2020年高考数学试题分项版—不等式(解析版)

2020年高考数学试题分项版——不等式（解析版）

一、选择题

1．(2020·新高考全国Ⅰ，11)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥1

2

B ．2a －

b >12

C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2

答案 ABD

解析 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以a ＋b ≥2ab ，

当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤1

4

.

对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝1

2，故A 正确；

对于B,2a －b ＝22a －

1＝12

×22a ，

因为a >0，所以22a >1，即2a －

b >12

，故B 正确；

对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 21

4＝－2，故C 错误；

对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 得a ＋b ≤2，故D 正确．

2．(2020·新高考全国Ⅱ，12)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥1

2

B ．2a －

b >12

C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2 答案 ABD

解析 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以a ＋b ≥2ab ，

当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤1

4

.

对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝1

2，故A 正确；

对于B,2a －b ＝22a －

1＝12

×22a ，

因为a >0，所以22a >1，即2a －

b >12

，故B 正确；

对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 21

4

＝－2，故C 错误；

对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 得a ＋b ≤2，故D 正确．

3．(2020·浙江，3)若实数x ，y 满足约束条件⎩

⎪⎨⎪⎧

x －3y ＋1≤0，

x ＋y －3≥0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )

A ．(－∞，4]

B ．[4，＋∞)

C ．[5，＋∞)

D ．(－∞，＋∞)

答案 B

解析 如图，l 1：x －3y ＋1＝0，l 2：x ＋y －3＝0.

不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0

表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．

设初始直线为l ：y ＝－1

2

x ，

直线l 通过向上平移经过可行域内的第一个点为l 1与l 2的交点P (2,1)， 因此z 的最小值z min ＝2＋2×1＝4， 所以z ≥4. 二、填空题

1．(2020·全国Ⅰ理，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

2x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，

y ＋1≥0，则z ＝x ＋7y 的最大值为

________． 答案 1

解析 画出可行域如图阴影部分所示．

由z ＝x ＋7y ，得y ＝－17x ＋1

7z .

平移直线l 0：y ＝－1

7

x ，

可知当直线y ＝－17x ＋1

7

z 过点A 时z 最大．

由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，y ＝0，

即A (1,0)， ∴z max ＝1＋7×0＝1.

2．(2020·全国Ⅲ理，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y ≥0，2x －y ≥0，

x ≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．

答案 7

解析 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．

z ＝3x ＋2y 可化为y ＝－32x ＋1

2z ，

作直线y ＝－3

2

x ，并平移该直线，

易知当直线经过点A (1,2)时，z 最大，z max ＝7.

3．(2020·天津，14)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8

a ＋

b 的最小值为________．

答案 4

解析 因为a >0，b >0，ab ＝1， 所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8

a ＋b

＝a ＋b 2＋8a ＋b

≥2

a ＋

b 2·8

a ＋b

＝4， 当且仅当a ＋b 2＝8

a ＋

b ，

即a ＋b ＝4时，等号成立． 故12a ＋12b ＋8

a ＋b

的最小值为4. 4．(2020·江苏，12)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 答案 45

解析 方法一 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1， 可得

x 2＝

1－y 4

5y 2

，