凸函数及其在证明不等式中的应用

本科毕业论文

题目凸函数及其在证明不等式中的应用系别数学与信息科学学院

专业数学与应用数学

指导教师吴开腾

评阅教师

班级2004级2班

姓名冀学本

学号***********

2008 年５月２７日

目录

摘要 ....................................................................................................................................................................... I Abstract.............................................................................................................................................................. I 1引言 . (1)

2 凸函数的等价定义 (1)

2.1凸函数三种定义的等价性的讨论 (2)

2.1.1定义1⇔定义2 (2)

2.1.2定义1⇔定义3 (4)

2.2判定定理与JESEN不等式 (4)

3．性质 (5)

4凸函数在不等式证明中的应用 (7)

4.1利用凸函数定义证明不等式 (7)

4.2利用凸函数性质证明不等式 (8)

结束语 (11)

参考文献 (11)

致谢 (12)

摘要首先给出了凸函数的三个典型定义，分析了它们之间的关系，并证明了三种定义之间的等价性．接着给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen不等式．然后讨论了凸函数的几条常用性质，通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用．凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性．因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用．在不等式证明中的应用并举例说明解题思路与证明方法，最后证明了几个常见的重要不等式．并得到了几种常用凸函数的形式．

关键词凸函数，凸性不等式，jensen不等式

Abstract First has given the convex function three model definition，has analyzed between them the relations，and has proven between three kind of definition equivalence. Then has given a convex function determination theorem as well as the Jesen inequality. Then discussed convex function several commonly used nature，has demonstrated the convex function in inequality proof application through the sample question. The convex function has the important fundamental research value and the actual widespread application，the use convex function nature proof inequality;Very easy to prove the inequality the accuracy. Therefore，the correct understanding convex function's definition，the nature and the application，carry on the promotion to the related academic question to study the pivotal function. In the inequality proved that the application and explains with examples the problem solving mentality and the certificate method，finally has proven several common important inequalities. And obtained several kind of commonly used convex function forms.

Key words Convex function，convexity inequality，jensen inequality

1引言

凸函数是一类常见的重要函数，上世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支得到广泛应用．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中．常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数．现行高等数学教材中也都对函数的凸性作了介绍，由于各版本根据自己的需要，对凸函数这一概念作了不同形式的定义，本文介绍了凸函数的三种典型定义，讨论了它们的等价性，并给出了利用凸函数的定义证明凸函数的简单应用．凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式证明最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分重要．凸函数的性质相当多，已有很多文献专门就函数凸性作了研究．本文就凸函数的性质介绍了几条常用的性质，并给出了证明；最后，重点介绍了凸函数的性质在不等式证明中的应用．

2 凸函数的等价定义

定义1[1] 若函数()f x 对于区间(,)a b 内的任意12,x x 以及(0,1)λ∈，恒有

[]1212(1)()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，

则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．

其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 间的割线总在曲线之上．

定义2 若函数()f x 在区间(,)a b 内连续，对于区间(,)a b 内的任意12,x x ，恒有

[]12121

(

)()()22

x x f f x f x +≤+， 则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．

其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 间割线的中点总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上．

定义3 若函数()f x 在区间(,)a b 内可微，且对于区间(,)a b 内的任意x 及0x ，恒有

000()()()()f x f x f x x x '≥+-，

则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．