平面图形的几何性质

y1
10
解 将平面图形看作由矩形Ⅰ和Ⅱ组成 2 2 矩形Ⅰ A1=10×120mm =1200mm
yC1 120 mm 60mm 2
10 mm 5mm 2
C1
120
z C1
矩形Ⅱ
10 C2
A2=70×10mm2=700mm2
z1
80
yC 2
zC 2
70 10 mm 45mm 2
Sy zC A Sz yC A
y
z
S z A yC S y A zC
dA y 平面图形对z轴（或y轴 ）的静矩，等于该图形面积 A与其形心坐标yC（或zC） z 的乘积。
xC
yC
截面的几何性质
S z A yC S y A zC
截面的几何性质
计算 I Z 及 I y
120
500
整个截面图形对z轴、y轴的 惯性矩应分别等于两个矩形对z
A1
C1 C A2 yc C2 O 250 z1 z z2
I Z I1z I 2 z
580
轴、y 轴的惯性矩之和。即
z’
两个矩形对自身形心轴的惯 性矩分别为 3 500 1203 250 580 I1Z 1 mm4 , I 2 Z 2 mm4 12 12 3 3 500 120 250 580 4 I1Z 1 mm , I 2 Z 2 mm4 12 12
截面的几何性质
例7-3 矩形截面的尺寸如图7-6所示。试计算矩形截面对其形 心轴z、y的惯性矩、惯性半径及惯性积。 解 (1) 计算矩形截面对z轴和y轴 的惯性矩 取平行于z轴的微面积dA， dA到z 轴的距离为y，则 dA=bdy 截面对z轴的惯性矩为 截面对y轴的惯性矩为
I z y 2 dA
当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反 之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面 图形的形心。 如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形
的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
截面的几何性质
二、组合图形的静矩 根据平面图形静矩的定义，组合图形对z轴（或y轴）的静
矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即
截面的几何性质
例7-7
试计算图示T形截面对形心轴z、y的惯性矩。
500 A1
120
Fra Baidu bibliotekC1
a1
z1
C 580 a2 C2 A2 O 250 yc
z z2
zo
截面的几何性质
解 求截面形心位置 由于截面有一根对称轴y， 故形心必在此轴上，即
120
500
A1 C1 C A2 yc C2 O 250
z1
z z2
S z A1 y C1 A2 y C 2 An y Cn Ai y Ci i 1 n S y A1 z C1 A2 z C 2 An z Cn Ai z Ci i 1
n
式中 yCi、zCi及Ai分别为各简单图形的形心 坐标和面积; n为组成组合图形的简单图形的个数。
Iy A hb3 12 b bh 12
b
(3) 计算矩形截面对y、z轴的惯性积
因为z、y轴为矩形截面的两根对称轴，故
I zy
A yzdA 0
截面的几何性质
截面的几何性质
第三节 组合图形的惯性矩 一、平行移轴定理
以形心为原点，建立与原坐 标轴平行的坐标轴。 y1 z1 b y dA z z1
h/2
y
S z1
h bh A y C bh 2 2
2
h/2
C
z z1
(2) 计算矩形截面对形心轴的静矩 截面对z轴的静矩为
b/2
b/2
由于z轴为矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形
Sz=0
截面的几何性质
例7-2 试计算如图7-3所示的平面图形对z1和y1的静矩， 并求该图形的形心位置。
580 10 mm y1(250 (580 60)mm 640 mm10 mm , y2 A2 , 580) mm 145 mm 290mm 2 Ai yi 60 103 640 145 103 290 yc mm 392mm 3 3 A 60 10 145 10
xa xC yb yC
I z1 y12 dA ( y a) 2 dA
A A A
r
a
C y 1
( y 2 2ay a 2 )dA I z 2aSz a A
2
I z1 I z a A
2
S z Ay 0
截面的几何性质
I z1 I z a 2 A 2 I y1 I y b A I z1 y1 I zy abA
Ai z Ci z C i 1n A i i 1 n Ai yCi i 1 yC n Ai i 1
n
组合图形 形心的坐标 计算公式
截面的几何性质
例7-1 矩形截面尺寸如图7-2所示。试求该矩形对z1轴的静矩
Sz1和对形心轴z的静矩Sz。 解 (1) 计算矩形截面对z1轴的静矩
截面的几何性质
二、惯性积
惯性积面积与其到两轴距离之积。
y z
dA
I zy zydA
A
r
y z
惯性积是平面图形对某两 个正交坐标轴而言，同一图 形对不同的正交坐标轴，其 惯性积不同。惯性积可能为 正或负，也可能为零。单位 为m4或mm4。
如果坐标轴z或y中有一 根是图形的对称轴，则该图 形对这一对坐标轴的惯性积 一定等于零。
截面的几何性质
应用平行移轴公式得
120
500 A
1 500 1203 2 2 4 I1Z I1Z 1 a1 A1 248 500 120 mm 37.6 108 mm4 12 C1 500 1203 2 2 4 8 4 a A 248 500 120 mm 37.6 10 mm 1 1 1 C 12
截面的几何性质
第二节 惯性矩、惯性积、极惯性矩
一、惯性矩
惯性矩是面积与它到轴的距离的平方之积。
I z y 2 dA
A
y
I y z 2 dA
A
z
极惯性矩是面积对极点的二次矩。
I r r 2dA I z I y
A
r
d yA z
惯性矩是对坐标轴来说的，同一图形对不同的坐标轴其惯 性矩不同。极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的极惯 性矩也各不相同。惯性矩恒为正值，常用单位为m4或mm4。
截面的几何性质 500 A1 120 C1 C A2 yc C2 O 250 z1 z z2
580
z’
y轴正好经过矩形截面A1和A2的形心，所以
10 mm 5mm 2
截面的几何性质
该平面图形对z1轴和y1轴的静矩分别为
S z1 Ai yCi A1 yC1 A2 yC 2 1200 60 700 5mm3 7.55104 mm3
i 1 n
S y1 Ai zCi A1 zC1 A2 zC 2 1200 5 700 45mm3 3.75104 mm3
zc=0
选坐标系yoz′，以确定截面形 心的位置yC。将截面图形分为两 个矩形。
580
z’
矩形Ⅰ
3 2
矩形Ⅱ
2 3 2
A2 (250 580) mm2 145 103 mm2 , y2 A1 (500 120)mm2 60 103 mm2 , y1 (580 60) mm 640 mm
i 1
n
y1
10
求得该平面图形的形心坐标为
yC
C1（5,60） C2（45,5）
Ai yC
i 1 i 1 n
n
i
C1
120
Ai
i
n
7.55 104 mm 39.74mm 1200 700
C2
80
10
z1
zC
Ai z C
i 1 n
Ai
i 1
3.75 104 mm 19.74mm 1200 700
二、用平行移轴公式计算组合截面的惯性矩
组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简 单图形对同一轴惯性矩之和。即
I z I1z I 2 z I nz I iz I y I1 y I 2 y I ny I iy
计算组合图形的惯性矩步骤 1.确定组合图形的形心位置， 2.查表求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩， 3.利用平行移轴公式，就可计算出组合图形对其形心轴 的惯性矩。
I zy zydA 0
A
截面的几何性质
三、惯性半径
常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方
的乘积，即
2 I z iz A, 2 I y iy A, 2 I P iP A
或改写成
iz Iz , A iy Iy A , iP IP A
式中iz、iy、iP分别称为平面图形对z轴、y轴、和极 点的惯性半径，也叫回转半径。单位为m或mm。 惯性半径愈大，平面图形对该轴的惯性矩（或对极点的 极惯性矩）也愈大。
580
a1
z1 z z2
0 mm4 37.6 108 mm4
I2Z
2 2
A2
O 250
yc
C2
a2
z’
250 5803 I 2 Z 2 a A2 1022 250 580 mm4 55.6 108 mm4 12
所以
I z I1Z I 2Z (37.6 108 55.6 108 )mm4 93.2 108 mm4
第七章
平面图形的几何性质
截面的几何性质
研究截面几何性质的意义
从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力 和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积 A、极惯性矩IP、抗扭截面系数WP等一些几何量密切相关。 因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何 性质的计算方法。 另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活
I z1 bh3 h bh3 h Iz A bh 12 2 3 2
2 2
y
h/2
C
z1 b/2
z
h/2
b/2
I y1
hb3 b hb3 b Iy A bh 12 2 3 2
2
2
截面的几何性质
A
y dz dy
h/2
C
z
b
h 2 h 2
bh3 y bdy 12
2
I y z 2 dA
A
b 2 b 2
3 hb z 2 hdz 12
截面的几何性质 y
(2) 计算矩形截面对z轴、y轴的惯性
半径
截面对z轴和y轴的惯性半径分别为
iz
iy
h/2
C
z
Iz bh3 12 h A bh 12
机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部
分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其 用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
截面的几何性质
第一节 静矩
一、静距的概念
静距是面积与它到轴的距离之积。 y z
dS z ydA
A
dS y zdA
A
S z dS z ydA S y dS y zdA
图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形 心轴的惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的 乘积。 由于a2（或b2）恒为正值，故在所有平行轴中，平面图 形对形心轴的惯性矩最小。
截面的几何性质
例7-5 计算如图7-9所示的矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩。
解 z、y轴是矩形截面的形
心轴，它们分别与z1轴和y1轴平 行，则由平行移轴公式得，矩 形截面对z1轴和y1轴的惯性矩分 别为
A A
dA
y z
平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形 对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正， 可能为负，也可能等于零。它常用单位是m3或mm3。
截面的几何性质
形心
A z zC A A y yC A
zC A ydA A yC A zdA A