，4.0-，52，0，()2--中有平方根的数有个． 2．正数a 的两个平方根的商= ；若正数a 的两个平方根的积=－259，则a = ．3．式子2-x ，当x 时，这个式子有意义．4．如果一个数的平方根是3+a 与152-a ，那么这个数是．若45+x 的平方根是±1，则x = ． 5．225±= ，2516-= ，()27±= ，()()2299--= ．6. 25的平方根记作，结果是 .361的平方根是； -4）2的平方根是。

初二数学-09暑假园区379

园区初二数学3 轴对称的性质 7.9一．实践、操作：1、前面我们已经学过轴对称和轴对称图形，那么它们到底具有一些什么性质呢？下面我们一起来研究。

取一张长方形的纸片，按下面步骤做一做。

将长方形纸片对折，折痕为l ，（1）在纸上画△ABC ；（2）用针尖沿△ABC 各边扎几个小孔（3）将纸展开，连续AA ’、BB ’、CC ’线段AA ’、BB ’、CC ’与折痕l 有什么关系？2、（1）、如图1，线段AB 和A’B’是成轴对称的两个图形，如何找出对称轴？图1B'A'B A（2)、如下图，如何找出它们的对称轴？A C‘CB'A'B A C‘C B'A'B A C B'A'B（3)、图1中，线段AB 与线段A’B’有什么关系？对称点A 、A’和对称点B 、B’的连线与对称轴有什么关系？（4)、在第2个问题中，△ABC 和△A’B’C’有什么关系？四边形ABCD 和四边形A’B’C’D’呢？各对称点的连线与对称轴有什么关系？活动三讨论：图1-11中的四边形ABCD 与四边形EFGH 关于直线l 对称。

连接AC,BD ，设它们相交于点P 。

问题：1、怎样找出点P 关于l 的对称点Q ？2、你能用折纸、扎孔的方法画出点P 关于l 的对称点Q 吗？3、你能用直尺和三角板画出点P 关于l 的对称点Q 吗？4、为什么EG 和FH 的交点就是点P 的对称点Q ？探究结论1、________且______一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴；2、成轴对称的两个图形_______________________。

3、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是________的垂直平分线。

4.线段的垂直平分线上的点到线段两端的______相等5.到线段两端距离相等的点，在____________________。

初二数学-复习讲义园区11月14日

2009—2010学年第一学期初二年级期中考试数学试题一、选择题（每题3分，共24分)1、下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）．A B C D2．16的平方根是（）** B ．±8 C. 4 D ．±43、已知等腰三角形的一底角是50°，则它的顶角是（）.（A ）80° （B ）40° （C ）100° D ）不能确定 4．据统计，2009年十·一期间，淮安市某风景区接待中外游客的人数为2674人次，将这个数字保留三个有效数字，用科学记数法可表示为（）A 、2.67×102B 、2.67×103C 、2.68×103D 、2.67×104 5、下列图形中，对称轴条数最多的是（）A 、等边三角形B 、正方形C 、等腰梯形D 、圆6、下列实数3,3.14，364-，25-，0.010010001…，722，其中无理数有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 7、等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，那么∠A=60°∠D 等于（）A 、120°B 、80°C 、60°D 、20° 8．如图，正方形ABCD 的边长为3，E 在BC 上，且BE =2，P 在BD 上，则PE +PC 的最小值为（）A 、32B 、13C 、14D 、15二、填空题（每空3分，共30分）9、角是轴对称图形,它的对称轴是 10、从你熟悉的几何图形中，写出一个中心对称图形______________.DEPCBA（第8题）11、等腰△ABC 中，∠A=80°，则∠B=______°. 12、比较大小：3526.13、等腰三角形的一边长为10，另一边长为6，则它的周长是 . 14、若直角三角形斜边上的高和中线分别是5cm ，6cm ，则它的面积是 . 15、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=8cm ，BD=5cm ，那么D 点到直线AB 的距离是 cm .16、如图，从电线杆离地面6 m 处向地面拉一条长10 m 的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有 m ．第16题17、用等腰直角三角板画45AOB =∠，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为______．18．如图， BE 、CF 分别是△ABC 的高，M 为BC 的中点， EF =5，BC =8，则△EFM的周长是____________三、解答题（10分+12分+10分+10分+10分+10分+10分+10分+14分）19、（1）0|2|(12)4--++；（5分）（2）13221258---；（5分）第15题O M B A22 α第17题 AC B M E F 第18题20、作图题（每题6分，共12分）（1）如图1所示，画出△ABC 关于直线MN 的轴对称图形.（2）如图2所示，10×10的正方形网格纸中有△ABC 和点O ，画△A ’B ’C ’，使它与△ABC 关于点O 成中心对称。

2019年北京初二暑假功课14-数学

俯视图主视图左视图2019年北京初二暑假功课14-数学注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！【一】选择题1、3的相反数是〔〕A 、31 B 、31-C 、3D 、3-2、在函数12y x =-中，自变量x 的取值范围是〔〕 A 、2x ≠- B 、2x ≠ C 、2x ≤D 、2x ≥3、以下运算正确的选项是A 、xy y x 532=+B 、a a a =-23C 、b b a a -=--)(D 、2(1)(2)2a a a a -+=+-4、如图是某个几何体的三视图，那么该几何体是〔〕 A 、长方体B 、三棱柱C 、圆柱D 、圆台5、以下判断正确的选项是〔〕 A 、“打开电视机，正在播NBA 篮球赛”是必然事件 B 、“掷一枚硬币正面朝上的概率是21”表示每抛掷硬币2次就必有1次反面朝上 C 、一组数据2，3，4，5，5，6的众数和中位数都是5D 、甲组数据的方差2S 甲=0.24，乙组数据的方差2S 乙=0.03，那么乙组数据比甲组数据稳定 6、如下图，转盘均被分成四个相同的扇形,转动转盘时指针落在每个扇形内的机会均等,转动转盘,那么指针落在标有奇数的扇形内的概率为〔〕 A 、12 B 、13C 、14D 、187、如图，⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A =60o，那么sin ∠A 、12B3C 2D 28、如下图，大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为7厘米，那么阴影部分面积为〔〕A 、132π平方厘米B 、312π平方厘米B ACDA 1 A 2DABCC 、25π平方厘米D 、无法计算【二】填空题9、因式分解：ax 2－4ax ＋4a =_________、 10、一次函数21y x =+的图象经过象限.11、AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝l ，那么弦AB 的长是、12、如图，在△ABC 中，∠A ＝α、∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；……； ∠A 2017BC 与∠A 2017CD 的平分线相交于点A 2018，得∠A 2018，那么∠A 2018＝、【三】解答题：13011( 3.14)()2π---14、解方程：xx 211=- 15、如图，AB 是∠DAC 的平分线，且AD =AC 、求证：BD =BC16、：x 2-5x =6，请你求出代数式10x -2x 2+5的值、 17、如图，点C 在反比例函数xky =的图象上，过点C 作CD ⊥y 轴，交y 轴负半轴于点D ，且△ODC 的面积是3、〔1〕求反比例函数xky =的解析式；〔2〕假设CD =1，求直线OC 的解析式、18、某纺织厂有纺织工人300名，为增产创收，该纺织厂又增设了制衣车间，准备将这300名纺织工人合理分配到纺织车间和制衣车间、现在知道工人每人每天平均能织布30米或制4件成衣，每件成衣用布1.5米，假设使生产出的布匹刚好制成成衣，求应有多少人去生产成衣？19、相邻的两根电线杆AB 与CD 高度相同，且相距BC =50m 、小王为测量电线杆的高度，在两根电线杆之间某一处E 架起测角仪，如下图，分别测得两根电线杆顶端的仰角为45°、23°，测角仪EF 高1.5m ，请你帮他算出电线杆的高度、〔精确到0.1m ，参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.43〕显示解析【四】解答题： 20、：如图直线PA 交⊙O 于A ，E 两点，PA 的垂线DC 切⊙O 于点C ，过A 点作⊙O 的直径AB 、〔1〕求证：AC 平分∠DAB 、〔2〕假设DC ＝4，DA ＝2，求⊙O 的直径、 21、某校初三年级共有学生540人，张老师对该年级学生的升学志愿进行了一次抽样调查，他对随机抽取的一个样本进行了数据整理，绘制了两幅不完整的统计图〔图甲和图乙〕如下、请根据图中提供的信息解答以下问题：〔1〕求张老师抽取的样本容量；〔2〕把图甲和图乙都补充绘制完整；〔3〕请估计全年级填报就读职高的学生人数、C【五】解答题：22、关于x 的方程2(31)220mx m x m --+-= 〔1〕求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.〔2〕假设关于x 的二次函数2(31)22y mx m x m =--+-的图象经过坐标原点〔0,0〕，求抛物线的解析式.〔3〕在直角坐标系xoy 中，画出〔2〕中的函数图象，结合图象回答以下问题：当直线y x b =+与〔2〕中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围.23、〔1〕：如图1，ABC ∆是⊙O 的内接正三角形，点P 为弧BC 上一动点，求证：PA PB PC =+〔2〕如图2，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 为弧BC 上一动点，求证：PA PC =+〔3〕如图3，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，点P 为弧BC 上一动点，请你写出PA ，PB ，PC 三者之间的数量关系表达式、〔不需要证明〕 24、如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为〔3，0〕，与y 轴交于C 〔0，-3〕点，点P 是直线BC下方的抛物线上一动点、〔1〕求这个二次函数的表达式、〔2〕连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ′使四边形POP ′C 为菱形？假设存在，请求出此时点P 的坐标；假设不存在，请说明理由、〔3〕当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大，并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积、 25、附加题问题情境矩形的面积为a 〔a 为常数，a ＞0〕，当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型设该矩形的长为x ，周长为y ，那么y 与x 的函数关系式为2()(0)a y x x x=+＞、探索研究〔1〕我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1(0)y x x x=+＞的图象性质、 ①填写下表，画出函数的图象：②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数y=ax 2＋bx ＋c 〔a ≠0〕的最大〔小〕值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到，请你通过配方求函数1y x x=+(x ＞0)的最小值、解决问题〔2〕用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案、参考答案：【一】选择题：〔每题3分，共24分〕 1.D.2.B.3.D.4.A.5.D.6.A.7.D.8.C 【二】填空题：〔每题3分，共12分〕9.2)2(-x a ;10.【一】【二】三;11.6；12. 【三】解答题：〔每题5分，4道小题，共20分〕∴13.解：()12114.318-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+π2123-+=……………………………………..(3分) 123-=……………………………………..(4分)14.解：xx 211=- 去分母：x x =-22…………………………………..(1分) 移项：22=-x x合并同类项：2=x …………………………………..(2分) 检验：把2=x 代入原方程，左边=右边 2=x 是原方程的解.……………..(3分)∴原方程的解为：2=x …………………………………..(4分) 15.证明： AB 是∠DAC 的平分线，∴CAB DAB ∠=∠…………………………………..(1分) 在ADB ∆和ACB ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AB AB CAB DAB AC AD …………………………………..(4分) ∴ADB ∆≌ACB ∆∴BD =BC …………………………………..(5分)16.解：10x -2x 2+5=-2〔x 2-5x 〕+5…………………………………..(3分) ∵x 2-5x =6，∴原式=-7…………………………………..(5分) 17.答案：解：〔1〕∵△ODC 的面积是3，∴6=⋅DC OD∵点C 在xky =的图象上， 2012 αDABC∴xy=k .∴(－y)x =6.∴k=xy =－6.………………………………..(1分) ∴所求反比例函数解析式为x6y -=.……………………………..(2分) 〔2〕∵CD =1，即点C (1,y )，把x =1代入6y x=-，得y=－6、∴C(1，－6)、……………………………..(3分) 把C(1，－6)代入解析式：x k y 1= ∴61-=k ……………………………..(4分)∴正比例函数的解析式为：x y 6-=……………………………..(5分) 18.解：设应有x 人去生产成衣……………………………..(1分) 根据题意得：)300(3045.1x x -=⨯……………………………..(3分) 解方程得：250=x ……………………………..(4分)答：应有250人去生产成衣.……………………………..(5分) 19.解：过点F 作MN//BC ……………………………..(1分) 四边形MFEB 和四边形FNCE 是矩形 ∴MF=BE,FN=EC设BE 为x ，那么EC =50-x ,∵︒=∠45AFM ∴AM =FM∵相邻的两根电线杆AB 与CD 高度相同DN=AM=MF=BE=x ……………………………..(2分) ∵︒=∠23DFN ∴xxFN DN DFN -==︒=∠5023tan tan ……………………………..(3分) ∵tan23°≈0.43∴0.15≈x ……………………………..(4分) ∵测角仪EF 高1.5m∴电线杆的高度16.5m ……………………………..(5分) 20.答案： (1)连结OC∵DC 切⊙O 于C ∴OC ⊥DC 又∵PA ⊥DC ∴OC ∥PA∴∠PAC =∠OCA ……………………………..(1分) 又OC =OA∴∠OCA =∠OAC ∴∠PAC =∠OAC∴AC 平分∠DAB ……………………………..(2分)NM(2)作OF ⊥AE 于F ，设⊙O 的半径为R ……………………………..(3分) 又∵PA ⊥DCOC ⊥DC ∴四边形OCDF 为矩形 ∴OF =CD =4且DF =OC =R又DA =2，∴AF=DF-AD=R -2……………………………..(4分) 在Rt △OAF 中，OF 2+AF 2=OA 2 ∴42+(R -2)2=R 2解得：R =5∴⊙O 的直径：2R =10……………………………..(5分) 21.解：〔1〕张老师抽取的样本容量是60……………………………..(2分) 〔2〕……………………………..(4分) (3)540225125=⨯…………………………..(5分)22.. 解：〔1〕分两种情况讨论.① 当0m =时，方程为x 20-=2=∴x ，方程有实数根,………………………………………….(1分) ②当0m ≠，那么一元二次方程的根的判别式()()2222314229618821m m m m m m m m m ∆=----=-+-+=++⎡⎤⎣⎦＝()21m +≥0不论m 为何实数，∆≥0成立，∴方程恒有实数根………………………………………….(2分) 综合①、②可知m 取任何实数，方程()231220mx m x m --+-=恒有实数根………………….(3分)〔2〕二次函数2(31)22y mx m x m =--+-的图象与经过〔0,0〕∴022=-m∴1=m ………………………………………….(4分)∴二次函数解析式为：x x y 22-=………………………….(5分)〔3〕在〔2〕条件下，直线y x b =+与二次函数图象只有两个交点，结合图象可知212y x xy x b⎧=-⎨=+⎩当1y y =时，得230x x b --= 由940b ∆=+= 得94b =-…………………………………….(6分)F综上所述可知：当49->b 时，直线y x b =+与〔2〕中的图象有两个交点............................................(7分) 23.在AP 上截取PM=BP ,连结BM . (1)∵ABC ∆是⊙O 的内接正三角形， ∴︒=∠=∠60ACBABC ,AB=BC ∴︒=∠=∠60ACB APB ∵PM=BP , ∴BPM ∆是正三角形 ∴︒=∠60MBP∵CBP ABM ∠=∠…………………………………….(2分)ABM ∆≌CBP ∆∴AM=PC∴AP=PB+PC …………………………………….(3分) (2) ∵过点B 做PB BN ⊥,交PA 于点N …………….(4分)∵四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，∴AB=BC,︒=∠=∠90BCD ABC ,︒=∠90AOB ∴︒=∠45APB ,PB=BN 根据勾股定理得：PB PN 2=…………………………………….(5分)∵︒=∠=∠90NBP ABC ∴CBP ABN ∠=∠ ∴ABN ∆≌CBP ∆ ∴PC AN =∴PA PC =…………………………………….(6分) (3)结论：PC PB PA +=3…………………………………….(7分)24.解：〔1〕将B 、C 两点的坐标代入得⎩⎨⎧-==++3c 0c b 39…………….(1分)解得：⎩⎨⎧-=-=32c b …………………………………….(2分)所以二次函数的表达式为：322--=x x y ……….(3分) 〔2〕存在点P ，使四边形POP /C 为菱形、设P 点坐标为〔x ，322--x x 〕，PP /交CO 于E假设四边形POP /C 是菱形，那么有PC ＝PO 、连结PP /那么PE ⊥CO 于E ，…………………………………….(4分) ∴OE =EC =23∴322--x x =23-解得1x =2102+，2x =2102-〔不合题意，舍去〕 ∴P 点的坐标为〔2102+，23-〕…………………………………….(5分) 〔3〕过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，………….(6分) 设P 〔x ，322--x x 〕，易得，直线BC 的解析式为3-=x y 那么Q 点的坐标为〔x ，x －3〕.EB QP OE QP OC AB S S S S CPQBPQ ABC ABPC ⋅+⋅+⋅=++=212121∆∆∆四边形 3)3(2134212⨯+-+⨯⨯=x x 当23=x 时，四边形ABPC 的面积最大=87523232+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x此时P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-415,23，四边形ABPC 的面积875的最大值为、 ……………………………………………………………………(7分)25.选作题解：⑴ ①174，103，52，2，52，103，174、函数1y x x=+(0)x >的图象如图、………………………………………(1分)，，……………………………………〔3分〕②此题答案不唯一，以下解法供参考、当01x <<时，y 随x 增大而减小；当1x >时,y 随x 增大而增大；当1x =时函数1y x x=+(0)x >的最小值为2、………………………(5分) ③1y x x=+=22+=22+-(7分)=22+，即1x =时，函数1y x x=+(0)x >的最小值为2、 ………………………………………(8分)………………………………………(10分)。

期末园区初二数学试卷答案

一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列各数中，正数是（）A. -3B. 0C. 1.5D. -1.2答案：C解析：正数是指大于0的数，选项中只有1.5大于0，故选C。

2. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. 3B. -2C. -3D. 2答案：B解析：绝对值是一个数去掉符号后的值，选项中-2的绝对值最小，故选B。

3. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)² = a² + b² + 2abB. (a - b)² = a² - b² + 2abC. (a + b)² = a² + b² - 2abD. (a - b)² = a² - b² - 2ab答案：A解析：根据完全平方公式，(a + b)² = a² + 2ab + b²，故选A。

4. 下列各式中，正确的是（）A. 3a²b = 3ab²B. 3a²b = 3a²b²C. 3a²b = 3ab³D. 3a²b = 3a²b答案：D解析：3a²b表示三个a²b相乘，故选D。

5. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)(a - b) = a² - b²B. (a + b)(a - b) = a² + b²C. (a + b)(a - b) = ab²D. (a + b)(a - b) = a² + ab答案：A解析：根据平方差公式，(a + b)(a - b) = a² - b²，故选A。

6. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)² = a² + b² + 2abB. (a - b)² = a² - b² + 2abC. (a + b)² = a² + b² - 2abD. (a - b)² = a² - b² - 2ab答案：A解析：根据完全平方公式，(a + b)² = a² + 2ab + b²，故选A。