中考数学提高题专题复习相似练习题

中考数学提高题专题复习相似练习题

一、相似

1．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE=EF=FD.

连结BE、BF。使它们分别与AO相交于点G、H

（1）求EG ：BG的值

（2）求证：AG=OG

（3）设AG =a ,GH =b，HO =c，求a : b : c的值

【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO= AC，AD=BC，AD∥BC，

∴△AEG∽△CBG，

∴ = = ．

∵AE=EF=FD，

∴BC=AD=3AE，

∴GC=3AG，GB=3EG，

∴EG：BG=1：3

（2）解：∵GC=3AG（已证），

∴AC=4AG，

∴AO= AC=2AG，

∴GO=AO﹣AG=AG

（3）解：∵AE=EF=FD，

∴BC=AD=3AE，AF=2AE．

∵AD∥BC，

∴△AFH∽△CBH，

∴ = = = ，

∴ = ，即AH= AC．

∵AC=4AG，

∴a=AG= AC，

b=AH﹣AG= AC﹣ AC= AC，

c=AO﹣AH= AC﹣ AC= AC，

∴a：b：c= ：： =5：3：2

【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AO=AC，AD=BC，AD∥BC，从而可证得△AEG∽△CBG，得出对应边成比例，由AE=EF=FD可得BC=3AE，就可证得GB=3EG，即可求出EG：BG的值。

（2）根据相似三角形的性质可得GC=3AG，就可证得AC=4AG，从而可得AO=2AG，即可证得结论。

（3）根据平行可证得三角形相似，再根据相似三角形的性质可得AG=AC，AH=AC，结合

AO=AC，即可得到用含AC的代数式分别表示出a、b、c，就可得到a：b：c的值。

2．如图,在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.

（1）球在地面上的影子是什么形状?

（2）当把白炽灯向上平移时,影子的大小会怎样变化?

（3）若白炽灯到球心的距离是1 m,到地面的距离是3 m,球的半径是0.2 m,则球在地面上影子的面积是多少?

【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆.

（2）解：当把白炽灯向上平移时,影子会变小.

（3）解：由已知可作轴截面，如图所示：

依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，

在Rt△OAE中，

∴OA= = = (m)，

∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°，

∴△OAH∽△OEA，

∴，

∴OH= == (m)，

又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA，

∴△OAE∽△AHE，

∴ = ，

∴AH= ==2625 (m).

依题可得：△AHO∽△CFO，

∴ AHCF=OHOF ，

∴CF= AH⋅OFOH = 2625×32425=64 (m)，

∴S影子=π·CF2=π· (64)2 = 38 π=0.375π(m2).

答：球在地面上影子的面积是0.375π m2.

【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆.

（2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小.

（3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积.

3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE·CA．

（1）求证：BC＝CD；

（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明：∵DC2＝CE·CA，

∴，

∵∠DCE=∠ACD，

∴△CDE~△CAD，

∴∠CDE=∠CAD，

又∵∠CBD=∠CAD，

∴∠CDE=∠CBD，

∴CD=CB.

（2）解：连结OC（如图），设⊙O的半径为r，

由（1）知CD=CB，

∴弧CD=弧CB，

∴∠CDB=∠CBD=∠CAB=∠CAD=∠BAD，∠BOC=2∠CAB，

∴∠BOC=∠BAD，

∴OC∥AD，

∴，

∵PB＝OB，

∴PB=OB=OA=r，PO=2r，

∴=2，

∵CD=2，

∴PC=4，PD=PC+CD=6，

又∵∠PCB=∠CDB+∠CBD，∠PAD=∠PACB+∠CAD，

∴∠PCB=∠PAD，

∵∠CPB=∠APD，

∴△PCB~△PAD，

∴，

即，

解得：r=4.

即⊙O的半径为4.

【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定：两边对应成比例及夹角相等可得△CDE~△CAD，再由相似三角形的性质：对应角相等，等量代换可得

∠CDE=∠CBD，根据等腰三角形的性质即可得证.

（2）连结OC，设⊙O的半径为r，根据圆周角定理可得∠BOC=∠BAD，由平行线的判定得OC∥AD，根据平行线所截线段成比例可得=2，从而求得PC、PD长，再根据相似三角形的判定可得△PCB~△PAD，由相似三角形的性质可得，从而求得半径.

4．如果三角形的两个内角与满足＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝________°；

（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC 是“准互余三角形”．求对角线AC的长．

【答案】（1）15°

（2）解：存在，

如图①，连结AE，

在Rt△ABC中，

∴∠B+∠BAC=90°，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAC=2∠BAD，

∴∠B+2∠BAD=90°，

∴△ABD是“准互余三角形”，

又∵△ABE也是“准互余三角形”，

∴∠B+2∠BAE=90°，