空间任意力系(精选)
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第五章 空间任意力系
z B x
F
C β
α
y
A x1
y1
第五章 空间任意力系
例题6-2
§5–2 力对轴的矩
解： 1.力对轴AB的矩。
M ′ AB (F ) = M B (F )
z B x
例题 5-2 F
C β
α
y
F′
= − F cos β cos α ⋅ BC
= −3.18 N ⋅ m
应用解析式求解力对点B的矩。
M x (F ) = yFx − zFy
第五章 空间任意力系
例题6-1
§5–2 力对轴的矩
例题 5-1
由图示可以求出力F 解： 在各坐标轴上的投影和力 F 作用点C 的坐标分别 为：
Fx = F cos αcos β
Fy = F cos α sin β
Fz = F sin α
x= a = 4 m y= b = 6 m z= c =－3 m
2 2 2
力F 对原点O之矩方向余弦
cos( MO , i ) = Mx = 0.845 MO
cos( MO , j ) =
cos( MO , k ) =
My MO
= −0.531
Mz = 0.064 MO
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
例题 5-2
例5-2 在轴AB的手柄BC的一端作用着力F，试求这力对轴 AB以及对点B和点A的矩。已知AB=20 cm，BC=18 cm，F=50 N ，且α=45°，β=60°。
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
由
例题 5-1
M x (F ) = yFx − zFy
My (F ) = zFx − xFz
F
C β
α
y
A x1
y1
第五章 空间任意力系
例题6-2
§5–2 力对轴的矩
解： 1.力对轴AB的矩。
M ′ AB (F ) = M B (F )
z B x
例题 5-2 F
C β
α
y
F′
= − F cos β cos α ⋅ BC
= −3.18 N ⋅ m
应用解析式求解力对点B的矩。
M x (F ) = yFx − zFy
第五章 空间任意力系
例题6-1
§5–2 力对轴的矩
例题 5-1
由图示可以求出力F 解： 在各坐标轴上的投影和力 F 作用点C 的坐标分别 为：
Fx = F cos αcos β
Fy = F cos α sin β
Fz = F sin α
x= a = 4 m y= b = 6 m z= c =－3 m
2 2 2
力F 对原点O之矩方向余弦
cos( MO , i ) = Mx = 0.845 MO
cos( MO , j ) =
cos( MO , k ) =
My MO
= −0.531
Mz = 0.064 MO
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
例题 5-2
例5-2 在轴AB的手柄BC的一端作用着力F，试求这力对轴 AB以及对点B和点A的矩。已知AB=20 cm，BC=18 cm，F=50 N ，且α=45°，β=60°。
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
由
例题 5-1
M x (F ) = yFx − zFy
My (F ) = zFx − xFz
讲空间任意力系资料
MO
FR
MO d FR MO (FR ) MO (F)
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢 量和.
合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和. （2）合力偶
当 FR 0,MO 0 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。
（3）力螺旋
当 FR 0, MO 0, FR ∥MO 时
M AB F 0 M AE F 0
F6
a
a 2
P
0
F6
P 2
F5 0
M AC F 0
F4 0
MEF F 0
F6
a
a 2
P
F1
ab 0 a2 b2
MFG F 0
Fb
b 2
P
F2b
0
MBC F 0
F2
b
b 2
P
F3
cos
45
b
0
F1 0 F2 1.5P
F3 2 2P
Fr 0.36F , R 50mm, r 30mm
各尺寸如图
求： (1) Fr , F（2）A、B处约束力 （3）O 处约束力
解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图
Fx 0
Fy 0
F FBx FAx Fx 0 FBy Fy 0
Fz 0
F FBz FAz Fz 0
MOy —偏航力矩
MOz —俯仰力矩
飞机向前飞行
飞机上升 飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
2． 空间任意力系的简化结果分析（最后结果） 1） 合力
当 FR 0, MO 0最后结果为一个合力.
合力作用点过简化中心.
当
FR 0, MO 0, FR MO
空间任意力系的简化)汇总
z
3cm 5cm
B
D
o x
y
A
P
9
解: 根据力对轴的矩的定义计算
作和x轴垂直的平面M1.
找出交点O. z 确定力P在平面 M1内的分力 Pyz=1.732 kN. o 在平面M1内确定 力Pyz到矩心O的距 x 离即力臂d1=8cm
5cm
B
3cm
D
d1 A
M1
y
Pyz P
计算力Pyz对点A的矩亦即力P对x轴的矩
z
A'
O'
C'
MD FR'
B'
最后简化结果为左螺旋.
o
D
A B
C
y
x
30
力对轴的矩
z
图示门，求力 F 对z
（矩轴）的矩。 将力分解：
F
O
d
Fz
A
F Z∥ z 轴 F xy ⊥z 轴
于是：Mz(F) = M
O(Fxy)
F xy
=Fxyd =2OA’B’面积
3
结论：力对轴的矩等于该力在垂直于此轴的平面上的分力
对此轴与这个平面交点的矩。
说明: （1）力对轴的矩是代数量。 正负号规定：右手螺旋法则。 （2）若力与轴空间垂直，则 无须分解。 （3）若 F // z 轴
所组成的空间力偶系可合成为一个力偶 , 其力
偶矩矢Mo称为原力系对简化中心的主矩. Mo = Mi = mo(Fi)
20
结论: 空间任意力系向任一点简化, 一般可得到
一个力和一个力偶. 这个力作用在简化中心, 它的 矢量称为原力系的主矢,并等于这力系中各力的矢 量和; 这个力偶的力偶矩矢等于原力系中各力对简 化中心的矩的矢量和,并称为原力系对简化中心的 主矩. 主矢FR'只取决于原力系中各力的大小和方向, 与简化中心的位置无关 ;而主矩 Mo 的大小和方向 都与简化中心的位置有关.
3cm 5cm
B
D
o x
y
A
P
9
解: 根据力对轴的矩的定义计算
作和x轴垂直的平面M1.
找出交点O. z 确定力P在平面 M1内的分力 Pyz=1.732 kN. o 在平面M1内确定 力Pyz到矩心O的距 x 离即力臂d1=8cm
5cm
B
3cm
D
d1 A
M1
y
Pyz P
计算力Pyz对点A的矩亦即力P对x轴的矩
z
A'
O'
C'
MD FR'
B'
最后简化结果为左螺旋.
o
D
A B
C
y
x
30
力对轴的矩
z
图示门，求力 F 对z
（矩轴）的矩。 将力分解：
F
O
d
Fz
A
F Z∥ z 轴 F xy ⊥z 轴
于是：Mz(F) = M
O(Fxy)
F xy
=Fxyd =2OA’B’面积
3
结论：力对轴的矩等于该力在垂直于此轴的平面上的分力
对此轴与这个平面交点的矩。
说明: （1）力对轴的矩是代数量。 正负号规定：右手螺旋法则。 （2）若力与轴空间垂直，则 无须分解。 （3）若 F // z 轴
所组成的空间力偶系可合成为一个力偶 , 其力
偶矩矢Mo称为原力系对简化中心的主矩. Mo = Mi = mo(Fi)
20
结论: 空间任意力系向任一点简化, 一般可得到
一个力和一个力偶. 这个力作用在简化中心, 它的 矢量称为原力系的主矢,并等于这力系中各力的矢 量和; 这个力偶的力偶矩矢等于原力系中各力对简 化中心的矩的矢量和,并称为原力系对简化中心的 主矩. 主矢FR'只取决于原力系中各力的大小和方向, 与简化中心的位置无关 ;而主矩 Mo 的大小和方向 都与简化中心的位置有关.
5 理论力学--空间任意力系
z FAz Mz
FAy My
y
x
Mx A FAx
图5-8
因此，按照空间任意力系简化理论，将固定端处 的约束力向固定端点A处简化，得到一个力和一个力 偶。 这个力的大小和方向不能确定，所以用三个正交 的分力来表示；这个力偶的大小和方向也不能确定， 也用三个正交的分量表示。
5.3 空间任意力系的平衡方程
A
Fy 0
列平衡方程
F F4 cos 0 F2 cos a F a 0
F3
y
x
O x MO
F2
y
主矢 的大小和方向余弦分别为
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
图5-5
, cos(FR , k )
cos( FR , i )
F
FR
x
, cos(FR , j )
F
FR
y
F
FR
z
空间力偶系可合成为一个力偶
5.3.1 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系的 主矢和对任意一点的主矩均等于零。
M O M O (F ) 0 FR F 0
空间任意力系的平衡方程
F 0 F 0 其中包含有三个投影方程和三个 F 0 力矩方程，共计6个独立方程，可 M (F ) 0 解6个未知量。 M (F ) 0 M (F ) 0
O
M (F ) ,k M
z O
结 论
空间任意力系向任一点简化后，一般得到一个 力和一个力偶 。 这个力作用于简化中心，其力矢等于原力系的主矢。 这个力偶的力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。 空间任意力系的主矢与简化中心的位置无关，而 主矩一般随简化中心位置的改变而改变，与简化中心 的位置有关。
FAy My
y
x
Mx A FAx
图5-8
因此，按照空间任意力系简化理论，将固定端处 的约束力向固定端点A处简化，得到一个力和一个力 偶。 这个力的大小和方向不能确定，所以用三个正交 的分力来表示；这个力偶的大小和方向也不能确定， 也用三个正交的分量表示。
5.3 空间任意力系的平衡方程
A
Fy 0
列平衡方程
F F4 cos 0 F2 cos a F a 0
F3
y
x
O x MO
F2
y
主矢 的大小和方向余弦分别为
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
图5-5
, cos(FR , k )
cos( FR , i )
F
FR
x
, cos(FR , j )
F
FR
y
F
FR
z
空间力偶系可合成为一个力偶
5.3.1 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系的 主矢和对任意一点的主矩均等于零。
M O M O (F ) 0 FR F 0
空间任意力系的平衡方程
F 0 F 0 其中包含有三个投影方程和三个 F 0 力矩方程，共计6个独立方程，可 M (F ) 0 解6个未知量。 M (F ) 0 M (F ) 0
O
M (F ) ,k M
z O
结 论
空间任意力系向任一点简化后，一般得到一个 力和一个力偶 。 这个力作用于简化中心，其力矢等于原力系的主矢。 这个力偶的力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。 空间任意力系的主矢与简化中心的位置无关，而 主矩一般随简化中心位置的改变而改变，与简化中心 的位置有关。
空间任意力系
66 N m
Mz bF cos sin F cos cos 8 N m
MO
M x2
M
2 y
M
2 z
124.3 N m
32
第33页/共68页
例题
空间任意力系
例题2
力F 对原点O之矩方向余弦：
cos( MO , i)
Mx MO
0.845
cos( MO ,
j)
My MO
0.531
力。
48
第49页/共68页
例题
空间任意力系
例题7
z
FA
FB
O1
E
M
D
x
O2
G
FC
y
解：
1.取货车为研究对象，受力分析如
图。
2.列平衡方程。
O3
Fz 0, FA FB FC G 0
Mx 0, FC O3D G EM 0
3.联立求解。
M y 0, G O1E FC O1D FB O1O2 0
动画
第5章 空间任意力系
空间力系向任一点的简化
9
第10页/共68页
动画
第5章 空间任意力系
空间力系向任一点的简化意义
10
第11页/共68页
动画
第5章 空间任意力系
力线平移实例
11
第12页/共68页
动画
第5章 空间任意力系
力线平移实例
12
第13页/共68页
动画
第5章 空间任意力系
主矢F'R≠0 ，主矩 MO≠0 ， 若 主 矢 F'R 垂 直 于 主矩MO ，则原空间任意力 系合成为一个力FR。
M y F zFx xFz
Mz bF cos sin F cos cos 8 N m
MO
M x2
M
2 y
M
2 z
124.3 N m
32
第33页/共68页
例题
空间任意力系
例题2
力F 对原点O之矩方向余弦：
cos( MO , i)
Mx MO
0.845
cos( MO ,
j)
My MO
0.531
力。
48
第49页/共68页
例题
空间任意力系
例题7
z
FA
FB
O1
E
M
D
x
O2
G
FC
y
解：
1.取货车为研究对象，受力分析如
图。
2.列平衡方程。
O3
Fz 0, FA FB FC G 0
Mx 0, FC O3D G EM 0
3.联立求解。
M y 0, G O1E FC O1D FB O1O2 0
动画
第5章 空间任意力系
空间力系向任一点的简化
9
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动画
第5章 空间任意力系
空间力系向任一点的简化意义
10
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动画
第5章 空间任意力系
力线平移实例
11
第12页/共68页
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第5章 空间任意力系
力线平移实例
12
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动画
第5章 空间任意力系
主矢F'R≠0 ，主矩 MO≠0 ， 若 主 矢 F'R 垂 直 于 主矩MO ，则原空间任意力 系合成为一个力FR。
M y F zFx xFz
空间任意力系
′ FR = 0, M O = 0
{
∑ X = 0, ∑ Y = 0, ∑ Z = 0 ∑ M ( F ) = 0, ∑ M ( F ) = 0, ∑ M ( F ) = 0
x y z
对于空间平行力系，
z
∑Z =0 ∑ M (F ) = 0 ∑ M (F ) = 0
x y
O
y
x
6.5.3 重心 刚体在地表面无论如何放置，其平行分布重力的 合力的作用线都过此物体上一个确定的点，该点称为 物体的重心。 均质物体的重心位置只取决于其体积和形状,与 物体的几何中心重合，也称为形心，形心坐标的计 算公式为，
FCy
FCx
− FAy • 5 + FAx • 5 = 0
C
FAy
5
FAx
FAx = 0
A
5
∑ X = 0, ∑ Y = 0,
FCx + F1 + FAx = 0
FAy + FCy = 0
FCx = −50kN
FCy = 0
对整体：∑ X = 0,
− FBx + F1 = 0
FBx = 50kN
4-16（b）：求A、B、C约束反力。
i =1 i =1 i =1
n
n
n
合力矩定理：
若空间任意力系可以合成为一个合力，则其 合力对于任一点（或轴）之矩等于力系中各力对 于同一点（或轴）之矩的矢量和（或代数和）。 表示为，
M O ( FR ) = ∑ M O ( Fi )
n
M e ( FR ) = ∑ M e ( Fi )
i =1
i =1 n
(2) 负面积法 将图形补足成一 规则的矩形，则：
第5章 空间任意力系
例5-8 已知：Fx 4.25N,Fy 6.8N, Fz 17N, Fr 0.36 F , R 50mm , r 30mm 各尺寸如图
求： (1) Fr , F （2）A、B处约束力（3）O 处约束力
解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图
F F F
x y
0 0 0
物体的重心（形心）与静矩 1． 计算重心坐标的公式 对y轴用合力矩定理
有 对x轴用合力矩定理
有
再对x轴用合力矩定理
则计算重心坐标的公式为 （4–14） 对均质物体，均质板状物体，有
称为重心或形心公式
2． 确定重心的悬挂法与称重法 （1） 悬挂法
图a中左右两部分的重量是否一定相等？
（2） 称重法
例5-2,有点问题？ 已知： 物重P=10kN，CE=EB=DE； 30 求：杆受力及绳拉力
0
，
解：画受力图如图， 列平衡方程
F F F
x
0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
y
0 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0 F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0 结果： F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
求：力
对 x, y, z轴的矩
=0
=
= =
+0
-
= =
则
+ 0
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩。
§5–2 空间任意力系的平衡条件
空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、 主矩分别为零。 1.空间任意力系的平衡方程
理论力学空间任意力系
(M
zi
)2
cos(M , i) M x cos(M , j) M y cos(M , k) M z
M
M
M
平衡条件
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :
M 0合力偶矩矢等于零
M ( M xi )2 ( M yi )2 (M zi )2
平衡方程
M ix M iy
0 0
M iz
M 2 M 2 sin
j M 2 cos
k
3 5
F
20.2
j
4 5
F
20.2k
合力偶矩矢 M M1 M 2 60i 12 j 16k
大小： M 602 122 162 63.25(N m)
（1）研究多个力偶的合成或力偶系的平衡，只要用力偶矩矢 进行运算即可；
（2）求合力偶矩矢时，一般只需求得其沿各坐标轴的分量即可。 也可进一步分析合力偶矩矢的大小及其方位角。
力与轴平行或与轴相交——即力与轴在同一平面内 时，力对该轴的矩为零。
Mz (F ) MO (Fxy) Fxy d M z (F) Mo (Fxy ) Fxy h
力对轴之矩等于力在该轴垂直面上的投影对该轴和 投影面的交点之矩
3、力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系
r
r
rrr
已知：力 F及r 力 F在三根坐标轴上的分力 ，Fx ，Fy， Fz
四、空间任意力系
1、空间任意力系向一点的简化
F1 F1 , F2 F2 , , Fn Fn M1 MO (F1), M2 MO (F2 ), , Mn MO (Fn )
n
FR F1 F2 F3 F1 F2 F3 Fi i 1 n
M O M1 M 2 M 3 M O F1 M O F2 M O F3 M O Fi
空间任意力系
，其上作用有铅直载荷F。钢丝OA和OB所构成的平面垂直于铅直平面Oyz， 并与该平面相交于OD，而钢丝OC则沿水平轴y。已知OD与轴z间的夹角为β
，又∠AOD = ∠BOD = α，试求各钢丝中的拉力。
第4章
空间力系
例题 5-3
§4-1 空间汇交力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 4-3
解：取O点为研究对象，受力分 析如图所示，这些力构成了空间
比较可得
MO F x M x F MO F y M y F MO F z M z F
力对坐标原点的矩在各坐标轴上的投影，等于该力对相
应坐标轴的矩。
第4章 空间力系
§4–2 力对轴的矩
坐标轴的矩。 几何证明
力矩关系定理
力对坐标原点的矩在各坐标轴上的投影，等于该力对相应
方向余弦
cos( M O , i ) yFz zFy MO ,
zF xFz cos( M O , j ) x , MO
cos( M O , k )
xFy yFx MO
第4章
空间力系
§4–2 力对轴的矩
思考题
思考题
受力情况如图所示，求（1）F1力对 x，y，z 轴的矩，（2） F2力 对 z′轴的矩。
力对坐标轴的矩的解析表达式
M x F yFz zFy ,
M y F zFx xFz ,
M z F xFy yFx
力对原点的矩的解析表达式
M O ( F ) yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
A
x
x
F Fx2 Fy2 Fz2 4.52 6.32 182
，又∠AOD = ∠BOD = α，试求各钢丝中的拉力。
第4章
空间力系
例题 5-3
§4-1 空间汇交力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 4-3
解：取O点为研究对象，受力分 析如图所示，这些力构成了空间
比较可得
MO F x M x F MO F y M y F MO F z M z F
力对坐标原点的矩在各坐标轴上的投影，等于该力对相
应坐标轴的矩。
第4章 空间力系
§4–2 力对轴的矩
坐标轴的矩。 几何证明
力矩关系定理
力对坐标原点的矩在各坐标轴上的投影，等于该力对相应
方向余弦
cos( M O , i ) yFz zFy MO ,
zF xFz cos( M O , j ) x , MO
cos( M O , k )
xFy yFx MO
第4章
空间力系
§4–2 力对轴的矩
思考题
思考题
受力情况如图所示，求（1）F1力对 x，y，z 轴的矩，（2） F2力 对 z′轴的矩。
力对坐标轴的矩的解析表达式
M x F yFz zFy ,
M y F zFx xFz ,
M z F xFy yFx
力对原点的矩的解析表达式
M O ( F ) yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
A
x
x
F Fx2 Fy2 Fz2 4.52 6.32 182
空间任意力系
B
Fx
mz ( F ) mz ( Fx ) Fx a 25 2 50N .m
x
Fy a 2m
y
11
[练习1] 已知P=2000N, C点在Oxy平面内，求力P对三个 坐标轴的矩。
解：
Pz P sin 45 1000 2N
Pxy P cos45 1000 2 N Px Pxy sin 60 500 6 N Py Pxy cos60 500 2 N
mO ( F ) ( m x ( F )) 2 ( m y ( F )) 2 ( m z ( F )) 2
my (F ) mx ( F ) mz ( F ) cos ,cos ,cos mO ( F ) mO ( F ) mO ( F )
17
§5-3 空间汇交力系的合成与平衡
"
29
⑵ R '∥ M o ; 这种情况力与力偶不能再合成，这就是 力系简化的最终结果，称为力螺旋。如钻孔、攻丝、拧木
螺钉等。
力螺旋中力的作用线称为原力系的中心轴，中心轴过简 化中心。
O·
Mo R'
=
R' · O
O·
R'
Mo
=
· O
R'
右螺旋
左螺旋
力螺旋与力、力偶一样，都是组成力系的基本元素。
30
z
mo ( F )
F
B
r
A
x
O
b y
a Fxy
力对点的矩矢在过该点的任一轴上的投影等于力对该 轴的矩。
[mo (F )]z mz (F )
16
利用力对点之矩与对通过该点的轴之矩的关系计算力
理论力学第5章-空间任意力系
物G = 100 kN的重物，绞车处于平衡状态，结构的几何尺寸如图 所示。试求胶带的拉力和轴承A、B的约束力。
100
z
100
FAz
A y
F
FAx
x
100 FBz
B
（
C
a
FBx
）
G
D
b
F2 F1
解： 取整体为研究对象。
列平衡方程
M y(F) 0
G
D 2
F1
d 2
F2
d 2
0
Mx (F) 0 200FBz 300F1 cos 300F2 cos b 100G 0
(4) FR 0
且 MO 0
FR MO
可进一步简化。
MO O
FR
O FR d FR
O1
FR
O d FR
O1
原力系合成为合力 ，合力矢等于原力系的主矢，
其作用线距简化中心的距离为
d MO FR
由上述分析可知 MO MO (FR ) 而 MO MO(F )
由此得
MO (FR ) MO (F)
F2 200 kN FAz 446.41kN
FBx 1189.23kN FBz 919.62 kN
由于 Fy 0 ，因此本例题只有5个独立的平衡方程。
5.4 平行力系中心 、重心 5.4.1 平行力系中心
设在刚体上的A、B两点，分别作用有同向平行力
F1和F2，。利用平面任意力系的简化理论，可求得它们
5.1.3 力矩关系定理
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx
同理得
M x (F ) yFz zFy
100
z
100
FAz
A y
F
FAx
x
100 FBz
B
（
C
a
FBx
）
G
D
b
F2 F1
解： 取整体为研究对象。
列平衡方程
M y(F) 0
G
D 2
F1
d 2
F2
d 2
0
Mx (F) 0 200FBz 300F1 cos 300F2 cos b 100G 0
(4) FR 0
且 MO 0
FR MO
可进一步简化。
MO O
FR
O FR d FR
O1
FR
O d FR
O1
原力系合成为合力 ，合力矢等于原力系的主矢，
其作用线距简化中心的距离为
d MO FR
由上述分析可知 MO MO (FR ) 而 MO MO(F )
由此得
MO (FR ) MO (F)
F2 200 kN FAz 446.41kN
FBx 1189.23kN FBz 919.62 kN
由于 Fy 0 ，因此本例题只有5个独立的平衡方程。
5.4 平行力系中心 、重心 5.4.1 平行力系中心
设在刚体上的A、B两点，分别作用有同向平行力
F1和F2，。利用平面任意力系的简化理论，可求得它们
5.1.3 力矩关系定理
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx
同理得
M x (F ) yFz zFy
5-空间任意力系
第五章空间任意力系空间力系：力的作用线不位于同一平面内。
空间力系包括：空间汇交力系空间力偶系空间任意力系§5-1 空间任意力系向一点的简化，主矢和主矩一、力平移定理作用于刚体上的任一个力可以平移到刚体上任一点O，但除该力外，还需加上一个附加力偶，其力偶矩矢等于该力对于O点的力矩矢。
力向一点平移力向一点平移的结果:一个力和一个力偶,力偶的力偶矩等于原来力对平移点之矩.FF－FMOM-FFFFF －FFMFM xM yF二、空间任意力系向一点的简化图示力系向O 点简化力F 1平移到O 点F 1F 2F 3F nOF 1M 1O将每个力向简化中心平移F 1F 2F 3F nF 1F 2F nM 1M 2M nOF 1F 2F nM 1M 2M n将所有的力都平移到O 点后，得到一个空间汇交力系和一个空间力偶系。
空间汇交力系的合成结果为一个合力—主矢∑==n i iR F F 1空间力偶系的合成结果为一个合力偶—主矩∑==n i iO M M 1F RM O主矢作用于简化中心O ，与简化中心的选择无关主矩与简化中心的选择有关情况1：F R ≠ 0, M O =0 合力情况2：F R = 0, M O ≠ 0合力偶四、空间任意力系向某一点(O )简化结果的分析空间任意力系向某一点(O )简化结果有如下四种情况：情况4：F R = M O =0 零力系(平衡力系)情况3：F R ≠ 0, M O ≠ 0(最普遍情况，下面还将进一步讨论)空间任意力系一般情况（F R ≠ 0, M O ≠ 0）的进一步讨论，1、F R 垂直于M O2、F R 平行于M O3、 F R 既不平行也不垂直M O 该情况又可进一步区分为下述三种情况：三种结果可进一步讨论如下M OF R最后结果F Rd =M /F R1、F R 垂直于M O 可最终简化为通过点O’的合力O’2、F R 平行于M OxyzM OxF Rd =M /F R无法进一步简化，力螺旋工程实例xyzM OxM OyF RxyzM OxF Rd =M /F R最后结果F RM Oxyz情况3：F R 既不平行也不垂直M O力螺旋O’§5-2 空间任意力系的平衡条件空间任意力系的平衡条件为：主矢和主矩都等于零。
05 空间任意力系[37页]
![05 空间任意力系[37页]](https://img.taocdn.com/s3/m/94b7afaff78a6529647d53f4.png)
主矢：
FR F1 F2 Fn F
主矢的大小： FR Fx 2 Fy 2 Fz 2
主矢的方向余弦：
cosa
Fx FR
cos
Fy FR
cos
Fz FR
5.2 空间任意力系的简化
主矩： MO MO F1 MO F2 MO Fn MO F
主矩的投影：
MOx MO F1 x MO F2 x MO Fn x
Mx F1 Mx F2 Mx Fn Mx F
同理： MOy M y F
MOz Mz F
主矩大小： MO
主矩方向余弦：
cosa M x F MO
Mx F 2 M y F 2 Mz F 2
cos M y F MO
5.2 空间任意力系的简化
（4）主矢 FR 0 ，主矩 MO 0，且 FR MO
MO
O
FR
FR = FR = FR FR
O
d FR
d=
MO
FR
O1
FR
d O1
O
FR
原力系最终简化为一合力。合力的作用线通过 O1。
合力对 O 点的矩矢 MO FR FRd 对 O 点的主矩 MO MO F
B
O
F1
A F2 C
MO F r F
5.1 力对点的矩矢
MO F r F
MO F F r sina Fd
垂直于 F 和 r 所确定的平面 指向由右手螺旋法则 确定
z MO(F)
j
r
x
iO d
k
B
aF A（x, y, z） y
r xi yj zk
F Fxi Fy j Fzk
x
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