第五平面图形的几何性质

微面积dA对Y轴的静矩 dS y dAx
S x dS x ydA
A
A
or
Sy dSy xdA
A
A
Sy Ax Sx Ay
x 量钢：L3 如S=0 ↔ 轴过形心
二、组合截面的静矩与形心：
整个图形对某轴的静矩， 等于图形各部分对同轴静矩的 代数和（由静矩定义可知）
n
如 : A Ai
i 1
则
n
Sx Ai yi Ay i 1
80
101108010
图(a)
y yi Ai y 1 A1 y 2 A2
A
A1 A2
6010110 34.7 10110 8010
y
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
负面积
C2 C1
C1（0,0） C2（5,5）
x
x
xi
Ai
x 1
A1
x
2
A2
A
A1A2
5 (70110) 20.3 12080 70110
一、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。
图形对O点的极惯性矩:
x dA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ir r 2dAIxI y
A
量钢：L4
y
r
x
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
图形对xy轴的惯性积:
Ixy xydA
A
如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0
y
量钢：L4
四、惯性半径
x dA
y
r
图形对x轴的惯性半径: ix I x / A
y
d
yC
x1
解： ①建立坐标系如图。
2d
O
x
xC
b
②求形心位置。
x
xi Ai 0 0 AA
y
yi A
Ai
d d 2
2 3d 2
4
d
2
0.177d
4
③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
I xC I矩xC I圆xC I矩x A矩 y 2[I圆x1A圆 (0.5dy)2 ]
对其惯性积为零的一对坐标轴.
平面图形对主轴之惯性矩为主惯性矩。
主惯性轴位置:
tg20
2I xy Ix Iy
主惯性矩：II
x0 y0
I
x
I 2
y
(
I
x
I 2
y
)
2
I
2 xy
2.形心主轴和形心主惯性矩：
主惯性轴过形心时，称其为形心主轴。 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩.
形心主惯性矩：
tg
I x I xC b2 A 同理: I y I yC a2 A
I xy I xCyC abA
注意: C点必须为形心
I r I rC (ab)2 A
图形对某坐标轴的惯性矩, 等于它对过形心且平行于该轴的坐 标轴之惯性矩加上图形面积与两轴距离平方和的乘积.
例2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。
y
解 ：求解此题有两种方法：
n
S y Ai xi Ax i 1
∴
x
xi Ai A
y
yi Ai A
例1 试确定下图的形心坐标。
10
解 ： 1.用正面积法求解，图形分割
y
及坐标如图(a)
C2
C1(0,0)
C2(-35,60)
x
xi Ai
x 1
A1
x 2
A2
A
A1 A2
120 10
C1
x
3510110 20.3
1.5d(2d )3 3d 2 (0.177 d )2[d 4 d 2 (0.5d0.177 d )2 ]0.685 d 4
12
64 4
y
I
yC
I
矩xC
I圆xC
(1.5d )32d 12
d 4
64
0.513
d
4
d
yC
x1
2d
I xCyC 0
y1
I
x
I 2
y
I
x
I 2
y
cos2
I
xy
sin
2
I
x1
y1
I
x
I 2
y
sin
2
I
xy
cos2
I x1 I y1 I x I y
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
1.主惯性轴和主惯性矩：如坐标旋转到= 0 时；恰好有
I
x0
y0
(
I
x
I 2
y
s
in2
0
I
x
y
cos2
0
)0
则与 0 对应的旋转轴x0 ,y0 称为主惯性轴。即平面图形
第五章 平面图形的几何性质
§5–1 静矩和形心 §5–2 极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径 §5–3 平行移轴公式 §5–4 转轴公式* 主惯性轴 主惯性矩
§5-1 静矩和形心 一、面积（对轴）矩：(与力矩类似)
是面积与它到轴的距离之积（用S表示）。
y
x
dA
x
C
yy
微面积dA对X轴的静矩 dSx dAy
图(b)
y 5 (70110) 20.3 12080 70110
验证：34.7 + 20.3 + 5 = 60
§5-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径
二、惯性矩： 是面积与它到轴的距离的平方之积。
图形对x轴的惯性矩: 图形对y轴的惯性矩:
Ix y2dA
A
I y x2dA
A
量钢：L4 y
d O
一是按定义直接积分；
x
二是用平行移轴定理等知识求。
A
B
建立形心坐标如图,求图形对形
心轴的惯性矩。
I
x
I
y
IP 2
d 4
64
I
r
d 4
32
I
x
I
y
圆
2I
x
I AB
Ix
d
2
A
2
d 4
64
d 4
16
5d 4
64
二、组合截面的惯性矩：
组合截面对某坐标轴的惯性矩(积), 等于其中各部分对 同一坐标轴惯性矩 (积)之和.
③求形心位置
x
Sy A
xi Ai A
y
Sx A
yi Ai A
④建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC
⑤求形心主轴方向 — 0
tg20
2I xCyC I xC I yC
⑥求形心主惯性矩
I I
xC0 yC0
I
xC
I 2
yC
(
I
xC
I 2
yC
)
2
I
2 xCyC
例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)
2
0
2I xC yC I xC I yC
I I
xC0 yC0
I
xC
I 2
yC
(
I
xC
I 2
yC
)2
I
2 xCyC
若平面图形有两个对称轴,此二轴均为形心主轴;
若平面图形有一个对称轴,则该轴为一形心主轴, 另一形心主轴 过形心, 且与该轴垂直.
3.求截面形心主惯性矩的方法 ①建立坐标系
②计算面积和面积矩
n
I x I xi i 1
n
I y I yi i 1
n
I xy
I xyi
i 1
§5-4 转轴公式 主惯性轴 主惯性矩
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理
y1
x1xcos ysin y1xsin ycos
y
x x1
dA y y1
x1 x
I
x1
I
x
I 2
y
I
x
I 2
y
cos2
I
xy
sin
2
I
x
图形对y轴的惯性半径: iy I y / A
一、平行移轴定理：
y
yC
§5-3 平行移轴公式
以形心为原点，建立与原坐标轴平行
的坐标轴如图
xyabxyCC
x
dA
a
r
bC y
xC
I x
y 2dA
A
(
A
yC
b)
2
dA
x
(
A
yC2
2byC
b2
)dA
I xC2bSxCb2 A
SxCAyC 0
I x I xC b2 A