2.2.2 椭圆的简单几何性质教案(人教A版选修2-1)

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高中数学椭圆的简单几何性质教案(2) 新人教A版选修2-1

§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)●教学目标１．熟悉椭圆的几何性质；２．利用椭圆几何性质求椭圆标准方程；３．了解椭圆在科学研究中的应用． ●教学重点：椭圆的几何性质应用 ●教学过程：Ⅰ、复习回顾：利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质． Ⅱ、讲授新课：例6．点 ),(y x M 与定点 )0,4(F 的距离和它到定直线 425:=x l 的距离的比是常数54，求点的轨迹．解：设是点直线的距离，根据题意，如图所求轨迹就是集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==54d MF M P 由此得54425)4(22=-+-x y x ．将上式两边平方，并化简得 22525922=+y x即192522=+y x所以，点M 的轨迹是长轴、短轴分别是10、6的椭圆说明：椭圆的一个重要性质：椭圆上任意一点与焦点的距离和它到定直线的距离的比是常数（e 为椭圆的离心率）。

其中定直线叫做椭圆的准线。

对于椭圆，相应于焦点的准线方程是．根据椭圆的对称性，相应于焦点的准线方程是，所以椭圆有两条准线．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．【典例剖析】［例1］已知椭圆2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)的焦点坐标是F 1(－c ，0)和F 2(c ，0)，P (x 0，y 0)是椭圆上的任一点，求证：｜PF 1｜＝a ＋ex 0，｜PF 2｜＝a －ex 0，其中e 是椭圆的离心率．［例2］已知点A (1，2)在椭圆121622y x +＝1内，F 的坐标为(2，0)，在椭圆上求一点P 使|PA |＋2|PF |最小．［例3］在椭圆92522y x +＝1上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍． Ⅲ、课堂练习：课本Ｐ52，练习５再练习：已知椭圆上一点到其左、右焦点距离的比为1：3，求点到两条准线的距离．（答案：到左准线的距离为，到右准线的距离为．）思考：已知椭圆内有一点，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点，使的值最小，求的坐标．（如图）分析：若设，求出，再计算最小值是很繁的．由于是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关．故有如下解法．解：设在右准线上的射影为．由椭圆方程可知，，．根据椭圆的第二定义，有即．∴．显然，当、、三点共线时，有最小值．过作准线的垂线．由方程组解得．即的坐标为．【随堂训练】1．椭圆2222ay b x +＝1(a ＞b ＞0)的准线方程是( )A ．y ＝±222b a a + Ｂ．y ＝±222b a a -Ｃ．y ＝±222ba b - Ｄ．x ＝±222ba a -2．椭圆4922y x +＝1的焦点到准线的距离是( )A ．554和559 B ．559和5514 C ．554和5514 D ．5514 3．已知椭圆2222by a x +＝1(a >b >0)的两准线间的距离为3316，离心率为23，则椭圆方程为( ) A ．3422y x +＝1 B ．31622y x +＝1 C ．121622y x +＝1 D ．41622y x +＝14．两对称轴都与坐标轴重合，离心率e ＝0．8，焦点与相应准线的距离等于49的椭圆的方程是( )A ．92522y x +＝1或92522x y +＝1B ．92522y x +＝1或162522y x +＝1C ．162x ＋92y ＝1 D ．162522x y +＝15．已知椭圆2222by a x +＝1(a >b >0)的左焦点到右准线的距离为337，中心到准线的距离为334，则椭圆的方程为( ) A ．42x ＋y 2＝1 B ．22x ＋y 2＝1C ．42x ＋22y ＝1D ．82x ＋42y ＝16．椭圆22)2()2(-+-y x ＝25843++y x 的离心率为( )A ．251 B ．51 C ．101 D ．无法确定【强化训练】1．椭圆2222by a x +＝1和2222by a x +＝k (k ＞0)具有( )A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴2．椭圆92522y x +＝1上点P 到右焦点的最值为( )A ．最大值为5，最小值为4B ．最大值为10，最小值为8C ．最大值为10，最小值为6D ．最大值为9，最小值为13．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是( )A ．51 B ．43 C ．33 D ．214．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为( )A ．41 B ．22 C ．42 D ．215．椭圆m y m x 21322++＝1的准线平行于x 轴，则m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．0＜m ＜1C ．m ＞1D ．m ＞0且m ≠16．椭圆92522y x +＝1上的点P 到左准线的距离是2．5，则P 到右焦点的距离是________．7．椭圆103334)1()1(22--=-++y x y x 的长轴长是______．8．AB是过椭圆4522y x +＝1的一个焦点F 的弦，若AB 的倾斜角为3π，求弦AB 的长．9．已知椭圆的一个焦点是F (1，1)，与它相对应的准线是x ＋y －4＝0，离心率为22，求椭圆的方程．10．已知点P在椭圆2222bx a y +＝1上(a ＞b ＞0)，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，求|PF 1|·|PF 2|的取值范围．【学后反思】椭圆的离心率是焦距与长轴的比，椭圆上任意一点到焦点的距离与这点到相应．．准线的距离的比也是离心率，这也是离心率的一个几何性质．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，它也沟通了椭圆上的点的焦半径｜PF｜与到相应准线距离d之间的关系．左焦半径公式是|PF1|＝a＋ex0，右焦半径公式是|PF2|＝a－ex0．焦半径公式除计算有关距离问题外还证明了椭圆上离焦点距离最远(近)点实a2，但必须注意这是椭圆的为长轴端点．椭圆的准线方程为x＝±c中心在原点，焦点在x轴上时的结论．。

人教课标版高中数学选修2-1：《椭圆的简单几何性质(第1课时)》教案-新版

2.2.2 椭圆的简单几何性质（第一课时）一、教学目标（一）学习目标1.给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率；2.在图形中，能指出椭圆中e c b a ,,,的几何意义及其相互关系；3.知道离心率大小对椭圆扁平程度的影响. （二）学习重点1.用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性；2.椭圆的简单几何性质. （三）学习难点椭圆的离心率及椭圆几何性质的简单应用二.教学设计（一）预习任务设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第43页至第46页.（2）想一想：椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响？（3）写一写：焦点分别在,x y 轴上的椭圆的范围、对称性、顶点. 2.预习自测判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为a .（）（2）椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.（）（3）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为2212516x y +=.（）（4）已知点(,)m n 在椭圆228324x y +=上，则24m +的最大值为4+.（）【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】通过椭圆的标准方程22221x y a b +=可认识到椭圆的相应几何量：长轴长2a ，短轴长2b ，离心率e ca=，x 的取值范围取值范围a x a -≤≤. 【思路点拨】通过椭圆的标准方程认识几何性质. 【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√. （二）课堂设计 1.知识回顾椭圆的标准方程：当焦点在x 轴时，)0(12222>>=+b a b y a x当焦点在y 轴时，)0(12222>>=+b a b x a y2.新知讲解探究一：具体方程，认识图形 ●活动① 图形引发性质运用所学的知识，你能否画出方程14922=+y x 所对应的曲线？（如果不能精确地画出，也可以画出它的草图.）预案一：利用椭圆的定义，用绳子画图；预案二：根据所学先判断其为椭圆，求与x 轴y 轴的交点再连结；预案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比较精确地画出第一象限的部分；【设计意图】让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交点），即椭圆的顶点.研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置.以椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 为例，你觉得应该从哪些方面研究它的几何性质？【设计意图】引出研究曲线性质的意义，为后面研究椭圆的几何性质指明角度. 探究二：简化抽象、探究性质 ●活动① 归纳梳理、理解提升（1）范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y a b ≤≤，∴22x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤.说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里. （2）对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称.若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心. （3）顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点.同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点. 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22R t O BF ∆中，2||O B b =，2||O F c =，22||BF a =，且2222222||||||O F B F O B =-，即222c a b =-. （4）离心率：椭圆的焦距与长轴的比e ca=叫椭圆的离心率.∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆.当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a+=.e 1,0c a b →→→⎧⎨⎩当时,椭圆图形越扁； e 00,c b a →→→⎧⎨⎩当时,椭圆越接近于圆. ●活动② 巩固基础、检查反馈例1.根据下列条件求椭圆的标准方程（1）28,e 3c ==；（2）过点(3,0)P ，离心率e =，求椭圆的标准方程. 【知识点】椭圆的标准方程以及离心率. 【解题过程】（1）8e ,1223c c a a e =∴===，又2222212880b a c =-=-= ∴椭圆标标准方程为22114480x y +=或22114480y x +=. （2）当椭圆的焦点在x 轴上时，3,c a c a ==∴=. 从而222963b a c =-=-=，∴椭圆的方程为22193x y +=.当椭圆的焦点在y 轴上时，3,c b a === 227a ∴=，∴椭圆方程为221927x y += ∴所求椭圆的方程为221927x y +=或22193x y +=. 【思路点拨】已知椭圆的某些性质，和与性质相关的条件求标准方程仍需先判定焦点位置，从而确定方程形式，并用待定系数的思想，求出方程中的,a b 值，得到方程.【答案】（1）22114480x y +=或22114480y x +=；（2）221927x y +=或22193x y +=.同类训练已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =，求m 的值. 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ===，∴=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===，∴253m =⇒=. 【思路点拨】根据椭圆焦点的位置确定,,a b c 的值，结合离心率的定义建立方程求解.【答案】m =3或253. 例2.已知12,F F 分别为椭圆12222=+by a x 的左右焦点，P 是以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，求这个椭圆的离心率. 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】由题意12PF F ∆为直角三角形，且90P ∠=，1260PF F ∠=，122F F c =，则12,PF c PF ==，所以由椭圆的定义知，122PF PF a +=，即2c a +=，得离心率e 1ca==. 【思路点拨】求离心率一般是先找到关于,,a b c 的一个齐次关系式，然后再变形求e 的值或范围.1-同类训练已知椭圆12222=+by a x (0)a b >>，过椭圆的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A B 、两点， 0OA OB ⋅=，求椭圆的离心率. 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】2(,0)F c ，把x c =代入椭圆12222=+b y a x 得2(,)b A c a .由0OA OB ⋅=，结合图形得22||||OF AF =，即：22222e e 10e b c b ac a c ac a =⇒=⇒-=⇒+-=⇒=. 【思路点拨】求离心率一般是先找到关于,,a b c 的一个齐次关系式，然后再变形求e 的值或范围.. 例3.如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程.【知识点】椭圆的方程以及离心率. 【解题过程】分析：若设点(),M x y ，则MF =，到直线l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程.25:44,5d M l x MF M P M d =⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭解：设是点到直线的距离，根据题意，点的轨迹就是集合4.5=22925225,x y +=将上式两边平方，并化简，得22 1.259x y +=即所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆.【思路点拨】利用条件直接求轨迹方程，我们可以将例3抽象为下面问题：点(,)P x y 与定点(,0)F c 的距离和它到一定直线2:a l x c=的距离之比是常数ca(0)a c >>，求点P 的轨迹方程. （记222b ac =-，则轨迹方程为22221x y a b+=.）【答案】221259x y +=.3.课堂总结知识梳理椭圆的简单几何性质：重难点归纳利用椭圆轴长、离心率、准线等性质求解椭圆方程时，需注意：（1）在,,,e a b c 四个参数中，只要知道其中的任意两个，便可求出其它两个，必须正确地掌握四个参数间的相互关系；（2）离心率的转化和变形：222e (1)c bb a e a a==⇒=⇒=-. （三）课后作业基础型自主突破1.若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为（） A.1 B.32 C. 3 D.83 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】由题意得a 2＝2，b 2＝m ，∴c 2＝2－m ，又c a ＝12，∴2－m 2＝12，∴m＝32.【思路点拨】利用椭圆离心率定义解题. 【答案】B2.椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k ＝1 (0<k <9)有（）A.等长的长轴B.相等的焦距C.相等的离心率D.等长的短轴【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆C 2：焦距＝8=，故选B. 【思路点拨】灵活利用椭圆a,b,c 三者关系. 【答案】B3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（） A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43， ∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. 【思路点拨】过焦点的直线利用椭圆的定义. 【答案】A.4.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为（） A.14 B.55 C.12 D.5－2 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列得(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝5 5.【思路点拨】利用椭圆的几何性质中量的关系.【答案】B5.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________.【知识点】椭圆的定义.【解题过程】由已知，2a＝8,2c＝215，∴a＝4，c＝15，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为y216＋x2＝1.【思路点拨】利用条件求a,b,c的值.【答案】y216＋x2＝1.6.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤32.则长轴长的取值范围为________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵b＝1，∴c2＝a2－1，又c2a2＝a2－1a2＝1－1a2≤34，∴1a2≥14，∴a2≤4，又∵a2－1>0，∴a2>1，∴1<a≤2，故长轴长2<2a≤4.【思路点拨】利用离心率的定义建立不等关系. 【答案】2<2a≤4能力型师生共研7.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设椭圆G的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，半焦距为c，则⎩⎨⎧2a ＝12，c a ＝32，∴⎩⎨⎧a ＝6，c ＝3 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9， ∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.【思路点拨】利用椭圆a,b,c 三者关系以及椭圆定义解题. 【答案】x 236＋y 29＝18.椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】如图，当直线x ＝m ，过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 23＝1，解得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴S ＝12×3×2＝3.【思路点拨】数形结合解题. 【答案】3 探究型多维突破9.已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段P A 中点M 的轨迹方程.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋62＝x ，y 0＋02＝y ，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y .∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 24＝1.把⎩⎨⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y 代入x 208＋y 204＝1，得22(26)(2)184x y -+=，即22(3)12x y -+=为所求.【思路点拨】相关点转移法求轨迹.【答案】22(3)12x y -+=.10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，离心率e ＝22，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4 2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 、B 是直线l ：x ＝22上的不同两点，若AF 1→·BF 2→＝0，求|AB |的最小值. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】（1）由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，S ＝12ab ＝42，解得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆的标准方程为：x 24＋y 22＝1.（2）由(1)知，F 1、F 2的坐标分别为F 1(－2，0)、F 2(2，0)，设直线l ：x ＝22上的不同两点A 、B 的坐标分别为A (22，y 1)、B (22，y 2)，则AF 1→＝(－32，－y 1)、BF 2→＝(－2，－y 2)，由AF 1→·BF 2→＝0得y 1y 2＋6＝0，即y 2＝－6y 1，不妨设y 1>0，则|AB |＝|y 1－y 2|＝y 1＋6y 1≥26，当y 1＝6、y 2＝－6时取等号，所以|AB |的最小值是2 6.【思路点拨】建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值得方法确定最值. 【答案】（1）x 24＋y 22＝1；（2）2 6. 自助餐1.过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为（） A.8,6 B.4,3 C.2， 3 D.4,2 3 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是2b 2a .∴最长的弦为2a ＝4，最短的弦为2b 2a ＝2×32＝3，故选B. 【思路点拨】利用椭圆的几何性质量的关系解题. 【答案】B2.设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且，12:2:1PF PF =则△F 1PF 2的面积等于（） A.5 B.4 C.3 D.1 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又12:2:1PF PF =，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B. 【思路点拨】充分利用椭圆的定义求出三角形三边解题. 【答案】B3.已知A ＝{1,2,4,5}，a ，b ∈A ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率为（）A.34B.38C.316D.12 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵a ，b ∈A ，∴不同的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1共有16个. 由题意a 2<b 2，∴a ＝1时，b ＝2,4,5；a ＝2时，b ＝4,5； a ＝4时，b ＝5，共6个，∴所求概率P ＝616＝38. 【思路点拨】注意椭圆的焦点在y 轴上. 【答案】B4.已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)两个焦点，P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α，且当α＝2π3时，△F 1PF 2的面积最大，则椭圆的标准方程为（） A.x 212＋y 23＝1 B.x 214＋y 25＝1 C.x 215＋y 26＝1 D.x 216＋y 27＝1 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵当P 在短轴端点时，S △F 1PF 2最大，∴∠PF 1F 2＝π6，∴tan π6＝bc ，∵c ＝3，∴b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝12，椭圆方程为x 212＋y 23＝1.【思路点拨】利用几何关系. 【答案】A5.已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，∵(2)33m m m m m m +-=>++，∴m >m m ＋3.即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ==.由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1(－32，0)，F 2(32，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－12)，B 2(0，12). 【思路点拨】利用离心率的定义建立关系.6.已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x 轴的距离等于短半轴长的23，求椭圆的离心率.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】解法一：设焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为(c ，23b ).在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2，而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab . 又c 2＝a 2－b23b ＝2a .∴b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.解法二：设M(c，23b)，代入椭圆方程，得c2a2＋4b29b2＝1，∴c2a2＝59，∴ca＝53，即e＝53.【思路点拨】利用椭圆的几何关系结合椭圆离心率的定义解题.。

人教A版高中数学选修2-1 2-2-2椭圆的简单几何性质教案精品

2.2.2椭圆的简单几何性质（一）教学目标 1.知识与技能：(1) 通过对椭圆图形的研究，让学生熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对椭圆形状的影响，进一步加强数形结合的思想。

(2) 熟练掌握椭圆的几何性质，会用椭圆的几何性质解决相应的问题2.过程与方法：通过讲解椭圆的相关性质，理解并会用椭圆的相关性质解决问题。

3.情感、态度与价值观：(1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； (2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

（二）教学重点与难点重点：椭圆的几何性质，数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质难点：数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质。

（三）教学过程活动一：创设情景、引入课题（5分钟）问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？1、椭圆的定义？2、两种不同椭圆方程的对比？问题2：观察椭圆12222=+by a x （a>b>0）的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？点题：今天我们学习“椭圆的简单几何性质” 活动二：师生交流、进入新知，（20分钟） 1．范围：-a x a ≤≤，b y b -≤≤由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y a b≤≤，∴22x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤，∴-a x a ≤≤，b y b -≤≤说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里.2．对称性：椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。

若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.问题3：你能由椭圆的方程12222=+by a x 得出椭圆与x 轴、y 轴的交点坐标吗？3．顶点：与x 轴的两个交点.为1(,0)A a -，2(,0)A a ；长轴为|21A A |=2a ；长半轴长为a 与y 轴的两个交点为1(0,)B b -，2(0,)B b ；短轴为|21B B |=2b ；短半轴长为b 确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。

人教A版高中数学选修2-1教案椭圆的简单几何性质(三)

。
原点到直线的距离。
.
解法1：对两边平方整理得：
（*），
∵ ，，整理得：。
又，，从而的最大值为，
此时代入方程（*）得，。
所以，所求直线方程为：。
解法2：令，则。
当且仅Байду номын сангаас 即时，，此时。
所以，所求直线方程为
三、课堂小结：
四、作业：教师安排同步练习
教学后记：
教学用具
教学重点
直线与二次曲线的各种关系及求弦长
教学难点
把几何问题代数化，用代数运算来解决几何问题
教学步骤及要点：
一、复习
二、例1讲：教材P47面例7。
思考：直线与椭圆是否有交点？怎样判断？
练习：上例中，椭圆上的点到直线的最大距离是多少？
例2．已知椭圆的两个焦点为，，离心率为。
（1）求椭圆的方程；
科目
数学
课题
2.2.2椭圆的简单几何性质（三）
教学班级中级班
三
维
目
标
知识与
技能
1、通过例题让学生学会确定直线与二次曲线的各种关系；
2、通过例题让学生学会求弦长。
过程与
方法
通过椭圆的方程研究其几何性质及其应用过程，培养学生观察、分析问题的能力，利用数形结合思想解决问题的能力
情感态度与价值观
通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求
（2）设直线，若与椭圆交于P、Q两点，且∣PQ∣等于椭圆的短轴长，求的值。
思考：直线与椭圆相交时怎么求弦长？
练习：P48面第7题。此题是求焦点弦长，你还有其它方法吗？

2019-2020学年高中数学 2.2.2 椭圆的简单几何性质1教案新人教A版选修2-1.doc

小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．
※动手试试
练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在轴上，，；
⑵焦点在轴上，，；
⑶经过点，；
⑷长轴长等到于，离心率等于．
三、总结提升
※学习小结
1 ．椭圆的几何性质：
图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；
批注
教学重点：了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念。
教学难点：掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念。
教学用具：三角板，圆规等
教学方法：探究，讨论
教学过程：
一、课前准备
（预习教材P43~P46）
长轴，其长为；短轴，其长为；
离心率：刻画椭圆程度．
椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率，记，且．
反思：或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？
※典型例题
例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
变式：若椭圆是呢？
小结：①先化为标准方程，找出，求出；
②注意焦点所在坐标轴．
例2 点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹．
◆过程与方法目标
椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率，让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．
◆情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．

高中数学选修2-1精品教案2：2.2.2 椭圆的简单几何性质教学设计

2.2.2 椭圆的简单几何性质
【学情分析】：
学生已经掌握了椭圆的概念、标准方程的概念，也能够运用标准方程中的a,b,c的关系解决题目，但还不够熟练。

另外对于求轨迹方程、解决直线与椭圆关系的题目，还不能很好地分析、解决。

【三维目标】：
1、知识与技能：
①进一步强化学生对于椭圆标准方程中a,b,c关系理解，并能运用到解题当中去。

②强化求轨迹方程的方法、步骤。

③解决直线与椭圆的题目，强化数形结合的运用。

2、过程与方法：
通过习题、例题的练讲结合，达到学生熟练解决椭圆有关问题的能力。

3、情感态度与价值观：
通过一部分有难度的题目，培养学生克服困难的毅力。

【教学重点】：
知识与技能②③
【教学难点】：
知识与技能②③
【课前准备】：
学案。

人教A版高中数学选修2-1教案椭圆的简单几何性质(2)

科目数学课题 2.2.2椭圆的简单几何性质（二）教学班级中级班三维目标知识与技能会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．过程与方法通过椭圆的方程研究其几何性质及其应用过程，培养学生观察、分析问题的能力，利用数形结合思想解决问题的能力情感态度与价值观通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求教学用具教学重点椭圆的定义解决实际问题，了解椭圆的第二定义教学难点了解椭圆的第二定义教学步骤及要点：教学过程：（一）复习：椭圆的简单几何性质1．椭圆81922=+y x 的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为26，离心率为322，焦点坐标为)26,0(±，顶点坐标为)9,0(±)0,3(±，. 2．短轴长为8，离心率为53的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 20 .（二）新授例1．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．对称的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =．建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．解析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为22221x y a b+=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．引申：如图所示， “神舟七号”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面200km ，远地点B 距地面350km ，已知地球的半径6371R km =．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．例2．如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则()224MF x y =-+，到直线l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．引申：若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2a x c=的距离比是常数ce a=()0a c >>，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中焦点(),0F c 相应的准线是定直线l ：2a x c =；焦点(),0F c '-，相应的准线l '：2a x c=-,由椭圆的第二定义e dMF =∴||。

高中数学2.2.2椭圆的简单几何性质学案新人教A版选修2-1

高中数学椭圆的简单几何性质教案新人教 A 版选修 2-1课前预习教案一、预习目标：预习椭圆的四个几何性质二、预习内容：(1) 范围 :----------------，椭圆落在-----------------构成的矩形中．(2)对称性 : 图象对于y轴对称．图象对于x轴对称．图象对于原点对称原点叫椭圆的---------，简称 -----．x轴、y轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接能够看出它的范围，对称的截距（ 3）极点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的极点椭圆共有四个极点：---------------加两焦点----------共有六个特别点.A1 A2叫椭圆的-----，B1B2叫椭圆的-----．长分别为2a,2b a, b分别为椭圆的-------和 ---- --.椭圆的极点即为椭圆与对称轴的交点(4) 离心率 :椭圆焦距与长轴长之比e ce 1 (b)20 e 1 a a椭圆形状与 e 的关系： e0,c0 ，椭圆变---，直至成为极限地点圆，此时也可以为圆为椭圆在 e 0 时的特例 e 1,c a, 椭圆变---，直至成为极限地点线段F1 F2，此时也可以为圆为椭圆在 e 1时的特例三、提出迷惑：同学们，经过你的自主学习，你还有哪些迷惑，请把它填在下边的表格中迷惑点迷惑内容课内研究教案一、学习目标： 1 掌握椭圆的范围、对称性、极点、离心率、理解a,b,c,e的几何意义。

2初步利用椭圆的几何性质解决问题。

学习重难点：椭圆的几何性质的商讨以及a,b,c,e的关系x 2 y 21(a b 0) 的形状，二、学习过程：研究一观察椭圆2 b2a你能从图形上看出它的范围吗？它拥有如何的对称性？椭圆上哪些点比较特别？1、范围：（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________。

椭圆上点的纵坐标的范围是 ____________________.。

（2）由椭圆的标准方程x2 y20) 知a1(a b2b2① x 2____1,即 ____ ____；②y 2____ 1；即 ____ y ___2 x 2a b所以 x2y 2 1(a b 0) 位于直线 ___________ 和 __________围成的矩形里。

高中数学 2.2《椭圆》教案新人教A版选修2-1

椭圆【课题】椭圆【课型】高三复习课【授课教师】【教材分析】圆锥曲线是解析几何的主体内容，也是高中数学的重点内容，而椭圆是圆锥曲线的起始部分，通过本节课的学习，不但让学生对椭圆的知识结构有一个较清晰的认识，而且在处理问题时，让学生学会灵活运用定义，正确选用标准方程，恰当利用几何性质，合理的分析，准确的计算。

并且为复习双曲线和抛物线奠定了基础。

【学情分析】根据“诱思探究教学论”，教学过程中遵循“探索——研究——运用”的三个层次要素，侧重学生的“思”、“探”、“究”的自主学习。

通过教师的“诱”，学生的动脑“思”，使学生的学习达到“探索得资料，研究获本质”。

【教学目标】1、知识目标：掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的几何性质。

2、能力目标：培养学生的解析几何观念，培养学生观察、概括能力，以及类比的学习方法，培养学生分析问题、解决问题的能力。

3、思想目标：⑴培养学生对待知识的科学态度和主动探索精神，激发学生学习激情，提高数学素养。

⑵通过圆锥曲线的学习，可以对学生进行对立、统一的唯物主义思想教育。

【教学重点】1、椭圆的定义，标准方程和几何性质。

2、利用性质解决一些问题。

【教学难点】椭圆定义和几何性质的灵活应用。

【教学方法】诱思探究教学法【教具准备】多媒体电脑课件【教学过程】一、知识梳理构建网络问题1：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和为常数的点的轨迹是什么?常数大于|F 1F 2|的点的轨迹是椭圆常数等于|F 1F 2|的点的轨迹是线段F 1F 2 常数小于|F 1F 2|的点的轨迹不存在问题2：平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比为常数的点的轨迹是椭圆吗？常数e(0<e<1)点的轨迹是椭圆问题3：椭圆的标准方程的两种形式是什么？12222=+b y a x ， 12222=+ay b x ,(a ＞b ＞0) 分别表示中心在原点，焦点在 x 轴和y 轴上的椭圆问题4：椭圆的几何性质有哪些？2F 1F M二、要点训练知识再现例1．已知椭圆 )0,(12222>=+b a by a x 长半轴的长等于焦距,且 4=x 为它的右准线,椭圆的标准方程为：例2．椭圆上一点P 到左准线的距离为10，F 1是左焦点，O 是坐标原点，点M 满足，则21162522=+y x )(211OF OP OM +=.,0,,,)0(1)06.(321212222的范围求椭圆离心率使若椭圆上存在一点的两焦点为设椭圆模拟例e PF PF P F F b a by a x =⋅>>=+2212221212121020100||||||,0||,||,||),,(解法一F F PF PF PF PF PF PF F F ex a PF ex a PF y x P =+⊥∴=⋅-=+= 则：设)1,22[200,024)()(22222022202220222020∈∴<-≤∴<≤∴<≤∴-==-++e c a c c x e a x x p a c x e c ex a ex a 轴上在椭圆上但不在即1222,.,02222222212121<≤⇒≤∴≤-∴≤⇒≤∴⊥∴=⋅e c a c c a c b c b P F F P PF PF PF PF ，椭圆有又在椭圆上，所以圆与而为直径的圆上，在以所以解法二：公共点探究：以c 为半径的圆与椭圆的位置关系？三、学以致用直通高考357||||||||||||||||||||||||||||||||||||||41525162617277161514131211132512261127252627==++++++=++++++∴===a P F P F P F P F P F P F P P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P ，，，，由题意知，，，解法二：连接___||||||811625)06.(4171211172122=+⋯⋯++⋯⋯=+F P F P F P F P P P x y x 则七个点，，，于的垂线交椭圆上半部分轴等分，过每个分点作的长轴分成把椭圆四川例四、知识迁移提升能力.?|F P ||F P ||,F P ||,F P |, P ,P ,8116251812111080172122差说明理由，若是求出公，是否为判断长轴与椭圆交于是椭圆的左焦点七个点，，，半部分于轴的垂线交椭圆上等分，过每个分点作的长轴分成把椭圆等差数列:变式练习 F P P P x y x ⋯⋯=+五、课后小结谈谈收获通过本节课的学习，同学们应明确以下几点：357)(7||||||||||7321171613121176543217654321==+++++=+++++a x x x x e a F P F P F P F P F P x x x x x x x P P P P P P P ，，，，，，的横坐标分别为，，，，，，解法一：设43'||||||||||||8045810}{x :1810101111n 810810==∴⋯⋯∴=-+=∈≤≤==⋯⋯⋯⋯+ed d F P F P F P ed F P F P ex a F P N n n d x x x P P P n n n n ，，）。

《2.2.2椭圆的简单几何性质》教学设计

椭圆的简单几何性质YZK19018一、概述本节课是普通高中课程标准实验教科书人教版数学理科选修2-1的第二章《2.2.2椭圆的简单几何性质》，主要学习椭圆的简单几何性质及其应用。

在此之前，学生已经学习过了椭圆的定义及其标准方程，而本节课是结合椭圆定义、方程和图形来发现总结椭圆的几何性质，再利用性质去解决问题；本节课教材，让学生用方程在探究推出性质的基础上，充分认识到数形结合的奇妙和转化思想，体会到数与形的辩证统一，且本节课内容的掌握程度直接影响以后学习双曲线和抛物线几何性质，为双曲线和抛物线几何性质的学习奠定了基础。

二、学习目标分析根据课程标准，结合高考要求和我校实际学情，制定以下教学目标：【知识与技能】：理解并掌握椭圆的几何性质，能根据这些几何性质解决简单问题，初步学会利用方程研究曲线几何性质的方法。

运用数形结合、函数与方程、转化的思想。

培养学生培养学生勇于探索、勤于思考的精神；培养学生观察、分析、探究、归纳、概括的能力以及运用数学工具解决实际问题的能力。

【过程和方法】：这是第一次学习用方程研究几何性质，通过初步尝试，是学生经历性质的得出过程，使学生认识到不仅注意对研究结果的理解和掌握，也要注意对过程的重视和其中数学思想和方法的渗透；以自主探究，合作讨论为主，进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究几何性质的方法，也培养学生良好的合作和分享意识。

【情感态度和价值观】：通过对本节课的学习，进一步体会曲线与方程的对应关系,体会椭圆的和谐美和对称美，培养审美习惯和良好的思维品质，认识椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

三、学习者特征分析我校是一所农村普通高中，根据中考录取统计，学生大多属于二类生源，本课上课班级是一个普通理科班，大部分同学基础较为薄弱，自主分析，独立解决问题的能力不是很强，但是同时，学生也已经具备一定的自学能力，多数同学对数学有较强的兴趣和学习积极性,在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。

高中数学新人教版A版精品教案《2.2.2 椭圆的简单几何性质》

《椭圆的几何性质》学案
主讲：李广
知识与技能目标：
了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、
离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题
重点与难点：椭圆的几何性质的应用
教学过程：
复习：
1椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。

2椭圆的标准方程是：
当焦点在X 轴上时当焦点在Y 轴上时
,b,c 的关系是:
新课：椭圆
122
22=+b y a x a>b>0简单的几何性质
1、范围
2、2、椭圆的对称性
3、3、椭圆的顶点
探究：根据前面所学有关知识画出下列图形
11625122=+y x ）（
142522
2=+y x ）（
4、椭圆的离心率
归纳如下表：
2252=400,它的长轴长是：。

短轴长是：。

焦距是：。

离心率等于：。

焦点坐标是：顶点坐标是：。

外切矩形的面积等于：
例2求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点
(2)长轴的长等于2021心率等于
练习1：求适合下列条件的椭圆的标准方程:
1焦点在轴上，焦距等于4，并且过点62-54,与定点F4，0的距离和它到定直线：的距离425
x 的比是常数 54
,
求动点M 的轨迹。

人教A版高中数学选修2-1教案椭圆的简单几何性质(1)

又221||OF c a b =+，△F 1OB 边OF 1上的高为B y ，而B y 的最大值是b ，所以△F 1OB 的面积最大值为12
cb 。

所以△F 1AB 的面积最大值为cb 。

点评：抓住△F 1AB 中c OF =||1为定值，以及椭圆是中心对称图形。

（2）易知A （3，2）在椭圆内，B （－4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为F （4，0）。

连PB ，PF 。

由椭圆的定义知：||||10PB PF +=，
所以||10||PB PF =-，
||||||10||10(||||)PA PB PA PF PA PF +=+-=+-所以。

由平面几何知识，||||||||PA PF AF -≤，即||10|)||(|max AF PB PA +=+，而22
||(34)(20)5AF =-+-=，所以510|)||(|max +=+PB PA 。

点评：由△PAF 成立的条件||||||||AF PF PA <-，再延伸到特殊情形P 、A 、F 共线，从而得出||||||||AF PF PA ≤-这一关键结论。

三、课堂小结
1、椭圆的几何性质。

2、运用椭圆的几何性质求离心率、简单的最值。

四、作业:教师安排同步练习
教学后记：。

高中数学人教A版选修2-1第二章《2.2.2 椭圆的简单几何性质》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学人教A版选修2-1第二章《2.2.2 椭圆的简单几何性质》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
(一)教学知识点椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点.
(二)能力训练要求
1.使学生了解并掌握椭圆的范围.
2使学生掌握椭圆的对称性,明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心.
3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及a、b、c的几何意义,明确标准方程所表示的椭圆的截距.
4.使学生掌握离心率的定义及其几何意义.
2学情分析
学生已经掌握了椭圆的标准方程,并在高一学习过根据函数方程画函数图象的相关方法,可以较好完成相关性质的探究。

3重点难点
教学重点:椭圆的简单几何性质.
教学难点: 椭圆的简单几何性质及其推导.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】新课导入
[师]前面,我们研究讨论椭圆的标准方程 ,(焦点在x轴上)或 (焦点在y轴上)(板书) 那么我们研究椭圆的标准方程有什么实际作用呢?
同学们知道,2008年的8月,中国为世界奉献了一个空前盛况的奥运会,一个多月后的9月2 5日,世界的目光再次投向中国,同学们知道是什么事吗? (出示神七发射画片并解说):2008年9月25日21时,“神舟七号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行和宇航员太空行走等多项先进技术,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问: “神舟七号”载人飞船的运行轨道是什么?――对,是椭圆。

据有关资料报道,飞船发射升空后,进入的是以地球的地心为。

高中数学专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质(1)教案新人教A版选修2-1(2021年整理)

高中数学专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质（1）教案新人教A版选修2-1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质（1）教案新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质（1）教案新人教A版选修2-1的全部内容。

椭圆的简单的几何性质（1）【教学目标】知识目标:1．能够根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）;2．会根据椭圆的几何条件求出椭圆的方程．能力目标：通过对图像和方程研究椭圆的几何性质，体会数形结合的思想方法，培养学生综合运用能力、归纳能力，自觉养成运算能力、动手、动脑的良好习惯.情感目标：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践.【重点难点】1.教学重点：能够根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质。

2.教学难点：会用几何性质解决一些简单的问题。

【教学过程】☆情境引入☆椭圆的定义:到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于｜F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。

2。

椭圆的标准方程是：当焦点在X轴上时22221(0)x ya ba b+=>>当焦点在Y轴上时22221(0)y xa b a b+=>>☆探索新知☆椭圆22221x ya b+=简单的几何性质1、范围：221,x a ≤221yb≤得： -a≤x≤a, -b≤y≤b知椭圆落在x=±a,y= ± b 组成的矩形中椭圆的对称性从图形上看，椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称。

从方程上看：(1）把x 换成—x 方程不变,图象关于y 轴对称; （2）把y 换成-y 方程不变，图象关于x 轴对称；(3）把x 换成-x ，同时把y 换成-y 方程不变，图象关于原点成中心对称。

高中数学2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案新人教A版选修2-1

1 / 6高中数学椭圆及其简单几何性质 (1) 教案新人教 A 版选修 2-1学习目标1．依据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．依据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，绘图．学习过程一、课前准备（预习教材理 P 43~ P 46，文 P 37 ~ P 40 找出迷惑之处）复习 1：椭圆x 2y 2 1 上一点 P 到左焦点的距离是 2 ，那么它到右焦点的距离是． 16 122 2复习 2：方程xy 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是． 5 m二、新课导学※学习研究问题 1：椭圆的标准方程x 2 y 2 22 1 ( a b 0) ，它有哪些几何性质呢？ab图形：范围： x ： y ：对称性：椭圆对于轴、轴和都对称；极点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比 c称为离心率，a记 ec，且 0 e 1 ．a1试一试：椭圆y2x2 1 的几何性质呢？16 9图形：范围： x ：y ：对称性：椭圆对于轴、轴和都对称；极点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；c离心率： e=．b c反省：或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？※典型例题例 1 求椭圆 16 x225y2400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和极点的坐标．2 2变式：若椭圆是9 x y81呢？2 / 62 3 / 6小结：①先化为标准方程，找出a, b ，求出 c ；②注意焦点所在座标轴．25 的距离的比是常数 4 ，求点M的例 2 点 M (x, y) 与定点 F (4,0) 的距离和它到直线 l : x4 5轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．※着手试一试练 1．求合适以下条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在 x 轴上，a 6 ，e 1 ；3⑵焦点在 y 轴上， c 3 ，e 3 ；5⑶经过点 P( 3,0) ， Q(0,2) ；⑷长轴长等到于20，离心率等于 3 ．5三、总结提高※学习小结34 / 65 / 61 ．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、极点、长轴、短轴、离心率；2 ．理解椭圆的离心率． ※知识拓展（数学与生活）已知水平川面上有一篮球，在斜平行光芒的照耀下，其暗影为一椭圆，且篮球与地面的接触点是椭圆的焦点．学习评论※自我评论你达成本节导教案的状况为（） .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1．若椭圆x 2y 21 的离心率 e10，则 m 的值是（）．5 m5A ．3B ．3或25 C ． 15 D ． 15或5 153 32．若椭圆经过原点，且焦点分别为 F 1 (1,0) ， F 2 (3,0) ，则其离心率为（）．A ．3B．2C ．1D ．143243．短轴长为5 ，离心率 e2的椭圆两焦点为 F 1, F 2 ，过 F 1 作直线交椭圆于A, B 两点，则3ABF 2 的周长为（）．A ． 3B ． 6C ．12D ．242 24．已知点 P 是椭圆xy 1 上的一点，且以点 P 及焦点 F 1 , F 2 为极点的三角形的面积等于541 ，则点 P 的坐标是．5．某椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18 ，且两个焦点恰巧将长轴三平分，则此椭圆的方程是．课后作业1．比较以下每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？ ⑴ 9 x 2y236 与 x 2y 2 1 ；16 1222⑵ x 29y 236 与xy 1 ．6 102．求合适以下条件的椭圆的标准方程： ⑴经过点 P( 2 2,0) ， Q(0, 5) ； ⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点 P(3,0) ；⑶焦距是 8 ，离心率等于 0.8 ．45 6 / 6。

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2.2.2 椭圆的简单几何性质
教学目标：1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；
2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响.
教学重、难点：目标1；数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质. 教学过程：
（一）复习： 1．椭圆的标准方程. （二）新课讲解： 1．范围：
由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22
221,1x y a b
≤≤，
∴2
2
x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里. 2．对称性：
在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。

若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称.
所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心. 3．顶点：
确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。

同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点. 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.
同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和
b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ∆中，
2||OB b =，1A
2A
2B
2A
O
x
y
F
2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a c =-．
4．离心率：
椭圆的焦距与长轴的比c
e a
=
叫椭圆的离心率. ∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。

当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=．
（三）例题分析：
例1．求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出图形．
解：把已知方程化为标准方程22
221x y a b
+=，5a =，4b =，
∴3c =
=，
∴椭圆长轴和短轴长分别为210a =和28b =，离心率3
5
c e a =
=，焦点坐标1(3,0)F -，2(3,0)F ，顶点1(5,0)A -，2(5,0)A ，1(0,4)B -，2(0,4)B ．
练习、过适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点(3,0)P -、(0,2)Q -；（2）长轴长等于20，离心率等于
35
．解：（1）由题意，3a =，2b =，又∵长轴在x 轴上，
所以，椭圆的标准方程为22
194
x y +=．（2）由已知220a =，35
c e a =
=， ∴10a =，6c =，∴2
2
2
10664b =-=，
所以，椭圆的标准方程为
22110064x y +=或22
110064
y x +=．
例3．如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）2F 为一个焦点的椭圆。

已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面439km ，远地点B （离地面最远的点）距地面2384km ，并且2F 、A 、B 在同一直线上，地球半径约为6371km ，求卫星运行的轨道方程（精确到1km ）．
解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆右焦点（记1F 为左焦点），
设椭圆标准方程为22
221x y a b
+=（1a b >>），
则22||||||63714396810a c OA OF F A -=-==+=，
22||||||637123848755a c OB OF F B +=+==+=，
解得：7782.5a = 972.5c =
∴7722b =
=≈，
所以，卫星的轨道方程是
22
22
177837722x y +=．
五．小结：椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）．
x
y
O
∙
∙ 1F 2F
A
x
y
O A
2B
1B F
图①。