高中数学不等式高考真题精选和解析

高中数学不等式高考真题精选和解析1.(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.

(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；

(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．

2.(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.

(1)画出y＝f(x)的图象；

(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集．

2.(2020·全国卷Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.

(1)证明：ab＋bc＋ca<0；

(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥3 4.

4.(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.

证明：(1)1

a ＋1

b

＋1

c≤a

2＋b2＋c2；

(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.

5.已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.

(1)解不等式f(x)≤x＋3；

(2)若g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|，对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围．

6.已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.

(1)求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为9

2

，求实数a的值．

答案解析

1.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|.

当x ≤3时，f (x )＝4－x ＋3－x ＝7－2x ，

由f (x )≥4，解得x ≤32；

当3＜x ＜4时，f (x )＝4－x ＋x －3＝1，f (x )≥4无解； 当x ≥4时，f (x )＝x －4＋x －3＝2x －7，

由f (x )≥4，解得x ≥112

. 综上所述，f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ≤32或x ≥112. (2)f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|(x －a 2)－(x －2a ＋1)|＝|－a 2＋2a －1|＝(a －

1)2(当且仅当2a －1≤x ≤a 2时取等号)，

∴(a －1)2≥4，解得a ≤－1或a ≥3，

∴a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

2.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≥1，5x －1，－13＜x ＜1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．

(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位，可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示：

由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.

所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－∞，－76.

3. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，

∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．

由abc ＝1得a ，b ，c 均不为0，则a 2＋b 2＋c 2＞0，

∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.

(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，

由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，

∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，

∴a 3＝a 2

·a ＝(b ＋c )2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc ≥2bc ＋2bc bc ＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号，∴a ≥34，即max{a ，b ，c }≥34.

4. 证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 又abc ＝1，

故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca

＝ab ＋bc ＋ca abc

＝1a ＋1b ＋1c . 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．

所以1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2.

(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，

故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3

≥3 3(a ＋b )3(b ＋c )3(c ＋a )3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24.

当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．

所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.

5.(1)原不等式等价于⎩⎨⎧ x ≤－1，－3x ≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1

或⎩⎪⎨⎪⎧ x >12

，3x ≤x ＋3，解得－12≤x ≤32，

故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |－12≤x ≤32. (2)由f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－1，－x ＋2，－112，

可知当x ＝12时，f (x )最小，无最大值，

且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＝32. 设A ＝{y |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝g (x )}， 则A ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫y |y ≥32，因为g (x )＝|3x －2m |＋|3x －2|≥|(3x －2m )－(3x －2)|＝|2m －2|，

所以B ＝{y |y ≥|2m －2|}．

由题意知A ⊆B ，所以|2m －2|≤32，