数学分析第二曲面积分解析

给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数
P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) z
都在Σ上连续, 求在单位
时间内流向Σ指定侧的流
体的质量.
o
y
x
1. 分割 把曲面Σ分成
第i 小块曲面的面积),
在 si 上任取一点
(i ,i , i ),
则该点流速为
vi
.
n小块
si
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型 双 侧
n
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
设连通曲面 S 上处处有连续
ML
变动的切平面（或法线）
M0
设 M0 为曲面 S 上一点，确定
曲面在M0 点的一个法线
S
方向为正方向，另一个方向为负方向.
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量.
(1)
流速场为常向量
v
,有向平面区域
A,求单位
时间流过 A 的流体的质量 (假 定密度为 1). v
A
n
0
流量
Av cos
Av
n 0
v
A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)
的速度场由
v( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
1. 若曲面 : y y(x, z); 则
f ( x, y, z)dS f [ x, y( x, z), z] 1 yx2 yz2 dxdz;
Dxz
一投： 二换： 三代：
将曲面 向 xoz 面投影，得 Dxz . dS 1 y2x ( x, z) yz2( x, z) dxdz; f ( x, y, z) : y y( x, z) f ( x, y( x, z), z);
三、第二类曲面积分的定义
向量函数v=(P,Q,R) 设 P , Q , R 为定义在双侧曲面 Σ 上的函数，在 Σ 所 指定的一侧作分割 T ，把 Σ分为 n 个小曲面 S1 , S2 . . . , Sn , 记
分别表示 Si 在三个坐标轴上的投影区域的面积, 在 Si
上任取一点
若
存在，则称此极限为向量函数v=(P,Q,R) 在曲面 Σ 所指定一侧上的第二类曲面积分， 也称为对坐标的曲面积分 记作
3. 若曲面 ： x x( y, z) 则
f ( x, y, z)dS f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 dydz.
D yz
一投：
将曲面 向 yoz 面投影，得 Dyz .
二换：
dS 1 x2y ( y, z) xz2( y, z) dydz;
三代：
f ( x, y, z) : x x( y, z) f ( x( y, z), y, z);
注意：这里曲面方程均是单值函数。
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
上侧
内侧
外侧
下侧
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面法向量的指向决定曲面的侧.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
z
上侧
下侧 o x
z
左侧
y
o
x
z
右侧
后侧
y
o
y
x 前侧
双侧曲面 • 曲面分类
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
L 为 S 上任一经过点 M0 且不超出 S 边界的闭曲线.
设点 M 从 M0 出发，沿 L 连续移动， M 在 M0 点与M0
有相同的法线方向，当点 M 连续移动时，其法线方向
也连续变动，最后当 M 沿 L 回到M0 时，若这时 M 的 法线方向仍与 M0 点的法线方向一致，则称此曲面 S 为
双侧曲面；若与 面
vi niSi (i 1,2,, n).
则单位时间内流经小曲面 Si的流量近似地等于
其中 ΔSi 为小曲面Si 的面积. 记
它们是 Si 的一侧分别在坐标面 yz , zx 和 xy 上投影区域 面积的近似值，于是单位时间 内流经小曲面 Si 的流量
也近似地等于
3、求和 单位时间内由曲面 Σ 的一侧流向另一侧的 总流量
(
si
同时也代表
zSi
ni
vi
(i ,i , i )
•
法向量为
ni
.
o
y
x
vi
v(i ,i , i
)
P(i ,i , i )i Q(i ,i , i ) j R(i ,i , i )k ,
该ni0点处co曲s面iiΣ的co单s 位i j法向co量s
i
k
,
2、近似
通过 si 流向指定侧的流量的近似值为
第二类曲面积分
一、基本概念 二、概念的引入 三、概念及性质 四、计算法 五、两类曲面积分之间的联系
复习
对面积的曲面积分的定义
n
f
( x,
y, z)dS
lim
0 i1
f
(i ,i ,
i
)Si
性质
(1) kf ( x, y, z) dS k f ( x, y, z) dS;
(2) [ f ( x, y, z) g( x, y, z)]dS
M0
的法线方向相反，则称
S
为单侧曲
曲面法向量的指向决定曲面的侧.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
曲面的投影问题: 在有向曲面Σ上取一小块
曲面 S , S在xoy面上的投影(S)xy为
( )xy 当cos 0 时
(S)xy ( )xy 当cos 0 时.
0
当cos 0 时
其中( )xy 表示投影区域的面积.
或
常简记为
若令
则第二类曲面积分也记作向量形式： 由第二类曲面积分的定义，流体以速度 从曲面 的一侧流向另一侧的总流量
称为P 在有向曲面Σ上对坐标 y, z 的曲面积分;
称为Q 在有向曲面Σ上对坐标 z, x 的曲面积分;
f (x, y, z) dS g(x, y, z) dS;
(3) 若可分为分片光滑的曲面 1及2 , 则
f (x, y, z) dS f (x, y, z) dS g(x, y, z) dS.
1
2
特别， 当 f ( x, y, z) 1时， dS 的面积。
计算法
1. 若曲面 : z z( x, y); 则
f ( x, y, z) dS f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2 dxdy;
Dxy
一投： 将曲面 向 xoy 面投影，得 Dxy .
二换：
dS
1
z
2 x
(
x,
y)
z2y (
x,Fra Baidu bibliotek
y)
dxdy;
三代： f ( x, y, z) : z z( x, y) f ( x, y, z( x, y));