八年级第5讲全等三角形的判定四(全等的综合)

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湘教版八年级数学上册《全等三角形的判定(四)》课件(共11张幻灯片)

D A
C B
∴ △ABC ≌△CDA. (SSS) ∴ ∠B =∠D.
点评：添加辅助线四边形问题转化为三角形问题解决。
问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？
D
在原有条件下，还能推出什么结论？
C
∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC A
B
•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
少有一对元素是边 .
2.要判定△ABC ≌ △ABD,已经具备相等的条件
是
，需添哪两个条件：
. (画图回答
）作业：P87 A 6、7 B 11
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021
•7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
讨论按下面的条件画三角形，画完后小组内交流，
看所画的三角形是否全等。(其它条件不确定） 1）一条边为3cm.
2）三角形的两条边分别为4cm和6cm. 3）三角形的两条边分别为3cm,4cm和6cm.

第5课三角形全等的判定(学生版)八年级数学上册讲义(浙教版)

第5课三角形全等的判定目标导航学习目标1.掌握判定两个三角形全等的方法:“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，会判定两个三角形全等.2.了解三角形的稳定性及其应用.3.掌握线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.4.掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.知识精讲知识点01 三角形全等的判定三角形全等的判定方法：1.三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）3.两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

（简写成“角边角”或“ASA”）4.两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）知识点02 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等知识点03 角平分线的性质角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等能力拓展考点01 三角形全等的判定【典例1】如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（）A．BC＝AD，∠ABC＝∠BAD B．BC＝AD，AC＝BDC．AC＝BD，∠CAB＝∠DBA D．BC＝AD，∠CAB＝∠DBA【即学即练1】如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，△ACE与△ADE全等吗？△ACB与△ADB 呢？请说明理由．考点02 线段垂直平分线的性质【典例2】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△ABC的周长为14，求△BCD的周长．【即学即练2】如图，在△ABC中，AC＝6cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是13cm，则BC的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．13cm考点03 角平分线的性质【典例3】如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．（1）求证：BE＝FD；（2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积．【即学即练3】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm分层提分题组A 基础过关练1．如图，已知AB＝AC，AE＝AD，要利用“SSS”推理得出△ABD≌△ACE，还需要添加的一个条件是（）A．∠B＝∠C B．BD＝CE C．∠BAD＝∠CAE D．以上都不对2．下列选项可用SAS证明△ABC≌△A′B′C′的是（）A．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′B．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′C．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′D．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′3．如图，用∠B＝∠C，∠1＝∠2，直接判定△ABD≌△ACD的理由是（）A．AAS B．SSS C．ASA D．SAS4．如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，下列条件中，能使△ADF≌△CBE的是（）A．∠A＝∠C B．AF＝CE C．AD∥BC D．DF∥BE5．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E在BC的垂直平分线上，若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACE的度数为（）A．48°B．50°C．55°D．60°6．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．求证：（1）AB＝DC；（2）△ABC≌△DCB．7．如图，AF＝CE，AF∥CE，BE＝FD，问△ABF与△CDE全等吗？请说明理由．8．如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠3，∠E＝∠C，AE＝AC，问△ABC≌△ADE吗？请说明理由．题组B 能力提升练9．已知：BD＝CB，AB平分∠DBC，则图中有（）对全等三角形．A．2对B．3对C．4对D．5对10．如图，若∠B＝∠C，下列结论正确的是（）A．△BOE≌△COD B．△ABD≌△ACE C．AE＝AD D．∠AEC＝∠ADB11．用如图所示方法测小河宽度：AB⊥BC，OB＝OC，BC⊥CD，点A，O，D在同一条直线上，量出CD 的长度即知小河AB的宽度．这里判断△AOB≌△DOC的依据是（）A．SAS或SSA B．SAS或ASA C．AAS或SSS D．ASA或AAS12．如图，已知AC＝AD，要使△ABC≌△ABD，还需要添加一个条件，给出下列条件：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③BC＝BD，其中符合要求的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③13．如图，已知AB＝CD，在不添加辅助线的情况下，若再添一个条件就可以证明△ABC≌△CDA，下列条件中符合要求的有（）个．①BC＝AD；②AD∥BC；③∠B＝∠D；④AB∥DC；A．1 B．2 C．3 D．414．如图所示，△EBC≌△DCB，BE的延长线与CD的延长线交于点A，CE与BD相交于点O．则下列结论：①△OEB≌△ODC；②AE＝AD；③BD平分∠ABC，CE平分∠ACB；④OB＝OC，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个15．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（）A．5 B．8 C．10 D．1316．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，请你添加一个条件，使△BEC≌△CDA（填一个即可）．17．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP，若∠BAC＝50°，则∠BPC＝°．18．如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE＝BC，连接DE，若∠ADE＝38°，∠C＝42°，求∠BAD的度数．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，延长BA至F使AF＝AB，连接EF；延长CA至G 使AG＝AC，连接DG，当∠G＝∠F时，猜想线段BD与线段CE的数量关系？并说明理由．题组C 培优拔尖练20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是OABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝62°，则∠BDC的度数为（）A．56°B．60°C．62°D．64°21．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架P ABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，P A⊥AB于A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M，N运动的速度之比3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC 的长为（）A．18cm B．24cm C．18cm或28cm D．18cm或24cm22．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．下列判断正确的有（）①△ABE≌△DCE；②BE＝EC；③BE⊥EC；④2S△AEC＝3S△AEB．A．1个B．2个C．3个D．4个23．如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC＝60°，BE，CD为三角形ABC的角平分线．BE，CD交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝BG；③△BDF≌△CEF；④BC＝BD+CE．其中结论正确的序号有（）A．①②③B．①②④C．②③①D．①③④24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（）A．①②③B．③④C．①④D．①③④25．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，（1）如图1，求∠BDC的度数；（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．26．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．（1）求∠P AD的度数；（2）求证：P是线段CD的中点．。

八年级数学上册《全等三角形》知识点梳理

八年级数学上册《全等三角形》知识点梳理在学习新知识的同时，既要及时跟上老师步伐，也要及时复习巩固，知识点要及时总结，这是做其他练习必备的前提，下面为大家总结了全等三角形知识点梳理，仔细阅读哦。

一、知识网络二、基础知识梳理(一)、基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足：(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形;即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等;3、全等三角形的判定方法(1)三边对应相等的两个三角形全等。

(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上(二)灵活运用定理证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角;去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。

运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

(1)已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)(2)已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)(3)已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)三、疑点、易错点1、对全等三角形书写的错误在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

第五讲 ASA全等三角形的判定

A B C A ’B ’C ’A BC A ’B ’C ’第四讲全等三角形的判定（三）（一）知识要点1、三角形全等的判定三、四：ASA 及AAS两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）。

书写格式：、在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠''''B B B A AB A A ∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（ASA ）知识延伸：“ASA ”中的“S ”必须是两个“A ”所夹的边。

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）。

书写格式：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠''''C A AC B B A A ∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（AAS ）知识延伸：“AAS ”可以看成是“ASA ”的推论。

规律方法小结：由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等。

无论这个一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可。

(二)例题讲解：例1.如图所示，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC, ∠B=∠C. 求证：AD=AE例2.如图，AB ⊥BC, AD ⊥DC, ∠1=∠2. 求证：AB=AD练习：如图所示,点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，AB ∥DF ，AC ∥DE ，AC =DE ，FC 与BE 相等吗？请说明理由.A B C D A ’B ’C ’D ’ 例3．已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．例4：如图，已知△ABC ≌△A ’B ’C ’，AD ，A ’D ’分别是△ABC 和△A ’B ’C ’的边BC 和B ’C ’上的高。

求证：AD=A ’D ’例5．如图，点E 在AC 上，∠1=∠2，∠3=∠4.试证明BE= DE.（三）练习1．如图，已知AB= DC ，AD =BC ，E ，F 是DB 上的两点，且BE=DF.若∠AEB=100º，∠ADB= 30º．则∠BCF= 。

人教版数学八年级上册12.2三角形全等的判定(四)优秀教学案例

2.引导学生运用几何画板、实物模型等进行操作和实践，让学生在活动中体验学习的乐趣。
3.鼓励学生提出问题，培养学生的质疑精神和探索意识。
（四）总结归纳
1.组织学生进行总结，让学生明确三角形全等判定方法之间的联系与区别。
2.强调三角形全等判定方法在实际问题中的应用，提高学生解决问题的能力。
3.对本节课的学习内容进行梳理，加深学生对知识的理解。
2.分配任务，让学生分工合作，完成三角形全等判定方法的探究和实践。
3.鼓励学生分享自己的解题心得，培养学生的表达能力和团队协作精神。
（四）反思与评价
1.引导学生对所学知识进行总结，让学生明确三角形全等判定方法之间的联系与区别。
2.组织学生进行自我评价，让学生认识到自己的优点和不足，激发学生的自我提升意识。
（五）作业小结
1.布置具有代表性的作业，让学生巩固所学知识，提高运用三角形全等判定方法解决问题的能力。
2.要求学生在作业中运用简洁明了的语言，规范的书写格式，培养学生的书写习惯。
3.鼓励学生进行自我检查，发现问题并及时改正，提高学生的自我管理能力。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：本节课通过引入生活中的三角形全例子，如建筑设计、物理实验等，使学生能够直观地感受到三角形全等知识在实际生活中的应用。这种情境的创设不仅激发了学生的学习兴趣，还培养了学生的实践能力。
3.采用多元化的评价方式，如课堂表现、作业完成情况、实践活动成果等，全面评估学生的学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一个有趣的三角形全等问题，如“巧妙的三角板”，让学生思考并尝试解答。
2.引导学生回顾已学的三角形全等判定方法，为新课的学习做好铺垫。
3.提出本节课的学习目标，明确将要学习的ASA、AAS两种三角形全等的判定方法。

全等三角形的判定(HL)(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(学生版) 24-25学年八年级数学上册

专题12.7全等三角形的判定（HL）（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL）（1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.（2）书写格式：如图，在Rt△ABC 和△Rt DEF 中，AB DE AC DF=⎧⎨=⎩ABC DEF ∴∆≅∆（HL）【知识点二】判定两个直角三角形全等的方法判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等.【知识点三】判定两个直角三角形全等的思路（1）已知一条直角边对应相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；（2）已知斜边对应相等，可用判定方法“HL”“AAS”;（3）已知一锐角对应相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】用“HL”证明直角三角形全等【例1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点A 、E 、F 、B 在同一条直线上，CA AB ⊥，DB AB ⊥，AE FB =，CF DE=（1）求证：CAF DBE ≌ ；（2）若25AFC ∠=︒，求D ∠的度数【变式1】如图，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥，若用HL 判定Rt △ABD 和Rt BCD 全等，则需要添加的条件是（）A ．AD CB =B ．AC ∠=∠C ．BD DB =D ．AB CD=【变式2】（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，BD CF =，FD BC ⊥于点D ，DE AB ⊥于点E ，BE CD =，若145AFD ∠=°，则EDF ∠=．【题型2】全等的性质与“HL”综合【例2】（23-24八年级下·山东青岛·期中）已知：如图AD 为ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F 且有BF AC =，ED CD =．（1）问BF 与AC 的数量和位置关系分别是什么？并说明理由．（2）直接写出ABC ∠的度数．【变式1】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，EF AB ⊥于点F ，交AC 于点E ，BC BF =，连接BE 交CD 于点G ．下列结论：①CE EF =；②CG EF =；③BGC AEB ∠=∠．其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式2】（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在ABC 中，M 为边BC 的中点，ME AB ⊥于点E ，MF AC ⊥于点F ，且BE CF =．若25BME ∠=︒，则A ∠=°．【题型3】全等三角形的综合问题【例3】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，ABC 中，AC AB >，D 是BA 延长线上一点，点E 是CAD ∠的平分线上一点，过点E 作EF AC ⊥于F ，EG AD ⊥于G ．（1）求证：EGA EFA ≌△△；（2）若2BEC GEA ∠=∠，3AB =，5AC =，求AF 的长．【变式1】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，EB 交AC 于点M ，交FC 于点D ，90E F ∠=∠=︒，B C ∠=∠，AE AF =，给出下列结论：12∠=∠①；②BE CF =；③ACN ABM ≌；CD DN =④，其中正确的有（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，ABC 中，AH BC ⊥，BF 平分ABC ∠，BE BF ⊥，EF BC ∥，以下四个结论：①AH EF ⊥，②ABF EFB ∠=∠，③AF BE =，④E ABE ∠=∠．正确的是．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·陕西·中考真题）如图，在ABC 中，50B ∠=︒，20C ∠=︒．过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，延长EA 至点D ．使AD AC =．在边AC 上截取AF AB =，连接DF ．求证：DF CB =．【例2】（2023·山东·中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A B C D E ，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段,AB CD 交于点F ，若CFB α∠=，则ABE ∠等于（）A ．180α︒-B ．1802α︒-C ．90α︒+D ．902α︒+2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，从点O 引射线OM ，ON ，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，点C 为平面内一点，连接AC ，BC ，有ACB O ∠=∠．（1）如图1，若AO BC ∥，则AC 和ON 的位置关系是______；（2）如图2，若ABC ABO ∠=∠，AC OM ⊥，请求出CBD ∠和O ∠的度数的等量关系式；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OM ∥交射线ON 于点D ，当8CDN CBD ∠=∠时，求ABC ∠的度数．【例2】（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形ABCD 中，120AB AD BAD =∠=︒，，90ABC ADC ∠=∠=︒，且60EAF ∠=︒，求证：EF BE FD =+．（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E F 、分别是BC CD 、上的点，且12EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立？请说明理由．。

三角形全等的判定(第四课时)教学课件(共19张PPT)初中数学人教版八年级上册

【总结】斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
A
几何语言：由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的
思路吗？在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
B
C
AB = A′B′，
A′
BC = B′C′，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）．
谢谢观看
∴ Rt ABE≌Rt BCDHL .
练习 5 如图，点 B、C、E、F 在同一直线上， BE CF，AC BC 于点 C， DF EF 于点 F， AB DE ，求证： AB∥DE .
证明：∵ AC BC，DF EF ，
∴ ACB DFE 90 ，
∵ BE CF ，∴ BE CE CF CE ，
证明： DE AB ， DF AC ，
BED CFD 90，
D 是 BC 上的中点，BD CD ，
在
Rt△BED
和
Rt△CFD
中，
BD DE
CD DF
Rt△BED≌Rt△CFD(HL) ，B C .
斜边、直角边（HL）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）
SSS、AAS、ASA、SAS适用于一般三角形； HL只适用于直角三角形.
D A
C B
已知
一般三角形
三边两边一角
两角一边
方法 SSS
SAS
ASA AAS
直角三
两边
HL SAS
角形
一边一角
ASA AAS
特别说明
其中角为两边的夹角对于两个三角形只需有两个角和一边
对应相等则其全等两边可以为斜边和直角边，或两直角边

12.2.4全等三角形的判定(第4课时HL)八年级数学上册(人教版)

情境引入
人教版数学八年级上册
上节课我们学习了什么方法可以判定两个三角形全等？三条边分别相等的三角形全等（SSS）．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）除了上面的方法，还有其他方法能判定两个三角形全等吗？我们继续探索三角形全等的条件.
D FE
A
B
课堂检测
人教版数学八年级上册
2.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速
度分别沿着两条直线行走，并同时到达D，E两地.DA⊥AB，
EB⊥AB.D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？
解：相等，理由如下：AC=BC.
∵同时出发，同时到达，且速度相同，
∴AE=DF∥CD．
AC=A′C′， BC=B′C′，
B┐
C
A′
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）.
提醒：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两
个三角形符号前面要加上“Rt”.
┐
B′
C′
典例精析
人教版数学八年级上册
例1：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.
求证：BC=AD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
1.如图，AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，且AE=DF， AB=DC，求证：∠ABC=∠DCB.
证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴在Rt△ABE和Rt△DCF中， AE=DF AB=CD ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL) ∴∠ABC=∠DCB．
小试牛刀
人教版数学八年级上册
2.已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，求证：BC=DC．证明：连接AC.

八年级数学上册教学课件《三角形全等的判定(第4课时)》

证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∠ABE＝∠CBF＝90°， ∵AB＝CB，AE＝CF , ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
探究新知
12.2 三角形全等的判定
例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝ AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF. 即BC＝BE.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BFA=∠DEC43;EF=CF+EF.即AF=CE.
A
E
F C
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
D
AB=CD,
AF=CE. ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). ∴BF=DE.
课堂检测
12.2 三角形全等的判定
拓广探索题
如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
B
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
AB=A′B′,
A
C
B′
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
A′
C′
探究新知
12.2 三角形全等的判定
判一判
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画
“×”，全等的注明理由：
探究新知 B
A E
D
12.2 三角形全等的判定
想一想

八年级数学上册《三角形全等的判定和性质综合应用》教案、教学设计

4.归纳总结：培养学生从个别到一般、从具体到抽象的思维能力，提高学生的概括和总结能力。
（三）情感态度与价值观
1.积极主动：使学生树立积极主动的学习态度，养成良好的学习习惯，不断提高学习效率；
2.勇于探索：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，使学生在面对困难和挑战时，能够保持积极向上的心态；
3.知识尊重：教育学生尊重知识、尊重科学，遵循客观规律，树立正确的价值观；
4.作业要求：
-学生在完成作业时，要注意书写规范，保持解答过程的简洁和清晰；
-对于提高作业和拓展作业，学生可以充分利用课余时间，进行小组合作、讨论交流，共同完成任务；
-教师将对学生的作业进行认真批改，并及时给予反馈，帮助学生发现和纠正错误。
5.作业评价：
-评价作业时，注重学生的思考过程和参与程度，鼓励创新思维和团队合作；
-提供丰富的习题和案例分析，帮助学生巩固知识，提高解题能力；
-建议学生使用几何画板等软件，进行自主探索和实验，加深对几何知识的理解。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
-通过展示生活中全等三角形的实例，如建筑物的三角结构、拼图游戏等，引发学生对三角形全等的思考；
-提问：“同学们，你们在生活中遇到过全等三角形吗？它们有什么特点？”让学生分享自己的观察和发现。
4.部分学生对团队合作、交流分享的学习方式还不够熟悉，教师需在教学过程中加强引导和培养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.教学重点：
-理解并掌握三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）；
-能够运用三角形全等的判定方法解决实际问题；
-培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
在教学过程中，教师应注重引导学生通过自主探究、合作交流、实践操作等学习方法，培养以下过程与方法：

全等三角形的判定-2021-2022学年八年级数学上学期期中期末考试满分全攻略(人教版)解析版

第05讲全等三角形的判定考点定位精讲讲练一.全等三角形的判定三角形全等判定方法1：文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；图形：符号：在ABC ∆与'''A B C ∆中，''''''(..)''AB A B A A ABC A B C S A S AC A C =⎧⎪∠=∠∴∆∆⎨⎪=⎩≌三角形全等判定方法2：文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等；图形：C'B'A'C B A符号：在ABC ∆与'''A B C ∆中，''''''(..)'A A AB A B ABC A B C A S A B B ∠=∠⎧⎪=∴∆∆⎨⎪∠=∠⎩≌三角形全等判定方法3：文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；图形：符号：在ABC ∆与'''A B C ∆中，'''''(..)''A A B B ABC A B C A A S BC B C ∠=∠⎧⎪∠=∠∴∆∆⎨⎪=⎩≌三角形全等判定方法4：文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.图形：符号：在ABC ∆与'''A B C ∆中，'''''''(..)''AB A B AC A C ABC A B C S S S BC B C =⎧⎪=∴∆∆⎨⎪=⎩≌ 直角三角形全等的判定：图形定理符号C'B'A'C B A C'B'A'C B A C'B'A'C B A如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L）在'''Rt ABC Rt A B C ∆∆与中，'',''AC A C AB A B ==，'''(.)Rt ABC Rt A B C H L ∴∆∆≌ 二、证题的思路（难点）考点一：利用SAS 判断两个三角形全等典例1（2020惠州市期末）如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边 AB 、CD 上的一点，且DF ＝BE .求证：AF=CE .【答案】证明见解析【分析】由SAS 证明△ADF ≌△CBE ，即可得出AF ＝CE ．【详解】C'B'A'C B A证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°，AD ＝BC ，在△ADF 和△CBE 中，AD BC D B DF BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△CBE （SAS ），∴AF ＝CE ．变式1-1（2018·丹江口市期末）如图，点E,F 在AB 上，,,AD BC A B AE BF =∠=∠=. 求证：ADF BCE ∆≅∆.【分析】先将转化为AF ＝BE ，再利用证明两个三角形全等.【详解】证明：因为AE ＝BF ，所以，AE ＋EF ＝BF ＋EF ，即AF ＝BE ，在△ADF 和△BCE 中，AD BC A B AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以，ADF BCE ∆≅∆变式1-2（2019·武汉市期中）已知：如图，点C 为AB 中点，CD=BE ，CD ∥BE.求证:△ACD ≌△CBE.【答案】证明见解析.【解析】证明：∵CD ∥BE ，∴∠ACD=∠ B..∵点C 为AB 中点，∴AC=CB.又∵CD=BE ，∴△ACD ≌△CBE （SAS ）变式1-3（2019·兰州市期末）如图，△ABC 中，AB=AC ，点E ，F 在边BC 上，BE=CF ，点D 在AF 的延长线上，AD=AC ，（1）求证：△ABE ≌△ACF ；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．【答案】（1）证明见解析；（2）75．【分析】（1）根据等边对等角可得∠B=∠ACF ，然后利用SAS 证明△ABE ≌△ACF 即可；（2）根据△ABE ≌△ACF ，可得∠CAF=∠BAE=30°，再根据AD=AC ，利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC 的度数.【详解】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠ACF ，在△ABE 和△ACF 中，AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACF （SAS ）；（2）∵△ABE ≌△ACF ，∠BAE=30°，∴∠CAF=∠BAE=30°，∵AD=AC ，∴∠ADC=∠ACD ，∴∠ADC=280013︒-︒=75°，故答案为75．考点二：利用ASA 判断两个三角形全等典例2（2019·玉林市期中）如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在 AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O ．求证：△AEC ≌△BED ；【分析】根据全等三角形的判定即可判断△AEC ≌△BED ；【详解】∵AE 和BD 相交于点O ，∴∠AOD=∠BOE ．在△AOD 和△BOE 中，∠A=∠B ，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO ，∴∠AEC=∠BED ．在△AEC 和△BED 中，A B AE BEAEC BED ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△AEC ≌△BED （ASA ）．变式2-1（2018·楚雄州期末）如图，完成下列推理过程：如图所示，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于F ，若∠1＝∠3，∠E＝∠C ，AE ＝AC ，求证：△ABC ≌△ADE.证明：∵∠E＝∠C （已知），∠AFE＝∠DFC（）,∴∠2=∠3（）,又∵∠1＝∠3（）,∴∠1=∠2（等量代换），∴__________+∠DAC=__________+∠DAC（）, 即∠BAC=∠DAE,在△ABC和△ADE 中∵()()()E CAE ACBAC DAE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已知已知已证∴△ABC≌△ADE（）.【答案】对顶角相等；三角形内角和定理；已知；∠1；∠2；等式的性质；ASA 【详解】解：∵∠E=∠C （已知），∠AFE=∠DFC （对顶角相等），∴∠2=∠3（三角形内角和定理）．又∵∠1=∠3（已知），∴∠1=∠2（等量代换），∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC （等式的性质），即∠BAC=∠DAE ．在△ABC和△ADE 中，∵E CAE ACBAC DAE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已知）（已知）（已证），∴△ABC≌△ADE（ASA ）．变式2-2（2019·德州市期末）如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：BD＝CE.【答案】见解析.【分析】先求出∠CAE＝∠BAD再利用ASA证明△ABD≌△ACE，即可解答【详解】∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD.又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE(ASA).∴BD＝CE.考点三：利用AAS判断两个三角形全等典例3（2019·黄石市期中）如图，在ABCD中，经过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）求证：四边形AFCE是平行四边形．【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD＝BC，∠CBF＝∠ADE，再根据垂线的性质可得∠CFB＝∠AED＝90°，再根据全等三角形的判定（角角边）来证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得AE＝CF，再由AE⊥BD，CF⊥BD可得AE∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠CBF＝∠ADE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠CFB＝∠AED＝90°，∴△AED≌△CFB（AAS）．（2）证明：∵△AED≌△CFB，∴AE＝CF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形．变式3-1（2019·兴义市期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）112.5°．【分析】()1根据同角的余角相等可得到24=，可证∠=∠，再加上BC CE∠=∠，结合条件BAC D得结论；()2根据90D∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质得到，，得到145∠=︒=ACD AC CDDEC∠=︒-∠=︒．∠=∠=︒，由平角的定义得到1805112.53567.5【详解】()1证明：90BCE ACD ∠=∠=︒， 2334，∴∠+∠=∠+∠ 24∴∠=∠，在△ABC 和△DEC 中，24BAC D BC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEC (AAS )，AC CD ∴=；（2）∵∠ACD ＝90°，AC ＝CD ，∴∠1＝∠D ＝45°，∵AE ＝AC ，∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC ＝180°－∠5＝112.5°．变式3-2（2019·温州市期中）如图，已知A ，F ，E ，C 在同一直线上，//AB CD ，ABE CDF ∠=∠，AF CE =.试说明：ABE CDF ∆≅∆.【答案】见解析；【分析】由AB ∥CD 可得∠BAC =∠DCA ，由AF =CE 可得AE =CF ，由AAS 可得△ABE ≌△CDF ．【详解】证明∵AB CD ∕∕，∴BAC ACD ∠=∠∵AF CE =，∴AF EF CE EF +=+，即AE FC =.在ABE ∆和CDF ∆中，BAC ACD ABE CDF AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE CDF ∆∆≌（AAS ）考点四：利用SSS 判断两个三角形全等典例4（2019·德州市期中）已知：如图，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ．求证：DE ＝DF ．【分析】连接AD ，利用“边边边”证明△ABD 和△ACD 全等，再根据全等三角形对应边上的高相等证明．【详解】证明：如图，连接AD ，在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF （全等三角形对应边上的高相等）．变式4-1（2019·阳泉市期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上，求证：∠1＝∠ 2.【答案】证明见详解【分析】由AB=AC,AD=AD,BD=CD,可证得△ABD ≌△ACD,得到∠BAE=∠CAE,再证明△ABE ≌△ACE,即可得到结论.【详解】证明:∵AB=AC,AD=AD,BD=CD,在△ABD 和△ACD 中,AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD, ∠BAE=∠CAE,在△ABE 和△ACE 中, ,AB AC BAE CAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ACE∴∠1=∠ 2.变式4-2（2019·鄂州市期中）如图，点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AD=CF ，AB=DE ，BC=EF.(1)求证：ΔABC ≌△DEF ；(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F 的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）37° 【解析】（1）∵AC=AD+DC ， DF=DC+CF ，且AD=CF∴AC=DF在△ABC 和△DEF 中，AB DE BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SSS ）（2）由（1）可知，∠F=∠ACB∵∠A=55°，∠B=88°∴∠ACB=180°－（∠A+∠B ）=180°－（55°+88°）=37°∴∠F=∠ACB=37°变式4-3（2020·石家庄市期末）如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上（F ，C 之间不能直接测量），点A ，D 在l 异侧，测得AB=DE ，AC=DF ，BF=EC ．（1）求证：△ABC ≌△DEF ；（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）∠ABC=∠DEF ，∠ACB=∠DFE,理由见解析. 【解析】（1）证明：∵BF=EC ，∴BF+CF=CF+CE ，∴BC="EF"∵AB=DE ，AC="DF"∴△ABC ≌△DEF （SSS ）（2）AB ∥DE,AC ∥DF,理由如下，∵△ABC ≌△DEF ，∴∠ABC=∠DEF ，∠ACB=∠DFE,∴AB ∥DE,AC ∥DF.考点五：利用HL 判断两个直角三角形全等典例5（2019·云龙县期中）已知：如图，AC=BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD=BC【分析】连接CD ，利用HL 定理得出Rt △ADC ≌Rt △BCD 进而得出答案．【详解】证明：如图，连接CD ，∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD ，∴∠A=∠B=90°，在Rt △ADC 和Rt △BCD 中CD CD AC BD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADC ≌Rt △BCD （HL ），∴AD=BC ．变式5-1（2019·开封市期中）已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF =．求证：（1）AF CE =；（2）AB CD ∥．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DEC=∠BFA=90°，推出Rt △DCE ≌Rt △BFA （HL ），由全等三角形的性质即可得到结论.（2）根据全等三角形的性质得到∠C=∠A ，根据平行线的判定即可得到AB ∥CD.【详解】证明： ∵ DE ⊥ AC ， BF ⊥ AC∴ ∠DEC=∠BFA=90°在Rt △ DEC 和Rt △ BFA 中AB=CD DE=BF∴ Rt △ DCE ≌Rt △ BFA （HL ）∴ AF=CE∴ ∠C=∠A∴ AB ∥ CD变式5-2（2018·开封市期末）如图，D 、C 、F 、B 四点在一条直线上，AB DE =，AC BD ⊥，EF BD ⊥，垂足分别为点C 、点F ，CD BF =．求证：（1）ABC EDF ∆≅∆；（2）//AB DE ．【分析】（1）由垂直的定义，结合题目已知条件可利用HL 证得结论；（2）由（1）中结论可得到∠D ＝∠B ，则可证得结论．【详解】证明：（1）∵AC BD ⊥，EF BD ⊥，∴ABC ∆和EDF ∆为直角三角形，∵CD BF =，∴CF BF CF CD +=+，即BC DF =，在Rt ABC ∆和Rt EDF ∆中，AB DE BC DF=⎧⎨=⎩， ∴()Rt ABC Rt EDF HL ∆≅∆；（2）由（1）可知ABC EDF ∆≅∆，∴B D ∠∠=，∴//AB DE ．考点六：三角形全等判定的综合典例6（2019·保定市期末）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙【答案】B【解析】乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；故选B．变式6-1（2019·武汉市期中）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D【答案】C试题分析：根据全等三角形的判定方法分别进行判定：A、已知AB=DE，加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB=DE，加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；D、已知AB=DE，加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意．故选C．变式6-2（2020·杭州市期末）如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是（）A．∠D＝∠C，∠BAD＝∠ABC B．∠BAD＝∠ABC，∠ABD＝∠BACC．BD＝AC，∠BAD＝∠ABC D．AD＝BC，BD＝AC【答案】C【解析】解：A、符合AAS，能判断△ABD≌△BAC；B、符合ASA，能判断△ABD≌△BAC；C、符合SSA，不能判断△ABD≌△BAC；D、符合SSS，能判断△ABD≌△BAC．所以根据全等三角形的判定方C、满足SSA不能判断两个三角形全等．故选C．变式6-3（2018·虹桥区期中）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）.A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC【答案】D【分析】两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形．解答：【详解】分析：∵AD=AD，A 、当BD=DC ，AB=AC 时，利用SSS 证明△ABD ≌△ACD ，正确；B 、当∠ADB=∠ADC ，BD=DC 时，利用SAS 证明△ABD ≌△ACD ，正确；C 、当∠B=∠C ，∠BAD=∠CAD 时，利用AAS 证明△ABD ≌△ACD ，正确；D 、当∠B=∠C ，BD=DC 时，符合SSA 的位置关系，不能证明△ABD ≌△ACD ，错误．故选D ．一、单选题1．（2021·全国八年级课时练习）如图，点B 在AE 上，CAB DAB ∠=∠，要通过“ASA ”判定ABC ABD △≌△，可补充的一个条件是（）A ．CBA DBA ∠=∠B ．ACB ADB ∠=∠C ．AC AD = D ．BC BD =【答案】 A 【分析】根据“ASA ”的判定方法添加条件即可．【详解】解：在△ABC 与△ABD 中，CAB DAB AB ABCBA DBA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△ABD （ASA ），故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．2．（2021·全国八年级课时练习）下列一定能使△ABC ≌△DEF 成立的是（）A ．两边对应相等B ．面积相等C ．三边对应相等D ．周长相等【答案】 C 【分析】根据全等三角形的判定方法，分析、判断即可．【详解】解：A 、两边对应相等，不能使△ABC ≌△DEF 成立，该选项不符合题意；B 、面积相等，不能使△ABC ≌△DEF 成立，该选项不符合题意；C 、三边对应相等，根据SSS 即可证明△ABC ≌△DEF ，该选项符合题意；D 、周长相等，不能使△ABC ≌△DEF 成立，该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等．3．（2021·福建八年级期中）如图，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，CD 、BE 相交于点O ，已知CD BE =．现在添加以下一个条件能判断ABE ACD △≌△的是（）A ．AB AC =B ．AE AD =C ．B C ∠=∠D ．BD CE =【答案】C 【分析】由已知条件CD BE =、∠A =∠A ，结合各选项条件分别依据“AAS 、ASA 、SSA 、SAS ”，逐一作出判断即可得，其中SSA 不能任意判定三角形全等．【详解】解：A ．由CD =BE 、∠A =∠A 、AB =AC 不能判定△ABE ≌△ACD ，此选项不符合题意； B ．由CD =BE 、∠A =∠A 、AE AD =不能判定△ABE ≌△ACD ，此选项不符合题意； C ．由CD =BE 、∠A =∠A 、B C ∠=∠可依据“AAS ”△ABE ≌△ACD ，此选项符合题意； D ．由CD =BE 、∠A =∠A 、BD CE =不能判定△ABE ≌△ACD ，此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．4．（2021·香河县第九中学八年级期中）如图，已知：12∠=∠，要证明ABC AED ≌△△，还需补充的条件是（）A ．,AB AE BC DE ==B ．,AB AE AC AD == C ．,AC AE BC DE==D ．以上都不对【答案】B 【分析】首先证明∠BAC =∠1+∠DAC =∠ADC +∠2=∠EAD ，然后根据全等三角形的判定条件进行判断即可．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠BAC =∠1+∠DAC =∠ADC +∠2=∠EAD ，当AB =AE ，BC =DE 时，“SSA ”不能判定△ABC ≌△AED ，故A 选项不符合题意；当AB =AE ，AC =AD 时，可以用“SAS ”判定△ABC ≌△AED ，故B 选项符合题意；当AC =AE ，BC =DE 时，“SSA ”不能判定△ABC ≌△AED ，故C 选项不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定条件．5．（2021·江苏苏州市·苏州草桥中学八年级开学考试）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图所示，在AOB ∠的两边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分与M ，N 重合，过角尺顶点C 的射线OC 即是AOB ∠的平分线．画法中用到三角形全等的判定方法是（）．A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．HL【答案】 A 【分析】由三边相等得COM CON ≅，即由SSS 判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．【详解】解：由图可知，CM CN =，又OM ON =，在MCO 和NCO 中，MO NO CO CO NC MC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()COM CON SSS ∴≅，AOC BOC ∠=∠∴，即OC 是AOB ∠的平分线．故选 A.【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．6．（2021·龙口市教学研究室八年级期中）如图，经过平行四边形ABCD 的对角线AC 中点的直线分别交边CB ，AD 的延长线于E ，F ，则图中全等三角形的对数是（）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对【答案】 C 【分析】根据已知条件及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【详解】：四边形ABCD 为平行四边形，EF 经过AC 的中点，AB CD ∴=，AD BC =，AO CO =，AOE COF ∠=∠，F E ∠=∠，又AOF COE ∠=∠，AOE COF ∠=∠，BAF DCE ∠=∠，()∴∆≅∆AOH COG ASA ，()∆≅∆AOF COE ASA ，()FDG EBH ASA ∆≅∆，()ABC CDA SSS ∆≅∆，()∆≅∆AFH CEG ASA ．故图中的全等三角形共有5对．故选:C【点睛】此题主要考查全等三角形的判定方法，常用的判定方法有AAS ，SAS ，SSS ，ASA 等．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．7．（2021·兰州市第五十五中学八年级月考）如图，在△ABC 中，AB =AC ，AE 是经过点A 的一条直线，且B 、C 在AE 的两侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，AD =CE ，则∠BAC 的度数是 ( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】C 【分析】首先证明△BAD ≌△CAE ，可得∠BAD =∠ACE ，由∠ACE +∠CAE =90°，可得∠BAD +∠CAE =90°即可解答．【详解】解：∵BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，∴∠ADB =∠E =90，在Rt △BAD 和Rt △ACE 中，AB =AC 、 AD =EC∴△BAD ≌△CAE （HL ），∴∠BAD =∠ACE ，∵∠ACE +∠CAE =90°，∴∠BAC =∠BAD +∠CAE =90°．故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解答本题的关键．二、填空题8．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知AB CB =，要使ABD CBD ≌△△()SSS ，还需添加一个条件，你添加的条件是__________．【答案】AD CD =【分析】要利用SSS 判定ABD CBD ≌△△，已知AB CB =，公共边BD BD =,只需要再添加一组对边相等即可．【详解】解：∵AB CB =，BD BD =，∴要利用SSS 判定ABD CBD ≌△△，只需要在添加一组对边相等即可．∴AD CD =，故答案为：AD CD =．【点睛】本题考查用三边对应相等判定三角形全等，根据图形找到相关的条件是解题关键．9．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知,,AF BE A B AC BD =∠=∠=，经分析__________≌__________，依据是__________．【答案】ADF BCE SAS【分析】利用SAS 得出全等三角形.【详解】证明：∵AC ＝BD ，∴AD ＝BC ，在△ADF 和△BCE 中∵AD BC A B AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△BCE （SAS ）.故答案为：①ADF ，②BCE ，③SAS . 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键10．（2021·青岛大学附属中学八年级期中）数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM ON =，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P ，则射线OP 是AOB ∠的平分线．小旭这样画的理论依据是______．【答案】HL【分析】由“HL ”可证Rt △OMP ≌Rt △ONP ，可得∠MOP =∠NOP ，可证OP 是∠AOB 的平分线．【详解】解：∵∠OMP =∠ONP =90°，且OM =ON ，OP =OP ，∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ），∴∠MOP =∠NOP ，∴OP 是∠AOB 的平分线．故答案为：HL ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明Rt △OMP ≌Rt △ONP 是本题的关键．11．（2021·全国八年级课时练习）已知线段a ，b ，c ，求作ABC ，使,,BC a AC b AB c ===． ①以点B 为圆心，c 的长为半径画弧；②连接,AB AC ；③作BC a =；④以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A．作法的合理顺序是__________．【答案】③①④②【分析】根据作三角形的步骤：第一步先作一条线段等于三角形的一边，第二步以已作的线段的两个端点为圆心，以对应的长为半径画弧确定交点位置，最后顺次连接即可，由此进行判断即可．=，再以点B为圆心，c的长为半径画弧；接着以点C为圆心，b的长【详解】解：先作BC aAB AC，则ABC即为所求．为半径画弧，两弧交于点A，然后连接,故答案为：③①④②．【点睛】本题主要考查了用尺规作图—作三角形的步骤，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．12．（2021·全国八年级课时练习）如图，AD=BC，若利用“SSS”来证明△ABD≌△CDB，则需要添加的一个条件是__________．=【答案】AB CD【分析】根据“SSS”判断△ABD≌△CDB时，可添加AB=CD．【详解】解：∵AD=BC，BD=DB，∴当添加AB=CD时，可根据“SSS”判断△ABD≌△CDB．故答案为：AB=CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．13．（2021·全国八年级课时练习）如图，AC=BD，AF=DE，BF=CE，∠E=30°，∠A=45°，则∠ACE=__________．【答案】75︒【分析】利用“SSS ”证明△ABF ≌△DCE ，即可求解．【详解】解：∵AC =BD ，∴AC −BC =BD −BC ，∴AB =DC ，又∵AF =DE ，BF =CE ，∴△ABF ≌△DCE (SSS )，∴∠D =∠A =45°，∴∠ACE =∠D +∠E =45°+30°=75°．故答案为：75°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．14．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知CAB DAE ∠=∠，要使()ABD ACE SAS △≌△，需加的两个条件是__________．【答案】AB AC AD AE ==，【分析】根据CAB DAE ∠=∠得到CAE BAD ∠=∠，根据SAS 添加条件即可；【详解】∵CAB DAE ∠=∠，∴CAE BAD ∠=∠，当AB AC AD AE ==，时，得到()ABD ACE SAS △≌△；故答案是：AB AC AD AE ==，．【点睛】本题主要考查了探索全等三角形全等的条件，准确分析判断是解题的关键．15．（2021·全国八年级课时练习）两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连接DC ．一只蜗牛在爬行速度不变的情况下，从C 爬到D 所用的最短时间与它爬行线段__________所用的时间相同．（不要使用图形中未标注的字母）【答案】BE【分析】根据全等三角形的判定及性质证明CD =BE 即可得到结论．【详解】∵ABC 和ADE 是等腰直角三角形，∴,,90AB AC AE AD BAC EAD ==∠=∠=︒，∴BAC EAC DAE EAC ∠+∠=∠+∠，∴BAE CAD ∠=∠，在ABE △和ACD △中，AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE △≌ACD △（SAS ），∴BE CD =．故答案为：BE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．三、解答题16．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知在ABC 中，,12AB AC =∠=∠求证：AD BC ⊥．【分析】利用SAS 证明ABD ACD △≌△，得到34∠=∠，即可求解．【详解】证明：在ABD △和ACD △中，,12,,AB AC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABD ACD SAS △△≌．∴34∠=∠．又∵34180∠+∠=︒，即23180∠=︒，∴390∠=︒，∴AD BC ⊥．【点睛】此题考查了全等三角形的证明与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．17．（2021·全国八年级课时练习）已知：如图，//AB CD ，E 是AB 的中点，,EC ED ECD EDC =∠=∠，求证：（1）AEC BED ∠=∠；（2）AC BD =．【分析】（1）根据∠ECD ＝∠EDC ，再利用平行线的性质进行证明即可；（2）根据SAS 证明△AEC 与△BED 全等，再利用全等三角形的性质证明即可．【详解】证明：（1）∵//AB CD ，∴,AEC ECD BED EDC ∠=∠∠=∠，∵ECD EDC ∠=∠，∴AEC BED ∠=∠；（2）∵E 是AB 的中点，∴AE BE =，在AEC 和BED 中，AE BE AEC BED EC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AEC BED SAS ≌，∴AC BD =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．18．（2021·全国八年级课时练习）如图，在ABC 中，A ∠是锐角，AF AE =，BF CE 、是高，你能说明BF CE =吗？【分析】根据AAS 易证△AEC ≌△AFB ，再利用全等三角形的性质即可求证结论．【详解】解：∵BF 、CE 是高，∴90AFB AEC ∠=∠=︒，在AFB △和AEC 中，,,,A A AF AE AFB AEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEC ≌△AFB （AAS ），∴BF CE =．【点睛】本题考查全等三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法“AAS ”证得△AEC ≌△AFB ．19．（2021·全国八年级课时练习）如图，//,,//AC DF AD BE BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．【分析】利用直线平行得出A EDF ∠=∠以及ABC E ∠=∠，再根据题意求得AD BE =，最后利用ASA 定理来证明即可．【详解】证明：∵//AC DF ，∴A EDF ∠=∠，∵//BC EF ，∴ABC E ∠=∠，∵AD BE =，∴AD BD BE BD +=+，即AB DE =，在ABC 和DEF 中，ABC E AB DE A EDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， ∴()ABC DEF ASA ≌．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解决问题的关键．20．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知,,,CE AB DF AB AC BD CE DF ⊥⊥==．求证：//AC BD ．【分析】利用()HL Rt ACE Rt BDF ≌全等，来求得A B ∠=∠，利用内错角相等求得//AC BD ．【详解】证明：∵,CE AB DF AB ⊥⊥，∴90CEA DFB ∠=∠=︒，又∵,AC BD CE DF ==，∴()HL Rt ACE Rt BDF ≌，∴A B ∠=∠，∴//AC BD ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与应用，以及两直线平行的判定，熟练掌握是关键．21．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）如图1，已知ABC 中，90BAC ∠=，AB AC =，DE 是过A 的一条直线，且B ，C 在D ，E 的同侧，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于()E BD CE <．（1）证明：ABD CAE ≅；（2）试说明：BD DE CE =-；（3）若直线DE 绕A 点旋转到图2位置（此时B ，C 在D ，E 的异侧）时，其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的关系如何？请证明；（4）若直线DE 绕A 点旋转到图3位置（此时B ，C 在D ，E 的同侧）时()BD CE >其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） BD=DE+CE ；证明见解析；（4）BD=DE −CE【分析】（1）根据题意可得ABD EAC ∠=∠，结合BDA AEC ∠=∠，AB AC =直接用AAS 证明三角形全等即可；（2）根据（1）的结论ABD CAE ≌，进而可得BD DE CE =-；（3）方法同（1）证明ABD CAE ≌，进而可得BD DE CE =+（4）方法同（1）结论同（2）证明ABD CAE ≌，进而可得BD DE CE =-．【详解】（1）证明：∵90BAC ∠=，∴90BAD EAC ∠+∠=．又∵BD AE ⊥ ，CE AE ⊥，∴90BDA AEC ∠=∠=，90BAD ABD ∠+∠=，∴ABD EAC ∠=∠．又∵AB AC =，∴()ABD CAE AAS ≌．（2）解：∵ABD CAE ≌，∴BD AE =，AD CE =．又∵ED AD AE =+，∴BD DE CE =-．（3）解：∵90BAC ∠=，∴90BAD EAC ∠+∠=．又∵BD AE ⊥ ，CE AE ⊥，∴90BDA AEC ∠=∠=，90BAD ABD ∠+∠=，∴ABD EAC ∠=∠．又∵AB AC =，∴ABD CAE ≌．∴BD AE =，AD CE =，AE AD DE =+，∴BD DE CE =+．（4）解：BD DE CE =-．理由如下：∵90BAC ∠=，∴90BAD EAC ∠+∠=．又∵BD AE ⊥ ，CE AE ⊥，∴90BDA AEC ∠=∠=，90BAD ABD ∠+∠=，∴ABD CAE ∠=∠．又∵AB AC =，∴ABD CAE ≌，∴BD AE =，AD CE =．又∵ED AD AE =+，∴BD DE CE =-．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．22．（2021·四川省成都市七中育才学校）如图1，已知Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点D 是AB 上一点，且8AC =．45DCA ∠=︒，AE BC ⊥于点E ，交CD 于点F ．（1）如图1，若2AB AC =，求AE 的长；（2）如图2，若30B ∠=︒，求CEF △的面积；（3）如图3，点P 是BA 延长线上一点，且AP BD =，连接PF ，求证：PF AF BC +=．【答案】（1）1655AE =；（2）8(23)ECF S ∆=-；（3）证明见解析部分【分析】（1）利用勾股定理求出BC ，再利用面积法求出AE 即可．（2）如图2中，在CE 上取一点J ，使得FJ CJ =，连接FJ ．设EF m =，想办法构建方程求出m 即可解决问题．（3）如图3中，过A 点作AM CD ⊥于点M ，与BC 交于点N ，连接DN ，证明()AMF DMN ASA ∆≅∆，推出AF DN CN ==，再证明()APF DBN SAS ∆≅∆，可得结论．【详解】（1）解：如图1中，2AB AC =，8AC =，16AB ∴=，90BAC ∠=︒，222281685BC AC AB ∴=+=+=，AE BC ⊥，1122ABC S BC AE AC AB ∆∴=⋅⋅=⋅⋅， 816165585AE ⨯∴==．（2）解：如图2中，在CE 上取一点J ，使得FJ CJ =，连接FJ ．90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，903060ACE ∴∠=︒-︒=︒，AE BC ⊥，8AC =，cos604CE AC ∴=⋅︒=，45DCA ∠=︒，15FCE ACE ACD ∴∠=∠-∠=︒，JF JC =，15JFC JCF ∴∠=∠=︒，30EJF JFC JCF ∴∠=∠+∠=︒，设EF m =，则2FJ JC m ==，3EJ m =， ∴324m m +=，4(23)m ∴=-，4(23)EF ∴=-，144(23)8(23)2ECF S ∆∴=⨯⨯-=-．（3）证明：如图3中，过A 点作AM CD ⊥于点M ，与BC 交于点N ，连接DN ．90BAC ∠=︒，AC AD =，AM CD ∴⊥，AM DM CM ==，45DAM CAM ADM ACD ∠=∠=∠=∠=︒，DN CN ∴=，NDM NCM ∴∠=∠，AE BC ⊥，90ECF EFC MAF AFM ∴∠+∠=∠+∠=︒，AFM EFC ∠=∠，MAF ECF ∴∠=∠，MAF MDN∴∠=∠，∠=∠，AMF AMN∴∆≅∆，()AMF DMN ASA∴==，AF DN CN∠=︒，AC AD90BAC=，DAM CAM ADM ACD∴∠=∠=∠=∠=︒，45∴∠=∠=︒，NAP CDB135∠=∠，MAF MDN∴∠=∠，PAF BDN=，AP DB∴∆≅∆，()APF DBN SAS∴=，PF BN=，AF CN∴+=+，PF AF CN BN+=．即PF AF BC【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。

12.2 《三角形全等的判定(四)(HL)》教案-河南省漯河市舞阳县人教版八年级数学上册

12.2 《三角形全等的判定（四）（HL）》【课标内容】1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.3.了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度.4.掌握基本事实：斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等.【教材分析】本节课的主要内容是探索两个直角三角形全等的条件和如何利用“直角边斜边”的条件证明三角形全等，是在学生学习了线段、角、相交线、平行线和三角形的有关知识之后展开的.“HL”是证明两个三角形全等的重要方法之一，也是证明线段相等、角相等的重要依据.在【教学过程】中，我让学生充分体验到动手操作、剪拼、翻折平移、推理证明的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力.整节课让学生从画几何图形，剪拼，翻折平移，起到了较好的作用，学生更加清楚直观，以及学习推理证明的方法.【学情分析】本节是人教版八年级上册第十二章第二节的第四课时，全等三角形的判定（HL）是学生学习了图形的全等的概念及特征后的一节内容，它不仅是后面学习平行四边形性质与判定的基础，而且也是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据.因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且灵活的应用.【教学目标】1.经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2.掌握直角三角形全等的判定，并能运用其解决一些实际问题．3.在探索直角三角形全等的判定及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．【教学重点】掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL【教学难点】熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等【教学方法】五步教学法、引导探究法【课前准备】三角板、多媒体【课时设置】一课时【教学过程】一、预学自检互助点拨（阅读教材P41-43，完成以下问题）1.判定三角形全等：、、、 .2.如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是 .（【设计意图】复习旧知，可更快更准确地解答下面的两个直角三角形全等的条件.）二、合作互学探究新知（动手操作）：1.已知线段a，c ，和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠α，AB=c，CB= a.2.与同桌重叠比较，是否重合？3.从中你发现了什么？（【设计意图】比较判定两个直角三角形全等的条件与判定两个一般三角形全等的条件的异同点，感知直角三角形全等判定也能用已学的判定条件.激发学生挑战新问题的积极性，培养学生的分析、作图能力.画法直接由教师蛤出，而不安排学生画出，是考虑学生反映画图有一定的难度，况且作图不是本节课的重点.）三、自我检测成果展示1.如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由.理由：∵ AF⊥BC，DE⊥BC （已知）∴∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）在Rt△和Rt△中⎩⎨⎧==_______________________________∴ ≌ （）∴∠ = ∠ （）∴ （内错角相等，两直线平行）【设计意图】让学生表述，培养归纳、表达能力，并能进一步理解“HL ”这一条件，自己读题、审题，先独自证明，培养学生独自面对围难的勇气和信心.2.两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等3.如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( )A. 30°B. 60°C. 30°和60°之间D. 以上都不对4.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A. AASB.SASC.HLD.SSS5.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂线BD ，CE ，若BD=4cm ，CE=3cm ，求DE 的长.四、应用提升挑战自我在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC 上,且AE=CF.(1)求证: Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.（【设计意图】充分利用多媒体资源帮助学生理解、消化、新的知识，能够灵活的运用这节课所学习的内容.）五、经验总结反思收获本节课你学到了什么？写出来【设计意图】充分利用多媒体资源帮助学生理解、消化、新的知识，能够灵活的运用这节课所学习的内容.教师引导学生总结今天学习的主要内容，关键是区别两种情况，判断哪一种情况可以判断两个三角形全等，在学习后进行适当总结有助于学生更加深刻理解内容.【板书设计】全等三角形判定HL【备课反思】本节数学课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定（除了定义外，已经学了四种方法：SSS、SAS、ASA、AAS、）的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解.探索“HL公理”中，要求学生用文字语言、图形语言、符号语言来表达自己的所思所想，强调从情景中获得数学感悟，注重让学生经历观察、操作、推理的过程.数学教学应努力体现“从问题情景出发，建立模型、寻求结论、解决问题”.纵观整个教学，不足的方面：第一，启发性、激趣性不足，导致学生的学习兴趣不易集中，课堂气氛不能很快达到高潮，延误了学生学习的最佳时机；第二，在学生的自主探究与合作交流中，时机控制不好，导致部分学生不能有所收获；第三，在评价学生表现时，不够及时，没有让他们获得成功的体验，丧失激起学生继续学习的很多机会.这些我在今后的教学中会争取改进.。

八年级数学下册19.2.5全等三角形的判定(四)(HL)教案华东师大版

全等三角形的判定（四）（HL ）学习目标：会运用“斜边、直角边公理” 证明三角形全等的简单问题重点与难点：1、会运用“斜边、直角边公理”（HL ）证明三角形全等的简单问题2、了解SSS 、SAS 、ASA 、AAS 也适用于直角三角形。

知识回顾：一、判别三角形相似的方法之三：如果一个三角形的_______分别与另一个三角形的_______对应相等，那么这两个三角形相似．教学过程：我们知道，对于两个三角形，有“边、边、角”对应相等，是不能保证它们全等的．但是，在两个直角三角形中，当斜边及一条直角边分别对应相等时，也具有“边、边、角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形是否全等呢？做一做AC 、AB 分别为直角边和斜边画一个直角三角形. 步骤： 1、画∠M ＝90°，2、在射线CM 上截取AC 的长度，3、以点A 为圆心，以线段AB 的长为半径画圆弧，交射线于点B ，4、连结AB ，△ABC 即为所求.把你画的图形与周围的同学画的比较一下，所画的图形都全等吗？请按照下题的步骤证明你的结论。

图24.2.12如图，AC＝DF，AB=DE,∠C＝∠F＝90°，试说明△ABC≌△DEF.∠C＝∠F＝90°∴BC=_________,EF=____________(勾股定理) A D又 AC＝DF，AB=DE,∴＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿又 ∠＿＿＝∠＿＿，AC＝＿＿＿＿ B C E F∴△ABC≌△DEF.（）如果两个直角三角形的＿＿＿＿＿及一条＿＿＿＿＿＿分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.称为斜边、直角边公理，简记为（H.L.）.1、斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。

2、SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形，包括直角三角形。

练习1.如图，AC＝AD，∠C＝∠D＝90°，试说明BC与BD相等.(第1题)2.以下面格点图中的格点为顶点，画出所有的直角三角形，并说明哪些直角三角形是全等的.（第2题）综合练习：一、填空：1、两条直角边对应相等的两个直角三角形＿＿＿＿＿＿，理由是＿＿＿＿＿＿＿＿2、有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形＿＿＿＿＿，理由是＿＿＿＿＿＿D3、如图：BA AC,CD∥AB,AB=CE,BC=DE,则△CDE≌______， B理由是＿＿＿＿＿，且有∠ACB=________，∠ABC=_______,由此可知BC与DE互相__________A E C4、如图：AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC,B′C′边上的高，且AB=A′B′，AD=A′D′,若 A A′使△ABC≌△A′B′C′，需补充条件是＿＿＿＿＿＿（只需填写一个你认为适当的条件）A D C A′ D′C′二、选择：1、两个直角三角形全等的条件是（）A一锐角对应相等B两锐角对应相等C一条边对应相等D两条边对应相等2、判断下列命题：（1）在Rt△ABC中，两锐角互余（2）有两个锐角不互余的三角形不是直角三角形（3）一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（4）有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的有（）A 1个B 2个C 3个D 4个3、下列说法正确的有（）（1）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等（2）一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等（3）两条边对应相等的两个直角三角形全等（4）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。

八年级数学全等三角形知识点

八年级数学《全等三角形》知识点班级姓名一、全等三角形的概念一、能够完全重合的两个称为。

（注：全等三角形是中的特殊情形）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3)有公共边的，公共边必然是对应边；(4)有公共角的，角必然是对应角；(5)有的，对顶角必然是对应角；2、“全等”的明白得全等的图形必需知足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

3、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；二、三角形全等的判定1、三组对应边别离相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)二、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“”)。

3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“”)5、全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的。

注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

注意：①判定两个三角形全等必需有一组边对应相等；A是英文“角”的缩写(angle)，S是英文“边”的缩写(side)。

三、全等三角形的性质一、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形相等。

7、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到那个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在那个角平分线上8.线段的垂直平分线性质及判定概念：通过线段中点而且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.四、证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 五、灵活运用定理一、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

全等三角形的判定(ASA与AAS)(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(学生版25学年八年级数学上册

专题12.5全等三角形的判定（ASA 与AAS）（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】三角形全等的判定方法——角边角（ASA）（1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.（2）书写格式：如图，在△ABC 和△'''A B C 中，A A AB A B B B '∠=∠⎧⎪''=⎨⎪'∠=∠⎩ABC A B C '''∴∆≅∆【知识点二】三角形全等的判定方法——角角边（AAS）（1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC 和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【知识点三】判定方法的选择（1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SAS SSS（2）如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】用ASA 和AAS 证明三角形全等【例1】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，点C 、E 在BF 上，BE CF =，AB FD ，A D ∠=∠．（1）求证：ABC DFE △≌△；（2）若50B ∠=︒，145BED ∠=︒，求D ∠的度数．【变式1】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①④【变式2】（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，已知AC 与BF 相交于点E ，AB CF ∥，点E 为BF 中点，若9CF =，5AD =，则BD =．【题型2】用ASA 和AAS 证明三角形全等与三角形全等性质综合求值【例2】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在ABC 中，D 为AB 上一点，E 为AC 中点，连接DE 并延长至点F ，使得EF ED =，连CF ．（1）求证：CF AB ∥；（2）若70A ∠=︒，35F ∠=︒，BE AC ⊥，求BED ∠的度数．【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在ABC 中，,AD BC CE AB ⊥⊥，垂足分别是D 、E ，AD 、CE 交于点H ．已知10,6AE CE BE ===，则CH 的长度为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，且2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上．CFD BED BAC ∠=∠=∠，ABC 的面积为18，则ABE 与CDF 的面积之和．【题型3】添加条件证明三角形全等【例3】（2023·广东·模拟预测）如图，AC BC DC EC AC BC ⊥⊥=，，，请添加一个条件，使ACE BCD ≌△△．（1）你添加的条件是______（只需添加一个条件）；（2）利用（1）中添加的条件，求证：ACE BCD ≌△△．【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在ABC 和BDE 中，再添两个条件不能．．使ABC 和BDE 全等的是（）A ．AB BD =，AE DC=B ．AB BD =，DE AC =C ．BE BC =，E C ∠=∠D ．EAF CDF ∠=∠，DE AC=【变式2】（23-24八年级上·北京平谷·期末）如图，在ABC 和CDE 中，若90ACB CED ∠=∠=︒，且AB CD ⊥，请你添加一个适当的条件，使ABC CDE △≌△．添加的条件是：（写出一个即可）．【题型4】灵活运用SSS、SAS、ASA、AAS 证明三角形全等【例4】（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且CE BF ∥．（1）ECD 与FBD 全等吗？请说明你的理由；（2）若6AD =，2DF =，BDF V 的面积为3，请直接写出AEC △的面积．【变式1】（2024·河北邯郸·二模）ABC 如图所示，甲、乙两个三角形中和ABC 全等的是（）A ．只有甲B ．只有乙C ．甲和乙D ．都不是【变式2】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在下列各组条件中，能够判断ABC 和DEF 全等的有．①AB DE =，AC DF =，BC EF =；②AB DE =，BC EF =，B E ∠=∠；③A D ∠=∠，B E ∠=∠，AB DE =；④A D ∠=∠，AB DE =，BC EF =．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·四川凉山·中考真题）如图，点E F 、在BC 上，BE CF =，B C ∠=∠，添加一个条件，不能证明ABF DCE △△≌的是（）A ．A D ∠=∠B ．AFB DEC ∠=∠C ．AB DC =D ．AF DE=【例2】（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，AE BF ∥，AE BF =．若________，则AB CD =．请从①CE DF ∥；②CE DF =；③E F ∠=∠这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·河北邢台·期中）在ABC 中，D 是BC 的中点．（1）如图1，在边AC 上取一点E ，连接ED ，过点B 作BM AC 交ED 的延长线于点M ，求证：CE BM =．（2）如图2，将一直角三角板的直角顶点与点D 重合，另两边分别与AC AB ，相交于点E ，F ，求证：CE BF EF +>．【例2】（22-23八年级上·全国·期末）如图1，直线l BC ⊥于点B ，90ACB ∠=︒，点D 为BC 中点，一条光线从点A 射向D ，反射后与直线l 交于点E （提示：作法线）．（1）求证：BE AC =；（2）如图2，连接AB 交DE 于点F ，连接FC 交AD 于点H ，AC BC =，求证：CF AD ⊥；（3）如图3，在（2）的条件下，点P 是AB 边上的动点，连接5ABD PC PD S = ，，，2CH =，求PC PD +的最小值．。

八年级数学上册 1.5 三角形全等的判定(第4课时)课件 (新版)浙教版

1.5 三角形全等的判定(pàndìng) 第4课时 “角角边”与角平分线的性质
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1．(4分)下列说法正确的是( B ) A．三个角对应相等的两个(liǎnɡ ɡè)三角形全等 B．两角对应相等，且一条边也对应相等的两个(liǎnɡ ɡè)三角形全 C．两边和其中一边的对角对应相等的两个(liǎnɡ ɡè)三角形全等 D．有两个(liǎnɡ ɡè)角与一边对应相等的两个(liǎnɡ ɡè)三角形不一
是 OA＝OB或∠OAP＝∠OBP或∠OPA＝∠OPB．(只写一
个(yī ɡè)即可，不添加辅助线)
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9．(9分)如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB.求证 (qiúzhèng)：BD＝CE.
证明(zhèngmíng)：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°，又∵∠A＝∠A，AB＝AC， ∴△ADB≌△AEC(AAS)， ∴BD＝CE
证明：过点O分别(fēnbié)作OG⊥AE， OH⊥BC，OK⊥AF，垂足为G，H，K， ∵∠CAB与∠EBC的平分线交于点O，∴OK＝ OG，OG＝OH， ∴OK＝OH， ∴O在∠BCF的平分线上，即CO平分∠BCF
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16．(10分)如图，BE，CF是△ABC的高，P是BE上一点(yī diǎn)，且BP＝AC，CQ＝AB.求证：AP⊥AQ.
B．∠C＝∠C′
C．AC＝A′C′
D．以上答案(dáàn)均正确
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4．(4分)三角形内到三条边的距离(jùlí)相等的点是(A ) A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三条高的交点 C．三角形的三条中线的交点 D．以上答案都不正确 5．(4分)如图所示，M是∠AOB的平分线OM上的一点(yī diǎn)， ME⊥OB，且ME＝2 cm，则M到OA的距离MD＝__2_c_m．