高三数学第一轮复习 第2编 8幂函数课件 新人教B版

5 2
在(0,+∞)上为减函数,又
>3.1
7 8

5 2
.
1 8 8 -( ) , (2) 8
7
函数y= x
7 8
在(0,+∞)上为增函数.
7 7
7 7 1 1 1 8 1 8 1 又 ,则 ( ) ( ) ,从而 8 8 ( ) 8 . 8 9 8 9 9
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2 3 2 3 3 3 (3) (- ) ( ) , (- ) ( ) . 3 3 6 6 2 函数 y= x 3 在(0,+∞)上为减函数,
综上所述,当m=2或m=-1时,f(x)是幂函数;
当m=-1时,f(x)既是幂函数,又是(0,+∞)上的增函数;
4 当m=- 时,f(x)是正比例函数; 5 2 当m=- 时,f(x)是反比例函数; 5
当m=-1时,f(x)是二次函数.
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考点3
幂函数的图象
若点( 2 ,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2, )在幂函 4 f(x),f(x)≤g(x) 数g(x)的图象上, 定义h(x)= g(x),f(x)>g(x),
2 2 2 2
又
2 3 6
,∴
2 5
2 3 3 (- ) (- ) . 3 6 2 2
2 2
(4) (4.1) 1 5 1,0 3.8 3 1 1, (-1.9) (-1.9)
3 5 3 5


2 3
0,
3 5 2 5
(3.8) (4.1) .
学案8
幂函数
考纲解读 考向预测
填填知学情
课内考点突破 规律探究

考点1
考点2 考点3 考点4
考纲解读 (1)了解幂函数的概念.
幂函数 (2)结合函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 1
的图象,了解它们的变化情况.
x
x
1 2
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考向预测
1.高考以基础知识为主,考查幂函数的图象与性质,多以 选择、填空题形式出现，也有与函数性质、二次函数、方 程、不等式结合的综合性较强的解答题. 2.以常见的5种幂函数为载体,考查求值、单调性、奇 偶性、最值等问题是高考命题的出发点.
②α为正整数;③α为负整数;④α为正分数;⑤α为负分数.
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3.作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、
单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的
图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域 内完整的图象. 4.利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判 断复合函数的单调性及幂函数在实际问题中的应用等
-5m-3>0,
(3)若f(x)是正比例函数,则-5m-3=1,
4 4 ,此时m2-m-1≠0,故m=- . 5 5 (4)若f(x)是反比例函数,则-5m-3=-1,
解得m=-
∴m=-
2 2 ,此时m2-m-1≠0,故m=- . 5 5
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(5)若f(x)是二次函数,则-5m-3=2,
即m=-1,此时m2-m-1≠0,故m=-1.
从图中及h(x)的定义可知
x-2,x≥1
h(x)= x3,x<1, 且在定义域(-∞,1)上h(x)为增函数,在［1,+∞)上h(x)为减 函数. 又∵h(-2)=(-2)3=-8,h(2)=2-2=
1 4
,
∴h(-2)≠h(2),且h(-2)≠-h(2),
∴h(x)为非奇非偶函数.
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考点4
(-∞,0) ∪(0,+∞) (-∞,0) ∪(0,+∞) 奇
［0,+∞) ［0,+∞) 非奇非偶 增
(-∞,0)减, 增 增 (0,+∞)增
(0,0)(1,1)
(-∞,0)减, (0,+∞)减
(1,1) 返回目录
考点1
比较大小

1 2
［
2 0 1 【分析】先换为同底的对数,再比较大小. 0
C
年
高 返回目录
利用函数图象可以很直观判断函数的最值和单调区间.
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若上题中的点( 偶性.
2
,2)改为(2,8),探求h(x)的单调性及奇
【解析】设f(x)=xα,∵过点(2,8),∴α=3,∴f(x)=x3.
由上题知,g(x)=x-2.
在同一平面直角坐标系
中画出y=f(x)与y=g(x) 的图象,如图,
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1

试求函数h(x)的最大值以及单调区间. 【分析】先根据幂函数f(x)和g(x)分别过点(2,2)和 (-2,
1 )求得f(x)和g(x)的解析式,然后根据h(x)的定义 4wenku.baidu.com
求得h(x)的解析式,最后借助函数h(x)的图象求解. 返回目录
【解析】 (1)设f(x)=xα, ∵点(
2 ,2)在f(x)的图象上, ∴（ 2 ）α=2, 即f(x)=x2；
(1)3 和3.1 2 ;
2


1 8 (2) - 8 和 - ( ) ; 9 2 2 2 3 3 (3)(- ) 和( ) ; 3 6

7 8
7
(4)(4.1) ,3.8 和(-1.9) .
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2 5
-
2 3

3 5
【解析】 (1)函数y= x 3<3.1, ∴3
5 2

增大
. 返回目录
(3)在第一象限内,α>1时,图象是 向下凸 的;0<α<1时,图 象 向上凸. 是的 (4)在第一象限内,过(1,1)点后,图象向 当α<0时,幂函数y=xα有下列性质: ①图象都通过点 (1,1) ; 右上方 无限伸展.
②在第一象限内,函数值随x的增大而 下凸 的; 无限地接近;
2 -(-2)=22
2 ,∴f(-π)>f(2
2 ). 2
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1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不 会出现在第四象限内, 至于是否出现在第二、三象限内， 要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现 在两个象限内 ；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则 交点一定是原点.
2.幂函数的定义域的求法可分5种情况,即①α为零;
当x1,x2∈(-∞,-2)时,f(x2)-f(x1)>0,y=f(x)在(-∞,-2)上是增 函数,即增区间为(-∞,-2); 当x1,x2∈(-2,+∞)时,f(x2)-f(x1)<0,y=f(x)在(-2,+∞)上是减 函数,即减区间为(-2,+∞). (2)∵图象关于直线x=-2对称,
又∵-2-(-π)=π-2<-
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考点2
幂函数的定义
当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则实 数m的值为 A.m=2 C.m=-1或m=2
1 5 D.m≠ 2
( B.m=-1
)
【分析】首先利用幂函数的定义,确定m的范围,其 次再依据幂函数的性质,在第一象限是减函数,确定指数 小于零. 返回目录
幂函数的性质
已知幂函数f(x)=
x
m 2 - 2m- 3
(m∈Z)为偶函数,且在区间
(0,+∞)上是单调减函数. (1)求函数f(x); (2)讨论F(x)= a f(x) - b
xf(x)
的奇偶性.
【分析】 先求m,然后根据奇偶性的定义判断.
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【解析】 (1)∵f(x)是偶函数,∴m2-2m-3应为偶数, 又∵f(x)在(0,+∞)上是单调减函数, ∴m2-2m-3<0,即-1<m<3. 又m∈Z,∴m=0,1,2. 当m=0或2时,m2-2m-3=-3不是偶数,舍去;
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4.幂函数y=x,y=x2,
1 y=x3,的图象如图. y=x ,y x
1 2
5.幂函数y=x,y=x2,
yx
1 2,
1 y = , y=x3的性质 x
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y=x
定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 R R 奇
y=x2
R ［0,+∞) 偶
y=x3
R R 奇
yx
1 2
y = x -1
而当m=-1时,y=x2不符合题意,故排除B,C,D.故应选A.
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解决此类问题的关键就是紧扣幂函数的定义,x的系数 必须为1,指数是实数即可,若有其他性质问题可依据幂函数 的图象与性质进一步求解.
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已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,f(x):
(1)是幂函数;
【解析】 解法一:依题意y=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数,故 m2-m-1=1,解得m=2或m=-1. 又∵函数在(0,+∞)上是减函数 , 3 ∴-5m-3<0,即m> 5 , 故m=-1舍去,∴m=2.故应选A.

解法二:特值验证法,验证当m=-1,2时,是否满足题意
即可. 当m=2时,函数化为y=x-13符合题意;
1 又设g(x)=xβ,点（-2，4 ）在g(x)的象上， 1 β ∴ (-2) = , ∴ β=-2. 4
即g(x)=x-2.
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在同一坐标系中,作出f(x)=x2与g(x)=x-2的图象,如图所
示.
则有h(x)=
x-2, x<-1 x2, -1≤x≤1 x-2, x>1.
根据图象可知函数h(x)的最大值等于1,单调递增区间 是(-∞,-1)和(0,1);递减区间是(-1,0)和(1,+∞). 返回目录
(2)是幂函数,且是(0,+∞)上的增函数; (3)是正比例函数; (4)是反比例函数; (5)是二次函数. (1)因为f(x)是幂函数, 故m2-m-1=1,即m2-m-2=0, 解得m=2或m=-1. 返回目录
(2)若f(x)是幂函数且又是(0,+∞)上的增函数, 则

m2-m-1=1
∴m=-1.
x 2 4x 5 解法二:f(x)= x 2 4x 4 =1+(x+2)-2,
设x1<x2,x1,x2∈R,则
f(x2)-f(x1)=［1+(x2+2)-2］-［1+(x1+2)-2］
1 1 (x1 - x 2 )(x 1 x 2 4) 2 2 (x 2 2) (x1 2) (x 2 2)2 (x1 2)2
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1.一般地,形如 y=xα(α∈R)
的函数称为幂函数 ,其中 1 1 2 y x 2 3 α为常数.例如y=x,y=x ,y=x , 等都是幂 x ,y= 函数,而y=2x2,y=x3+1等都不是幂函数. 2.幂函数的性质 一般地,当α>0时,幂函数y=xα有下列性质: (1)图象都通过点 (0,0),(1,1) . (2)在第一象限内,函数值随x的增大而
类型的题.进一步培养学生的数形结合、分类讨论等的
数学思想和方法.
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(1)求f(x)的单调区间; (2)比较f(-π)与f(x 2 4x 5 1 ( x 2) 2 (1)解法一:f(x)= 2 x 4x 4
2 )的大小. 2
其图象可由幂函数y=x-2向左平
移2个单位 , 再向上平移 1 个单
位而得到 ,如图 , 所以该函数在 (-2,+∞)上是减函数 , 在(-∞,-2) 上是增函数. 返回目录
当m=1时,m2-2m-3=-4,
∴m=1,即f(x)=x-4.
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a a 2 3 (2)F(x)= x -bx ,∴F(-x)= 2 +bx3.
②当a=0,b≠0时,F(x)为奇函数; ③当a≠0,b=0时,F(x)为偶函数;
x ①当a≠0,b≠0时,F(x)为非奇非偶函数;
④当a=0,b=0时,F(x)既是奇函数,又是偶函数.
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本题考查了偶函数的定义、幂函数的图象以及分类
讨论的思想.利用偶函数及幂函数在区间(0,+∞)上是减函
数,结合m的取值范围,解出m值,从而求出f(x).在第(2)问 中,当不能准确判断F(-x)与F(x)是否相等时,自然想到对 a,b进行分类讨论.
x 2 4x 5 已知函数f(x)= x 2 4x 4 .
减小
,图象是向
③在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近,向右与 x 轴 ④在第一象限内,过(1,1)点后,|α|越大,图象下降的速度 越
快
. 返回目录
3.形如f(x)=
x
n m
（其中m∈N+,n∈Z）的幂函数的性质
(1)当n为偶数时，f(x)为 偶 函数，图象关于 y轴 对称. (2)当m,n都为奇数时，f(x)为 奇 函数，图象关于原点对称. (3)当m为偶数且n为奇数时，f(x)是 非奇非偶 函数,图 象 只在第一象限内 .
【解析】a=log32= 因为
1 1 1 ,b ,c log 2 3 log 2 e 5
.
5 log 2 3 log 2 e 1 ,
1 1 1 , 5 log 2 3 log 2 e
所以
即c<a<b.
故应选C.
化为同底数的对数是本题的关键. 返回目录
比较下列各组数的大小 : 5 5