初三上学期数学期中考试重点题型训练
九年级第一学期期中考试数学试卷(含参考答案)
九年级第一学期期中考试数学试卷（含参考答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.1.在下列方程中是一元二次方程的是（）A.x2-2x y+y2=0B. x2-2x=3C. x（x +3）= x2-1D. x + =02.将二次函数y= x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是（）A.y=(x- 2)2+1B.y= (x +2)2+1C. (x- 2)2-1D.y= (x +2)2- 13.一元二次方程x2-2x +5=0的根的情况是（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断4.对于二次函数y= - (x- 2)2-3，下列说法正确的是（）B A.当x >0时，y随x的增大而增大 B.当x =2时，y有最大值- 3C.图象的顶点坐标为（-2，-7）D.图象与x轴有两个交点5.用配方法解方程x2- 6x- 3=0时，原方程应变形为（）A. (x +3)2=3B. (x +3)2=12C. (x- 3)2=3D. (x- 3)2=126.已知函数y=(x- 1)2+2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）A x <1 B. x >1 C. x >-2 D. - 2< x <47.若x1，x2是一元二次方程2x2- 9x +4=0的两根，则x1+ x2的值是（）A. - 2B.2C.D. - 28.二次函数y=ax2+b x+c（a≠0）的图像如图所示，则函数值y>0时，x的取值范围是（）A. x <-1B. x >3C. -1< x <3D. x <-1 或x >3第8题图第10题图9.某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175 亿元，二月、三月平均增长率是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（）A.50(1+x)2=175B.50+50(1+x)+50(1+x)2=175C.50 (1+x) +50(1+x)2= 175D.50+50(1+x)2=17510.已知二次函数y=ax2+b x+c（a≠0）的图像如图所示，对称轴为直线x=2.则下列结论中正确的是（）A a bc>0 B.4a-b=0 C.9a+3b+c<0 D.5a+c>0二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11.方程x2= x的解是____________12.当k______时，y=( k +3)x2- k x+2是关于x的二次函数.13.抛物线y=2(x +1)2-3，的顶点坐标为________，对称轴为直线______14.已知x=1是方程x2+ax-b=0的一个根，则a-b+2023=_____15如图，一段抛物线：y=-x（x -2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C6，若P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m的值为=____三、解答题（一）：本大题共3小题，第16 题10分，第17、18题7分，共24分.16.计算：用适当方法解方程：（1）(x +1)2=5x+5 （2）x2- 4x- 5=017.某次聚会上，同学们互相送照片，每人给每个同学一张照片，一共送出90张照片，问一共有多少位同学参加了聚会？18.已知抛物线y= x2- 2x- 3.（1）求抛物线与两坐标轴的交点坐标（2）求它的顶点坐标。
浙教版九年级上册数学期中考试试卷带答案
浙教版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列事件为必然事件的是（）A ．购买二张彩票，一定中奖B ．打开电视，正在播放极限挑战C ．抛掷一枚硬币，正面向上D ．一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球2．△ABC 的外心在三角形的内部，则△ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断3．若将函数22y x =的图象向右平行移动1个单位,再向上平移5个单位,可得到的抛物线是A ．22(1)5y x =--B ．22(1)5y x =-+C ．22(1)5y x =+-D ．22(1)5y x =++4．抛物线y ＝a （x ＋1）（x －3）（a≠0）的对称轴是直线（）A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝－3D ．x ＝35．如图：点A ，B ，C 都在⊙O 上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，若∠AOB ＝72°，则∠ACB 的度数是（）A ．18°B ．30°C ．36°D ．72°6．A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线22(1)y x k =-++上三点，y 1，y 2，y 3的大小关系为（）A ．y 1＞y 3＞y 2B ．y 3＞y 1＞y 2C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 3＞y 2＞y 17．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，连接OB 、CB ，已知⊙O 的半径为2，AB=,则∠BCD 的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．15°8．下列命题正确的是（）A．三点确定一个圆B．直径所对的圆周角为直角C．平分弦的直径必垂直于这条弦D．相等的弦所对的圆心角相等9．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．10．如图，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆(不包括A，B两点)移动时，点P()A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．平分 BD D．随点C的移动而移动11．如图，AC、BD为圆O的两条互相垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O 的路线作匀速运动，设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，那么表示y与t之间函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），且与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为（）A．214B．334C．D．D3二、填空题13．从﹣1、0、0．3、π、13这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率为_____．14．若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝___________．15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=______度．16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为_____．17．已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为______．18．如图，平面直角坐标系中，以点C （22为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点．若二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象经过点A ，B ，试确定此二次函数的解析式为____________．19．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD ，则①∠DAC ＝∠DBA ；②AD 2﹣BC 2＝AC 2﹣BD 2；③AP ＝FP ；④DF ＝BF ，这些结论中正确的是______．（请写序号）20．如图，抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连接OQ ．则线段OQ 的最大值是______．三、解答题21．从男女学生共36人的班级中，选一名班长，任何人都有同样的当选机会，如果选得男生的概率为23．(1)求该班级男女生数各多少？(2)若该班转入女生6人，那么选得女生为班长的概率？22．如图，在7×7的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点．(1)在正方形网格中直接标出这条圆弧所在圆的圆心O ；(2)求弧AC 的长．23．某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B 的坐标是（10，0），已知抛物线的函数解析式为y ＝﹣212123x x ++c ．(1)求c 的值；(2)计算铅球距离地面的最大高度．24．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点,E G 是弧AC 上一点，连接AD AG GD 、、．（1）求证ADC AGD ∠=∠；（2）若2,6BE CD ==，求O 的半径．25．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y （袋）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他费用80元．销售单价x（元） 3.5 5.5y（袋）280120销售量（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y ＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？判断此时△ABP的形状，并证明你的结论．(3)在（2）的前提下，有一动点Q在抛物线上运动（线段AB的下方），当Q点运动到什么位置时，△ABQ的面积等于△ABP的面积．参考答案1．D【解析】【分析】由题意根据必然事件、随机事件，不可能事件的意义结合具体的问题情境进行判断即可．【详解】解：A．购买二张彩票，不一定中奖，是随机事件，因此选项A不符合题意；B．打开电视，可能播放极限挑战，也可能播放其它节目，是随机事件，因此选项B不符合题意；C．抛掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，是随机事件，因此选项C不符合题意；D．一个盒子中只装有7个红球，没有其它颜色的球，从中摸出一个球一定是红球，是必然事件，因此选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查随机事件，理解随机事件，必然事件，不可能事件的意义是正确判断的前提．2．A【解析】【详解】试题解析：△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是锐角三角形．故选A．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．3．B【解析】【分析】根据图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，那么新抛物线的顶点为（1，5）．可设新抛物线的解析式为y=2（x-h）2+k，代入可得：y=2（x-1）2+5．故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键．4．A【解析】【分析】已知抛物线解析式为交点式，通过解析式可求抛物线与x轴的两交点坐标；两交点的横坐标的平均数就是对称轴.【详解】∵-1，3是方程a（x+1）（x-3）=0的两根，∴抛物线y=a（x+1）（x-3）与x轴交点横坐标是-1，3.∵这两个点关于对称轴对称，∴对称轴是13x12-+==.故选A．5．C【解析】【分析】根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得结果．【详解】∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB均对着 AB∴11723622ACB AOB∠=∠=⨯︒=︒故选：C【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握此定理是解题的关键．6．C【解析】【详解】试题解析：∵抛物线y=-2（x+1）2+k（k为常数）的开口向下，对称轴为直线x=-1，而A（-2，y1）离直线x=-1的距离最近，C（2，y3）点离直线x=-1最远，∴y1＞y2＞y3．故选C．7．A【详解】解：∵直径CD 垂直弦AB 于点E ，AB=EB=12O 的半径为2，∴sin ∠EOB=EB OBEOB=60°，∴∠BCD=30°．故选A ．【点睛】本题考查了垂径定理及特殊角的三角函数值，解题的关键是利用垂径定理得到直角三角形．8．B 【解析】【分析】利用确定圆的条件、圆周角定理、垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A.不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；B.直径所对的圆周角是直角，正确，符合题意；C.平分弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦，故原命题错误，不符合题意；D.同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故原命题错误，不符合题意，故选：B ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大．9．B 【解析】【详解】由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴一次函数y=ax+b 的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=cx的图象在第二、四象限，故选B ．10．B【详解】连OP，如图，∵CP平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OP，有∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OP∥CD，又∵弦CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点，即点P的位置不变，故选B．【点睛】本题主要考查了垂径定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．11．C【解析】【详解】当P与O重合时，∠APB的度数为90度；P向C运动过程中，∠APB的度数逐渐减小；当P运动到C时，利用圆周角定理得到∠APB的度数为45度；当P在弧CD上运动时，∠APB的度数不变，都为45度；当P从D运动到O时，∠APB的度数逐渐增大，作出函数y与t的大致图象，如图所示：故选C.12．B【解析】【分析】先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A′的坐标，进而得出AA′的长度．【详解】∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），∴y＝a（x+2）2+2，∵与y轴交于点A（0，3），∴3＝a（0+2）2+2，解得a＝1 4∴原抛物线的解析式为：y＝14（x+2）2+2，∵平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），∴平移后的抛物线为y＝14（x﹣1）2﹣1，∴当x＝0时，y＝3 4-，∴A′的坐标为（0，34-），∴AA′的长度为：3﹣（34-）＝334．故选：B．【点睛】本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．13．1 3【解析】【详解】试题分析：由从﹣1、00.3、π、13这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．解：∵从﹣1、00.3、π、13这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有2种情况，即：、π；∴抽取到无理数的概率为：21 63=．故答案为1 3．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．2(1)2y x=-+【解析】【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2故本题答案为：y＝（x﹣1）2+2．【点睛】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，关键是配方法的运用．15．36【解析】【详解】∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB BC CD DE EA=====72°，∴∠ADB=12×72°=36°．故答案为36．考点：1．圆周角定理；2．正多边形和圆．16．10【分析】连接OC，根据垂径定理求出CP，根据勾股定理得出关于R的方程，求出方程的解即可．【详解】解：连接OC，∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8，∴CP＝DP＝4，设⊙O的半径为R，∵AP＝8，∴OP＝8﹣R，在Rt△COP中，由勾股定理得：CP2+OP2＝OC2，即（8﹣R）2+42＝R2，解得：R＝5，∴⊙O的直径为2×5＝10，故答案为：10．17．1或7【解析】根据题意画出符合的两种图形，先根据垂径定理求出CE和AF长，再根据勾股定理求出OE 和OF长，再求出EF即可．【详解】解：有两种情况：①如图1，圆心O在弦AB和弦CD之间，过O作OE⊥CD于E，直线OE交AB于F，连接OC、OA，∥，∵AB CD∴OF⊥AB，∵OE ⊥CD ，OE 过圆心O ，CD ＝6，∴CE ＝DE ＝3，同理AF ＝BF ＝4，由勾股定理得：OE 4=，OF 3==，∴EF ＝OE+OF ＝4+3＝7；②如图2所示，此时EF ＝OE ﹣OF ＝4﹣3＝1，即弦AB 与CD 的距离是1或7，故答案为：1或7．18．y=x 2-4x+3【解析】过点C 作CH ⊥AB 于点H ，然后利用垂径定理求出CH 、AH 和BH 的长度，进而得到点A 和点B 的坐标，再将A 、B 的坐标代入函数解析式求得b 与c ，最后求得二次函数的解析式．【详解】解：过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则AH=BH ，∵C （2），∴，∵半径为2，∴1，∵A（1，0），B（3，0），∴二次函数的解析式为y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，故答案为：y=x2-4x+3．【点睛】本题考查了圆的垂径定理、二次函数的解析式，解题的关键是过点C作CH⊥AB于点H，利用垂径定理求出点A和点B的坐标．19．①②③【解析】【分析】①正确．根据圆周角定理得出∠DAC＝∠CBD，以及∠CBD＝∠DBA得出答案即可；②正确．利用勾股定理证明即可；③正确．首先得出∠ADB＝90°，再根据∠DFA+∠DAC＝∠ADE+∠PDF＝90°，且∠ADB ＝90°，得出∠PDF＝∠PFD，从而得出PA＝PF；④错误．用反例说明问题即可．【详解】解：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DAC＝∠DBA，故①正确，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB＝90°，∴∠ADE+∠EDB＝∠ABD+∠EDB＝90°，∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP，∴PD＝PA，∵∠DFA+∠DAC ＝∠ADE+∠PDF ＝90°，且∠ADB ＝90°，∴∠PDF ＝∠PFD ，∴PD ＝PF ，∴PA ＝PF ，故③正确，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∴AD 2+BD 2＝AC 2+BC 2＝AB 2，∴AD 2﹣BC 2＝AC 2﹣BD 2，故②正确，如图1中，当△ABC 是等腰直角三角形时，显然DF≠BF ，故④错误．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等，注意数形结合思想运用．20．3.5【解析】【分析】连接PB ，当B 、C 、P 三点共线，且点C 在PB 之间时，PB 最大，而OQ 是△ABP 的中位线，即可求解．【详解】令21404y x =-=，则x ＝±4，故点B （4，0），∴OB=4设圆的半径为r ，则r ＝2，连接PB ，如图，∵点Q、O分别为AP、AB的中点，∴OQ是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，∵C（0，3）∴OC=3在Rt△OBC中，由勾股定理得：5BC===则111()(52) 3.5 222OQ BP BC r+⨯+=＝＝=，故答案为3.5．【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识，连接PB并运用三角形中位线定理是本题的关键和难点．21．(1)该班级男女生数各有24人，12人；(2)选得女生为班长的概率为3 7【解析】【分析】（1）根据男生概率公式可求得男生人数，让学生总数减去男生人数即为女生人数；（2）根据概率公式即可得到答案．(1)设有男生x人，∵男生的概率为23，即2363x=，解得x＝24（人）；∴女生36﹣24＝12（人），答：该班级男女生数各有24人，12人；(2)女生12+6＝18（人），全班36+6＝42（人），选得女生为班长的概率为183 427=．【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．22．(1)见解析；(2) AC【解析】【分析】（1）线段AB、线段BC的垂直平分线的交点即为圆心O；（2）根据勾股定理的逆定理得到∠AOC＝90°，然后根据弧长公式即可得到结论．(1)如图，连接AB，BC作线段AB、线段BC的垂直平分线，两线的交于点O，则点O即为所示；(2)连接AC，AO，OC，∵AC2＝62+22＝40，OA2=22+42=4+16=20，OC2=42+22=16+4=20，∴OA2+OC2＝42+22+42+22＝40，∴AC 2＝OA 2+OC 2，∴∠AOC ＝90°，在Rt △AOC 中，∵OA ＝OC ＝∴ AC =，【点睛】本题考查尺规作图作圆弧的圆心，线段的垂直平分线，勾股定理与勾股定理逆定理，扇形弧长，掌握尺规作图作圆弧的圆心，线段的垂直平分线，勾股定理与勾股定理逆定理，扇形弧长是解题关键．23．(1)53c =；(2)铅球距离地面的最大高度为3m【解析】【分析】（1）把（10，0）代入函数解析式212123y x x c =-++中，即可求得c 的值；（2）直接利用对称轴的值，代入函数关系式进而得出答案．(1)把（10，0）代入函数解析式212123y x x c =-++中得：12100100123c -⨯+⨯+=解得：53c =(2)当x ＝﹣42b a =时，y 最大＝12516431233-⨯+⨯+=所以铅球距离地面的最大高度为3m ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键，属于基础题．24．（1）见解析；（2）O 的半径为134．【解析】【分析】（1）由题意易得 AC AD=，进而问题可证；（2）连接OC ，设OC r =，则有3,2CE OE r ==-，然后根据勾股定理可求解．【详解】（1）证明：AB CD ⊥ ，AC AD∴=，ADC AGD ∴∠=∠；（2）解：连接OC ，设OC r =，如图所示：2,6BE CD == ，3,2CE OE r ∴==-，在Rt OEC ∆中，()22232r r +-=，解得134r =，O ∴ 的半径为134．【点睛】本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角、圆周角的关系，熟练掌握垂径定理及弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题的关键．25．（1）y 与x 之间的函数关系式为y=﹣80x+560；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（3）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．【解析】【分析】（1）设y 与x 的函数关系式为y=kx+b ，将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120分别代入求出k 、b 的值即可得；（2）根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用列出方程进行求解即可得；（3）根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用列出函数关系式，然后利用二次函数的性质进行解答即可得．【详解】解：（1）设y=kx+b ，将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120代入，得3.52805.5120k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得80560k b =-⎧⎨=⎩，则y 与x 之间的函数关系式为y=﹣80x+560；（2）由题意，得（x ﹣3）（﹣80x+560）﹣80=160，整理，得x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6，∵3.5≤x≤5.5，∴x=4，答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（3）由题意得：w=（x ﹣3）（﹣80x+560）﹣80=﹣80x 2+800x ﹣1760=﹣80（x ﹣5）2+240，∵3.5≤x≤5.5，∴当x=5时，w 有最大值为240，故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用等，读懂题意，找准数量关系列出函数关系式、找准等量关系列出方程是解题的关键．26．(1)234y x x =--+，C （1，0）；(2)△ABP的形状为直角三角形，见解析；(3)Q的坐标为（﹣2﹣，﹣2﹣）【解析】【分析】（1）先通过直线求得与坐标轴的交点，然后应用待定系数法即可求得抛物线的解析式，进而求得抛物线与x轴的交点．（2）设出D的坐标（t，0），根据已知表示点E、P的坐标，根据PD⊥x轴即可求得线段PE关于t的解析式，配方即可得最大值，再算出此时的△ABP的三边即可得知其形状．（3）过P作AB的平行线l，通过平移得到直线l关于线段AB对称的直线l'，再求得l'与抛物线交点即可得Q的坐标．(1)解：如图1，∵直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣4，0），B（0，4），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，∴16404b cc--+=⎧⎨=⎩，解得34bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4，令y＝0，则﹣x2﹣3x+4＝0，解得x＝﹣4或x＝1，∴C（1，0）；(2)解：如图2，设D（t，0），∴E（t，t+4），P（t，﹣t2﹣3t+4），∴PE＝﹣t2﹣3t+4﹣t﹣4＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，线段PE有最大值是4，此时P（﹣2，6）；△ABP的形状为直角三角形，证明：∵AP2＝（﹣2+4）2+（6﹣0）2＝40，BA2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝32，BP2＝（﹣2﹣0）2+（6﹣4）2＝8，∴BA2+BP2＝AP2，∴△ABP的形状为直角三角形；(3)解：如图，过P作AB的平行线l，设直线l的解析式为：y＝x+m，代入（﹣2，6），得：6＝﹣2+m，解得：m＝8，即直线l：y＝x+8，∵直线AB：y＝x+4，直线l：y＝x+8，∴将直线l向下平移8个单位即可得到直线l关于线段AB对称的直线l'，∴直线l'：y＝x，令y＝x＝﹣x2﹣3x+4，解得：x＝﹣或﹣2﹣，∴Q的坐标为（﹣）或（﹣2﹣2﹣．【点睛】此题是一次函数与二次函数的综合题，考查了求一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，勾股定理的逆定理，二次函数的最值，一次函数的平移规律，一次函数与二次函数交点坐标，此题综合性比较强，较基础，综合掌握各知识点并应用是解题的关键．。
【必考题】初三数学上期中试题(含答案)
x
28
80
1 4
x
42
5000
1 x2 129x 8416 4
1 x 2582 8225 ，
4
∵当 x=258 时， y 1 258 42 22.5 ，不是整数， 4
∴x=258 舍去，
∴当 x=256 或 x=260 时，函数取得最大值，最大值为 8224 元，
又∵想让客人得到实惠，
4a 故选 B.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
解： y x2 2mx 4=(x m)2 m2 4 ，∴点 M（m，﹣m2﹣4），∴点 M′（﹣m，
m2+4），∴m2+2m2﹣4=m2+4．解得 m=±2．∵m＞0，∴m=2，∴M（2，﹣8）． 故选 C． 【点睛】 本题考查二次函数的性质．
是甲出发后（ ）
A．1h
B． 0.75h
C．1.2h 或 0.75h
9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
D．1h 或 0.75h
A．
B．
C．
D．
10．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 60 ， 90 ， 210 ．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是 ( )
这条抛物线上，则点 M 的坐标为（ ）
A．（1，-5）
B．（3，-13）
C．（2，-8）
D．（4，-20）
4．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知实数 a 0 ，则下列事件是随机事件的是（ ）
A． a 0
B． a 1 0
C． a 1 0
D． a2 1 0
九年级上册数学期中重要考点试题及答案
九年级上册数学期中重要考点试题及答案数学考题的容量在120分钟时间内完成大小26个题，时间很紧急，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽量精确运算(关键步骤，力求精确，宁慢勿快)，立足一次胜利。
下面是我为大家整理的有关九年级上册数学期中试卷及答案新人教版，希望对你们有关怀!九年级上册数学期中试卷及答案新人教版一、选择题(共8小题，每题4分，总分32分)1.方程x2﹣3x﹣5=0的根的状况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定是否有实数根考点：根的判别式.分析：求出b2﹣4ac的值，再进行推断即可.解答：解：x2﹣3x﹣5=0，△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×(﹣5)=290，所以方程有两个不相等的实数根，应选A.点评：此题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，留意：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)①当b2﹣4ac0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac0时，一元二次方程没有实数根.2.在Rt△ABC中，△C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为()A. B. C. D.考点：锐角三角函数的定义.分析：直接根据三角函数的定义求解即可.解答：解：△Rt△ABC中，△C=90°，BC=3，AB=5，△sinA= = .应选A.点评：此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简洁，用到的学问点：正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做△A的正弦，记作sinA.即sinA=△A的对边：斜边=a：c.3.若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是()A. 长方体B. 正方体C. 圆柱D. 圆锥考点：由三视图推断几何体.分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体样子.解答：解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥.应选：D.点评：此题考查的学问点是三视图，假如有两个视图为三角形，该几何体确定是锥，假如有两个矩形，该几何体确定柱，其底面由第三个视图的样子确定.4.小丁去看某场电影，只剩下如下列图的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号.若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是()A. B. C. D.考点：概率公式.分析：由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案.解答：解：△六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，△抽到的座位号是偶数的概率是：= .应选C.点评：此题考查了概率公式的应用.用到的学问点为：概率=所求状况数与总状况数之比.5.如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC 的中点，AB=4，则A1B1的长为()A. 1B. 2C. 4D. 8考点：位似变换.专题：计算题.分析：根据位似变换的性质得到= ，B1C1△BC，再利用平行线分线段成比例定理得到= ，所以= ，然后把OC1= OC，AB=4代入计算即可.解答：解：△C1为OC的中点，△OC1= OC，△△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，△ = ，B1C1△BC，△ = ，△ = ，即=△A1B1=2.应选B.点评：此题考查了位似变换：假如两个图形不仅是相像图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.留意：①两个图形必需是相像形;②对应点的连线都经过同一点;③对应边平行.6.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y=﹣的图象上的两点，若x10x2，则以下结论正确的选项是() p=A. y10y2 p= y2y10= d.= y1y20= c.= y20考点：反比例函数图象上点的坐标特征.专题：计算题.分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣，y2=﹣，然后利用x10x2即可得到y1与y2的大小. p=解答：解：△A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y=﹣的图象上的两点，△y1=﹣，y2=﹣，△x10x2，p=△y20y1. p=应选B.点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= (k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k.7.如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD△AC于D，过点O作OE△AC交半圆O于点E，过点E作EF△AB于F.若AC=2，则OF的长为()A. B. C. 1 D. 2考点：垂径定理;全等三角形的判定与性质.分析：根据垂径定理求出AD，证△ADO△△OFE，推出OF=AD，即可求出答案.解答：解：△OD△AC，AC=2，△AD=CD=1，△OD△AC，EF△AB，△△ADO=△OFE=90°，△OE△AC，△△DOE=△ADO=90°，△△DAO+△DOA=90°，△DOA+△EF=90°，△△DAO=△EOF，在△ADO和△OFE中，，△△ADO△△OFE(AAS)，△OF=AD=1，应选C.点评：此题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO△△OFE和求出AD的长，留意：垂直于弦的直径平分这条弦.8.如图，在矩形ABCD中，ABbc，ac，bd交于点o.点e为线段ac上的一个动点，连接de，be，过e作ef△bd于f，设ae=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的() p=A. 线段EFB. 线段DEC. 线段CED. 线段BE考点：动点问题的函数图象.分析：作BN△AC，垂足为N，FM△AC，垂足为M，DG△AC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论.解答：解：作BN△AC，垂足为N，FM△AC，垂足为M，DG△AC，垂足为G.由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE 时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误;由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AEd 时，DE有最小值，故B 正确;△CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误;由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE 时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误;应选：B.点评：此题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键.二、填空题(共4小题，每题4分，总分16分)9.如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为3πcm2.(结果保存π)考点：扇形面积的计算.专题：压轴题.分析：知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出.解答：解：由S= 知S= × π×32=3πcm2.点评：此题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S= .10.在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为24m.考点：相像三角形的应用.分析：根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解.解答：解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，= ，解得x=24，即这栋建筑物的高度为24m.故答案为：24.点评：此题考查了相像三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键.11.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1.考点：二次函数的性质.专题：数形结合.分析：根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解.解答：解：△抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，△方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1.故答案为x1=﹣2，x2=1.点评：此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣，)，对称轴直线x=﹣.也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题.12.对于正整数n，定义F(n)= ，其中f(n)表示n的首位数字、末位数字的平方和.例如：F(6)=62=36，F(123)=f(123)=12+32=10.规定F1(n)=F(n)，Fk+1(n)=F(Fk(n)).例如：F1(123)=F(123)=10，F2(123)=F(F1(123))=F(10)=1.(1)求：F2(4)=37，F2021(4)=26;(2)若F3m(4)=89，则正整数m的最小值是6.考点：规律型：数字的转变类.专题：新定义.分析：通过观看前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可.解答：解：(1)F2(4)=F(F1(4))=F(16)=12+62=37;F1(4)=F(4)=16，F2(4)=37，F3(4)=58，F4(4)=89，F5(4)=145，F6(4)=26，F7(4)=40，F8(4)=16，通过观看觉察，这些数字7个一个循环，2021是7的287倍余6，因此F2021(4)=26;(2)由(1)知，这些数字7个一个循环，F4(4)=89=F18(4)，因此3m=18，所以m=6.故答案为：(1)37，26;(2)6.点评：此题属于数字转变类的规律探究题，通过观看前几个数据可以得出规律，娴熟找出转变规律是解题的关键.三、解答题(共13小题，总分72分)13.计算：(﹣1)2021+sin30°﹣(π﹣3.14)0+( )﹣1.考点：实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.专题：计算题.分析：原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最终一项利用负指数幂法则计算即可.解答：解：原式=﹣1+ ﹣1+2= .点评：此题考查了实数的运算，娴熟把握运算法则是解此题的关键.14.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE△AC于E，求证：△ACD△△BCE.考点：相像三角形的判定.专题：证明题.分析：根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD△BC，易得△ADC=△BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相像即可得到结论.解答：证明：△AB=AC，D是BC中点，△AD△BC，△△ADC=90°，△BE△AC，△△BEC=90°，△△ADC=△BEC，而△ACD=△BCE，△△ACD△△BCE.点评：此题考查了相像三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相像.也考查了等腰三角形的性质.15.已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值.考点：一元二次方程的解.专题：计算题.分析：把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值.解答：解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，则原式= = =3.点评：此题考查了一元二次方程的解，娴熟把握运算法则是解此题的关键.16.抛物线y=2x2平移后经过点A(0，3)，B(2，3)，求平移后的抛物线的表达式.考点：二次函数图象与几何变换.专题：计算题.分析：由于抛物线平移前后二次项系数不变，则可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式.解答：解：设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，把点A(0，3)，B(2，3)分别代入得，解得，所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3.点评：此题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的样子不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.17.如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC△x轴于点C，连接BC.(1)求反比例函数的解析式;(2)若点P是反比例函数y= 图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标.考点：反比例函数与一次函数的交点问题.分析：(1)把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式;(2)由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC 的面积相等求得P点坐标.解答：解：(1)把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，△点A坐标为(2，4)，△点A在反比例函数y= 的图象上，△k=2×4=8，△反比例函数的解析式为y= ;(2)△AC△OC，△OC=2，△A、B关于原点对称，△B点坐标为(﹣2，﹣4)，△B到OC的距离为4，△S△ABC=2S△ACO=2× ×2×4=8，△S△OPC=8，设P点坐标为(x，)，则P到OC的距离为| |，△ ×| |×2=8，解得x=1或﹣1，△P点坐标为(1，8)或(﹣1，﹣8).点评：此题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在(1)中求得A点坐标、在(2)中求得P点到OC的距离是解题的关键.18.如图，△ABC中，△ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.(1)求线段CD的长;(2)求cos△ABE的值.考点：解直角三角形;勾股定理.专题：计算题.分析：(1)在△ABC中根据正弦的定义得到sinA= = ，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD= AB=5;(2)在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，则S△BDC= S△ABC，即CD•BE= • AC•BC，于是可计算出BE= ，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解.解答：解：(1)在△ABC中，△△ACB=90°，△sinA= = ，而BC=8，△AB=10，△D是AB中点，△CD= AB=5;(2)在Rt△ABC中，△AB=10，BC=8，△AC= =6，△D是AB中点，△BD=5，S△BDC=S△ADC，△S△BDC= S△ABC，即CD•BE= • AC•BC，△BE= = ，在Rt△BDE中，cos△DBE= = = ，即cos△ABE的值为.点评：此题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式.19.已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求m的取值范围;(2)若x20，且﹣1，求整数m的值.考点：根的判别式;根与系数的关系.专题：计算题.分析：(1)由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可;(2)利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m 的值即可.解答：解：(1)由已知得：m≠0且△=(m+2)2﹣8m=(m﹣2)20，则m的范围为m≠0且m≠2;(2)方程解得：x= ，即x=1或x= ，△x20，△x2= 0，即m0，△ ﹣1，△ ﹣1，即m﹣2，△m≠0且m≠2，△﹣2m0，p=△m为整数，△m=﹣1.点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0.20.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示(其中x为正整数，且1≤x≤10);质量档次1 2 ... x (10)日产量(件) 95 90 ... 100﹣5x (50)单件利润(万元) 6 8 ... 2x+4 (24)为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元.(1)求y关于x的函数关系式;(2)工厂为获得利润，应选择生产哪个档次的产品?并求出当天利润的值.考点：二次函数的应用.分析：(1)根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式;(2)由(1)的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论.解答：解：(1)由题意，得y=(100﹣5x)(2x+4)，y=﹣10x2+180x+400(1≤x≤10的整数);答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400;(2)△y=﹣10x2+180x+400，△y=﹣10(x﹣9)2+1210.△1≤x≤10的整数，△x=9时，y=1210.答：工厂为获得利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的值为1210万元.点评：此题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键.21.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在△O上，AD与△O相切，射线AO交BC于点E，交△O于点F.点P在射线AO上，且△PCB=2△BAF.(1)求证：直线PC是△O的切线;(2)若AB= ，AD=2，求线段PC的长.考点：切线的判定;勾股定理;平行四边形的性质;相像三角形的判定与性质.分析：(1)首先连接OC，由AD与△O相切，可得FA△AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD△BC，然后由垂径定理可证得F是的中点，BE=CE，△OEC=90°，又由△PCB=2△BAF，即可求得△OCE+△PCB=90°，继而证得直线PC是△O的切线;(2)首先由勾股定理可求得AE的长，然后设△O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r，则可求得半径长，易得△OCE△△CPE，然后由相像三角形的对应边成比例，求得线段PC的长.解答：(1)证明：连接OC.△AD与△O相切于点A，△FA△AD.△四边形ABCD是平行四边形，△AD△BC，△FA△BC.△FA经过圆心O，△F是的中点，BE=CE，△OEC=90°，△△COF=2△BAF.△△PCB=2△BAF，△△PCB=△COF.△△OCE+△COF=180°﹣△OEC=90°，△△OCE+△PCB=90°.△OC△PC.△点C在△O上，△直线PC是△O的切线.(2)解：△四边形ABCD是平行四边形，△BC=AD=2.△BE=CE=1.在Rt△ABE中，△AEB=90°，AB= ，△ .设△O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r.在Rt△OCE中，△OEC=90°，△OC2=OE2+CE2.△r2=(3﹣r)2+1.解得，△△COE=△PCE，△OEC=△CEP=90°.△△OCE△△CPE，△ .△ .△ .点评：此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相像三角形的判定与性质.此题难度适中，留意把握关心线的作法，留意把握数形结合思想与方程思想的应用.22.阅读下面材料：小明观看一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他觉察一个好玩的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值.请回答：(1)如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD△AB;(2)如图2，线段AB与CD交于点O.为了求出△AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE△CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相像三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决.请你帮小明计算：OC=;tan△AOD=5;解决问题：如图3，计算：tan△AOD=.考点：相像形综合题.分析：(1)用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置;(2)连接AC、DB、AD、DE.由△ACO△△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan△AOD的值;(3)如图，连接AE、BF，则AF= ，AB= ，由△AOE△△BOF，可以求出AO= ，在Rt△AOF中，可以求出OF= ，故可求得tan△AOD.解答：解：(1)如下列图：线段CD即为所求.(2)如图2所示连接AC、DB、AD.△AD=DE=2，△AE=2 .△CD△AE，△DF=AF= .△AC△BD，△△ACO△△DBO.△CO：DO=2：3.△CO= .△DO= .△OF= .tan△AOD= .(3)如图3所示：根据图形可知：BF=2，AE=5.由勾股定理可知：AF= = ，AB= = .△FB△AE，△△AOE△△BOF.△AO：OB=AE：FB=5：2.△AO= .在Rt△AOF中，OF= = .△tan△AOD= .点评：此题主要考查的是相像三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相像三角形是解题的关键.23.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象经过点A(1，4)、B(m，n).(1)求代数式mn的值;(2)若二次函数y=(x﹣1)2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n 的值;(3)若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a(x﹣1)2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围.考点：反比例函数综合题;代数式求值;反比例函数与一次函数的交点问题;二次函数的性质.专题：综合题;数形结合;分类商议.分析：(1)只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题;(2)将点B的坐标代入y=(x﹣1)2得到n=m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn(m2﹣2m+1)+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题;(3)可先求出直线y=x与反比例函数y= 交点C和D的坐标，然后分a0和a0两种状况商议，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质(|a|越大，抛物线的开口越小)就可解决问题.解答：解：(1)△反比例函数y= 的图象经过点A(1，4)、B(m，n)，△k=mn=1×4=4，即代数式mn的值为4;(2)△二次函数y=(x﹣1)2的图象经过点B，△n=(m﹣1)2=m2﹣2m+1，△m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n=mn(m2﹣2m+1)+2mm﹣4n=4n+2×4﹣4n=8，即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8;(3)设直线y=x与反比例函数y= 交点分别为C、D，解，得：或，△点C(﹣2，﹣2)，点D(2，2).①若a0，如图1，当抛物线y=a(x﹣1)2经过点D时，有a(2﹣1)2=2，解得：a=2.△|a|越大，抛物线y=a(x﹣1)2的开口越小，△结合图象可得：满足条件的a的范围是0a2; p=②若a0，如图2，当抛物线y=a(x﹣1)2经过点C时，有a(﹣2﹣1)2=﹣2，解得：a=﹣.△|a|越大，抛物线y=a(x﹣1)2的开口越小，△结合图象可得：满足条件的a的范围是a﹣.综上所述：满足条件的a的范围是0a2或a﹣p= .点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等学问，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类商议的思想进行了考查，运用整体思想是解决第(2)小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类商议的思想是解决第(3)小题的关键.24.如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，△CDE=△ADB=α.(1)如图2，当△ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系;(2)将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF.①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长;②请直接写出线段AF的长(用含α的式子表示).考点：几何变换综合题.分析：(1)根据等腰直角三角形的性质得出即可;(2)①设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，根据SAS推出△ADE△△BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，△AED=△BCD.求出△AFE=45°，解直角三角形求出即可;②过E作EM△AF于M，根据等腰三角形的性质得出△AEM=△FME= ，AM=FM，解直角三角形求出FM即可.解答：解：(1)AD+DE=4，理由是：如图1，△△ADB=△EDC=△α=90°，AD=BD，DC=DE，△AD+DE=BC=4;(2)①补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，△△ADB=△CDE=90°，△△ADE=△BDC，在△ADE与△BDC中，，△△ADE△△BDC，△AE=BC，△AED=△BCD.△DE与BC相交于点H，△△GHE=△DHC，△△EGH=△EDC=90°，△线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，△EF=CB=4，EF△CB，△AE=EF，△CB△EF，△△AEF=△EGH=90°，△AE=EF，△AEF=90°，△△AFE=45°，△AF= =4 ;②如图2，过E作EM△AF于M，△由①知：AE=EF=BC，△△AEM=△FME= ，AM=FM，△AF=2FM=EF×sin =8sin .点评：此题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出关心线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大.25.在平面直角坐标系xOy中，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是图形W上的任意两点.定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的值为m，|y1﹣y2|的值为n，则S=mn 为图形W的测度面积.例如，若图形W是半径为1的△O，当P，Q分别是△O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得值，且值m=2;当P，Q分别是△O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得值，且值n=2.则图形W的测度面积S=mn=4(1)若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=1;②如图4，当AB△x轴时，它的测度面积S=1;(2)若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的值为2;(3)若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围.考点：圆的综合题.分析：(1)由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|•|OB|求解即可;②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S=|AB|•|OC|求解即可;(2)先确定正方形有测度面积S时的图形，即可利用测度面积S=|AC|•|BD|求解.(3)分两种状况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可.解答：解：(1)①如图3，△OA=OB=1，点A，B在坐标轴上，△它的测度面积S=|OA|•|OB|=1，故答案为：1.②如图4，△AB△x轴，OA=OB=1.△AB= ，OC= ，△它的测度面积S=|AB|•|OC|= × =1，故答案为：1.(2)如图5，图形的测度面积S的值，△四边形ABCD是边长为1的正方形.△它的测度面积S=|AC|•|BD|= × =2，故答案为：2.(3)设矩形ABCD的边AB=4，BC=3，由已知可得，平移图形W不会转变其测度面积的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上，当A，B或B，C都在x轴上时，如图6，图7，矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S=12.当顶点A，C都不在x轴上时，如图8，过点A作直线AH△x轴于点E，过C 点作CF△x轴于点F，过点D作直线GH△x轴，分别交AE，CF于点H，G，则可得四边形EFGH是矩形，当点P，Q与点A，C重合时，|x1﹣x2|的值为m=EF，|y1﹣y2|的值为n=GF.图形W的测度面积S=EF•GF，△△ABC+△CBF=90°，△ABC+△BAE=90°，△△CBF=△BAE，△△AEB=△BFC=90°，△△AEB△△BFC，△ = = = ，设AE=4a，EB=4b，(a0，b0)，则BF=3a，FC=3b，在RT△AEB中，AE2+BE2=AB2，△16a2+16b2=16，即a2+b2=1，△b0，△b= ，在△ABE和△CDG中，△△ABE△△CDG(AAS)△CG=AE=4a，△EF=EB+BF=4b+3a，GF=FC+CG=3b+4a，△图形W的测度面积S=EF•GF=(4b+3a)(3b+4a)=12a2+12b2+25a =12+25=12+25 ，当a2= 时，即a= 时，测度面积S取得值12+25× = ，△a0，b0，△ 0，△S12，综上所述：测度面积S的取值范围为12≤S≤ .点评：此题主要考查了阅读材料题，涉及新定义，三角形相像，三角形全等的判定与性质，勾股定理及矩形，正方形等学问，解题的关键是正确的确定矩形|x1﹣x2|的值，|y1﹣y2|的值.九年级上册数学期中重要考点试题及答案。
初三数学上册期中考复习题
初三数学上册期中考复习题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. -1C. 1D. 22. 如果a和b是相反数，那么a+b的值等于：A. 0B. 1C. -1D. 不确定3. 一个数的平方根是它自己，这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 下列哪个不是同类项？A. 3x^2 和 -2x^2B. 5y 和 3y^3C. 4z 和 2z^2D. a^3 和 b^35. 一个三角形的内角和等于：A. 180°B. 360°C. 90°D. 120°6. 一个圆的周长是C，半径是r，那么C和r的关系是：A. C = 2πrB. C = πrC. C = r/2D. C = r^27. 以下哪个是二次根式？A. √2B. √(-1)C. √xD. √(x^2)8. 一个数的立方根是它自己，这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 29. 一个数的绝对值是它自己，这个数可能是：A. 正数B. 负数C. 0D. 所有实数10. 下列哪个是一元二次方程？A. x + 2 = 0B. x^2 + 3x + 2 = 0C. x^3 - 5x = 0D. x^2 - 4 = 0二、填空题（每题2分，共20分）11. 如果一个数的相反数是-5，那么这个数是______。
12. 一个数的平方等于16，这个数可能是______或______。
13. 一个数的绝对值是5，这个数可能是______或______。
14. 如果一个三角形的两个内角分别是40°和70°，那么第三个角的度数是______。
15. 一个圆的直径是14cm，那么这个圆的半径是______cm。
16. 如果一个多项式的次数是3，那么它至少包含______个单项式。
17. 一个数的立方是-8，那么这个数是______。
18. 一个数的平方根是2，那么这个数是______。
锐角的三角比(考题猜想,易错必刷40题7种题型专项训练)(学生版) 2025学年九年级数学上学期期中
专题02锐角的三角比（考题猜想，易错必刷40题7种题型专项训练）锐角三角函数的定义 特殊角的三角函数值解直角三角形 解直角三角形的应用解直角三角形的应用-坡度坡角问题 有理数大小比较解直角三角形的应用-方向角问题一．锐角三角函数的定义（共2小题）1．（2024•闵行区）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AB =，2AC =，那么cos A 的值是()A ．13B ．23C ．D 2．（2023•松江区一模）已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，那么下列结论正确的是()A ．2tan 3A =B ．2cot 3A =C ．2sin 3A =D ．2cos 3A =二．特殊角的三角函数值（共7小题）3．（2023秋•宝山区期中）tan 45︒的值等于()A ．2B ．1CD 4．（2024•崇明区）计算：2sin 60cos 45cos303tan 30︒︒-+︒︒．5．（2023秋•金山区期末）计算：2sin 451cot 60cos30tan 45︒-+︒⋅︒︒．6．（2023秋•闵行区期中）计算：cos 45tan 60cot 451sin 30︒-︒-︒-︒．7．（2023秋•黄浦区校级期中）计算：2tan 452cos 45sin 60cot 30︒-+︒︒⋅︒．8．（2023秋•长宁区校级期中）计算：tan 452|1sin 60|cot 302cos 45︒-︒+︒-︒．9．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：sin 45cos30sin 30(cos 45sin 60)32cos 60︒+︒-︒︒-︒-︒三．解直角三角形（共4小题）10．（2023秋•长宁区校级月考）已知点(1,2)A 在平面直角坐标系xOy 中，射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么cos α的值为．11．（2022秋•嘉定区校级期末）已知在DEF ∆中，12DE DF ==，10EF =，那么cos E =．12．（2022秋•金山区校级期末）如图，在ABC ∆中，1sin 4B =，1tan 2C =，4AB =，则AC 的长为．13．（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在ABC ∆中，15AB AC ==，4tan 3A =．求：（1）ABC S ∆；（2）B ∠的余弦值．四．解直角三角形的应用（共4小题）14．（2022•徐汇区模拟）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX 观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33︒到40︒之间时（如图1)，双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC 的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 330.54︒≈，tan 330.65︒≈，sin 400.64︒≈，tan 400.84︒≈，sin16.50.28︒≈，tan16.50.30︒≈，sin 200.34︒≈，tan 200.36)︒≈（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？15．（2022•长宁区模拟）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29︒（参考数据：sin290.48︒≈；︒≈cos290.87︒≈；tan290.55)（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）16．（2023秋•静安区期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚10OA OB==分米，晾衣臂支架6HG FE==∠=︒，晾衣臂10CODOC OD==分米，展开角60分米，且4≈==分米． 1.73)HO FO（1）当90∠=︒时，求点A离地面的距离AM约为多少分米；（结果精确到0.1)AOC（2）当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，求''-为多少分米．B E BE17．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，25BOA∠=︒，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差．（精确到0.1厘米）(sin250.423︒≈，cos250.906︒≈，tan250.466)︒≈（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共5小题）18．（2024•南岗区校级一模）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为()A．5cosαB．5cosαC．5sinαD．5sinα19．（2022秋•黄浦区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为．20．（2023秋•杨浦区期末）小华沿着坡度1:3i =的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了米．21．（2023•普陀区二模）如图，斜坡AB 的坡度1i =AH 的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡AC 的坡度21:2.4i =，已知斜坡10AB =米，那么斜坡AC =米．22．（2022秋•静安区校级期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至1B 层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与1B 层平行，层高AD 为9米，A 、B 间的距离为6米，20ACD ∠=︒．（1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B 处会不会碰到头？请说明理由．（2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）．已知平台//EF DC ，且AE 段和FC 段的坡度1:2i =，求平台EF 的长度．【参考数据：sin 200.34︒≈，cos 200.94︒≈，tan 200.36︒≈】六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共16小题）23．（2023秋•嘉定区期末）一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30︒，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是()A．6000米B．12000米C．60003米D．120003米24．（2023•崇明区一模）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角为α，那么此时飞机与目标A点的距离为千米．（用α的式子表示）25．（2024•徐汇区校级三模）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60︒，6BC m=，则旗杆AC的高度为m．26．（2023秋•松江区期末）如图，A处有一垂直于地面的标杆AM，热气球沿着与AM的夹角为15︒的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为30(AM︒、B、C在同一平面内）．求≈A、B之间的距离．（结果精确到1米，2 1.414)27．（2022秋•闵行区期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度10.6BD=米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角45︒，顶部B处的仰角为53︒，求此时观测点A到发射塔CD的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin530.80︒≈，︒≈，cos530.60︒≈tan53 1.33)28．（2022秋•闵行区期中）如图，在电线杆上的C处引拉线CE和CF固定电线杆．在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B、E、D在同一直线上），在点A处测得电线杆上C处的仰角为30︒．已知测角仪的高AB 3米，拉线CE的长为6米，求测角仪底端（点)B与拉线固定点（E）之间的距离．29．（2024•上海模拟）如图，某处有一座塔AB，塔的正前方有一平台DE，平台的高5DG=米，斜坡CD 的坡度5:12i=，点A，C，G，F在同一条水平直线上．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡C处测得塔顶部B的仰角为54.5︒，在斜坡D处测得塔顶部B的仰角为26.7︒，求塔高AB．（精确到0.1米）（参考数据：tan54.5 1.40︒≈︒≈，sin26.70.45︒≈，cos26.70.89)︒≈，tan26.70.50︒≈，sin54.50.81︒≈，cos54.50.5830．（2024•崇明区）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡BM的坡度1:3BN，i=，在坡面D处有一棵树AD（假设树AD垂直水平线)在坡底B处测得树梢A的仰角为45︒，沿坡面BM方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角ACQ∠为60︒．（点B、C、D在一直线上）（1）求A、C两点的距离；（2）求树AD的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：3 1.732)≈31．（2023秋•黄浦区期末）在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为MN ，树根部为B 、树顶端为A ，其中1.5MN m =，视线MB 的仰角为α（已知1tan )6α=，视线MA 的仰角为β（已知3tan )4β=．（1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中NH 的长度，就可以了．”设NH a =，请你用含有a 的代数式表示松树()AB 的高度．（2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出NH 的长度，我们总不能把坡给挖平了吧？”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树()AB 的高度．32．（2023秋•长宁区期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A、B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60︒；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45︒．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH、QR、EF在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）33．（2023秋•静安区期末）如图，某建筑物AB 高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的C 处（即CE 长为400米）．此时测得建筑物顶部A 的俯角为α，当乘坐的热气球垂直上升到达D 处后，再次测得建筑物顶部A 的俯角为β．(tan 1.25,tan 1.75)αβ==（1）请在图中标出俯角α、β，并用计算器求α、β的大小：α≈，β≈；（精确到“1”)（2）求热气球上升的垂直高度（即CD 的长）．34．（2023秋•嘉定区期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔CD ．小山斜坡AB 的坡度为1:2.4i =，坡长AB 为39米，在小山的坡底A 处测得该塔的塔顶C 的仰角为45︒，在坡顶B 处测得该塔的塔顶C 的仰角为74︒．（1）求坡顶B 到地面AH 的距离BH 的长；（2）求古塔CD 的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin 740.96︒≈，cos 740.28︒≈，tan 74 3.49)︒≈35．（2022秋•嘉定区期末）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．如图2，为测量海岛上一座山峰AH 的高度，直立两根高2米的标杆BC 和DE ，两杆间距BD 相距6米，D 、B 、H 三点共线．从点B 处退行到点F ，观察山顶A ，发现A 、C 、F 三点共线，且仰角为45︒；从点D 处退行到点G ，观察山顶A ，发现A 、E 、G 三点共线，且仰角为30︒．（点F 、G 都在直线HB 上）（1）求FG 的长（结果保留根号）；（2）山峰高度AH 的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)≈36．（2023秋•青浦区期末）北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取B 、C 两点，在B 处测得浦仓路桥顶部点A 的仰角为22︒，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至C 处，在C 处测得点A 的仰角为37︒，在D 处测得地面BD 到水面EF 的距离DE 为1.2米（点B 、C 、D 在一条直线上，//BD EF ，DE EF ⊥，)AF EF ⊥，求浦仓路桥顶部A 到水面的距离AF ．（精确到0.1米）（参考数据：sin 220.37︒≈，cos 220.93︒≈，tan 220.40︒≈，sin 370.60︒≈，cos 370.80︒≈，tan 370.75)︒≈37．（2023•长宁区二模）为了测量某建筑物的高度BE ，从与建筑物底端B 在同一水平线的点A 出发，沿着坡比为1:2.4i =的斜坡行走一段路程至坡顶D 处，此时测得建筑物顶端E 的仰角为30︒，再从D 处沿水平方向继续行走100米后至点C 处，此时测得建筑物顶端E 的仰角为60︒，建筑物底端B 的俯角为45︒，如图，已知点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，求建筑物BE 的高度与AD 的长．（参考数据：3 1.732)≈38．（2023秋•静安区校级期中）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB 是灯杆，CD 是灯管支架，灯管支架CD 与灯杆间的夹角60BDC ∠=︒．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD 的长度，他们在地面的点E 处测得灯管支架底部D 的仰角为60︒，在点F 处测得灯管支架顶部C 的仰角为30︒，测得3AE m =，8(EF m A =，E ，F 在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：（1）求灯管支架底部距地面高度AD 的长（结果保留根号）；（2）求灯管支架CD 的长度（结果精确到0.1m ，参考数据：3 1.73)≈．七．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）39．（2023秋•青浦区校级月考）如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45︒方向上，测得树B在北偏东36︒方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：2 1.414︒≈≈，sin360.588︒≈，cot36 1.376)︒≈，cos360.809︒≈，tan360.72740．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45︒方向上，测得A在北偏东30︒方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是米（结果保留根号形式）．。
人教版九年级上册期中数学试卷(含答案)(最新)
人教版九年级上册期中数学试卷练习题一、选择题。
1、方程3x2﹣1=0的一次项系数是（）A、﹣1B、0C、3D、12、方程x（x﹣1）=0的根是（）A、x=0B、x=1C、x1=0，x2=1D、x1=0，x2=﹣13、抛物线y=2（x+1）2﹣3的对称轴是（）A、直线x=1B、直线x=3C、直线x=﹣1D、直线x=﹣34、下列所述图形中，是中心对称图形的是（）A、直角三角形B、平行四边形C、正五边形D、正三角形5、用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（）A、（x+3）2=1B、（x﹣3）2=1C、（x+3）2=19D、（x﹣3）2=196、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（）A、30°B、45°C、60°D、90°7、若关于x的方程x2+x﹣a+ =0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A、a＞2B、a≥2C、a≤2D、a＜28、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A、14B、12C、12或14D、以上都不对9、设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（）A、（1，0）B、（3，0）C、（﹣3，0）D、（0，﹣4）10、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A、函数有最小值B、对称轴是直线x=C、当x＜，y随x的增大而减小D、当﹣1＜x＜2时，y＞0二、填空题：11、把方程2x2﹣1=5x化为一般形式是________．12、点P（﹣1，2）关于原点对称的点P′的坐标是________．13、若x=﹣1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a=________．14、请写出一个开口向上，且其图象经过原点的抛物线的解析式________．15、已知点A（，y1），B（﹣2，y2）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1与y2的大小关系是________．16、如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC=90°，AB=AC= ，则图中阴影部分的面积等于________．三、解答题17、解方程：x2﹣3x+2=0．18、已知二次函数y=﹣x2﹣2x，用配方法把该函数化为y=a（x﹣h）2+c的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标．19、已知x=1是关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0的一个根，求m的值和方程的另一个根．20、如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．(1)将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′，请在图中画出△AB′C′．(2)写出点B′、C′的坐标．21、如图，已知抛物线y=x2+x﹣6与x轴两个交点分别是A、B（点A在点B的左侧）．(1)求A、B的坐标；(2)利用函数图象，写出y＜0时，x的取值范围．22、向阳村2013年的人均收入为10000元，2015年人均收入为12100元，若2013年到2015年人均收入的年平均增长率相同．(1)求人均收入的年平均增长率；(2)2014年的人均收入是多少元？23、如图所示，一个农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于房墙的一边留一个1m宽的门．(1)所围成矩形猪舍的长、宽分别是多少时，猪舍面积为80m2(2)为做好猪舍的卫生防疫，现需要对围成的矩形进行硬底化，若以房墙的长为矩形猪舍一边的长，且已知硬底化的造价为60元/平方米，请你帮助农户计算矩形猪舍硬底化需要的费用．24、一块三角形材料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中D、E、F分别在BC、AB、AC上．(1)若设AE=x，则AF=________；（用含x的代数式表示）(2)要使剪出的矩形CDEF的面积最大，点E应选在何处？25、如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，对称轴交x轴于点M．(1)求抛物线的函数解析式；(2)设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；(3)设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为________．答案解析部分一、<b >选择题。
期中重难点真题特训之压轴满分题型2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 (原卷版)
1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在如图所示的电路中，随机闭合开关 、 、 中的任意两个，能使灯泡发光的概率是（）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，A，B是两个可以自由转动的转盘，A转盘白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为 和 ，B转盘被分成面积相等的两个黑白扇形，转动A，B转盘各一次，两次指针都落在黑色区域的概率为．
（2）已知m，n是关于x的一元二次方程 的两实数根，则 的最小值是．
3．（24-25九年级上·河南开封·期中）（1）对于一元二次方程 ，当 时，它的求根公式为，求根公式不仅可以由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的关系．若方程的两个根为 ，则满足：① ；② ．（这也称作韦达定理，是由16世纪法国数学家韦达发现的）．请利用一元二次方程的求根公式证明韦达定理；
(1)若点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ，则点P，Q的“子矩形”的周长为；
(2)已知点 ，点B在x轴上，若点A，B的“子矩形”面积为32，求 所在直线的函数解析式；
(3)在（2）中的线段 上任取两点P，Q，并作P，Q的“子矩形”，若P，Q两点纵坐标之差为2，①求对角线 的长度；②已知动点M在P，Q的“子矩形”边上运动，请直接写出线段 长度的取值范围．
压轴满分题十、成比例线段
1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
3．（24-25九年级上·河南开封·期中）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
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（3分）（2019•铁岭）如图，点A 在双曲线y=上，点B 在双曲线y=（k ≠0）上，AB ∥x 轴，分别过点A 、B 向x 轴作垂线，垂足分别为D 、C ，若矩形ABCD 的面积是8，则k 的值为（ ）A ． 12B ． 10C ． 8D ． 6 （2019•朝阳）如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数y=的图象上，若点A 的坐标为（﹣2，﹣3），则k 的值为（ ）A ． 1B ． ﹣5C ．4 D ． 1或﹣55.已知一元二次方程0158x -x 2=+的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为（ ）A 、13B 、11或13C 、11D 、126、有三张正面分别标有数字 2-，3, 4的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后， 从 中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张， 则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是（ ）A 、94B 、121C 、31D 、617、如图 在直角△ABC 中，∠BAC=90°AB=8，AC=6，DE 是AB 边的垂直平分线，垂足为D ，交边BC 于点E ，连接AE ，则△ACE 的周长为（ ）A 、16B 、15C 、14D 、138、随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为（ ）A 、x 5.2815x 8=+B 、155.28x 8+=xC 、x 5.2841x 8=+D 、415.28x 8+=x9、在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=5，AC=6，过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，则△BDE 的面积为（ ）A 、22B 、24C 、48D 、4410、如图，已知点A 在反比例函数y=x4的图象上，点B 在反比例函数y=xk(k ≠0)的图象上，AB ∥x 轴，分别过点A 、B 向x 轴作垂线，垂足分别为C 、D ，若OC=31OD ，则k 的值为（ ）A 、10B 、12C 、14D 、16 （3分）（2019•营口）如图，菱形ABCD 的边长为2，∠B=30°．动点P 从点B 出发，沿B ﹣C ﹣D 的路线向点D 运动．设△ABP 的面积为y （B 、P 两点重合时，△ABP 的面积可以看做0），点P 运动的路程为x ，则y 与x 之间函数关系的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．（3分）（2019•铁岭）如图，点E 、F 、G 、H 分别为菱形A 1B 1C 1D 1各边的中点，连接A 1F 、B 1G 、C 1H 、D 1E 得四边形A 2B 2C 2D 2，以此类推得四边形A 3B 3C 3D 3…，若菱形A 1B 1C 1D 1的面积为S ，则四边形A n B n C n D n 的面积为 _________ ．（3分）（2019•营口）如图，直线y=﹣x+b 与双曲线（x ＞0）交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于E 、F 两点，连接OA 、OB ，若S △AOB =S △OBF +S △OAE ，则b= _________ ．15、在一个不透明的袋中，装有6个红球和若干个绿球，若再往此袋中放入5个白球（袋中所有球除颜色外完全相同）摇匀后摸出一球，摸到红球的概率恰好为52，那么此袋中原有绿球__________个。
16、如图，在□ABCD 中，∠ABC 的平分线BE 交AD 边于点E ，交对角线AC 于点F ，若53BC AB =，则=AC AF _______。
17、如图，矩形ABCD 中，点P 、Q 分别是边AD 和BC 的中点，沿过C 点的直线折叠矩形ABCD 使点B 落在线段PQ 上的点 F 处，折痕交AB 边于点E ，交线段PQ 于点G ，若BC 长为3， 则线段FG 的长为__________。
18、如图，下图是一组由菱形和矩形组成的有规律的图案，第1个图中菱形的面积为S （S 为常数），第2个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到的菱形产生的，依此类推……，则第n 个图中阴影部分的面积可以用含n 的代数式表示为__________。
（n ≥2，且n 是正整数）22．小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局．（1）一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少？（2）如果用A B C ，，分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用1A ，1B ，1C 分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？用列表法或画树状图（树形图）法加以说明．小刚 小明A 1B 1C 1A B C 第22题图24．一辆经营长途运输的货车在高速公路的A处加满油后，以每小时80千米的速度匀速行驶，前往与A处相距636千米的B地，下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的关系：行驶时间x0 1 2 2.5（时）余油量y（升）100 80 60 50（1次函数中的一种来表示y与x之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围）（2）按照（1）中的变化规律，货车从A处出发行驶4.2小时到达C处，求此时油箱内余油多少升？（3）在（2）的前提下，C处前方18千米的D处有一加油站，根据实际经验此货车在行驶中油箱内至少保证有10升油，如果货车的速度和每小时的耗油量不变，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达B地．（货车在D处加油过程中的时间和路程忽略不计）25．（14分）（2019•营口）如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．（1）如图1，求证：AE=DF；（2）如图2，若AB=2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；（3）如图3，若AB=，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．①直接写出线段AE长度的取值范围；②判断△GEF的形状，并说明理由．25．已知：如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．（1）求证：①BE CD =；②AMN △是等腰三角形．（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180o ，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：PBD AMN △∽△．23将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90º，∠A ＝∠D ＝30º，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ． (1)求证：AF ＋EF ＝DE ；(2)若将图①中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角α，且0º＜α＜60º，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立；(3)若将图①中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60º＜β＜180º，其他条件不变，如图③．你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由．C E ND A BM图① C A E M B D N 图② 第25题图22、某商店购进甲、乙两种型号的滑板车，共花费13000元，所购进甲型车的数量不少于乙型车数量的二倍，但不超过乙型车数量的三倍。
现已知甲型车每辆进价200元，乙型车每辆进价400元，设商店购进乙型车x 辆。
（1）商店有哪几种购车方案？（2）若商店将购进的甲、乙两种型号的滑板车全部售出，并且销售甲型车每辆获得利润70元，销售乙型车每辆获得利润50元，写出此商店销售这两种滑板车所获得的总利润y （元）与购进乙型车的辆数x （辆）之间的函数关系式？并求出商店购进乙型车多少辆时所获得的利润最大？25、已知，在△ABC 中，AB=AC 。
过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ，直线a 交BC 边于点P （点P 不与点B 、点C 重合），△BMN 的边MN 始终在直线a 上（点M 在点N 的上方），且BM=BN ，连接CN 。
（1）当∠BAC=∠MBN=90°时，①如图a ，当θ=45°时，∠ANC 的度数为_______；②如图b ，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；（2）如图c ，当∠BAC=∠MBN ≠90°时，请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系，不必证明。
ACBD图①图②25．（12分）（2019•朝阳）某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量w（kg）随销售单价x（元/kg）的变化而变化，具体变化规律如下表所示…70 75 80 85 90 …销售单价x（元/kg）销售量w（kg）…100 90 80 70 60 …设该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价×销售量﹣成本﹣投资）．（1）请根据上表，写出w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）．并求出x为何值时，y的值最大？（3）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？25．（12分）（2019•铁岭）已知△ABC是等边三角形．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC 所在直线相交于点O．①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？_________（填“是”或“否”），∠BOE=_________度；②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=AB′，AC=AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．。