模型解题法经典例题
初中几何43模型解题 模型【07】 图形变化类(附解析)
模型【07】图形变化类【模型分析】解决图形规律题的步骤：（1）标序数——按图号标序；（2）找规律——观察图形，随着序号增加，后一个图形与前一个图形相比，找出图形变化规律，注意变量与不变量，将每个图中所求量的个数表示成与序数有关的式子；（3）验证——代入序号验证所归纳的式子是否正确；【经典例题】例1．（2021·重庆渝北区·八年级期末）如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形……，依此规律，第⑧个图案中有（）个三角形．A．19B．21C．22D．25【分析】由题意可知：第①个图案有3＋1＝4个三角形，第②个图案有3×2＋1＝7个三角形，第③个图案有3×3＋1＝10个三角形，…依此规律，第n个图案有（3n＋1）个三角形，代入n＝8即可求得答案．【解析】∵第①个图案有3＋1＝4个三角形，第②个图案有3×2＋1＝7个三角形，第③个图案有3×3＋1＝10个三角形，…∴第n个图案有（3n＋1）个三角形．当n＝8时，3×8＋1＝25，选D．【小结】考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的变化规律，利用规律解决问题．例2．（2021·北京东城区·八年级期末）如图，30MON ∠=︒，点1234,,,A A A A ，…在射线ON 上，点123,,B B B ，…在射线OM 上，且112223334,,A B A A B A A B A △△△，…均为等边三角形，以此类推，若11OA =，则202120212022A B A △的边长为_______．【分析】根据30MON ∠=︒，11OA =，112A B A △是等边三角形，得11260∠=︒B A A ，进而得1130∠=︒OB A ，1111A O B A ==，可得22OA =，以此类推即可求解．【解析】∵30MON ∠=︒，11OA =，112A B A △是等边三角形，∴11260∠=︒B A A ∴1130∠=︒OB A ∴1111A OB A ==∴22OA =同理：223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形，2222B A OA ==，233342B A OA ===…则202120212022A B A △的边长为20202．【小结】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．例3．（2021·安徽芜湖市·七年级期末）如图，同一行的两个图形中小正方形的个数相等，但它们的排列方式不一样，根据不同的排列方式可以得到一列等式．(12)223+⨯=⨯(123)234++⨯=⨯(1234)245+++⨯=⨯（1）第n 个图形中对应的等量关系是()21231n +++⋯++⨯=⎡⎤⎣⎦______．（2）根据（1）的结论，求24650+++⋅⋅⋅+的值．【分析】（1）根据前三幅图可知右边的式子等于左边括号内最大的数与比它大1数的积；（2）先逆用乘法分配律变形，然后根据（1）中结论计算即可；【解析】（1）∵(12)223+⨯=⨯，(123)234++⨯=⨯，(1234)245+++⨯=⨯，…，∴[]123(1)2(1)(2)n n n +++++⨯=++ （2）246501(5)2322+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+⨯2526650=⨯=【小结】本题考查了规律型—图形类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．也考查了有理数的混合运算．【巩固提升】1．（2020·浙江台州市·七年级期末）如图，用大小相等的黑色三角形按一定规律拼成如图的图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形…，依照此规律，第⑩个图案中黑色三角形的个数为（）A ．50B ．55C ．58D ．61【分析】根据前3个图案中黑色三角形的个数找出规律，利用规律解题即可．【解析】第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，312=+，第③个图案中有6个黑色三角形，6123=++，……第⑩个图案中黑色三角形的个数为1234567891055+++++++++=，选B【小结】本题注意考查图形类规律探索，找到规律是解题的关键．2．（2021·北京房山区·八年级期末）如图甲，直角三角形ABC 的三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，OAB 是腰长为1的等腰直角三角形，90OAB ∠=︒，延长OA 至1B ，使1AB OA =，以1OB 为底，在OAB 外侧作等腰直角三角形11OA B ，再延长1OA 至2B ，使121A B OA =，以2OB 为底，在11OA B 外侧作等腰直角三角形22OA B ，……，按此规律作等腰直角三角形n n OA B （1n ≥，n 为正整数），则22A B 的长及20212021OA B 的面积分别是（）A ．2，20202B ．4，20212C ．20202D ．2，20192【分析】根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出22A B 的长，再进一步推出一般规律，利用规律求解20212021OA B 的面积即可．【解析】由题意可得：11OA AB AB ===，12OB =，∵11OA B 为等腰直角三角形，且“直角三角形ABC 三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 关系”，∴根据题意可得：111OA A B ==，∴212OB OA ==，∴22222OA A B ===， ，∴总结出n n OA =，∵111122△OAB S =⨯⨯=，11112△OA B S =，2212222△OA B S =⨯⨯=，∴归纳得出一般规律：1122n n n n n OA B S -=⨯⨯= ，∴2021202120202OA B S = ，选A【小结】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键．3．（2021·山东青岛市·七年级期末）下列图形均是用长度相同的火柴棒按一定的规律搭成，搭第1个图形需要4根火柴棒，搭第2个图形需要10根火柴棒，…，依此规律，搭第10个图形需要________根火柴棒．【分析】由题意，分别求出前面几个的火柴棒数量，然后得到数量的规律，再求出第10个图形的数量即可．【解析】根据题意可知：第1个图案需4根火柴，()4113=⨯+，第2个图案需10根火柴，()10223=⨯+，第3个图案需21根火柴，()18333=⨯+，……，第n 个图案需()3n n +根火柴，则第10个图案需：()10103130⨯+=（根）．【小结】此题考查了平面图形，图形变化规律，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．4．（2021·全国七年级）如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作C 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，它的周长记作C 2．照此规律作下去，则C 2020＝__．【分析】先计算出C 1、C 2的长，进而得到规律，最后求出C 2020的长即可．【解析】∵E 是BC 的中点，ED ∥AB ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝12，AD ＝12AC ＝12，∵EF ∥AC ，∴四边形EDAF 是菱形，∴C 1＝4×12，同理C 2＝4×12×12=4×212，…C n ＝4×12n ，∴20202020201811422C =⨯=．【小结】本题考查了中位线的性质，菱形的判定与性质，根据题意得到规律是解题关键．5．（2021·山东青岛市·七年级期末）（问题提出）以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的n 个点，共(4)n +个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？（问题探究）为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手：（探究一）以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的1个点P （如图①），共5个点为顶点显然，此时可把长方形ABCD 分割成________个互不重叠的小三角形．（探究二）以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的2个点P 、Q ，共6个点为顶点，可把长方形ABCD 分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形ABCD 的内部，再添加1个点Q ，那么点Q 的位置会有两种情况：一种情况是，点Q 在图①分割成的小三角形的某条公共边上不妨设点Q 在PB 上（如图②）；另一种情况是，点Q 在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q 在PAB △的内部（如图③）．显然，不管哪种情况，都可把长方形ABCD 分割成________个互不重叠的小三角形．（探究三）长方形ABCD 的4个顶点和它内部的3个点P 、Q 、R ，共7个点为顶点，可把长方形ABCD 分割成________个互不重叠的小三角形请在图④中画出一种分割示意图.（问题解决）以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的n 个点，共(4)n +个点作为顶点，可把原长方形分割成________个互不重叠的小三角形．（实际应用）以梯形的4个顶点和它内部的2021个点作为顶点，可把梯形分割成________个互不重叠的小三角形．（拓展延伸）以五边形的5个顶点和它内部的m 个点，共(5)m +个点作为顶点，可把原五边形分割成________个互不重叠的小三角形．【分析】探究一：根据图形可回答；探究二：根据图形可回答；探究三：根据图形可回答；n ，进而解决问题；问题解决：由探究活动可得规律为2(1)实际应用：把2021代入所得规律，求值即可；拓展延伸：由四边形的规律可得五边形的规律．【解析】探究一：以长方形ABCD的4个顶点和它内部的1个点P，共5个点为顶点显然，此时可把长方形ABCD 分割成4个互不重叠的小三角形．故答案为：4；探究二：如图，不管哪种情况，都可把长方形ABCD分割成6个互不重叠的小三角形．故答案为；6；探究三：长方形ABCD的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形ABCD分割成8个互不重叠的小三角形问题解决：以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的1个点，共5个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：4=2（1+1）．以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的2个点，共6个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：6=2（2+1）．以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的3个点，共7个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：8=2（3+1）．所以，以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的n 个点，共(4)n +个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：2（n +1）．实际应用：当n =2021时，以梯形的4个顶点和它内部的2021个点作为顶点，可把梯形分割成互不重叠的小三角形2（2021+1）=4044个．拓展延伸：根据前面的解决问题可知：以五边形的5个顶点和它内部的m 个点，共(5)m +个点作为顶点，可把原五边形分割成互不重叠的小三角形个数为（2m +3）个．故答案为：（2m +3）【小结】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律的问题，读懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键．6．（2021·青岛实验学校九年级期末）在平面直角坐标系中，点A 从原点O 出发，沿x 轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点1234,,,A A A A 的坐标分别为()()()()12340,0,1,12,03,1A A A A -，按照这个规律解决下列问题：()1写出点5678,,,,A A A A 的坐标；()2点2018A 的位置在_____________(填“x 轴上方”“x 轴下方”或“x 轴上”)；()3试写出点n A 的坐标(n 是正整数)．【分析】()1可根据点在图形中的位置及前4点坐标直接求解；()2根据图形可知点的位置每4个数一个循环，20184504...2÷=，进而判断2018A 与2A 的纵坐标相同在x 轴上方，即可求解；()3根据点的坐标规律可分4种情况分别写出坐标即可求解．【解析】（1）由数轴可得：()54,0A ，()65,1A ，()76,0A ，()87,1A -；（2）根据图形可知点的位置每4个数一个循环，20184504...2÷=，2018A ∴与2A 的纵坐标相同，在x 轴上方，故答案为：x 轴上方；（3）根据图形可知点的位置每4个数一个循环，每个点的横坐标为序数减1，纵坐标为0、1、0、-1循环，∴点n A 的坐标(n 是正整数)为A （n -1,0）或()1,1A n -或()1,0A n -或()1,1A n --．【小结】本题主要考查找点的坐标规律，点的坐标的确定，方法，根据已知点的坐标及图形总结点坐标的变化规律，并运用规律解决问题是解题的关键．。
8字型和燕尾模型 模型分析 经典例题
OD CBAODCBA模型20 “8”字型模型问题【模型分析】模型1 角的“8”字模型如图所示，AB 、CD 相交于点O 连接AD 、BC结论：∠A +∠D =∠B +∠C模型2 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 结论：AC +BD >AD +BC【经典例题】例1．（2020·全国九年级模型练习）如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠I ＝__【分析】根据多边形的内角和，可得答案 【解析】连EF ，GI ，如图，∵6边形ABCDEFK 的内角和＝（6－2）×180°＝720° ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝720°－（∠1＋∠2） 即∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋（∠1＋∠2）＝720°∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H ＝180°∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ∠H ＋（∠3＋∠4）＝900°∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F （∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H ＝720°＋180° ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠I ＝900°【小结】本题考查了n 边形的内角和定理：n 边形的内角和为（n －2）×180°（n ≥3的整数）例2．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，BP 平分ABC ∠，交CD 于点F ，DP 平分ADC ∠交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A ∠=︒（1）若60ADC ∠=︒，求AEP ∠的度数 （2）若38C ∠=︒，求P ∠的度数 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP =12ADC ∠ ，然后利用三角形外角的性质即可得解 （2）根据角平分线的定义可得∠ADP =∠PDF ，∠CBP =∠PBA ，再根据三角形的内角和定理可得∠A +∠ADP =∠P +∠ABP ，∠C +∠CBP =∠P +∠PDF ，所以∠A +∠C =2∠P ，即可得解 【解析】（1）∵DP 平分∠ADC ，∵∠ADP =∠PDF =12ADC ∠ ∵60ADC ∠=︒，∵30ADP ∠=︒，∵304272AEP ADP A ∠=∠+∠=︒+︒=︒ （2）∵BP 平分∠ABC ，DP 平分∠ADC ，∵∠ADP =∠PDF ，∠CBP =∠PBA ∵∠A +∠ADP =∠P +∠ABP ，∠C +∠CBP =∠P +∠PDF ，∵∠A +∠C =2∠P ∵∠A =42°，∠C =38°，∵∠P =12（38°+42°）=40° 【小结】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．【巩固提升】1．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·八年级期中）如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，点C 落在边AB 上的点H 处，点D 落在点G 处，若111GEF ∠=︒，AHG ∠度数为（ ）A ．42°B ．69°C ．44°D ．32°【分析】根据翻折的性质，及矩形的性质，求出AEG ∠，再利用“8”字模型求解即可 【解析】由图形翻折的性质可知，111GEF DEF ∠=∠=︒180111AEF ∴∠=︒-︒=69︒，1116942AEG GEF AEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 90A G ∠=∠=︒，利用“8”字模型 42AHG AEG ∴∠=∠=︒，选A【小结】本题考查了矩形翻折问题，能够根据图形翻折的性质推理出AEG ∠是解决问题的关键，熟练运用“8”字模型是求最终结果的关键2．（2020·九年级练习）如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠I +∠K 度数为__【分析】连KF ，GI ，根据n 边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK 的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠K ＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H ＝180°，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠K ＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H ＝900°＋180°，即可得到∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠I ＋∠K 的度数 【解析】连KF ，GI ，如图，∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2）即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080【小结】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）3．（2020·全国九年级模型练习）阅读材料：如图1，AB、CD交于点O，我们把∵AOD和∵BOC叫做对顶三角形结论：若∵AOD和∵BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C结论应用举例：如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2在∵ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°∵∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°,即五角星的五个内角之和为180°解决问题：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；（3）连接B H、DE，由对顶角三角形可知∠EB H＋∠B H D＝∠H DE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠N GH＋∠E HG，再由六边形的内角和定理得出结论．【解析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；（3）连接B H、DE，∵由对顶角三角形可知∠EB H＋∠B H D＝∠H DE＋∠BED，∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEF G的内角和＋∵AB H的内角和＝540°＋180°＝720°；（4）连接ND、NE，∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠N GH＋∠E HG，∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCF GH M的内角和＋∵AND的内角和＋∵NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．【小结】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用∵AOD和∵BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键．4．（2020·全国九年级模型练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K度数．【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJ L，∠C＋∠D＝∠ML J，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠G ML，然后由多边形的内角和公式可求得答案．【解析】如图所示：由三角形外角性质：∠A＋∠B＝∠IJ L，∠C＋∠D＝∠ML J，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠G ML∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJ L＋∠ML J＋∠G ML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【小结】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键5．（2020·全国九年级练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和【分析】根据三角形内角和外角的性质可得：∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H ＝∠2，再根据三角形内角和定理可得答案【解析】∵∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2∵∠G＋∠D＋∠F＋∠C＋∠E＋∠H＝∠3＋∠4＋∠2∵∠B＋∠2＋∠1＝180°，∠3＋∠5＋∠A＝180°∵∠A＋∠B＋∠2＋∠4＋∠3＝360°∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°【小结】此题主要考查了三角形内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和6．（2019·全国九年级模型练习）如图，在直角ABC ∆中，BD 是ABC ∠的平分线，3BAO OAD ∠=∠,AO 的延长线与BDC ∠的平分线交于点F ，求F ∠的度数.【分析】设OAD x ∠=︒，则3BAO x ∠=︒，452ABO x ∠=︒-︒，22.5ODF x ∠=︒+︒ 根据三角形ABO 与三角形DFO 的内角和相等即可建立方程，整理方程即可得出答案 【解析】设OAD x ∠=︒，则3BAO x ∠=︒ 在直角ABC ∆中，904ABC x ∠=︒-︒ ∵BD 是ABC ∠的平分线 ∵452ABO x ∠=︒-︒在直角DBC ∆中，22.5ODF x ∠=︒+︒∵180OAB OBA AOB ODF F FOD ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ 又∵AOB FOD ∠=∠∵OAB OBA ODF F ∠+∠=∠+∠ 即345222.5x x x F ︒+︒-︒=︒+︒+∠ ∵22.5F ∠=︒【小结】本题考查了对顶角相等、三角形内角和定理及其推论等知识.根据对顶三角形构建方程是解题的关键模型21 燕尾角模型问题【模型分析】如图所示，有结论：∠D =∠A +∠B +∠C 。
(完整版)初中常用数学模型
如图，如果AB ‖DE ，且C 为AE 中点，则有△ABC ≌△EDC 很好证的，当然十分实用，经常需要添加辅助线（例如延长）【例题1】（2014 深圳某模拟）【例题2】（2014 深圳）答案：1.32；2.D如图，若∠B=∠C=∠DEF=α（0<α≤90)则一定有△BDE与△CEF相似。
十分好证（外角和什么一大堆），并且也很实用。
经常在矩形里出题。
【例题1】（2009 太原）【例题2】（2006 河南）【例题3】（原创）答案：1. 2或3-24或25 2.(5453-，) 【3】巧造旋转模型在某些几何题中，往往有一些奇怪的结论，此时可以通过几何三大变换之一【旋转】求解。
巧造旋转往往要有一定的等量关系和特殊角度，如下题：通过观察可得∠ABC=∠C=45°，AB=AC 。
我们可以将△ACD 绕A 顺时针旋转90°得到△ABE ，使得AC 与AB 重合。
那么就有EB ⊥BC ，而在RT △AED 中，DE ²=2AD ²（等腰直角三角形） 所以BE ²+BD ²=DE ²，即BD ²+CD ²=2AD ²是不是赶脚很难想到？要学会判断，这种感觉是要练出来的！ 【例题1】（2014 武汉）【例题2】【例题3】（2014 菏泽改编）答案：1.41 2.9 3.(1.)2，(2.)直角三角形，旋转后证全等，证明略【4】等腰模型这是一个很基础的模型——什么样的结构会生成等腰三角形首先：平行+角平分线，如图，若AD‖BE，BC平分∠ABE，则AB=AC，很好证的，导角即可。
其次：垂直+角平分这个不难理解，因为等腰三角形三线合一。
这种模型很常用，常常需要做辅助线（延长之类）【例题1】（原创）AB‖CD【例题2】（原创）【例题3】（改编）1.112.33.延长CD交AB于M，利用中位线，证明略【5】倍长中线法常考，选填大证明都可能会用。
高中物理模型法解题——板块模型
高中物理模型法解题———板块模型【模型概述】板块模型是多个物体的多个过程问题，是一个最经典、最基本的模型之一。
木板和物块组成的相互作用的系统称为板块模型，该模型涉及到静摩擦力、滑动摩擦力的转化、方向判断等静力学知识，还涉及到牛顿运动定律、运动学规律、动能定理和能量的转化和守恒等方面的知识。
板块类问题的一般解题方法(1)受力分析．(2)物体相对运动过程的分析．(3)参考系的选择（通常选取地面）．(4)做v-t图像(5)摩擦力做功与动能之间的关系．(6)能量守恒定律的运用．一、含作用力的板块模型问题：【例题1】如图所示，木板静止于水平地面上，在其最右端放一可视为质点的木块．已知木块的质量m=1kg，木板的质量M=4kg，长L=2.5m，上表面光滑，下表面与地面之间的动摩擦因数μ=0.2．现用水平恒力F=20N拉木板，g取10m/s2，求：（1）木板的加速度；（2）要使木块能滑离木板，水平恒力F作用的最短时间；（3）如果其他条件不变，假设木板的上表面也粗糙，其上表面与木块之间的动摩擦因数为0.3，欲使木板能从木块的下方抽出，需对木板施加的最小水平拉力是多大？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（4）若木板的长度、木块质量、木板的上表面与木块之间的动摩擦因数、木块与地面间的动摩擦因数都不变，只将水平恒力增加为30N，则木块滑离木板需要多长时间？【解题思路】（1）根据牛顿第二定律求出木板的加速度．（2）让木板先做匀加速直线运动，然后做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律，结合位移之和等于板长求出恒力F作用的最短时间．（3）根据牛顿第二定律求出木块的最大加速度，隔离对木板分析求出木板的加速度，抓住木板的加速度大于木块的加速度，求出施加的最小水平拉力．（4）应用运动学公式，根据相对加速度求所需时间．【答案】（1）木板的加速度2.5m/s2；（2）要使木块能滑离木板，水平恒力F作用的最短时间1s；（3）对木板施加的最小水平拉力是25N；（4）木块滑离木板需要2s【解析】解：（1）木板受到的摩擦力F f=μ（M+m）g=10N木板的加速度=2.5m/s2（2）设拉力F作用t时间后撤去，木板的加速度为木板先做匀加速运动，后做匀减速运动，且a=﹣a′有at2=L解得：t=1s，即F作用的最短时间是1s．（3）设木块的最大加速度为a木块，木板的最大加速度为a木板，则对木板：F1﹣μ1mg﹣μ（M+m）g=Ma木板木板能从木块的下方抽出的条件：a木板＞a木块解得：F＞25N（4）木块的加速度木板的加速度=4.25m/s2木块滑离木板时，两者的位移关系为x木板﹣x木块=L即带入数据解得：t=2s【变式练习】如图所示，质量M=1kg的木块A静止在水平地面上，在木块的左端放置一个质量m=1kg的铁块B（大小可忽略），铁块与木块间的动摩擦因数μ1=0.3，木块长L=1m，用F=5N的水平恒力作用在铁块上，g取10m/s2．（1）若水平地面光滑，计算说明两木块间是否会发生相对滑动．（2）若木块与水平地面间的动摩擦因数μ2=0.1，求铁块运动到木块右端的时间．【解题思路】（1）假设不发生相对滑动，通过整体隔离法求出A、B之间的摩擦力，与最大静摩擦力比较，判断是否发生相对滑动．（2）根据牛顿第二定律分别求出A、B的加速度，结合位移之差等于木块的长度求出运动的时间．【答案】（1）A、B之间不发生相对滑动；（2）铁块运动到木块右端的时间为．【解析】（1）A、B之间的最大静摩擦力为：f m＞μmg=0.3×10N=3N．假设A、B之间不发生相对滑动，则对AB整体分析得：F=（M+m）a对A，f AB=Ma代入数据解得：f AB=2.5N．因为f AB＜f m，故A、B之间不发生相对滑动．（2）对B，根据牛顿第二定律得：F﹣μ1mg=ma B，对A，根据牛顿第二定律得：μ1mg﹣μ2（m+M）g=Ma A根据题意有：x B﹣x A=L，，联立解得：．二、不含作用力的板块模型问题：【例题2】一长木板在水平地面上运动，在t ＝0时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，以后木板运动的速度—时间图像如图所示。
平行线之猪脚模型(M模型)-【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型(解析版)
平行线之猪脚模型解题策略猪脚模型基本类型：A BC DE类型一：由角推线已知：∠B +∠D =∠E ，求证：AB ∥CD证法一：过点一作MN ∥AB 证法二：延长BE 交CD 与点F ，证法三：连接BD .A BC D E MN AB C D EF A B C DE 121231234（证法一图）（证法二图）（证法三图）类型二：由线推角已知：AB ∥CD ，求证:∠B +∠D =∠E .证法一：过点E 作MN ∥AB证法二：延长BE 交CD 与点F ，证法三：连接BD .经典例题【例1】(2022春•桐城市期末)【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．【问题解决】(1)如图1，AB ∥CD ，E 为AB 、CD 之间一点，连接AE 、CE ．若∠A =42°，∠C =28°．则∠AEC = 70° ．【问题探究】(2)如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A=36°，∠C=54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．【问题拓展】(3)如图3．AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD=56°，∠GDE=20°，过点D作DF∥CB交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．【分析】(1)延长CE交AB于点F，利用平行线的性质可得∠AFC=28°，然后再利用三角形的外角可得∠AEC=∠A+∠C，进行计算即可解答；(2)利用猪蹄模型可得：∠AEC=∠A+∠C=90°，再利用对顶角相等可得∠BED=90°，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答；(3)利用平行线的性质可求出∠CDF的度数，从而利用角平分线的定义求出∠CDG的度数，进而利用平行线的性质可求出∠BAD的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，再利用平角定义求出∠EDH的度数，最后根据猪蹄模型可得∠AED=∠BAE+∠EDH，进行计算即可解答．【解答】解：(1)延长CE交AB于点F，∵AB∥CD，∴∠AFC=∠C=28°，∵∠AEC是△AEF的一个外角，∴∠AEC=∠A+∠AFC=∠A+∠C=70°，故答案为：70°；(2)利用(1)的结论可得：∠AEC=∠A+∠C=36°+54°=90°，∴∠AEC=∠BED=90°，∵EF平分∠BED，∠BED=45°，∴∠BEF=12∴∠BEF的度数为45°；(3)∵BC∥DF，∴∠CDF=180°-∠BCD=124°，∵DG平分∠CDF，∴∠CDG=1∠CDF=62°，2∵AB∥CD，∴∠BAG=∠CDG=62°，∵AE平分∠BAD，∠BAD=31°，∴∠BAE=12∵∠GDE=20°，∴∠EDH=180°-∠CDG-∠GDE=98°，利用(1)的结论可得：∠AED=∠BAE+∠EDH=31°+98°=129°，∴∠AED的度数为129°．【例2】(2022春•南京期中)已知直线AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，O是平面内一点(不在直线AB、CD、EF上)，OG平分∠EOF，射线OH∥AB，交EF于点H．(1)如图①，若∠AEO=45°，∠CFO=75°，则∠HOG= 15° ，(2)如图②，若∠AEO=150°，∠HOG=20°，则∠CFO= 110° ；(3)直接写出点O在不同位置时∠AEO、∠CFO和∠HOG三个角之间满足的数量关系．【分析】(1)由AB∥CD，OH∥AB可得AB∥OH∥CD，利用平行线的性质可得∠AEO=∠EOH，∠CFO=∠FOH，由∠EOF=∠EOH+∠FOH，等量代换可得∠AEO+∠CFO=∠EOF，根据已知条件和角平分线的定义求出∠EOG=60°，即可得到∠HOG的度数；(2)同(1)类似，利用平行线的性质和角平分线的定义计算可以得出∠CFO的度数；(3)由(1)和(2)的计算方法可以得出结论．【解答】解：(1)∵AB∥CD，OH∥AB，∴AB∥OH∥CD，∴∠AEO=∠EOH，∠CFO=∠FOH，∴∠AEO+∠CFO=∠EOH+∠FOH，即∠AEO+∠CFO=∠EOF，∵∠AEO=45°，∠CFO=75°，∴∠EOF=120°，∵OG平分∠EOF，∴∠EOG=60°，∴∠HOG=∠EOG-∠EOH=15°，故答案为：15°；(2)∵AB∥CD，OH∥AB，∴AB∥OH∥CD，∴∠AEO+∠EOH=180°，∠CFO+∠FOH=180°，∴∠AEO+∠CFO+∠EOH+∠FOH=360°，即∠AEO+∠CFO+∠EOF=360°，∵AB∥OH，∴∠AEO+∠EOH=180°，∵∠AEO=150°，∴∠EOH=30°，∵∠HOG=20°，∴∠EOG=∠EOH+∠HOG=30°+20°=50°，∵OG平分∠EOF，∴∠EOF=2∠EOG=100°，∵∠AEO+∠CFO+∠EOF=360°，∠AEO=150°，∴∠CFO=360°-150°-100°=110°，故答案为：110°；(3)①若点O在直线AB与CD之间，则有|∠AEO-∠CFO|=2∠HOG；②若点O在直线AB与CD之外，且在直线EF的左侧，则有∠AEO+∠CFO=2∠HOG；若点O在直线AB与CD之外，且在直线EF的右侧，则有360°-∠AEO-∠CFO=2∠HOG．【例3】(2022春•上城区校级期中)如图，一副三角板，其中∠EDF=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=30°．(1)若这副三角板如图摆放，EF∥CD，求∠ABF的度数．(2)将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且0≤t≤180，若边BC与三角板的一条直角边(边DE，DF)平行时，求所有满足条件的t的值．(3)将一副三角板如图3所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转．设旋转时何为t秒，如图4，∠BAH= t°，∠FDM=2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边(边DE，DF)平行时，请直接写出满足条件的t的值．【分析】(1)由题意得，∠EBF=90°，∠E=45°，∠ABC=60°，利用平行线的性质可得∠CDE=∠E=45°，即可求得答案；(2)①当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况：当DE在MN上方时或当DE在MN下方时，分别运用平行线的性质即可；②当BC∥DF时，延长BC交MN于点T，分两种情况：当DF在MN上方时或当DF在MN下方时，分别运用平行线的性质即可；(3)当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP=2t°-180°，列式求解即可；(2)当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN=180°-2t°，②DF在MN下方时，∠FDN=180°-2t°，列式求解即可．【解答】解：(1)如图，由题意得，∠EBF=90°，∠E=45°，∠ABC=60°，∵EF∥CD，∴∠CDE=∠E=45°，∴∠ABE=∠ABC-∠CDE=60°-45°=15°，∴∠ABF=∠EBF-∠ABE=90°-15°=75°；(2)如图，①当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，当DE在MN上方时，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，∴∠FDM=∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA=∠HAC，∴∠FDM=∠HAC，即2t°=30°，∴t=15；当DE在MN下方时，∠F′DP=2t°-180°，∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC，∴AP∥DF′，∴∠F′DP=∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA=∠HAC，∴∠F′DP=∠HAC，即2t°-180°=30°，∴t=105；②当BC∥DF时，当DF在MN上方时，BC∥DF，如图，延长BC交MN于点T，根据题意得：∠FDN=180°-2t°，∵DF∥BC，∴∠FDN=∠BTN，∵GH∥MN，∴∠BTN=∠ABC=60°，∴∠FDN=60°，即180°-2t°=60°，∴t=60；当DF在MN下方时，如图，延长BC交MN于点T，根据题意可知：∠FDN=2t°-180°，∵DF∥BC，∴∠FDN=∠BTM，∵GH∥MN，∴∠BTN=∠ABC=60°，∴∠BTM=180°-∠BTN=120°，∴∠NDF=120°，即2t°-180°=120°，∴t=150，综上所述：所有满足条件的t的值为15或60或105或150；(3)由题意得，∠HAC=∠BAH+∠BAC=t°+30°，∠FDM=2t°，①如图，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，当DE在MN上方时，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，∴∠FDM=∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA=∠HAC，∴∠FDM=∠HAC，即2t°=t°+30°，∴t=30，当DE′在MN下方时，∠F′DP=2t°-180°，∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC，∴AP∥DF′，∴∠F′DP=∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA=∠HAC，∴∠F′DP=∠HAC，即2t°-180°=t°+30°，∴t=210(不符合题意，舍去)，②当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，当DF在MN上方时，BC∥DF，如图，根据题意得：∠FDN=180°-2t°，∵DF∥BC，AC⊥BC，∴CI⊥DF，∴∠FDN+∠MIC=90°，即180°-2t°+t°+30°=90°，∴t=120，∴2t=240°>180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去；当DF在MN下方时，如图，根据题意可知：∠FDN=2t°-180°，∵DF∥BC，∴∠MIC=∠NDF，∴∠NDF=∠AQI=t+30°-90°=t-60°，即2t°-180°=t°-60°，∴t=120，综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．【例4】(2021春•梅江区期末)如图(1)，AB∥CD，点E在AB、CD之间，连接EA、EC；如图(2)，AB∥CD．点M、N分别在AB、CD上，连接MN．(1)在图(1)中，若∠A=30°，∠C=50°，则∠AEC= 80° ；若∠A=25°，∠C=40°，则∠AEC= 65° ．(2)图(1)的条件下，猜想∠EAB、∠ECD、∠AEC的关系，并说明你的结论．(3)如图(2)，点E是四边形ACDB内(不含边界和MN)任意一点，请说明∠EMB、∠END、∠MEN的关系．【分析】(1)过点E作EF∥AB，如图1，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等可得∠AEG=∠A，∠CEG=∠C，由∠AEC=∠AEG+∠CEG，可得∠AEC=∠A+∠C，代入计算即可得出答案；(2)过点E作EF∥AB，如图1，根据平行线的性质可得，∠AEG=∠EAB，∠CEG=∠ECD．由∠AEC=∠AEG+∠CEG，即可得出答案；(3)根据题意画图，如图2，过点E作EF∥AB，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可得，∠EMB+∠MEF=180°，∠NEF+∠END=180°，由∠EMB+∠MEF+∠NEF+∠END=360°，根据∠MEN=∠MEF+∠NEF，即可得出答案．【解答】解：(1)过点E作EF∥AB，如图1，∵AB∥CD，∴GF∥CD，∴∠AEG=∠A，∠CEG=∠C，∴∠AEC=∠AEG+∠CEG，∴∠AEC=∠A+∠C，若∠A=30°，∠C=50°，则∠AEC=30°+50°=80°，若∠A=25°，∠C=40°，则∠AEC=25°+40°=65°；故答案为：80°，65°；(2)∠AEC=∠EAB+∠ECD．理由如下：过点E作EF∥AB，如图1，∵AB∥CD，∴GF∥CD，∴∠AEG=∠EAB，∠CEG=∠ECD．∵∠AEC=∠AEG+∠CEG，∴∠AEC=∠EAB+∠ECD；(3)∠ENB+∠NEN+∠END=360°．理由如下：根据题意画图，如图2，过点E作EF∥AB，∴∠EMB+∠MEF=180°，∵AB∥CD，∴GF∥CD，∴∠NEF+∠END=180°，∴∠EMB+∠MEF+∠NEF+∠END=360°，∵∠MEN=∠MEF+∠NEF，∴∠ENB+∠NEN+∠END=360°．培优训练一、选择题1.(2022•黔东南州)一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1=28°，则∠2的度数为()A.28°B.56°C.36°D.62°【分析】过直角的顶点E作MN∥AB，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：如下图所示，过直角的顶点E作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，则∠2=∠3．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵AB∥MN，∴MN∥CD，∴∠4=∠1=28°，∵∠3+∠4=90°，∴∠3=90°-∠4=62°．∴∠2=∠3=62°．故选：D．2.(2022•临清市二模)如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE=()A.180°-∠2+∠1B.180°-∠1-∠2C.∠2=2∠1D.∠1+∠2【分析】先利用平行线的性质说明∠3、∠1、∠4、∠2间关系，再利用角的和差关系求出∠BCA【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，∴∠1=∠3，∠2+∠4=180°．∴∠BCE=∠3+∠4=∠1+180°-∠2．故选：A．3.(2021春•硚口区月考)如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA=∠FGC，∠FEN=2∠NEB，∠FGH=2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG=2∠EFM；③∠EHG+∠EFM=90°；④3∠EHG-∠EFM=180°．其中正确的结论是()A.①②③B.②④C.①②④D.①④【分析】过点F作FP∥AB，HQ∥AB，设∠NEB=x，∠HGC=y，利用猪脚模型、锯齿模型表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案．【解答】解：∵∠FMA=∠FGC∴AB∥CD∴①正确；过点F作FP∥AB，HQ∥AB，∵AB∥CD，∴FP∥AB∥HQ∥CD，设∠NEB=x，∠HGC=y，则∠FEN=2x，∠FGH=2y∴∠EHG=∠EHQ+∠GHQ=∠AEH+∠HGC=∠NEB+∠HGC=x+y，∠EFM=∠BEF-∠FME=∠BEF-∠AMG=∠BEF-(180°-∠FGC)=x+2x-(180°-y-y) =3x+3y-180°，∴2∠EFM=6x+6y-360°，∴∠EHG≠2∠EFM∴②错误；∴∠EHG+∠EFM=x+y+3x+3y-180°=4x+4y-180°≠90°，∴③错误；∴3∠EHG-∠EFM=3(x+y)-(3x+3y-180°)=180°，∴④正确．综上所述，正确答案为①④．故选：D．4.(2018春•南昌期中)如图，AB∥CD，∠1=30°，∠2=90°，则∠3的度数是()A.30°B.45°C.50°D.60°【分析】作辅助线，过点O做OP∥AB∥CD，再结合两直线平行内错角相等的性质，即可得出∠3的度数．【解答】解：过点O做OP∥AB∥CD，∴∠A=∠AOP=30°，∠D=∠POC，∵∠2=90°，即∠AOC=90°，∴∠POC=60°，∴∠3=60°．故选：D．5.(2018春•沂源县期末)如图，AB∥CD，∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，则∠E：∠F=()A.2：1B.3：1C.3：2D.4：3【分析】本题主要利用两直线平行，内错角相等作答．【解答】解：过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF=∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE；∵∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF=23(∠ABE+∠CDE)=23∠BED，∴∠BED：∠BFD=3：2．故选：C．6.(2022春•诸暨市期末)从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB=∠COA=72°．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE=27°．则∠AOD的度数是 45°或99° ．【分析】分两种情况：如果∠AOD是锐角，∠AOD=∠COA-∠COD；如果∠AOD是钝角，∠AOD=∠COA+∠COD，由平行线的性质求出∠COA，∠COD，从而求出∠AOD的度数．【解答】解：∵DE∥CF，∴∠COD=∠ODE．(两直线平行，内错角相等)∵∠ODE=22°，∴∠COD=22°．在图1的情况下，∠AOD=∠COA-∠COD=72°-27°=45°．在图2的情况下，∠AOD=∠COA+∠COD=72°+27°=99°．∴∠AOD的度数为45°或99°．故答案为：45°或99°．7.(2022春•潜山市月考)如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．(1)若∠M=90°，则∠AEM+∠CFM= 270° ；(2)若∠M=n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为 1n° ．(用含n的2式子表示)【分析】(1)过点M 作MP ∥AB ，则AB ∥CD ∥MP ，根据两直线平行，内错角相等可得答案；(2)过点N 作NQ ∥AB ，则AB ∥CD ∥NQ ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．【解答】解：(1)过点M 作MP ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥MP ，∴∠1=∠MEB ，∠2=∠MFD ，∵∠M =∠1+∠2=90°，∴∠MEB +∠MFD =90°，∵∠AEM +∠MEB +∠CFM +∠MFD =180°+180°=360°，∴∠AEM +∠CFM =360°-90°=270°．故答案为：270°；(2)过点N 作NQ ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥NQ ，∴∠3=∠NEB ，∠4=∠NFD ，∴∠NEB +∠NFD =∠3+∠4=∠ENF ，∵∠BEM 与∠DFM 的角平分找交于点N ，∵∠NEB =12∠MEB ，∠DFN =12∠MFD ，∴∠3+∠4=∠BEN +∠DFN =12(∠MEB +∠MFD )，由(1)得，∠MEB +∠MFD =∠EMF ，∴∠ENF =12∠EMF =12n °．故答案为：12n °．8.(2019•大丰区一模)如图，已知：AB ∥CD ，∠1=50°，∠2=113°，则∠3= 63 度．【分析】如图，作EF ∥AB ．证明基本结论；∠AEC =∠1+∠3即可解决问题．【解答】解：如图，作EF ∥AB ．∵AB ∥CD ，AB ∥EF ，∴EF ∥CD ，∴∠1=∠AEF，∠3=∠CEF，∴∠AEC=∠1+∠3，∴113°=50°+∠3，∴∠3=63°．故答案为63；9.(2019秋•福田区校级期末)如图，AB∥CD，∠BED=110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD= 125° ．【分析】首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED=110°，即可求得∠ABE+∠CDE=250°，又由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的定义，即可求得∠ABF+∠CDF的度数，又由两直线平行，内错角相等，即可求得∠BFD的度数．【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD∥FN，∴∠ABE+∠BEM=180°，∠CDE+∠DEM=180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，∵∠BED=110°，∴∠ABE+∠CDE=250°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF=12∠ABE，∠CDF=12∠CDE，∴∠ABF+∠CDF=12(∠ABE+∠CDE)=125°，∵∠DFN=∠CDF，∠BFN=∠ABF，∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=125°．故答案为125°10.(2022春•交城县期中)如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC=57°，∠AFC=63°，则∠BAF的度数为 46° ．【分析】延长AE 交CD 于点H ，延长AF 交CD 于点G ，设∠BAE =x ，∠FCG =y ，根据角平分线的定义可得∠BAF =2x ，∠ECG =2y ，然后利用平行线的性质可得∠AGC =2x ，∠AHC =x ，，再利用三角形的外角性质可得∠AEC =x +2y ，∠AFC =2x +y ，最后列出关于x ，y 的方程组，进行计算即可解答．【解答】解：延长AE 交CD 于点H ，延长AF 交CD 于点G ，设∠BAE =x ，∠FCG =y ，∵AE 和CF 分别平分∠BAF 和∠DCE ，∴∠BAF =2∠BAE =2x ，∠ECG =2∠FCG =2y ，∵AB ∥CD ，∴∠BAF =∠AGC =2x ，∠BAH =∠AHC =x ，∵∠AEC 是△EHC 的一个外角，∴∠AEC =∠AHC +∠ECG =x +2y ，∵∠AFC 是△GCF 的一个外角，∴∠AFC =∠AGC +∠FCG =2x +y ，∵∠AEC =57°，∠AFC =63°，∴x +2y =57o2x +y =63o ，解得：x =23o y =17o ，∴∠BAF =46°，故答案为：46°．11.(2022春•濠江区期末)已知直线AB ∥CD ，直线EF 分别截AB 、CD 于点G 、H ，点M 在直线AB 、CD 之间，连接MG ，MH ．(1)如图1，求证：∠M =∠AGM +∠MHC ；(2)如图2，若HM 平分∠GHC ，在HM 上取点Q ，使得∠HGQ =∠AGM ，求证：∠M +∠GQH =180°；(3)如图3，若GH 平分∠MGB ，N 在为HD 上一点，连接GN ，且∠GNH =∠M ，∠HGN =2∠MHC ，求∠MHG 的度数．【分析】(1)过点M作MN∥AB，利用平行线的猪脚模型，即可解答；(2)根据角平分线的定义可得∠MHG=∠CHM，再利用(1)的结论可得∠GMH=∠AGM+∠MHC，从而可得∠GMH=∠HGQ+∠MHG，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；(3)设∠AGM=2α，∠CHM=β，从而可得∠HGN=2β，再利用(1)的结论可得∠GMH=2α+β，从而可得∠GNH=2α+β，然后利用角平分线的定义可得∠MGH=90°-α，再利用三角形的外角可得∠CHG= 3β+2α，最后利用平行线的性质可得∠AGH+∠CHG=180°，从而可得α+β=30°，再利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】(1)证明：过点M作MN∥AB，∴∠AGM=∠GMN，∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠NMH=∠CHM，∵∠GMH=∠GMN+∠NMH，∴∠GMH=∠AGM+∠MHC；(2)证明：∵HM平分∠GHC，∴∠MHG=∠CHM，由(1)得：∠GMH=∠AGM+∠MHC，∵∠HGQ=∠AGM，∴∠GMH=∠HGQ+∠MHG，∵∠GQH+∠HGQ+∠MHG=180°，∴∠GMH+∠GQH=180°；(3)解：设∠AGM=2α，∠CHM=β，由(1)可得：∠GMH=∠AGM+∠MHC，∴∠GMH=2α+β，∵∠GNH=∠M，∴∠GNH=2α+β，∵∠HGN=2∠MHC，∴∠HGN=2β，∵GH平分∠MGB，∴∠MGH=12∠BGM=12(180°-∠AGM)=90°-α，∵∠CHG是△GHN的一个外角，∴∠CHG=∠HGN+∠GNH=2β+2α+β=3β+2α，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG=180°，∴∠AGM+∠MGH+∠CHG=180°，∴2α+90°-α+3β+2α=180°，∴α+β=30°，∴∠MHG=∠CHG-∠CHM=3β+2α-β=2β+2α=60°，∴∠MHG的度数为60°．12.(2022春•沂源县期末)在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图，已知两直线a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，∠BAC=30°，∠ABC=60°．操作发现：(1)在图1中，∠1=46°，求∠2的度数．(2)某同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，如图2，发现∠2-∠1=120°，说明理由．【分析】(1)根据直角三角形的性质求出∠3，根据平行线的性质解答；(2)过点B作BD∥a，根据平行线的性质得到∠ABD=180°-∠2，∠DBC=∠1，结合图形计算，证明结论．【解答】解：(1)∵∠BCA=90°，∴∠3=90°-∠1=44°，∵a∥b，∴∠2=∠3=44°．(2)理由如下：过点B作BD∥a，则∠ABD=180°-∠2，∵a∥b，BD∥a，∴BD∥b，∴∠DBC=∠1，∵∠ABC=60°∴180°-∠2+∠1=60°，∴∠2-∠1=120°．13.(2022春•无棣县期末)如图1，已知∠BAE=∠AEC-∠ECD，点E在直线AB，CD之间．(1)求证：AB∥CD；(2)若AH平分∠BAE，FG∥CE．①如图2，若∠AEC=84°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．【分析】(1)过E作EN∥AB，可得∠BAE=∠AEN，∠BAE=∠AEC-∠ECD，证得∠ECD=∠CEN，故EF∥CD∥AB；(2)①HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数；②设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到∠AHF与∠AEC的数量关系．【解答】解：(1)如图1，过点E作直线EN∥AB，∴∠BAE=∠AEN，∵∠BAE=∠AEC-∠ECD，∴∠BAE+∠ECD=∠AEC，∵∠AEN+∠CEN=∠AEC，∴∠ECD=∠CEN，∴EN∥CD，∴CD∥AB；(2)∵AH平分∠BAE，∴∠BAH=∠EAH，①∵HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，又CE∥FG，∴∠ECD=∠GFD=2x，又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=84°，∴∠BAH=∠EAH=42°-x，如图2，过点H作HM∥AB，∴∠BAH=∠AHM，∵HM∥AB，∴HM∥CD，∴∠DFH=∠MHF，∴∠AHF=∠BAH+∠DFH=42°-x+x=42°；②设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，∵HF平分∠CFG，∴∠GFH=∠CFH=90°-x，由(1)知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+2y，如图3，过点H作HK∥AB，∴∠BAH=∠AHK，∵HK∥AB，∴HK∥CD，∴∠KHF+∠CFH=180°，∴∠AHF-y+∠CFH=180°，即∠AHF-y+90°-x=180°，∠AHF=90°+(x+y)，∴∠AHF=90°+1∠AEC．214.(2022春•墨玉县期末)问题情景：(1)如图①，已知AB∥DE．试∠B、∠E、∠BCE有什么关系？小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是∠B+∠E=∠BCE．请你帮他完善证明过程：如图②，过点C作CF∥AB∴ ∠B = ∠1 ( 两直线平行，内错角相等 )∵AB∥DE，AB∥CF∴ DE ∥ CF ．∴∠E= ∠2 ( 两直线平行，内错角相等 )∴∠B+∠E=∠1+∠2即∠B+∠E=∠BCE．(2)在图①中．若BC⊥CE，且∠B=52°，请你计算∠E的度数等于 38° ．(3)问题迁移：如图③．AD∥BC．当点P在射线AM上运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β请你猜想∠α、∠β与∠CPD之间有怎样的数量关系？并说明理由．【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等即可求解；(2)由(1)可知∠B+∠E=90°，即可求解；(3)由三角形外角性质可得∠CPD+∠CDP=∠OCP，从而可得∠CPD+∠α+∠ADO=∠β+∠BCO，由AD∥BC可得∠ADO=∠BCO，即可得出∠CPD+∠α=∠β．【解答】解：(1)过点C作CF∥AB，∴∠B=∠1(两直线平行，内错角相等)，∵AB∥DE，AB∥CF，∴DE∥CF，∴∠E=∠2(两直线平行，内错角相等)，∴∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠BCE，故答案为：∠B=∠1；两直线平行，内错角相等；DE；CF；∠2；两直线平行，内错角相等；(2)由(1)可知∠B+∠E=∠BCE，∵∠BCE=90°，∠B=52°，∴∠E=∠BCE-∠B=38°，故答案为：38°；(3)∠CPD+∠α=∠β，理由如下：∵∠CPD+∠CDP=∠OCP，∴∠CPD+∠α+∠ADO=∠β+∠BCO，∵AD∥BC，∴∠ADO=∠BCO，∴∠CPD+∠α=∠β．15.(2022春•抚远市期末)如图，已知AD∥BC，AB∥CD，点E在线段BC的延长线上，AE平分∠BAD，连接DE，∠ADC=2∠CDE，∠AED=60°．(1)求证∠ABC=∠ADC；(2)求∠CDE的度数．【分析】(1)根据平行线的性质即可得到答案．(2)根据∠ADE=3∠CDE，设∠CDE=x，∠ADE=3x，∠ADC=2x，根据平行线的性质得出方程90°-x+60°+3x=180°，求出x即可．【解答】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCE，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCE，∴∠ABC=∠ADC．(2)解：设∠CDE=x，则∠ADC=2x，∵AB∥CD，∴∠BAD=180°-2x，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD=12∠BAD=90°-x，∵AD∥BC，∴∠BEA=∠EAD=90°-x，∴∠BED+∠ADE=180°，∴90°-x+60°+3x=180°，∴x=15°，∴∠CDE=15°．16.(2022春•来宾期末)如图，直线PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC=30°，∠ACB=90°．(1)若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC= 90 °；(2)若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的值；(3)如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求∠GEN∠BDF的值．【分析】(1)延长BC交MN于点D，根据平行线的性质可得∠PBC=∠ADC，再利用三角形的外角可得∠ACB=∠ADC+∠MAC，然后利用等量代换即可解答；(2)根据已知可得∠AEN=∠A=30°，再利用对顶角相等可得∠CEM=30°，然后利用(1)的结论可得：∠PDC=60°，最后利用对顶角相等即可解答；(3)利用角平分线的定义设∠CEM=∠CEG=x，从而利用平角定义可得∠GEN=180°-2x，再利用(1)的结论可得：∠PDC=90°-x，然后利用对顶角相等可得∠BDF=90°-x，进行计算即可解答．【解答】解：(1)延长BC交MN于点D，∵PQ∥MN，∴∠PBC=∠ADC，∵∠ACB是△ACD的一个外角，∴∠ACB=∠ADC+∠MAC，∴∠ACB=∠PBC+∠MAC=90°，故答案为：90；(2)∵∠AEN=∠A，∠BAC=30°，∴∠AEN=∠A=30°，∴∠CEM=∠AEN=30°，∠ACB=∠PDC+∠MEC，∴∠PDC=∠ACB-∠MEC=60°，∴∠BDF=∠PDC=60°，∴∠BDF的度数为60°；(3)∵CE平分∠MEG，∴∠CEM=∠CEG，设∠CEM=∠CEG=x，∴∠GEN=180°-∠CEM-∠CEG=180°-2x，利用(1)的结论可得：∠ACB =∠PDC +∠MEC ，∴∠PDC =∠ACB -∠MEC =90°-x ，∴∠BDF =∠PDC =90°-x ，∴∠GEN ∠BDF =180O -2x 90o -x=2，∴∠GEN ∠BDF的值为2．17.(2022春•咸安区期末)(1)如图1，已知AB ∥CD ，∠AEP =40°，∠PFD =110°，求∠EPF 的度数．(2)如图2，AB ∥CD ，点P 在AB 的上方，问∠PEA ，∠PFC ，∠EPF 之间有何数量关系？并说明理由；(3)如图3，在(2)的条件下，已知∠EPF =60°，∠PEA 的平分线和∠PFC 的平分线交于点G ，求∠G 的度数．【分析】(1)延长EP 交CD 于点G ，利用平行线的性质可得∠PGF =40°，再利用平角定义可得∠PFG =70°，然后利用三角形的外角进行计算即可解答；(2)设AB 与PF 交于点M ，先利用三角形的外角可得∠PMA =∠PEA +∠EPF ，再利用平行线的性质可得∠PMA =∠PFC ，然后利用等量代换可得∠PFC =∠PEA +∠EPF ，即可解答；(3)利用(2)的结论可得∠EPF =∠PFC -∠PEA =60°，再利用角平分线的性质可得∠GEA =12∠AEP ，∠GFC =12∠PFC ，然后利用(2)的结论可得∠G =∠GFC -∠GEA =12(∠PFC -∠AEP )，进行计算即可解答．【解答】解：(1)延长EP 交CD 于点G ，∵AB ∥CD ，∴∠AEG =∠PGF =40°，∵∠PFD =110°，∴∠PFG =180°-∠PFD =70°，∵∠EPF 是△PFG 的一个外角，∴∠EPF =∠PGF +∠PFG =110°，∴∠EPF 的度数为110°；(2)∠PFC =∠PEA +∠EPF ，理由：如图：设AB 与PF 交于点M ，∵∠PMA 是△PME 的一个外角，∴∠PMA =∠PEA +∠EPF ，∵AB ∥CD ，∴∠PMA =∠PFC ，∴∠PFC =∠PEA +∠EPF ；(3)由(2)可得：∠PFC =∠PEA +∠EPF ，∴∠EPF =∠PFC -∠PEA =60°，∵EG 平分∠AEP ，FG 平分∠PFC ，∴∠GEA =12∠AEP ，∠GFC =12∠PFC ，由(2)得：∠GFC =∠G +∠GEA ，∴∠G =∠GFC -∠GEA=12∠PFC -12∠AEP =12(∠PFC -∠AEP )=12×60°=30°，∴∠G 的度数为30°．18.(2022春•上虞区期末)如图1，已知点E ，F 分别是直线AB ，CD 上的点，点M 在AB 与CD 之间，且AB ∥CD ．(1)若∠EMF =80°，则∠AEM +∠CFM = 80° ．(2)如图2，在图1的基础上，作射线EN ，FN 交于点N ，使∠AEN =13∠AEM ，∠CFN =13∠CFM ，设∠EMF =α，猜想∠ENF 的度数(用α表示)，并说明理由．(3)如图3，在图1的基础上，分别作射线EP ，FP 交于点P ，作射线EQ ，FQ 交于点Q ，若∠AEP =1m ∠AEM ，∠CFP =1m ∠CFM ，∠BEQ =1n ∠BEM ，∠DFQ =1n∠DFM ，请直接写出∠P 与∠Q 间的数量关系．【分析】(1)过点M 作MP ∥AB ，利用平行线的性质，把∠AEM +∠CFM 转化为∠EMF ，从而求得度数．(2)过点M 作MP ∥AB ，过点N 作NQ ∥AB ，利用平行线的性质，把∠EMF 转化为∠AEM +∠CFM ，把∠ENF 转化为∠AEN +∠CFN ，得出∠ENF =13∠EMF ，从而用α表示出∠ENF 的度数．(3)利用(2)的结论，同时利用两直线平行，同旁内角互补得出∠BEM +∠DFM +∠M =360°，进而找到∠P 与∠Q 间的数量关系．【解答】解：(1)过点M 作MG ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥MG ，∴∠AEM =∠EMG ，∠GMF =∠CFM ，∴∠AEM +∠CFM =∠EMG +∠GMF =∠EMF =80°．故答案为：80°．(2)∠ENF =13α．理由如下：过点M 作MG ∥AB ，由(1)知，∠EMF =∠AEM +∠CFM ，过点N 作NH ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥NH ，∴∠AEN =∠ENH ，∠HNF =∠CFN ，∴∠ENF =∠ENH +∠HNF =∠AEN +∠CFN ，∵∠AEN =13∠AEM ，∠CFN =13∠CFM ，∴∠ENF =13∠AEM +13∠CFM =13(∠AEM +∠CFM )=13∠EMF ，∵∠EMF =α，∴∠ENF=13α．(3)n∠Q+m∠P=360°．理由如下：由(2)的结论可知，∠P=1m∠M，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，∠BEM+∠DFM+∠M=360°，∵∠BEQ=1n ∠BEM，∠DFQ=1n∠DFM，∴∠Q=1n ∠BEM+1n∠DFM，=1n(∠BEM+∠DFM)=1n(360°-∠M)，∴∠M=360°-n∠Q，∵∠M=m∠P，∴360°-n∠Q=m∠P，即n∠Q+m∠P=360°．19.(2022春•西岗区期末)如图1，AB∥CD，点P，Q分别在AB，CD上，点E在AB，CD之间．连接PE，QE，PE⊥QE．(1)直接写出∠BPE与∠DQE的数量关系为 ∠BPE+∠DQE=90° ；(2)如图2，∠APE的平分线PG和∠CQE的平分线QH的反向延长线相交于点G，求∠G的度数；(3)如图3，M为线段PE上一点，连接QM，∠BPE和∠MQD的平分线相交于点N，直接写出∠PNQ和∠MQE的数量关系为 2∠PNQ-∠MQE=90° ．【分析】(1)延长PE交CD于点F，根据垂直定义可得∠PEQ=90°，根据平行线的性质可得∠BPE=∠PFC，然后再利用三角形的外角可得∠DQE+∠PFC=90°，即可解答；(2)过点G作GF∥CD，从而可得∠HQC=∠HGF，再利用平行线的性质可得∠PGF=180°-∠APG，利用(1)的结论可得∠APE+∠CQE=270°，然后利用角平分线的定义可得∠APG+∠CQH=135°，最后根据∠HGP=∠PGF-∠HGF=180°-∠APG-∠HQC，进行计算即可解答；(3)根据角平分线的定义可得∠BPE=2∠BPN，∠MQN=∠DQN，再利用猪脚模型可得∠BPE+∠DQE=90°，∠BPN+∠DQN=∠PNQ，再利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：(1)延长PE交CD于点F，∵PE ⊥QE ，∴∠PEQ =90°，∵AB ∥CD ，∴∠BPE =∠PFC ，∵∠PEQ 是△QEF 的一个外角，∴∠PEQ =∠DQE +∠PFC =90°，∴∠BPE +∠DQE =90°，故答案为：∠BPE +∠DQE =90°，(2)过点G 作GF ∥CD ，∴∠HQC =∠HGF ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥FG ，∴∠PGF =180°-∠APG ，由(1)得：∠BPE +∠DQE =90°，∴∠APE +∠CQE =360°-(∠BPE +∠DQE )=270°，∵PG 平分∠APE ，QH 平分∠CQE ，∴∠APG =12∠APE ，∠CQH =12∠CQE ，∴∠APG +∠CQH =12(∠APE +∠CQE )=135°，∵∠HGP =∠PGF -∠HGF=180°-∠APG -∠HQC=45°，∴∠HGP 的度数为45°；(3)2∠PNQ -∠MQE =90°，理由：∵PN 平分∠BPE ，QN 平分∠MQD ，∴∠BPE =2∠BPN ，∠MQN =∠DQN ，由(1)可得：∠BPE +∠DQE =90°，∴2∠BPN +∠DQN +∠EQN =90°，由(1)可得：∠BPN +∠DQN =∠PNQ ，∴∠PNQ +∠BPN +∠MQN -∠MQE =90°，∴∠PNQ +∠BPN +∠DQN -∠MQE =90°，∴∠PNQ+∠PNQ-∠MQE=90°，∴2∠PNQ-∠MQE=90°，故答案为：2∠PNQ-∠MQE=90°．20.(2022春•宜春期末)问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P(点P不在直线AC上)，连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．(1)端点A、C同向：如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC-(∠A+∠C)= 0 度；如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+(∠A+∠C)= 360 度；(2)端点A、C反向：如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A-∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC-(∠A-∠C)= 180 度．【分析】(1)过点P作PE∥AB，分别利用猪脚模型，铅笔模型即可解答；(2)过点P作PE∥CD，利用平行线的性质，以及角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：(1)如图：过点P作PE∥AB，∴∠A=∠APE，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C=∠EPC，∵∠APC=∠APE+∠EPC，∴∠APC=∠A+∠C，∴∠APC-(∠A+∠C)=0度，故答案为：0；如图：过点P作PE∥AB，∴∠A+∠APE=180°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C+∠EPC=180°，∴∠A+∠APE+∠C+∠EPC=360°，∴∠APC+∠A+∠C=360°，∴∠APC+(∠A+∠C)=360度，故答案为：360；(2)∠APC+∠A-∠C=180°，证明：过点P作PE∥CD，∴∠C=∠EPC，∵AB∥CD，∴PE∥AB，∴∠A+∠APE=180°，∴∠A+∠APC-∠EPC=180°，∴∠A+∠APC-∠C=180°，∴∠APC+∠A-∠C=180°；如图：过点P作PE∥AB，∴∠A=∠APE，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C+∠EPC=180°，∴∠C+∠APC-∠APE=180°，∴∠C+∠APC-∠A=180°，∴∠APC-(∠A-∠C)=180°，故答案为：180．。
专题 一元二次方程的解法压轴题四种模型全攻略(老师版)
专题02一元二次方程的解法压轴题四种模型全攻略【类型一解一元二次方程——直接开平方法】例题：（2022·上海·八年级期末）解方程：（1）x (x +5)=x -4（2）4（x ﹣1）2＝9．(3)()21160x +-=；(4)100（x －1）2＝121．【答案】（1）122x x ==-；（2）x ＝52或x ＝﹣12；(3)13x =，25x =-；(4)x 1＝2110，x 2＝－110【解析】【分析】把原方程整理后化成一元二次方程的一般形式，然后选取适当的方法即可求解．【详解】解：（1）254x x x +=-，2440x x ++=，2(2)0x +=，122x x ==-．（2）4（x ﹣1）2＝9，则（x ﹣1）2＝94，故x ﹣1＝±32，解得：x ＝52或x ＝﹣12．(3)()21160x +-=移项得：()2116x +=，开平方得：14x +=±，解得：13x =，25x =-；(4)解∶（x －1）2＝121100，x －1＝±1110，即x 1＝2110，x 2＝－110．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是关键．【变式训练1】（2022·全国·九年级单元测试）解方程(x －3)2＝4，最合适的方法是（）A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法【答案】A【解析】【分析】观察方程特点确定出适当的解法即可．【详解】解：方程(x －3)2＝4，最合适的方法是直接开平方法；故答案为：A【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．【变式训练2】（2021·广东·梅州市学艺中学八年级期末）一元二次方程（x -1）2=4的根是______________.【答案】123,1x x ==-【解析】【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可．【详解】解：()214x -=12x -=±123,1x x ∴==-故答案为：123,1x x ==-．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式训练3】（2022·广东·模拟预测）方程23(21)0x --=的解是_______．【答案】12x x ==【解析】【分析】先移项化为()2213x -=，再利用直接开平方的方法解方程即可.【详解】解：23(21)0x --=即()2213x -=21x \-=21x -=12x x \==故答案为：1211,22x x ==【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键.【类型二解一元二次方程——配方法】例题：（2022·河南安阳·九年级期末）解下列方程：(1)2220x x --=；(2)23620x x -+=【答案】(1)11x =21x =(2)1211x x =+=【解析】【分析】（1）先移项，然后配方，再开平方，求出方程的解即可；（2）先移项，然后分解因式，最后求出方程的解即可．(1)解：2220x x --=，移项得：222x x -=，配方得：22121x x -+=+，即()213x -=，开平方得：1-=x ，∴11x =21x =．(2)23620x x -+=，22203x x -+=，222113x x -+=-，()2113x -=，1x -=，解得1211x x =+=【点睛】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练进行配方和因式分解，是解题的关键．【变式训练1】（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）用配方法解一元二次方程2620x x ++=，变形后的结果正确的是（）A ．2(3)2x +=-B ．2(3)2x +=C ．2(3)7x -=D ．2(3)7x +=【答案】D【解析】【分析】先将二次项配成完全平方式，再将常数项移项，即得答案．【详解】解：∵2620x x ++=，∴269920x x ++-+=，即()237x +=，故选：D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．【变式训练2】（2022·辽宁大连·模拟预测）解方程：2480x x +-=．【答案】12x =,22x =--【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程．【详解】解：x 2+4x =8，x 2+4x +4=8+4，2(2)12x +=，2x =±-，12x =，22x =-．【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程，解决问题的关键是降次．【变式训练3】（2022·上海·八年级开学考试）用配方法解方程x 2﹣4x ﹣2＝0．【答案】x 1＝2，x 2＝2【解析】【分析】根据配方法即可求解．【详解】解：x 2﹣4x ﹣2＝0，x 2﹣4x ＝2，x 2﹣4x +4＝2+4，（x ﹣2）2＝6，x ﹣2＝，解得x 1＝2x 2＝2【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【类型三根据判别式判断一元二次方程解得情况】例题：（2022·山东青岛·二模）关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -++=有两个相等的实数根，则m 值为__________．【答案】1【解析】【分析】由题意知，()21410m m =-+-⨯⨯=⎡⎤⎣⎦，计算求解即可．【详解】解：由题意知，()()2214110m m m =-+-⨯⨯=-=⎡⎤⎣⎦，解得1m =，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确当0=时，一元二次方程有两个相等的实数根．【变式训练1】（2022·上海·八年级期末）下列一元二次方程没有实数根的是（）A ．x 2-2=0B ．x 2-2x =0C ．x 2+x +1=0D ．(x -1)(x -3)=0【答案】C【解析】【分析】分别计算四个方程的根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ，然后根据△的意义分别判断方程根的情况．【详解】解：A 、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A 选项不符合题意；B 、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以，B 选项不符合题意；C 、Δ＝12﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程有没有的实数根，所以C 选项符合题意；D 、由原方程得到：x 2﹣4x +3＝0，则Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以D 选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．【变式训练2】（2022·四川成都·九年级期末）已知方程2240x x -+=，则该方程的根的情况为（）A ．方程没有实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程有两个不相等的实数根D ．方程的根无法判定【答案】A【解析】【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可．【详解】解：方程x 2-2x +4=0，∵a =1，b =-2，c =4，∴Δ=b 2-4ac =（-2）2-4×1×4=4-16=-12＜0，则方程没有实数根．故选：A ．【点睛】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，一元二次方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，一元二次方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，一元二次方程没有实数根．【变式训练3】（2022·河北·一模）新定义运算：2a b a ab b =-+※，例如22122113=-⨯+=※，则方程25x =※的根的情况为（）A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【答案】D【解析】【分析】根据新定义，列出方程2225x x -+=，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：根据题意得：2225x x -+=整理得：2230x x --=，∴()()22430∆=--⨯->，∴方程25x =※有两个不相等的实数根．故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根是解题的关键．【类型四解一元二次方程——公式法】例题：（2022·云南文山·九年级期末）按要求解方程．(1)2x 2-5x +1＝0(公式法)(2)23410x x -+=．（公式法）【答案】(1)x 1＝54+，x 2＝5174(2)11x =，213x =【解析】【分析】（1）根据公式法，可得方程的解；（2）先计算根的判别式，再利用公式法解方程即可．(1)解：∵a ＝2，b ＝-5，c ＝1，∴Δ＝b 2﹣4ac ＝(-5)2-4×2×1＝17，∴x ＝42b a-=∴x 1x 2(2)解：23410x x -+=则3,4,1,a b c ==-=()22=444314,b ac \-=--创=V 42,6x ±\=解得：1211,.3x x ==【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法与公式法解一元二次方程”是解本题的关键．【变式训练1】（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）计算解方程：22630x x -+-=【答案】x 1＝32x 2【解析】【分析】利用公式法解方程即可．解：22630x x -+-=，Δ＝()()26423120-⨯-⨯-=>，∴462324b x a --±==-，解得：x 1x 2【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【变式训练2】（2022·重庆市育才中学八年级期中）解方程：(1)2260x x --=；(2)23620x x -+=【答案】(1)11x =-21x =+(2)12x x ==【解析】【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可得；（2）利用公式法解一元二次方程即可得．（1）2260x x --=，∴1a =，2b =-，6c =-，()24441628b ac ∆=-=-⨯⨯-=，2122b x a -±∴===11x ∴=21x =+，(2)解：方程23620x x -+=中的362a b c ==-=，，，()22b 4ac 6432120=-=--⨯⨯=>，则(6)23x --=⨯故12x x ==．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．【变式训练3】（2022·山东烟台·八年级期中）已知关于x 的方程21(1)230mm x x +--+=是一元二次方程．(1)求m 的值；(2)解这个一元二次方程．【答案】(1)-1(2)112x -=，212x -=【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义求解即可，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；（2）根据公式法解一元二次方程即可．(1)关于x 的方程21(1)230m m x x +--+=是一元二次方程，212,10m m ∴+=-≠解得1m =-(2)方程为22230x x --+=，即22230x x +-=，∴2,2,3a b c ===-，2224328∴∆=+⨯⨯=解得112x -=，212x -=【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．【类型五解一元二次方程——因式分解法】例题：（2022·四川成都·九年级期末）解下列一元二次方程．(1)x 2﹣4x ＝5；(2)2（x +1）2＝x （x +1）．【答案】(1)125,1x x ==-(2)121,2x x =-=-【解析】【分析】（1）通过移项，分解因式，化为一元一次方程，即可求解；（2）通过移项，分解因式，化为一元一次方程，即可求解．(1)解：x 2﹣4x ＝5，移项得：x 2﹣4x -5=0，分解因式得：（x -5）（x +1）=0，∴x -5=0或x +1=0，解得：125,1x x ==-；(2)解：2（x +1）2＝x （x +1），移项得：2（x +1）2-x （x +1）=0，分解因式得：（x +1）（2x +2-x ）=0，∴x +1=0或2x +2-x =0，解得：121,2x x =-=-．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．【变式训练1】（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）解方程：(1)290x -=；(2)2230x x --=．【答案】(1)3x =或3x =-；(2)32x =或1x =-【解析】【分析】（1）运用公式法解一元二次方程即可；（2）运用十字相乘法解一元二次方程．(1)∵290x -=∴()()330x x +-=解得：3x =或3x =-；(2)∵2230x x --=∴()()2310x x -+=，解得：32x =或1x =-．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用公式法、十字相乘法解一元二次方程是解答本题的关键．【变式训练2】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）解下列方程：(1)2325x x-=(2)24(3)(3)0x x x -+-=【答案】(1)113x =-，22x =(2)13x =，2125x =【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．(1)解：2325x x-=23520x x --=()()3x 1x 20+-=∴113x =-，22x =(2)24(3)(3)0x x x -+-=[](3)4(3)0x x x --+=()(3)5120x x --=∴13x =，2125x =【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法，因式分解是解本题的关键．【变式训练3】（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校八年级期中）解方程：(1)2230x x --=(2)()()325320x x x -+-=【答案】(1)13x =，21x =-；(2)123x =，25x =-．【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．(1)解：2230x x --=，即()()310x x -+=，∴方程的根为：13x =，21x =-；(2)解：()()325320x x x -+-=，提取因式()32x -可得：()()3250x x -+=，∴方程的根为：123x =，25x =-．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【课后训练】一、选择题1．（2022·四川成都·九年级期末）方程x （x ﹣3）＝0的根是（）A ．x ＝3B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝0，x 2＝﹣3【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】解：x （x ﹣3）＝0解得：x 1＝0，x 2＝3故选C 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．2．（2022·海南三亚·一模）一元二次方程2210x x ++=的解是（）A ．121,1x x ==-B ．121x x ==C ．121,2x x =-=D ．121x x ==-【答案】D 【解析】【分析】利用完全平方公式变形，进而求解即可．【详解】2210x x ++=，2(1)0x +=，10x +=，121x x ==-，故选：D ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．（2022·河南周口·二模）已知关于x 的一元二次方程240x mx +-=，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．实数根的个数与实数m 的取值有关C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根【答案】A 【解析】【分析】先求出判别式的值，再根据根的判别式判断即可．【详解】解：240x mx +-=，b 2-4ac 2241(4)16m m =-⨯⨯-=+，不论m 为何值，20m ，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程20(ax bx c a ++=、b 、c 为常数，0)a ≠，当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac -<时，方程没有实数根．4．（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）若关于x 的方程210kx x --=有实数根，则k 的取值范围是（）A ．14k ≥-B ．14k ≥-且0k ≠C ．14k ≤D ．14k ≤且0k ≠【答案】A 【解析】【分析】讨论：当k =0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当k ≠0时，Δ=（-1）2-4k ×（-1）≥0时有实数解，此时k ≥-14且k ≠0，然后综合两种情况得到k 的取值范围．【详解】解：当k =0时，方程化为-x -1=0，解得x =-1；当k ≠0时，根据题意得Δ=（-1）2-4k ×（-1）≥0，解得k ≥-14且k ≠0，综上所述，k 的取值范围为k ≥-14．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与Δ=b 2-4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5．（2022·全国·九年级单元测试）若对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义abcd＝ad －bc ，按照定义，若11x x +-23xx -＝0，则x 的值为（）AB ．C ．3D ．【答案】D 【解析】【分析】根据新定义可得方程（x +1）（2x -3）=x （x -1），然后再整理可得x 2=3，再利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：由题意得：（x +1）（2x -3）=x （x -1），整理得：x 2=3，两边直接开平方得：x故选：D ．【点睛】此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法--直接开平方法，关键是正确理解题意，列出方程．二、填空题6．（2022·浙江宁波·一模）代数式22x x -与4x 的值相等，则x 的值为________．【答案】120,6x x ==【解析】【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可．【详解】解：根据题意得：x 2-2x =4x ，整理得：x 2-6x =0，分解因式得：x （x -6）=0，所以x =0或x -6=0，解得：x 1=0，x 2=6，故答案为：x 1=0，x 2=6．【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法的方法步骤．7．（2022·广西梧州·一模）若关于x 的一元二次方程2240x x a ++=有两个实数根，则实数a 的取值范围是__________．【答案】a ≤2【解析】【分析】关于x 的一元二次方程2x 2+4x +a =0有实数根，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a 的不等式，通过解不等式即可求得a 的值．【详解】解：由题意，得Δ=42-4×2a ≥0，解得a ≤2．故答案是：a ≤2．【点睛】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．8．（2022·四川成都·九年级期末）若x m =时，代数式223x x --的为0，则代数式243m m --=________．【答案】6-或2##2或-6【解析】【分析】把x m =代入，223x x --=0，先求解m 的值，再分情况代入代数式求值即可．【详解】解：x m =时，代数式223x x --的为0，2230,m m \--=()()310,m m ∴-+=解得：123,1,m m ==-当3m =时，24391236,m m --=--=-当1m =-时，()()22431413 2.m m --=--⨯--=故答案为：6-或2．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，代数式的值，掌握“利用因式分解解一元二次方程”是解本题的关键．9．（2022·陕西西安·三模）对于任意实数a 、b ，定义一种运算：22a b a b ⊗=+，若(1)3x x ⊗-=-，则x 的值为________．【答案】-1【解析】【分析】根据定义即可得到一元二次方程，解方程即可求得．【详解】解：根据题意得：()2(1)213x x x x ⊗-=+-=-得2210x x ++=解得121x x ==-故答案为：-1【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程的解法，理解题意，列出方程是解决本题的关键．10．（2022·内蒙古包头·二模）关于x 的方程221(21))10(k x k x -+++=有实数根，则k 的取值范围是__________．【答案】14k ≥【解析】【分析】当10k -=时，解一元一次方程可得出方程有解；当10k -≠时，利用根的判别式()()2221410k k +--=≥∆，即可求出k 的取值范围．综上即可得出结论．【详解】当10k -=，即1k =时，方程为310x +=，解得13x =-，符合题意；②当10k -≠，即1k ≠时，()()2221410k k +--=≥∆，即1230k -≥，解得：14k ≥且1k ≠．综上即可得出k 的取值范围为14k ≥．故答案为：14k ≥．【点睛】本题考查了根的判别式，分二次项系数为零和非零两种情况考虑是解题的关键．三、解答题11．（2022·浙江绍兴·八年级期中）解方程：(1)2320x x -=(2)245x x +=【答案】(1)1220,3x x ==(2)121,5x x ==-【解析】【分析】（1）提取公因式,x 利用因式分解的方法解方程即可；（2）在方程两边都加上4，利用配方法解方程即可．(1)解：∵2320x x -=，∴()320x x -=，∴x =0，或3x -2=0，23x =，∴1220,3x x ==，(2)解：∵245x x +=，∴2449x x ++=，∴()229x +=，∴23x +=±，∴121,5x x ==-．【点睛】本题考查的是因式分解法，配方法解一元二次方程，掌握“因式分解法与配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．12．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）（1）2(2)40x +-=．（2）2560x x ++=．【答案】（1）1204,x x ==-；（2）122,3x x =-=-【解析】【分析】（1）先移项，再直接开平方即可求解；（2）采用十字相乘将等号左侧进行因式分解，求解即可．【详解】（1）解：2(2)4x +=，∴22x +=±，∴1204,x x ==-．（2）解：(2)(3)0x x ++=，∴20x +=或30x +=，∴122,3x x =-=-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等，选择合适的方法是解题关键．13．（2021·河南新乡·九年级期末）解下列方程：(1)2310x x +-=；(2)()2346x x x +=+．【答案】(1)1x =2x =(2)132x =-，22x =【解析】【分析】（1）利用公式法解方程即可；（2）先移项，利用因式分解法解方程即可；(1)解：∵1a =，3b =，1c =-．∴()224341113b ac -=-⨯⨯-=，∴33212x --==⨯．∴1x =2x =(2)原方程可变形为()()232230x x x +-+=，因式分解为()()2320x x +-=．230x +=，或20x -=，∴132x =-，22x =．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用适当的方法解一元二次方程，属于中考常考题型．14．（2022·江西景德镇·九年级期末）解方程：(1)210250x x -+=；(2)()428x x x +=+．【答案】(1)125x x ==(2)122,4x x ==-【解析】【分析】（1）方程直接用开平方法求解即可；（2）方程移项后，运用因式分解法求解即可．(1)210250x x -+=，2(5)0x -=，50x -=，∴125x x ==；(2)()428x x x +=+，()42(4)0x x x +-+=，(4)(2)0x x +-=，20,40x x -=+=，∴122,4x x ==-．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法、结合方程的特点选择合适简捷的方法是解题的关键．15．（2022·全国·九年级单元测试）用适当的方法解下列方程：(1)x 2－x －1＝0；(2)3x (x －2)＝x －2；(3)x 2－x ＋1＝0；(4)(x ＋8)(x ＋1)＝－12．【答案】(1)112x +=，212x =(2)x 1＝13，x 2＝2(3)x11，x 21(4)x 1＝－4，x 2＝－5【解析】（1）利用公式法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解；（3）利用配方法解答，即可求解；（4）利用因式分解法解答，即可求解．(1)解：a＝1，b＝－1，c＝－1∴b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－1）＝5∴x即原方程的根为x1x2(2)解：移项，得3x（x－2）－（x－2）＝0，即（3x－1）（x－2）＝0，∴x1＝13，x2＝2．(3)解：配方，得（x2＝1，∴x＝±1．∴x1＋1，x21．(4)解：原方程可化为x2＋9x＋20＝0，即（x＋4）（x＋5）＝0，∴x1＝－4，x2＝－5．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．16．（2022·四川成都·九年级期末）关于x的一元二次方程（2﹣k）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】k的取值范围是k6<且2k≠【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到2−k≠0且Δ＝（−4）2−4（2−k）×（−1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得2−k≠0且Δ＝（−4）2−4（2−k）×（−1）＞0，解得k＜6且k≠2．即k的取值范围是k＜6且k≠2．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根与Δ＝b 2−4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．17．（2022·河北承德·九年级期末）已知关于x 的一元二次方程22410x x p ++-=．(1)若方程有一个根为0，求p 的值及另一个根；(2)若2p =，求方程的解；【答案】(1)1p =±，另一根为4x =-；(2)12x =-22x =-【解析】【分析】（1）将0代入方程即可求出p ，再将p 的值代入方程求出另一个根即可．（2）将2p =代入方程，解方程即可．(1)解：把0x =代入方程，得210p -=，故1p =±，原方程化为240x x +=，解之得：方程的另一根为4x =-；(2)解：若2p =，原方程化为2430x x +-=，利用公式法可知：22b x a -==-±，∴方程的根为12x =-22x =-【点睛】本题考查一元二次方程根的定义以及解方程，解题的关键是理解方程根的定义求出p 的值，掌握公式法、因式分解法解方程．18．（2022·北京海淀·二模）关于x 的方程22(21)0x m x m -++=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小的整数时，求此时的方程的根．【答案】(1)14m >-(2)方程的根为10x =，21x =【解析】【分析】（1）由题意得()222140m m ∆=+->，解出m 的范围即可；（2）根据第（1）问m 的范围求出m 的最小整数值，然后将m 的值代入方程，解方程即可．(1)解：∵关于x 的方程22(21)0x m x m -++=有两个不相等的实数根．21∴其根的判别式()22214m m ∆=+-410m =+>．∴14m >-；(2)解：∵14m >-且m 为最小的整数，∴0m =．∴此时方程为20x x -=．∴方程的根为10x =，21x =．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“一元二次方程，当根的判别式Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入m 的值，利用因式分解法求出一元二次方程的解．。
初二手拉手模型例题
"初二手拉手模型"通常是指在初中数学中的一种教学方法或者问题解决策略，主要是通过直观的图形或者模型来帮助学生理解抽象的数学概念或者解决问题。
以下是一个可能的例题：
题目：小明和小红分别从相距20千米的两地同时出发，相向而行。
小明每小时走5千米，小红每小时走4千米。
他们出发后多久能够相遇？
解题步骤（初二手拉手模型）：
1. 设他们相遇需要的时间为x小时。
2. 根据题意，小明和小红在x小时内行走的总路程等于他们之间的初始距离20千米。
因此，我们可以建立以下等式：
小明行走的路程 + 小红行走的路程 = 初始距离
5x + 4x = 20
3. 合并同类项，得到：
9x = 20
4. 解方程，求出x的值：
x = 20 ÷ 9
x ≈ 2.22（保留两位小数）
答案：小明和小红大约在2.22小时后能够相遇。
在这个例子中，"初二手拉手模型"主要是通过将问题转化为数学等式的方式来帮助学生理解并解决问题。
通过这种方式，学生可以更直观地看到两个变量（小明和小红的速度）如何共同影响一个结果（他们相遇的时间）。
三垂直模型经典例题
三垂直模型经典例题例题：【题目】在三垂直模型中，有一个经典例题是关于柱体和锥体的组合。
题目描述了一个长方体和圆锥体的组合结构，需要求出组合体的体积和表面积。
解题过程：1. 确定模型：三垂直模型是针对立体几何问题的模型，要求确定三个垂直面的形状和高度。
在本题中，三个垂直面分别为长方体的底面、长方体的高面和锥体的侧表面。
2. 计算体积：长方体的体积为底面积乘以高，锥体的体积为底面积乘以高再除以3。
根据题目所给数据，可以求出两个体积相加得到组合体的体积。
3. 计算表面积：组合体的表面积包括三个垂直面的面积和各个面的边界。
根据题目所给数据，可以分别计算各个面的面积，再求和得到组合体的表面积。
答案：通过计算，可以得到组合体的体积为30cm3，表面积为64cm2。
解析：这道题中，我们需要根据题目所给数据，运用三垂直模型的原理，分别计算各个面的面积和体积，再求和得到最终结果。
其中需要注意各个面之间的角度和位置关系，以便准确计算。
类似的问题还有关于球体、圆柱体、正方体、圆台等基本几何体的组合体，需要运用三垂直模型来解决。
另外，对于不规则的立体几何问题，可以通过积分等方法进行求解。
拓展：三垂直模型是解决立体几何问题的一种基本方法，它能够将复杂的几何问题转化为简单的几何运算。
除了三垂直模型，还有其他类似的模型，如二垂、一垂等，可以根据具体情况选择合适的方法。
同时，对于一些特殊形状的几何体，还可以通过记忆公式等方法来快速求解。
总结：通过这道经典例题的解析和拓展，我们可以更好地理解三垂直模型的应用和注意事项。
在实际解题过程中，需要根据题目所给数据，选择合适的模型和方法，准确计算各个面的面积和体积，最终得到正确答案。
同时，还需要注意模型的适用范围和限制条件，以便更好地解决实际问题。
一线三垂直模型经典例题
一线三垂直模型经典例题一、问题描述：在平面几何中，一线三垂直模型是常见的几何模型之一。
通过该模型，我们可以分析得到一些有趣的性质和结论。
本文将介绍一道经典的例题，通过解答该题目，我们可以更好地理解和应用一线三垂直模型。
二、例题背景：考虑一个三角形ABC，其中点D是边BC上的一点。
假设通过点D 分别作AD线段的垂直平分线和BD线段的垂直平分线，分别与AB、AC相交于点E和F。
我们需要证明EF与BC平行。
三、解题过程：1. 建立坐标系：假设点A的坐标为(0, 0)，点B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(c, d)。
由于点D是边BC上的一点，所以点D的坐标可以表示为(Dx, 0)，其中b > Dx > c。
2. 确定点E和F的坐标：由于AE是AD的垂直平分线，所以AE与AD垂直且AE=ED。
我们需要找出点E的坐标。
首先，由于AD是垂直于BC的，所以它的斜率为NaN（不确定）。
由于AE是AD的垂直平分线，所以AE的斜率为0。
令点E的坐标为(E, 0)，则斜率0可以表示为(E - Dx) / (0 - Dx) = 0，解得E = Dx。
因此，点E的坐标为(E, 0) = (Dx, 0)。
同理，我们可以得到点F的坐标为(F, 0) = (Dx, 0)。
3. 确定线段EF的斜率：根据点E和F的坐标，我们可以计算线段EF的斜率：斜率k = (F - E) / (0 - Dx) = (0 - Dx - Dx) / (0 - Dx) = 2。
4. 确定线段BC的斜率：根据点B和C的坐标，我们可以计算线段BC的斜率：斜率k_BC = (d - 0) / (c - b) = d / (c - b)。
由于EF与BC平行，所以线段EF的斜率与线段BC的斜率相等，即2 = d / (c - b)。
解得d = 2(c - b)。
5. 证明EF与BC平行：根据步骤4的结论，我们可以得到d = 2(c - b)。
因此，EF与BC平行。
七年级数学建模经典例题
七年级数学建模经典例题所谓数学建模，就是将某一领域或部门的某一实际问题，通过一定的假设，找出这个问题的数学模型，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。
笔者以一次函数的应用为例，探讨几种不同的数学建模过程。
一、直接给出模型例1.已知弹簧的长度y在一定的限度内是所挂物质重量×的一次函数。
现已测得所挂重物重量为4kg时，弹簧的长度是7.2cm;所挂重物重量为5kg时，弹簧的长度为7.5cm。
求所挂重物重量为6kg时弹簧的长度。
既然题干中已经明确给出了y与×之间具备的是一次函数关系，那么实际上本题目中数学建模过程已经被省略掉了。
可以设数学模型为y=kx+b，将已知的两个条件分别代入这个模型关系式中，可得：7.2=4x+b，7.5=5x+b。
求解二元一次方程组，得出k=O.3，b=6。
从而得到模型y=0.3x+6，将x=6代入该模型中，得到y=7.8。
于是得到该问题的最终结果，即当所挂物体重量为6kg时，弹簧长度为7.8cm。
这种直接给出数学模型的方法，在初学一次函数理解其待定系数法时，不失为一种较为合适的数学题目设计。
但是从数学应用的角度来看，不利于锻炼学生从实际问题中抽象出数学问题的能力。
二、猜测建立模型例⒉爸爸穿42码的鞋，长度为26cm;妈妈穿39码的鞋，长度为24.5cm。
小明穿41码的鞋子，长度为多少？可以设数学模型为y=kx+b，将已知的两个条件分别代入到这个模型关系式中，可得：26=42k+b，24.5=39k+b。
求解二元一次方程组，得解k=0.5，b=5。
得到模型y=0.5x+5，将x=41代入该模型中，得到y=25.5。
从而得到该问题的最终结果，即小明所穿的41码的鞋子，长度为25.5cm。
本例至此，似乎已经解决了问题。
但实际上，如果只知道两对已知的函数数值，还不能否定尺码和长度之间是否存在着其他函数关系，譬如二次函数关系。
因此，在该题目的题设中应该再给出一个条件，比如可以再给出“妹妹穿36码的鞋，长度为23cm”，以便获得一次函数模型后的验证。
高考经典物理模型：连接体问题
连接体问题的求解思路【例题精选】【例1】在光滑的水平面上放置着紧靠在一起的两个物体A和B（如图），它们的质量分别为m A、m B。
当用水平恒力F推物体A时，问：⑴A、B两物体的加速度多大？⑵A物体对B物体的作用力多大？分析：两个物体在推力的作用下在水平面上一定做匀加速直线运动。
对整体来说符合牛顿第二定律；对于两个孤立的物体分别用牛顿第二定律也是正确的。
因此，这一道连接体的问题可以有解。
解：设物体运动的加速度为a，两物体间的作用力为T，把A、B两个物体隔离出来画在右侧。
因为物体组只在水平面上运动在竖直方向上是平衡的，所以分析每个物体受力时可以只讨论水平方向的受力。
A物体受水平向右的推力F和水平向左的作用力T，B物体只受一个水平向右的作用力T。
对两个物体分别列牛顿第二定律的方程：对m A满足F－T= m A a ⑴对m B满足T = m B a ⑵⑴＋⑵得 F =（m A＋m B）a ⑶经解得： a = F/（m A＋m B）⑷将⑷式代入⑵式可得T= Fm B/（m A＋m B）小结：①解题时首先明确研究对象是其中的一个物体还是两个物体组成的物体组。
如果本题只求运动的加速度，因为这时A、B两物体间的作用力是物体组的内力和加速度无关，那么我们就可以物体组为研究对象直接列出⑶式动力学方程求解。
若要求两物体间的作用力就要用隔离法列两个物体的动力学方程了。
②对每个物体列动力学方程，通过解联立方程来求解是解决连接体问题最规范的解法，也是最保险的方法，同学们必须掌握。
【例2】如图所示，5个质量相同的木块并排放在光滑的水平桌面上，当用水平向右推力F推木块1，使它们共同向右加速运动时，求第2与第3块木块之间弹力及第4与第5块木块之间的弹力。
分析：仔细分析会发现这一道题与例1几乎是一样的。
把第1、第2木块看作A 物体，把第3、4、5木块看作B 物体，就和例1完全一样了。
因5个木块一起向右运动时运动状态完全相同，可以用整体法求出系统的加速度（也是各个木块共同加速度）。
小学数学常见几何模型典型例题及解题思路
小学数学常见几何模型典型例题及解题思路1巧求面积常用方法：直接求；整体减空白；不规则转规则平移、旋转等；模型鸟头、蝴蝶、漏斗等模型；差不变1、ABCG是边长为12厘米的正方形,右上角是一个边长为6厘米的正方形FGDE,求阴影部分的面积;答案：72思路：1直接求,但是阴影部分的三角形和四边形面积都无法直接求；2整体减空白;关键在于如何找到整体,发现梯形BCEF可求,且空白分别两个矩形面积的一半;2、在长方形ABCD中,BE=5,EC=4,CF=4,FD=1;△AEF的面积是多少答案：20思路：1直接求,无法直接求；2由于知道了各个边的数据,因此空白部分的面积都可求3、如图所示的长方形中,E、F分别是AD和DC的中点;（1）如果已知AB=10厘米,BC=6厘米,那么阴影部分面积是多少平方厘米答案：（2）如果已知长方形ABCD的面积是64平方厘米,那么阴影部分的面积是多少平方厘米答案：24思路1直接求,无法直接求；2已经知道了各个边的数据,因此可以求出空白的位置；3也可以利用鸟头模型4、正方形ABCD边长是6厘米,△AFD甲是正方形的一部分,△CEF乙的面积比△AFD甲大6平方厘米;请问CE的长是多少厘米;答案：8 思路：差不变5、把长为15厘米,宽为12厘米的长方形,分割成4个三角形,其面积分别为S1、S2、S3、S4,且S1=S2=S3+S4;求S4;答案：10思路：求S4需要知道FC和EC的长度；FC不能直接求,但是DF可求,DF可以由三分之一矩形面积S1÷AD×2得到,同理EC也求;最后一句三角形面积公式得到结果;6、长方形ABCD内的阴影部分面积之和为70,AB=8,AD=15;求四边形EFGO的面积;答案10;思路：看到长方形和平行四边形,只要有对角线,就知道里面四个三角形面积相等;然后依据常规思路可以得到答案;思路2：从整体看,四边形EFGO的面积=△AFC的面积+△BFD的面积-空白部分的面积;而△ACF的面积+△BFD的面积=长方形面积的一半,即60;空白部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积,即120-70=50 ;所以四边形的面积EFGO的面积为60-50=10;比例模型1、如图,AD=DB,AE=EF=FC;已知阴影部分面积为5平方厘米,△ABC的面积是多少平方厘米答案30平方厘米;思路：由阴影面积求整个三角形的面积,因此需要构造已知三角的面积和其它三角形的面积比例关系,而题目中已经给了边的比,因此依据等高模型或者鸟头模型即可得到答案;2、△ABC的面积是180平方厘米,D是BC的中点,AD的长是AE 的3倍,EF的长是BF的3倍,那么△AEF的面积是多少平方厘米答案平方厘米思路：仅仅告诉三角形面积和边的关系,需要依据比例关系进行构造各个三角形之间的关系,从而得出答案3、在四边形ABCD中,E,F为AB的三等分点,G,H为CD的三等分点;四边形EFHG的面积占总面积的几分之几答案是1/3思路：仅仅告诉边的关系,求四边形之间的关系,需要首先考虑如何分解为三角形,然后再依次求解;4、在四边形ABCD中,ED：EF：FC=3:2:1,BG：GH：AH=3:2:1,已知四边形ABCD的面积等于4,则四边形EHGF的面积是多少答案4/35、在△ABC中,已知△ADE、△DCE、△BCD的面积分别是89,28,26,那么三角形DBE的面积是多少答案178/9思路：需要记住反向分解三角形,从而求面积;6、在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D六个点,并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1,则△DCF的面积等于多少答案3/47、四边形ABCD的面积是1,M、N是对角线AC的三等分点,P、Q是对角线BD的三等分点,求阴影部分的面积答案1/9一半模型比例模型---共高模型一半模型蝴蝶模型漏斗,金字塔鸟头模型燕尾模型风筝模型切记梯形的一半模型沿着中线变化切记任意四边形的一半模型1、在梯形ABCD中,AB与CD平行,点E、F分别是AD和BC的中点;△AMB的面积是3平方厘米,△DNC的面积是7平方厘米;1△AMB和△DNC的面积和等于四边形EMFN的面积；2阴影部分的面积是多少平方厘米;思路：一种应用重叠=未覆盖思路：将各个三角形标记,应用两个一半模型=整体梯形2、任意四边形ABCD,E、F、G、H分别为各边的中点;证明四边形EFGH的面积为四边形ABCD面积的一半;3、四边形ABCD中,E、F、G、H分别是各边的中点;求阴影部分与四边形PQRS的面积比;答案相等思路：依次应用一半模型和重叠等于未覆盖;证明需要分别连接BD 和AC;4、已知M、N分别为梯形两腰的中点,E、F为M、N上任意两点;已知梯形ABCD的面积是30平方厘米,求阴影部分的面积;答案：155、已知梯形ABCD的面积是160,点E为AB的中点,DF：FC=3:5;阴影部分的面积为多少;答案：30鸟头模型1、已知△ABC面积为1,延长AB至D,使BD=AB；延长BC至E,使CE=2BC,延长CA至F,使AF=3AC;求△DEF的面积;答案：18 思路：依次使用鸟头模型,别忘了最终还需要加上△ABC的面积; 2、在平行四边形ABCD中,BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD,平行四边形的面积是2,四边形EFGH的面积是多少答案：36 3、四边形EFGH的面积是66平方米,EA=AB,CB=BF,DC=CG,HD=DA,求四边形ABCD的面积答案：4、将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延伸两倍至点E、F、G、H,若四边形ABCD的面积为5,则四边形EFGH的面积是多少答案：60思路：依次使用两类不同鸟头模型,别忘了最终还需要减去一个四边形ABCD的面积;5、在三角形ABC中,延长AB至D,使BD=AB,延长BC至E,使CE=1/2BC,F是AC的中点,若三角形ABC的面积是2,则三角形DEF的面积是多少答案：思路：分割所求三角形,分别应用比例模型和鸟头模型;6、△ABC中,延长BA到D,使DA=AB,延长CA到E,使EA=2AC,延长CB到F,使FB=3BC,如果△ABC的面积是1,那么△DEF的面积是多少答案：7思路：△ABC和△EFC是鸟头模型,从而求出四边形ABEF的面积,△ABC 和△AED是鸟头模型,从而求出△AED面积,从而解题小技巧：1,答案为52、总面积为52,其中两个分别为6,7,另外两个分别是多少答案18,213、在△ABC中,已知M,N分别在AC、BC上,BM与AN相交于点O;若△AOM,△ABO和△BON的面积分别是3,2,1,则△MNC的面积是多少答案;风筝模型求出△MON=；△ANM：△MNC=△ABM：△BMC3+：x=3+2:1++x。
线段双中点模型例题
线段双中点模型例题线段双中点模型是数学中的一个常见题型，涉及到线段上两个点的坐标和线段的中点坐标的关系。
下面我将以一个例题来说明线段双中点模型的解题方法。
假设有一条线段AB，已知点A的坐标为(-2, 4)，点B的坐标为(6, -2)。
我们需要求出线段AB的两个中点的坐标。
解题步骤如下：步骤1，求出线段AB的中点M1的坐标。
中点M1的坐标可以通过使用中点公式来计算。
中点公式的表达式为：M1的x坐标 = (A的x坐标 + B的x坐标) / 2。
M1的y坐标 = (A的y坐标 + B的y坐标) / 2。
代入已知数据进行计算：M1的x坐标 = (-2 + 6) / 2 = 4 / 2 = 2。
M1的y坐标 = (4 + (-2)) / 2 = 2 / 2 = 1。
所以，线段AB的中点M1的坐标为(2, 1)。
步骤2，求出线段AB的另一个中点M2的坐标。
线段AB的另一个中点M2的坐标可以通过使用向量法来计算。
向量法的思路是，将线段AB的向量除以2，然后将结果向量与起点A的坐标相加，得到另一个中点M2的坐标。
计算向量AB的坐标差：向量AB的x坐标差 = B的x坐标 A的x坐标 = 6 (-2) = 8。
向量AB的y坐标差 = B的y坐标 A的y坐标 = -2 4 = -6。
将向量AB的坐标差除以2，得到：向量AB除以2的x坐标 = 8 / 2 = 4。
向量AB除以2的y坐标 = -6 / 2 = -3。
将向量AB除以2的坐标与起点A的坐标相加，得到中点M2的坐标：M2的x坐标 = A的x坐标 + 向量AB除以2的x坐标 = -2 + 4 = 2。
M2的y坐标 = A的y坐标 + 向量AB除以2的y坐标 = 4 + (-3) = 1。
所以，线段AB的另一个中点M2的坐标为(2, 1)。
综上所述，线段AB的两个中点的坐标分别为(2, 1)和(2, 1)。
初二手拉手数学模型典型例题
初二手拉手数学模型典型例题手拉手数学模型是初中数学中的一个重要知识点，通过手拉手数学模型，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，提高解题能力。
下面将介绍几个初二手拉手数学模型的典型例题。
例题一：小明和小红两人一起做作业，小明做一道题需要20分钟，小红做一道题需要15分钟。
如果小明和小红一起做作业，他们需要多长时间完成10道题目？解题思路：首先，我们可以根据小明和小红分别完成一道题所需要的时间，得出他们一起完成一道题所需要的时间。
小明和小红一起做一道题所需要的时间为：1/20 + 1/15 = 7/60，即他们一起完成一道题需要7/60小时。
然后，我们可以根据他们一起完成一道题所需要的时间，计算出他们一起完成10道题所需要的时间。
10道题所需要的时间为：10 × 7/60 = 7/6小时，即他们一起完成10道题需要7/6小时，也可以表示为1小时10分钟。
例题二：一条长200米的铁轨，两列火车分别从两个方向开来，每个火车的速度分别是每小时60公里和每小时40公里。
如果两个火车同时从两个方向出发，相向而行，他们多长时间能相遇？解题思路：首先，我们需要将两个火车的速度转换为米每分钟的速度。
每小时60公里等于每分钟60×1000/60 = 1000米，每小时40公里等于每分钟40×1000/60 = 666.67米。
然后，我们可以根据两个火车的速度，计算出它们相向而行的速度。
两个火车相向而行的速度为：1000 + 666.67 = 1666.67米/分钟。
最后，我们可以根据两个火车相向而行的速度和铁轨的长度，计算出它们相遇所需要的时间。
两个火车相遇所需要的时间为：200 / 1666.67 ≈ 0.12分钟，即约为7.2秒。
例题三：某超市为了提高销售额，对销售的商品进行了促销活动。
活动期间，一种商品的售价为原价的8折。
某顾客购买了这种商品，原价为200元，他需要支付多少钱？解题思路：首先，我们需要将原价打8折，计算出商品的促销价。
高考物理经典题型：三种模型解决机械振动和机械波
三种模型解决机械振动和机械波距离高考还有不到一个月了，各位同学也早已进入到最后的冲刺阶段。
对于现阶段的复习，建议各位同学要回归课本，巩固知识点，重温近几年天津卷的真题，加强解题的规范性和准确性。
机械振动和机械波作为高考选择题的必考考点，常在多选题中出现，因此也成为选择题中的难点和失分点。
因此，我今天要和各位同学分享机械振动和机械波中常见的三种模型。
模型一：长度/时间模型（多解性）1、长度模型特征：已知两点间距为x和振动情况，求波长。
方法：按传播方向平移振动图像，写出多解表达式。
例题：（2008 天津）一列简谐横波沿直线由a向b传播，相距10.5m的a、b两处的质点振动图象如图中a、b所示，则（）A．该波的振幅可能是20cmB．该波的波长可能是8.4mC．该波的波速可能是10.5m/sD．该波由a传播到b可能历时7s【分析】由振动图象可知波的振幅及周期；由图象得出同一时刻两质点的位置及振动方向，则可得出ab间可能含有的波长数，则可得出波长的表达式，波速公式可得出波速的可能值；则可知该波从a传播到b点可能经历的时间．【解答】解：A 、由图可知，波的周期为4s ，振幅为10cm ，故A 错误；B 、由图可知，在0时刻a 在负向最大位置处，b 在平衡位置向正方向运动，而波由a 向b 传播，则ab 间距离与波长关系为l ＝（n +34）λ=4n+34λ（n ＝0，1，2，3﹣﹣﹣﹣﹣﹣），将8.4m 代入n 无解，故B 错误；C 、由B 可知λ=424n+3m ，由v =λT 可知，v =424n+34m/s =10.54n+3m/s （n ＝0、1、2﹣﹣﹣﹣﹣﹣），将10.5m/s 代入，n 无解，故C 错误；D 、由a 到b 需要的时间t =l v=（4n+3）s ，当n ＝1时，t ＝7s ，故D 正确； 故选：D 。
2、 时间模型特征：已知时间间距为t 的两个时刻的振动情况，求周期。
方法：按传播方向平移振动图像，求多解表达式。
小学数学五大经典几何图形模型及解题思路精讲
小学数学五大经典几何图形模型及解题思路精讲1、等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积之比等于底之比；（3）两个三角形底相等，面积在之比等于高之比；（4）在一组平行线之间的等积变形。
【例题】如图，三角形A B C的面积是24，D、E、F分别是B C、A C、A D的中点，求三角形DE F的面积。
2、鸟头（共角）定理模型（1）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；（2）共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
【例题】如图在△A B C中，D在B A的延长线上，E在AC上，且A B：A D=5：2，AE：E C=3：2，△A D E的面积为12平方厘米，求△ABC的面积。
3、蝴蝶模型（1）梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S2=S4（因为S△ABC= S△DBC，所以S△ABC－S△OBC= S△DBC－S△OBC）S1：S3=a2：b2②S1：S3：S2：S4= a2：b2：ab：ab③梯形S的对应份数为（a+b）2。
（2）任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）①S1：S2=S4：S3或者S1×S3=S4×S2；②AO：OC=（S1+S2）：（S4+S3）蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例题】如图，己知正方形AB C D的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G为B F的中点，求三角形BD G的面积。
4、相似模型（1）相似三角形：形状相同，大小不相等的两个三角形相似。
（2）寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）相似三角形性质①相似三角形的一切对应线段（对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
模型构建专题：全等三角形中的常见七种解题模型全攻略(解析版)
模型构建专题：全等三角形中的常见七种解题模型【考点导航】目录【典型例题】【模型一平移型模型】【模型二轴对称型模型】【模型三四边形中构造全等三角形解题】【模型四一线三等角模型】【模型五三垂直模型】【模型六旋转型模型】【模型七倍长中线模型】【典型例题】【模型一平移型模型】1(2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试)如图，点E，C在线段BF上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠B=40°，∠D=70°，求∠ACF的度数．【答案】(1)见解析(2)110°【分析】(1)首先根据，AB∥DE可得∠B=∠DEF，再根据BE=CF，可得出BC=EF，即可判定△ABC≌△DEF；(2)首先根据(1)中两三角形全等，可得∠A=∠D=70°，在△ABC中根据外角的性质即可求出∠ACF．【详解】(1)证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，∴在△ABC和△DEF中，AB=DE∠B=∠DEFBC=EF，∴△ABC≌△DEF．(2)∵△ABC≌△DEF，∠B=40°，∠D=70°，∴∠A=∠D=70°，∵∠ACF是△ABC的外角，∴∠ACF=∠A+∠B=110°．【点睛】此题主要考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练运用性质定理，即可解题．【变式训练】1(2023秋·浙江·八年级专题练习)如图，在△ACD和△CBE中，点A、B、C在一条直线上，∠D=∠E，AD⎳EC，AD=EC．求证：△ACD≌△CBE．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECB，再根据全等三角形的判定定理ASA证明△ACD≌△CBE．【详解】∵AD⎳EC，∴∠A=∠ECB，在△ACD和△CBE中，∠A=∠ECB AD=EC∠D=∠E，∴△ACD≌△CBE(ASA)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．2(2023秋·浙江·八年级专题练习)如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一条直线上．(1)若∠BED=140°，∠D=75°，求∠ACB的度数；(2)若BE=2，EC=3，求BF的长．【答案】(1)65°(2)7【分析】(1)由三角形外角性质，得∠F=∠BED-∠D=65°，由三角形全等知∠ACB=∠F=65°；(2)由条件可推出BC=BE+EC=5，由三角形全等知BC=EF=5，故BF=BE+EF=7．【详解】(1)解：∵∠BED=140°，∠D=75°，∴∠F=∠BED-∠D=65°．∵△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠F=65°；(2)解：∵BE=2，EC=3，∴BC=BE+EC=5∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF=5，∴BF=BE+EF=2+5=7．故答案为：7．【点睛】本题考查三角形外角的性质，全等三角形的性质，由全等三角形得出角之间，线段之间的相等关系是解题的关键．3(2023春·山西太原·八年级统考期中)综合与实践--探索图形平移中的数学问题问题情境：如图1，已知△ABC是等边三角形，AB=6，点D是AC边的中点，以AD为边，在△ABC外部作等边三角形ADE．操作探究：将△ADE从图1的位置开始，沿射线AC方向平移，点A，D，E的对应点分别为点A ，D ，E ．(1)如图2，善思小组的同学画出了BA =BD 时的情形，求此时△ADE平移的距离；(2)如图3，点F是BC的中点，在△ADE平移过程中，连接E F 交射线AC于点O，敏学小组的同学发现OE =OF始终成立！请你证明这一结论；拓展延伸：(3)请从A，B两题中任选一题作答，我选择题.A.在△ADE平移的过程中，直接写出以F，A ，D 为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE平移的距离．B．在△ADE平移的过程中，直接写出以F，D ，E 为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE平移的距离．【答案】(1)32；(2)见解析；拓展延伸：A：32或92；B：6或12【分析】(1)连接BD，由△ABC是等边三角形，AB=6，点D是AC边的中点，得AD=3=CD，BD⊥AC，根据平移可得A D =AD=3，即可得A D=DD =12A D =32，故△ADE平移的距离DD为32；(2)证明△A OE ≌△COF AAS，即可得OE =OF；(3)选A：分两种情况：当∠A D F=90°时，可得DD =CD-CD =32，故△ADE平移的距离是3 2；当∠FA D =90°时，可得AA =AC -A C =92，从而△ADE 平移的距离是92；选B ：分两种情况：当A 与C 重合时，可得∠FD E =∠A D F +∠A D E =90°，即以F ，D ，E 为顶点的三角形成为直角三角形，此时DD =6，即△ADE 平移的距离是6；当∠D E F =90°时，可得DD =CD +CO +A O +A D =12，故△ADE 平移的距离是12．【详解】(1)解：连接BD ，如图：∵△ABC 是等边三角形，AB =6，点D 是AC 边的中点，∴AD =3=CD ，BD ⊥AC ，∵将△ADE 从图1的位置开始，沿射线AC 方向平移，点A ，D ，E 的对应点分别为点A ，D ，E ，∴A D =AD =3，∵A B =BD ，BD ⊥AC ，∴A D =DD =12A D =32，△ADE 平移的距离DD 为32；(2)证明：如图：∵△ADE 是等边三角形，AD =3，∴∠DAE =60°，AE =3，∵将△ADE 从图1的位置开始，沿射线AC 方向平移，点A ，D ，E 的对应点分别为点A ，D ，E ，∴∠D A E =∠DAE =60°，A E =3，∵△ABC 是等边三角形，AB =6，点F 是BC 边的中点，∴∠ACB =60°，CF =12BC =3，∴∠D A E =∠ACB =60°，A E =CF =3，∵∠A OE =∠COF ，∴△A OE ≌△COF AAS ，∴OE =OF ；(3)解：选择A (或B )题：选A ：当∠A D F =90°时，如图：∴∠CD F =90°，∵∠C =60°，∴∠D FC =30°，∴CD =12CF =32，∴DD =CD -CD =3-32=32；∴△ADE 平移的距离是32；当∠FA D =90°时，如图：同理可得A C =32，∴AA =AC -A C =6-32=92；△ADE 平移的距离是92；综上所述，以F ，A ，D 为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE 平移的距离是32或92；选B ：当A 与C 重合时，如图：∵△A D E 是等边三角形，∴∠E A D =∠A D E =∠E =60°，∵A F =A D =3，∴∠A FD =∠A D F =30°，∴∠FD E =∠A D F +∠A D E =90°，即以F ，D ，E 为顶点的三角形成为直角三角形，此时DD =CD +A D =3+3=6，△ADE 平移的距离是6；当∠D E F =90°时，如图：∵∠A E D =60°=∠E A D ，∴∠A E O =∠D E F -∠A E D =30°，∴∠A OE =∠D A E -∠A E O =30°，∴∠A E O =∠A OE ，∴A O =A E =3，由2 知△A OE ≌△COF ，∴CO =A O =3，∴DD =CD +CO +A O +A D =3+3+3+3=12，△ADE 平移的距离是12；综上所述，以F ，D ，E 为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE 平移的距离是6或12．【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质，平移变换等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．【模型二轴对称型模型】1(2023秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中)如图，AB =AD ，BC =DC ，求证：∠B =∠D．【答案】见解析【分析】根据SSS 证明△ABC ≌△ADC ，得出∠B =∠D 即可．【详解】证明：∵在△ABC 和△ADC 中AB =ADAC =AC BC =DC，∴△ABC ≌△ADC SSS ，∴∠B =∠D ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明△ABC ≌△ADC ．【变式训练】1(2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期中)如图，在中，，是的中点，，且，求证：．【答案】见解析【分析】由等腰三角形的性质得，，再证，得，即可得出结论．【详解】解：证明：连接，，是的中点，，，，，，即，在与中，，，，，即．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2(2023秋·河南南阳·八年级统考期末)如图，点E、F是线段上的两个点，与交于点M．已知，，．(1)求证：；(2)若．求证：是等边三角形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)证明即可．(2)根据得到，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明．【详解】(1)证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴．(2)∵，∴，∴，∵，∴是等边三角形．【点睛】本题考查了三角形全等的判断和性质，等边三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判断和性质，等边三角形的判定是解题的关键．3(2023春·湖南益阳·八年级校考期中)两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形中，，，、相交于点，求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】(1)分别利用证即可；(2)由得，利用等腰三角形的性质即可得．【详解】(1)证明：在和中，，∴()．(2)证明：由(1)得，∴，∵，【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理．【模型三四边形中构造全等三角形解题】1(2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习)已知：如图，AC =BC ，AD =BD ，E 、F 分别是AC 和BC 的中点．求证：DE =DF．【答案】证明见解析．【分析】由三边对应相等的两个三角形是全等三角形可证△ADC ≌△BDC ，再根据全等三角形的性质可由两边对应相等以及它们的夹角相等的两个三角形全等可证△CDE ≌△CDF ，即可得出结论．【详解】证明：连接CD在△ADC 与△BDC 中，AC =BCCD =CDAD =BD∴△ADC ≌△BDC SSS ，∴∠ACD =∠BCD ，∵AC =BC ，且E 、F 分别是AC 和BC 的中点，∴CE =12AC ,CF =12BC ，即CE =CF ，在△CDE 与△CDF 中，CE =CF∠ECD =∠FCD CD =CD，∴△CDE ≌△CDF SAS∴DE =DF ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，灵活根据条件选择恰当的判定方法，证明两个三角形全等是解题的关键．【变式训练】1(2023春·广西玉林·八年级统考期末)如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．根据学习平行四边形性质的经验，小文对筝形的性质进行了探究．(1)小文通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整．已知：如图，在筝形中，，．求证：．证明：(2)小文连接筝形的两条对角线，探究得到筝形对角线的性质是．(写出一条即可)【答案】(1)，见解析(2)(或垂直平分线段)【分析】(1)，连接，证明，即可得结论；(2)根据全等三角形的性质即可得筝形的两条对角线互相垂直．【详解】(1)解：证明：连接，在和中，，，；(2)证明：如图，连接，交于点，由(1)知，，在与中，，，，，，两条对角线互相垂直．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．2如图，在四边形ABCD中，CB⊥AB于点B，CD⊥AD于点D，点E，F分别在AB，AD上，AE =AF，CE=CF．(1)若AE=8，CD=6，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB+∠ECF=2∠DFC，证明见解析【解析】【分析】(1)连接AC，证明△ACE≌△ACF，则S△ACE=S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四=S△ACF+S△ACE求解即可；边形AECF(2)由△ACE≌△ACF可得∠FCA=∠ECA，∠FAC=∠EAC，∠AFC=∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC +∠BEC =∠FCA +∠FAC +∠ECA +∠EAC =∠DAB +∠ECF ．可得∠DAB +∠ECF =2∠DFC(1)解：连接AC ，如图，在△ACE 和△ACF 中AE =AFCE =CFAC =AC∴△ACE ≌△ACF (SSS )．∴S △ACE =S △ACF ，∠FAC =∠EAC ．∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，∴CD =CB =6．∴S △ACF =S △ACE =12AE ·CB =12×8×6=24．∴S 四边形AECF =S △ACF +S △ACE =24+24=48．(2)∠DAB +∠ECF =2∠DFC证明：∵△ACE ≌△ACF ，∴∠FCA =∠ECA ，∠FAC =∠EAC ，∠AFC =∠AEC ．∵∠DFC 与∠AFC 互补，∠BEC 与∠AEC 互补，∴∠DFC =∠BEC ．∵∠DFC =∠FCA +∠FAC ，∠BEC =∠ECA +∠EAC ，∴∠DFC +∠BEC =∠FCA +∠FAC +∠ECA +∠EAC=∠DAB +∠ECF ．∴∠DAB +∠ECF =2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．3在四边形ABDC 中，AC =AB ，DC =DB ，∠CAB =60°，∠CDB =120°，E 是AC 上一点，F 是AB 延长线上一点，且CE =BF ．(1)试说明：DE =DF ：(2)在图中，若G 在AB 上且∠EDG =60°，试猜想CE ，EG ，BG 之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB =60°，∠CDB =120°改为∠CAB =α，∠CDB =180°-α，G 在AB 上，∠EDG 满足什么条件时，(2)中结论仍然成立？【答案】(1)见解析；(2)CE +BG =EG，理由见解析；(3)当∠EDG =90°-12α时，(2)中结论仍然成立．【解析】【分析】(1)首先判断出∠C =∠DBF ，然后根据全等三角形判定的方法，判断出ΔCDE ≅ΔBDF ，即可判断出DE =DF ．(2)猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE +BG =EG ．首先根据全等三角形判定的方法，判断出ΔABD ≅ΔACD ，即可判断出∠BDA =∠CDA =60°；然后根据∠EDG =60°，可得∠CDE =∠ADG ，∠ADE =∠BDG ，再根据∠CDE =∠BDF ，判断出∠EDG =∠FDG ，据此推得ΔDEG ≅ΔDFG ，所以EG =FG ，最后根据CE =BF ，判断出CE +BG =EG 即可．(3)根据(2)的证明过程，要使CE +BG =EG 仍然成立，则∠EDG =∠BDA =∠CDA =12∠CDB ，即∠EDG =12(180°-α)=90°-12α，据此解答即可．(1)证明：∵∠CAB +∠C +∠CDB +∠ABD =360°，∠CAB =60°，∠CDB =120°，∴∠C +∠ABD =360°-60°-120°=180°，又∵∠DBF +∠ABD =180°，∴∠C=∠DBF ，在ΔCDE 和ΔBDF 中，CD =BD∠C =∠DBFCE =BF∴ΔCDE ≅ΔBDF (SAS )，∴DE =DF ．(2)解：如图，连接AD ，猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE +BG =EG ．证明：在ΔABD 和ΔACD 中，AB =ACBD =CD AD =AD，∴ΔABD ≅ΔACD (SSS )，∴∠BDA =∠CDA =12∠CDB =12×120°=60°，又∵∠EDG =60°，∴∠CDE =∠ADG ，∠ADE =∠BDG ，由(1)，可得ΔCDE ≅ΔBDF ，∴∠CDE =∠BDF ，∴∠BDG +∠BDF =60°，即∠FDG =60°，∴∠EDG =∠FDG ，在ΔDEG 和ΔDFG 中，DE =DF∠EDG =∠FDGDG =DG∴ΔDEG ≅ΔDFG (SAS )，∴EG =FG ，又∵CE =BF ，FG =BF +BG ，∴CE +BG =EG ；(3)解：要使CE +BG =EG 仍然成立，则∠EDG =∠BDA =∠CDA =12∠CDB ，即∠EDG =12(180°-α)=90°-12α，∴当∠EDG =90°-12α时，CE +BG =EG 仍然成立．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．【模型四一线三等角模型】1(2023春·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末)(1)问题发现：如图1，射线AE 在∠MAN 的内部，点B 、C 分别在∠MAN 的边AM 、AN 上，且AB =AC ，若∠BAC =∠BFE =∠CDE =90°，求证：△ABF ≌△CAD ；(2)类比探究：如图2，AB =AC ，且∠BAC =∠BFE =∠CDE ．(1)中的结论是否仍然成立，请说明理由；(3)拓展延伸：如图3，在△ABC 中，AB =AC ，AB >BC ．点E 在BC 边上，CE =2BE ，点D 、F 在线段AE 上，∠BAC =∠BFE =∠CDE ．若△ABC 的面积为15，DE =2AD ，求△BEF 与△CDE 的面积之比．【答案】(1)证明见详解；(2)成立，证明见详解；(3)1:4【分析】(1)根据∠BAC =∠BFE =∠CDE =90°即可得到∠BAF +∠CAF =90°，∠DCA +∠CAF =90°，从而得到∠BAF =∠DCA ，即可得到证明；(2)根据∠BAC =∠BFE =∠CDE 得到∠BAF +∠CAF =∠DCA +∠CAF ，即可得到∠BAF =∠DCA ，即可得到证明；(3)根据△ABC 的面积为15，CE =2BE ，即可得到S △ABE =5，S △AEC =10，结合DE =2AD 可得S △ADC =103，S △EDC =203，根据AB =AC ，∠BAC =∠BFE =∠CDE 得到△ABF ≌△CAD ，即可得到S △BEF ，即可得到答案；【详解】(1)证明：∵∠BAC =∠BFE =∠CDE =90°，∴∠BFA =∠CDA =90°，∠BAF +∠CAF =90°，∠DCA +∠CAF =90°，∴∠BAF =∠DCA ，在△ABF 与△CAD 中，∵∠BFA =∠CDA∠BAF =∠DCA AB =AC，∴△ABF ≌△CAD (AAS )；(2)解：成立，理由如下，∵∠BAC =∠BFE =∠CDE ，∴∠BAF +∠CAF =∠DCA +∠CAF ，∠BFA =∠CDA ，∴∠BAF =∠DCA ，在△ABF 与△CAD 中，∵∠BFA =∠CDA∠BAF =∠DCA AB =AC，∴△ABF ≌△CAD (AAS )；(3)解：∵△ABC 的面积为15，CE =2BE ，∴S △ABE =5，S △AEC =10，∵DE =2AD ，∴S △ADC =103，S △EDC =203，∵∠BAC =∠BFE =∠CDE ，∴∠BAF +∠CAF =∠DCA +∠CAF ，∠BFA =∠CDA ，∴∠BAF =∠DCA ，在△ABF 与△CAD 中，∵∠BFA =∠CDA∠BAF =∠DCA AB =AC，∴△ABF ≌△CAD (AAS )∴S △BEF =5-103=53，∴S △BEF :S △CDE =53:203=1:4；【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质及同高不同底三角形的面积，解题的关键是根据内外角关系得到三角形全等的条件．【变式训练】1已知CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA =CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC =∠CFA =∠α．(1)若直线CD 经过∠BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面问题：①如图1，若∠BCA =90°，∠α=90°，求证：BE =CF ；②如图2，若∠α+∠BCA =180°，探索三条线段EF ，BE ，AF 的数量关系，并证明你的结论；(2)如图3，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α=∠BCA ，题(1)②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．【答案】(1)①见解析；②EF =BE -AF ，见解析(2)不成立，EF =BE +AF ，见解析【分析】(1)①利用垂直及互余的关系得到∠ACF =∠CBE ，证明△BCE ≌△CAF 即可；②利用三等角模型及互补证明∠ACF =∠CBE ，得到△BCE ≌△CAF 即可；(2)利用互补的性质得到∠EBC =∠ACF ，证明△BCE ≌△CAF 即可．【详解】(1)①证明：∵EE ⊥CD ，AF ⊥CD ，∠ACB =90°，∴∠BEC =∠AFC =90°，∴∠BCE +∠ACF =90°，∠CBE +∠BCE =90°，∴∠ACF =∠CBE ，在△BCE 和△CAF 中，∠EBC =∠FCA∠BEC =∠CFA BC =CA，∴△BCE ≌△CAF AAS ，∴BE =CF ；②解：EF =BE -AF ．证明：∵∠BEC =∠CFA =∠α，∠α+∠ACB =180°，∴∠CBE =180°-∠BCE -∠α，∠ACF =∠ACB -∠BCE =180°-∠α-∠BCE ，∴∠ACF =∠CBE ，在△BCE 和△CAF 中，∠EBC =∠FCA∠BEC =∠CFA BC =CA，∴△BCE ≌△CAF AAS ，∴BE =CF ，CE =AF ，∴EF =CF -CE =BE -AF ；(2)解：EF =BE +AF ．理由：∵∠BEC =∠CFA =∠α，∠α=∠BCA ，又∵∠EBC =∠BCE =∠BEC =180°，∠BCE +∠ACF +∠ACB =180°，∴∠EBC +∠BCE =∠BCE +∠ACF ，∴∠EBC =∠ACF ，在△BCE 和△CAF 中，∠EBC =∠FCA∠BEC =∠CFA BC =CA，∴△BCE ≌△CAF AAS ，∴AF =CE ，BE =CF ，∵EF =CE +CF ，∴EF =BE +AF ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用三等角模型快速证明三角形全等是解题关键．2(2023春·上海·七年级专题练习)在直线m 上依次取互不重合的三个点D ,A ,E ，在直线m 上方有AB =AC ，且满足∠BDA =∠AEC =∠BAC =α．(1)如图1，当α=90°时，猜想线段DE ,BD ,CE 之间的数量关系是；(2)如图2，当0<α<180°时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在△ABC 中，∠BAC 是钝角，AB =AC ，∠BAD <∠CAE ,∠BDA =∠AEC =∠BAC ，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若BC =3FB ，△ABC 的面积是12，求△FBD 与△ACE 的面积之和．【答案】(1)DE =BD +CE(2)DE =BD +CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【分析】(1)由∠BDA =∠BAC =∠AEC =90°得到∠BAD +∠EAC =∠BAD +∠DBA =90°，进而得到∠DBA =∠EAC ，然后结合AB =AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE =BD +CE ；(2)由∠BDA =∠BAC =∠AEC =α得到∠BAD +∠EAC =∠BAD +∠DBA =180°-α，进而得到∠DBA =∠EAC ，然后结合AB =AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE =BD +CE ；(3)由∠BAD >∠CAE ，∠BDA =∠AEC =∠BAC ，得出∠CAE =∠ABD ，由AAS 证得△ADB ≌△CAE ，得出S △ABD =S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．【详解】(1)解：DE =BD +CE ，理由如下，∵∠BDA =∠BAC =∠AEC =90°，∴∠BAD +∠EAC =∠BAD +∠DBA =90°，∴∠DBA =∠EAC ，∵AB =AC ，∴△DBA ≌△EAC (AAS )，∴AD =CE ，BD =AE ，∴DE =AD +AE =BD +CE ，故答案为：DE =BD +CE ．(2)DE =BD +CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA =∠BAC =∠AEC =α，∴∠BAD +∠EAC =∠BAD +∠DBA =180°-α，∴∠DBA =∠EAC ，∵AB =AC ，∴△DBA ≌△EAC (AAS )，∴BD =AE ，AD =CE ，∴DE =AD +AE =BD +CE ；(3)解：∵∠BAD <∠CAE ，∠BDA =∠AEC =∠BAC ，∴∠CAE =∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，∠ABD =∠CAE∠BDA =∠CEA AB =AC，∴△ABD ≌△CAE (AAS )，∴S △ABD =S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC =12BC •h =12，S △ABF =12BF •h ，∵BC =3BF ，∴S △ABF =4，∵S △ABF =S △BDF +S △ABD =S △FBD +S △ACE =4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．【模型五三垂直模型】1(2023春·辽宁本溪·七年级统考期末)已知∠ACB =90°，AC =BC ，AD ⊥NM ，BE ⊥NM ，垂足分别为点D ，E．(1)如图①，求证：AD =BE +DE(2)如图②，(1)中的结论还成立吗？如果不成立，请写出线段AD ，BE ，DE 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)(1)中的结论不成立．结论：DE =AD +BE ，理由见解析【分析】(1)证明△ADC ≌△CEB AAS ，推出CD =BE ，AD =CE ，再利用线段间的代换即得结论；(2)证明△ADC ≌△CEB AAS ，推出CD =BE ，AD =CE ，利用线段间的代换即可得到结论，进而作出判断．【详解】(1)证明：∵AD ⊥NM ，BE ⊥NM ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∴∠CAD +∠ACD =90°∵∠ACB =90°，∴∠BCE +∠ACD =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中∠ADC =∠CEB∠CAD =∠BCEAC =BC∴△ADC ≌△CEB AAS ，∴CD =BE ，AD =CE ，∴CE =CD +DE =BE +DE ，∴AD =BE +DE ；(2)(1)中的结论不成立．结论：DE =AD +BE ；理由如下：∵AD ⊥NM ，BE ⊥NM ，∴∠ADC =∠CEB =90°∵∠ACB =90°，∴∠BCE +∠ACD =90°，∴∠CAD =∠BCE在△ADC 和△CEB 中∠ADC =∠CEB∠CAD =∠BCE AC =BC，∴△ADC ≌△CEB AAS ，∴CD =BE ，AD =CE，∵DE=CD+CE，∴DE=AD+BE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，证明三角形全等是解题的关键．【变式训练】1(2023春·甘肃酒泉·八年级校联考期末)在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；【答案】(1)①见解析，②见解析(2)见解析【分析】(1)①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，∠DAC+∠ACD=90°推出∠DAC=∠BCE，根据角角边即可推出．②由①得到AD=CE,CD=BE，即可求出答案．(2)与(1)类似证出△ADC≌△CEB，得到AD=CE,CD=BE代入已知即可知道答案．【详解】(1)①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠CDA=∠BEC ∠DAC=∠ECB AC=BC，∴△ADC≌△CEB AAS．②证明：由(1)知：△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵DC+CE=DE，∴AD+BE=DE．(2)证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，AC=BC∴△ADC≌△CEB AAS，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC-CD=AD-BE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等根据已知条件证出符合全等的条件是解题的关键．2如图，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN，BE⊥MN．(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时，求证：△ADC≅△CEB；(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)DE=BE-AD【分析】(1)由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；(2)结论：DE=AD-BE．与(1)证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD= CE，CD=BE，即可得到答案．(3)结论：DE=BE-AD．证明方法类似．【详解】解：(1)证明：如图1，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠CDA=∠BEC∠DAC=∠ECBAC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)；(2)如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，AC =BC∴△ADC ≌△CEB (AAS )，∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE =EC -CD =AD -BE ．(3)DE =BE -AD ；如图3，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∴∠ACD +∠DAC =90°，∴∠DAC =∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，∠ADC =∠CEB∠DAC =∠ECB AC =BC，∴△ACD ≌△CBE (AAS )，∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE =CD -CE =BE -AD ．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD ≌△CBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．【模型六旋转型模型】1在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，点D 是直线AB 上的一点，连接CD ，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，连接EB ．(1)操作发现如图1，当点D 在线段AB 上时，请你直接写出AB 与BE 的位置关系为；线段BD 、AB 、EB 的数量关系为；(2)猜想论证当点D 在直线AB 上运动时，如图2，是点D 在射线AB 上，如图3，是点D 在射线BA 上，请你写出这两种情况下，线段BD 、AB 、EB 的数量关系，并对图2的结论进行证明；(3)拓展延伸若AB =5，BD =7，请你直接写出△ADE 的面积．【答案】(1)AB⊥BE，AB=BD+BE；(2)图2中BE=AB+BD，图3中，BD=AB+BE，证明见解析；(3)72或2【分析】(1)首先通过SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案；(2)仿照(1)中证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论；•AD•EB即可求解．(3)首先求出BE的长度，然后利用S△AED=12【详解】解：(1)如图1中，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE，∠CBE=∠A，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，∴∠CBE=∠A=45°，∴ABE=90°，∴AB⊥BE，∵AB=AD+BD，AD=BE，∴AB=BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB=BD+BE．(2)①如图2中，结论：BE=AB+BD．理由：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE，∵AD=AB+BD，AD=BE，∴BE=AB+BD．②如图3中，结论：BD=AB+BE．理由：∵∠ACB =∠DCE =90°，∴∠ACD =∠BCE ，∵CA =CB ，CD =CE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS )∴AD =BE ，∵BD =AB +AD ，AD =BE ，∴BD =AB +BE ．(3)如图2中，∵AB =5，BD =7，∴BE =AD =5+7=12，∵BE ⊥AD ，∴S △AED =12•AD •EB =12×12×12=72．如图3中，∵AB =5，BD =7，∴BE =AD =BD -AB =7-5=2，∵BE ⊥AD ，∴S △AED =12•AD •EB =12×2×2=2．【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键．【变式训练】2(2023秋·湖南长沙·八年级长沙市湘郡培粹实验中学校考开学考试)【问题初探】△ABC 和△DBE 是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板(1)当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时，D 、B ，C 在同一直线上，连接AD 、CE ，请证明：AD =CE【类比探究】(2)当三角板ABC 保持不动时，将三角板DBE 绕点B 顺时针旋转到如图(2)所示的位置，判断AD 与CE 的数量关系和位置关系，并说明理由．【拓展延伸】如图(3)，在四边形ABCD 中，∠BAD =90°,AB =AD ,BC =34CD ，连接AC ，BD ，∠ACD =45°，A 到直线CD 的距离为7，请求出△BCD 的面积．【答案】(1)见解析；(2)AD =CE ，AD ⊥CE ；(3)24【分析】(1)由等腰直角三角形的性质判断出△DBA ≅△EBC 即可得出结论；(2)先证明△DBA ≅△EBC 得到AD =CE ，∠ADB =∠CEB ，再延长AD 与CE 交于点O ，证明∠ODE +∠OED =90°即可得到AD ⊥CE ；(3)过A 作AC ⊥AM 交CD 延长线于M ，可证得△ABC ≅△ADM ，可得BC =DM ，再由CM =14求出BC 和CD 的长即可．【详解】(1)∵△ABC 和△DBE 是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板，∴∠DBE=∠ABC=90°，AB=BC，BD=BE，∴△DBA≅△EBC SAS，∴AD=CE；(2)AD=CE，AD⊥CE，理由如下：∵∠DBE=∠ABC=90°，∴∠DBA=∠BCE=90°-∠DBC，∵AB=BC，BD=BE，∴△DBA≅△EBC SAS，∴AD=CE，∠ADB=∠CEB，延长AD与CE交于点O，∵∠BDE+∠BED=90°，∴∠BDE+∠BEC+∠CED=90°，∴∠BDE+∠ADB+∠CED=90°，∴∠ODE+∠OED=90°，∴∠O=90°，∴AD⊥CE；(3)过A作AC⊥AM交CD延长线于M，过A作AN⊥CD交CD于N，∵∠ACD=45°，∴∠ACD=∠M=45°，∴AC=AM，∵∠BAD=90°,AB=AD∴∠BAC=∠DAM=90°-∠DAC，∴△ABC≅△ADM SAS，∴BC=DM，∠ACB=∠M=45°，∴∠ACD=∠ACB+∠ACD=90°，∵A到直线CD的距离为7，∴AN=7，∵AC=AM，∴CM=2AN=14，∵BC=34CD，CM=BC+DM=BC+CD，∴BC=6，CD=8，∴S△BCD=12BC⋅CD=12×6×8=24．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判断方法，解本题的关键是判断出△DBA≅△EBC SAS，是一道难度不大的中考常考题．3(2023·全国·九年级专题练习)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．易证得EF=BE+FD．大致证明思路：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，由∠HBE=180°可得H、B、E三点共线，∠HAE=∠EAF=45°，进而可证明△AEH≌△AEF，故EF=BE+DF．任务：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A为顶点的∠EAF=60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF=BE+ DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【答案】成立，见解析【分析】根据旋转的性质得到△ABM≌△ADF，∠ABM=∠D=90°，∠MAB=∠FAD，AM=AF，MB =DF，推出M、B、E三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：成立．证明：将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM，∴△ABM≌△ADF，∠ABM=∠D=90°，∠MAB=∠FAD，AM=AF，MB=DF，∴∠MBE=∠ABM+∠ABE=180°，∴M、B、E三点共线，∴∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=60°，∴∠MAE=∠FAE，∵AE=AE，AM=AF，∴△MAE≌△FAE(SAS)，∴ME=EF，∴EF=ME=MB+BE=DF+BE．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．4(2023·山西大同·校联考模拟预测)综合与实践课上，李老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动．数学兴趣小组将两块大小不同的等腰直角三角形AOB和等腰直角三角形COD按图1的方式摆放，∠AOB=∠COD=90°，随后保持△AOB不动，将△COD绕点O按逆时针方向旋转α0°<α<90°，连接BC,AD，延长BC交AD于点M．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：,【初步探究】(1)如图1，直接写出线段BC和AD的关系：．(2)如图2，当CD∥BO时，则α=．【深入探究】(3)如图3，当0°<α<90°时，连接OM，兴趣小组认为不仅(1)中的结论仍然成立，而且在△COD旋转过程中,∠CMO的度数不发生变化，请给出推理过程并求出∠CMO的度数．【拓展延伸】(4)如图3，试探究线段AM,BM,OM，之间是否存在某种特定的数量关系，若存在，直接写出数量关系式；若不存在，请说明理由．【答案】(1)BC=AD,BC⊥AD；(2)45°；(3)见解析，45°；(4)存在，BM=AM+2OM【分析】(1)由条件根据三角形全等判定定理SAS得△BOC≌△AOD，可证；(2)利用平行的性质．两线平行，内错角相等，结合条件易得α=45°；(3)类比上面思路，通过构建三角形全等△BON≌△AOM推出ON=OM，进而易得∠COM=45°，(4)根据(3)的结论，推导出△NOM是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质，化简即可得到答案．【详解】(1)由题意得，AO=BO，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，∴△BOC≌△AOD SAS，∴BC=AD，∠CBO=∠DAO，在Rt△AOD中，∠DOA+∠ADO=90°，∴∠CBO+∠ADO=90°，∴∠BMD=90°，即BC⊥AD，故答案为：BC=AD,BC⊥AD.(2)∵∠OCD=∠ODC=45°，CD∥BO，∴∠COB=∠OCD=45°，又∠AOB=90°，∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=45°,即α=45°，故答案为：45°.(3)如图，过O点作NO⊥OM，交MB于N点，由(1)易知△BOC≌△AOD SAS，∴∠CBO=∠DAO，∵∠BON+∠NOA=∠NOA+∠AOM，∴∠BON=∠AOM，又AO=BO，易得△BON≌△AOM ASA，∴ON=OM，又∵NO⊥OM，∴∠BMO=45°，即∠CMO=45°；(4)存在，BM=AM+2OM，理由如下：由(3)可知，△BON≌△AOM(ASA)，∴BN=AM，∵△NOM是等腰直角三角形，OM=ON∴MN=ON2+OM2=2OM，∴BM=BN+MN=AM+2OM．【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出相应的辅助线以及确定全等三角形．【模型七倍长中线模型】1(2023春·全国·七年级专题练习)[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在ΔABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连结BE，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其理由是什么？(2)AD的取值范围是什么？[感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和结论转化到一个三角形中．[问题解决](3)如图3，AD是ΔABC的中线，BE交AC于点F，且AE=EF，试说明AC=BF．【答案】(1)见解析(2)1<AD<7(3)见解析【分析】(1)根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出ΔADC和ΔEDB全等即可；(2)根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6<2AD<8+6，求出即。
(完整版)小学数学常见几何模型典型例题及解题思路
小学数学常见几何模型典型例题及解题思路（1）巧求面积常用方法：直接求；整体减空白；不规则转规则（平移、旋转等）；模型（鸟头、蝴蝶、漏斗等模型）；差不变1、ABCG 是边长为12厘米的正方形，右上角是一个边长为6厘米的正方形FGDE ，求阴影部分的面积。
答案：72AHFECB I DG思路：1）直接求，但是阴影部分的三角形和四边形面积都无法直接求；2）整体减空白。
关键在于如何找到整体，发现梯形BCEF 可求，且空白分别两个矩形面积的一半。
2、在长方形ABCD 中，BE=5，EC=4，CF=4，FD=1。
△AEF 的面积是多少？答案：20ADB FCE思路：1）直接求，无法直接求；2）由于知道了各个边的数据，因此空白部分的面积都可求3、如图所示的长方形中，E 、F 分别是AD 和DC 的中点。
（1）如果已知AB=10厘米，BC=6厘米，那么阴影部分面积是多少平方厘米？答案：22.5（2）如果已知长方形ABCD 的面积是64平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？答案：24B CD FE思路（1）直接求，无法直接求；2）已经知道了各个边的数据，因此可以求出空白的位置；3）也可以利用鸟头模型4、正方形ABCD 边长是6厘米，△AFD （甲）是正方形的一部分，△CEF （乙）的面积比△AFD （甲）大6平方厘米。
请问CE 的长是多少厘米。
答案：8ABD CF思路：差不变5、把长为15厘米，宽为12厘米的长方形，分割成4个三角形，其面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，且S 1=S 2=S 3+S 4。
求S 4。
答案：10DCEF S 1S 2S 3S 4思路：求S4需要知道FC 和EC 的长度；FC 不能直接求，但是DF 可求，DF 可以由三分之一矩形面积S1÷AD ×2得到，同理EC 也求。
最后一句三角形面积公式得到结果。
6、长方形ABCD 内的阴影部分面积之和为70，AB=8，AD=15。
初中物理模型法解题——二力平衡模型
初中物理模型法解题————二力平衡模型【模型概述】二力平衡：物体在几个力的作用下保持静止状态或匀速直线运动状态，我们就说这几个力平衡，这时物体处于平衡状态。
如果作用在物体上的力只有两个，且物体处于平衡状态，那么这两个力相互平衡，简称二力平衡。
模型构建：【知识链接】二力平衡的条件：作用在同一物体上的两个力,如果大小相等、方向相反，并且在同一条直线上，这两个力就彼此平衡 。
四个条件可归纳为“同物、等大、反向、共线”。
二力平衡的应用（1）根据物体处于平衡状态，判断物体受力的大小和方向。
（2）根据物体的受力情况，判断物体的运动状态。
【例题1】在探究“二力平衡的条件”的实验中，小刚同学采用的实验装置如图甲所示，小华同学采用的实验装置如图乙所示．（1）当物体处于静止状态或___________状态时，它受到的力是相互平衡的．（2）这两个实验装置中，你认为装置____（选填“甲”或“乙”）更科学．（3）在装置以中将小车旋转一定角度，松手后，发现小车旋转后又恢复原状．这说明两个力必须作用在同一_____（选填“物体”或“直线”）上，物体才能平衡。
【解题思路】（1）静止的物体和匀速直线运动的物体受到平衡力的作用；（2）探究水平方向拉力的大小关系时，尽可能减小摩擦力对实验过程的影响；（3）掌握二力平衡条件：作用在同一物体上，大小相等、方向相反、作用在同一直线上；根据实验操作及现象判断哪个条件发生了变化。
【答案】（1）匀速直线运动；（2）乙；（3）直线。
【解析】（1）物体处于静止状态或匀速直线运动状态时，物体受到平衡力的作用。
（2）乙装置更合理，小车与桌面间属于滚动摩擦，比滑动摩擦小得多；（3）用手将木块扭转一个角度，这样两个力不在同一直线上，木块将无法在这个位置平衡，说明两个力必须满足两个力在一条直线上。
【变式练习】如图所示，放手后纸片不能保持静止，这样的操作是为了探究物体在平衡状态下所受的两个力（）A．大小是否相等B．方向是否相反C．是否作用在同一物体上D．是否作用在同一直线上【解题思路】平衡力满足的条件是：“同一物体”、“大小相等”、“方向相反”、“在同一直线上”。
初中几何43模型解题 模型【04】 笔尖型(附解析)
模型【04】笔尖型【模型分析】模型二“铅笔”模型点P 在EF 右侧，在AB 、CD 部“铅笔”模型结论1：若AB ∥CD ，则∠P +∠AEP +∠PFC =360°结论2：若∠P +∠AEP +∠PFC =360°，则AB ∥CD 【经典例题】例1．（2020·广西钦州市·七年级期末）如图，已知//AB DE ，则123∠+∠+∠的度数是（）A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒【分析】由题意过点C 作CF //AB ，可得CF //ED ，进而利用平行线性质进行分析计算即可【解析】过点C 作CF //AB ，∵CF //AB ，//AB DE ，∴CF //ED ，∴∠1+∠ACF =180°，∠FCD +∠3=180°∵∠2=∠FCD +∠ACF ，∴123∠+∠+∠=∠1+∠ACF +∠FCD +∠3=180°+180°=360°，选C【小结】本题考查平行线的性质，注意掌握两直线平行时，巧妙构造辅助线，熟练运用平行线的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．例2．（2020·山西临汾市·七年级期末）如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了∠+∠+∠+∠的度数是______东西方向的FE段，则B C D E【分析】分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，进而利用同旁内角互补可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小【解析】如图，根据题意可知：AB∥EF分别过点C，D作AB的平行线CG，DH所以AB∥CG∥DH∥EF则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°【小结】考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小．例3．（2020·河北邢台市·八年级月考）如图1，四边形MNBD 为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（BAE AEC ECD ∠∠∠、、），则BAE AEC ECD ∠+∠+∠=__________°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（BAE AEF EFC FCD ∠∠∠∠、、、），则BAE AEF EFC FCD ∠+∠+∠+∠=__________°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（BAE AEF EFG FGC GCD ∠∠∠∠∠、、、、），则BAE AEF EFG FGC GCD ∠+∠+∠+∠+∠=___________°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n 刀，剪出()1n +个角，那么这()1n +个角的和是____________°．【分析】（1）过点E 作EH ∥AB ，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍（2）分别过E 、F 分别作AB 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍（3）分别过E 、F 、G 分别作AB 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍（4）根据前三问个的剪法，剪n 刀，剪出n +1个角，那么这n +1个角的和是180n 度【解析】（1）过E 作EH ∥AB （如图②）∵原四边形是长方形∴AB ∥CD又∵EH ∥AB∴CD ∥EH （平行于同一条直线的两条直线互相平行）∵EH ∥AB∴∠A +∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵CD ∥EH∴∠2+∠C =180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°又∵∠1+∠2=∠AEC∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度【小结】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．【巩固提升】1．（2020·重庆南开中学七年级期末）如图，直线//m n ，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，点A 落在直线m 上，BC 与直线n 交于点D ，若2130∠=︒，则1∠的度数为（）.A ．30°B ．40°C ．50°D ．65°【分析】过点B 作直线//l m ，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案．【解析】如图，过点B 作直线//l m ，∵直线m //n ，//l m ，∴//l n ，∴∠2+∠3=180°，∵∠2=130°，∴∠3=50°，∵∠B =90°，∴∠4=90°-50°=40°，∵//l m ，∴∠1=∠4=40°，选B【小结】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键．2．（2016·浙江杭州市·七年级期中）如图所示，若AB ∥EF ，用含α、β、γ的式子表示x ，应为（）A ．αβγ++B ．βγα+-C ．180αγβ︒--+D ．180αβγ︒++-【分析】过C 作CD ∥AB ，过M 作MN ∥EF ，推出AB ∥CD ∥MN ∥EF ，根据平行线的性质得出α+∠BCD =180°，∠DCM =∠CMN ，∠NMF =γ，求出∠BCD =180°-α，∠DCM =∠CMN =β-γ，即可得出答案．【解析】过C 作CD ∥AB ，过M 作MN ∥EF ，∵AB ∥EF ，∴AB ∥CD ∥MN ∥EF ，∴α+∠BCD =180°，∠DCM =∠CMN ，∠NMF =γ，∴∠BCD =180°-α，∠DCM =∠CMN =β-γ，∴x =∠BCD +∠DCM =180αγβ︒--+，故选：C ．【小结】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．3．（2017·上海长宁区·七年级期末）如图，已知AB CD ∥，那么A E F C ∠+∠+∠+∠=_______度．【分析】分别过E 、F 作AB 的平行线，运用平行线的性质求解．【解析】作EM ∥AB ，FN ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EM ∥FN ∥CD ．∴∠A +∠AEM =180°，∠MEF +∠EFN =180°，∠NFC +∠C =180°，∴∠A +∠AEF +∠EFC +∠C =540°．故答案为540°．【小结】此题考查平行线的性质，解题关键在于作辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系．4．（2020·辽宁大连市·七年级期末）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．数学课上，老师出示了这样—道题：如图1，已知//,AB CD 点,E F 分别在,AB CD 上，,160EP FP ⊥∠=︒．求2∠的度数．同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：小明：“如图2，通过作平行线，发现13,24∠=∠∠=∠，由,EP FP ⊥可求出2∠的度数．”小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得234,∠=∠=∠也能求出2∠的度数．”小华：∵如图4，也能求出2∠的度数．”(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出2∠的度数为_________°；老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：(3)如图，//AB CD ，点,E F 分别在AB CD ，上，FP 平分,,EFD PEF PDF ∠∠=∠若,EPD a ∠=请探究CFE ∠与PEF ∠的数量关系（(用含α的式子表示)，并验证你的结论．【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；（2）过点Р作//PQ AC ，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP ⊥FP 可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案；（3）设,CFE x PEF PDF y ∠=∠=∠=，过点P 作//PQ AB ，根据平行线的性质可得180,BEP EPQ CFE FEB x ∠+∠=︒∠=∠=，PDF DPQ ∠=∠，进而根据角的和差关系即可得答案．（微信公众号：数学三剑客）【解析】（1）由图中虚线可知P Q//AC ，∴小明同学辅助线的做法为过点Р作//PQ AC ，（2）如图2，过点Р作//PQ AC ，∵AB //CD ，∴P Q//AB //CD ，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵EP ⊥FP ，∴∠EPF =∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=60°，∴∠2=30°，（3）如图，设,CFE x PEF PDF y ∠=∠=∠=，过点P 作//PQ AB ，180,BEP EPQ CFE FEB x∴∠+∠=︒∠=∠=//,AB CD //,PQ CD ∴PDF DPQ∴∠=∠DPQ EHF PDF y∴∠=∠=∠=∵CFE FEB x FEP BEP∠=∠==∠+∠()180x y a y ∴=+-+2180x y α∴-=-，即2180CFE PEF a ∠-∠=- ．【小结】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．5．（2020·山西吕梁市·七年级期末）综合探究：已知//AB CD ，点M 、N 分别是AB 、CD 上两点，点G 在AB 、CD 之间，连接MG 、NG ．（1）如图1，若GM GN ⊥，求AMG CNG +∠∠的度数；（2）如图2，若点P 是CD 下方一点，MG 平分BMP ∠，ND 平分GNP ∠，已知40BMG ∠=︒，求MGN MPN ∠+∠的度数．【分析】（1）过G 作//GH AB ，根据平行线的传递性、两直线平行内错角相等解题；（2）过G 作//GK AB ，过点P 作//PQ AB ，根据两直线平行，内错角相等性质解得40MGK BMG ∠=∠=︒，再根据角平分线性质，求得80BMP ∠=︒，最后再用平行线定理解题，证明QPN DNP ∠=∠，进而计算MGN MPN ∠+∠的值即可．【解析】（1）如图1，过G 作//GH AB ，//AB CD ，////GH AB CD∴AMG HGM ∴∠=∠，CNG HGN=∠∠MG NG⊥ 90MGN MGH NCH AMG CNG ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒图1（2）如图2，过G 作//GK AB ，过点P 作//PQ AB 设GND α∠=//GK AB ，//AB CD ，//GK CD∴KGN GND α∴∠=∠=，//GK AB ，40BMG ∠=︒，40MGK BMG ∴∠=∠=︒MG 平分BMP ∠，ND 平分GNP ∠，40GMP BMG ∴∠=∠=︒80BMP ∴∠=︒，//PQ AB ，80MPQ BMP ∴∠=∠=︒ND 平分CNP ∠，DNP GND α∴∠=∠=，//AB CD ，//PQ CD ∴，QPN DNP α∴∠=∠=，40MGN α∴∠=︒+，80MPN α∠=︒-，4080120MGN MPN αα∴∠+∠=︒++︒-=︒图2【小结】本题考查平行线的定理、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．（2020·湖南岳阳市·七年级期末）（1）问题情境：如图1，AB //CD ，∠PAB =120°，∠PCD =130°，求∠APC 的度数．小辰的思路是：如图2，过点P 作PE //AB ，通过平行线性质，可求得∠APC 的度数，请写出具体求解过程．（2）问题迁移：①如图3，AD //BC ，点P 在射线OM 上运动，当点P 在A ，B 两点之间运动时，设∠CPD =∠α，∠ADP =β，∠BCP =∠γ，问：∠α、β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由．②在①的条件下，如果点P 不在A ，B 两点之间运动（点P 与点A ，B ，O 三点不重合），请直接写出∠α、β、∠γ间的数量关系．【分析】（1）过点P 作PE //AB ，可得PE //CD ，所以由平行线的性质可以求得EPA ∠和EPC ∠的度数，进一步可以得到APC ∠的度数；（2）分别过P 作P Q//AD ，则可得P Q//BC ，再由平行线的性质和角的加减运算可以得解．【解析】（1）如图，过点P 作PE //AB ，则由平行线的性质可得PE //CD ，所以：180180PAB EPA PCD EPC ∠+∠=∠+∠= ，，所以180********EPA PAB ∠=-∠=-= ，180********EPC PCD ∠=-∠=-=所以，110APC EPA EPC ∠=∠+∠= ；（2）①αβγ∠=∠+∠，理由如下：如图，过P 作P Q//AD 交DC 于Q ，则由平行线的性质得P Q//BC ，所以：DPQ CPQ βγ∠=∠∠=∠，，∵DPQ CPQ α∠+∠=∠，∴αβγ∠=∠+∠；②分两种情况讨论：第一种情况，P 在射线AM 上，如图，过P 作P Q//AD 交射线DN 于Q ，则由平行线的性质得P Q//BC ，所以：QPD QPC QPC QPD βγαγβ∠=∠∠=∠∠=∠-∠=∠-∠，，；第二种情况，点P 在OB 之间，如图，过P 作P Q//AD 交射线OD 于Q ，则由平行线的性质得P Q//BC ，所以：DPQ CPQ DPC DPQ CPQ βγαβγ∠=∠∠=∠∠=∠=∠-∠=∠-∠，，【小结】本题考查平行线性质的综合应用，在添加辅助线的基础上灵活应用平行线的性质和角的加减运算是解题关键．7．（2020·江苏淮安市·七年级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC 度数．思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；（微信公众号：数学三剑客）小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为°；问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝110°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．【解析】小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°，故答案为：110；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β【小结】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．。