Black-Scholes模型

布莱克和舒尔斯建立一个包括一单位衍生证券 单位标的证券多头的投资组合。
若数量适当，标的证券多头盈利(或亏损)总是 会与衍生证券空头的亏损(或盈利)相抵消，因 此在短时间内该投资组合是无风险的。
在无套利机会的情况下，该投资组合在短期内 的收益率一定等于无风险利率。
（二）布莱克—舒尔斯微分方程的假设
1973年，布莱克和舒尔斯成功地求解了他们的 微分方程，从而获得了欧式看涨期权和看跌期 权的精确公式。
在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时 (T时刻)的期望值为：
Eˆ[max( ST X ,0)]
其中，E 表示风险中性条件下的期
望值。根据风险中性定价原理，欧 式看涨期权的价格c等于将此期望值 按无风险利率进行贴现后的现值， 即：
由于0.4148＜1.0元，因此在第二个除权日前有 可能提前执行
然后，要比较1年期和11个月期欧式看涨期权 价格。
对于1年期欧式看涨期权来说，由于红利的现 值为：
教学重点及难点 一、布莱克——舒尔斯微分方程 (一)布莱克——舒尔斯微分方程的推导 (二)风险中性定价原理 二、布莱克——舒尔斯期权定价公式 三、有收益资产的期权定价公式 (一)有收益资产欧式期权的定价公式 (二)有收益资产美式期权的定价
股票期权定价的Black-Scholes公 式
1．证券价格遵循几何布朗运动，即μ和σ为常 数；
2．允许卖空标的证券； 3．没有交易费用和税收，所有证券都是完全
可分的； 4．在衍生证券有效期内标的证券没有现金收
益支付； 5．不存在无风险套利机会； 6．证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7．在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。
而受制于主观的风险收益偏好的标的证 券预期收益率μ并未包括在衍生证券的价 值决定公式中。
这意味着，无论风险收益偏好状态如何， 都不会对f的值产生影响。
在对衍生证券定价时，所有投资者都是 风险中性的。
在所有投资者都是风险中性的条件下， 所有证券的预期收益率都可以等于无风 险利率r，这是因为风险中性的投资者并 不需要额外负担外的收益来吸引他们承 担风险。
假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美 国的无风险连续复利年利率为7％，英国 的无风险连续复利年利率为10％，英镑 汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10 ％，求6个月期协议价格为$1.5000的英镑 欧式看涨期权价格。
由于英镑会产生无风险收益,现在的1英镑 等于6个月后的e0.1×0.5英镑,而现在的 e0.1×0.5英镑等于6个月后的1英镑，因此可 令S＝1.5000×e-0.1×0.5 ,并代入式（10）可 求出期权价格：
在大多数情况下，这种近似效果都不错。
例2
假设一种1年期的美式股票看涨期权，标 的股票在5个月和11个月后各有一个除权 日，每个除权日的红利期望值为1.0元， 标的股票当前的市价为50元，期权协议 价格为50元，标的股票波动率为每年30 ％，无风险连续复利年利率为10％，求 该期权的价值。
首先我们要看看该期权是否应提前执行。根据 前面的结论，美式看涨期权不能提前执行的条 件是：
: 数，由伊藤引理可得
df
(
f S
S
f t
1 2
2 f S 2
2S
2
)dt
f S
Sdz
在一个小的时间间隔t中，f 的变化值f为:
f
(Sf S
f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
f S
Sz(2)
3、构建无风险组合：
从上面分析看出，(1)和(2)中的Δz相同， 都等于 t 。
因此只要选择适当的衍生证券和标的证 券的组合就可以消除不确定性。
益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。
当标的证券己知收益的现值为I时，我们 只要用(s—I)代替式(10)和(11)中的S即可 求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权 的价格。
当标的证券的收益为按连续复利计算的 固定收益率q(单位为年)时，将Se-q(T-t) 代 替式(10)和(11)中的S就可求出支付连续 复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权 的价格。从而使布莱克——舒尔斯的欧 式期权定价公式适用欧式货币期权和股 价指数期权的定价。
(三)布莱克——舒尔斯微分方程的推导
1、基础证券的运动模型： 由于假设证券价格S遵循几何布朗运动，
因此有：
dS＝μSdt十σSdz 其在一个小的时间间隔Δt中，S的变化值
ΔS为： ΔS=μSΔt+σSΔz……（1）
2、衍生工具的运动模型： 假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函
在标的资产无收益情况下，由于C＝c， 因此式(10)也给出了无收益资产美式看涨 期权的价值。
根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在 平价关系，可以得到无收益资产欧式看 跌期权的定价公式：
p＝Xe-r(T-t) N(—d2)—SN(—d1) (11)
由于美式看跌期权与看涨期权之间不存 在严密的平价关系，因此美式看跌期权 的定价还没有得到一个精确的解析公式。
Di X [1 e r(ti1ti ) ]
在本例中，D1=D2＝1.0元。 第一次除权日前不等式右边为
X[1-e-r(t1-t2)]＝50×(1—e—0.1×0.5)＝2.4385
由于2.4385＞1.0元，因此在第一个除权日前期 权不应当执行.
第二次除权日前不等右边为：
X[1-e-r(T-t2)]＝50×(1—e—0.1×0.0833)＝0.4148
在70年代初，Fischer Black、Myron Scholes和Robert Merton取得了一个重 要大的突破，推导出股票期权定价的微 分方程。
他们的工作对市场参与者从事期权对冲 及定价等行为产生了巨大的影响
一、布莱克——舒尔斯微分方程
（一）思路：
由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种 不确定性(dz)影响，若匹配适当，这种不确定 性就可以相互抵消。
对于欧式期货期权，布莱克教授也给出了定价公式：
c er(T t)[FN(d1 ) XN(d2 )](12) p er(T t)[ XN(d2 ) FN(d1 )](13) 其中:
d1
ln( F
/
X
)
( 2 /
TLeabharlann Baidut
2)(T
t)
d2
ln( F
/
X)
( 2 / 2)(T
T t
t)
d1
T t
例1
d1
ln( S
/
X
)
(r
T
2
t
/
2)(T
t)
d2
ln( S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
t)
d1
T t
N(x)为标准正态分布变量的累计概率分 布函数(即这个变量小于x的概率)。
根据标准正态分布函数特性，有：
N(—x)＝1—N(x)。
对B-S公式理解
（1）N(d2)是在风险中性世界中ST大于X 的概率，即是欧式看涨期权被执行的概 率；
在风险中性条件下，所有现金流量都可 以通过无风险利率进行贴现求得现值。 这就是风险中性定价原理。
应该注意的是，风险中性假定仅仅是为 了求解布莱克——舒尔斯微分方程而作 出的人为假定。
但通过这种假定所获得的结论不仅适用 于投资考风险中性情况，也适用于投资 者厌恶风险的所有情况。
二、布莱克——舒尔斯期权定价公式
一个小时间间隔Δt后必定没有风险。 因此该组合在Δt中的瞬时收益率一定等
于Δt中的无风险收益率。
否则的话，套利者就可以通过套利获得 无风险收益率。
因此，在没有套利机会的条件下：
ΔΠ＝rΠΔt……（6） 把式(3)和(5)代入（6）得:
5、这就是著名的布菜克——舒尔斯微分分程, 它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的 定价。
c 1.5000 e N 0.10.5 (d1) 1.5000e0.07.0.5N (d2 )
1.4268N (d1) 1.4484N (d2)
d1
ln(1.5000 e0.10.5
/1.5000) (0.07 0.1 0.5
0.01/
2)
0.5
0.05 0.0375 0.0707
0.1768
美式看跌期权可以用蒙特卡罗模拟、二 叉树和有限差分三种数值方法以及解析 近似方法求出。
三、有收益资产的期权定价公式
到现在为止，我们一直假设期权的标的 资产没有现金收益。
那么，对于有收益资产，其期权定价公 式是什么呢？
实际上，如果收益可以准确地预测到， 或者说是已知的，那么有收益资产的期 权定价并不复杂。
第十一章 Black-Scholes模型的 分析
教学目的与要求
理解股票价格对数正态分布的特性。掌 握Black-Scholes微分方程的基本概念和推 导Black-Scholes公式的过程，掌握公式的 性质，并且能够运用该公式进行定价； 掌握风险中性定价的原理和方法。能够 运用期权定价公式对支付红利的股票期 权进行定价。
( ft
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
r(
f
f S
S )t
f t
rS
f S
1 2
2S
2
2 f S 2
rf 7
6、注意(1)组合的风险性 当S和t变化时，Sf 的值也会变化，因此上
述投资组合的价值并不是永远无风险的， 它 只 是 在 一 个 很 短 的 时 间 间 隔 Δt 中 才 是 无风险的。
为了消除Δz，我们可以构建一个包括一
单位衍生证券空头和 f 单位标的证券多
头的组合。
S
令Π代表该投资组合的价值，则：
f
f s
S (3)
在t时间后, 该投资组合的价值变化 为：
f f S (4) s
将式(1)和(2)代入(4),可得 :
f t
1 2
2 f S 2
2S2
t (5)
4、无套利定价 由于式(5)中不含有Δz，该组合的价值在
d2 d1 T t 0.1768 0.1 0.5 0.2475
通过查累积正态分布函数N(x)的数据表， 我们可以得出：
c=1.4268×0.4298—1.4484×0.4023 ＝ 0.0305＝3.05美分
因此，6个月期英镑欧式看涨期权价格 为3.05美分。
(二)有收益资产美式期权的定价
(一)有收益资产欧式期权的定价公式
在收益己知情况下，我们可以把标的证券价格 分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的 现值部分和一个有风险部分。
当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支 付现金收益而消失，因此，我们只要用S表示 有风险部分的证券价格。
σ表示风险部分遵循随机过程的波动率。 直接套用公式（10）和（11）分别计算出有收
c er(T t) Eˆ[max( ST X )](8)
在风险中性条件下，我们可以用r取代下式中的μ
ln ST
~ [ln S ( 2 )(T
2
t),
T t )]
ln ST
~ [ln S
(r
2
2
)(T
t),
T t ](9)
对上式右边求值是一种积分过程,结果为:
c SN (d1) Xer(Tt) N (d2 )(10) 其中:
1．美式看涨朔权
当标的资产有收益时，美式看涨期权就 有提前执行的可能，因此有收益资产美 式期权的定价较为复杂。
布莱克提出了一种近似处理方法。
方法： 先确定提前执行美式看涨期权是否合理。 若不合理，则按欧式期权处理； 若在tn提前执行有可能是合理的，则要分
别计算在T时刻和tn时刻到期的欧式看涨 期权的价格，然后将二者之中的较大者 作为美式期权的价格。
e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。 SN(d1)＝e-r(T-t) STN(d1)是ST的风险中性期
望值的现值。
（2）Δ＝N(d1)是复制交易策略中股票的 数量，SN(d1)就是股票的市值。
-e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的 价值。
（3）从金融工程的角度来看，欧式看涨 期权可以分拆成资产或无价值看涨期权 (Asset—or—noting call option)多头和现金 或 无 价 值 看 涨 期 权 (cash—or—nothing option)空头。
在一个较长时间中，要保持该投资组合 无风险，必须根据于的变化而相应调整 标的证券的数量。
当然，推导布莱克——舒尔斯微分方程 并不要求调整标的证券的数量，因为它 只关心Δt中的变化。
(2)风险中性定价原理
从式(7)可以看出，衍生证券的价值决定 公式中出现的变量为标的证券当前市价 (S)、时间(t)、证券价格的波动率(σ)和无 风险利率，它们全都是客观变量，独立 于主观变量——风险收益偏好。