高三数学第一轮复习 第2编 8幂函数课件 新人教B版
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高三数学一轮复习2-8 幂函数
2 (2)函数 y＝x7＝7 x2，定义域为 R，值域为[0，＋∞)．因为
2
11
函数的定义域关于原点对称，且 f(－x)＝(－x)7＝[(－x)2]7＝(x2)7
2
2
＝x7＝f(x)，所以函数 y＝x7是偶函数．在(－∞，0)上是减函数，
在(0，＋∞)上是增函数，其图像如图 2.
【答案】 (1)定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域(－∞，0)∪(0， ＋∞)，奇函数，减区间(－∞，0)，(0，＋∞)．
即 log219>log79>log89>1. 2
∵y＝12x在 R 上是减函数，
∴1>123>12π>0.又
log13<0， 2
综上：log2129>log79>log89>123>12π>log123.
【答案】 log2129>log79>log89>123>12π>log123
第8课时 幂函数及基本初等函数的 应用
…2019 考纲下载… 1．了解幂函数的概念．
1 2．结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x2的图像，了 解它们的变化情况． 请注意 从近几年的新课标高考试题来看，幂函数的内容要求较低， 只要求掌握简单幂函数的图像与性质．
课前自助餐
1.幂函数 (1)定义：形如 y＝xα (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)幂函数的图象比较
x∈(0，+∞）时，减 x∈（-∞，0)时，减
(1,1) (0,0)
(1,1) (0,0)
(1,1)
增
(1,1) (0,0)
幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上有定义，并且图像都通过点 _(_1_，_1_)_．
《幂函数》人教B版高中数学教用课件1
(3) 在第一象限内，图象向上与 y 轴无限地接近，
人 教 A 版 高中 数学必 修一课 件：2 .3幂函 数共15 张PP
图象向右与 x 轴无限地接近 。
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一般幂函数的性质
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，因函数式中
的不同而各异.
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇 非奇非偶 奇
[0,+∞)增
单调性 增
增
增
(-∞,0]减
过公共点
(0,0) (1,1)
(0,0) (1,1)来自(0,0), (1,1)
(0,0) (1,1)
(0,+∞)减 (-∞,0)减
(1,1)
幂函数在第一象限的性质小结
当> 0时 y
>1 y＝x ( 1)
1
0< <1
x
O
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课堂小结
(1) 幂函数的定义； (2) 幂函数的性质； (3) 利用幂函数的单调性判别大小.
人 教 A 版 高中 数学必 修一课 件：2 .3幂函 数共15 张PP
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作业
(1) 课本P79页1，2. (2)课本P82页10； (3)课本P44页10.
•
2.许地山这样说，也是这样做的，他 长大后 埋头苦 干，默 默奉献 ，成为 著名的 教授和 作家， 他也因 此取了 个笔名 叫落花 生，这 就是他 笔名的 由来。
•
3.在伟大庄严的教堂里，从彩色玻璃 窗透进 一股不 很明亮 的光线 ，沉重 的琴声 好像是 把人的 心都洗 淘了一 番似的 ，我感 到了我 自己的 渺小。
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图象向右与 x 轴无限地接近 。
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一般幂函数的性质
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，因函数式中
的不同而各异.
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇 非奇非偶 奇
[0,+∞)增
单调性 增
增
增
(-∞,0]减
过公共点
(0,0) (1,1)
(0,0) (1,1)来自(0,0), (1,1)
(0,0) (1,1)
(0,+∞)减 (-∞,0)减
(1,1)
幂函数在第一象限的性质小结
当> 0时 y
>1 y＝x ( 1)
1
0< <1
x
O
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课堂小结
(1) 幂函数的定义； (2) 幂函数的性质； (3) 利用幂函数的单调性判别大小.
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作业
(1) 课本P79页1，2. (2)课本P82页10； (3)课本P44页10.
•
2.许地山这样说，也是这样做的，他 长大后 埋头苦 干，默 默奉献 ，成为 著名的 教授和 作家， 他也因 此取了 个笔名 叫落花 生，这 就是他 笔名的 由来。
•
3.在伟大庄严的教堂里，从彩色玻璃 窗透进 一股不 很明亮 的光线 ，沉重 的琴声 好像是 把人的 心都洗 淘了一 番似的 ，我感 到了我 自己的 渺小。
高三数学一轮复习之幂函数课件
A．d c b a C．b d c a
B．d b c a D．b c d a
考点探究
3
5
（3）已知点（3，28）在函数 （f x）＝xn+1 的图象上，设 a f 3 ，b＝（f lnπ），c f 4 ，
则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
幂函数
方法点拨
1．幂函数的概念 一般地，形如 y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量，α为常数．
方法点拨
2．五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性
质
y＝x
y＝x2
图象
定义域 值域 奇偶性
单调性
公共点
R
R
R
{y|y≥0}
奇
偶
增
(－∞，0)减，
(0，＋∞)增
y＝x3
R R 奇 增 (1，1)
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
（4）已知幂函数 y xa 的图像满足，当 x (0,1) 时，在直线 y x 的上方；当x (1, ) 时，
在直线 y x 的下方，则实数a 的取值范围是_______________.
考点探究
考点四：幂函数综合问题
例 4（. 1）已知函数 y axa b 1是幂函数，直线mx ny 2 0(m 0,n 0) 过点(a, b) ，
b f log2 5 ，c f m ，则a,b, c 的大小关系为（ ）
A．a b c
B．a c b
C．c a b
D．c b a
考点探究
（2）已知幂函数 f x x m2m 1 m N* ，经过点 2, 2 ，试确定m 的值，并求满足
条件 f 2 a f a 1 的实数 a 的取值范围.
届高三数学一轮复习(新人教B版)幂函数与幂函数的图象变换精品PPT课件
• 5．有关结论
• 若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，则y＝ f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形．
• 误区警示
• 1．对于函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)一定要区 分开来，前者将y＝f(x)位于x轴下方的图 象翻折到x轴上方，后者将y＝f(x)图象在y 轴左侧图象去掉作右侧关于y轴的对称图， 后者是偶函数而前者y≥0.比如y＝|sinx|与y ＝sin|x|.
答案：(23，32)∪(－∞，－1)
• 已知幂函数f(x)＝xm2－6m＋5 (m∈Z)为奇 函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则 f(x)的解析式为________．
• 解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数， • ∴m2－6m＋5<0，∴1<m<5. • ∵m∈Z，∴m＝2或3或4. • ∵f(x)是奇函数，∴m2－6m＋5应为奇
数．
[例3] 作出下列函数的图象 (1)y＝|xx3|； (2)y＝xx－＋12； (3)y＝|log2x－1|; (4)y＝2|x－1|.
• 二、图形变换方法
• 作图是学习和研究函数的基本功之一．变 换法作图是应用基本函数的图象，通过平 移、伸缩、对称等变换，作出相关函数的 图象．应用变换法作图，要求我们熟记基 本函数的图象及其性质，准确把握基本函 数的图象特征．
[例1]
已知点
33，3
3 在幂函数f(x)的图象上，则
f(x)的表达式是
• 一般幂函数图象的形状特征及其分布．
• 对于幂函数y＝xα(α∈R)，当α＝1时，y＝ x的图象是直线；当α＝0时，y＝x0＝ 1(x≠0)的图象是直线(不包括(0,1)点)．其 它一般情况的图象如下表：
• 3.性质：
• (1)当α>0时，幂函数图象(都0,0过) (1点,1)和 点；且在第增一象限都是 函数；当0<α<1时 曲线上凸；当α>1时，曲线下凸；α＝直线1．时， 为过(0,0)点和(1,1)点的 (1,1)
新人教版高中数学《幂函数》PPT优质课件1
y x3
4、如果正方形场地面积为x，那么正方形的边长y为
1
y x2
5、如果小兰在x秒内骑车行进了1km，那么她骑车的速
度y是
y x1
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二、基础知识讲解 新人教版高中数学《幂函数》PPT优质课件1
1、幂函数的定义：
一般的，函数 y = xα 叫做幂函数，
x2
[0, )，且x1
x
，
2
x1 x2 0, x1 x2 0,
f ( x1) f ( x2 ) 0，即f ( x1) f ( x2 ),
m2 m 1 1 解得m 2或m 1, 当m 2时，m 2 m 3 3，即f ( x) x3 , 满足在(0, )上是增函数； 当m 1时，m 2 m 3 3，即f ( x) x3 , 在(0, )上是减函数，不符合题意；
所求函数解析式为f (x) x3.
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3.5 幂函数
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一、实例探究 新人教版高中数学《幂函数》PPT优质课件1
1、如果小红购买了每千克1元的水果x千克，那么她需
Байду номын сангаас要付的钱数y是 y x
2、如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y为
y x2
3、如果正方体的边长为x，那么正方体的体积y为
二、基础知识讲解 新人教版高中数学《幂函数》PPT优质课件1
y x1
y
y x1
2 1 1 2
x
定义域：_{__x__x___0_}____
值 域：_{__y__y___0_}____ 奇偶性： _奇__函___数_______ 单调性： 在__(_0_,____)_上__是__减函数
高三数学一轮复习 函数与方程、函数模型及应用课件 新人教B版
• 四、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实根的 符号与系数之间的关系 • 1．方程有两个不相等的正实数根⇔
• 2．方程有两个不相等的负实根⇔
• 五、一元二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的区间根问 题 • 研究一元二次方程的区间根，一般情况下需要从以下三 个方面考虑： • 1．一元二次方程根的判别式； • 2．对应二次函数区间端点函数值的正负；
(3)若f(x0)· f(b0)<0，则方程f(x)＝0的一个根位于区间 (x0，b0)中，令a1＝x0，b1＝b0. 1 第四步：取区间(a1，b1)的中点x1＝ 2 (a1＋b1)，重复第 二、第三步，……直到第n次，方程f(x)＝0的一个根总在 区间(an，bn)中． 第五步：当|an－bn|<ε，(ε是规定的精确度)时，区间 (an，bn)内的任何一个值就是方程f(x)＝0的一个近似根． 注意：二分法只适用于求函数f(x)的变号零点．
解析：(1)设投资x万元时，A产品的利润为f(x)万 元，B产品的利润为g(x)万元． 由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2 x， 1 1 由图知f(1)＝4，∴k1＝4. 5 5 又g(4)＝2，∴k2＝4. 1 5 从而f(x)＝ x(x≥0)，g(x)＝ x(x≥0)． 4 4
• 解析：(1)当0<x≤100时，f(x)＝60； • 当100<x≤600时，f(x)＝60－(x－100)×0.01＝61－ 0.01x.
60 ∴f(x)＝ 61－0.01x
0<x≤100 . 100<x≤600
• • • • •
(2)设利润为y元，则0<x≤100时， y＝60x－50x＝10x， ∴x＝100时，ymax＝1000元． 当100<x≤600时， y＝(61－0.01x)·x－50x＝11x－0.01x2
幂函数人教版高中数学必修一PPT课件
•
所以当x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．
39
幂函数 图象
定义域
y＝x R
y＝x2 R
y＝x3 R
3
知识点聚焦：
二、幂函数的图象与性质
4
知识点聚焦：
5
幂函数人教版高中数学必修一PPT课件
探究一 幂函数的概念
• 【例】函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求 f(x)的解析式．
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•
3
(1)y＝x5 ；
2
(2)y＝x5 ；
8
(3)y＝x5 ；
(4)y＝x−45.
幂函数人教版高中数学必修一PPT课件
13
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解析：
幂函数人教版高中数学必修一PPT课件
14
解析：
15
解析：
16
解析：
17
方法归纳：
• 作幂函数f(x)＝xα图象的步骤： • (1)判断f(x)在(0，＋∞)的单调性，并作出f(x)在(0，＋∞)上的简图， •
7
幂函数人教版高中数学必修一PPT课件
方法归纳：
• (1)判断幂函数的依据： • 形如y＝xα的函数叫幂函数，它具有三个特点： • ①系数为1. ②指数为一常数(也可以为0)．③后面不加任何项． • (2)幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的区别：
函数名称 幂函数 指数函数
函数解析式 y＝xα
• (2)把f(x)＝xα转化为无理根式，确定定义域． • (3)若f(x)的定义域不关于原点对称，则f(x)是非奇非偶函数，若f(x)的定义域关于原
高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第8讲 幂函数课件 理
在(0，＋∞)上， 单__调__递__减__
定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
1．所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是( C )
A．(0,0)
C．(1,1)
1
2．函数 y＝x3 的图象是( B )
B．(0,1) D．(－1，－1)
3．已知幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则 f13＝( B )
调性(比较大小)．命题
图象，了解它们
形式一般为选择题、填
的变化情况
空题中的一部分
1．幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自 变量，α是常数．
2．幂函数的图象
1
五个常用幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 2 ，y＝x－1 的图 象，如图 2-8-1.
答案：E C A G B D H F 【规律方法】(1)探讨幂函数图象的分布规律，应先观察图 象是否过原点，过原点时α>0，否则α<0；若α>0，再观察图象 是上凸还是下凸，上凸时 0<α<1，下凸时α>1；最后由 x>1 时， α的值按逆时针方向依次增大得出结论．
(2)幂函数 y＝xα(α∈R)的图象如下表：
f(x)＝12x－x
1 3
，f(0)＝1>0，f13＝12
1 3
－13
1 3
，由于
幂函数
y＝x
1 3
单调递增，得
f13＝12
1 3
－13
1 3
>0；f12＝12
1 2
－12
1 3
，ห้องสมุดไป่ตู้
解：由函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
得
定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
1．所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是( C )
A．(0,0)
C．(1,1)
1
2．函数 y＝x3 的图象是( B )
B．(0,1) D．(－1，－1)
3．已知幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则 f13＝( B )
调性(比较大小)．命题
图象，了解它们
形式一般为选择题、填
的变化情况
空题中的一部分
1．幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自 变量，α是常数．
2．幂函数的图象
1
五个常用幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 2 ，y＝x－1 的图 象，如图 2-8-1.
答案：E C A G B D H F 【规律方法】(1)探讨幂函数图象的分布规律，应先观察图 象是否过原点，过原点时α>0，否则α<0；若α>0，再观察图象 是上凸还是下凸，上凸时 0<α<1，下凸时α>1；最后由 x>1 时， α的值按逆时针方向依次增大得出结论．
(2)幂函数 y＝xα(α∈R)的图象如下表：
f(x)＝12x－x
1 3
，f(0)＝1>0，f13＝12
1 3
－13
1 3
，由于
幂函数
y＝x
1 3
单调递增，得
f13＝12
1 3
－13
1 3
>0；f12＝12
1 2
－12
1 3
，ห้องสมุดไป่ตู้
解：由函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
得
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第2章 §2.1 函数的概念及其表示
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知 f(x3)＝lg x，则 f(10)的值为
A.1
B.3 10
√C.13
1
令x3＝10，则x＝103.
1 D. 3 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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第二章 函 数
§2.1 函数的概念及其表示
考试要求
1.了解函数的含义. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数. 3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
教材改编题
y＝x－2 1与 v＝t－2 1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相 同，所以是同一个函数，故选项 D 正确.
教材改编题
3.已知函数 f(x)＝lenx，x，x≤x>00，，
则函数
f
f
13等于
A.3
B.－3
√C.13
D.－13
由题意可知，f 13＝ln 13＝－ln 3，
思维升华
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其 中的x的取值集合； (2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出； (3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在 [a，b]上的值域.
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的概念 一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意 一个数x， 按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应，那 么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 、 值域 . (2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则这两个函 数为同一个函数.
3.已知 f(x3)＝lg x，则 f(10)的值为
A.1
B.3 10
√C.13
1
令x3＝10，则x＝103.
1 D. 3 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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第二章 函 数
§2.1 函数的概念及其表示
考试要求
1.了解函数的含义. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数. 3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
教材改编题
y＝x－2 1与 v＝t－2 1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相 同，所以是同一个函数，故选项 D 正确.
教材改编题
3.已知函数 f(x)＝lenx，x，x≤x>00，，
则函数
f
f
13等于
A.3
B.－3
√C.13
D.－13
由题意可知，f 13＝ln 13＝－ln 3，
思维升华
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其 中的x的取值集合； (2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出； (3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在 [a，b]上的值域.
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的概念 一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意 一个数x， 按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应，那 么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 、 值域 . (2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则这两个函 数为同一个函数.
高中数学(人教B版)教材《幂函数》课堂课件1
定义域
值域
[0, ) [0, )
奇偶性
单调性
[0,)
高中数学（人教B版）教材《幂函数》 课堂课 件1（ 公开课 课件）
（5）y x1.
名称
定义域
值域
奇偶性
y x1 (,0) (0, ) (,0) (0, )
单调性
(,0) (0,)
高中数学（人教B版）教材《幂函数》 课堂课 件1（ 公开课 课件）
作业：
课本第81页的第1、2、3题。
（3）y x3.
高中数学（人教B版）教材《幂函数》 课堂课 件1（ 公开课 课件）
名称
定义域
值域
奇偶性
单调性
y x3
R
R
(, )
高中数学（人教B版）教材《幂函数》 课堂课 件1（ 公开课 课件）
1
（4）y x2 .
高中数学（人教B版）教材《幂函数》 课堂课 件1（ 公开课 课件）
名称
1
y x2
●increasing if n is odd and n 0 ; decreasing if n is odd and mis even
with
n m
0;
both
m
increasing
and
decreasing
if
n 0;
●increasing for x 0 and decreasing for x 0 if n is even and n 0 ;
高中数学（人教B版）教材《幂函数》 课堂课 件1（ 公开课 课件）
例题：
例1.判断下列函数哪些是幂函数：
（1） y 2x2; （2） y
1 x2
;
2022版新高考数学人教B版一轮复习作业课件：八幂函数
3．已知函数y＝xa，y＝bx，y＝logcx的图像如图所示，则a，b，c的大小关系为 () A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．b<c<a
【解析】选A.由题图知，当x＝1时，y＝b∈1，2 ， 当y＝1时1＝logcx⇒ x＝c∈2，3 ， 又幂函数y＝xa为增函数且上凸，
故a∈0，1 . 故a<b<c.
【解析】由题意知，幂函数y＝(m2－m－5)x m2－4m＋1的图像分布在第一、二象 限，所以m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3，当m＝－2时，函数y＝x13的图像 分布在第一、三象限，不符合题意；当m＝3时，函数y＝x－2的图像分布在第一、 二象限，符合题意． 答案：3
八幂函数
一、选择题(每小题5分，共35分) 1．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0， ＋∞)上是减函数，则n的值为( ) A．－3 B．1 C．2 D．1或2
【解析】选B.由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检 验只有n＝1符合题意．
＝x－1，为奇函数，值域为{y|y∈R，且y≠0}，在－∞，0 上是减函数，满足；
D.f(x)＝
x
1 3
，为奇函数，值域为{y|y∈R，且y≠0}，在－∞，0
上是减函数，满
足．
【加练备选·拔高】
1.(多选)下列说法正确的是( )
A．若幂函数的图像经过点18，2 ，则解析式为y＝x－3
B．若函数f(x )
4．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为－245，－4 ，则m的取值范 围是( )
A．[0，4] C．32，＋∞
人教B版(2019)幂函数PPT标准课件2
积x的函数解析式为
1
y x2 (x 0)
幂函数定义
一般地，函数 y xk（k为常数， k Q ）
叫做幂函数（power function）.
4.1幂函数的性质与图像
例题1：指出下列函数中，不是幂函数的序号()简 述理由
( 1 )y x0( x 0 ) ( 2 )y x ( 3 )y x2
y
3
x4
y
x3 2
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y x 学生探究1组：研究函数
4
3的定义域、
奇偶性和单调性，并且作出它的大致图像
y x 学生探究2组：研究函数
1
3的定义域、
奇偶性和单调性，并且作出它的大致图像
人教B版（2019）幂函数PPT标准课件2
y x2
y
2
x3
人教B版（2019）幂函数PPT标准课件2
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y x3
y
5
x3
人教B版（2019）幂函数PPT标准课件2
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1
3
( 1 ) 1 3
1
3
( 3 ) 1 3
4
3
( 4 ) 1 3 4
3
( 6 ) 1 3
1 3
1 2
1 3
1 2
4 3
1 2
( 4 )y 3x2 (5 )y x5 1 (6 )y x1( x 0 )
(7 )y ( x 1)2
(8 )y 2x
8 (9 )y
x3( x 0 )
( 10 )y x2 x
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5 2
在(0,+∞)上为减函数,又
>3.1
7 8
5 2
.
1 8 8 -( ) , (2) 8
7
函数y= x
7 8
在(0,+∞)上为增函数.
7 7
7 7 1 1 1 8 1 8 1 又 ,则 ( ) ( ) ,从而 8 8 ( ) 8 . 8 9 8 9 9
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2 3 2 3 3 3 (3) (- ) ( ) , (- ) ( ) . 3 3 6 6 2 函数 y= x 3 在(0,+∞)上为减函数,
(1)3 和3.1 2 ;
2
1 8 (2) - 8 和 - ( ) ; 9 2 2 2 3 3 (3)(- ) 和( ) ; 3 6
7 8
7
(4)(4.1) ,3.8 和(-1.9) .
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2 5
-
2 3
3 5
【解析】 (1)函数y= x 3<3.1, ∴3
5 2
而当m=-1时,y=x2不符合题意,故排除B,C,D.故应选A.
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解决此类问题的关键就是紧扣幂函数的定义,x的系数 必须为1,指数是实数即可,若有其他性质问题可依据幂函数 的图象与性质进一步求解.
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已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,f(x):
(1)是幂函数;
x 2 4x 5 解法二:f(x)= x 2 4x 4 =1+(x+2)-2,
设x1<x2,x1,x2∈R,则
f(x2)-f(x1)=［1+(x2+2)-2］-［1+(x1+2)-2］
1 1 (x1 - x 2 )(x 1 x 2 4) 2 2 (x 2 2) (x1 2) (x 2 2)2 (x1 2)2
当x1,x2∈(-∞,-2)时,f(x2)-f(x1)>0,y=f(x)在(-∞,-2)上是增 函数,即增区间为(-∞,-2); 当x1,x2∈(-2,+∞)时,f(x2)-f(x1)<0,y=f(x)在(-2,+∞)上是减 函数,即减区间为(-2,+∞). (2)∵图象关于直线x=-2对称,
又∵-2-(-π)=π-2<-
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考点2
幂函数的定义
当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则实 数m的值为 A.m=2 C.m=-1或m=2
1 5 D.m≠ 2
( B.m=-1
)
【分析】首先利用幂函数的定义,确定m的范围,其 次再依据幂函数的性质,在第一象限是减函数,确定指数 小于零. 返回目录
利用函数图象可以很直观判断函数的最值和单调区间.
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若上题中的点( 偶性.
2
,2)改为(2,8),探求h(x)的单调性及奇
【解析】设f(x)=xα,∵过点(2,8),∴α=3,∴f(x)=x3.
由上题知,g(x)=x-2.
在同一平面直角坐标系
中画出y=f(x)与y=g(x) 的图象,如图,
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综上所述,当m=2或m=-1时,f(x)是幂函数;
当m=-1时,f(x)既是幂函数,又是(0,+∞)上的增函数;
4 当m=- 时,f(x)是正比例函数; 5 2 当m=- 时,f(x)是反比例函数; 5
当m=-1时,f(x)是二次函数.
返回目录
考点3
幂函数的图象
若点( 2 ,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2, )在幂函 4 f(x),f(x)≤g(x) 数g(x)的图象上, 定义h(x)= g(x),f(x)>g(x),
2 2 2 2
又
2 3 6
,∴
2 5
2 3 3 (- ) (- ) . 3 6 2 2
2 2
(4) (4.1) 1 5 1,0 3.8 3 1 1, (-1.9) (-1.9)
3 5 3 5
2 3
0,
3 5 2 5
(3.8) (4.1) .
(-∞,0) ∪(0,+∞) (-∞,0) ∪(0,+∞) 奇
［0,+∞) ［0,+∞) 非奇非偶 增
(-∞,0)减, 增 增 (0,+∞)增
(0,0)(1,1)
(-∞,0)减, (0,+∞)减
(1,1) 返回目录
考点1
比较大小
1 2
［
2 0 1 【分析】先换为同底的对数,再比较大小. 0
C
年
高 返回目录
【解析】a=log32= 因为
1 1 1 ,b ,c log 2 3 log 2 e 5
.
5 log 2 3 log 2 e 1 ,
1 1 1 , 5 log 2 3 log 2 e
所以
即c<a<b.
故应选C.
化为同底数的对数是本题的关键. 返回目录
比较下列各组数的大小 : 5 5
学案8
幂函数
考纲解读 考向预测
填填知学情
课内考点突破 规律探究
考点1
考点2 考点3 考点4
考纲解读 (1)了解幂函数的概念.
幂函数 (2)结合函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 1
的图象,了解它们的变化情况.
x
x
1 2
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考向预测
1.高考以基础知识为主,考查幂函数的图象与性质,多以 选择、填空题形式出现，也有与函数性质、二次函数、方 程、不等式结合的综合性较强的解答题. 2.以常见的5种幂函数为载体,考查求值、单调性、奇 偶性、最值等问题是高考命题的出发点.
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1.一般地,形如 y=xα(α∈R)
的函数称为幂函数 ,其中 1 1 2 y x 2 3 α为常数.例如y=x,y=x ,y=x , 等都是幂 x ,y= 函数,而y=2x2,y=x3+1等都不是幂函数. 2.幂函数的性质 一般地,当α>0时,幂函数y=xα有下列性质: (1)图象都通过点 (0,0),(1,1) . (2)在第一象限内,函数值随x的增大而
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4.幂函数y=x,y=x2,
1 y=x3,的图象如图. y=x ,y x
1 2
5.幂函数y=x,y=x2,
yx
1 2,
1 y = , y=x3的性质 x
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y=x
定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 R R 奇
y=x2
R ［0,+∞) 偶
y=x3
R R 奇
yx
1 2
y = x -1
当m=1时,m2-2m-3=-4,
∴m=1,即f(x)=x-4.
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a a 2 3 (2)F(x)= x -bx ,∴F(-x)= 2 +bx3.
②当a=0,b≠0时,F(x)为奇函数; ③当a≠0,b=0时,F(x)为偶函数;
x ①当a≠0,b≠0时,F(x)为非奇非偶函数;
④当a=0,b=0时,F(x)既是奇函数,又是偶函数.
类型的题.进一步培养学生的数形结合、分类讨论等的
数学思想和方法.
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幂函数的性质
已知幂函数f(x)=
x
m 2 - 2m- 3
(m∈Z)为偶函数,且在区间
(0,+∞)上是单调减函数. (1)求函数f(x); (2)讨论F(x)= a f(x) - b
xf(x)
的奇偶性.
【分析】 先求m,然后根据奇偶性的定义判断.
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【解析】 (1)∵f(x)是偶函数,∴m2-2m-3应为偶数, 又∵f(x)在(0,+∞)上是单调减函数, ∴m2-2m-3<0,即-1<m<3. 又m∈Z,∴m=0,1,2. 当m=0或2时,m2-2m-3=-3不是偶数,舍去;
返回目录
本题考查了偶函数的定义、幂函数的图象以及分类
讨论的思想.利用偶函数及幂函数在区间(0,+∞)上是减函
数,结合m的取值范围,解出m值,从而求出f(x).在第(2)问 中,当不能准确判断F(-x)与F(x)是否相等时,自然想到对 a,b进行分类讨论.
x 2 4x 5 已知函数f(x)= x 2 4x 4 .
1 又设g(x)=xβ,点（-2，4 ）在g(x)的象上， 1 β ∴ (-2) = , ∴ β=-2. 4
即g(x)=x-2.
返回目录
在同一坐标系中,作出f(x)=x2与g(x)=x-2的图象,如图所
示.
则有h(x)=
x-2, x<-1 x2, -1≤x≤1 x-2, x>1.
根据图象可知函数h(x)的最大值等于1,单调递增区间 是(-∞,-1)和(0,1);递减区间是(-1,0)和(1,+∞). 返回目录
②α为正整数;③α为负整数;④α为正分数;⑤α为负分数.
返回目录
3.作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、
单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的
图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域 内完整的图象. 4.利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判 断复合函数的单调性及幂函数在实际问题中的应用等
减小
,图象是向
③在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近,向右与 x 轴 ④在第一象限内,过(1,1)点后,|α|越大,图象下降的速度 越
快
. 返回目录
3.形如f(x)=
x
n m
（其中m∈N+,n∈Z）的幂函数的性质