全等三角形知识点归纳总结.docx
《全等三角形》 知识清单
《全等三角形》知识清单一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，如果经过平移、旋转、翻转等变换后，它们能够完全重合，那么这两个三角形就是全等三角形，点 A 与点 A' 是对应顶点，边 AB 与边 A'B' 是对应边，角 A 与角A' 是对应角。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等如果三角形 ABC 全等于三角形 A'B'C'，那么 AB ＝ A'B'，BC ＝B'C'，AC ＝ A'C'。
2、全等三角形的对应角相等同样地，如果三角形 ABC 全等于三角形 A'B'C'，那么角 A ＝角 A'，角 B ＝角 B'，角 C ＝角 C'。
3、全等三角形的周长相等、面积相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长也相等。
而由于对应边和对应高都相等，所以面积也相等。
三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）三边对应相等的两个三角形全等。
例如，如果在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，AB ＝ A'B'，BC ＝B'C'，AC ＝ A'C'，那么就可以判定三角形 ABC 全等于三角形 A'B'C'。
2、 SAS（边角边）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，AB ＝ A'B'，角 B ＝角 B'，BC ＝ B'C'，则三角形 ABC 全等于三角形 A'B'C'。
十二章《全等三角形》知识点归纳总结
十二章《全等三角形》知识点归纳总结第十二章《全等三角形》知识要点归纳总结一、知识网络二、基础知识梳理（一）基本概念 1、全等三角形的定义全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）全等三角形周长、面积相等。
第 1 页 1 共 13 页3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
SSS（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
SAS （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
ASA （4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
AAS （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
HL4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。
运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS) ②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA) ②夹等角的另一组边相等(SAS)第 2 页 2 共 13 页（三）疑点、易错点 1、对全等三角形书写的错误在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
全等三角形知识点总结
全等三角形知识点总结全等三角形是初中数学中的重要概念，也是几何学中的基础知识之一。
全等三角形指的是具有相同形状和大小的三角形，它们的对应边和对应角分别相等。
全等三角形的性质和判定方法对于解题和证明都有很大的帮助。
下面我们来总结一下全等三角形的知识点。
1. 全等三角形的性质。
全等三角形的性质包括以下几点：（1）对应边相等，如果两个三角形全等，则它们的对应边相等。
（2）对应角相等，如果两个三角形全等，则它们的对应角相等。
（3）全等三角形的面积相等，如果两个三角形全等，则它们的面积相等。
2. 全等三角形的判定方法。
判定两个三角形是否全等有以下几种方法：（1）SSS判定法，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
（2）SAS判定法，如果两个三角形的一条边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
（3）ASA判定法，如果两个三角形的一对角和夹边分别相等，则这两个三角形全等。
（4）AAS判定法，如果两个三角形的两对角和一条边分别相等，则这两个三角形全等。
3. 全等三角形的应用。
全等三角形的性质和判定方法在解题和证明中有着广泛的应用，特别是在几何证明中常常会用到全等三角形的知识。
例如，通过证明两个三角形全等，可以推导出它们的其他性质，进而解决一些几何问题。
此外，在实际生活中，全等三角形的知识也有着一定的应用。
例如在建筑、工程等领域，利用全等三角形的性质可以进行测量、设计和施工等工作。
总之，全等三角形是几何学中的重要概念，掌握全等三角形的性质和判定方法对于学习和应用几何知识都具有重要意义。
希望通过本文的总结，能够帮助大家更好地理解和运用全等三角形的知识。
全等三角形的讲义整理讲义
全等三角形专题一 全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。
）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做 对应边；重合的角叫做对应角。
【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)AB 与 是对应边，BC 与 是对应边， CA 与 是对应边；(2)∠A 与 是对应角，∠ABC 与 是对应角， ∠BAC 与 是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。
(1)有公共边的，公 共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。
【练习1】 如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△BOD ≌ ； (2)△ACD ≌ .【知识点3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相DABCOE ABCD等，对应角的角平分线相等）【例题2】 （海南省中考卷第5题） 已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】（清远）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．【练习2】 如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ）A 20° B．30° C ．35° D ．40°【练习3】如图，△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC ， 且∠ABD=90°。
全等三角形知识点
全等三角形知识点摘要：全等三角形是初中数学中的一个重要概念，它指的是两个三角形在形状和大小完全相同的情况下，它们的对应边和对应角完全相等。
本文将详细介绍全等三角形的定义、性质、判定条件以及在几何题中的应用。
关键词：全等三角形、对应边、对应角、判定条件、几何应用1. 全等三角形的定义全等三角形（Congruent Triangles）指的是两个三角形在几何形状和大小上完全相同，即它们的所有对应边和对应角都相等。
在数学符号中，我们通常用“≌”来表示全等。
2. 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：- 对应边相等：两个全等三角形的对应边长度完全相同。
- 对应角相等：两个全等三角形的对应角度数完全相同。
- 对应边上的高相等：两个全等三角形对应边上的高（垂直于边的线段）长度也相等。
- 对应角的平分线相等：两个全等三角形对应角的角平分线长度相等。
- 对应边上的中线相等：两个全等三角形对应边上的中线（连接顶点和对边中点的线段）长度相等。
3. 全等三角形的判定条件要判定两个三角形是否全等，可以通过以下几种条件：- SSS（边边边）：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。
- SAS（边角边）：如果两个三角形有两边及它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
- ASA（角边角）：如果两个三角形有两角及它们之间的边分别相等，那么这两个三角形全等。
- AAS（角角边）：如果两个三角形有两角及其中一角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。
- HL（直角边-直角边）：对于直角三角形，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等。
4. 全等三角形在几何题中的应用全等三角形的概念在解决几何问题时非常有用，尤其是在涉及角度和长度计算的问题中。
通过识别和证明三角形全等，我们可以得出隐藏的边长和角度关系，从而解决复杂的几何构造问题。
5. 结论全等三角形是几何学中的一个基础概念，它在解决几何问题中扮演着关键角色。
第十二章全等三角形知识点归纳
第十二章 全等三角形一、知识要点1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的判定和性质3、证题的思路：(A S A )(A A S )⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边(SAS)(HL)(SSS) (AAS)(SAS)(ASA)(AAS) 4、应注意的问题（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义；（2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等； （3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上； （4）要正确区分判定三角形全等的结论的不同含义；（5）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等．5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 6、全等三角形问题中常见的辅助线的作法 （1）连接法（连接公共边构造三角形全等）； （2）延长法（延长至相交、倍长中线）（3）截长补短法（适合于证明线段的和、差等问题）（4）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 二、考点解密（1）常见全等的判定和性质考察1、已知△ABD ≌△CDB ，AB 与CD 是对应边，那么AD= ，∠A= ；2、如图，已知△ABE ≌△DCE ，AE=2cm ，BE=1.5cm ，∠A=25°∠B=48°；那么DE= cm ，EC= cm ，∠C= 度；∠D= 度；CBAFE DC B A第2小题 第3小题 第4小题3、如图，△ABC ≌△DBC ，∠A=800，∠ABC=300，则∠DCB= 度； 4、如图，已知，∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ，（1）若以“SAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ；（2）若以“ASA ”为依据，还须添加的一个条件为 ；（3）若以“AAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ；5．已知△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为32 cm ，DE =9 cm ，EF =12 cm 则AB =____________，BC =____________，AC =____________．6．一个三角形的三边为2、5、x ，另一个三角形的三边为y 、2、6，若这两个三角形全等，则x +y =__________．7．下列命题中正确的是（ ）①全等三角形对应边相等； ②三个角对应相等的两个三角形全等； ③三边对应相等的两三角形全等；④有两边对应相等的两三角形全等。
全等三角形的知识点总结
全等三角形的知识点总结判定公理三角形全等的条件：1、全等三角形的对应角相等。
2、全等三角形的对应边相等3、全等三角形的对应顶点相等。
4、全等三角形的对应边上的高对应相等。
5、全等三角形的对应角平分线相等。
6、全等三角形的对应中线相等。
7、全等三角形面积相等。
8、全等三角形周长相等。
9、全等三角形可以完全重合。
三角形全等的方法：1、三边对应相等的两个三角形全等。
(SSS)2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)性质要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。
以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：S.S.S. (Side-Side-Side)(边、边、边)：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
S.A.S. (Side-Angle-Side)(边、角、边)：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
A.S.A. (Angle-Side-Angle)(角、边、角)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
A.A.S. (Angle-Angle-Side)(角、角、边)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的`话，该两个三角形就是全等。
R.H.S. / H.L. (Right Angle-Hypotenuse-Side)(直角、斜边、边)：各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。
以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：A.A.A. (Angle-Angle-Angle)(角、角、角)：各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。
八年级数学《全等三角形》知识点
八年级数学《全等三角形》知识点八年级数学《全等三角形》知识点一、全等三角形的定义全等三角形是指能够完全重合的两个三角形。
当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；有公共边的，公共边一定是对应边；有公共角的，角一定是对应角；有对顶角的，对顶角一定是对应角。
全等”的图形必须满足形状相同且大小相等。
即能够完全重合的两个图形叫全等形。
全等三角形的性质包括对应边相等、对应角相等、对应边上的高对应相等、对应角平分线相等、对应中线相等、面积相等和周长相等。
二、三角形全等的判定定理判定三角形全等有五种定理：SSS或“边边边”、SAS或“边角边”、ASA或“角边角”、AAS或“角角边”和HL或“斜边，直角边”。
注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
判定两个三角形全等必须有一组边对应相等。
其中，A是英文“角”的缩写(angle)，S是英文“边”的缩写(side)。
三、全等三角形的性质全等三角形的性质包括对应角相等、对应边相等、对应边上的高对应相等、对应角平分线相等、对应中线相等、面积相等和周长相等。
另外，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
四、证题的思路证题的思路可以通过找夹角（SAS）来解决。
已知两边可以找直角（HL）定理，找第三边可以用SSS 定理。
如果已知一边为角的对边，则可以用AAS定理。
如果已知一个角和一边，则可以用SAS定理。
如果已知一边和一个角，则可以用ASA定理。
如果已知两个角，则可以用AAS 定理或者任意一边的SSS定理。
灵活运用定理需要注意全等三角形的条件和判定方法。
找出两个全等三角形中的对应边和对应角是关键。
在写两个三角形全等时，要注意对应的顶点、角和边的顺序。
完整word版全等三角形知识点及方法归纳
一、知识要点：1．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．2．全等形的性质：（1）形状相同．（2）大小相等．3．全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．4．全等三角形的表示：（ 1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．（ 2）如图，和全等，记作．通常对应顶点字母写在对应位置上．5．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．（2）全等三角形的周长、面积相等．6．全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换．平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换．7．全等三角形基本图形翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素8．两个三角形全等的条件（ 1）全等三角形的判定1——边边边公理三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．“边边边”公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）．（ 2）全等三角形的判定2——边角边公理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．（ 3）全等三角形的判定3——角边角公理两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写为“角边角”或“ASA”．（ 4）全等三角形的判定4——角角边推论两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．简称“角角边”或“AAS”．（ 5）直角三角形全等的判定——斜边直角边公理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边直角边”或“HL”．判定直角三角形全等的方法：①一般三角形全等的判定方法都适用；②斜边 -直角边公理9、判定三角形全等方法的选择：10、一般情况下，证明关于三角形全等的题有以下步骤：（1）读题：明确题中的已知和求证；（2）要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中（3）、分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。
全等三角形知识点归纳总结
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞！1第十二章 全等三角形一、结构梳理二、知识梳理 （一）概念梳理 1．全等图形定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形．2．全等三角形这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等．（二）性质与判定梳理1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等． 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．全等三角形的判定这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA ； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS ； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS ． 若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL ）。
由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等． （5）注意判定三角形全等的基本思路从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有：图1 2 丰富的生活情境 全等图形概念 特征 特例 应用 全等三角形 全等三角形特征 全等三角形条件画三角形海阔凭鱼跃，天高任鸟飞！2⎪⎩⎪⎨⎧→→SSS SAS 找另一边找夹角 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边找任一角边为角的对边 ⎩⎨⎧→→AASASA 找任一边找两角的夹边 （6）学会辨认全等三角形的对应元素辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知△ABC ≌EFD ，这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应，则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角．（三）基本图形梳理注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种：1．平移型 如图3，下面几种图形属于平移型： 它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到．2．对称型 如图4，下面几种图形属于对称型：它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点．3．旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型： 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转 所构成的，故一般有一对相等的角隐含在对顶角、某些角的和 或差中． 三、易混、易错点剖析1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例（1）三边对应相等的两个三角形全等，但三角对应相等的 两个三角形不一定全等；如图6（1）中的两个三角形的每个 角都是600，但这两个三角形显然不全等；（2）两边和其中一边的对角对应相等的两个 三角形不一定全等，如图6（2），中的△ABC 和△ABD 中， 虽然有AB=AB ，AC=AD ，∠B=∠B ，但它们显然不全等．已知两边已知一边一角 已知两角图3 图4图5Ａ ＢＣ Ｄ图6（2）图6（1）海阔凭鱼跃，天高任鸟飞！32．在判定三角形全等时，还要注意的问题 在判定三角形全等时，应做到以下几点： （１）根据已知条件与结论认真分析图形； （２）准确无误的确定每个三角形的六个元素；（３）根据已知条件，确定对应元素，即找出相等的角或边； （４）对照判定方法，看看还需什么条件两个三角形就全等； （５）想办法找出所需的条件来． 四、例题：例1．如图7（1），E 、F 分别是四边形ABCD 的边BA 、DC 延长线上的点，AB//CD ，AD//BC ，且AE=CF ，EF 交AD 于G ，交BC 于H ．（1）图中的全等三角形有 对，它们分别是 ；（不添加任何辅助线）（2）请在（1）问中选出一对你认为全等的三角形进行证明． 我选择的是： ．解：（1）2，△AEG ≌△CFH 和△BEH ≌△DFG ． （2）如求证明：△AEG ≌△CFH ．证明：在平行四边形ABCD 中，有∠BAG=∠HCD ， 所以∠EAG=1800－∠BAG=1800－∠HCD=∠FCH ． 又因BA ∥DC ，所以∠E=∠F ．又因AE=CF ，所以△AEG ≌△CFH ．点评：本题简单地考察学生对图形的识别能力以及证明能力，主要是根据全等三角形的判定条件去寻找，然后再作出证明．例2．如图8，在△ABD 和△ACE 中，有下列四个等式： ○1AB=AC ○2AD=AE ○31=∠2○4BD=CE. 请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论， 写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）． （提示：答案不唯一）．点评：本题是条件组装题，答案不唯一，它重点考查学生的创新意识和能力，四个命题进行组合，有六种情况，这六种情况中 有的是假命题，请同学们注意分辨．例3．如图9，点E 在AB 上，AC=AD ，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。
第12章+全等三角形知识点总结+20223-2024学年人教版数学八年级上册+
第12章全等三角形思维导图12.1全等三角形【知识点】1.能够完全重合的两个图形叫做全等形，全等形的形状相同，大小相同2.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形3.把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角4.两个三角形全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，△ABC与△A′B′C′全等，记作△ABC△△A′B′C′.在用符号表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.（用语言叙述的两个全等三角形的顶点不一定是对应顶点）5.全等三角形的对应边相等，对应角相等6.寻找对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是对应边；（2）有公共角的，公共角是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（5）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（6）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角．（7）根据表达式找对应角、对应边时，可根据字母的顺序来确定对应关系．12.2全等三角形的判定【知识点】（一）全等三角形的判定1.三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”（三角形的稳定性）2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”3.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”5.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL ”6.【延伸】（1）有两边及第三边上的高分别相等的两个锐角三角形全等 （2）有一条直角边及斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等 （3）全等三角形对应边上的高相等（二）利用SSS 作一个角等于已知角如图（1）所示，已知∠AOB ，要求作一个角∠A′O′B′，使得∠A′O′B′=∠AOB作法：（1）如图（1），以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB【题型】（一）直角三角形全等的判定 （二）作一个角等于已知角 （三）三角形全等的判定证明题 1. （2021重庆）如图，点B,F,C,E 共线，∠B=∠E ，BF=EC ，添加一个条件，不能判定△ABC△△DEF 的是（ ）A.AB=DEB.△A=△DC.AC=DFD.AC//FD答案：C2.（2020黑龙江齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD△△ABC，则还需要添加的一个条件是__________.答案：AD=AC（∠D=∠C或∠ABD=∠ABC或∠DBE=∠CBE）3.（2021吉林）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：AD=AE.答案：△ACD≌△ABE(ASA)4.（2021云南）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC=BD，AC与BD相交于点E.求证：∠DAC=△CBD答案：△ADC≌△BCD(SSS)5.（2021陕西）如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC.求证：∠D=∠ABC.答案：△EDB≌△ABC(SAS)6.（2021福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE△AC，DF△AB，垂足分别为E，F，且DE=DF，CE=BF.求证：∠B=∠C.答案：△DEC ≌△DFB(SAS)7.（2020吉林）如图，在△ABC 中，AB>AC ，点D 在边AB 上，且BD=CA ，过点D 作DE//AC ，并截取DE=AB ，且点C ，E 在AB 同侧，连接BE.求证：△DEB△△ABC.答案：△DEB ≌△ABC(SAS)12.3角的平分线的性质【知识链接：11.1三角形的角平分线】1）定义：三角形的一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个叫的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线2）一个三角形有3条角平分线，它们都在三角形内部，且交于一点（一）角平分线的画法（依据SSS ）（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N（2）分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C（3）画射线OC ，射线OC 即为∠AOB 的角平分线（二）角平分线的性质1.角平分线上的点到角的两边的距离相等【延伸性质】AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，交AD于点G，则AD垂直平分EF2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上3.三角形的三个角的平分线相交于一点，这点到三边的距离相等【证明三角形三条角平分线交于一点】设AD，BE交于一点O，作OG⊥BC，OH⊥AC，OI⊥AB则OG=OI=OH（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）因为OG=OH所以O点也在∠C的平分线上（到角的两边距离相等的点在角平分线上），即在CF 上，也就是AD，BE，CF交于一点4.三角形的两个外角的平分线也交于一点，这点到三边所在直线的距离相等5.到三角形三边所在直线距离相等的点有4个【题型】（一）运用角平分线的性质证明线段相等。
初二数学上全等三角形知识点总结
初二数学上全等三角形知识点总结全等三角形知识梳理一、知识网络全等三角形的性质：对应角相等对应边相等全等三角形的判定方法：边边边SSS边角边SAS角边角ASA角角边AAS斜边、直角边HL作图：角平分线二、基础知识梳理一）基本概念1、全等的定义：形状相同且大小相等的图形叫做全等形。
同样，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质：对应边相等对应角相等3、全等三角形的判定方法：三边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等4、角平分线的性质及判定：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上二）灵活运用定理1、判定全等三角形时，先寻找边相等的可能性。
2、善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
已知条件中有两角对应相等，可找夹边相等（ASA）或任一组等角的对边相等（AAS）。
已知条件中有两边对应相等，可找夹角相等（SAS）或第三组边也相等（SSS）。
已知条件中有一边一角对应相等，可找任一组角相等（AAS或ASA）或夹等角的另一组边相等（SAS）。
证明全等三角形或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：1、确定已知条件（包括隐含条件）；2、回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3、正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。
常见考法：1、利用全等三角形的性质证明线段（或角）相等、两条线段的和差等于另一条线段、面积相等等。
2、利用判定公理来证明两个三角形全等。
A。
两个三角形的三边分别相等B。
两个三角形的两边分别相等，且夹角相等C。
两个三角形的两边分别相等，且夹角不等D。
两个三角形的一边和一个角分别相等，且这个角不是这条边的对角问：使得两个三角形全等的条件是（）。
八年级上册数学全等三角形知识点总结
八年级上册数学全等三角形知识点总结
1. 三角形的边与角的关系：任意两边之和大于第三边，任意两角的和小于180°。
2. 全等三角形定义：如果两个三角形的对应的三边和三个内角都相等，则这两个三角形全等。
3. 全等三角形的性质：
- 对应的三边相等：若两个三角形全等，则对应的三边相等。
- 对应的三个角相等：若两个三角形全等，则对应的三个角相等。
- 对应的等角对应的边相等：若两个三角形全等，则对应的等角对应的边相等。
- 直角三角形的斜边相等：若两个直角三角形的两直角相等且一边对应相等，则两个直角三角形全等。
- 几何体的面与体全等条件：若两个几何体的对应面全等，且它们相应的边垂直，则两个几何体全等。
4. 全等三角形的判定方法：
- SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
- SAS判定法：如果两个三角形的一对边和它们之间的夹角分别相等，则这两个三角形全等。
- ASA判定法：如果两个三角形的一对角和它们夹着的两边分别相等，则这两个三角形全等。
- RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。
5. 全等三角形的应用：
- 用全等三角形的判定法判断两个三角形是否全等。
- 在平面几何问题中，利用全等三角形的性质推导出结论或解决问题。
例如，求线段的长、角的度数等。
全等三角形知识点归纳
全等三角形知识点归纳全等三角形是初中数学中的重要内容之一。
本文将对三角形全等的概念、判定条件以及性质进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用全等三角形知识。
一、全等三角形的概念全等三角形是指具有相等对应边长和对应角度的两个三角形。
形象地说，即两个三角形的所有对应部分完全重合。
二、全等三角形的判定条件1. SSS 判定法当两个三角形的三条边分别相等时，即两组对应边长完全一致，那么这两个三角形是全等的。
例如，已知△ABC 和△PQR ，若 AB = PQ，BC = QR，CA = RP，则△ABC ≌△PQR.2. SAS 判定法当两个三角形的两对边长相等，并且这两组对应边之间的夹角也相等时，即一个三角形的两边和夹角分别等于另一个三角形的两边和夹角，那么这两个三角形是全等的。
例如，已知△ABC 和△PQR ，若 AB = PQ，BC = QR，∠B = ∠Q，则△ABC ≌△PQR.3. ASA 判定法当两个三角形的两对夹角相等，并且这两组对应边之间的夹角也相等时，即一个三角形的两夹角和边分别等于另一个三角形的两夹角和边，那么这两个三角形是全等的。
例如，已知△ABC 和△PQR ，若∠A = ∠P，∠B = ∠Q，BC = QR，则△ABC ≌△PQR.4. RHS 判定法当两个直角三角形的斜边和一个锐角（或钝角）的任意一条直角边相等时，即一个直角三角形的斜边和一个锐角（或钝角）的任意一条直角边分别等于另一个直角三角形的斜边和同样的一个锐角（或钝角）的直角边，那么这两个直角三角形是全等的。
例如，已知△ABC 和△PQR ，若 AB = PQ，∠B = ∠Q，AC = PR，则△ABC ≌△PQR.三、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应边和对应角分别相等。
2. 全等三角形的对应高相等。
3. 全等三角形的对应中线相等。
4. 全等三角形的对应角平分线相等。
5. 全等三角形的对应边上的中垂线和角平分线相等。
全等三角形知识点总结
一、知识框架:全等三角形二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.（注意对应的顶点写在对应的位置上）⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合,一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2.全等三角形的性质和表示性质：（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
表示：全等用符号“竺”表示，读作“全等于”。
如^ABC^ADEF，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF”注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用于两个直角三角形）4、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1）：要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2）:表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”5、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
悉心教育 厦门蓝精灵辅导中心 The Smufs : CarefUlly designed to help you develop a cradle!
Good
EdUCatiOn
第十二章全等三角形
、结构梳理
丰富的生活情境 T t 应用
f 全等三角形
全等
图形
全等三角形特征
全等三角形条件
画三角形
二、知识梳理
(一)概念梳理
1 .全等图形
定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同•例如图 1中的两个图 形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图 2中的两个图形面积相同，但形状不
同，也不是全等图形.
2.全等三角形
这是学好全等三角形的基础.根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.完全重合 “也”也
形象、直观地反映了这一点. 有两层含义：(1)图形的形状相同；(2)图形的大小相等. 符号 表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等.
(二)性质与判定梳理
1. 全等图形性质： 全等多边形的对应边、对应角分别相等. 全等三角形
的对应边、对应角分别相等.
2. 全等三角形的判定
这是学好全等三角形的关键.只给定一个条件或两个条件画三角形时, 只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有:
(1) (2) (3) (4) Ξ½ 都不能保证所画出的三角形全等,
三边对应相等的两个三角形全等，简记为： SSS ；
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为： 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为： 若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理( HL )。
由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件, 都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等.
(5)注意判定三角形全等的基本思路
从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素(其 中至少一个元素是边) 对应相等，这样就可以利用题目中的已知边 (角)去迅速准确地确定要补充的边 不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件.从而得到判定两个三角形全等的思路有： ASA ;
AAS ;
SAS . （角）, 海阔凭鱼跃，天高任鸟飞!
悉心教育
厦门蓝精灵辅导中心
The Smufs
: CarefUlly designed to help you develop a cradle!
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞! 图6 (2)
GOOd EdUCatiOn
找夹角SAS
已知两边
找另一边SSS
'边为角的对边T找任一角T AAS
■找这条边上的另一角T ASA 边就是角的一条边找这条边上的对角＞ AAS
I找该角的另一边T SAS
（6）学会辨认全等三角形的对应元素
辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应
边，如已知厶ABC也EFD ,这种记法意味着A与E、B与F、C与D对应，则三角形的边AB与EF、BC 与FD、AC与ED对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是
对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应
边所夹的角是对应角•
（三）基本图形梳理
注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种：
1.平移型如图3,下面几种图形属于平移型：它们可看成有对
应边在一直线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一般可由同一
直线上的线段和或差而得到.
三角形的对应顶点.
3.旋转型如图5,下面几种图形属于旋转型：它们可看成是
以三角形的某一顶点为中心旋转
所构成的，故一般有一对相等的角隐含在
对顶角、某些角的和或差中.
三、易混、易错点剖析
1 .探索两个三角形全等时，要注意两个特例
（1）三边对应相等的两个三角形全等，但三角对应相等的两个三角形
不一定全等；如图6 （1）中的两个三角形的每个
角都是600,但这两个三角形显然不全等；
（2）两边和其中一边的对角对应相等的两个
三角形不一定全等，如图 6 （2）,中的△ ABC和厶ABD中,
虽然有AB=AB , AC=AD , ∠ B= ∠ B,但它们显然不全等.
已知两角
:找两角的夹边T ASA
:找任一边T AAS
已知一边一角
2 .对称型如图4,下面几种图形属于对称型:
它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形）,重合的顶点就是全等
图5
悉心教育厦门蓝精灵辅导中心The Smufs : CarefUlly designed to help you develop a cradle!
GOOd EdUCatiOn
2 •在判定三角形全等时，还要注意的问题
在判定三角形全等时，应做到以下几点：
(1)根据已知条件与结论认真分析图形；
(2)准确无误的确定每个三角形的六个元素；
(3)根据已知条件，确定对应元素，即找出相等的角或边;
(4)对照判定方法，看看还需什么条件两个三角形就全等;
(5)想办法找出所需的条件来.
四、例题：
例1.如图7 (1) , E F分别是四边形ABCD的边BA DC延长线上的点，AB∕∕CD, AD//BC,且AE=CF
EF 交AD于G 交BC于H.
；(不添加任
(1)________________________________ 图中的全等三角形有__ 对，
它们分别是_____________________________
何辅助线)
(2)请在(1)问中选出一对你认为全等的三角形进行证明.
我选择的是：_______________________ .
解：(1) 2,A AEG≤^ CFH^n△BEHDFG
(2)如求证明：△ AEG≤A CFH
证明：在平行四边形ABCD中，有∠ BAG∠ HCD
所以∠ EAG=180—∠ BAG=180—∠ HCD∠ FCH
又因BA// DC 所以∠ E=∠ F.又因AE=CF 所以△ AEG^A CFH 点评：本
题简单地考察学生对图形的识别能力以及证明能力，主要是根据全等三角
形的判定条件去寻找，然后再作出证明.
例2 .如图8,在厶ABD^n△ ACE中，有下列四个等式：
①AB=AC0AD=AE Q)仁∠巧BD=CE.
请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，
写出一个真命题(要求写出已知，求证及证明过程)
(提示：答案不唯一).
点评：本题是条件组装题，答案不唯一，它重点考查学生的
创新意识和能力，四个命题进行组合，有六种情况，这六种情况中有的是假命
题，请同学们注意分辨.
例3 .如图9,点E在AB上，AC=AD ,
请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。
所添条件为___________ ,
你得到的一对全等三角形是L 二.
(提示：可选择CE=DE> CAB- DAB、BC = BD等条件中的一个。
- - A
可得到∙IACE三ADE或二ACB三ADB ,证明过程略).
例4 .如图10, AB=CD=EP AD=EB BE⊥ DE,垂足为E.
(1) 求证：△ ABD≤A EDB
(2) 只需添加一个条件，即___________ ,可使四边形ABCE为矩形.
请加以证明.
提示：(1)证明略
(2)添加AB// CD 或添加AD=BC或BE=BC或∠ A= ∠ ADC或∠ ADC=90 或∠ A=∠ C 或∠ C=90°或∠ ABD∠ BDC 或∠ A=∠ ABC或∠ ADB∠ DBC或∠ ABC=90 等.证明略.
悉心教育厦门蓝精灵辅导中心The Smufs: CarefUlly designed to help you develop a cradle!
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞!
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞! 图6 (2)
φ-p a l 0 e
d o φ
>φp noA d φl l 04 P φu 6ωφp "七φl l l f r s i UORe 0np 山 0。