西安电子科技大学-经济数学(一)(下)
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《经济数学一（下）》平时作业
一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分）。 1．函数()5x
f x =的一个原函数是
15ln 5
x
C + （A ）
A ．正确
B ．不正确 2．定积分
2
2
231
1
d d x x x x >⎰
⎰
（B ）
A ．正确
B ．不正确 3．2
cos x
是（ ）的一个原函数
（D ）
A ．2
2sin x x
B ． 2
2cos x x
C ．2
cos x x -
D ． 2
2sin x x - 4．积分
1
1
sin(ln )d e
x x x
=⎰
( A )
A ．1cos1-
B ． 1cos1+
C ．1sin1-
D ． 1sin1+ 5．微分方程3x
y e '=的通解是
（ D ）
A ．x
y Ce -= B ． 3x
y e C -=+
C ．x y Ce =
D ． 3x
y e C =+
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分）。 1．
2
116dx x =+⎰1arctan 44
x
C +． 2. 若生产x 单位某产品时的边际收益为()305
x
R x '=-，总收益()R x =23010x x -.
3. 定积分
2
cos d 1sin x
x x
π
=+⎰
ln 2 ．
4．微分方程690y y y '''++=的通解为312()x
y c c x e -=+.
三、计算下列各题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分）
1．求不定积分
22
11sec .dx x
x ⎰. 解 22211111sec
sec tan dx d C x x x x x
=-⋅=-+⎰⎰ 2．已知()f x 的一个原函数是cos x
x
,求()xf x dx '⎰.
解 cos ()x f x dx C x =
+⎰，2
sin cos ()x x x
f x x --=
， ()()xf x dx x df x '=⎰⎰ ()()xf x f x dx =-⎰
2
sin cos cos x x x x
C x x --=
-+
3
．求定积分
4
x ⎰
.
解
2
,t x t ==
4
x ⎰
2
02d 1t t t
=+⎰
202
02
01112(1)d(1+)2(1)d 2[(1+)ln (1+)]421ln 3
t t
t t t t
+=-=-
==-+-⎰⎰
4．求定积分1
ln e
x xdx ⎰
.
解
21
1
1ln ln 2e
e
x xdx xdx =⎰
⎰
22112122211[ln ln ]
2
1
[]2
111(|)(1)224
e e
e e x x x d x e xdx e x e =-=-=-=+⎰⎰
5．求方程cos sin cos sin x ydy y xdx =满足初始条件04
x y π
==的特解.
解 可分离变量的方程
sin sin cos cos y x
dy dx y x
= tan tan y dy xdx =
tan tan ydy xdx =⎰⎰
1ln cos ln cos y x C -=-+
通解为 cos cos y C x =
通解为
cos 2
y x =
6. 求方程cos xy y x '+=的通解. 解 方程为一阶线性非齐次方程 1cos x
y y x x
'+
=
1cos (),()x
P x Q x x x
=
=
通解为：()()[()]P x dx
P x dx y e
Q x e dx C -⎰⎰=+⎰
11
ln ln cos []
cos []
1
[cos ]1
[sin ]dx dx
x
x x x
x e e dx C x
x e e dx C x x dx C x x C x
-⎰⎰-=⋅+=⋅+=⋅+=+⎰⎰⎰
四、（8分）求由抛物线2
2
,y x y x ==所围成图形的面积。
解
3
1
2
3120
211
)[]333
A x dx x x ==-=⎰
五、（8分）已知某锅炉厂每年生产x 台锅炉时，固定成本为100万元，边际成本函数为
()0.24
C x x '=+
(万元/台)，
(1) 求总成本函数C (x )；
(2) 如果每台锅炉的销售单价为20万元,且生产的锅炉可以全部售出,求总利润函数
L (x ) . 解 （1）0()(0.24)(0)x
C x t dt C =++⎰
2
2(0.14)1000.141000
x
t t x x =++=++
（2）()20R x x =
2()()()0.116100L x R x C x x x =-=-+-