事件的可能性及概率--知识讲解
4.12概率的计算--知识讲解
4.12概率的计算--知识讲解【学习目标】1、通过具体情境了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值范围的意义，能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率；2、能够通过实验，获得事件发生的频率；利用稳定后的频率值来估计概率的大小，理解频率与概率的区别与联系.【要点梳理】要点一、古典概型满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.（1）一次试验中，可能出现的结果是有限的；（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.要点诠释：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=mn.要点二、用列举法求概率常用的列举法有两种：列表法和树形图法.1.列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.2.树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.要点三、利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.要点诠释：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.【典型例题】类型一、用列举法求概率1．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是( ) A. B. C. D.【答案】C.【解析】从袋中随机摸出一个球的所有可能情况有８种，其中是黄球的情况有３种，故摸到黄球的概率是.【总结升华】这是一道典型的古典概型题.举一反三：【变式】如图是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_____.【答案】P（停在阴影部分）=23.2. 把一副扑克牌中的张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是、、）洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是的概率是多少？（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当张牌面数字相同时，小王赢；当张牌面数字不相同时，小李赢．现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.【答案与解析】（1）P（抽到牌面数字４）=;（2）游戏规则对双方不公平．理由如下：P（牌面数字相同）=；P（牌面数字不相同）=23.【总结升华】列表法可以不重不漏的列出所有可能的结果.举一反三：【变式】不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为12.（1）试求袋中蓝球的个数.（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到的都是白球的概率.【答案】（1）1个；（2）P（两次摸到白球）=16.类型二、利用频率估计概率3. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据： (1)计算并完成表格：落在“铅笔”的频率(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？ (3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到 1°)【答案与解析】(1) 0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；(2) 0.69；(3) 由（1）的频率值可以得出P （获得铅笔）=0.69；(4) 0.69×360°≈248°.【总结升华】(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率． 举一反三：【变式】为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼______________条． 【答案】条 .4. 一个密封不透明的盒子里有若干个白球, 在不允许将球倒出来的情况下, 为估计白球的个数, 小刚向其中放入8个黑球, 摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回盒中, 不断重复, 共摸球400次, 其中88次摸到黑球. 估计盒中大约有白球( ).A.28个B.30个C.36个D.42个 【答案】A.【解析】先求出盒子里所有的球数为,再求盒子里的白球数为36-8=28个.故选A .【总结升华】通过实例让学生体会由频率估计概率的必要性和科学性.强调“同样条件，大量试验”.【巩固练习】一、选择题1. 用1、2、3、4、5这5个数字(数字可重复，如“522”)组成3位数，这个3位数是奇数的概率为( ). A ．B ．C ．D ．2.下列说法正确的是( ).A ．抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大；B ．为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行；C ．彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖；D ．中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占100％，是他得出 全市拥有空调家庭的百分比为100％的结论．3.在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是( ). A ．B ．C ．D ．4. 某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是，这个的含义是( ).A ．只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷；B ．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8；C ．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的；D ．在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是不喜欢足球．5. 要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是( ). A ．口袋中装入10个小球，其中只有两个红球；B ．装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球；C ．装入红球5个，白球13个，黑球2个；D ．装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个．6．现有A 、B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6).用小莉掷A 立方体朝上的数字为、小明掷B 立方体朝上的数字为来确定点P()，那么它们各掷一次所确定 的点P 落在已知抛物线上的概率为( ).A. B. C. D.二. 填空题7. 从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是______________．8.你喜欢玩游戏吗?现请你玩一个转盘游戏．如图所示的两上转盘中指针落在每一个数字上的机会均等，现同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字，用所指的两个数字作乘积，所有可能得到的不同的积分别为_______________________；数字之积为奇数的概率为__________________．9．有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1、2、3、4、5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是___________．10. 在一个不透明的盒子中装有2个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则___________．11. 一个口袋中有12个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：先从口袋中摸出10个球，求出其中白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别为：0.4，0.1，0.2，0.1，0.2，根据上述数据，小亮可估计口袋内大约有________个黑球.12. 从－2、－1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于x 的一元二次方程的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是_______.三. 综合题13. 现有三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型.若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为O型的概率.(要求：用列表或画树状图的方法解答)14.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：(1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近___________．(精确到0.1)(2)假如你摸一次，你摸到白球的概率__________.(3)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？15. 在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3、，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标．（1）写出点M坐标的所有可能的结果；（2）求点M在直线y＝x上的概率；（3）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．【答案与解析】一、选择题1．【答案】A.【解析】5个数字组成3位数（可以重复）有5×5×5=125种，是奇数的有5×5×3=75，所以概率为75÷125=.2．【答案】B.3．【答案】C.【解析】第一次摸出红球的概率是21=42，第二次摸出红球的概率是13，所以P（都摸到红球）=111=236.4．【答案】C.5．【答案】C.【解析】P（摸到红球）=51=5+13+24.6．【答案】B.【解析】两人各掷一次出现的结果有36种，而满足点P落在抛物线上的点有3种：(1，3)，(2，4)，(3，3)，所以P(点P 落在已知抛物线上)=二、填空题7.【答案】.【解析】取不同的数作为点的坐标有6种情况，（-2，-1），（-2,2），（-1,2），（-1，-2），（2，-2），（2，-1），摸球的次数摸到白球的次数摸到白球的频率其中在第四象限的有2种（2，-2），（2，-1），所以P(点落在第四象限)= .8.【答案】1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，15，16，18，20，24 ； .9.【答案】.10.【答案】 1 .11.【答案】48 .【解析】由白球与10的比值可以确定P(白球在10个球里)=0.2，所以总球数是12÷0.2=60，即黑球的个数是60-12=48.12．【答案】.【解析】因为方程中有两个不相等的实数根，所以△k<14,k=-2,-1,0,=1-4k>0,即P(有不等实数根)= .所以三、解答题13.【解析】列表如下：所以两次所抽血型为O 型的概率为.树状图如下：所以两次所抽血型为O 型的概率为.14.【解析】(1) 0.6； (2) 0.6;(3) 16只黑，24只白.15.【解析】（1）∵∴点M 坐标的所有可能的结果有九个：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(3，3)．（2）P （点M 在直线y ＝x 上）＝P （点M 的横、纵坐标相等）＝＝．（3）∵∴P （点M 的横坐标与纵坐标之和是偶数）＝．。
第五讲：概率
(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；
(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为 ，求n。
7、已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（2）如果从中取出二件，求先后至少取一次次品的概率；
（3）如果从中取出一件然后放回，再任取一件然后放回，再任取一件，求连续三次取出的都是正品概率；
（4）如果从中一次任取三件，求取出的三件都是正品概率；
（5）如果从中连续取三次不放回，求第三次恰好取出的是正品概率；
（6）若对产品进行一一测试，直至区分出所有的次品为止，求恰好在第五次测试时次品全部发现概率。
(1)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；
(2)求笼内至少剩下5只果蝇的概率。
例3、袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求
（1）摸出2个黑球或3个黑球的概率；
（2）至少摸出1个黑球的概率；
（3）至多摸出1个黑球的概率。
牛刀小试
1、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为( )
（2）恰有4个房间各有一人的概率为______________；
（3）指定的某个房间各有二人的概率为_____________；
（4）第一个房间有1人，第三个房间有3人的概率为______________。
例2、现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品
（1）如果从中取出二件，求先取出的是正品，后取出的是次品的概率；
A B. C. D.
新人教版九年级上册数学[随机事件和概率--知识点整理及重点题型梳理]
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新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习随机事件和概率--知识讲解【学习目标】1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断；2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义.【要点梳理】要点一、必然事件、不可能事件和随机事件【 391875 名称：随机事件与概率初步：随机事件】1.定义：（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.要点诠释：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.要点二、概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.要点诠释：(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.【典型例题】类型一、随机事件1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；②没有空气，动物也能生存下去；③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球.【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是随机事件.【总结升华】准确掌握定义，依据定义判别.【 391875 名称：随机事件与概率初步：经典例题1】举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )．A．明天要下雨;B．打开电视机，正在直播足球比赛;C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1;D．买一张彩票，一定会中一等奖.【答案】C.【变式2】下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生;B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件;C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生;D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.【答案】C.2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球. 【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球；(2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.【总结升华】了解并掌握三种事件的区别和联系.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.类型二、概率3.（2015春•山亭区期末）一只口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球，这三种球除颜色外没有任何区别，并搅匀．（1）取出红球的概率为，白球有多少个？（2）取出黑球的概率是多少？（3）再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到？【答案与解析】解：（1）设袋中有白球x个．由题意得：4+8+x=4×5，解得：x=8，答：白球有8个；（2）取出黑球的概率为：，答：取出黑球的概率是，（3）设再在原来的袋中放入y个红球．由题意得：3（4+y）=20+y，或2（4+y）=8+8，解得：y=4，答：再在原来的袋中放进4个红球，能使取出红球的概率达到．【总结升华】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．举一反三【变式】（2014•宁波模拟）中央电视台“非常6+1”栏目中有个互动环节，在电视直播现场有三个“金蛋”三个“银蛋”其中只有一个“金蛋”内有礼物，银蛋也是如此．有一个打进电话的观众，选择并打开后得到礼物的可能性是（）A．B．C．D．【答案】D.【 391875 名称：随机事件与概率初步：例6及思考题】投篮次数n8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率nm(1)计算表中各场次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少? 【答案与解析】 （1）投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6897127进球频率nm0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 (2)P(进球)≈0.75.【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近. 举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ)9 19 44 91 178 451 击中靶心频率()(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.。
五年级上册《可能性的大小》知识点归纳
五年级上册《可能性的大小》知识点归纳引言《可能性的大小》是五年级上册数学教材中的一篇重要内容，主要讲解了可能性的大小与概率的关系。
通过学习这一部分的内容，可以帮助学生更好地理解可能性与概率之间的区别，并且掌握一些基本的计算方法和应用技巧。
1. 可能性的定义在开始介绍可能性的大小与概率的关系之前，首先需要明确什么是可能性。
可能性是指事件在一次试验中发生的可能程度。
它通常用0到1之间的数表示，其中0表示不可能，1表示必然发生。
2. 可能性的大小判断方法为了判断事件的可能性大小，我们可以通过以下几个方面来考虑：2.1 事件的发生次数事件发生的次数越多，那么它的可能性就越大。
例如，抛一枚硬币，出现正面的次数多于反面的次数，那么正面的可能性就更大。
2.2 事件的发生原因事件的发生原因也会对可能性产生影响。
如果事件的发生原因是必然的，那么它的可能性就是1，表示必然发生；如果事件的发生原因是不可能的，那么它的可能性就是0，表示不可能发生。
2.3 事件的发生条件事件的发生条件也会影响它的可能性。
如果事件发生的条件很苛刻，只有在某些特定条件下才会发生，那么它的可能性就比较小；如果事件发生的条件比较宽松，只要满足一定条件就会发生，那么它的可能性就比较大。
3. 可能性与概率的关系可能性是概率的一种表达方式，两者之间存在一定的关系。
概率是指在大量重复试验中，某一事件发生的可能性。
它通常用百分数或分数表示，范围在0%到100%之间。
概率可以通过试验结果的频率来进行估计。
当试验次数越多时，概率的估计值越接近真实值。
可能性与概率的关系可以用以下公式表示：可能性 = 概率/100也就是说，可能性与概率之间存在着一种线性关系，可能性是概率的一种相对表达方式。
4. 可能性的计算方法在实际问题中，我们需要根据已知条件来计算事件的可能性。
下面介绍几种常见的计算方法：4.1 等可能性原则当事件的发生条件相同，并且不同的结果是等可能发生时，可以使用等可能性原则来计算事件的可能性。
概率知识讲解+习题集
中考内容中考要求ABC事件了解不可能事件、必然事件和随机事件的含义概率了解概率的意义；知道大量重复实验时，可以用频率估计概率会运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩定义列表概率求法树状图用频率估算概率与频数的关系一、与概率有关的定义：1、必然事件：事先能肯定一定发生的事件称为必然事件.2、不可能事件：事先能肯定一定不发生的事件称为不可能事件.3、确定事件：事先能肯定它是否发生的事件称为确定事件，必然事件和不可能事件都是确定事件.4、不确定事件（随机事件）：事先不能肯定它会不会发生的事件称为不确定事件.5、概率：随机事件A 发生的可能性的大小.记为()P A .设n 为事件A 包含的可能结果数，m 为所有可能结果总数，则()nP A m=. 对于任何一个事件A ，它的概率()P A 满足0()1P A ≤≤，必然事件的概率是1， 不可能事件的概率是0.7、（补充）乘法原理：若一件事情需分m 个步骤完成，而且每个步骤的概率分别为：12,,m p p p ，则，完成该事件的概率为：12m p p p p =⋅⋅⋅.加法原理：若一件事情需分m 种方法完成，而且每种方法的概率分别为：12,,m p p p ，则，完成该事件的概率为：12m p p p p =+++二、求概率的方法：知识精讲中考大纲概率知识网络图1、列表2、画树状图3、用频率估计概率 列举法求概率如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中m 种结果，那么事件A 发生的概率为m n． 用树状图法求概率当一次试验涉及3个或更多因素（例如从3个口袋中取球）时，列举法就不方便了，可采用树状图法表示出所有可能的结果，再根据()mP A n=计算概率． 利用频率估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn稳定于某个常数p ，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率，记作()()()01P A p P A =≤≤三、概率与频率的关系←⎧⎪↓⎨⎪⎩频率用试验的方法频率与概率（试验次数很多）理论概率1、当一次试验涉及多个因素（对象）时，常用列表法或树状图法求出事件发出的所有等可能的结果，然后找出要求事件发生的结果数，根据概率的意义求其概率．2、当完成事件的层次较多或事件发生的可能性不相等时，求相关事件的概率是困难的，转换视角，从问题的对立面：反面求解，常能化简求值．3、游戏的公平性是通过概率来判断的，在得分相等的前提下，若对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平；在概率不等的前提下，可将概率乘相应得分，结果相等即公平，否则不公平．1、在审题时，看拿出来的东西是否放回．2、答题时需要注意步骤．易错点辨析解题方法技巧如图，有6张扑克牌，从中随机抽取1张，点数为偶数的概率（）．（2014北京中考）A．16B．14C．13D．12题型一事件【例1】下列事件中必然发生的是（）A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是3C．通常情况下，抛出的篮球会下落D．阴天就一定会下雨【例2】下列成语所描述的事件是必然发生的是（）A. 水中捞月B. 拔苗助长C. 守株待免D. 瓮中捉鳖【例3】下列事件中是必然事件的是（）A．小菊上学一定乘坐公共汽车B．某种彩票中奖率为1％，买10000张该种票一定会中奖C．一年中，大、小月份数刚好一样多D．将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上【例4】下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上B.打开电视体育频道，正在播放NBA球赛C.射击运动员射击一次，命中十环D.若a是实数，则0a课堂练习真题链接概率习题集题型二简单概率计算【例5】从1~12这十二个自然数中任取一个，取到的数恰好是4倍数的概率是（）．（2014石景山期末）A．112B．14C．13D．12【例6】在12的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，如果第三枚棋子随机放在其它格点上，那么以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为__________．（2014昌平期末）【例7】下列说法正确的是（）．（2014朝阳期末）A．“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的时间降雨B．小明上次的体育测试成绩是“优秀”，这次测试成绩一定也是“优秀”C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖D．掷一枚质地均匀的骰子，“点数为奇数”的概率等于“点数为偶数”的概率【例8】不透明的袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，这些球除数字不同外，其它均相同．从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余2个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于20的概率为（）．（2014大兴期末）A．12B．13C．23D．16【例9】袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列是必然事件的是（）．（2014东城期末）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球【例10】小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则向上的一面的点数小于3的概率为（）．（2014房山期末）A．13B．12C．16D．23【例11】一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的概率是（）．（2014丰台期末）A．12B．13C．23D．16【例12】一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是__________．（2014丰台期末）【例13】汶川大地震时，航空兵空投救灾物质到指定的区域（圆A）如图所示，若要使空投物质落在中心区域（圆B）的概率为12，则B与A的半径之比为．BA【例14】6张大小、厚度、颜色相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、直角梯形、正方形、正五边形、圆．在看不见图形的条件下任意摸出1张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是（）A．16B．13C．12D．23【例15】在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类，速度类和力量类。
初中概率知识点讲解
初中概率知识点讲解初中阶段是学习概率的起点，概率是现代数学的一个重要组成部分。
在我们的日常生活中，处处都能见到概率的影子。
比如，我们可以通过研究某种现象发生的可能性来预测未来的结果。
本文将为大家讲解初中阶段常见的概率知识点。
一、常见的概率概念1.概率的定义概率是指在某种试验中，事件发生的可能性大小的度量。
符号通常用P来表示。
概率的大小是介于0和1之间的实数，即0≤P(A)≤1。
当P(A)=0时，表示事件A不可能发生；当P(A)=1时，表示事件A肯定会发生；当0<P(A)<1时，表示事件A可能会发生或者不会发生。
2.随机事件随机事件是指在一次试验中，发生或者不发生的事情。
比如，抛一次硬币，正面朝上或者反面朝上就是随机事件。
3.样本空间样本空间是指一个试验中所有可能结果的集合。
比如，抛一次硬币的样本空间为{正面，反面}。
4.事件的并、交、差事件的并指的是两个或者多个事件中至少有一个事件发生的情况，通常用符号“∪”表示。
事件的交指的是两个或者多个事件同时发生的情况，通常用符号“∩”表示。
事件的差指的是指事件A发生而事件B不发生的情况，通常用符号“A-B”表示。
二、概率的计算方法1.经典概率法经典概率法是指根据样本空间的元素个数来计算事件发生的概率。
比如，如果一枚硬币只有正反两面，那么正面朝上的概率就是1/2。
2.几何概率法几何概率法是指通过测量实验中各类事件出现的面积或者长度来计算事件发生的概率。
比如，扔一枚硬币，正面朝上和反面朝上出现的面积相等，所以正面朝上的概率是1/2。
3.统计概率法统计概率法是指根据已有的统计数据来计算事件发生的概率。
比如，如果在过去的10次抛硬币中，有6次是正面朝上，那么正面朝上的概率就是6/10=0.6。
三、概率的性质1.互斥事件互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况，比如在一次抛硬币的试验中，正面朝上和反面朝上就是互斥事件。
2.独立事件独立事件是指事件A的发生或者不发生与事件B的发生或不发生无关，比如，抛一次硬币，前后两次抛硬币的结果是相互独立的。
华师版九年级上册数学第25章 随机事件的概率 概率及其意义
知1－讲
【例2】 甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1 个红球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个口袋 中随机摸出一个球. （1）求摸出的2个球都是白球的概率； （2）下列事件中，概率最大的是（）． A. 摸出的2个球颜色相同 B. 摸出的2个球颜色不相同 C. 摸出的2个球中至少有1个红球 D. 摸出的2个球中至少有1个白球
程5x＝10的解为负数的概率是________．
知2－练
2下列事件发生的概率为0的是( ) A．射击运动员只射击1次，就命中靶心 B．任取一个实数x，都有|x|≥0 C．画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cm D．拋掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正
方体骰子，朝上一面的点数为6
知2－讲
导引： (1)转盘被平均分成12份，获得45元购书券需转到红
色区域，因为红色区域占12份中的1份，所以转动一次转盘
获得45元购书券的概率为；
1 12
(2)分别算出两种方式读者转动转盘一次平均获得的购书券的
金额，再进行比较．
解：
(1)P(获得45元购书券)＝.
1 12
(2)通过转动转盘读者转动转盘一次平均获得购书券的金
解：P（抽到男同学名字）= 22 = 11， 20 22 21
P(抽到女同学的名字） 因为 10 ＜ 11，
21 21
= 20 = 10 . 20 22 21
所以抽到男同学名字的概率大.
知2－讲
知2－讲
【例4】甲袋中放着22个红球和8个黑球，乙袋中放着200个 红球、80个黑球和10个白球.三种球除了颜色以外没有任何其他 区别.两袋中的球都已经各自搅匀. 从袋中任取1个球，如果你想 取出1个黑球，选哪个袋成功的机会大呢？
九年级上册数学概率--知识点梳理
随机事件和概率--知识讲解【学习目标】1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断；2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义.【要点梳理】要点一、必然事件、不可能事件和随机事件1.定义：（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.要点诠释：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.要点二、概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.要点诠释：(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.【典型例题】类型一、随机事件1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？ ①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c； ②没有空气，动物也能生存下去； ③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾； ④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)； ⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0； ⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球. 【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是随机事件.【总结升华】准确掌握定义，依据定义判别.举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )．A．明天要下雨;B．打开电视机，正在直播足球比赛;C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1;D．买一张彩票，一定会中一等奖.【答案】C.【变式2】下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生;B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件;C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生;D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.【答案】C.2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球.【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球； (2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球； (3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.【总结升华】了解并掌握三种事件的区别和联系.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.类型二、概率3.（2015春•山亭区期末）一只口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球，这三种球除颜色外没有任何区别，并搅匀．（1）取出红球的概率为，白球有多少个？ （2）取出黑球的概率是多少？（3）再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到？ 【答案与解析】解：（1）设袋中有白球x 个． 由题意得：4+8+x=4×5， 解得：x=8，答：白球有8个； （2）取出黑球的概率为：，答：取出黑球的概率是，（3）设再在原来的袋中放入y 个红球．由题意得：3（4+y ）=20+y ，或2（4+y ）=8+8， 解得：y=4，答：再在原来的袋中放进4个红球，能使取出红球的概率达到．【总结升华】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 举一反三 【变式】（2014•宁波模拟）中央电视台“非常6+1”栏目中有个互动环节，在电视直播现场有三个“金蛋”三个“银蛋”其中只有一个“金蛋”内有礼物，银蛋也是如此．有一个打进电话的观众，选择并打开后得到礼物的可能性是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D.4. 某篮球运动员在近几场大赛中罚球投篮的结果如下： 投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6 8 9 7 12 7 进球频率nm(1)计算表中各场次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少? 【答案与解析】 （1）投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6897127进球频率nm0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 (2)P(进球)≈0.75.【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近.举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ) 9 19 44 91 178 451 击中靶心频率()(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)； (2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.概率的计算--知识讲解【学习目标】1、通过具体情境了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值范围的意义，能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率； 2、能够通过实验，获得事件发生的频率；利用稳定后的频率值来估计概率的大小，理解频率与概率的区别与联系.【要点梳理】要点一、古典概型满足下列两个特点的概率问题称为古典概型. （1） 一次试验中，可能出现的结果是有限的； （2） 一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率. 要点诠释：如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）=. mn要点二、用列举法求概率常用的列举法有两种：列表法和树形图法. 1. 列表法： 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.2. 树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.要点三、利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.要点诠释：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 【典型例题】类型一、用列举法求概率1．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是( ) A. B. C. D.【答案】C.【解析】从袋中随机摸出一个球的所有可能情况有８种，其中是黄球的情况有３种，故摸到黄球的概率是.【总结升华】这是一道典型的古典概型题.举一反三： 【变式】如图是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_____.【答案】P （停在阴影部分）=. 232.（2015•朝阳）在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影． （1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）【思路点拨】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可． 【答案与解析】解：（1）甲同学的方案不公平．理由如下： 列表法，小明 小刚 2 3 4 5 2 （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，2） （3，4） （3，5） 4 （4，2） （4，3） （4，5） 5 （5，2） （5，3） （5，4） 所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：8种，故小明获胜的概率为：=，则小刚获胜的概率为：，故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平；（2）不公平．理由如下： 小明 小刚 2 3 4 2 （2，3） （2，4） 3 （3，2） （3，4）举一反三：【变式】不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为. 12（1）试求袋中蓝球的个数.（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到的都是白球的概率.【答案】（1）1个；（2）P （两次摸到白球）=. 16类型二、利用频率估计概率3. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据： (1)计算并完成表格：转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？ (3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？ (4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到 1°)【答案与解析】(1) 0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701； (2) 0.69；(3) 由（1）的频率值可以得出P （获得铅笔）=0.69； (4) 0.69×360°≈248°.【总结升华】(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率．举一反三： 【变式】为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼______________条．【答案】条 .4.（2015•本溪）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（ ） A．16个B．20个C．25个D．30个【思路点拨】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【答案】A.【解析】设红球有x个，根据题意得，4：（4+x）=1：5，解得x=16．故选A．【总结升华】用频率估计概率，强调“同样条件，大量试验”.。
人教版-数学-五年级上册-《可能性》知识讲解 判断事件发生的可能性大小的方法
判断事件发生的可能性大小的方法问题导入摸出一个棋子，可能是什么颜色？（教材45页例2过程讲解1．观图并理解题意(l)观图，获取数学信息。
盒子里有红、蓝两种颜色的棋子，红棋子有4个，蓝棋子有1个，每个棋子的大小、形状都是相同的。
(2)理解题意。
要判断摸出一个棋子可能是什么颜色，就要看盒子里的棋子有几种颜色，棋子有几种颜色就存在几种可能。
2．猜想摸出棋子颜色的可能性摸出的棋子可能是红色，也可能是蓝色。
3．通过试验验证上面的结论(1)试验方法：将4个红棋子，1个蓝棋子放入学具盒，从学具盒中摸出1个棋子，记录它的颜色，再放回去，摇匀后再摸，重复20次。
(2)记录试验结果。
（以教材中的试验数据为例）方法一数字记录法。
（第一试验小组的数据）红棋子出现次数：1，2，3……12，13，14，摸出14次。
蓝棋子出现次数：1，2，3，4，5，6，摸出6次。
方法二画正字记录法。
（第二试验小组的数据）记录次数红正正正 T17蓝 3(3)试验小结：摸出一个棋子，可能是红棋子，也可能是蓝棋子，摸出红棋子的次数多4．通过对比，分析上面的数据并得出规律(1)列表进行观察对比。
数量第一试验小组的试验结果第二试验小组的试验结果红 4 14次17次蓝 1 6次3次(2)通过分析得出规律盒子里的棋子有几种颜色，就可能摸出几种颜色的棋子，哪一种颜色棋子的数量多，摸出这种颜色棋子的可能性就大。
归纳总结1．事件发生的可能性是有大小的。
2．事件随机出现的可能性的大小与个体数量的多少有关，个体在总数中所占数量越多，出现的可能性就越大；反之，可能性就越小。
小学四年级数学下册知识点：概率
小学四年级数学下册知识点：概率
1. 概率的介绍
- 概率是指事件发生的可能性大小。
- 用数字表示概率，范围从0到1，0表示不可能发生，1表示
一定会发生。
- 概率可以通过实验、统计和推理等方法进行计算。
2. 实验与事件
- 实验是指对某个问题进行观察、测量或测试的过程。
- 在一个实验中，可能出现多个不同的结果或事件。
- 事件是指实验中我们感兴趣的某个结果或发生的情况。
3. 等可能事件
- 等可能事件是指在实验中所有可能结果发生的概率是相等的。
- 例如，抛一枚公平的硬币正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。
4. 互斥事件
- 互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
- 例如，抛一枚公平的硬币正面朝上和反面朝上就是互斥事件。
5. 概率的计算
- 如果事件的发生次数是有限的，概率可以用事件发生的次数除以总实验次数来计算。
- 例如，如果我们抛一枚公平的硬币10次，其中正面朝上的次数是4次，那么正面朝上的概率就是4/10 = 0.4。
- 对于等可能事件，概率还可以用事件发生的次数除以总事件数来计算。
6. 事件的组合
- 多个事件可以组合在一起形成更复杂的事件。
- 对于互斥事件的组合，两个事件同时发生的概率为0。
- 对于非互斥事件的组合，可以通过概率的计算规则来计算。
以上就是小学四年级数学下册中关于概率的基本知识点。
数学可能性教案：帮助孩子理解概率和可能性的概念
数学可能性教案：帮助孩子理解概率和可能性的概念概率和可能性是数学中的两个重要概念。
它们可以帮助我们了解事物发生的可能性有多大，有助于我们做出决策。
但这个概念对于孩子来说可能有些抽象，那么我们如何让孩子理解概率和可能性呢？本教案将为您提供一些思路，帮助孩子理解概率和可能性的概念。
一、教学目标1.掌握基本概率和可能性概念。
2.学会如何用百分比表示概率和可能性。
3.了解概率和可能性的应用，有效提高数学解题能力。
二、教学内容1.概率和可能性的定义概率是指某个事件在重复试验中发生的频率。
例如在掷骰子时，掷出1的概率是1/6。
可能性是指某个事件发生的可能性大小。
例如在抽奖时，你中奖的可能性是1/1000。
2.百分比表示法概率和可能性可以用百分比来表示。
例如，一个事件的概率是1/2，则可以表示为50%的概率。
一个事件的可能性是1/4，则可以表示为25%的可能性。
3.应用概率和可能性可以应用于生活和数学题的解题过程中。
例如，在购买彩票时，可以理性选择自己购买的数字，选择以前从未出现过的数字，这样中奖的概率会相对更高。
在数学解题中，计算概率和可能性是十分重要的。
例如，如果要计算有两个人一起抛掷两枚骰子，得到点数和为8的概率是多少，这时就需要计算概率，将自己的思路写下来，然后进行计算。
三、教学重点1.使学生充分理解概率和可能性的概念。
2.能够准确使用百分比表示法。
3.应用概率和可能性进行生活和解题中的实践。
四、教学方法1.教师讲授和演示。
2.举例讲解。
3.解决问题。
四、教学过程1.教师引入请几位学生依次来到黑板前，向全班抛掷骰子，并记录下其点数。
请提醒学生注意不同点数出现的次数。
2.概率与可能性的区别教师提问：“刚刚我们抛掷骰子，获得点数为1的概率是多少？”指导学生回答：“获得点数1的概率是1/6。
”教师继续提问：“我们抛掷骰子以后，获得点数为1的可能性是多少？”指导学生回答：“获得点数1的可能性是一种六种可能性中的一种。
概率知识点总结(实用8篇)
概率知识点总结(实用8篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学概率专题
高中数学概率专题随机事件的概率一、知识点1.随机事件的概念事件是指在一定条件下所出现的某种结果。
随机事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，必然事件指在一定条件下必然要发生的事件，不可能事件指在一定条件下不可能发生的事件。
2.随机事件的概率事件A的概率指在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
由定义可知0 ≤ P（A）≤ 1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.3.概率与频率的关系概率是固定的，频率是不固定的，随着试验次数的增加，频率接近于概率。
4.事件间的关系互斥事件是指不能同时发生的两个事件，对立事件是指不能同时发生，但必有一个发生的两个事件，包含是指事件A 发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B 包含事件A）。
5.事件间的运算并事件（和事件）是指若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件称为事件A与事件B的并事件。
交事件（积事件）是指若某事件的发生是事件A发生和事件B同时发生，则此事件称为事件A与事件B的交事件。
二、题型讲解题型一：随机事件概率1.下面事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②掷一枚硬币，出现反面；③实数的绝对值不小于零。
是不可能事件的有（）A。
②；B。
①；C。
①②；D。
③答案：D2.某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示年降水量（单位：mm）［100，150）［150，200）［200，250）［250，300）概率0.12 0.25 0.16 0.14则年降水量在［150，300］（mm）范围内的概率为（）答案：0.553.下列叙述错误的是（）B．若随机事件A发生的概率为p(A)，则0≤p(A)≤1C．互斥事件一定是对立事件，但是对立事件不一定是互斥事件D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同改写：B选项中的符号错误，应该是0≤p(A)≤1；C选项中的顺序错误，应该是对立事件不一定是互斥事件，但互斥事件一定是对立事件；D选项中的表述错误，应该是乙与甲抽到有奖奖券的概率相等。
人教版五年级数学上册第四单元《可能性》教材简析及教案
人教版五年级数学上册第四单元《可能性》教材简析及教案一. 教材分析人教版五年级数学上册第四单元《可能性》主要让学生通过日常生活和数学活动，感受和理解事件的确定性和不确定性，并掌握一些简单的概率计算方法。
本单元的内容包括：可能性大小的估计、可能性的计算、游戏中的可能性等。
通过本单元的学习，学生能进一步理解概率的意义，培养学生的逻辑思维能力和数据分析能力。
二. 学情分析五年级的学生已经具备了一定的生活经验和数学基础，对可能性有一定的认识。
但在具体运用概率计算方法解决实际问题时，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导学生通过观察、操作、思考、交流等途径，理解和掌握可能性的计算方法。
三. 教学目标1.知识与技能：学生会估计简单事件的可能性，并能运用概率计算方法求解事件的概率。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考、交流等途径，培养数据分析、逻辑思维的能力。
3.情感态度与价值观：学生感受数学与生活的密切联系，培养学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：学生能运用概率计算方法求解事件的概率。
2.难点：学生对可能性计算方法的灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和游戏，引导学生理解和掌握可能性知识。
2.启发式教学法：引导学生观察、思考、交流，培养学生的问题解决能力。
3.小组合作学习：培养学生团队合作、共同探究的精神。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、实物道具、骰子、卡片等。
2.学具：学生用书、练习册、文具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的猜谜游戏，引导学生思考事件的确定性和不确定性，从而引出可能性这一概念。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件展示可能性的大小，让学生直观地感受和理解可能性。
同时，教师引导学生用数学语言描述可能性的大小。
3.操练（10分钟）教师设计一些实际问题，让学生运用可能性知识进行解答。
在此过程中，教师引导学生总结可能性计算的方法。
概率知识点归纳总结小学
概率知识点归纳总结小学概率是数学中的一个分支，也是生活中经常使用的概念。
它用于描述某个事件发生的可能性大小。
在小学阶段，学生开始接触概率的基本概念和计算方法。
本文将对小学阶段涉及的概率知识点进行归纳总结，旨在帮助读者更好地理解和掌握概率的基础知识。
1. 概率的基本概念概率是指某个事件发生的可能性大小。
以抛硬币为例，它有两个可能的结果，正面或反面。
如果硬币是公平的，那么正反面出现的概率相等，即都是1/2。
用数学符号表示，概率P可以用如下方式计算：P(事件发生) = 该事件发生的次数 / 总的可能性次数。
2. 事件的排列组合在概率问题中，经常会遇到需要确定一定数量对象的排列或组合方式。
排列是指考虑对象的顺序，而组合则不考虑顺序。
例如，从1、2、3三个数字中取两个数字可以有以下6种排列方式：12、13、21、23、31、32。
但是如果只考虑组合，那么只有3种组合方式：12、13、23。
3. 单个事件的概率计算在小学阶段，学生常常需要计算单个事件的概率。
例如，一个罐子里有红、蓝、黄三种颜色的小球，从中随机取出一个球，求取到红色球的概率。
解决这类问题的方法是，先确定总的可能性次数，即罐子里的小球总数，再确定事件发生的次数，即红色球的个数。
最后，将事件发生的次数除以总的可能性次数即可得到概率。
4. 多个事件的概率计算在概率的计算中，还常常遇到同时发生多个事件的情况。
例如，从扑克牌中抽取两张牌，其中第一张为红心，第二张为黑桃的概率是多少？解决这类问题的方法是，先计算第一张牌为红心的概率，再在这个基础上计算第二张牌为黑桃的概率。
最后，将两个概率相乘即可得到同时发生两个事件的概率。
5. 可能性的比较除了计算具体事件的概率，概率的比较也是概率知识的重要内容之一。
例如，当抛一个骰子时，出现1的可能性是1/6，出现2的可能性也是1/6。
那么，出现1的概率和出现2的概率谁更大呢？通过比较两个概率的大小，可以得出结论。
6. 概率的实际应用概率不仅仅存在于数学课堂中，还广泛应用于生活中的决策和判断。
概率的计算--知识讲解
概率的计算--知识讲解概率是数学中的一个重要概念，用来描述事件发生的可能性大小。
在日常生活中，我们经常会面临需要估计一些事件发生的概率的情况，比如天气预报是否准确、购彩中奖的概率等等。
因此，掌握概率的计算方法对我们进行合理决策和判断具有重要意义。
1.基本概率原理基本概率原理是概率计算的基石，它指出任何事件的概率均在[0,1]这个闭区间内。
具体地说，事件A发生的概率应满足以下两个条件：(1)非负性：P(A)≥0(2)规范性：P(S)=1，其中S表示样本空间。
2.经典概型经典概型是指在有限样本空间中，所有基本事件发生的概率相等的情况。
例如，投掷一枚均匀硬币，正反面都是基本事件，且它们发生的概率相等为1/2、在经典概型中，我们可以通过计数来确定事件发生的概率。
3.条件概率条件概率指的是事件B在事件A已经发生的条件下发生的概率，记为P(B，A)。
条件概率可以通过以下公式计算：P(B，A)=P(A∩B)/P(A)4.独立事件如果事件A和事件B的发生与否互不影响，即事件A的发生与否不会改变事件B发生的概率，那么称事件A和事件B是独立事件。
对于独立事件来说，我们有以下公式：P(A∩B)=P(A)*P(B)5.全概率公式当我们面临多个互不相容的事件时，我们可以使用全概率公式来计算一些事件的概率。
设事件B_1，B_2，...，B_n是一个样本空间的一个划分，即它们两两互斥且并起来等于样本空间。
那么对于任意事件A，我们有：P(A)=P(A∩B_1)+P(A∩B_2)+...+P(A∩B_n)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)，其中Σ表示求和运算。
6.贝叶斯公式贝叶斯公式是概率论中很重要的推理工具，它将条件概率和全概率公式结合起来，可以用于推理过程中的反向求解。
设B_1，B_2，...，B_n 是一个样本空间的一个划分，且P(A)>0，那么对于任意的i，我们有：P(B_i，A)=P(A，B_i)*P(B_i)/[ΣP(A，B_j)*P(B_j)]，其中Σ表示求和运算。
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事件的可能性及概率--知识讲解
责编：康红梅
【学习目标】
1.了解必然事件、不可能事件、不确定事件（随机事件）的概念，并根据概念对有关事件做出准确的判断；
2.理解概率的定义，通过具体情境了解概率的意义；
3.会求简单事件发生的可能性的大小.
【要点梳理】
要点一、事件的可能性
1.必然事件
在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件．
2.不可能事件
在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件．
必然事件和不可能事件统称为确定事件.
3.不确定事件
在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件.
要点诠释：
（1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.
（2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，不确定事件发生的可能性有大有小，不同的不确定事件发生的可能性的大小可能不同.
要点二、概率
在数学中，我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率.一般用P表示.事件A发生的概率记为P（A）.
一般地，必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；而随机事件发生的概率介于0与1之间，即0＜P(不确定事件) ＜1.所以有：P(不可能事件)＜P(不确定事件)＜P(必然事件).
如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中
的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率为P（A）=m
n
.
要点诠释：
概率反映了不确定事件发生的可能性的大小.
要点三、求简单事件发生的概率
一般地，不确定事件发生的概率的计算方法和步骤是：
（1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等；
（2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m；
（3）计算所求事件发生的概率：P（所求事件）=m
n
.
【典型例题】
类型一、事件的可能性
1.指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是不确定事件？
①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；
②没有空气，动物也能生存下去；
③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；
④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；
⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；
⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则
为白球.
【思路点拨】结合生活经验和所学知识进行判断.
【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是不确定事件.
【总结升华】要准确掌握不可能事件、必然事件、不确定事件的定义.
【高清课堂：高清ID号： 391875 课堂名称：随机事件与概率初步
关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1】
举一反三
【变式1】下列事件是必然事件的是( )．
A．明天要下雨;
B．打开电视机，正在直播足球比赛;
C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1;
D．买一张彩票，一定会中一等奖.
【答案】C.
【变式2】下列说法中，正确的是( )．
A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生;
B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件;
C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生;
D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.
【答案】C.
2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？
(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；
(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；
(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球. 【答案与解析】
(1)可能发生，因为袋中有红球；
(2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；
(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.
【总结升华】要了解并掌握三种事件的区别和联系.
举一反三：
【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.
【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性
是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜. 类型二、概率
3. （2016•南宁）如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 ．
【思路点拨】利用轴对称图形的定义由3处涂黑得到黑色部分的图形是轴对称图形，然后根据概率公式可计算出新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率． 【答案】
．
【解析】
解：共有13种等可能的情况，其中3处涂黑得到黑色部分的图形是轴对称图形，如图， 所以涂黑任意一个白色的小正方形（每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率=．
【总结升华】本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了轴对称图形．
举一反三
【变式】图中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为________．
【答案】13
. 类型三、求简单事件发生的概率
4.（2015春•山亭区期末）一只口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球，这三种球除颜色外没有任何区别，并搅匀．
（1）取出红球的概率为，白球有多少个？
（2）取出黑球的概率是多少？
（3）再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到？
【答案与解析】解：（1）设袋中有白球x个．
由题意得：4+8+x=4×5，
解得：x=8，
答：白球有8个；
（2）取出黑球的概率为：，
答：取出黑球的概率是，
（3）设再在原来的袋中放入y个红球．
由题意得：3（4+y）=20+y，或2（4+y）=8+8，
解得：y=4，
答：再在原来的袋中放进4个红球，能使取出红球的概率达到．
【总结升华】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
举一反三：
【变式1】中央电视台“非常6+1”栏目中有个互动环节，在电视直播现场有三个“金蛋”三个“银蛋”其中只有一个“金蛋”内有礼物，银蛋也是如此．有一个打进电话的观众，选择并打开后得到礼物的可能性是（）
A．B．C．D．
【答案】D.
【变式2】如图是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_____.
【答案】P（停在阴影部分）=2
3
.。