第二章流体运动基本方程和基本规律
流体流动的基本方程
4）运动粘度
v
单位： SI制：m2/s； 物理单位制：cm2/s，用St表示。
1St 100cSt 104 m 2 / s
关于黏度的讨论
① 黏度是流体的重要物理性质之一，可由实验测定 ② 常见流体的黏度值可由相关手册中查取；当缺乏实验数据 时，还可由经验公式计算 ③ 一般气体的黏度值远小于液体的黏度值 ④ 流体的黏度是温度T的函数 气体：T↑，黏度↑ 液体：T↑，黏度↓
运动流体的流速、压强、密度等有关物理量 稳态流动： 仅随位置而改变，而不随时间而改变 上述物理量不仅随位置而且随时间变化的流 非稳态流动： 动。
三、牛顿粘性定律与流体的粘度
1. 牛顿粘性定律
流体的内摩擦力：运动着的流体内部相邻两流体层间的作 用力。又称为粘滞力或粘性摩擦力。 ——流体阻力产生的来源
一、流量与流速
1、流量
单位时间内流过管道任一截面的流体量，称为流量。 若流量用体积来计量，称为体积流量VS；单位为：m3/s。 若流量用质量来计量，称为质量流量mS；单位：kg/s。 体积流量和质量流量的关系是： mS VS
2、流速
单位时间内流体在流动方向上流过的距离，称为流速u。
VS 单位为：m/s。数学表达式为： u A
mS u1 A11 u2 A2 2
若流体为不可压缩流体
uA 常数
VS
mS
u1 A1 u2 A2
uA 常数
——一维稳态流动的连续性方程
对于圆形管道，
2 2 u1 d1 u2 d 2 4 4
u1 d 2 u2 d 1
?
⑤ 流体的黏度值一般不随压力而变化
流体的分类： 按流体流动时应力与速度梯度之间的关系，流体可分为 牛顿型流体： 服从牛顿粘性定律的流体， 应力与速度梯度成正比例关 系 非牛顿型流体：不服从牛顿粘性定律的流体 ， 应力与速度梯度不满足正 比例关系
第二节 流体流动的基本方程式
第二节 流体流动的基本方程式化工厂中流体大多是沿密闭的管道流动，液体从低位流到高位或从低压流到高压，需要输送设备对液体提供能量；从高位槽向设备输送一定量的料液时，高位槽所需的安装高度等问题，都是在流体输送过程中经常遇到的。
要解决这些问题，必须找出流体在管内的流动规律。
反映流体流动规律的有连续性方程式与柏努利方程式。
1-2-1 流量与流速一、流量单位时间内流过管道任一截面的流体量称为流量。
若流体量用体积来计量，称为体积流量，以V s 表示，其单位为m 3/s ；若流体量用质量来计量，则称为质量流量，以w s 表示，其单位为kg/s 。
体积流量与质量流量的关系为：w s =V s ·ρ (1-16) 式中 ρ——流体的密度，kg/m 3。
二、流速单位时间内流体在流动方向上所流经的距离称为流速。
以u 表示，其单位为m/s 。
实验表明，流体流经管道任一截面上各点的流速沿管径而变化，即在管截面中心处为最大，越靠近管壁流速将越小，在管壁处的流速为零。
流体在管截面上的速度分布规律较为复杂，在工程计算中为简便起见，流体的流速通常指整个管截面上的平均流速，其表达式为： A V u s = （1-17）式中 A ——与流动方向相垂直的管道截面积，m 2。
流量与流速的关系为：w s =V s ρ=uA ρ （1-18） 由于气体的体积流量随温度和压强而变化，因而气体的流速亦随之而变。
因此采用质量流速就较为方便。
质量流速，单位时间内流体流过管路截面积的质量，以G 表示，其表达式为：ρρu A V A w G s s === （1-19）式中 G ——质量流速，亦称质量通量；kg/（m 2·s ）。
必须指出，任何一个平均值都不能全面代表一个物理量的分布。
式1-17所表示的平均流速在流量方面与实际的速度分布是等效的，但在其它方面则并不等效。
一般管道的截面均为圆形，若以d 表示管道内径，则 24d V u s π= 于是 uV d sπ4=（1-20） 流体输送管路的直径可根据流量及流速进行计算。
第二章--计算流体力学的基本知识
第二章计算流体力学的基本知识流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。
这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。
2.1计算流体力学简介2.1.1计算流体力学的发展流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。
20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。
数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。
从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。
数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。
数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。
自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。
最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。
航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。
流体运动的规律由一组控制方程描述。
计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解读解。
但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解读解。
计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力学这门交叉学科。
计算流体力学是一门用数值计算方法直接求解流动主控方程(Euler或Navier-Stokes方程)以发现各种流动现象规律的学科。
汽车工程流体力学(02流体力学基本方程)
Q udA vA
A
v
/concepts
第二章 流体力学基本方程
1. 流体运动的描述方法
2. 流体运动的基本概念
3. 连续性方程
4. 流体微团的运动分析
5. 欧拉运动微分方程
6. 流体静力学
7. 伯努利（Bernoulli）方程
u x dx x 2
3. 连续性方程（Continuity equation）
x方向dt时间内净流出质量
1 ( ux ) 1 ( ux ) M x M右 -M 左 = u x dx dydzdt u x dx dydzdt 2 x 2 x ( ux ) = dxdydzdt x
同理y方向dt时间内净流出质量
My ( uy ) y dxdydzdt
同理z方向dt时间内净流出质量
Mz ( uz ) dxdydzdt z
3. 连续性方程（Continuity equation）
根据质量守恒原理，dt时间控制体的总净流出质量，必等于 控制体内由于密度变化而减少的质量
Q udA
A
u——微元断面的速度
有时，流量用单位时间内通过某一过流断面的流体质量来表示， 称为质量流量Qm，单位（kg/s）。
Qm Q
2. 流体运动的基本概念
八、流量和断面平均流速-2
2．断面平均流速（Mean velocity） 总流过流断面上各点的流速u一般是不相等的。为了便于 计算，设想过流断面上流速v 均匀分布，通过的流量与实 际流量相同。
dx dy dz dt u x uy uz
/blogger/post_show.asp?idWriter=0&Key=0&BlogID =1252939&PostID=21323050
空气动力学基本知识(二)
t 时刻
(a，b，c，t) 是拉格朗日变量， (a，b，c) 是拉 格朗日坐标，即 t 时刻质点的空间位置，用来对连 续介质中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。
欧拉法
着重于研究空间固定点的情况
选定某一空 间固定点
记录其位 移、速度、 加速度等随 时间的变 化情况 流场的运 动情况
综合流场中 许多空间点 随时间的变 化情况
连续方程
1V1 A1 ห้องสมุดไป่ตู้2V2 A2
V1 A1 V2 A2 常数
单位时间流入控制体的质量 = 控制体内质量的增量
动量方程
dp vdv gdh 0
dp vdv 0
当气流沿流管增速时，其压力必然要降低，反之， 气体减速时，压力必然提高。
伯努利定理
1 2
v P P 0
•
欧拉法是描 述流体运动常用 的一种方法。
一、流体运动基本规律和基本方程
（三）、迹线、流线和流管
•
迹线 是同一流体质点 在不同时刻所形 成的曲线。是流 体质点运动的轨 迹，是与拉格朗 日观点相对应的 概念。
对不同的质点，迹线的形状可能 不同；对一确定的质点，其轨迹线 的形状不随时间变化。
流线是同一瞬时流场中 连续各点的流动方向线。
附面层分类
a.层流附面层 b.紊流附面层
低速附面层
本节课主要内容：
描述流体运动的两种方法 流体运动的若干基本概念 连 续 性 方 程 伯努利方程 动 附 量 面 方 层 程
一、流体运动基本规律和基本方程 （一）流场及其描述方法
1、流场 —— 充满运动流体的空间称为流场
一、流体运动基本规律和基本方程 2、描述流体运动的方法
着眼于流体质点，跟踪 质点描述其运动历程
第二章 流体的运动
第二章流体的运动复杂的心脏流动模式可以利用速度场中假象粒子的轨迹直观地表示出来。
此图使用时间分辨三维相差磁共振成像技术通过粒子轨迹直观地表示了流入左心室的血流本章是用这些一般规律去研究适用于液体和气体流动的较为特殊的规律。
液体和气体的各部分之间可以有相对运动，因而没有固定的形状。
物体各部分之间可以有相对运动的特性，称为流动性。
具有流动性的物体，称为流体。
从具有流动性来看，液体和气体都是流体。
流体的运动规律在水利、电力、煤气和石油的输送等工程部门都有广泛的应用。
在人体生命活动中，也起着十分重要的作用。
本章研究流体运动的方法，选用欧拉法，即通过确定流体质元每一时刻在空间各点的密度和速度来描述流体的运动。
实际流体是复杂的，具有可压缩性和粘滞性，研究流体的运动时，可分为理想流体和粘性流体。
一般流体的运动也是复杂的，根据流体的运动状态可分为层流（即稳定流动）、湍流和过渡流。
实际流体及其运动都是复杂的。
实际流体具有可压缩性和粘滞性；一般实际流体运动时，流速是空间点(位置)及时间的函数，即v = f ( x ,y, z, t )。
但在某些问题中可以突出起作用的主要因素，忽略掉作用不大的次要因素，而使问题简化。
因此，提出流体的理想模型——绝对不可压缩、完全没有粘滞性的流体，称为理想流体。
把在流体中，各点质元流速不随时间改变的流动称为稳定流动(或定常流动)。
为了形象地描述流体的运动情况，引入流线和流管；为了便于描述流体在管道中运动，定义了横截面上的体积流量和平均速度等物理概念。
经分析得出不可压缩的流体、稳定流动时的运动规律——连续性方程。
可压缩性：流体的体积（或密度）随压力的大小而变化的性质，称为流体的可压缩性。
压力增大时，流体的体积减小：压力减小时，流体的体积增大。
液体的可压缩性很小；气体流动时，可压缩性可以忽略。
粘滞性：流体分层流动时，速度不同的各流层之间存在着沿分界面的切向摩擦力（即内摩擦力），流体的这种性质称为流体的粘滞性。
《流体力学》流体力学基本方程
2.2 描述流体运动的一些基本概念
2.2.1定常流与非定常流
流场中所有的运动 要素不随时间变化
u u(x, y, z)
(x, y, z)
p p(x, y, z)
u 0 t p 0 t
0
t
流场中有运动 要素随时间变化
u u(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t) (x, y, z,t)
x, y, z ,t--欧拉变量，其中x，y，z与时间t有关。
欧拉法是常用的方法。
5
16 October 2021
欧拉法中的加速度 -- 质点速度矢量对时间的变化率。
a
u t
ux
u x
uy
u y
uz
u z
三个分量：
ax
ux t
ux
ux x
拉格朗日法 从流体质点的运动着手，描述每一个流体质点自始至 终的运动过程。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流 体的运动规律也就清楚了。是质点--时间描述法。
质点运动的轨迹
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
a, b, c --- t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日变量，用来指定质点。
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
y x
12
16 October 2021
2. 求迹线
将已知速度分布代入式(2.2.1)可得
dx x t, dy ( y t), dz 0
流体力学方程
流体力学方程流体力学方程是描述流体运动的基本方程，它由质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程组成。
这些方程描述了流体在空间和时间上的变化以及与周围环境的相互作用。
流体力学方程在多个领域中具有广泛的应用，包括天气预报、风洞实验、水力工程和生物学等。
一、质量守恒方程质量守恒方程又称连续性方程，它描述了流体的质量在空间和时间上的变化规律。
质量守恒方程可以用以下形式表示：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·(ρv)是速度矢量的散度。
质量守恒方程表明，流体在任意一点的质量密度的变化率等于通过该点的质量流入量与质量流出量之差。
二、动量守恒方程动量守恒方程描述了流体在外力作用下的运动规律。
根据流体力学的推导，动量守恒方程可以用以下形式表示：ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + μ∇²v + ρg其中，p是流体的压力，μ是流体的动力粘度，g是重力加速度。
动量守恒方程表明，流体在任意一点的动量密度的变化率等于流体所受外力（包括压力力、粘性力和重力）的合力。
三、能量守恒方程能量守恒方程描述了流体在热力学过程中能量的转换和传递。
能量守恒方程可以用以下形式表示：∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev) = -∇·q + μ∇²v + ρv·g其中，e是流体的单位质量内能，∇·q表示热传导通量，g是重力加速度。
能量守恒方程表明，流体在任意一点的能量密度的变化率等于能量的产生与损失之差。
流体力学方程的求解是复杂的，通常需要借助数值方法进行近似求解。
数值模拟方法如有限差分法、有限元法和计算流体力学方法等被广泛应用于解决流体力学问题。
这些方法能够提供流体在不同条件下的速度、压力和温度等重要参数，为工程设计和科学研究提供可靠依据。
总结：本文介绍了流体力学方程的基本内容，包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
流体力学-第二章 基本方程
h
0
xy
z
经流体柱后侧流入的流体质量应为：
流入质量=
h
0
uy
z
同时，经流体柱前侧流出的质量为：
z
流出质量=
h
0
uy
z
x
h
0
uy
z
x
O
x u u x
x
y
u
h y
x
Chen Haishan NIM NUIST
流出质量减去流入质量 ＝柱体内质量的减少。
柱体内的净流出量
（流入质量减去流出质量 ＝柱体内质量的增加）
pnx nx pxx ny pyx nz pzx
pny nx pxy ny pyy nz pzy
pnz
nx pxz
ny pyz
nz pzz
Chen Haishan
NIM NUIST
z
pzz
z
pzx
pz pzy
pxz
px
pxx
pxy
pyy
pyx
py
P Pnz n
Pny
y Pnx o
Chen Haishan NIM NUIST
通过体积分，作用于体积为 的流体块上的质量力：
Fd =作用于流体的质量力
Chen Haishan NIM NUIST
② 表面力
表面力：是指流体内部之间或者流体与其他物体之 间的接触面上所受到的相互作用力。
如流体内部的粘性应力和压力、流体与固体接触面 上的摩擦力等。
x y
n n
cosn, cosn,
x y
nxn n y n
z n cosn, z nzn
Chen Haishan NIM NUIST
第2章 流体的运动
医学物理学
第2章 流体的运动
由两处的高度差测得(ρ 由两处的高度差测得 ’为 管中工作液体的密度)： 管中工作液体的密度 ：
用于实际的皮托管
P − P = (ρ − ρ)gh A M
'
1 2 又因为：PA − PM = ρυ 2
所以：υ = 所以：
2( ρ ' − ρ )gh
ρ
医学物理学
第2章 流体的运动
医学物理学
第2章 流体的运动
第二章 流体的运动
医学物理学
第2章 流体的运动
本章教学要求： 本章教学要求：
（1）理解理想流体和稳定流动的概念 ） （2）掌握流体连续性方程及伯努利方程并能熟练应用。 ）掌握流体连续性方程及伯努利方程并能熟练应用。 （3）理解黏性流体的伯努利方程、层流、湍流、雷诺数 ）理解黏性流体的伯努利方程、层流、湍流、 和斯托克斯公式。 和斯托克斯公式。 （4）了解牛顿黏滞性定律，心脏作功、血液速度及血管 ）了解牛顿黏滞性定律，心脏作功、 中血压的分布以及血液流变学的基础知识。 中血压的分布以及血液流变学的基础知识。
SAυA = SBυB = Q
医学物理学
第2章 流体的运动
Q 0.12 -1 υA = = −2 ms = 12m/s S A 10
Q 0.12 υB = = −2 m/s = 20m/s SB 10
又由伯努利方程得： 又由伯努利方程得：
1 1 2 2 ρυ A + PA = ρυ B + PB + ρ ghB 2 2
医学物理学
第2章 流体的运动
第一节 理想流体 稳定流动 一、理想流体
• 为了突出流动性这一基本特性，引入理想 为了突出流动性这一基本特性， 流体这一概念： 流体这一概念： • 绝对不可压缩的完全没有黏性的流体。 绝对不可压缩的完全没有黏性的流体 的流体。
流体运动的基本概念和规律
什么是能量守恒定律？
伯努利方程阐述的是：当不可压缩的、理想的
流体，在一个与外界没有能量交换的系统中做
定常流动时，系统中的机械能可以互相转换，
但总能量保持压不力变能
p
动能
1 v2
2
位能（忽略） z
5.气体的伯努利定理是( )在空气流动过程中的应 用:
A.能量守衡定律 B.牛顿第一定律 C.质量守衡定律 D.牛顿第二定律
流 体 运 动 规的 律基 本 概 念 和
空气动力学
2.1 流体流动的基本概念 2.2 流体流动的基本规律
2.1 流体流动的基本概念
2.1.1 相对运动原理 2.1.2 连续性假设 2.1.3 流场、定常流动与非定常流 2.1.4 流线、流线谱、流管和流量
2.1.1 相对运动原理
作用在飞机上的空气动力取决于飞机和空气之间的 相对运动情况，而与观察、研究时所选择的参考坐标 无关。举例飞机的相对飞行缩的理想流体做定常绝热流动时
p
1 2
v2
p0
p 为静压，单位体积流体具有的压力能
在静止空气中，静压等于大气压力
1 v2 为动压，单位体积流体具有的动能
2
空气的密v度， 流体运动速度
p0 为总压，静压和动压之和
6.伯努利方程的使用条件是() A.只要是理想的不可压缩流体 B.只要是理想的与外界无能量交换的流体 C.只要是不可压缩,且与外界无能量交换的流体 D.必须是理想的、不可压缩、且与外界无能量变换的流体
高超音速风洞
交通运输、房屋建筑、风能利用、运动成绩
1.利用风洞可以得到飞机气动参数,其基本依据是 ()
A.连续性假设 B.相对性原理 C.牛顿定理 D.热力学定律
流体力学的运动方程
流体力学的运动方程流体力学是研究流体的运动以及与周围环境的相互作用的科学领域。
在流体力学中，运动方程是描述流体运动的基本方程。
它们可以基于质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律来推导。
1. 质量守恒方程质量守恒方程也称为连续性方程，它描述了流体质量在空间和时间上的守恒。
质量守恒方程的数学表达式如下：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·是散度操作符。
这个方程说明流体质量在空间和时间上保持不变，即流体在任何给定的区域内的质量是恒定的。
方程右边的项表示流体质量的流入和流出。
2. 动量守恒方程动量守恒方程描述了流体运动的动力学行为，它说明流体受外力作用下的加速度以及在流体中传递的动量。
动量守恒方程的数学表达式如下：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·是散度操作符，p是流体的压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
这个方程表示了流体受外力作用下的动力学变化。
方程右边的第一项是压力梯度产生的力，第二项是应力产生的力，第三项是重力产生的力。
方程左边的第一项是流体速度的变化率，第二项是流体动量的传递率。
3. 能量守恒方程能量守恒方程描述了流体能量的守恒情况，它说明了流体在运动过程中能量的变化与能量转化。
能量守恒方程的数学表达式如下：∂(ρe)/∂t + ∇·(ρve) = -p∇·v + ∇·(k∇T) + ρv·g + τ:∇v其中，ρ是流体的密度，t是时间，e是单位质量的内能，v是流体的速度矢量，∇·是散度操作符，p是流体的压力，k是热传导系数，T是温度，g是重力加速度，τ是应力张量。
这个方程描述了流体能量随时间的变化。
方程右边的第一项是压力和速度梯度之积产生的功，第二项是热传导产生的能量变化，第三项是重力势能的转化，第四项是应力张量和速度梯度之积产生的功。
流体力学的基本方程
流体速度v、压力p、密度ρ和温度T等的对应表达式为：
流动空间中的流动诸参
因此流动参数构成了场（矢量与标量），就可使用场论这
一有力的数学工具。
欧拉法质点加速度表达式为：
在直角坐标系中：
*
加速度矢量式：
*
用欧拉法描述流体的运动时，加速度由两部分组成：
拉格朗日法和欧拉法的比较
*
欧拉法中a=dv/dt为一阶导数，相应的运动方程是一阶偏微分方程；拉格朗日法中a=∂2r/ ∂ t2为二阶导数，相应的运动方程是二阶偏微分方程。 [例2-1]见书P12-13
欧拉法得到流场，拉格朗日法得不到流场；
*
第二节 流体运动的基本概念
PART ONE
一.定常流动和非定常流动
*
流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。
在定常流动中，流场内物理量不随时间而变化，仅是空间点的函数。
二.均匀流动和非均匀流动
*
流体在运动过程中，若所有物理量皆不依赖于空间坐标，只是时间t的函数，则称此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。
三.一维、二维、三维流动
积分以上微分方程，消去时间t，即得迹线方程。
M2
M1
M3
M4
V1
V2
V3
V4
（二）流线 流线是某固定时刻流场中的瞬时曲线，是流场的几何表示，是在同一瞬时形成的曲线，曲线上每一点的切线都与速度矢量相重合。与欧拉法相对应。
给出流场V(x,y,z,t)后，对x,y,z积分上式，即可得到流线方程。
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线：
举 例
t = 0 时过 M(-1,-1)： C1 = C2 = 0
物理第二章 流体的运动
5.97 104（Pa s m3 )
P QRf 1.00104 5.97104 5.97 (Pa)
可见与平均动脉压13.3kPa相比，主动脉的血压降落是微不 足道的
2、斯托克司定律
分析：当物体在粘性流体中作匀速运动时，物体表面附着一层 流体，此层流体随物体一起运动，因而与周围流层之间存在内 摩擦力，所以物体在运动过程中必须克服这一阻力。如果物体 是球形的，且流体对于球体作层流运动，则球体所受的阻力为
s 2 h(H h)
若有相同射程，即有s=s'
解得
h'=H-h
（3）要使s最大，只要求s的极大值即可
求得
最大射程为Ｈ
h H 2
三、压强与高度的关系（体位对血压的影响）
如果流体在等截面管中流动，其流速不变，由伯努力方程可得
P1 gh1 P2 gh2
高处压强小，低处压强大
解释体位对血压的影响 可见测血压要注意体位
f 6vR
斯托克司定律
说明：R是球体的半径，v是球体相对于流体的流速， η是 流体的粘度
设在粘性流体内一半径为R的小球受重力作用而下沉，
小球所受合力为
F 4 R3 g 4 R3g 6vR
3
3
小球在合力作用下加速下沉，速度增加，同时随速度增加， 阻力也愈来愈大，最后合力为零，它将作匀速运动。此时有
3、雷诺数 雷诺数Re 说明：
Re vr
（1）Re < 1000时，流体作层流
（2）Re > 1500时，流体作湍流
（3）1000 < Re < 1500时，流体流动不稳定
例2-3 主动脉的内半径为0.01m，血液的流速、粘度、密度
流体力学中的流体动力学方程
流体力学中的流体动力学方程流体力学是研究流体运动规律和性质的学科，它在能源、环境、航空航天等领域有着广泛的应用。
流体动力学方程是流体力学的基础，它描述了流体在运动过程中的物理现象和力学特性。
本文将介绍流体动力学方程的基本原理和常见的流体动力学方程。
一、连续性方程连续性方程是描述流体质点质量守恒的基本方程。
它表明流体在运动过程中，质量的流入等于流出。
连续性方程可以用数学形式表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·表示散度运算符。
二、动量守恒方程动量守恒方程描述了流体质点在运动过程中动量的变化。
根据牛顿第二定律，动量守恒方程可以表示为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p是流体的压力，τ是动态粘性应力张量，g是重力加速度。
三、能量守恒方程能量守恒方程是描述流体内能和外界能量转化的方程。
根据热力学第一定律，能量守恒方程可以表示为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(k∇T) + q其中，E是单位质量的总能量，v是流体的速度矢量，k是热传导率，T是温度，q是单位质量的内部热源。
四、状态方程流体力学中的状态方程描述了流体在热力学过程中的状态特性。
流体的状态方程通常表示为：p = ρRT其中，p是流体的压力，ρ是流体的密度，R是特定流体的气体常数，T是温度。
综上所述，流体动力学方程包括连续性方程、动量守恒方程、能量守恒方程和状态方程。
这些方程是建立在质点假设和牛顿力学基础上的，可以描述流体在运动过程中的物理现象和运动规律。
通过求解这些方程，可以得到流体的运动速度、压力分布等信息，为解决实际问题提供了重要的理论基础。
在实际应用中，为了解决流体动力学方程的复杂性，常常采用数值模拟等方法进行求解。
数值模拟可以通过离散化方程、引入数值格式和数值算法，得到流体在离散网格上的解。
流体力学第二章 基本方程
一、拉格朗日观点下的连续方程
d ( m) 0
dt
d ( )
dt
1 d 1 d ( ) 0 dt dt d V 0
dt
(2.1.1) (2.1.2) (2.1.3) (2.1.4)
V 称为速度散度，表示体膨涨速度。 V 0表示流体微团在运动过程中发生体积
沿变深度矩形截面河道水面上有波动运动，求 此波动应满足的连续方程
解：设x轴取在河道方向静止水面上
自静止水面起的深度为H(x)，自由表面离静 止 水面为(x,t) ,河截面水流速度为 u(x,t) ， 河宽b不变，水密度为常数 。
取一长为δx的控制体，体积为 (H )b x
单位时间流入质量：(H )bu
在 δt 时间内沿x方向净流出控制体（流出质量 减去流入质量）的质量为
(2.1.7)
按质量守恒定律，在 时间内沿三个方向净流 出控制体的总质量应等于控制体内减少的质量：
(2.1.8)
取极限后可得
即：
(V ) 0
t
(2.1.9) (2.1.10)
( 2.1.10)式为欧拉形式的连续性方程。
单位时间流出质量：
(H
)bu
x
( H
)bux
净流出质量为：
(H )bux
x
单位时间控制体质量减少为： (H )b x
由质量守恒：
t
b (H ) x b (H )u x
t
x
(H )u 0
t x
(2.1.16)
§2. 作用于流体的力、应力张量
一、质量力和表面力： 1. 质量力 质量力为穿越空间作用在所有流体元上的非 接触力，如重力、万有引力、电磁力等。
第2章 流体运动的基本方程
第2章 流体运动的基本方程流体运动极其复杂，但也有其内在规律。
这些规律就是自然科学中通过大量实践和实验归纳出来的质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律、热力学定律以及物体的物性。
它们在流体力学中有其独特的表达形式，组成了制约流体运动的基本方程。
本章将根据上述基本定律及流体的性质推导流体运动的基本方程，并给出不同的表达形式。
2.1 连续方程2.1.1 微分形式的连续方程质量守恒定律表明，同一流体的质量在运动过程中保持不变。
下面从质量守恒定律出发推导连续性方程。
在流体中任取由一定流体质点组成的物质体，其体积为V ，质量为M ，则⎰=VdV M ρ根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立0==⎰VdV dt ddt dM ρ (2-1) 应用物质体积分的随体导数公式（1-15b ），则0dV )]v (div t [dV )v div Dt D (dV dt d V V V⎰⎰⎰=+∂∂=+=ρρρρρ 因假定流体为连续介质，流体密度和速度均为空间和时间的连续函数，被积函数连续，且体积V 是任意选取的，故被积函数必须恒等于零，于是有0v div DtD =+ρρ （2-2a ） 或0)v (div t=+∂∂ρρ （2-3a ） 上式亦可以写成如下形式0x u Dt D ii =∂∂+ρρ（2-2b ） 或0x )u (t ii =∂∂+∂∂ρρ （2-3b ）式（2-2）和式（2-3）称为微分形式的连续性方程。
在直角坐标系中，微分形式的连续性方程为0z)u (y )u (x )u (t z y x =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ρρρρ （2-4） 微分形式的连续性方程适用于可压缩流体非恒定流，它表达了任何可实现的流体运动所必须满足的连续性条件。
其物理意义是，流体在单位时间流经单位体积空间时，流出与流入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
由式（2-2）可对不可压缩流体给出确切定义。
不可压缩流体的条件应为0=DtD ρ（2-5） 即密度应随质点运动保持不变。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§ 2.1.3 连续方程的微分形式
▪ 由于推导时所用的控制体的空间位置固定， 所以积分的极限形式也是固定的。于是对时
间求偏导数可以放到体积分符号里面
d
V dS 0
t
S
▪ 根据散度定量，上式右边项可以表示为：
t d Vd 0
或者：
t
V
d
0
▪ 分析积分形式中的被积函数，如果被积函数的值是 有限的，那么此方程要求它在控制体的一部分区域
第二章 流体运动的基本方程和
基本规律
▪ 自然科学中有三大守恒律：质量守恒、动量 守恒和能量守恒。
▪ 本章先利用这三大原理，推导出流体力学中 的三个基本方程：连续方程、动量方程和能 量方程。然后粗略介绍这三个方程的解法。 最后分析流体微团运动和旋涡运动。
目录
§ 2.1 连续方程 § 2.3 能量方程 § 2.5 微团运动分析
▪ 对定常流动，/t0 ，因此积分与微分形式
的连续方程分别简化为：
V dS 0
V 0
S
§ 2.1.4 连续方程的物质导数形式
▪ 第一章我们学习了物质导数，下面我们把连
续方程表示成物质导数的形式。
▪ 首先引入一个矢量记号： • V •V V •
它表示标量和矢量乘积的散度等于标量乘以
矢量的散度加上矢量点乘个标量的梯度。
▪
▪ 值得注意的是：连续方程的微分形式与积分 形式都是质量守恒原理的等效的表示。它们 只是数学表述方式不同而已，反映的的实质 都是“物质即不能创造也不能消灭”。
▪ 在连续方程的推导过程中，关于流体性质的 唯一假设就是连续性假设。因此，上式对任 意流体的三维非定常流动、有粘或是无粘、 可压或是不可压，都成立。
扫过体积Vn dtA
▪ 因此阴影部分的质量是：流过质量= VndtA
这就是在时间dt内流过面A的质量。
▪ 定义每秒钟流过面的质量为面的质量流量，
其单位是kg/s，记为
•
m
，从方程（2.1）有
•
m
Vn
dt
A
dt
•
或者 mVn A
▪ 再引入一个相关概念：质量通量。 其定义为单位面积上的质量流量，即
•
§ 2.2 动量方程 § 2.4 方程的基本解法 § 2.6 旋涡运动
§2.1 连续方程
▪ § 2.1.1 连续方程的物理意义 ▪ § 2.1.2 连续方程的积分形式 ▪ § 2.1.3 连续方程的微分形式 ▪ § 2.1.4 连续方程的物质导数形式
§ 2.1.1 连续方程的物理意义
连续方程描述的是流体力学中的质量守恒规律： 流出控制体的质量流量等于控制体内质量随时间的 减少率。
质量通量＝
m A
Vn
质量通量的单位是： kg/ sm2
▪ 质量流量和质量通量的概念很重要。
▪ 为了得到连续方程，对空间位置固定的有限 控制体运用质量守恒律： 质量既不能创造，也不能消灭
▪ 设流场特性随空间和时间的变化而变化，比
如 x,y,z,t。在该流场中，考虑如图2-2中
所示的有限控制体，在控制面上任取一点， 其速度是V，ds是包含该点的面元的外法矢， dv是控制体内流体微团的体积。
▪ 质量流量沿整个控制面S求和就是净流出整个 控制面S的质量流量。再取极限，和就演变成 面积分，也就是上述方 程 的左边B：
B VdS
S
▪ 现在考虑方程的右边C。
▪ 体元dv中包含的质量是：d
因此，整个控制体内的质量是： d
那么控制体内的流体质量随
时间的增加率是： d t
▪ 反过来，控制体内质量随时间的减少率就是
▪ 在推导这个基本气动方程之前，我们引入质 量流量的概念。对位于流场中任意的面A，如 图2-1所示。图2-1是面A的侧视图。
A
图2-1 流过面 A的质量流量
▪ 假设区域足够小，因此面上各点的速度可以 认为相同。考虑以速度V穿过面A的流体微团， 在穿过面以后的时间dt内，它运动了的距离 Vdt，扫过的体积如图2-1阴影部分所示。显 然，扫过的体积等于底面积乘以柱体的高度 Vndt，这里Vn是速度在面A法向上的分量，即
▪ 考虑微分形式给出的连续方程
•
V
0
t
▪ 应用上述的矢量记号，上式变为
“物质即不能创造也不能消灭”
▪ 在上一章第六节中，我们讨论了几种用来研究流体 运动的模型，现在对这些流体模型运用基本的物理 原理。和前面推导的物理意义不同，那里采用的是 运动的有限控制体，这里我们采用位置在空间固定 的有限控制体，即控制体固定在空间某个位置，流 体从中穿过。
▪ 显然，和前面的推导不同，控制体的体积和控制面 都不随时间变化，但是由于流场的非定常特性，控 制体内所包含的质量是随时间变化的。
S
▪ 上式就是连续方程的积分形式。
▪ 很多情况下会运用到这种形式的连续方程，它可以 用来解释某个有限区域空间的气动现象，而不必关
心流场中某个点的具体细节。
▪ 然而，有时候我们需要关心流场的细节，就必须对 所取定点运用连续方程进行分析。在这种情况下，
积分形式的连续方程并不适用。
▪ 然而从积分形式的连续方程可以推导出微分形式的 连续方程，这种形式的连续方程是与空间具体点的
的积分和剩余的区域的积分大小相等，符号相反，
这样在整个控制体内的积分才为零。然而有限控制
体是任意的，因此对任意控制体，都要求要此方程
的积分为零，唯一方法是被积函数在控制体内所有 点值都为零。因此
•
V
0
t
•
V
0
t
▪ 上式就是连续方程的微分形式。该方程建立 了流场中某点的流动变量之间的关系，与积 分形式的连续方程相反，后者反应的是流场 中一个有限空间的流动变量之间的关系。
图2-2
▪ 对该控制体运用质量守恒律
净流出控制面的质量 控制体内质量的减少
记为
B=C
▪ 穿过面元ds的质量流量是：VndSVdS
▪ 习惯上ds从控制体内指向外 ， 因此当V也从
内指 向 外时，如图2-2， V dS 乘积为正。
▪ ▪
VdS V dS
为正：流出控制体的质量流量 。 为负：流入控制体的质量流量。
上式的相反数： t
d C
▪ 则由： 净流出控制面的质量 控制体内质量的减少
得到：
V dS
d
t
S
或者： tBiblioteka d V dS 0S
此方程是对在空间位置固定的有限控制体运用质量
守恒率得到的结果，称为连续方程。它是流体力学 中最基本的方程之一。
§
2.1.2
t
连续方程 的积分形式
d V • dS 0